【2021春】 广东深圳杨征名师工作室 朱祁莹 六下《圆锥的体积》

【选课思考】

看到活动通知，首先我们团队进行了多次认真的研讨，大家决定首先必须切入活动 “发展学生量感的学习方式探索” 主题，然后挑选合适的课题，怎样在体验中获得对 “量” 的独特感受，发展学生的 “量感”，经过多次研讨，反复甄选，我们选择了《圆锥的体积》这节课，下面我来详细阐述我们团队的选课思考：

一、量感概念及解读

所谓 “量感”，是指一个人对大小、多少、长短、轻重等量的形态的感性认知，是一个人借助视觉、触觉等感官对量的感知、把握。“量感” 对发展学生思维能力、问题解决能力等都具有重要意义和价值，而在 “量感” 的建立、发展和提升的过程中，估测起着至关重要的作用。《数学课程标准（2011 年版）》强调，估测有助于学生理解测量的特征和过程，并获得对度量单位大小的认识，量感的培养有助于学生理解量的概念、体会量的大小，加强对于数量的感知，同时也可以提高学生的估算、估测能力。对比分析不同版本的教材发现，在长度、面积、体积单位内容中教材均增加了让学生感知体验、活动、估测的内容，意在借助图形直观与具体实际操作，帮助学生理解量的概念，体会量的大小。因此，培育学生 “量感”，是 “核心素养” 时代背景下数学教学的应然追求。

二、选课题内容

“量”（liàng）起源于 “量”（liáng）。培育学生的 “量感” 必须让学生充分地 “感量”。只有丰富学生的感知，丰厚学生的感性经验，才能敏锐学生对 “量” 的直觉，生成学生的 “量感”。基于这个思考，我们首先确定了在 “几何与图形” 领域里选择，接着选择了体积这个模块，而六年级下册第一单元《圆柱与圆锥》中的 “圆锥的体积” 一课是学生第 2 次接触包含曲面的立体图形的体积探索，尽管有圆柱体积计算方法为基础，但立体图形的体积变化的想象相对比较困难，所以对学生来说，要形成 “圆锥体积计算方法” 的猜想并把原因弄明白也是比较困难的。教学过程中，提供充分的操作和实验的材料，鼓励学生用不同的方法和学具去验证或说明自己的猜想。在操作中，学生有了更多直观体验，“量”（liàng） 在 “量” （liáng）中感悟，通过不同的形式，在实践中体验 “量”，在体验中更能获得对 “量” 的独特感受，培养量感；其次本节课中的实验操作更具探究意义和价值，聚焦 “量” 的本质，以 “可视化” 的实践活动帮助学生形成量感，使量感的培养变得更加真实和形象。因此我们选择了这节课，并围绕本届网络教研主题 —— “发展学生 “量感” 的学习方式探索” 展开。

【学情分析】

在学习《圆锥体积》之前，学生已经学会推导圆柱体积公式，认识了圆锥的特征，有了一些推导体积公式的方法，具备了一定的空间观念和学习的方法，能够把新知识与旧知识建立起联系，解决实际问题。圆锥体也是生活中常见的物体的形状，所以在教学时从学生的生活实际和已有的知识经验入手，通过自主、合作、动手操作探究知识，这样符合小学生认知事物的规律。

【教学设计（一稿）】

教学目标

1、理解并掌握圆锥的体积公式，能够正确运用公式计算圆锥的体积，解决生活中的一些实际问题。

2、通过观察、猜测、实验、验证的科学探究过程，在自主研究的基础上理解并掌握圆锥的体积公式。

3、增强自主探究新知的意识，体验学习数学学习价值，发展数学思考能力；培养学生乐于学习、勇于探索的情趣。

教学重点

参与实验，从而推导出圆锥体积的计算公式，会运用圆锥的体积公式计算圆锥的体积。

教学难点

正确探索出圆锥体积和圆柱体积之间的关系，理解圆锥体积公式的推导过程。

教具

空心圆锥、圆柱各若干个，沙（水）、直尺。

教学设计

（一）创设情境，激趣导入

炎炎夏日，父母给了小经和小玉一些零用钱去 “商场超市” 的冷饮专柜买冰淇淋，圆锥形的冰淇淋标价是 1.5 元，圆柱形的标价 3 元，他们两个为买哪一种形状的冰淇淋争执起来。小明说：“你看这圆柱形的多大啊肯定要吃多的”，小强说：“同样 3 元我能吃两个圆锥形的冰淇淋，不比你吃得多吗？” 同学们，你们能帮他们解决到底买哪种形状的冰淇淋更合算吗？（图中圆柱形和圆锥形的雪糕是等底等高的）

( 学生回答自己的猜想，有说买圆锥形的，有说买圆柱形的)

①说说猜想的依据。

②你准备怎样来验证你的猜想？

看来不少同学都有自己想法了，那么我们就利用手边的工具和材料来进行实验验证。

（二）探究新知，实验操作

师：在实验开始之前你有什么想要提醒同学们在操作过程中需要注意的事项？

生 1：①将圆锥装满沙后，用尺子或笔等工具将杯口的沙抹平

生 2：②要将圆柱装满

生 3：③在倾倒沙子的过程中动作要缓慢平稳，以免洒到外面产生误差

师：你们都特别了不起，还提出了这么多需要注意的点，这些注意事项都能帮助我们在实验中减小误差，提高实验的科学性以及严谨性。现在就请大家小组内根据同学们总结出的注意事项以及任务要求分工合作，并完成记录实验报告单（限时 10 分钟，计时器）记录好的小组请组长将你们组的结果迅速写到黑板上。

【设计意图：明确实验的方向，减少误差，提高实验的合理性、科学性、严谨性；带领学生明确实验要求及注意事项，以便快速进行组内的分工合作，并在指定的时间内顺利完成实验任务。】

学生分 8 组操作实验，教师巡回指导。{沙子、米、圆锥、与圆锥等底等高的圆柱（1 号）、与圆锥等底不等高的圆柱（2 号）、与圆锥等高不等底的圆柱（3 号）、与圆锥高底均不等的圆柱（4 号）}

师：好了，8 个小组都已经得出了自己的实验结果及结论，仔细观察全部小组的实验数据，你有什么发现？

生：我发现一个特殊情况，在１号圆柱那一栏，差不多都是３次。

师：为什么是 “差不多”？

生：可能是装沙子的时候会有误差吧？有的组装得满些，有的组装得浅些．所以会出现比３次多一点或者少一点的情况。

师：有道理！那为什么都差不多是３次呢？会不会每组圆柱和圆锥都是一样大的，请小组长举起来让大家看看。

生：有的组大一些，有的组小一些，但是我发现都有一个共同的特点，每一组的圆柱和圆锥地面大小是一样的，高也是一样的。说明在等底等高的情况下，大号的也是３倍的关系，小号的也是３倍的关系．

师：大家说得挺好的，让我们再看看另外三种实验数据。

生：另外三种情况数据相差比较大，找不出任何规律。

师：（指着最大的和最小的两个数）：这两个数据是哪两个组得出的，也举起对应的圆锥和圆柱给大家看看。

生：圆锥和圆柱的体积看起来相差特别大的，数据就很大，体积看起来相差不大的，得出来的数据就比较小。

结论 1：圆锥的体积 V 等于和它等底等高圆柱体积的三分之一

结论 2：等底不等高的圆锥体与圆柱体，圆锥的体积是 ……

结论 3：等高不等底的圆锥体与圆柱体，圆锥的体积是 ……

结论 4： 圆柱的体积正好是圆锥体积的 3 倍。

结论 5： 圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的 3 倍。

师：从以上讨论你们有什么发现？

生：我发现圆锥体积等于圆柱体积的 1/3

（师板书）圆锥体积＝圆柱体积的 1/3，同时追问：大家同意吗？

生：等底等高的圆柱．

追问：为什么要加 “等底等高”？

生：从实验来看，不是所有情况下的圆柱和圆锥都是３倍的关系，只有 “等底等高” 这个前提条件下才有这样的关系。

【 设计意图：学生的汇报要求在教师的引导下涉及三个方面:①在等底等高的情況下，3 次装满 (老师要特意带领学生展示任意几个小组的等底等高的圆柱和圆锥，向学生示意大小不一，让学生明白无论大小，只要在特定的情况下就能得出相同的数据：3 次装满)：②在另外三种情况下的数据没有规律 (特意展示数据相差较大的两个小组的圆柱和圆锥，让学生明白，无论大小，只要不符合 “等底等高”，是很难有 “3 次装满” 这样的情况发生)，同时感受实验数据的随机性，发现在这些看似纷繁复杂的数据中得出的结论却是唯一的，验证了实验方法的正确性；③圆锥的体积公式。(根据学生的汇报教师在黑板上板书：圆锥体积 = 等底等高的圆柱体积的 1/3 时在根据学生的回答板书公式的时候，特意放大学生的疏忽，在黑板上留空引起全班学生的注意，意在告诉学生 “等底等高” 是这个结论的必要条件，是非常重要的.) 只有从这三个方面来引导学生，这个实验才算完满，才能从正、反两方面来说明结论的正确性，符合实验的科学性和严谨性】
师： 同学们总结的太到位了，但是数学学习可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理呀，老师想给大家提个更高的要求，能否在刚刚研究的基础上推导出圆锥的体积计算公式？同桌之间讨论并完成实验单。

