【2022春】内蒙古包头市东河区同道小学（百所示范校）李佳 6下 《正比例》

本单元在培养学生符号意识方面重点要求学生理解数学符号表达的多样化，能够用可行的数学符号表达式表征问题，知道何时选择何种方法或者寻求更容易简练的数学符号表征方式（表格、图形、关系式）解决问题，对于数学符号的表达是灵活的。而本节课采用了大量表格数据对比分析，感受量与量的相互变化关系，从变化中找到不变的比值，从而探究得出正比例的正确认识。教学过程的处理符合学生符号意识的发展，体现了课程标准中要求学生理解并运用符号表示数量关系和变化规律。

本单元教材安排了四课。分别是《变化的量》、《正比例》、《画一画》、《反比例》。学生在学习《正比例》这一课前，已经通过《变化的量》引导，积累了很多相关的量，有正例和反例。意在帮助学生从中找出了变化的量，同时明白了什么才是相关联的量。学生通过填写表格不难发现，正方形周长和边长的变化，正方形面积和边长的变化。教师在预设中给出学生填写表格的省略号，其实是要丰富学生的边长认识，边长可以有小数、整数、分数，不单单有整数，非常好的一个预设。

学生在上学期已经学过了比的意义，比的简化与比的应用。学生在理解正比例意义时存在困难，教师设计了具体情境 “正方形周长与边长，面积与边长的变量关系的不同特点”，“一辆汽车行驶的时间和路程” 等，让学生明白数学与生活密切相关，体现了数学知识的运用与生活特点，课堂设计灵活开放，锻炼学生的发散思维。

一般学生在学完正比例意义后，对于正比例的感知不够深刻，因此遇到变式题容易误判。因此，本节课老师在用表格的形式将两个相关联的量的变化进行呈现的同时，并在表格后面用了省略号，这一细节的处理，让学生感知变量变化的持续性，这不仅让学生对辨别正比例有了一定的认识，而且为后期的学习奠定了一定的基础。如果本节课能将时间与路程这一对相关量的变化用数线图和表格相结合的形式呈现出来，会更好地体会数量关系。教材采用了学生熟悉的情境，更好的帮助学生进行理解 “正比例”。但是，为了拓宽学生的数学视角，教师可以提供一些例如：高一定，平行四边形底和面积之间的关系；长和宽一定，高与从长方体体积的关系。这样丰富的事例可以为学生后续的学习做一个铺垫。

符号意识主要是指能够理解，并且运用符号表示数数量关系和变化规律，学生在学习数学课程前早已感知到生活中的符号，已经具有一定的符号意识，本节课教师能够充分的认识学生的生活经验和知识背景，结合了具体的情境利用关系式和图像表示变量之间的关系，把实际问题转化为是数学问题，然后进行了教学，推理和运算。教师引入正方形的周长与边长正方形的面积与边长的变化情况，让学生初步感知成正比例量的特征。

　　每个数学符号都有它特定的含义，理解符号的意义是数学学习中最基本的要求，也是培养符号意识的基本要求。但在教学中数学符号的抽象性与中学生思维的具体形象性之间的矛盾，造成了学生理解数学符号内涵的难度。因此，教师应该沟通符号与实际生活的联系，创设适当的生活情境，激发学生的学习兴趣，让学生在生活情境中经历符号的产生形成过程，从而加深对符号的理解。立足需求，培养数学符号引入意识 数学符号引入意识是指在表示数、数量关系和变化规律时，能比较科学地引入相应的符号来表达。这里主要指引入已知数表示不变量、引入字母表示 变量或特定量、引入含有字母的算式表示数量关系 和变化规律等。它不仅指初次接触时能在教师引领下引入符号，更指在以后运用所学解决其他问题时能自觉地引入符号。　　每个数学符号都有它特定的含义，理解符号的意义是数学学习中最基本的要求，也是培养符号意识的基本要求。但在教学中数学符号的抽象性与中学生思维的具体形象性之间的矛盾，造成了学生理解数学符号内涵的难度。因此，教师应该沟通符号与实际生活的联系，创设适当的生活情境，激发学生的学习兴趣，让学生在生活情境中经历符号的产生形成过程，从而加深对符号的理解。立足需求，培养数学符号引入意识 数学符号引入意识是指在表示数、数量关系和变化规律时，能比较科学地引入相应的符号来表达。这里主要指引入已知数表示不变量、引入字母表示 变量或特定量、引入含有字母的算式表示数量关系 和变化规律等。它不仅指初次接触时能在教师引领下引入符号，更指在以后运用所学解决其他问题时能自觉地引入符号。

通过研读李老师的课例，可以看出前期李老师无论是对教材的内容还是对学生的学情都进行了充分的了解和分析，整堂课学习活动环环相扣，逐步向学生渗透、带学生理解正比例这一知识难点。从目标出发，教研室王老师曾说过：学习目标必须是具体的、可测的，学生能达到的。但是细细研读目标，发现有些方面是 “不可测” 的，如 “经历正比例意义的建构过程” 中 “经历” 一词就不能体现出学生要经历到什么层次，还有 “认识正比例” 中 “认识” 一词，要认识到什么程度？也不可测，因此我认为在制定目标的时候要首先考虑到学生，想让他达到什么层次，具体、可测、可操作。

我们知道 “学生是学习的主人，是知识的主动建构者，而教师则是学生学习的指导者，帮助者，合作者....” 秉着这样的设计理念，李老师在设计上力求体现 “以学生发展为本” 的教育理念。学生要成为学习的主人，离不开教师的主导，李老师的设计，给学生留出思考的空间，激发了学生学习的兴趣，唤醒了学生已有的学习经验，找到新旧知识的结合点。同时也为引导学生学会观察思考，发现内在的规律

《义务教育数学课程标准》明确指出，发展学生的符号意识是数学教学的重要内容。在数学教学中，教师要依循学生的认知规律，充分把握学生的认知基础和潜在困难，制定合理的代数教学目标，逐步打开学生的代数之门。 数学的显著特点是形式化、符号化，每一个概念或关系都有确定的符号表示。用符号表示数、数量及其数量关系是代数学的一个基本特征。同时，学生代数思想的形成经历了一个从感性到知性再到理性的应用过程。教学中，教师不仅要引导学生认识符号、理解符号，还要让学生灵活地运用符号、创造符号，不断激活符号生长过程中的各种因子，帮助学生建构数学模型，让学生感受到 “数学模型” 的魅力。 在教学《正反比例的意义》时，通常的教法是：教师单独教学正反比例，导致学生今天学习正比例，就会判断成正比例的量；明天学习反比例，就会判断成反比例的量。教学过程简单化、线性化。如此，有学生在正反比例学习中依葫芦画瓢、简单模仿，尽管能够准确判定两种量之间的关系，但却不能理解两种量之间特定的依存关系。因此老师应在教学中，将正比例、反比例和不成比例的数量联通起来，进行统整优化式的主题教学。如此，学生在学习、判定时没有了固定的模式、套路，而必须根据两个数量之间的变化规律进行合理的分析。让孩子们发现，在这些量中，有的一种量变化，另一种量不发生任何变化；有的一种量扩大，另一种量也扩大；有的一种量增加，另一种量也增加；有的一种量增加，另一种量反而减少；有的一种量扩大，另一种量反而缩小…… 学生通过对多样化素材的分类分析和聚类分析，形成对 “正比例解析式 y/x=k” 和 “反比例解析式 xy=k” 的深刻理解。这个过程发展了学生的代数思维，渗透了数学的函数思想。

数学符号是数学抽象最重要的表征，数学符号其特殊性体现在它是精确的、严谨的，且还可以参与运算。 符号意识的培养有两条途径：（1）让学生亲近符号、理解符号，本节课李老师充分结合生活经验，激发学生的学习兴趣，从而从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，通过一系列活动体会到有的变量随另一个变量的变化而变化，并从变化中看到 “不变”。（2）让学生初步感悟符号表达的优势与作用，理论与实践告诉我们，数学语言的转换训练，也有助于符号意识的建立，在本节课中李老师充分让学生结合实例描述规律，最后归纳总结进行抽象正比例的关系式。

正比例和反比例这一单元是在学生学过比、比例的相关知识上进一步探究学习的内容，要帮助学生更好的理解其中的比例关系，就应当注重符号意识在其中体现的重要性。本单元的第一课时《变化的量》，学生已经能通过列表和画图的形式了解一个量会随另一个量而变化，第二课时《正比例》则着重通过列表的形式，联系生活实例或借助具体情境让学生体会变量之间的关系，感受变化中的 “不变”，进而认识正比例。李老师能通过恰当的问题引导学生观察发现、积极思考，发现规律后让学生尝试用关系式表示，再引导学生自学阅读认识正比例，巩固练习的设计中利用不同事例、反例，一方面能及时考查学生是否能运用正比例的知识进行判断，另一方面还能很好的帮助学生区分两个关联的量和正比例之间的不同，再次加深学生对正比例意义的理解，同时也能很好的渗透函数思想。

通过拜读李老师的课例，可以看出前期李老师无论是对教材的重难点的把握还是对学生的学情都进行了充分的了解和分析，整堂课学习活动环环相扣，衔接顺畅，逐步向学生渗透、带学生理解正比例这一知识难点。教学目标明显具像化，外在化，可实操性较强！让学生逐步明确正比例中变中有不变的具体含义！对我们新教师来说，提供一个很好的教学设计模板！小学生的思维普遍更偏向于具体实际生活中的案例！实践作业设计的时候可以让同学们想一想我们学过的实际生活中的等量关系哪个反应了正比例？比如单价一定，总价和数量成正比例。数量一定，总价和单价成正比例！

李老师的课程主要有以下优点： 1. 导入以正方形的边长与面积的对应关系的变化规律，以及正方形边长与周长的对应关系的变化规律引入正比例的概念，体现了从具体认识到抽象认识的过程！ 2. 新授非常注重学生的学习体验，通过两个表格中的数据对比，引导学生层层深入发现外在的变化规律和蕴含在内部的比值不变的规律！突破了教学难点！ 3. 能做到以学生为主体，规律都是由学生找出的，仅在学生有困难是给予点拨！ 4. 第二个路程与时间的例子主要的教学目的进一步帮助学生理解正比例的含义，并做到了联系生活实际，学以致用，符合新课改的要求。

联系生活，注重体验。 重视数学知识完整建构。 分析和利用信息是学生信息素养的一个重要标准。

课中学生弄清相关联的量，并知道量之间的规律很重要，这是对正比例意义理解的关键，是教学重点，要关注基础弱的学生。

正如李老师提到的符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。纵观本课，帮助学生理解正比例的意义，且能够用字母表示变量之间的关系，加深对正比例的认识是重要的学习目标之一。本节课通过出示表格让学生观察研究变量，感受是一种量变化另一种也跟着变化，教学的设计体现出让学生去发现寻找出表中的规律有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测和验证以及推理计算、证明等活动过程。这样的设计既帮助学生理解了正比例的意义，也让学生在学习的过程中感受到了符号表达的多样化。

《正比例》这一课是在学生已经学习过比的意义、比的化简与比的应用，体会了生活中存在的变量之间的关系，这些都为学生学习正比例奠定了基础。为此，李老师在教学中密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了系列情境，让学生体会生活中存在大量相关联的量，它们之间的关系有着共同之处，从而引发学生的讨论和思考，并通过对具体问题的讨论，使学生认识成正比例的量以及正比例在生活中的广泛存在。这一系列情境也为学生理解 “正比例” 的意义提供了丰富的直观背景和具体案例。教学时从不同的角度（实际生活、图形）提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境.

