【教学设计（终稿）】

设计理念： 以学生自主探索为主体，本课设计以学生认识发展规律为主线，以引导猜想问题、发现问题、提出问题、探究解决问题、得出结论为基点，通过实际应用训练使学生在 “认识 — 实践 — 再认识、再实践” 中理解运用知识。在教学策略上，本节课从贴近学生生活的角度出发创设教学情境，充分激发学生学习的兴趣和欲望，让学生在猜想释疑、合作学习和实验操作中，自觉探究圆锥体积公式的推导过程，并运用规律解决实际问题，激发学生探究的兴趣，解决问题的乐趣，逐步提高学生探究知识应用知识解决实际问题的能力。

学情分析： 在学习《圆锥体积》之前，学生已经学会推导圆柱体积公式，认识了圆锥的特征，有了一些推导体积公式的方法，具备了一定的空间观念和学习的方法，能够把新知识与旧知识建立起联系，解决实际问题。圆锥体也是生活中常见的物体的形状，所以在教学时从学生的生活实际和已有的知识经验入手，通过自主、合作、动手操作探究知识，这样符合小学生认知事物的规律。

教材解读： 从教材的编写可以看出，教材加强了与现实生活的联系。加强了在操作中对空间与图形问题的思考，使学生在经历观察、联想、猜测、操作实验、推理等过程中理解和掌握圆锥的体积的计算方法，进一步发展空间观念。就本节课的设计而言，本课 “圆锥的体积” 是北师大版小学数学六年级下册第一单元《圆柱与圆锥》的内容，是在学生学习了 “圆柱的体积” 基础上进行的。在教学设计时先以圆柱与圆锥体容器哪个装得更多引发学生思考，提出本次探究实验的目的，即比较两者的体积大小，找寻两者之间的关系；通过小组合作分别探究等底等高以及非等底等高条件下圆柱与圆锥之间的关系，结合前测学情、采用 3D 技术打印特殊定制数据的学具让学生充分操作体验，自主推导出圆锥的体积公式，进而培养学生的主动探究能力和合作精神，在 “猜测 — 实验 — 结论 — 验证” 过程中发展学生量感。

教学内容: 北师大版小学数学六年级下册第 11、12 页。

教学目标:

1．通过观察、猜测、实验、验证的科学探究过程，理解并掌握圆锥的体积公式，发展学生量感。

2．在学习中感悟科学探究方法，提高抽象推理能力。

3．增强学生自主探究意识，体验数学学习价值与乐趣。

教学重点: 经历实验全过程，能正确推导圆锥体积的计算公式，积累量感经验。

教学难点: 探索不同数据圆锥体积和圆柱体积之间的关系，并能利用量感经验进行抽象推导。

教学准备: 等底等高圆锥、圆柱形状容器 8 组，特殊数据圆锥、圆柱形状容器各 2 组，水槽（水）、塑料杯、勺子、学习单

教学过程：

一、抛问题，引出圆柱与圆锥体积关系

师：同学们，这几日备战校运会，大热天的，你们一定很口渴吧？

生：是啊

师：这时候要是能来杯冷饮一定感觉很美妙，老师给大家准备了两种形状的容器，一种是圆柱体，一种是圆锥体，圆柱体的杯子只能喝 1 杯，圆锥体的杯子可以喝 2 杯，你认为用哪种形状的容器，可以装得更多？

生 1：圆柱体

生 2：圆锥体

师：很好，各抒已见，怎么证明你的猜测是对的？

师：我听明白了，大家说的是，要比较圆柱与圆锥体积的大小，找找两种形状间的关系，对吗？

师：这也是我们今天探究实验的目的（贴板书：实验目的），刚刚同学们的初步判断也是对实验结果的猜测（贴板书：实验猜测）。

师：其实说哪种容器装得多，是容积，但在小学阶段，我们可以将容积与体积合并研究。

（设计意图：以校运会情境导入，激发兴趣，引导生活数学，明确实验目的、进行实验猜测，引出探究圆柱与圆锥体积大小关系的必要性，为后续进行实验奠定基础）

二、探新知，通过实验找关系

1. 探索等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：同学们，空说无凭，数学课就要用数据说话，老师给每个小组都准备了一套圆柱与圆锥，请大家动手操作，用实验结果来验证我们的猜想。拿到学具你打算怎么操作？