生：Ｖ＝1/3Sh

(师板书) 并提问：如果有同学在用这个公式的时候 不小心忘了 “1/3”，会是什么情况？

生：那就是圆柱的体积了

师：看得出来，大家都对刚才的实验很有成就感！老师利用专业的几何软件也模拟了刚刚同学们的实验过程，想不想看一看？【播放软件动画、演示用水验证视频】

【设计意图：得出实验结论后，又用专业软件以及技术视频重现实验过程，以便帮学生梳理、明晰思路，加深印象，增加实验结论的可信度】

（三）知识运用、解决问题

师：小经和小玉测量出两个冰淇淋底面的直径是 6 厘米，高是 15 厘米，你能帮他们鉴定到底买哪个冰淇淋更划算吗？

（四）总结归纳、拓展提升

谈谈这节课你有什么收获？

为了让学生直观感知圆锥的体积与它等底等高的圆柱的体积的关系， 朱老师先让学生大胆猜想，然后提供给实验材料，让学生根据材料，通过小组交流共同设计实验来验证自己的猜想。这样的教学设计，为学生的主动探索与发现提供了空间，有利于学生进行观察、猜测、实验、验证、推理等数学探究活动，同时让学生亲身经历数学知识的 “再发现”、“再创造” 过程，调动学生的学习主动性和积极性，在学知识的过程中既发展了空间观念，又培养了能力。

在本课教学中，要减少学生的疑惑，有以下两个主要途径：

（1）教师可以在教学中提高模拟实验的精确程度，尽量减小误差。

①教师课前认真准备模拟实验所用的教具，提前做几次模拟实验，改进实验细节，尽力避免实验过程中产生较大误差，保证有利于获得接近演绎推理的结果。课堂上，教师用提前实验获得的改进经验指导课堂上学生的模拟实验，可以有效提高学生模拟实验结果的精确性。

②教师在指导学生进行模拟实验时，及时指出哪些操作不当会引起差错， 哪些操作可以帮助提升实验结果的准确性。

（2）要帮助学生建立起这样一种意识，即误差总是客观存在的，并不一定完全服从于教师所教授的数学规律，发现问题、提出质疑并找到引起误差的原因同等重要。

【一稿试教照片】

【一稿教学反思】

本次试教存在以下问题：

（1）表格太小，看不清，导致要跟学生重复汇报学生的填写结果

一张表格 A3 纸打印很小，那么可否分开每项打印这样字体就显较大避免重复学生的汇报数据；同时当场写结果汇报太耗时，完成其他同学做完实验干等，考虑下次试教是否能给每个小组准备一套汇报卡片磁铁，汇报时直接往黑板上贴即可，节省时间。

（2）第 3，4，5 套深挖难度较大，其他学生普遍听不懂，7 班学生基础较弱，对于深挖的推论只有个别学生能接受，其他学生听不懂，可否针对试教班情适当降低难度。

（3）推导公式时要不要出除了 sh 以外的？很多学生会推导出

板书时写

还是加入

（4）不了解学生对于圆锥体积的学情，前测很有必要，摸清学生判断体积大小的方法基础，便于继续学情设计教学；下次试教可否加入前测，在学生已有的知识经验基础之上设计教学。

（5） 情境需要更换，以采购彩泥与价格划算联系，探究趣味性更强

围绕具体课时的教学目标展开的教学前测，能为教师提供一个更准确的学生起点认知。在知识与能力的前测上，可以了解讲授新课前学生已经具备的知识基础、生活经验以及与之相适应的基本能力。对于教师的教学设计来说，如果学生在教师预设的探究过程中，不需要探究也明白了，那这种设计就是无效的；如果教师预设的教学环节难度很大，学生无法回答、不能操作，没有在新旧知识之间建立联系，那么这样的教学设计也是失败的。那么，怎样的教学预设才是有效的呢？第一，它必须符合学生的认知水平；第二，它必须重视新旧知识的过渡。要做到这两点，必须做好前测。

我认为朱老师所反思的前测确实很有必要，感性使数学课堂更人性化，更精彩生动，而理性则使数学课堂多了一些数学化。在现今数学课堂追求数学生活化的同时，我们不能忽视数学本身的东西，应让课堂多一些理性，让我们的教学行为更严谨、更科学化。而前测就是实现数学课堂科学化的第一步。

【教学设计（二稿）】

（一）创设情境，悬疑激趣

师：同学们，猜猜这些可爱的作品是用什么材料来做的呀？

生：彩泥、橡皮泥

师：你们知道吗，对于彩泥，每学期开学初学校的采购量是很庞大的，美术老师利用周末时间去做了市场调查，他们想买 5 种颜色的彩泥，同一种颜色的彩泥有 2 种规格，一个是圆柱体，一个是圆锥体，根据商家的标价，你认为每种颜色中采购哪一种规格更划算？

（课件展示 5 套橡皮泥数据及价格）

师：以第一套为例，哪个更为划算你是怎么理解的？

预设①：每元钱包含的体积量越大越划算

预设②：每单位体积所花费越少越划算

预设③：看圆柱与圆锥的体积谁大谁小

师：其实大家想表达的意思都是去比较他们的体积大小关系，然后根据标价去判断对吗？

生：对

师：那么现在请你拿出学习单①，根据你的想法猜一猜、估一估，你认为每种颜色中哪种划算就在下方打 “√”，如果认为两样同样划算那么两者都打 “√”

（二） 探究新知，实验操作

师：好，相信大家都有了自己初步的猜想，那么现在我们就利用学具来探究验证，拿到学具你打算怎么操作？

预设①：比较圆柱与圆锥的底与高，看看是不是等底等高

预设②：将圆锥装满小米，导入圆柱，看能倒几次，就是几倍的关系

师：在实验开始之前你有什么想要提醒同学们在操作过程中需要注意的事项？

①将圆锥装满沙、小米后，用尺子或笔等工具将杯口的沙抹平

②要将圆柱装满

③在倾倒小米的过程中动作要缓慢平稳，以免洒到外面产生误差

师：你们都特别了不起，还提出了这么多需要注意的点，这些注意事项都能帮助我们在实验中减小误差，提高实验的科学性以及严谨性。现在就请大家小组内根据同学们总结出的注意事项以及任务要求分工合作，选择你们感兴趣的一组学具来探究，并完成记录实验报告单（限时 10 分钟，计时器）记录好的小组请组长将你们组的结果迅速写到黑板上。

师：好了，8 个小组都已经得出了自己的实验结果及结论 【黑板展示 5 套学具的数据情况】，仔细观察全部小组的实验数据，你有什么发现？

生：我发现一个特殊情况，在１号圆柱那一栏，差不多都是３次。

师：为什么是 “差不多”？

生：可能是装沙子的时候会有误差吧？有的组装得满些，有的组装得浅些．所以会出现比３次多一点或者少一点的情况。

师：有道理！那为什么都差不多是３次呢？会不会每组圆柱和圆锥都是一样大的，请小组长举起来让大家看看。

生：有的组大一些，有的组小一些， 但是我发现都有一个共同的特点，每一组的圆柱和圆锥底面大小是一样的，高也是一样的。说明在等底等高的情况下，大号的也是３倍的关系，小号的也是３倍的关系．