“正比例的意义” 教学，是在孩子们掌握了比例的意义和基本性质的基础上进行教学的，着重使孩子们理解正比例的意义。正、反比例知识，内容抽象，孩子们难以接受。学好正比例知识是学习反比例知识的基础，因此，使孩子们正确的理解正比例的意义是本节课的重点，让学生能正确判断两个量是不是正比例是本节课的难点，特别是如何让学困生掌握概念、判断时明确的阐述理由尤为重要。新的数学课程标准提倡：引导孩子们以自主探索与合作交流的方式理解数学，解决问题。在本课的设计中，教师本着 “以学生为主体” 的思想，在引导孩子们初步认识了两个相关联的量后，敢于放手让孩子们采取小组合作的方式自学，在小组里进行合作探究，做到：孩子们自己能学的自己学，自己能做的自己做，培养合作互动的精神。

正比例是在学生已经学习了比和学会了分析基本数量关系的基础上进行学习的，是学生学习反比例知识以及进一步研究数量关系的基础，内容抽象，学生不易接受。因此，使学生正确的理解正比例的意义是本节课的重点和难点。实际教学中发现学生容易掌握的是有具体数据的两个量是否成正比例，而离开了具体数据相对就较困难。教学中要引导学生紧紧抓住正比例的意义的条件进行判断，同时体会变量与不变量。

正比例的知识，是北师大版六年级的教学内容，是在学生已经学习了比和比例的相关知识的基础上进行学习的，是学生学习反比例知识以及进一步研究数量关系的基础。也是函数思想的初步认识。李老师本节课的设计把学生学习过程中的分析，发现，探究创新等认知活动凸显出来。使学习过程更多的成为学生发现问题，解决问题，探索研究，创新求异的过程。在这个学习过程中，学生是学习的主人，而李教师是一位组织者，交换与意见的参与者。根据学生的年龄特征已有的知识水平，李老师灵活使用教材，对教学内容进行创造性的加工和处理，最大限度为学生拓宽探究学习的空间，提供自主学习的机会，锻炼学生自主研究新知识，发展了学生的代数思维，渗透了数学的函数思想。

正比例一课充分体现了课标中的符号意识，也体现了数学的函数思想，是学生中学学习比例的基础。如何将这一比较抽象的知识具象的让学生轻松习得，李老师的做法值得我们学习。联系生活实际，找到学生以前解决问题中遇到的常见数量关系入手，将新知与旧知更好地沟通。

学生在六上已经学过了比的意义，比的简化与比的应用。本学期学习了比例，学生在理解正比例意义时存在困难，教师设计了具体情境 “正方形周长与边长，面积与边长的变量关系的不同特点”，“一辆汽车行驶的时间和路程” 等，让学生明白数学与生活密切相关，体现了数学知识的运用与生活特点，课堂设计灵活开放，锻炼学生的发散思维。符号是某种事物的代号，数学符号是人们进行数学的表示、运算、推理和解决问题的重要工具。符号化思想是基本的数学思想之一，是用一般化、形式化认识表示事物的开始。符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。

数学符号意识体现了数学的抽象、推理、模型的基本思想。数学表达本质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达，经过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力已经成为课堂关注的目标。符号意识的培养最终的落脚点应该在于应用，要通过学习已有的数学符号激发他们的符号思考，在正比例这一课中通过周长与边长的关系，学生明白一个量随另一个量变化而变化，比值一定成正比例并且得出正比例关系式。

与凤凰同飞，必是俊鸟。与虎狼同行，必是猛兽。与智者同行，会不同凡响。与高人为伍，能登上巅峰。鸟随随鸾凤飞腾远，人伴贤良品自高。参加完本次数学 “符号意识” 示范课研摩活动，深深感受到符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。它更多地表现为以学生为主体的一种主动运用符号的意识。我们应紧密结合各个知识领域的教学过程，引导学生在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，理解并运用数学符号进行表征、转换、运算和推理、切实有效地发展学生的符号意识。

数学符号是具有简洁性和抽象性的和规范语言，它准确、清晰，具有简约思维、提高效率、便于交流的功能，在数学中，能用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，二用字母表示，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。比如，在正比例这一课中，让学生通过观察正方形的周长与边长的关系，发现正方形的周长与边长的比值是一定的，从而用数学符号表示出这个规律，同时结合生活中的具体事例，让学生体会到数学与生活的联系，而学生在自主探究的过程中，清楚地知道数学符号的重要性与简洁性。

数学的基本语言是文字语言、符号语言和图像语言，其中最具数学学科特点的是符号语言，是人们进行计算、推理和解决问题的一种工具。数学符号简洁、抽象、准确、清晰，具有简约思维、提高效率、便于交流的功能。符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立 “符号意识”，有助于学生理解符号的意义并进行数学思考。符号感是指主动地、有意识地感受和运用数学符号的态度和意识。符号感是数学新课程的核心概念之一，教师在教学中应注意培养学生的数学符号感。本文试图通过 “引‘生活之水’，唤醒符号意识；行‘有效之法’，理解符号含义；用‘有机之材’，深化符号认识” 等方面，探究如何去培养和发展学生的符号感，提高学生的数学素养。

数学学习是一个思考的过程，没有思考就没有真正的数学学习。数学课程标准倡导：引导学生以自主探索与合作交流的方式理解数学，解决问题。李老师在教学中利用表格，创设学生熟悉的一系列生活情境（正方形边长与周边，边长与面积的关系、速度恒定，路程与时间的关系、单价恒定，总价与数量之间的关系等），与正比例的意义进行联系。让学生独立填表，目的是让学生经历这样的一个过程，让学生在填表的过程当中，强化学生对于概念表象的建立。通过学生独立填表让学生多次感知 “变” 与 “不变”，在感知 “变” 与 “不变” 过程中体会 “相关联”，以此来理解正比例的意义。让学生通过观察分析、归纳概括、拓展提升等系列的学习活动，这样安排教学使学生经历了正比例意义的建构过程。整个教学过程使学生在观察中思考，在思考中探索，在探索中交流，在交流中获得了新知。

符号意识的建立与培养，是需要一个长期的循序渐进的过程。到了六年级应该把数学符号八大类整理建立成网络状，全部展示给学生，让每个学生在头脑中形成清晰的认识，在教学中，我要帮助学生理解符号的意义，逐步引导学生经历 “具体情境→抽象的符号表示一→深化应用” 的过程，促进学生符号意识的形成。

建构主义理论认为，教学不能无视学习者已有的知识经验，简单强硬地从外部对学习者实施知识的 “填灌”，而应当把学生原有的知识经验作为新知识的生长点，生长新的知识经验。数学符号意识的形成同样应该遵循这样的规律。

@未完待续 感谢老师一同交流分享，几次调整希望能把更多地学习体验交给孩子们，在孩子们探索发现的层级上再带领孩子们提升思维，从用自己的生活化语言表征正比例关系，到用数学式子几组相同的比，再到更简明的数量关系式，最后抽象到一般化的字母式，给了孩子们探索方向，孩子们是能够不断递进式的学习的。而且能在不同的表征中理解正比例，感谢老师多多提建议。

今天再次观看了课例，课中结合具体事例经历认识成正比例的量的过程，让学生知道正比例的意义，能判断两种量是否成正比例关系，也让学生找到生活中成正比例的实例，并让学生进行充分的交流。学生由数学符号意识的认识上升到与实际生活相结合。孩子们学习过程螺旋上升。非常值得我们学习

李老师通过探讨正方形的周长与边长、正方面积与边长的变化关系活动，让学生初步感知两个相关联的量一个量的变化引起另一个量的变化。在探究两组变量的变化规律是否相同的活动中，学生会用数量关系表达变化规律，符号意识初步形成。通过探究路程与时间的变化规律，学生能用数量关系表达变化规律，符号意识进一步加强。正比例的意义初步建立。根据正比例的意义判断周长与边长，面积与边长是否成正比例，强化正比例的应用。最后李佳老师鼓励学生用一个关系式表达正比例的变化规律，学生尝试用字母关系式表达。符号意识得到提升。

符号意识的内涵是代数思想。符号是数学抽象的特殊表征形式，不仅在代数领域如此，而且在几何领域也是如此。用字母表示数不仅仅是 “简洁”，更是由特殊到一般的归纳、总结。本节课，李佳老师引导孩子们独立思考，合作交流，用文字语言表达自己观察发现的规律并用简洁明了的数学语言进行提炼，含有字母的关系式使表达和交流更方便，也让孩子们将正比例关系式在脑中建模。本课的学习为后续相关知识的研究打下了坚实的基础，更为孩子们今后学习数学，研究数学指明了方向。

数学离不开符号，数学处处要用到符号！数学语言就是一种概括性的符号语言！怀特海曾说 “只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述与论证带来的极大便利！” 在小学数学中，学生接触到的数学符号从最简单的加号，减号，乘号，除号！继而深入到面积周长计算公式，小数点，分数线，方程等等！北师大版数学六年级下册的正比例一课主要是想让学生体会并能说出两个相关联的变化的量之间，一个量增大，另一个量也随之增大！且两者之间比值不变！正比例一课是初小衔接的重要一课，为后期正比例函数的学习奠定具体形象化的基础！李佳老师的正比例一课思路清晰，环节紧凑，重难点突出，设计合理。学生的课堂习惯非常好，每个人都能积极得参与到课堂中，课堂效果非常好！整节课的教学设计的每个细节都值得我们年轻教师研究推敲，并内化于心，外化于自身的日常教学中！

与现实世界中的符号不同的是，数学符号不仅可以表示数学对象数学运算和推理过程还可以概括一般性结论我们可以这样认为，数学符号是对内容的压缩，即将相关内容关联为一个整体组块后的标签，或者类似一组信息的代码，有利于在心智中存储和提取：之后可根据实际需要通过符号的运用将被压缩的内容重新 “展开些，并进行有意义的拓展。以数学符号为载体的数学运算使思维可以脱具体情境而仅关注于符号以及符号法则本身，促使学习者进行纯粹的理性思考和逻辑推理，这有利于数学思维的训练与发展。同时，符号为学习者进行反思提供了实体的对象，即无论是用数学符号记载对象还是记载过程，它在心理上：的一个作用就是为数学观念、关系或规律找到化身，使其实体化、具休化，即符号的记号功能，这意味着学从内容取得了被深刻思考的可能。

每个数学符号都有它特定的含义。理解符号的意义是学习数学中最基本的要求，也是培养符号意识的基本要求。但在教学中，数学符号的抽象性与学生思维的具体形象性之间的矛盾，造成了学生理解数学符号内涵的难度。李佳老师的授课，在符号与实际生活中进行了联系，熟悉的生活情景，激发了学生的学习兴趣，让学生在生活情境中经历符号的产生、形成过程，加深了对符号的理解。

听了这节示范课和关于符号意识的专题讲座，对于我内心的触动非常大，对培养学生 “符号意识” 这一核心素养有了更具体和更深刻的认识。李佳老师教学从生活的具体情境出发，引发学生思考，打破学生头脑中 “不变的量”，重新建构 “两个变量”，这是一次思想上的飞跃。听了符号意识的专题讲座，让我明白 “符号意识” 和 “数学能力” 是不同的。符号意识是学生长期积累的，数学能力是可以通过方法短期提升的，数学能力强不代表符号意识高。因此，作为数学老师，应该从一年级学生在接触数字开始就要有意识的培养。小学数学是打地基，只有地基打的稳、打的牢固，学生在进入初高中学习更高阶的数学知识才能如鱼得水、游刃有余。所以，同仁们，小学教师任重而道远，让我们一起加油吧！