预设生 1：比较圆柱与圆锥的底与高，看看是不是等底等高

预设生 2：将圆锥乘满水，注入圆柱，看倒了几次，就是几倍的关系

师：嗯，大家都说得不错，一会我们就按同学们说的这些步骤开展实验，你清楚了吗？（贴板书：实验方法）

师：在实验开始之前你有什么想要提醒同学们在操作过程中需要注意的事项 ？

将圆锥乘满水后，注入圆柱体中，记录注入次数。

使圆柱刚好装满而不溢出。

注入动作要缓慢平稳，以免产生误差。

师：你们很了不 起，说的这些注意事项都能帮助我们在实验中减小误差，提高实验的科学性以及准确性。

师：这次实验的圆柱与圆锥， 底面直径都为 10cm，高都为 15cm。

请大家根据同学们总结出的注意事项小组合作，进行实验操 作（贴板书：实验操作）， 并完成实验报告单①。（做完实验请小组分享汇报实验结果，关注学生回答的完整性）

师：请大家来分享你们的实验结果（巡视过程中找存在操作误差的小组）

预设生 1：我们小组将圆锥乘满水后注入圆柱，刚好倒了 3 次。

预设生 2：我们结果和刚刚汇报的小组一样，也是倒了 3 次。

预设生 3：我们组将圆柱乘满水，总共倒满了 3 杯圆锥。

预设生 4：我们组比 3 次还要多一点（哦？我们一起来分析一下出现这种情况的原因）

师：刚刚我看到有的小组 3 次还差一点点，你能说说出现这种情况的原因吗？

预设生 1：操作过程中每次圆锥没装满。

预设生 2：倾倒的过程中水洒在了外面。

师：你们说的都很有道理，出现误差是正常的，但是如果按照我们之前总结出的注意事项严格操作，就可以将误差降到最低。

师：根据同学们汇报的实验数据，你有什么发现？

预设生 1：圆锥的体积 V 等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。

预设生 2：圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的 3 倍。

预设生 3：圆锥体积是圆柱体积的三分之一。（师：哦，这样表达可以吗？有没有同学有其它意见？别急，我们一会可以来研究一下，这样表达的正确性与合理性）

师：哦，我又听懂了，各组同学都想说的是：圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，对吗？

师：大家都听清楚了没有？谁能完整地把这句话再说一遍？还有谁能说？

（贴板书：这也是我们能今天探究的课题圆锥的体积）大家的意思是这样的对吗？（贴板书：圆锥体积＝圆柱体积的 1/3）

生：不对，还要加 “等底等高”。

师追问：为什么要加 “等底等高”？

生：从实验来看，“等底等高” 这个前提条件下的圆柱和圆锥才有３倍的关系。

师：同学们总结的太到位了（贴板书：等底等高），看来这个 “等底等高” 特别重要值得关注（画重点符号），这也是我们得出的实验结论（贴板书：实验结论）， 可是啊数学学习可不能只停留在动手操作上，你还得会利用数字、字母、符号动脑思考和推理呀，老师想给大家提个更高的要求，能否在刚刚研究的基础上推导出圆锥的体积计算公式？小组内讨论并完成实验单（投屏展示学生推导过程并请代表发言解说，让学生充分发言、充分说）。

生：Ｖ＝1/3Sh (师板书)

并提问：如果有同学在用这个公式的时候不小心忘了 “1/3”，会出现什么情况？

生：那就是圆柱的体积了。

师：真棒！

（设计意图：明确实验方法、操作步骤，探讨操作过程中应该注意的事项，此环节涉及到后面的误差分析，而降低误差的最有效方法就是按照注意事项严格操作，实验开展的科学性、准确性是实验数据准确获取的必要保障；在学生的实验结果汇报中引出课题，同时引导学生关注等底等高这一条件的关注，帮助学生明确：只有在等底等高的情况下，圆柱与圆锥的体积大小才存在这样的数量关系。利用多媒体技术投屏学生的推导过程，请学生当小老师讲解，以学生的生成来突破本节课的重点。）

2. 探索非等底等高圆柱与圆锥之间的关系

师：刚才我们经历了提问 —— 猜测 —— 实验 —— 结论 —— 解决问题的全过程，探索的是等底等高的一组圆柱与圆锥，如果它们的条件发生改变，你们还能准确判断它们的体积大小吗？同学们想不想跟我一起再实验？

师：请看，现在有这样三套圆柱与圆锥体容器，它们的数据是这样的，请大家说一说，你了解了什么数学信息？

生 1：第一套，圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍。

师：非常好，请继续说。

生 2：第二套，圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥底面直径是圆柱底面直径的 3 倍。

生 3：第三套，圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍。

师：表达得很完整，你认为每套中哪个体积更大？（让学生充分表达）

师：好的好的，又有很多意见，将你猜一猜、估一估的结果填在学习单上，你认为每套中哪种形状的容器装得多就在下方打 “√”，如果认为两者同样多那么两者都打 “√”(学生完成学习单 2 分钟)

师：相信大家都有了自己的预判，还是那句话，数学课用数据说话，请你们拿出另一套学具，通过实验来验证你们的猜想吧，一二组探究第一套、三四组探究第二套、五六组探究第三套。

第二轮实验：第 1、第 2、第 3 套学具 （学生探究实验 8 分钟）

师：请实验第 1 套形状的小组来说结果。（汇报时先展示学具说特征、说完整）

生：我们形状的数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍”，我们将圆锥装满水，到了 1 次半就把圆柱倒满了，所以我们判断，圆柱形的容器较大。