师：大家说得挺好的，让我们再看看另外三种实验数据。

生：另外三种情况数据相差比较大，找不出任何规律。

师：（指着最大的和最小的两个数）：这两个数据是哪两个组得出的，也举起对应的圆锥和圆柱给大家看看。

生：圆锥和圆柱的体积看起来相差特别大的，数据就很大，体积看起来相差不大的，得出来的数据就比较小。

师：从以上讨论你们有什么发现？

生：我发现圆锥体积等于圆柱体积的 1/3

（师板书）圆锥体积＝圆柱体积的 1/3，同时追问：大家同意吗？

生：等底等高的圆柱．

追问：为什么要加 “等底等高”？

生：从实验来看，不是所有情况下的圆柱和圆锥都是３倍的关系，只有 “等底等高” 这个前提条件下才有这样的关系。

师：同学们总结的太到位了，但是数学学习可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理呀，老师想给大家提个更高的要求，能否在刚刚研究的基础上推导出圆锥的体积计算公式？同桌之间讨论并完成实验单②【投屏展示学生推导过程并请代表发言解说】。

生：Ｖ＝1/3Sh

(师板书) 并提问：如果有同学在用这个公式的时候 不小心忘了 “1/3”，会是什么情况？

生：那就是圆柱的体积了

师：看得出来，大家都对刚才的实验很有成就感！老师利用课余时间用水也做了刚刚同学们的实验，想不想看一看？【播放软件动画、演示用水验证视频】

（三） 知识运用、解决问题

师：刚刚我们已经推导出圆锥的体积计算公式，数学学习还是要懂得运用： 有一座圆锥形帐篷，底面直径约 5m，高约 3.6m，它的体积约是多少立方米？你能尝试运用今天所学知识来解决吗？

（四） 总结归纳、拓展提升

谈谈这节课你有什么收获？

【情景图】

【价格数据】

【视频演示】

《义务教育数学课程标准 (2011 年版)》中指出:“图形与几何” 的教学目的是帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。当前义务教育阶段几何教学提倡的活动以直观体验、动手测量、模拟实验的学习方式为主。但是，教师也应该了解，义务教育阶段几何教学中通过直观体验、动手测量、模拟实验的学习活动，学生获得的主要是感性认识；获得理性认识往往需要经历数学模型建立、推理和论证的过程。因此朱老师不光设计丰富的操作活动让学生获得感性认识，还让学生经历自主推导过程的探究，以此帮助学生构建圆锥体积的模型体系，可谓是妙哉！

在数学课堂教学中，让学生通过操作然后进行猜测，也就是展现学生原始的思维过程，把学生通过操作感知到的原始想法说出来。

本节课的设计中，学生感知到的用最直观、最原始的语言猜测出来，这些想法是建立在实际操作和教师教具演示的基础上而做出的合理猜测，培养了学生分析综合、推理能力。

学生通过操作，获取感知，进而做出猜测的结论，还只是停留在模糊的状态，应该用具体的 “数学现实” 作为起点，让学生像历史上数学家经历的创造过程一样，通过观察、实验，用直觉或推理提出自己的猜测并得以证实，从而建立起事物之间的联系，形成体系。

【二稿试教】

【二稿教学反思】

【二稿教学反思】

本次试教存在的问题：

（1）情境较为复杂，圆柱与圆锥体积大小比较加上价格划算的判断，提高了探究圆锥体积的难度

（2）学具准备了两批（等地等高与非等底等高）导致一部分学生只探究了等底等高，一部分只探究了非等底等高，这部分学生对于最基础的等底等高模型都没有构建就探究非等底等高，难免存在难度。

（3）实验材料为小米，做实验过程中小米倾洒在外面的较多，易产生误差且较为耗时

（4）板书过密，一块一块的实验数据，分割的太碎，且学生在汇报卡上的书写字太小后排看不清

（5）汇报实验结果的时候学具展示于黑板前挡住了底部的板书

（6）投屏学生推导过程中镜头没有定住，导致边巡视的过程中呈现的镜头也是晃荡的

（7）总结时思想高度不够，学生不止收获了体积公式，要总结数学思想与方法

改进措施：

（1）情境改为较为简单的不同形状容器入手，以此探求圆柱与圆锥的体积大小关系，找寻两者之间的联系

（2）大环节改为两个，第一大环节统一研究等底等高学具（底面直径为 10cm，高为 15cm），所有学生都探究清楚了此重难点再探究非等底等高的学具，进行第二轮实验，以此来拓展和应用所学

（3）实验材料改为水，在尝试过程中发现水为材料误差更小且容易倾倒不会溅出，这里会节省不少时间

（4）汇报改为口述，让学生充分地说充分地讨论交流，不再将实验数据全部展示于黑板上

（6）投屏过程中选定好学生的作品后再开始投屏

（7）总结时要拔高，带领学生总结梳理探究实验历经的 “提问 —— 猜想 —— 实验 —— 结论 —— 验证” 全过程。

【教学设计（三稿）】

（一） 创设情境，悬疑激趣

师：同学们，这几日备战校运会，热火朝天的，口渴吧？

生：是啊

师：这时候要是能来杯冷饮就太好了，老师这里有两种形状的杯子，一种是圆柱体，一种是圆锥体，圆柱体的杯子只能喝 1 杯，圆锥体的杯子可以喝 2 杯，你认为用哪种形状的杯子喝，可以喝的更多？

生 1：圆柱体

生 2：圆锥体

师：大家都有自己的猜测，你怎么证明你的猜测是对的？（引导学生说到对于两者体积的比较） 哪种杯子装得多，是容积，在小学阶段，我们将容积与体积合并研究。

师：其实大家想表达的意思都是去比较他们的体积大小关系，对吗？

生：对

（二）探究新知、实验操作

师：这也是我们今天探究实验的目的（板：实验目的），刚刚同学们的初步判断也是对实验结果的猜测（板：实验猜测）

师：老师给每个小组准备了一套学具帮助大家来验证，拿到学具你想怎么做？

预设：比较圆柱与圆锥的底与高，看看是不是等底等高

预设：将圆锥装满水，导入圆柱，看能倒几次，就是几倍的关系

师：这是我们本次实验的方法（板：实验方法）

师：在实验开始之前你有什么想要提醒同学们在操作过程中需要注意的事项？

将圆锥装满水后，导入圆柱体中，记录倒几次

要将圆柱刚好装满而不溢出

在倾倒的过程中动作要缓慢平稳，以免洒到外面产生误差

师： 你们都特别了不起，你们说的这些注意事项都能帮助我们在实验中减小误差，提高实验的科学性以及严谨性。现在就请大家小组内根据同学们总结出的注意事项以及任务要求分工合作进行实验操作（板：实验操作），利用准备好的学具来探究， 并完成记录小组实验报告单①。

第一轮实验：全部研究底面直径为 10cm，高为 15cm 的学具 （做完实验请小组分享汇报实验结果） 关注学生回答的完整性

师：我看大家都已经完成实验了，请坐端！请你们分享一下刚刚做实验的结果

预设：我们小组将圆锥装满水后导入圆柱，刚好倒了 3 次

预设：我们结果和刚刚汇报的小组一样，也是到了 3 次

预设：我们组将圆柱装满水，总共倒满了 3 杯圆锥

师：根据刚刚同学们的实验汇报情况，你有什么发现？（多让几个学生表述）

预设： 圆锥的体积 V 等于和它等底等高圆柱体积的三分之一

预设： 圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的 3 倍。

预设： 圆锥体积是圆柱体积的三分之一

师：大家都表达了圆锥体积是圆柱体积的三分之一这样的想法， 这也是我们所今天探究的课题 （板：圆锥的体积） 刚刚同学表达的是这个意思（板：圆锥体积 = 圆柱体积的 1/3），大家同意吗？