李佳老师这一课从周长和面积具体情境中描述等量关系，能有效帮助学生经历将现实问题抽象成等式的过程，在这里进行符号意识的渗透，有助于帮助学生积累将等量关系符号化的活动经验。在整个教学过程中，要让学生明确是哪些数学符号在发挥作用，促使正比例字母表示形式的的形成。

新课程标准中指出 “：课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感，符号感，空间观念，统计观念，以及应用意识与推理能力。还指出符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示；理解符号所表达的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换，能选择适当的程序和方法来解决用符号所表达的问题。” 从上面我们可以看出新课标非常重视符号感的培养。听了李老师教学《正比例》一课，李老师积极利用了学生的自我观察，给于了学生一些较为形象具体的表格形式进行对比、分析。从而让学生能轻易地发现两个数量间的变化关系。在观察和对比了以后在进行意义的概括。由浅到深逐步慢慢转化为对文字的叙述的判断。不仅对正比例意义的理解还涉及到学生对一些数量关系的掌握情况。本节课的教学并不仅仅停留在数量关系上，而是要从一个新的数学角度来加以研究，用一种新的数学思想来加以理解，用一种新的数学语言来加以定义。表格中体现变中的不变，数量关系转化成用字母表示由具体到一般化得过渡，有层次的把符号化思想从朦胧状态转化到与小学数学的完美融合，这样教学设计的思路相当清晰。

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。 符号意识是一个长期积淀的过程。其实，学生入小学前就有符号意识。上小学后，我们从一年级用数表示事物数量，用符号表示数的大小，及用运算符号表示数的运算。后续我们学习了用字母表示数等到六年级的正比例，根据学生的年龄段，我们对学生的符号意识在同一纬度划分了不同的水平层次。六年级的学生在每个纬度中的水平都达到了较高的层次。而学生在每一次的学习中，北师大教材都为学生提供了丰富的情境。在正比例这节课，北师教材提供了正方形周长、面积随着边长变化的表格，让学生通过观察表格谈发现。李佳老师采用多媒体形式将表格内静态的数据动态话，让学生更直观地感受到一个量随着另一个量变化。课上丰富的情境，让学生体会到正比例在生活中无处不在，将符号意识生活化。

符号意识的培养要在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学过程中进行。从小学开始，教师就要有针对性地引导学生进行符号意识的培养。可以利用数学符号进行表达，并实现符号转化；从具体问题中抽象出数学符号。可以运用数学符号推理，进行抽象运算，能理解数学符号的不同含义，能识别不用的数学符号，以帮助学生体验数学符号的价值。

正比例是小学数学里的重要内容之一，教材突出正比例关系的图像及应用，重视正比例与现实生活的联系，淡化脱离现实背景判断比例关系，不安排应用正比例关系解决实际问题。李老师在教学中突出重难点认识正比例意义，结合生活实例，让学生从变化中看到不变，体会并理解正比例的意义；借助直观图像帮助学生认识变化规律。

用图像直观表达正比例关系。调动学生的积极性与数学活动经验，联系正比例的概念体会生活中的正比例关系，形成新的认知结构。

建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助学习是获取知识的过程其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。学习环境中的情境必须有利于学生对所学内容的意义建构。这就对教学设计提出了新的要求，在建构主义学习环境下，教学设计不仅要考虑教学目标分析，还要考虑有利于学生建构意义的情境的创设问题，并把情境创设看作是教学设计的最重要内容之一。 李佳老师在教学过程中第一步情景导入做到这一点。 接下来的探究方式，引起学生兴趣和深入思考与当前学习对象密切相关的问题，以便全班学生带着这些问题去探究。这一环节至关重要。

符号的抽象，重在帮助学生体会抽象数学符号的过程，让学生感受数学符号的抽象步骤，积累数学学习的经验，并及时归纳，经历数学知识的形成，体会数学学习的魅力。教师重点让学生理解正比例的意义，依据正比例的意义判断两个量能否构成正比例关系。通过具体、多次的深入探究，发现规律，并进行推理，归纳出满足正比例的条件。在此基础上，教师有意识地让学生用字母来表示相关联的变量关系，使学生在符号抽象过程中，体验数学符号的抽象，进聚焦符号意识，发展数学素养。

在本课的设计中，老师本着 “以学生为主体” 的理念，运用启发式的教学原则，给学生以充分交流的时间、空间，组织学生以小组的形式，进行合作交流，使学生把探究中的发现，通过相互交流的形式进行展示，使每个学生不仅学到了新知，在其他方面也得到了全面提升。 例如在生活中应用数学。学习数学目的是运用数学，也就是为了解决身边的数学问题。为此，在归纳总结出了正比例的意义后，李老师安排了让学生说说生活中的一些正比例关系的例子，培养学生综合运用知识的能力，从而体会到数学离不开生活，生活也离不开数学。

为了及时巩固新知识，在练习的设计上，李老师除了设计理解正比例意义题型之外，重点设计了对学生运用正比例意义去判断生活中两种相关联的量是否成正比例的题型，做到由浅入深，循序渐进，学生在练习中得到发展。

李佳老师在教学设计二稿中对一稿的补充与反思，是教师在反思中进步。反思整节课教学，体现了 “以学生自主探究为主” 的教学方式，既关注了学生的学习过程，又使学生在交流评价过程中情感、态度、价值观等方面获得丰富的体验，可以较好的实现事先的教学设想。

正比例意义这一内容是在教学学完比和比例的知识的基础上进行教学的，着重使学生理解正比例的意义。从内容上看，“成正比例的量” 这一内容，在整个小学阶段是一个较抽象的概念，他不仅要让学生理解其意义，还要学会判断两种是否是成正比例的量，同时还要理解用字母公式来表示正比例关系，要渗透给学生一些函数的思想，为以后初中学习打下基础。

对于学生来说，数量关系并不陌生，在以前的应用题学习中是反复强调过的，但是还是有一部分的学生是对数量关心的掌握是非常不理想的。本节课的教学并不仅仅停留在数量关系上，而是要从一个新的数学角度来加以研究，用一种新的数学思想来加以理解，用一种新的数学语言来加以定义。因此在题中老师让学生大量的复习了常见的数量关系，并且联系教材复习了教材及练习中涉及到的一些数量关系，渗透了难点。对于一些学生较容易出现错误的题目进行重点的讲解。象看一本书，已看的页数和看的页数是否成正比例…… 等等。 但是在教学中同样也感觉到，由于这个概念比较长，对于学生来说要真正完整的记忆下来是比较困难的。所以老师也可教给学生一定的方法，抓住句中的重点，通过理解来记忆。让学生通过相互之间说，前后同桌检查，达到对该概念的熟练叙述。

正反比例关系是比较重要的一种数量间的关系。但是如何准确地把握这一关系的判断方法那是非常重要的。在教学中李老师积极利用了学生的自我观察，给于了学生一些较为形象具体的表格形式进行对比、分析。从而让学生能轻易地发现两个数量间的变化关系。在观察和对比了以后在进行意义的概括。逐步慢慢转化为对文字的叙述的判断。对正比例意义的理解还将涉及到学生对一些数量关系的掌握情况。

这一教学内容的教学重点和难点都是让学生理解正比例的意义。它是以后用比例解答应用题的关键。学习对正反比例的判断，才能够准确地对应用题中所出现的量进行判断，才能准确地列出比例或者方程解题。

先呈现正方形的周长与边长、面积与边长的变化情况，以及相对应的图像，让学生感知它们的变化不同，再通过两题成正比例关系的量的变化情况的表格来让学生认识正比例的意义。遵循学生的认知规律，创造性地使用教材。?

小学生学习数学是一个思考的过程，“思考” 是孩子们学习数学认知过程的本质特点，是数学的本质特征，没有思考就没有真正的数学学习。本课教学中，李老师注意把思考贯穿教学的全过程，让孩子们通过观察两个相关联的量，思考他们之间的特征，初步渗透正比例的概念。这样的教学，让所有孩子们在观察中思考、在思考中探索、提高了学习的效率。

数学来源于生活，又服务于生活。关注孩子们已有的生活经验和兴趣，首先让学生从已有知识中寻找相关联的两个量，然后通过呈现现实生活中的素材相关联的量引入新课，使抽象的数学知识具有丰富的现实背景，为孩子们的数学学习提供了生动活泼、主动的材料与环境。

新的数学课程标准提倡：引导孩子们以自主探索与合作交流的方式理解数学，解决问题。在本课的设计中，李老师 “以学生为主体” 的思想，在引导孩子们初步认识了两个相关联的量后，敢于放手让孩子们采取小组合作的方式自学，在小组里进行合作探究，做到：孩子们自己能学的自己学，自己能做的自己做，培养合作互动的精神，从而归纳出正比例的意义。

体现了教学比较法对比性，合作性，深刻性的特点。

数学符号意识应该同时具有数学、符号、意识这三个方面的特征，包括数学学科上知识本身的价值感悟、符号学上符号的抽象性的对应关系、心理学上思维引导下意识的心理倾向和行为能力。因此，所谓数学符号意识，即学习者在数学思维的引导下，对数学知识与数学符号之间抽象对应关系的一种积极主动的行为反应和心理倾向，通过感知与理解数学符号的内涵，借助数学符号进行运算与推理，最终实现符号交流与表达等数学思维方式，在解决数学问题过程中所表现出来的一种数学符号的核心素养。

数学符号意识形成的前提是数学基本活动经验的不断积累，主要体现在思维的经验与实践的经验。学生能否具备符号意识，关键是学生是否具备相应的经验基础，是否能够利用自身的经验去解释数学符号所代表的数学意义。例如，在学生认识了 1-5 以后，教学几和第几的认识，让学生联系生活经验体会一个数可以用来表示物体的个数，也可以用来表示物体排列的顺序。再比如，当两个物体同样多时，可以用等号来表示。如果学生经验不足，尤其没有数学活动经验作为支撑，学生很难积极主动的建立起数学符号意识。

教师在本节课的教学当中能够利用微课导入，大大激发了学生的学习兴趣，同时也利用微课引出本节课所要讲的内容。在新课教学环节当中，教师让学生先大胆发现，这样为学生在原有认知基础上提供了成长空间，然后根据学生的发现，引导学生用动态的角度和对应的角度去看待变量关系，正方形边长和周边是学生熟悉的数量关系，但学生原有认知是常量，套用公式计算，引导学生在变化中分析关系是正比例意义学习重要的经历，老师在本节内容中不断引导学生在变化中发现不变，学生能从表格中部分数据分析出未呈现的其他数据，就是在用运动的、对应的角度看待关系，正比例的不是简单的给出定义，学生只会套定义判断。练习中老师呈现出分层训练，从表格数据呈现判断关系，到加油站情境中让学生剥离数据，分析变量关系，脱离数据分析关系对学生来说是难点。

李佳老师通过一般数量关系的学习，将正比例关系从具体的数量抽象到用字母表示关系，用数学符号代替具体事物，感受数学知识中的变与不变，实现了数学学习中用符号交流与表达的数学思维，形成了学生学习中的高阶思维。《正比例》教学第二讲设计自然、例子适切、课中思维的碰撞都是本课优势。