师：有补充的吗？（有则补充，无则下一组汇报）

生：在实验前，我就想，圆锥是与它等底等高圆柱的三分之一，现在底相等，但圆锥的高是圆柱高的 2 倍，所以，它们不可能一样大。

师：有道理，思维真敏锐，通过实验再次验证了你们的猜想对吗？

师：请实验第 2 套数据的小组来说说你们的结论。

生：我们实验的数据是 “圆柱与圆锥的高度相等，都是 12 厘米，但圆锥的底面直径是圆柱底面直径的 3 倍”。因为圆柱看起来明显比较小，所以我们将圆柱装满水往圆锥倒，倒了 3 次，所以我们认为圆锥形容器较大。

师：哦，猜想与验证结果一样。了不起。

师：请实验第 3 套数据的小组汇报。

生：我们实验的形状数据是 “圆柱与圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱高的 3 倍”。我们将圆锥乘满水往圆柱里倒，刚好一次就倒满了，所以我们认为这两种数据的容器一样大。

师：与你的猜想一致吗？收获挺大。

（设计意图：采用 3D 技术打印 3 套特殊定制数据的学具，即 “等底、高 1:2”、“等底、高 1:3” 和 “等高、底 1:3”，让学生先将自己估测的结果记录下来，再充分操作体验，验证猜想，突破对 “等底、高成比” 以及 “等高、底成比” 这两种数据的难点，通过前测的学情分析，发现学生对等底等体积，圆锥的高是圆柱的 3 倍这组数据猜想与实际相差甚远，通过亲身经历实验来验证，也利用公式的变形推导出这一重要推论。）

3. 探索 “等底等体积时，圆锥高是圆柱高的 3 倍”

师：刚刚只有实验第 3 套数据的小组发现，圆柱与圆锥体积相等，谁能用数学的语言表述，为什么会这样？能利用我们刚才学习的圆锥体积公式来说一说吗？

生：如果说，圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，现在的圆柱与圆锥体积相等，它们的底也相等，那圆锥的高应该是圆柱高的 3 倍。（如果没有学生立马说出来就组织学生讨论一下）

师：说得太好了，大家听懂了吗？还有谁能说一说。

师：大家说得特别有逻辑，老师把你们的想法再说一遍，你们看对不对？等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。（课件出示，并要求全班同学重复）

生：Sh=1/3×S×（3h）

师：我们从公式的形式上来看，要想与圆柱的体积相等，高度需要为原来的 3 倍才能和前面的

1/3 抵消.

（设计意图：从学情分析前测结果来看，学生对于等底、高 1:3 这类圆柱与圆锥体积大小的判断上存在较大的偏差，超过一半的学生会认为圆锥的体积大于圆柱的体积，因此重点分析该特定条件下两者的体积比较，首先通过在学习单上再次估测发展量感意识，接着动手操作实验验证猜想，最后通过公式变形推导，三方面共同得出 “等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍” 这一重要推论，这也是在课后练习当中会出现的一个难点，放在课堂上着重突破，效果甚佳。）

三、后拓展，引导数学思想与方法

1. 拓展思考

师：更具有挑战性的问题来了，刚才我们验证了圆锥是与它等底等高圆柱体积的 1/3，如果 高度各取一半，等式是否还成立？

预设生 1：不相等，圆柱上下底面积是一样的，圆锥一端是尖一端是圆形，虽然都是装一半，但是它们装的容量是不一样的。

预设生 2： 如果只装杯子的一半肯定是不一样的，如果是体积的一半那就是一样的。

预设生 3：杯子装水部分的底面积发生了变化，如果底面积发生了变化，即使高一样，它们的体积肯定是不一样的。

预设生 4：一个满杯的圆柱体是 1.5 个圆锥体的容量大小，三个圆锥体只装了一半，还没有一个满杯的圆柱体大。

师：大家说的都太好了，你们真棒！今天跟大家上了一节很有意义的课，谈谈这节课你的收获。

生： 圆锥是与它等底等高圆柱体的三分之一，还知道了，等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的 3 倍。

师：这都是很了不起的发现。

2. 研究与解决问题的方法

师：这节课，朱老师跟大家一起，经历了实验探究全过程，同学们说一说，都有哪些步骤？

生：“ 确定实验目的 —— 进行实验猜想 —— 动手操作验证 —— 得出实验结论 —— 应用结论解决问题 ”。

师：好的，同学们，这是实验探究的一般方法，听你们这样说，我竟没有什么可以补充的，谢谢大家。

3. 课后探究

师：小朱还有一个问题要拜托大家帮我想一想，不要急着回答，下节课咱们继续。

在等高等体积的情况下，圆锥的底面积应该是圆柱的几倍呢？哈哈，烧脑吧。

好啦，这节课就上到这里，下课。

（设计意图：本环节引入拓展思考，让学生通过关注底面的变化来分析，夯实知识点，同时带领学生梳理实验探究全过程，总结数学思想与方法）