生：不对，等底等高

追问：为什么要加 “等底等高”？

生：从实验来看，“等底等高” 这个前提条件下的圆柱和圆锥才有３倍的关系

师：同学们总结的太到位了 （贴板书：等底等高），但是数学学习可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理呀，老师想给大家提个更高的要求，能否在刚刚研究的基础上推导出圆锥的体积计算公式？请你们将实验学习单 ①翻到背面， 同桌之间讨论并完成推导 【投屏展示学生推导过程并请代表发言解说】。（让学生充分发言、充分说）

生：Ｖ＝1/3Sh (师板书)

并提问：如果有同学在用这个公式的时候不小心忘了 “1/3”，会是什么情况？

生：那就是圆柱的体积了

师：刚才我们经历了提问 —— 猜测 —— 实验 —— 结论 —— 解决问题的全过程，可是这结论真的万无一失吗？ 现在有这样三套规格的杯子，只能喝一杯，你认为每套中哪种杯子喝的多？ 想不想猜一猜？

生：想

师： 现在请你拿出学习单，根据你的想法猜一猜、估一估，你认为每种规格中哪种形状的杯子喝得多就在下方打 “√”，如果认为两者同样多那么两者都打 “√”

(学生完成学习单 2 分钟)

师： 相信大家都有了自己预判， 老师这里还有几套不同底、高的圆柱和圆锥学具，它们之间有什么关系呢？ 一二组探究第一套、三四组探究第二套、五六组探究第三套。

第二轮实验：第 1、第 2、第 3 套学具 (学生探究实验 8 分钟)

师：探究第 1 套的小组来说说你们的结果 【汇报时先展示学具说特征、说完整】

生：我们小组的学具是底面直径一样，圆锥的高是圆柱的 2 倍，实验时我们将圆锥装满水，到了 1 次半把圆柱倒满了，所以我们判断圆柱形的杯子体积较大喝的更多

师：表达的特别清晰，看看他们的实验是否验证了你的猜想？还有补充吗？

师：好，探究第 2 套的小组来说说你们的发现与结论

生：我们组的学具是高一样，圆锥的底面直径是圆柱的 3 倍，因为圆柱明显底面积比较小，所以我们将圆柱装满水往圆锥倒，倒了 3 次，所以我们认为圆锥形的杯子喝的多

师：还有要补充的吗？现在看看你刚才的猜想是否得到了验证？那么第 3 套的小组来说说你们的结论吧

生：我们组的学具是底面直径一样，圆锥的高是圆柱的 3 倍，我们将圆锥装满后往圆柱倒，刚好一次就倒满了，所以我们认为两种杯子喝的同样多；

生：通过实验我还发现等底等体积情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍

师：大家都通过动手实验验证了自己的猜想，刚刚这组的同学说两种杯子喝的同样多也就是两者体积相等，你们能利用我们今天所学的圆锥体积公式来推导出这样的结论吗？

生：Sh=1/3×S×（3h）

师：逻辑性非常强，也就是说当等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。

（三）知识运用、解决问题

师：更具有挑战性的问题来了，刚才我们验证了圆锥是与它等底等高圆柱的 1/3， 那么我喝圆柱体中冷饮一半，3 个圆锥体冷饮的一半，是否一样多呢？

（四）总结归纳、拓展提升

谈谈这节课你有什么收获？

【三稿试教照片】

【三稿教学反思】

试教反思：

（1）体积与容积的关系，严谨性，准确来说圆柱与圆锥容器的盛水量指的是容积，只是小学阶段，将容积与体积合并研究，这里要跟学生说明，不然学生会心存疑虑

（2）两次让学生填写实验单总有学生不知道是哪张，应该稍作示范向学生展示

（3）教案不熟在第二环节探究非等底等高学具时谈论到第 2 套时深挖时忘记让学生利用今日所学圆锥体积公式来推导，最后讲完拓展思考题后回过来进行此项环节，有点凌乱

（4）汇报时流于形式，每组都汇报重复而不精

（5）汇报时每两组探究同一套数据，因此存在有的小组是没有此套数据的探究经验的，小组在汇报本组结果时应将学具已经数据展示给全班同学，引起大家的共鸣

改进措施：

（2）明确实验任务的时候向学生展示哪张学习单。或者在课件中呈现学习单，指向性更强

（3）第二环节探究非等底等高学具时将第 2 套数据与第 3 套数据交换一下位置，汇报完第 1 第 2 套实验结果后再重点研究第 3 套学具，便于深挖。

（4）汇报时让探究同一组数据的其中一个小组来汇报，汇报完还有补充可以完善，同样结果或结论赞同即可不必重复汇报，提高汇报的效率

（5）汇报时让学生先展示说明本组实验的学具特征，再汇报实验结果，这样其他同学听起来更加清晰

伽利略曾说过，科学的真理不应该在古代圣人的蒙着灰尘的书上去找，而应该在实验中和以实验为基础的理论中去找。英国著名的数学家贝利就强调 “通过实验，训练技能，让学生探究事物自身的规律”。数学实验，作为二种常见的数学活动存在于学生知识技形成的过程之中，是学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的一种重要的学习方式。

数学实验的引人给数学课堂注入了活力，为学生的数学学习打开了另一扇窗，让学生真切地体验如何 “做数学”，如何实现数学知识的 “再发现”，并从中感受到数学的力量。因此在朱老师教学设计中，切实有效地开展数学实验教学，提升数学实验教学的品位，成为本节课的点睛之笔。

通过比较的方式研读教材，寻求各版本教材在 “圆锥的体积” 这一内容编排上的共性与个性，不仅能进一步加深理解教学内容，还有助于借鉴其他版本教材在 “圆锥的体积” 这一实验设计过程中的亮点，并将其融入自己的教学过程中。

通过对苏教版、人教版、北师大版和浙教版 (实验教材) 这 4 个版本的教材进行对比分析，我发现这 4 个版本的教材都安排了实验操作的环节，都重视引导学生通过动手操作和探究，发现等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系。从各个版本教材的编排来看，探究环节从实验器材的选择到最终实验结论的描述，有相似之处，但也存在着一定的差异。朱老师设计的两个实验探究环节给足了学生充分体验的机会，通过亲身经历去验证自己的猜想，印象才会更加深刻！

这种多元规格学具：包括圆柱形容器与圆锥形容器等底等高、等底不等高、等高但不等底的实验培养了学生对实验条件的辨别及信息的批判能力，突破传统只探究等底等高的设计，这使得学生在观察、发现、思辨的过程中，学习更主动。

【教学设计（四稿）】

一、抛问题，引出圆柱与圆锥

师：同学们，这几日备战校运会，热火朝天的，口渴吧？

生：是啊

师：这时候要是能来杯冷饮就太好了，老师给大家准备了两种形状的容器，一种是圆柱体，一种是圆锥体，圆柱体的杯子只能喝 1 杯，圆锥体的杯子可以喝 2 杯，你认为用哪种形状的容器，可以装得更多？

生 1：圆柱体

生 2：圆锥体

师：很好，各抒已见，怎么证明你的猜测是对的？（引导学生说到对于两者体积的比较）

师：我听明白了，大家说的是，要比较圆柱与圆锥的体积大小，找找两种形状间的关系，对吗？

师：这也是我们今天探究实验的目的（板：实验目的），刚刚同学们的初步判断也是对实验结果的猜测（板：实验猜测）

师：其实说 哪种容器装得多，是容积，但在小学阶段，我们可以将容积与体积合并研究。

二、探新知，通过实验找关系

1. 等底等高的圆柱与圆锥之间的关系

师：同学们，空说无凭，数学课就要用数据说话，老师给每个小组都准备了一套圆柱与圆锥，请大家动手操作，用实验结果来验证我们的猜想。实验该怎么做呢？

预设生：比较圆柱与圆锥的底与高，看看是不是等底等高

预设生：将圆锥乘满水，注入圆柱，看倒了几次，就是几倍的关系

师：嗯，大家都说得不错，请看大屏幕，看看实验的方法（板：实验方法）

师：实验中需要注意什么？

将圆锥乘满水后，注入圆柱体中，记录注入次数。

使圆柱刚好装满而不溢出。

注入动作要缓慢平稳，以免产生误差

师：你们很了不起，说的这些注意事项都能帮助我们在实验中 减小误差 ，提高实验的 科学性 以及 严谨性 。

师：这次实验的圆柱与圆锥， 底面直径都为 10cm，高都为 15cm。

请大家小组合作，进行实验操作 （板：实验操作），并完成实验报告单①。别忘了大家刚才说的注意事项哦！

（做完实验请小组分享汇报实验结果） 关注学生回答的完整性

预设生：我们小组将圆锥乘满水后注入圆柱，刚好倒了 3 次

预设生：我们结果和刚刚汇报的小组一样，也是倒了 3 次

预设生：我们组将圆柱乘满水，总共倒满了 3 杯圆锥

师：根据实验结果汇报数据，你有什么发现？（多让几个学生表述）

预设生：圆锥的体积 V 等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。

预设生：圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的 3 倍。

预设生：圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（师：哦，这样表达可以吗？有没有同学有其它意见？别急，我们一会可以来研究一下，这样表达的正确性与合理性）