有幸参与了李佳老师的第一次试讲，在第一次试讲中李佳老师以符号意识为主线，通过不同的生活情境让学生感知正比例的意义，先鼓励学生用数学语言、数量关系表达两个变量之间的变化关系，然后鼓励学生用字母关系式表达正比例。听完课后感觉学生对于正比例的意义的认识过程过于快了，还没有充分理解正比例两个变量之间的变化关系与变化规律。学生对于用符号表示正比例的变化规律也像是被老师挤牙膏似的，一部分随着老师的追问而去思考去表达。大部分学生没有充分理解符号的简单、便捷，符号意识落实不到位。

第一次试讲之后，我们团队坐下来又一次进行深入的研读教材，充分理解教材的编排意图，第一问题串，是学生在观察两组变量之后明白，相关联的两个量一个量随着另一个量在变化。第二个问题串，是让学生明白，相关联的两个量变化规律不同，有的比值不变，有的比值不一定。第三个问题串，是让学生明白，相关联的两个量，一个量随着量一个量的变化而变化，且比值一定，就成正比例。而且教材是在具体的情境中对正比例进行定义，没有概括与提升，符合学生认知水平。教材编排的特别好，层层递进，步步深入。有了对教材的透彻理解，我们的教学就有了方向，在教学中加入学生的观察、思考、辨析、表达与多情境的体验。

第二次试讲我也参与了，这次试讲李佳老师完全按照新世纪教材中的活动进行教学，李佳老师充分让学生观察表格，表达表格中自己的发现。在教学中李佳老师根据学生的表达引导学生观察方向是横向与纵向，潜在教给学生观察的维度。在学生表达变化规律时，李佳老师引导学生从而从变中找到不变。通过追问引导学生怎样简单的方法表达变化规律，学生在任务的驱动下，从生活化的表达走向数学化的表达再到符号化的表达，符号意识随着教学进程，逐步提升。听课之后，我思考，路程只能用 y 表示吗？时间只能用 x 表示吗？速度只能用 k 表示吗？学生对于符号所代表意义深入吗？

六年级学生具备一定的分析综合、抽象概括的数学能力。在学习正比例之前已经学习过比和比例，以及常见的数量关系。本节课在此基础上，进一步理解比值一定的变化规律。学生容易学握的是：判断有具体数据的两个量是否成正比例；比较难掌握的是：离开具体数据，判断两个量是否成正比例。

此数学活动建立在了学生认知发展水平和己有的知识经验基础之上，强调从学生己有的生活经验出发，让学生亲历实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解。

苏霍姆林斯基说：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中这种需要特别强烈。” 正比例的一课上完后，更加深刻的体会到这一点：学习活动的主体是学生，开放型的教师不是 “教教材”，而是 “用教材教”。开放型的数学教师不仅关注学生的智慧生命，还关注学生的情感价值生命。教师的教学过程也是和学生共同探索、体验、发现的过程。

教学思路清晰，整节课师生互动性强。教师引导恰当、组织得当。

通过观察，讨论，交流得出正比例的意义。学生掌握所学内容，并且会判断相关联的量成正比例关系。媒体运用恰当，设计科学合理，效果不错。

课前教师能充分准备，熟练运用多媒体组织教学。教学过程流畅，重点突出。教学中能注重让学生在讨论中理解问题，探究问题。

本节课，教学目标明确，过程流畅。学生通过分组讨论，自主探究的学习方法，成功地掌握了学习的目标。整节课师生互动性强，讨论氛围浓厚，学习效果较好。

根据教材和内容的特点，李老师选择了师生互动，以教师的 “引” 为主导，学生为主体 让学生在互动交流中去理解成正比例的量 这一概念。首先，让学生弄清什么叫 “两种 相关联” 的量，老师引导学生从表格中去发 现时间和路程两种量的变化情况。其次，教 师进一步引导学生考虑路程随着时间的变 化而变化，在这一变化过程中，有什么规律 呢？学生看了表之后，发现路程和时间比的 比值是一样的。让学生理解相对应的路程和时间的比的比值都是一定的，从而突破了正比例关系的第二个难点。两种量中相对 应的两个数的比会一定。把学生对成正比例 量的意义的理解成一系统。由于学生还是第 一次接触这一概念，之后的学习还是让学生 对比着情境一正方形周长与边长成正比例来自己理解正比例关系。最后，在两个例题学习的基础上总结出成正比例量的意义，把这意义从局部的路程和时间、竿影的长与竹竿的高推广到其他数量之间的关系。

主要优点有以下几点：1、新授课前先寻找生活中的量，为新课做了很好的铺垫。2、注重学生的体验，所有由于条件的限制没有让每个学生都进行真实的实验，但是能精心制作课件，运用课件帮助学生理解 “相关联的量”，突破了教学的难点。3、能做到以学生为主体，“规律” 都是由学生得出，在学生完成有困难时及时的给予点拨。4、教学时能紧密的练习生活实际，做到学以致用，符合新形势下的教学理念。

李⽼师教学思路清晰，课堂上，让学⽣⾃⼰观察，⾃⼰⽐较分析，⾃⼰归纳，来发现正⽐例量的特征，并尝试抽象概括正⽐例的意义，提⾼学⽣分析、判断、概括、推理能⼒，突破了难点。

李老师课堂对注重对符号意识的培养，师生互动，给了学生充分的时间和空间进行思考和探索

符号是数学的言语，是数学存在的具体化。学可数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义，会运 用符号解决实际问题和数学本身的门题，发展学生的符号意识。《正比例》这一课要让学生感受两个量的变化情況，以及这两个量比值的大小，在感知的过程中体会数学 与生活的联系，将数学知识应用到生活中。本节课的设计是在学生学习正比例图像的前一课时，在学生感受怎样的两个量成正比例，再联系到正比例图像的实际意义上，符号这一数学语言便在不知不觉中有了感知。

《正比例》一课通过研究正方形边长与正方形周长、面积之间的关系，探讨在速度一定时，路程与时间之间的关系，让学生对正比例有了初步的认识，李老师在课堂上注重培养学生的探究意识，从特殊到一般，最终让学生明白成正比例关系的两个量之间存在什么样的关系，进而能够判断两个量是否成正比例。本节最后还得出了成正比例的两个量的字母表达式，渗透符号意识，感受数学符号的简洁性与一般性，进而能够用符号解决问题。

《正比例与反比例》是北师版六年级下最后一个知识单元，也是学生初步认识函数的开始。学习《正比例》前学生已经具备了用字母表示数的能力、会分析基本的数量关系以及认识了什么是变量。由于每个符号都有特定的意义，理解符号的意义是数学学习中最基本的要求，是学生的思维不断向代数思维转换，从对数量的理解转向对关系的探讨，通过学习正比例的意义，逐步引入字母数量关系，让学生在生活情境中经历符号的产生与形成过程，从而加深对符号意义的理解，培养学生的符号意识。

能够理解并且运用符号表示数，数量关系和变化规律，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。著名教育家陶行知做了这样一个比喻：我们要有自己的经验做 “根”，以这经验所发生的知识做 “枝”，然后别人的知识才能接的上去，别人的知识方才成为我们知识有机体的一个部分。因此教师要积极组织安排基于学生数学学习需要的数学活动，促进学生积极主动的 “经历” 走向 “经验”，不断积累、丰富和提升数学活动经验。

正比例是《正比例和反比例》这一单元的第二课时，李老师课上通过微课导入，注重学生的体验，从周长与边长、面积与边长，以及路程、时间和速度不同的变量去感受、区分正比例的特点，最后的习题呈现直观而深刻，通过一个加油的小视频让学生清楚地感受到正比例的特点，也感受到了正比例在生活中应用。

本节课是北师大版六年级下册《正比例与反比例》这一单元的内容，正比例是在学生已经学了比和比例的知识基础上进行的，是学生学习反比例知识以及进一步研究数量关系的基础，内容比较抽象，学生不易理解。李老师通过实例让学生看到每一组中的两种量的变化情况，引导学生初步发现 正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加，再通过对比这两组量的变化的区别，从变化中看到 “不变”，使学生初步体会周长与边长、面积与边长之间的变化规律不同。接着再结合 路程和时间这两个变量关系的研究，丰富学生认识正比例的认识，初步理解正比例的意义。本单元的学习也为初中函数的学习奠定了知识基础和学习经验。纵向来看，本单元的学习是学生从对数量的理解转向对关系探讨的又一转折点。

本单元的核心素养之一就是符号意识。符号意识的培养对于小学生来说，显的非常重要，学习《正比例》前学生已经具备了用字母表示数的能力、会分析基本的数量关系以及认识了什么是变量。并且能理解符号的意义，理解符号意义是培养学生符号意识的前提，本节课通过学生正比例的意义，最后引入用字母表示数量关系式，渗透符号意识，感受数学符号的简洁性与一般性，进而能够用符号解决问题，应用符号解决问题是发展学生符号意识的最终目的。

本单元学习了比例，其核心素养之一就是符号意识，符号化思想是基本的数学思想之一，是用一般化、形式化认识表示事物的开始。符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。李老师通过实例让学生看到每一组中的两种量的变化情况，引导学生初步发现 “正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加”；再通过对比这两组量的变化的区别，从变化中看到 “不变”，初步体会周长与边长、面积与边长之间的变化规律不同。然后再结合 “路程与时间” 两个变量关系的研究，丰富学生认识正比例的例证，初步理解正比例的意义，并且通过出示表格让学生观察研究变量，感受是一种量变化另一种也跟着变化，教学的设计体现出让学生去发现寻找出表中的规律有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测和验证以及推理计算、证明等活动过程。这样的设计既帮助学生理解了正比例的意义，也让学生在学习的过程中感受到了符号表达的多样化。

正比例这个概念需要从大量的数据和关系式中能够抽象出比的关系，用字母的特殊性代替数据的一般性，更直观，更能体现出正比例的本质关系。学生在转化成符号的过程就是对正比例关系的分析的过程。那这个符号意识就是众多的变量关系中抽丝剥茧出正比例的 “比” 的形式，从而找出 ' 不变量。头脑中建立符号意识，就是抓正比例本质的过程

从具体事物中找到事物的共性、本质，通过对具体事物的比较寻求一般，再把个别事物归入一般的概念，得到一个普遍概念，是归纳和定义的过程。李佳老师二稿反思中提到正比例的表征从具体到一般，变量关系的多种表征要沟通关系与辨析说明了这一过程。

创设情境、抓住动机、开设活动、激发学生主动性、融入生活。

李佳老师执教的《正比例》，第 41 页到 42 页的内容，李佳老师教学思路清晰，课堂上让学生自己观察，自己比较分析，自己归纳来发现正比例量的特征，并尝试抽象概括正比例的意义，提高学生分析、判断、概括、推理的能力，突破了难点，举了两个人喝水的例子，体现了数学知识运用与生活联系的特点，课堂设计灵活开放，锻炼了学生的分散思维。

本单元是在学生已经学习了比和比例等知识的基础上进行学习的，主要学习正比例和反比例的相关知识。我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度研究变量和变量之间的关系，将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。我们知道，函数是研究现实世界变量之间关系的一个重要模型，函数思想就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式，也不需要学生掌握 “函数” 和 “函数思想” 的名称，但进行函数思想的渗透的教学是必要的。本单元的正比例、反比例就是两个重要的函数关系。其实，在本单元学习之前，学生学习的探索数、形的变化规律，字母表示数等，已经为学生积累了研究变量之间关系的经验。学习正比例和反比例后学生可以运用运动和变化的观点、集合和对应的思想分析问题的数量关系，也可以使学生懂得一切事物都是不断变化且相互联系的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律，也可以为学生以后进一步学习数学、物理等知识奠定良好的基础。