师：哦，我又听懂了，各组同学都想说的是：圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，对吗？

师：大家都听清楚了没有？谁能完整地把这句话再说一遍？还有谁能说？

（板：这也是我们能今天探究的课题圆锥的体积）同学们表达的是这个意思，对吗？（ 板：圆锥体积＝圆柱体积的 1/3）

生：不对，等底等高

师追问：为什么要加 “等底等高”？

生：从实验来看，“等底等高” 这个前提条件下的圆柱和圆锥才有３倍的关系。

师：同学们总结的太到位了 （贴板书：等底等高），但是数学学习可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理呀，老师想给大家提个更高的要求，能否在刚刚研究的基础上推导出圆锥的体积计算公式？同桌之间讨论并完成实验单 【投屏展示学生推导过程并请代表发言解说】。

生：Ｖ＝1/3Sh (师板书)

并提问：如果有同学在用这个公式的时候不小心忘了 “1/3”，会出现什么情况？

生：那就是圆柱的体积了。

师：很好，请大家齐声说一次，圆锥是与它等底等高圆柱体积的三分之一。再读一次圆锥体体积公式。

2. 非等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：刚才我们经历了提问 —— 猜测 —— 实验 —— 结论 —— 解决问题的全过程，可是这结论是否放之四海皆准，适用于所有圆柱与圆锥的关系呢？我想再验证一下，同学们能不能跟我一起再实验？

师：请看大屏幕，现在有这样三套圆柱与圆锥体容器，它们的数据是这样的，请同学说一说，你了解了什么数学信息？

生 1：第一套，圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍。

师：非常好，请继续说。

生 2：第二套，圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥底面直径是圆柱底面直径的 3 倍。

生 3：第三套，圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。

师：表达得很完整，看到这样三套圆柱与圆锥，你们还认为，圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍吗？（让学生充分表达）

师：好的好的，又有很多意见，将你 猜一猜、估一估的结果填在学习单②上 【示范展示哪张学习单】，你认为每种规格中哪种形状的杯子喝得多就在下方打 “√”，如果认为两者同样多那么两者都打 “√”(学生完成学习单 2 分钟)

师：相信大家都有了自己的预判，还是那句话，数学课用数据说话，动手倒一倒，通过实验来验证你的猜想吧。一二组探究第一套、三四组探究第二套、五六组探究第三套。(学生探究实验 8 分钟)

师：请实验第 1 套形状的小组来说结果。

生：我们形状的数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍”，我们将圆锥装满水，到了 1 次半就把圆柱倒满了，所以我们判断，圆柱形的容器较大。

师：有补充的吗？

生：在实验前，我就想，圆锥是与它等底等高圆柱的三分之一，现在底相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍，所以，它们不可能一样大。

师：有道理，思维真敏锐，通过实验再次验证了你们的猜想对吗？

师：请实验第 2 套数据的小组来说说你们的结论。

生：我们实验的数据是 “圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥的底面直径是圆柱底面直径的 3 倍”。因为圆柱看起来明显比较小，所以我们将圆柱装满水往圆锥倒，倒了 3 次，所以我们认为圆锥形容器较大。

师：哦，猜想与验证结果一样。了不起。

师：请实验第 3 套数据的小组汇报。

生：我们实验的形状数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍”。我们将圆锥乘满水往圆柱里倒，刚好一次就倒满了，所以我们认为这两种数据的容器一样大。

师：与你的猜想一致吗？收获挺大。

3. 等底等体积时，圆锥的高是圆柱的 3 倍

师：刚刚只有实验第 3 套数据的小组发现，圆柱与圆锥体积相等，谁能用数学的语言来表述一下，为什么会这样？能利用我们刚才学习的 圆锥体积公式 来说一说吗？

生：如果说，圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，现在的圆柱与圆锥体积相等，它们的底也相等，那圆锥的高应该是圆柱高的 3 倍。（如果没有学生立马说出来就组织学生讨论一下）

师：说得太好了，大家听懂了吗？还有谁能说一说。

师：大家说得特别有逻辑，老 师模仿你们复述一遍，看我说得对不对？等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。（课件出示，并要求全班同学重复）

生：Sh=1/3×S×（3h）

三、 后拓展，引导数学思想与方法

1. 课后思考

师：今天跟大家上了一节很有意义的课，这节课，你知道了？

生： 圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，还知道了，等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。

师：这都是很了不起的发现。

师：但朱老师一向不省油，我还有几个问题要拜托大家帮我想一想，不要急着回答，下节课咱们继续。

①在等高等体积的情况下，圆锥的底应该是圆柱的几倍呢？ 哈哈，烧脑吧。

② 圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，那圆柱的一半，会不会等于 3 个与它等底等高圆锥体的一半呢？

2. 研究与解决问题的方法

师：这节课，朱老师跟大家一起，经历了实验探究全过程，同学们说一说，都有哪些步骤？

生：“提出问题 —— 进行猜想 —— 实验探究 —— 得出结论 —— 验证结论”。

师：好的，同学们，这是实验探究的一般方法，听你们这样说，我竟没有什么可以补充的，谢谢大家，这节课就上到这里，下课。

【四稿试教照片】

【四稿教学反思】

试教反思：

（1）导入视频没有带入感

（2）PPT 中等底等高图片改成实物数据图

（3）加入对于误差的讨论

（4）一些问题的问法指向不明确

（5）在汇报三套非等底等高实验时，加入前测统计表形成冲击，给学生印象深刻的探究经验

改进措施：

（1） 换成多张训练照片

（2）由

换成

（3） 巡视过程中找存在操作误差的小组，没有的话自己引 “ 刚刚我看到有的小组 3 次还没到或者比 3 次多一点点，你能说说出现这种情况的原因吗？”

（4）“实验该怎么做？”→“拿到学具你打算怎样操作？”

“请看大屏幕，看看实验的方法”→“一会我们就按同学们说的这些实验步骤开展实验，你清楚了吗？”

“别忘了大家刚才说的注意事项哦”→请大家根据同学们总结出的注意事项小组合作，进行实验操作，并完成实验报告单①

“可是这结论是否放之四海皆准，适用于所有圆柱与圆锥的关系呢？”→“刚才我们探索的是等底等高的一组圆柱与圆锥，如果它们的条件发生改变，你们还能准确判断它们的体积大小吗？同学们想不想跟我一起再实验？”

（5）小组汇报非等底等高实验结果时，展示统计表格，比如第 1 套在前测中多少同学是认为同样大的，多少同学是认为圆锥大的，那么在做完实验之后，是否有了更清晰的认识

【教学设计（五稿）】

一、抛问题，引出圆柱与圆锥

师：同学们，这几日备战校运会，热火朝天的，口渴吧？

生：是啊

师：这时候要是能来杯冷饮就太好了，老师给大家准备了两种形状的容器，一种是圆柱体，一种是圆锥体，圆柱体的杯子只能喝 1 杯，圆锥体的杯子可以喝 2 杯，你认为用哪种形状的容器，可以装得更多？

生 1：圆柱体

生 2：圆锥体

师：很好，各抒已见，怎么证明你的猜测是对的？

师：我听明白了，大家说的是，要比较圆柱与圆锥的体积大小，找找两种形状间的关系，对吗？

师：这也是我们今天探究实验的目的（板：实验目的），刚刚同学们的初步判断也是对实验结果的猜测（板：实验猜测）

师：其实说 哪种容器装得多，是容积，但在小学阶段，我们可以将容积与体积合并研究。

二、探新知，通过实验找关系

1. 等底等高的圆柱与圆锥之间的关系

师：同学们，空说无凭，数学课就要用数据说话，老师给每个小组都准备了一套圆柱与圆锥，请大家动手操作，用实验结果来验证我们的猜想。实验该怎么做呢？

预设生：比较圆柱与圆锥的底与高，看看是不是等底等高

预设生：将圆锥乘满水，注入圆柱，看倒了几次，就是几倍的关系

师：嗯，大家都说得不错，请看大屏幕，看看实验的方法（板：实验方法）

师：实验中需要注意什么？

将圆锥乘满水后，注入圆柱体中，记录注入次数。

使圆柱刚好装满而不溢出。

注入动作要缓慢平稳，以免产生误差

师：你们很了不起，说的这些注意事项都能帮助我们在实验中 减小误差 ，提高实验的 科学性 以及 严谨性 。

师：这次实验的圆柱与圆锥， 底面直径都为 10cm，高都为 15cm。

请大家小组合作，进行实验操作 （板：实验操作），并完成实验报告单①。别忘了大家刚才说的注意事项哦！（做完实验请小组分享汇报实验结果） 关注学生回答的完整性

预设生：我们小组将圆锥乘满水后注入圆柱，刚好倒了 3 次

预设生：我们结果和刚刚汇报的小组一样，也是倒了 3 次

预设生：我们组将圆柱乘满水，总共倒满了 3 杯圆锥

师：根据实验结果汇报数据，你有什么发现？（多让几个学生表述）

预设生：圆锥的体积 V 等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。

预设生：圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的 3 倍。

预设生：圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（师：哦，这样表达可以吗？有没有同学有其它意见？别急，我们一会可以来研究一下，这样表达的正确性与合理性）

师：哦，我又听懂了，各组同学都想说的是：圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，对吗？

师：大家都听清楚了没有？谁能完整地把这句话再说一遍？还有谁能说 （板：这也是我们能今天探究的课题圆

锥的体积）同学们表达的是这个意思，对吗？（ 板：圆锥体积＝圆柱体积的 1/3）

生：不对，等底等高

师追问：为什么要加 “等底等高”？

生：从实验来看，“等底等高” 这个前提条件下的圆柱和圆锥才有３倍的关系。

师：同学们总结的太到位了 （贴板书：等底等高），但是数学学习可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理呀，老师想给大家提个更高的要求，能否在刚刚研究的基础上推导出圆锥的体积计算公式？同桌之间讨论并完成实验单 【投屏展示学生推导过程并请代表发言解说】。

生：Ｖ＝1/3Sh (师板书)

并提问：如果有同学在用这个公式的时候不小心忘了 “1/3”，会出现什么情况？

生：那就是圆柱的体积了。

师：很好，请大家齐声说一次，圆锥是与它等底等高圆柱体积的三分之一。再读一次圆锥体体积公式。

2. 非等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：刚才我们经历了提问 —— 猜测 —— 实验 —— 结论 —— 解决问题的全过程，可是这结论是否放之四海皆准，适用于所有圆柱与圆锥的关系呢？我想再验证一下，同学们能不能跟我一起再实验？

师：请看大屏幕，现在有这样三套圆柱与圆锥体容器，它们的数据是这样的，请同学说一说，你了解了什么数学信息？

生 1：第一套，圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍。

师：非常好，请继续说。

生 2：第二套，圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥底面直径是圆柱底面直径的 3 倍。

生 3：第三套，圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。

师：表达得很完整，看到这样三套圆柱与圆锥，你们还认为，圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍吗？（让学生充分表达）

师：好的好的，又有很多意见，将你 < span style="color:#ff0000"> 猜一猜、估一估的结果填在学习单②上 【示范展示哪张学习单】，你认为每种规格中哪种形状的杯子喝得多就在下方打 “√”，如果认为两者同样多那么两者都打 “√”(学生完成学习单 2 分钟)

师：相信大家都有了自己的预判，还是那句话，数学课用数据说话，动手倒一倒，通过实验来验证你的猜想吧。一二组探究第一套、三四组探究第二套、五六组探究第三套。(学生探究实验 8 分钟)

师：请实验第 1 套形状的小组来说结果。

生：我们形状的数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍”，我们将圆锥装满水，到了 1 次半就把圆柱倒满了，所以我们判断，圆柱形的容器较大。

师：有补充的吗？

生：在实验前，我就想，圆锥是与它等底等高圆柱的三分之一，现在底相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍，所以，它们不可能一样大。

师：有道理，思维真敏锐，通过实验再次验证了你们的猜想对吗？

师：请实验第 2 套数据的小组来说说你们的结论。

生：我们实验的数据是 “圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥的底面直径是圆柱底面直径的 3 倍”。因为圆柱看起来明显比较小，所以我们将圆柱装满水往圆锥倒，倒了 3 次，所以我们认为圆锥形容器较大。

师：哦，猜想与验证结果一样。了不起。

师：请实验第 3 套数据的小组汇报。

生：我们实验的形状数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍”。我们将圆锥乘满水往圆柱里倒，刚好一次就倒满了，所以我们认为这两种数据的容器一样大。

师：与你的猜想一致吗？收获挺大。

3. 等底等体积时，圆锥的高是圆柱的 3 倍

师：刚刚只有实验第 3 套数据的小组发现，圆柱与圆锥体积相等，谁能用数学的语言来表述一下，为什么会这样？能利用我们刚才学习的 < span style="background-color:#ffffff"> 圆锥体积公式 来说一说吗？

生：如果说，圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，现在的圆柱与圆锥体积相等，它们的底也相等，那圆锥的高应该是圆柱高的 3 倍。（如果没有学生立马说出来就组织学生讨论一下）

师：说得太好了，大家听懂了吗？还有谁能说一说。

师：大家说得特别有逻辑，老 师模仿你们复述一遍，看我说得对不对？等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。（课件出示，并要求全班同学重复）

生：Sh=1/3×S×（3h）

三、 后拓展，引导数学思想与方法

1. 课后思考

师：今天跟大家上了一节很有意义的课，这节课，你知道了？

生： 圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，还知道了，等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。

师：这都是很了不起的发现。

师：但朱老师一向不省油，我还有几个问题要拜托大家帮我想一想，不要急着回答，下节课咱们继续。

①在等高等体积的情况下，圆锥的底应该是圆柱的几倍呢？ 哈哈，烧脑吧。

② 圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，那圆柱的一半，会不会等于 3 个与它等底等高圆锥体的一半呢？

2. 研究与解决问题的方法

师：这节课，朱老师跟大家一起，经历了实验探究全过程，同学们说一说，都有哪些步骤？

生：“提出问题 —— 进行猜想 —— 实验探究 —— 得出结论 —— 验证结论”。

师：好的，同学们，这是实验探究的一般方法，听你们这样说，我竟没有什么可以补充的，谢谢大家，这节课就上到这里，下课。

朱老师结合学生的思维现实，根据数学实验的目的进行了必要的调整、重组、超越。在切合实验主题和数学本质的实验教学中促进学生对圆锥的体积计算公式的理解。

注重让学生在操作实验中同时展开抽象思维与形象思维，无论是实验前的对圆柱和圆锥之间关系的整体认识，还是实验中的抽象、推理、比较，以及实验后的反思总结，思维始终在场。

朱老师十分注重提高数学实验的效度，挖掘数学实验的深度，极大的拓宽学生的思维层次

教材编写建议” 中指出，教材的编写要有利于学生进行观察、实验、操作、推理、交流等活动，问题的呈现要有利于展开观察、实验、操作、推理、交流等活动经历、观察、感知、操作、模仿、收集、参与、尝试、发现、探究构成课程标准中实验教学的主要行为动词。这些都说明数学实验本身也应该是教学目标之一，因此本节课的设计上两个实验大环节充分落实了教学目标。