符号是数学中特有的，是数学的语言、工具和方法。因此，符号是针对具体事物抽象概括出来的一种简略性的记号或代号。数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。数学符号具有抽象性、明确性、严谨性、简略性和通用性等特性。 符号意识与符号不同，它是指学生在数学学习中产生的一种积极的心理倾向，是学生在感知、认识和运用数学符号时产生的主动性反应。对比两者可以发现，符号意识就数学课程目标的价值取向而言，和数学符号的本质更为一致。学生在学习中，无论是认识数学概念，还是进行问题解决，都会用到数学符号表征所研究的对象。由此可见，数学符号的使用并不是只停留在潜意识中的直觉，而应是一种积极运用符号的心理倾向。小学阶段发展学生的符号意识是数学教学的重要培养目标。

学生在之前学习用字母表示数和运算律的过程中对变量的思想有了一些初步的感知，但真正用函数的观念探索两种相关联的量的变化规律是从正比例开始的。因此 “正比例” 这部分内容是学生学习数学的重要转折点，通过学习正比例的意义，逐步引入字母表达式，让学生经历符号的形成过程，加深对符号意义的理解，培养了学生的符号意识。

“符号意识” 是数学课程标准中提出的数学十大核心概念之一。对于小学数学教师来说，要想在教学中落实好这一重要的数学核心素养，必须深入理解其本质，并在教学中适时放大 “用符号表达” 的作用，引导学生理解符号的含义，了解符号的历史，教师在教学过程中要运用画图等多种有效的教学策略，从而培养学生的符号意识。

正比例的学习进一步培养学生观察、分析、综合和概括等能力，让学生掌握判断两种相关联量成不成正比例关系的方法，培养学生判断、推理的能力。

《正比例》这一教学内容是在教学过比和比例等知识的基础上进行教学的，着重使学生理解正比例的意义。比例是建立在比的关系的基础上的，所以必须让学生回顾明确什么是比和比值。两个数相除叫做这两个数的比，所得的商叫做比值。比有两种写法，一种是比号写法，另一种是用分数写法。只有比值一样的两个比才能组成比例。 从内容上看，“成正比例的量” 这一内容，在整个小学阶段是一个较抽象的概念，他不仅要让学生理解其意义，还要学会判断两种是否是成正比例的量，根据教材和内容的特点，应选择师生互动，以教师的 “引” 为主导，学生为主体，让学生在互动交流中去理解成正比例的量这一概念。

在《正比例》的教学中利用了学生的自我观察，给予了学生一些较为形象具体的表格形式进行对比分析 从而让学生能轻易的发现两个数量间的变化关系。在观察和对比了以后再进行意义的概括，由浅到深，逐步慢慢转化为对文字的叙述的判断，本节课培养了学生使用符号进行一般性的运算。

数学符号意识的培养会经历从生活经验到抽象概念，再到具体运用的思维形成过程，也是学生对符号概念的表象经验进行整理、厘清、改造、重组，发现并掌握数学概念的本质特征及一般规律，最终内化为自身符号意识，并将其运用于实践的过程。因此，教师应当注重设计实践活动，创设生活化的 “反思性” 和 “应用性” 情境，帮助学生尝试将初步掌握的符号运用于实际生活之中，不断巩固、印证习得的新符号知识，最终形成符号意识并提高符号运用能力。

小学生学习数学是一个思考的过程，思考是孩子们学习数学认知过程的本质特点是数学的本质特征 。可以说没有思考就没有真正的数学学习，在《正比例》这节课中李老师把思考贯穿教学的全过程 让孩子们通过观察两个相关联的量，思考他们之间的特征 初步渗透正比例的概念，这样的教学让所有孩子们在观察中思考，在思考中探索，在探索中获得新知，大大提高了学习的效率。

学生在对比正方形的面积与边长，周长与边长这两种量的变化区别，从变中看到不变，揭示两种相关的量的内涵。为下一环节正比例的意义解释做了充分的铺垫。 学生通过自学阅读正比例的材料，通过对比，揭示量的变化规律，由学生自主发现，探究出正比例的意义。

本节课学生应该具备的符号意识有三个层次，第一层次生活化的语言，第二层次数学化的语言，第三层次符号语言。学生用生活化的语言表达，李老师逐渐引领学生用数学化的语言，最后到符号语言，是潜在的培养学生符号意识。虽然符号意识的培养不是一朝一夕的事情，但这节课后学生符号意识会有很大提升。

看了你们团队的教研总结，可以看得出每位老师都非常的认真研磨本课，每位老师都有自己的思考。也相信经过这次教研活动，你们整理出来新的教学设计会更加的顺畅。能让孩子们更加的正比例的意义以及应用符号意识的必要性。

我回顾了你们团队的研究过程，我在思考，小学阶段的符号阶段正处在处于承上启下的位置，在课堂教学过程中，我们作为教师要让儿童经历创造符号的过程，让儿童经历读懂他人符号的过程，让儿童经历符号优化的过程；因此需要我们教师放慢抽象的过程，把连接处打通。

《正比例》的学习是在学完比和比例以后进行教学的，着重使学生理解正比例的意义，正比例这一内容在小学阶段是一个较抽象的知识。李老师在本节课上，不仅要让学生理解其意义 还让学生学会判断两种量是否成正比例，同时涉及用字母公式来表示正比例关系，还给学生渗透了一些函数的思想。

倍是两个量之间的关系，倍的认识对学生认识数应该是一次飞跃，因为以前学生认识的都是一个具体的数，而倍是两个数的关系。接着是比，也是两个数，正比例和反比例对学生认识数应该也是另一次重大的飞跃，因为倍和比虽然是两个固定量的关系，也就是说他们是不变的，但是正比例和反比例的两个量是变化的量，是不固定的量，这对学生来说是不正常的，因此，把中心放在学生对变量的理解上，关注点很好。

小学数学教学中的前测分析，是开展有效教学活动的基础。教学前测的目的就是通过前测分析学生的学习特点，从而制定有针对性、有效的教学案本，提高教学的有效性。前测分析，能准确定位教学预设，能合理选定教学行为，能快速促进教师成长。

我们通过前测可以判定学生已有水平在哪里，结合正比例的学习任务，发现学生学习知识的生长点，然后进行有针对性的教学，这就是我们前测时通过题目设定，逐步引导学生找到规律中的内在规律。表象的规律是很容易发现的，引导学生深入探索内在规律才是学习正比例前应该有的思考，所以前测题的三个发现设计非常合理。

刘臻老师的回复让我也再次理解了倍和比，在学生做到发现三时，我预测学生会想用字母表示倍比关系。这类同学的符号意识就处在一个比较高的水平，当采用字母去表示数时，常量就成为了变量，是一个特别好的突破点。

前测题中关于用喜欢的方式表达表格 1 的变化规律，设计得很好，我们这新世纪论坛的主题是符号意识，从学生前测中可以观测到学生用符号表征关系的水平，对于确定教学起点很重要。

荷兰著名数学家和数学教育专家弗莱登塔尔认为数学的根源在于普通常识。实际上，学生的数学学习与他们的生活经验是联系在一起的。他们在生活中已经有了许多运用数学知识的体验，学校的数学学习使他们对生活中有关数学现象和经验进行了总结与升华。生活中正比例的现象有很多，学生是有生活经验的，只是他们不能从数学的角度或者用数学的语言去表述两个相关联的量成正比例。我们要做的事情就是帮助学生将生活中有关正比例的经验唤醒。前测的设计意图便是帮教师寻找学生将自己正比例的生活经验转化成数学语言的困难点。有了前测的帮助，我们清晰的知道学生对从前学习过的正比例现象的知识的领悟程度，这一节课我们的落脚点在哪里。前测中设计的问题层层深入，环环相扣。发现一衔接前一课《变化的量》，从两个量的变化寻找它们的关联性；发现二通过研究牛奶的总价随着数量的变化而变化且比值一定，体重随着身高的变化而变化且比值不一定，通过对正例和反例的辨析，帮助学生更好的理解正比例的含义；发现三通过学生用自己喜欢的方式表达表格 1 的变化规律，我们可以准确的捕捉到学生在本节课学习前符号意识的核心素养发展的程度，促使我们思考本节课中如何很好的渗透符合意识。

前测设计中，身高和体重的数据我觉得还可以再修改下，这样方便学生进行研究。 刘老师的身体和体重 身高 /cm 50 100 150 165 176 …… 体重 /kg 3.5 25 50 55 88 ……

李老师的课程设计在前测的基础上基于学生的前备经验，能够更好的做到精准教学，在前测的设计过程中，老师站到了学生的角度，对学生的知识理解程度摸底，前测的问题设计中让学生用语言去表达，这样更能从中解读出学生的符号意识发展水平。前测后我们还可以进行数据分析，将学生思维水平分类，就像李老师的设计意图中所指，我们秉持采用精准的手段，让教学更精准的理念，提升教师教学的针对性和学生学习效果。

前测表格化方便老师和学生观察前测结果。从前测中能观察到学生符号表征的程度和意识。是比较方便操作和观察的方法

数学符号意识体现数学基本思想，数学思想中最本质的一个是抽象思想，从数量中抽象出数字符号，再从数字符号抽象出数学符号。对于推理思想而言，数学符号的引入不仅可以精炼推理的过程，体现了数学的简洁性，而且还保证所得结果的一般性。例如，根据三角形的面积公式 s=ah÷2，可以得出 2s=ah, 进一步推导出三角形的求高公式 h=2s÷a。公式的推导过程特别简洁，还具有一般性。有关数学中的逻辑推理大部分都是通过数学符号进行。模型思想是从现实问题到数学问题的转化，数学问题的解决，用数学问题的结果解释现实问题，都需要数学符号的参与。例如，求制作一条红领巾至少需要多大一块布？这就是求三角形的面积。根据三角形的面积公式就可以求出制作一条红领巾至少需要多大一块布。

《正比例》的学习着重使学生理解正比例的意义，内容比较抽象。课上，李老师不但让学生学会判断两种量是否成正比例，同时还给学生渗透了一些函数的思想。

正比例知识内容抽象，学生难以接受，正比例知识是学习反比例知识的基础，因此学生正确的理解正比例的意义是重点，表格中的数据计算起来很简单 便于学生口算，学生学习时能够将更多的时间和精力用于思考这两种量的变化规律上，进而便于理解正比例的意义 。

学生对正比例的理解本来存在一定的困难，但是在老师的带领下学生突破了正比例关系的难点。同时，老师引领学生明白在学习中，无论是认识数学概念，还是进行问题解决，都可能会用到数学符号。提高学生对数学符号的理解和运用能力，对学生今后数学学习能力的提升至关重要。

学生之前已经学习了比和比例的有关知识，并结合具体情境体会了生活中常见的变量之间的关系，这些都为学生学习正比例奠定了基础。通过对变化的量一课的学习，学生已经积累了一些学习经验，头脑中已经渗透了函数的思想，初步具备了用变化的观点分析问题。但是正比例概念比较抽象，小学生的思维正处于从具体直观到抽象的过程，所以通过这个前测，孩子们紧密联系已有的知识经验和生活实际，结合情景，以问题 “两种变化的量怎么变？” 和 “变化规律相同吗？” 为核心问题，引导学生通过竖着观察和横着观察、独立思考、发现变化规律，感受正比例的特征。学生们在比较、辨析、归纳中提前建构正比例的模型。个人认为，再加一问，要求学生针对每一对数据表格都要写出一个比，并且求出比值，从而提前加深对正比例的意义的理解，同时强化了正比例的计算方法。