【五稿试教照片】

【五稿教学反思】

试教反思：

（1）前测去掉，没有效果，耗时且没有深入分析

（2）等底等高汇报时操作误差说成操作失误，表达的严谨性

（3）学生汇报第 2 套数据实验结果时出错没有及时纠正

（4）在探究第 3 套数据学具时，应将讨论的问题呈现在 ppt 中，学生只听问题有点懵

（5）最后一道思考题题目也要呈现出来

（6）在学生说完三套非等底等高学具的特征信息后，追问 “看到这样三套圆柱与圆锥，你们还认为，圆锥的体积是圆柱体积的 1/3 吗？”，将原本落实到位的对于等底等高下两者的关系引起混乱

（7）误差分析完加入对于误差的处理

改进措施：

（1）前测放在答辩时展现，依据前测结果基于学情而进行的教学设计

（2）操作误差与操作失误有本质上的差别，目的是要引导学生讨论误差分析，注意措辞的严谨性

（3）汇报第 2 套数据实验结果时，学生说该套学具的特征是等底等高没有纠错，只关注聚焦到实验结果

（4）将问题 “ 用数学的语言来表述一下，为什么会这样？能利用我们刚才学习的圆锥体积公式来说一说吗？” 在 ppt 中呈现

（5）将问题 “ 刚才我们验证了圆锥是与它等底等高圆柱的 1/3，那么 现在把高度各取一半，等号是否还成立？” 呈现在 ppt 中

（6）修改问法 “你认为每套中哪个体积更大？”

（7）加入回应误差处理

【教学设计（终稿）】

设计理念： 以学生自主探索为主体，本课设计以学生认识发展规律为主线，以引导猜想问题、发现问题、提出问题、探究解决问题、得出结论为基点，通过实际应用训练使学生在 “认识 — 实践 — 再认识、再实践” 中理解运用知识。在教学策略上，本节课从贴近学生生活的角度出发创设教学情境，充分激发学生学习的兴趣和欲望，让学生在猜想释疑、合作学习和实验操作中，自觉探究圆锥体积公式的推导过程，并运用规律解决实际问题，激发学生探究的兴趣，解决问题的乐趣，逐步提高学生探究知识应用知识解决实际问题的能力。

学情分析： 在学习《圆锥体积》之前，学生已经学会推导圆柱体积公式，认识了圆锥的特征，有了一些推导体积公式的方法，具备了一定的空间观念和学习的方法，能够把新知识与旧知识建立起联系，解决实际问题。圆锥体也是生活中常见的物体的形状，所以在教学时从学生的生活实际和已有的知识经验入手，通过自主、合作、动手操作探究知识，这样符合小学生认知事物的规律。

教材解读： 从教材的编写可以看出，教材加强了与现实生活的联系。加强了在操作中对空间与图形问题的思考，使学生在经历观察、联想、猜测、操作实验、推理等过程中理解和掌握圆锥的体积的计算方法，进一步发展空间观念。就本节课的设计而言，本课 “圆锥的体积” 是北师大版小学数学六年级下册第一单元《圆柱与圆锥》的内容，是在学生学习了 “圆柱的体积” 基础上进行的。在教学设计时先以圆柱与圆锥体容器哪个装得更多引发学生思考，提出本次探究实验的目的，即比较两者的体积大小，找寻两者之间的关系；通过小组合作分别探究等底等高以及非等底等高条件下圆柱与圆锥之间的关系，结合前测学情、采用 3D 技术打印特殊定制数据的学具让学生充分操作体验，自主推导出圆锥的体积公式，进而培养学生的主动探究能力和合作精神，在 “猜测 — 实验 — 结论 — 验证” 过程中发展学生量感。

教学内容: 北师大版小学数学六年级下册第 11、12 页。

教学目标:

1．通过观察、猜测、实验、验证的科学探究过程，理解并掌握圆锥的体积公式，发展学生量感。

2．在学习中感悟科学探究方法，提高抽象推理能力。

3．增强学生自主探究意识，体验数学学习价值与乐趣。

教学重点: 经历实验全过程，能正确推导圆锥体积的计算公式，积累量感经验。

教学难点: 探索不同数据圆锥体积和圆柱体积之间的关系，并能利用量感经验进行抽象推导。

教学准备: 等底等高圆锥、圆柱形状容器 8 组，特殊数据圆锥、圆柱形状容器各 2 组，水槽（水）、塑料杯、勺子、学习单

教学过程：

一、抛问题，引出圆柱与圆锥体积关系

师：同学们，这几日备战校运会，大热天的，你们一定很口渴吧？

生：是啊

师：这时候要是能来杯冷饮一定感觉很美妙，老师给大家准备了两种形状的容器，一种是圆柱体，一种是圆锥体，圆柱体的杯子只能喝 1 杯，圆锥体的杯子可以喝 2 杯，你认为用哪种形状的容器，可以装得更多？

生 1：圆柱体

生 2：圆锥体

师：很好，各抒已见，怎么证明你的猜测是对的？

师：我听明白了，大家说的是，要比较圆柱与圆锥体积的大小，找找两种形状间的关系，对吗？

师：这也是我们今天探究实验的目的（贴板书：实验目的），刚刚同学们的初步判断也是对实验结果的猜测（贴板书：实验猜测）。

师：其实说哪种容器装得多，是容积，但在小学阶段，我们可以将容积与体积合并研究。

（设计意图：以校运会情境导入，激发兴趣，引导生活数学，明确实验目的、进行实验猜测，引出探究圆柱与圆锥体积大小关系的必要性，为后续进行实验奠定基础）

二、探新知，通过实验找关系

1. 探索等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：同学们，空说无凭，数学课就要用数据说话，老师给每个小组都准备了一套圆柱与圆锥，请大家动手操作，用实验结果来验证我们的猜想。拿到学具你打算怎么操作？

预设生 1：比较圆柱与圆锥的底与高，看看是不是等底等高

预设生 2：将圆锥乘满水，注入圆柱，看倒了几次，就是几倍的关系

师：嗯，大家都说得不错，一会我们就按同学们说的这些步骤开展实验，你清楚了吗？（贴板书：实验方法）

师：在实验开始之前你有什么想要提醒同学们在操作过程中需要注意的事项 ？

将圆锥乘满水后，注入圆柱体中，记录注入次数。

使圆柱刚好装满而不溢出。

注入动作要缓慢平稳，以免产生误差。

师：你们很了不 起，说的这些注意事项都能帮助我们在实验中减小误差，提高实验的科学性以及准确性。

师：这次实验的圆柱与圆锥， 底面直径都为 10cm，高都为 15cm。

请大家根据同学们总结出的注意事项小组合作，进行实验操 作（贴板书：实验操作）， 并完成实验报告单①。（做完实验请小组分享汇报实验结果，关注学生回答的完整性）

师：请大家来分享你们的实验结果（巡视过程中找存在操作误差的小组）

预设生 1：我们小组将圆锥乘满水后注入圆柱，刚好倒了 3 次。

预设生 2：我们结果和刚刚汇报的小组一样，也是倒了 3 次。

预设生 3：我们组将圆柱乘满水，总共倒满了 3 杯圆锥。

预设生 4：我们组比 3 次还要多一点（哦？我们一起来分析一下出现这种情况的原因）

师：刚刚我看到有的小组 3 次还差一点点，你能说说出现这种情况的原因吗？

预设生 1：操作过程中每次圆锥没装满。

预设生 2：倾倒的过程中水洒在了外面。

师：你们说的都很有道理，出现误差是正常的，但是如果按照我们之前总结出的注意事项严格操作，就可以将误差降到最低。

师：根据同学们汇报的实验数据，你有什么发现？

预设生 1：圆锥的体积 V 等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。

预设生 2：圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的 3 倍。

预设生 3：圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（师：哦，这样表达可以吗？有没有同学有其它意见？别急，我们一会可以来研究一下，这样表达的正确性与合理性）

师：哦，我又听懂了，各组同学都想说的是：圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，对吗？

师：大家都听清楚了没有？谁能完整地把这句话再说一遍？还有谁能说？

（贴板书：这也是我们能今天探究的课题圆锥的体积）大家的意思是这样的对吗？（贴板书：圆锥体积＝圆柱体积的 1/3）

生：不对，还要加 “等底等高”。

师追问：为什么要加 “等底等高”？

生：从实验来看，“等底等高” 这个前提条件下的圆柱和圆锥才有３倍的关系。

师：同学们总结的太到位了（贴板书：等底等高），看来这个 “等底等高” 特别重要值得关注（画重点符号），这也是我们得出的实验结论（贴板书：实验结论）， 可是啊数学学习可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理呀，老师想给大家提个更高的要求，能否在刚刚研究的基础上推导出圆锥的体积计算公式？小组内讨论并完成实验单（投屏展示学生推导过程并请代表发言解说，让学生充分发言、充分说）。

生：Ｖ＝1/3Sh (师板书)

并提问：如果有同学在用这个公式的时候不小心忘了 “1/3”，会出现什么情况？

生：那就是圆柱的体积了。

师：真棒！

（设计意图：明确实验方法、操作步骤，探讨操作过程中应该注意的事项，此环节涉及到后面的误差分析，而降低误差的最有效方法就是按照注意事项严格操作，实验开展的科学性、准确性是实验数据准确获取的必要保障；在学生的实验结果汇报中引出课题，同时引导学生关注等底等高这一条件的关注，帮助学生明确：只有在等底等高的情况下，圆柱与圆锥的体积大小才存在这样的数量关系。利用多媒体技术投屏学生的推导过程，请学生当小老师讲解，以学生的生成来突破本节课的重点。）

2. 探索非等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：刚才我们经历了提问 —— 猜测 —— 实验 —— 结论 —— 解决问题的全过程，探索的是等底等高的一组圆柱与圆锥，如果它们的条件发生改变，你们还能准确判断它们的体积大小吗？同学们想不想跟我一起再实验？

师：请看，现在有这样三套圆柱与圆锥体容器，它们的数据是这样的，请大家说一说，你了解了什么数学信息？

生 1：第一套，圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍。

师：非常好，请继续说。

生 2：第二套，圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥底面直径是圆柱底面直径的 3 倍。

生 3：第三套，圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。

师：表达得很完整，你认为每套中哪个体积更大？（让学生充分表达）

师：好的好的，又有很多意见，将你猜一猜、估一估的结果填在学习单上，你认为每套中哪种形状的容器装得多就在下方打 “√”，如果认为两者同样多那么两者都打 “√”(学生完成学习单 2 分钟)

师：相信大家都有了自己的预判，还是那句话，数学课用数据说话，请你们拿出另一套学具，通过实验来验证你们的猜想吧，一二组探究第一套、三四组探究第二套、五六组探究第三套。

第二轮实验：第 1、第 2、第 3 套学具 （学生探究实验 8 分钟）

师：请实验第 1 套形状的小组来说结果。（汇报时先展示学具说特征、说完整）

生：我们形状的数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍”，我们将圆锥装满水，到了 1 次半就把圆柱倒满了，所以我们判断，圆柱形的容器较大。

师：有补充的吗？（有则补充，无则下一组汇报）

生：在实验前，我就想，圆锥是与它等底等高圆柱的三分之一，现在底相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍，所以，它们不可能一样大。

师：有道理，思维真敏锐，通过实验再次验证了你们的猜想对吗？

师：请实验第 2 套数据的小组来说说你们的结论。

生：我们实验的数据是 “圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥的底面直径是圆柱底面直径的 3 倍”。因为圆柱看起来明显比较小，所以我们将圆柱装满水往圆锥倒，倒了 3 次，所以我们认为圆锥形容器较大。

师：哦，猜想与验证结果一样。了不起。

师：请实验第 3 套数据的小组汇报。

生：我们实验的形状数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍”。我们将圆锥乘满水往圆柱里倒，刚好一次就倒满了，所以我们认为这两种数据的容器一样大。

师：与你的猜想一致吗？收获挺大。

（设计意图：采用 3D 技术打印 3 套特殊定制数据的学具，即 “等底、高 1:2”、“等底、高 1:3” 和 “等高、底 1:3”，让学生先将自己估测的结果记录下来，再充分操作体验，验证猜想，突破对 “等底、高成比” 以及 “等高、底成比” 这两种数据的难点，通过前测的学情分析，发现学生对等底等体积，圆锥的高是圆柱的 3 倍这组数据猜想与实际相差甚远，通过亲身经历实验来验证，也利用公式的变形推导出这一重要推论。）

3. 探索 “等底等体积时，圆锥高是圆柱高的 3 倍”

师：刚刚只有实验第 3 套数据的小组发现，圆柱与圆锥体积相等，谁能用数学的语言表述，为什么会这样？能利用我们刚才学习的圆锥体积公式来说一说吗？

生：如果说，圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，现在的圆柱与圆锥体积相等，它们的底也相等，那圆锥的高应该是圆柱高的 3 倍。（如果没有学生立马说出来就组织学生讨论一下）

师：说得太好了，大家听懂了吗？还有谁能说一说。

师：大家说得特别有逻辑，老师把你们的想法再说一遍，你们看对不对？等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。（课件出示，并要求全班同学重复）

生：Sh=1/3×S×（3h）

师：我们从公式的形式上来看，要想与圆柱的体积相等，高度需要为原来的 3 倍才能和前面的

1/3 抵消.

（设计意图：从学情分析前测结果来看，学生对于等底、高 1:3 这类圆柱与圆锥体积大小的判断上存在较大的偏差，超过一半的学生会认为圆锥的体积大于圆柱的体积，因此重点分析该特定条件下两者的体积比较，首先通过在学习单上再次估测发展量感意识，接着动手操作实验验证猜想，最后通过公式变形推导，三方面共同得出 “等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍” 这一重要推论，这也是在课后练习当中会出现的一个难点，放在课堂上着重突破，效果甚佳。）

三、后拓展，引导数学思想与方法

1. 拓展思考

师：更具有挑战性的问题来了，刚才我们验证了圆锥是与它等底等高圆柱体积的 1/3，如果 高度各取一半，等式是否还成立？

预设生 1：不相等，圆柱上下底面积是一样的，圆锥一端是尖一端是圆形，虽然都是装一半，但是它们装的容量是不一样的。

预设生 2： 如果只装杯子的一半肯定是不一样的，如果是体积的一半那就是一样的。

预设生 3：杯子装水部分的底面积发生了变化，如果底面积发生了变化，即使高一样，它们的体积肯定是不一样的。

预设生 4：一个满杯的圆柱体是 1.5 个圆锥体的容量大小，三个圆锥体只装了一半，还没有一个满杯的圆柱体大。

师：大家说的都太好了，你们真棒！今天跟大家上了一节很有意义的课，谈谈这节课你的收获。

生： 圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，还知道了，等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。

师：这都是很了不起的发现。

2. 研究与解决问题的方法

师：这节课，朱老师跟大家一起，经历了实验探究全过程，同学们说一说，都有哪些步骤？

生：“ 确定实验目的 —— 进行实验猜想 —— 动手操作验证 —— 得出实验结论 —— 应用结论解决问题 ”。

师：好的，同学们，这是实验探究的一般方法，听你们这样说，我竟没有什么可以补充的，谢谢大家。

3. 课后探究

师：小朱还有一个问题要拜托大家帮我想一想，不要急着回答，下节课咱们继续。

在等高等体积的情况下，圆锥的底面积应该是圆柱的几倍呢？哈哈，烧脑吧。

好啦，这节课就上到这里，下课。

（设计意图：本环节引入拓展思考，让学生通过关注底面的变化来分析，夯实知识点，同时带领学生梳理实验探究全过程，总结数学思想与方法）

【录课照片】

朱老师的教学设计从教学目标上，主要是促使学生真正理解和掌握数学知识与技能，感悟数学思想方法，获得广泛的数学活动经验；从教学内容上讲，两轮数学探究实验不仅包括物质化的操作实验，更包括探索性的思考过程；从教学形式上讲，包括了观察、猜想、试验、验证、推理、分析、交流、归纳等环节，变维持性学习为研究性学习。

学生在大胆猜想实验操作、分享讨论中得出了 “底等高的圆锥体积是圆柱体积的 1/3” 的结论，多维的实验操作与思考探索，使本节课的重点圆锥的体积计算公式的推导实验教学更具分量。

经过分析我们发现在数学学习中，动手操作是一种非常重要的手段，但动手操作获得的往往是感性认识、直观的结果，而严密推理论证是让学习者从感性认识、直观结果上升到理性认识，体现数学问题本质联系的重要途径。

【探究学习单①】

【探究学习单②】