正比例这一节课涉及的内容比较多：比的意义，比的化简，比的应用，比与分数和除法的关系，商不变的规律等等。这些内容都为学生学习正比例，理解正比例的意义奠定了基础。也体现了学习正比例的难度之大，覆盖的内容之广，但学生通过观察表格反复感知，形成充分的感性认识，在感性认识的基础上进行抽象概括形成正比例的概念是突破难点的一种方法。

发展学生的符号意识，要做到 “读懂” 和 “会用” 符号表示。一层意思是能够理解每个数学符号所表示的意义；另一层意思是能够运用数学符号主动表示数、数量关系和变化规律。

理解每一个数学符号所表示的特定意义。 每一个数学符号都有其特定的含义。在小学阶段，学生理解每一个数学符号的具体意义是教师教学的基本目标，也是学生形成符号意识的基本目标。数学符号是一种抽象的数学语言。因此，学生对数学符号的认识和理解不能浮于表面，而要进行深入理解。

学生不仅要明白数学符号的意义，还要会应用数学符号。在整个数学学习过程中，学生 “用符号表达” 是一个相对具体到抽象的过程。例如，在第一学段，学生可以用数字符号表示现实生活中的多少，到第二学段，学生可以用字母表示数。这就是阶段性的变化。对于有规律的事物，无论是数字、字母，还是图形，都可以表示相同的规律。

教师要让学生知道符号可以进行运算和推理，这一点从某种意义上来说正是符号意识作为一种 “意识” 需要强化的。特别是在小学阶段，学生更多接受的是用具体的数参与运算和推理，因此需要强化符号的意义和作用。例如，加法运算定律中的交换律：a+b=b+a，字母符号参与了运算，而且具有一般性，能够表示所有 “两个数相加，交换两个加数的位置，和不变” 的情况。由此可见，数学符号可以进行运算和推理，而且得到的结论具有一般性。

数学符号作为一种媒介，其实质是用简洁的语言进行数学表达，是学生在解决问题时常用的方式。在教学中，教师发展学生符号意识的同时，要发展其数学表达能力。例如，李佳老师设计的路程、时间与速度间的数量关系，这种简洁的数学表达能够清晰地反映出路程和时间成正比例的关系。

发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，也就是符号思考。这种思考是数学基本思想的集中反映。例如针对 “鸡兔同笼” 问题，学生如果学习过可以用模型思想进行解答；学生如果没有学习过可以用画图、列表的方法进行推理，从而得到结论。史宁中教授在《基本概念与运算法则》一书中指出：在数学算式的表达中，使用字母符号就意味着代数学的开始，这为学习方程、函数做好了准备。因此，建立符号意识对学生未来学习以及养成数学素养是至关重要的。

对 “符号意识” 的解读过程中可以看出，在数学学习中，培养学生的符号意识有着十分重要的意义。教学中适时放大 “用符号表达” 的作用，发展符号意识。在数学学习中，能主动用符号研究、解决问题的学生并不多，只有一小部分学生能够主动用符号来解决问题。这时教师应善于发现这些宝贵资源，并且放大 “用符号表达” 的作用，影响更多的学生。例如学生在学习分类时，教师将四种水果图片杂乱地放在一起，教师采取了用小符号帮忙记录的方法，当其他学生再解决这类问题时也采取此方法，取得了非常好的教学效果。只要教师心中有培养学生符号意识的目标，并能有目的地引导学生对比感悟符号的作用，自然会使学生的符号意识逐渐增强。

每个数学符号的产生和发展都有一个过程，并且凝聚了人类的无限智慧。建立符号意识离不开符号的产生、运用、推广的过程。因此，教师引导学生了解数学符号的来龙去脉很有必要。学生了解一个数学符号的演变、发展过程，是深入了解其本质的过程。因此，教师在数学符号的教学中适时融入数学文化有助于学生符号意识的发展。

符号意识是一种主动使用符号的心理倾向。学生在解决问题的过程中，往往自主探究的空间更大，他们在经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程后，更容易积累主动使用符号解决问题的经验。学生用不同的图形符号表示不同的事物，再加上数字符号的这种解决问题方式是最简洁的。学生在无形中感悟到了用符号表达的价值，进一步增强了用符号解决问题的意识。因此，在解决问题过程中，教师要鼓励学生进行画图分析解答，从而发展学生的符号意识。《小学数学教学基本概念解读》中指出：小学数学教材没有明确给出 “符号意识” 的定义，但培养学生符号意识的学习贯穿始终。由此可见，发展学生符号意识是一项持续性的培养目标，而画图解决问题是学生进行符号表达的开始。

学生到了五年级会学习用字母表示数和方程，这是他们真正意义上学习用符号表达的开始，也是学生从算术思维向代数思维过渡的关键期。教师应善于抓住这个阶段，着力培养学生的符号意识。学生学习用字母表示数、方程和用方程解决问题之后，对其代数思维的形成而言是一次质的飞跃，同时更加助推了其符号意识的发展。

“符号意识” 所包括的内容之一是能够理解并且运用符号表示变化规律，与之相关的教学内容是 “探索规律”。课程标准中第二学段对探索规律的要求是 “探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”。对于高年级的探索规律，很多都可以用符号表达。在探索规律中凸显模型思想，发展符号意识。模型思想，数学建模的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。由此可以看出，符号意识与模型思想有着密切的联系，它们在表征数学模型的同时，发展了学生的符号意识。

对于小学生来说，既要能多角度、全面地理解数学符号的实质，又要会用数学符号表达数学对象。发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，这是最具数学特色的思维方式。因此，培养学生的符号意识可以进一步发展学生的数学表达能力，从而使他们逐步具备主动使用符号的心理倾向。小学生符号意识的培养要贯穿整个数学教学全过程。对于学生符号意识的培养，要从读懂、会用开始，然后能利用符号进行运算和推理，最后形成符号思考的思维方式。因此在教学中，教师要帮助学生积累 “用符号表达” 的活动经验，引导学生感悟数学符号背后的数学思想，从而不断发展学生的符号意识，形成数学核心素养。

关于前测，数学知识是密切联系的，新知识往往是旧知识的延伸和拓展，在前测时，要唤起学生对旧知识的回忆，有助于学生系统地掌握知识，为讲授新课做好准备。 学习之前要注意新旧知识之间的联系。“数学学习活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上”，所以要了解学生学习正比例之前，已经具备了哪些认知基础和生活经验。

紧密联系生活实际，从生活中找出相关量，并依据两者变量之间的关系进一步深化了对正比例的认识与理解，体现了数学来源生活，并学会了用数学的眼光看世界。

实施分层作业是促进学生可持续发展的有效措施。在习题中设置开放性题不仅可以加深对课内所学知识的理解，促进课内的学习，而且培养学生独立思考的能力，提高学生分析问题、解决问题和创新能力，使学生能够积极主动地学习，使优秀生学到更多的知识，学困生得到有效的转化，学习成绩明显提高，使全体学生都能够达到《义务教育数学课程标准》的要求，使学生在学习中享受乐趣，体验成功，在活动中展示风采，从而促进学生全面发展。

学生已经学过了比和比例的有关知识。并结合具体情境体会了生活中常见的变量之间的关系，这些都为学生学习正比例奠定了基础。正比例在生活中有着广泛的应用。但对小学生来说正比例的意义的理解还是有一定难度的。本节课密切联系学生已有的生活经验和学习经验，引导学生研究两个变量之间的关系。从变化中看到 “不变”，经历从具体情境中抽象出正比例的过程。通过对具体问题的讨论。使学生在初步理解正比例的意义。会根据正比例的特征、判断一些变量关系是否是正比例，体会正比例在生活中的广泛存在。

正比例这节课的重点就是理解正比例的意义并能正确判断。 前测内容首先，让学生从表格中提取变化的量，这一做法不仅巩固了上节课的内容，而且将学生的关注点从常量到变量，为正比例这节课做了铺垫，让学生明白正比例研究的是两个变量的关系。 其次，观察表格发现相同与不同之处，让学生发现虽然是变量，但是有些变量是没有规律的。也就是比值不一定，而且，没有连续性。 最后，用自己喜欢的方式表示表格 1 的规律，其实是在检测学生已有的符号意识。 整个前测内容不仅关注到了学生的语言表达，也关注到了学生已有的符号意识的水平。有了前测的数据分析，为后续课程内容的设计做了强有力的支撑。

习题首先呈现表格数据，问题也层层递进，让学生在习题中再次巩固正比例的意义。第二题是将静态数据做成动态，学生也要跳出固化思维去感受动态数据，并从动态数据中去找到两个变量，及谁随着谁变化，从变中找到不变。最后脱离数据的支撑，在同一情境下，判断不同数量之间的关系是否成正比例，题型再次进行抽象。整体来看，题型由易到难，做到了分层设计。 思考 1：在后续学习反比例，学生判断正反比例会有两种方式，第一，用正反比例的意义。第二，套用公式。我们是否要干扰学生不要套用公式判断，而是选择用意义判断？ 思考 2: 正比例有两课时的内容，第一课时着重理解正比例的意义，并能根据正比例意义进行判断。我们将第三题放在第一课时练习是否合适？

在课程内容讲完正比例意义后，李老师再次让学生判断正方形面积与边长，周长与边长是否成正比例，但是在习题一题中教师用特别细化的问题判断竿长和竿影是否成正比例，我觉得这个题与前面的练习有点重复。第二题用生活中的油价的案例来验证正比例意义，把所学知识应用于生活。

学生学习数学是一个思考的过程，“思考” 是孩子们学习数学认知过程的本质特点，是数学的本质特征，可以说，没有思考就没有真正的数学学习。本次的分层练习，注意把思考贯穿练习的全过程，让孩子们通过观察两个相关联的量，思考他们之间的特征，初步渗透正比例的概念。这样的习题分层练习，让孩子们在观察中思考、在思考中探索、在探索中获得新知，这有助于提高学生学习的效率。

前测是教学设计中导入的重要一步！前测的主要目的是建立起已学过的知识和未学过的知识之间桥梁！通过已知，细致探究，发现新问题，从而得到新知！在未学习正比例之前，数量与总价之间，学生固化的思维只是可以解应用题，列方程的等量关系！这次再把这个例子拿出来，思考的角度变成了两个动态变化的量之间的变化规律！同时让学生更加容易地理解变中不变的正是单价！这样才是生动地、举重若轻地理解了正比例的意义！

练习作业的分层设计绝不是将学生分等级的作业设计！而是要让更多的孩子理清每个题的思路脉络是如何层层递进的一种新型作业设计！是引导孩子学会做题的一种方法和手段！李佳老师分层练习的设计环节，衔接紧密，层层递进，是帮助孩子进一步理解正比例含义的有效练习手段！最后一道练习题是正例反例的综合对比，同时杂糅了等量关系的判断与建立，是一个综合性很高的题目！知识点融合的范围很广！是一道非常典型的练习题！设计得太棒了！

罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。” 数学符号是具有简洁性和抽象性的规范语言，是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。数学课程的一个任务，就是培养学生在数学学习过程中，对用符号表示数及其运算的理解和感受。培养学生的符号感对于数学语言表达思想具有重要的意义，也是发展学生思维的需要。所以，教师在教学中要有意识地培养学生的符号意识，帮助小学生了解、认识数学符号，并形成、深化符号意识，最后使小学生能够规范的使用数学符号。

数学符号不仅有简洁性，还有规范的语言并且准确、清晰。随着教育的发展，数学是我们学习的重点科目，小学数学是打基础的关键时期，而培养学生在数学学习过程中，对用符号表示数及其运算的理解和感受是极其重要的。

语言，无论是用以表达或接受信息都是一个非常强有力的交流工具。交流数学观点是学生用来陈述、组织及巩固自己思维的一个方法。学生可以通过多种方式 —— 口头的、手势的及图画、实物和符号等来交流思想。学生通过书面和口头的讲述，逐步学会使用更精准的数学语言 —— 符号来表达自己的数学思维。

“数学符号是一种精练的数学语言，它益于人的思维。” 数学符号是数学抽象思维的产物，为抽象思维提供了必要的直观形式。数学符号有助于发展思维，交流和传播数学思想。数学符号是数学思维活动的载体，数学教学是数学符号得以体现的阵地，在教学中要让学生感受和拥有使用数学符号的能力。

分层练习中，第二题的设计非常好，给学生一个动态的视屏，不出现表格，而加油又是一个生活中常见的情境，这种动态的视屏更让学生直观的感受到，两个相关联的量，汽油的总价随着汽油数量的变化而变化，函数思想感受非常直观。在观看视屏的过程中，很明显的看到汽油的单价不变，学生对于正比例中的意义理解更加深刻，变化中有不变，而且是两个变化的量的商不变，对于学生理解正比例的图像也很有帮助。

分层练习中第三题，我觉得设计的非常好，第一题有表格，有数据，来判断两个变化的量是否成正比例。第二题有视频，没有数据，来判断两个变化的量是否成正比例，第三题既没有表格、数据、也没有视频，只提供场景，让学生来判断两个变化的量是否成正比例，似乎有点难度，学生如果能够生活情境列举一些数据，来进行判断。说明学生对于正比例意义理解了，融会贯通了。

通过浏览大家的发帖，感觉到大家在真正的思考，随着研究大家对符号意识的理解也越来越深入。我在思考符号意识是我们这次活动的主题，也是我们设计教学的灵魂，但是在几次的研讨与教学实践中，我感受到，数学符号意识的生成不是通过传授培养的，而是通过学生主动地 “悟”、主动地 “用” 自然生成的。

对于符号意识的培养，我认为在数学教学中，教师要唤醒学生的符号表象，激发学生的符号思维，催生学生的符号想象，让学生能自觉地运用符号、创造符号。

小学阶段培养学生的符号意识是一个漫长的过程，需要从学生的点滴学习生活中慢慢渗透和培养，作为数学老师，在培养学生符号意识这条道路上仍然任重道远

我觉得分层作业数量适当、难易适度、适合中下等学生。如果没有一定量的作业练习训练是不可能全面和熟练掌握数学基础知识的，更不能举一反三、灵活运用。因此要给他们充分练习的机会，让他们在实践中提高，当然不要搞成题海战术对学有余力的学生在解决基本题快而准的基础上提倡举一反三一题多解。

要想让学生有符号意识，应先让他们梳理符号价值意识，即可以快速、准确地明白符号所具有的内涵，从而提升他们的数学符号意识。李老师在讲课的过程中，通过具体的教学情境，让学生在探究中主动的用符号去表示两个变量之间的关系，在合理的情境中体会符号的意义，理解符号的内涵和形象，让学生知道利用符号表示明确具体情境中的数量关系，整堂课中，李老师让学生逐步清楚了这节课的思维过程，值得我们学习。

李老师的板书设计的较好，通过对比，直观的突出了相关联的量，而且李老师想以思维导图的方式设计板书，较为新颖，打破了以往的板书设计，能够很好的吸引学生的学习兴趣，加深学生的理解。

巩固练习中，通过大量的生活实例，帮助学生理解两种量的变化规律，特别是在学生自己理解的基础上，通过分享式交流学习，提高自己的认识，强化自我的认知，加深学生对正比例的掌握。

在最后环节，学生用字 a÷b＝c，老师的追问 b✖c＝a 可以表示正比例关系吗？这句追问特别好，为后续函数学做了铺垫。

目标制定的可观察、可操作、可检测，目标中体现了学生应该达到的符号意识水平。目标能很好的指向学生学习重点，非常适切。

能看得出来，学习难点确实是前测后根据学生情况诊断出的，学生学习正比例理解正比例后能判断两个相关联变化的量是否成正比例，有数据能求比值更容易判断，脱离数据就会更困难一些。所以我们进行单元整体教学，学习完反比例以后，应该单独拿出一节课进行正比例反比例等的对比学习，帮助学生更好区分是否成正比例反比例。

“学生是学习的主人，是知识的主动建构者，而教师则是学生学习的指导者，帮助者” 秉着这样的指导思想，佳佳老师的整个设计力求体现 “以学生发展为本” 的教育理念。教学过程主要从来两个方向研究。1．变化方向的探究。通过横向引导观察，目的让学生明白周长与边长、面积与边长两种相关联的量。2．变化规律的探究。学生得出了变化规律的不同，发现周长与边长、面积与边长的比值变化规律是不同的。然后举实例，定关系。通过实例路程与时间的关系来明确相关联的量成正比例的方法，再通过示引领，定义明确给予：数学上，当时间发在发生变化，所行的路程也随着时间的变化而变化，且路程与时间的比值（也就是速度）一定，我们就把路程和时间称作为正比例。练习的设计力求体现多样性、层次性和发散性。在这一练习中，正比例的量不止一组，这样有利于培养学生的发散性思维。整体设计很棒，从不同的角度（实际生活，图标，数量关系式，字母表示）提供材料，这样有利于学生探索并理解正比例的意义。

在前几节听课时，发现学生在用语言表达时，谁随着谁变化容易说反，从而导致表达式表示的时候比值出现分数。所以，在板书的时候最好能突出这一点，给学生以文字性的提醒。

在本节课的测试题中李老师 “以学生为主体” 的思想，在引导孩子们初步认识了两个相关联的量后，敢于放手让孩子们采取小组合作的方式自学，在小组里进行合作探究，放手给学生自己研究。和同伴间的相互学习有时更有利于学生的理解和掌握。

练习题进行了分层递进，体现了教学结果的可视化同时也实现了精准教学。更能直观的感受到学生的问题出现在什么地方。帮助教师完善教学过程和教学思考。

我个人很喜欢加油站这个题目。首先视频播放很吸引学生，兴趣才是最好的老师；其次加油是学生生活中很常见的一个情境让数学更贴近生活。脱离了静态表格数据让学生在动态的数据进行变量关系的观察。扩展了学生发现数学和解决数学问题的眼界。

课堂中的分层练习题设计让学生的作品变得可观察、可操做，可检测。评价任务与目标紧紧贴合在一起，有效的帮助学生一步步的加深理解正比例的意义。

第二次听李老师的课，每次都有不一样的收获。李老师的板书设计让人眼前一亮，思路清晰。课堂上，李老师通过创设多种生活情境，让学生进一步感知正比例，学以致用。

李老师板书设计巧妙，语言简洁，课堂教学中展现生活中的情景。

板书视为洞察教材的 “窗口”, 开启思路的 “钥匙”, 排疑解难的 “桥梁”, 实施教学的 “蓝图”, 是非常恰当的。 板书虽然是 “微型教案”, 但它却展现了一个宏观世界；板书虽然是 “微量元素”, 但它却贮积了无穷的能量。

作业是一种有目的、有指导、有组织的学习活动，是学生获得体验和发展的重要渠道。它作为教学的基本环节，是提高学生学习能力的重要载体。李老师的分层作业设计的很符合学生的实际情况，并且通过追问等形式让学生能一步步加深思考。

在课堂中，李老师以学生为主题，让学生在交流互动中去理解正比例这一概念，首先通过正方形的周长和面积的计算，让学生明天什么事两个相关联的量。其次，让学生观察路程和时间变化表格，进一步引导，学生发现路程随着时间的变化而变化，发现路程和时间的比值是一定的，从而突破正比例教学中的第二难点。教学环节层层递进，思路清晰。

这节课上，李老师全程面带微笑，微笑让学生感到温暖，身心放松，创造了和谐的教学课堂。

生活中有很多相关联的量。正比例的知识比较抽象，学生难以理解。学好正比例知识是学习反比例知识的基础，因此使学生正确理解正比例的意义是本节课的重点。关注学生已有的生活经验和兴趣，通过现实生活中的素材引入新课，使抽象的数学知识具有丰富的现实背景，为学生的数学学习提供了生动活泼的材料与环境。

课始，李佳老师借助学生熟悉的正方形周长与边长，面积与边长是否存在着某种关系。让学生观察随着正方形的边长变化，正方形的面积和周长也随着发生变化，由此可以看出：一辆匀速行驶的汽车，路程和时间是相关联的量。由于事例为学生所熟悉，故很快将学生带入轻松愉快的学习情境，使学生及时进入状态手脑并用，课堂气氛活跃。

概念的形成是通过对具体事物的感知、辦别 而抽象、概括出概念的过程，是整个概念教 学过程中最重要的一步，是教学的主要内容。因此在教学中要重视帮助学生经历学概念的形成，即帮助学生感受、体验发现事物或形的本质属性或规律的过程，获得必需的数学基本思想和基本活动经验，让学生经历概念的 “形成过程”。

培育学生用事物彼此联系和进展转变的观点来分析问题，使学生能够依照正比例的意义判定两种量是不是成正比例。依照教材和内容的特点，教师选择了师生互动，以教师的 “引” 为主导，学生为主体，让学生在互动交流中去明白得成正比例的量这一概念。第一，让学生弄清什么叫 “两种相关联” 的量，教师引导学生从表格中去发觉时刻和路程两种量的转变情形。第二，教师进一步引导学生考虑路程随着时刻的转变而转变，在这一转变进程中，有什么规律呢？学生看了表以后，发觉路程和时刻比的比值是一样的，都是 90。让学生明白得相对应的路程和时刻的比的比值都是 90，从而沖破了正比例关系的第二个难点。两种量中相对应的两个数的比会必然把学生对成正比例量的意义的明白得成一系统。由于学生仍是第一次接触这一概念，以后的学习仍是让学生对照着例子来自己明白正比例关系。最后，在四个生活场景的基础上总结出成正比例量的意义，把这意义从局部的路程和时间、竹竿的高与竹影的长推行到其他数量之间的关系。

利用学生较熟悉的数量关系，由学生观察，找出规律。并借助问题，适时提问 “正方形的周长和边长变化中什么不发生变化” 引导学生用多种方式表征，初步感受 “一个量增加，另一个量也随着增加” 以及一个不变的量（比值一定），为后面学生的进一步发现学习提供了充分的心理准备与知识准备。教师引导观察、学生感知概念。

《正比例》探究两种量之间的比例关系是学 生学习静态数学向动态数学过渡的一个重 要环节。当然，学生初步接触到动态的数学，在观念上转变较难。李佳老师在比较中为学生搭建知识建构的平台。通过比较，学生很容易抓住概念中最本质的东西，使正比例关系中的比值一定，在学生头脑中留下更深刻的印像。在理解正比例意义的同时知道了数量关系，也通过比较拓宽了学生的知识面。

培育学生用事物彼此联系和进展转变的观点来分析问题，使学生能够依照正比例的意义判定两种量是不是成正比例。 把 “分层〞理念贯穿于整节课堂。学生是一个个鲜活的个体，知识基础和生活经验各不相同，所以教学中老师尽最大努力照顾到所有的学生，使他们每一个人都得到应有的知识和不同程度的提高，李老师设计了生活中的情景，利用表引导学生进行观察，并出示学习提示，让学生从不同角度说出自己所观察到的，初步渗透正比例的意义。在引导学生初步感知了两种相关联的量后，放手让学生采取小组合作的方式自学，并让学生在小组中讨论例题的共同点，从而归纳出正比例的意义。在整个教学过程中，教师灵活运用分层这一教学资源，按照难易程度和层次的不同选择性的适时融入教学，为学生理解正比例的意义而服务。

数学学习是一个思考的过程，没有思考就没有真正的数学学习。新的数学课程标准倡导：引导学生以自主探索与合作交流的方式理解数学，解决问题。所以李佳老师在教学中利用表格，创设学生熟悉的系列生活情境，与正比例的意义进行联系。让学生独立填表，为的是让学生经历这样的一个过程，让学生在填表的过程当中，强化学生对于概念表象的建立。通过学生独立填表让学生感知 “变” 与 “不变”〞，在感知 “变〞与 “不变” 过程中体会 “相关联”。关注学生的学习过程。

信息社会把可否分析和利用信息作出决策作为衡量一个人信息素养的重要标淮。在学生明白得了 “正比例的意义” 后，教师引导学生搜集生活中的具有正比例意义的现象和数据，编制成正比例关系的表格进行数据的判定。当学生以数学的目光去关注生活，搜集数据，作出数学的判断时，同时也切身感到了数学的实践性魅力。在以上抽象出 “数学模型” 的基础上让学生进行拓展应用，表现 “数学从生活中来，到生活中去的” 思想，引入实践内容，并在说理和辩论中思维碰撞，强化熟悉，渗透 “抓住本质” 熟悉事物的观点。“能依照其中一个量的值估量另一个量的值” 是《数学课程标准》 中提出的目标，如此设计，也为学生后继学习打下基础。

正比例意义这一内容是在教学完比和比例的知识的基础上进行教学的，着重使学生理解正比例的意义。从内容上看，成正比例的量这一内容在整个小学阶段是一个较抽象的概念，他不仅要让学生理解其意义，还要学会判断两种是否是成正比例的量，同时还要理解用字母公式来表示正比例关系，要渗透给学生一些函数的思想，为以后初中学习打下基础。基于以上分析，正比例意义的教学李佳老师抓住了以下几点来进行教学：一种量变化、另一种量也随着变化 ------- 一种量增加、另一种量也随着增加；一种量减少另一种量也随着减少。这两种量中相对应的两个数的比值相同，这样的两个变量成正比例。根据教材和内容的特点，在教学中李佳老师的设计先出示了一个时间和路程两种量的变化情况表格，然后引导学生从表格中去发现时间和路程两种量的变化情况，在观察中发现：路程是随着时间的变化而变化的，同时引导学生初步感知成正比例的两种量的变化方向性，即时间增加，路程也随着增加，时间减少，路程也随着减少，这两种量的变化方向相同，进而让学生弄清什么叫 “两种相关联” 的量。然后李老师又引导学生发现路程和时间比的比值是一样的，从而初步突破了正比例关系的第二个难点。

正比例知识，资料抽象，常常感觉老师教得枯燥，学生学得艰难，要让学生反复感知，构成充分的感性认识，在感性认识的根底上进行抽象概括，是构成概念的良好途径。因此李佳老师在教学时细致安排学生初步感知，透过让学生写出路程与时间的比，求比值，找规律，写数量关系，让学生初步感知正比例的要点。第二，仅有例题的首次感知学生还不能构成正比例的概念，因此，李老师变换情境，选取不一样的数量：竹竿的高与竹影的长；以加油的动态生活素材，让学生运用运动和变化的观点分析变量关系，让学生反复感知正比例概念的规律。这样既拓展了教材，又进一步增加了学生的感性认识。为学生高度概括正比例概念打下了根底。第三，有了前面充分的感性认识，老师提出几个问题，引导学生有序的思考，以小组合作交流的形式，让学生进一步突破正比例概念中的一些关键词，如：相关联的量，相对应的数，比值等，学生在合作学习时互相交流，互相讨论，把各自对正比例概念的感知会聚，综合，从而抽象出正比例是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值必须，这两种量就叫做成正比例的量。在这节课中，学生透过对正比例的初步感知，不一样情境下的反复感知，讨论探究等过程，积累了对正比例概念的丰富的感性认识。

学生已经学过比、比的化简与比的应用。也体会了生活中存在的变量之间的关系，这些都为学生学习正比例奠定了根底。学生理解正比例时比拟困难，李老师密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了一系列情境，让学生体会生活中存在超多相关联的量，它们之间的关系有着共同之处，从而引导学生认识成正比例的量以及明确正比例在实际生活中的广泛应用。课堂上李佳老师设计了正方形的周长与边长、面积与边长的变化关系。透过表格、图像、表达式的比拟，使学生体会到虽然正方形的周长和面积都随边长的增加而增加，但正方形的周长与边长、面积与边长的变化规律并不相同。同时，也让学生初步感知 “在变化过程中，正方形的周长与边长的比值必须”，为认识正比例莫定根底。之后，老师又带给学生第二个情境：当速度必须时，汽车行驶的路程与时间的变化关系。循循善诱，循序渐进的引导着学生。

我仔细阅读李佳老师的三稿，发现有很多的变化，增加了前测题与前测题的设计意图。增加了分层练习题与分层练习题的设计意图。在教学过程的活动一中，增加了引导学生有序观察，充分感受两个相关联的量一个量随着另一个量的变化而变化。在教学过程的活动二，增加了用一个关系式表示变化规律，促使学生用符号表达，并创造符号。还增加了在实际情境中理解符号的意义。看出来李佳老师的思考在逐步深入。

我在阅读三稿之后，觉得有关本课的教学目标想跟大家商榷，李佳老师在第二条目标中写到 “能列举出生活中的正比例”。从三稿中没有找到关于列举生活中正比例的教学活动，我觉得这条目标应该去掉，大认为呢？

关于本课的板书设计，我也想跟大家商榷一下，新世纪教材中关于正比例的意义是用举路程与时间这样一个说明的，没有抽象概括出正比例的文字意义。这样脱离情境，概括出正比例的核心要素，是不是有点拔高了，也请大家发表自己的观点。

在阅读三稿中李佳老师关于正方形的周长与边长成正比例，路程与时间成正比例，能用一个关系式表示出所有的正比例的变量关系吗？这一环节设计很精彩，通过追问的方式，引发学生对正比例变量关系的思考，促进学生文字符号，关系式符号或者字母意识来表示，李佳老师关于符号意识的培养，行云流水，水到渠成。

“边长 4cm 吗？只能是整数吗？如果边长是 3.5cm，周长和面积是多少呢？” “90 这个比值表示什么意义呢？” “那么正方形周长与边长，面积与边长的变化规律相同吗” “能用更简明的数量关系式表示它们的变化规律吗？”" 如果已知正方形的边长，你能想到什么？“你能用具体的数字说明它们之间的关系吗？“请同学们挑选其中的一个表格认真观察，说说你发现了什么？“如果把 5 个表格进行分类，你该怎么办？“每到关键的部分，老师并不着急告诉学生答案，而是用思考性的问题引着学生积极思考，最后由学生自己一点一点总结出来，让学生深刻理解知识点，从而达到突破重难点的目的。

用字母表示数，是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中的数量关系和变化规律的重要一步。上课伊始，教师可以基于学生的生活经验创设情境。上课时，通过出示图片和教师讲述向学生呈现这个情境，引导学生得出比值相同的比。

数学符号的引入，可简短地表示和反映数量关系与空间观念中最本质的属性，并推进数学的发展。在教学中生动地展示这种情境，让学生感到引入符号的必要性，并从中体验到优越性，激发新奇感。强化认知动机。

符号语言是数学的 “官方语言〞，它具有很强的通用性和抽象性。以 “用字母表示数〞教学为例，立足学生已有认知，引导学生体验探究过程，解决实际问题，让学生形成符号意识。与 “会用符号表示具体情境中的数量关系和变化规律” 相比，能使用符号去进行初步的运算和推理的要求更高。这需要学生具有比较敏说的符号意识，具备用符号去运算和推理的能力。为了培养这种能力，是学习正比例的意义。

罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻错”。数学符号是具有简洁性和抽象性的规范语言，它准确、清晰，具有简约思维、提高效率、便于交流的作用。学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决生活中的实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。《数学课程标准》强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所表示的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。如何按课程标准的要求，在教学中培养学生的符号感呢？学生符号感的建立并不是一朝一夕能完成的，而是在学习过程中逐步体验和建立起来的。需要教师引 “生活之水”，唤醒符号意识。挖掘学生已有经验中潜在的符号意识。我们生活在一个被 “符号化” 的世界，生活中处处体现着符号给我们带来的便利。事实上，学生在学习数学课程前，早已感知到生活中的符号，已经具有一定的符号意识、教师在教学中能够重视学生的生活经验和知识背景，结合具体情境，就能充分激活学生潜藏的 “符号意识”，这是发展学生 “符号感” 的重要基础。

在对小学生进行数学符号意识培养中，教师首先设法为其脑海中植入数学符号观念，使学生能够不假思索的理解数学符号背后的含义，能够为数学符号意识的培养打下较好的基础。教师重视数学符号的内涵和外延的讲解，挖掘生活经验并总结归纳，并通过对数学阅读理解能力、符号选择应用能力等能力的培养，促进学生数学符号能力的提高。只有同时完成小学生数学符号观念与能力的培养，才能够真正实现小学生数学符号意识的培养。

学生学习数学符号并非是一件容易的事，往往会存在许多障碍和困难。除学生主观原因外，客观上数学符号具有较高的抽象性，其过于形式化也是导致学生理解数学符号较为困难的另一种原因。教学中往往会出现学生的知识表面化的现象，其根源在于数学学习内容与形式的脱节，实质就是简约化的数学符号与其所表示的数学内容的脱节。所以在教学过程中，尤其是在学习一个数学符号起始阶段，教师应给数学符号赋予具体的内容，通过借助一定的活动材料，注重体验，在实际问题情境中结合操作活动，有助于学生理解符号以及表达式的意义。数学符号的功能是用符号的形式代表符号所表达的丰富内容，虽然数学符号是抽象的，但它充满生机，有其数学思想，不是枯燥的。

在实际情境中帮助学生建立符号意识。心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断了动作与思维的联系，思维就不能得到发展。” 因此，要解决数学符号的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，就要多为学生创设些应用数学知识的情境，以帮助学生发现数学符号的价值。行 “有效之法”，去理解符号的含义。采取逐步渗透的方法培养符号感，应根据儿童心理发展的科学顺序采取与之相对应的措施逐步渗透。

看了李佳老师三稿的反思，感受到李佳老师在成长，整个团队在成长。反思是基前测，基于学情，基于课堂的实践，通过反思看出，教学思路更清晰，学生对于正比例关系中两个变量的变与不变理解更清楚了，对于正比例意义的理解更为透彻，对于符号意识的培养也是层层递进，徐徐图之。我相信这个团队通过符号意识这个主题与正比例这一课的研究，会引发对数学其他核心素养的探究，研究能力会不断提升.