教案终稿：《正比例》

执教教师：李佳 内蒙古包头市东河区同道小学

答辩成员：

睢彦 内蒙古包头市东河区同道小学

白玲玉 内蒙古包头市东河区同道小学

张东慧 内蒙古包头市东河区同道小学

指导教师：

马凯 内蒙古包头市东河区教育教学研究中心

李燕 内蒙古包头市东河区教育教学研究中心

【答辩团队风采展示】

团队 4 人照片 ：

【教学内容】 新世纪小学数学（北师大版）六年级下册 41 页

【教材分析】

《正比例》第一课时，教材首先呈现了正方形面积与边长、周长与边长的表格，通过实例让学生看到每一组中的两种量的变化情况，引导学生初步发现 “正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加”；再通过对比这两组量的变化的区别，从变化中看到 “不变”，初步体会周长与边长、面积与边长之间的变化规律不同。然后再结合 “路程与时间” 两个变量关系的研究，丰富学生认识正比例的例证，初步理解正比例的意义。在第一课时两个正例一个反例的基础上，“试一试” 中又提供了一正一反两个情境，帮助学生辨析理解正比例的意义。这样，教材从不同的角度提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境，既包括 “时间与路程”“乐乐和爸爸年龄变化情况” 等生活情境，也包括 “正方形周长与边长、面积与边长” 等数学情境，情境中有正例也有反例，为学生理解 “正比例” 意义提供了丰富的直观背景和具体案例，以引导学生经历从具体情境中抽象概括出正比例的过程，从而理解正比例的意义。

【学生分析】

通过正比例前测分析，了解学生学情、把脉学生生长点：

数据分析汇总表：（抽样调查 30 人）

发现一：表格 1 中的变化的量有（ ）和（ ），它们是怎样变化的？

表格 2 中的变化的量有（ ）和（ ），它们是怎样变化的？

发现一考察学生对变化的量的认识，以及用自己的语言分别描述两表中的变量关系的能力，发现学生符号意识水平层次，如上表所测结果。

发现二: 表格 1 和表格 2 的两组变量在变化中的相同之处与不同之处是什么？

发现二考察学生学习路径，运用生活化语言关注表象不同、还是能运用数学语言、符号语言关注本质规律，结果如上表所测。

发现三: 你能用自己喜欢的方式表达表格 1 的变化规律吗？

在表征变化关系时，考察学生符号意识所处的思维水平层次，测试结果如上表。

为达到精准教学，对学生进行前测分析。学生在学习正比例前普遍在第一与第二水平，在变化的量中，我们将大部分同学从第一水平提升至第二水平，能用数学化的符号语言表达量的变化。学习变化的量后我们进行正比例的前测，经过测试，决定把教学重点放在将学生从第二水平提升至第三水平，深化符号语言与符号的应用。第四水平在北师大的教材设计中并不是最重点的地方，我们在保障学生达到第三水平的前提下，尽力与初中衔接，带领学有余力的同学上升至第四水平。

【学习目标】

1．结合 “正方形的周长与边长，正方形的面积与边长，路程、时间与速度” 等情境，用自己的语言描述它们之间的变化关系，能从变化中看到 “不变”，认识正比例。

2．能用数学符号表示表格或文字中的成正比例变化规律，并根据正比例意义判断两个变量量是否成正比例。

【教学过程】

一．情境导入，探究两个变量间的关系

师：同学们， 上节课我们认识了生活中有许多变化的量，今天我们继续跟随淘气、笑笑走进变量的世界。

呈现视频动画，引出问题： 正方形周长与边长，面积与边长是否存在着某种关系。

探究要求：

1. 独立填写表格。

师追问：边长只能填到 4cm 吗，周长和面积呢？只能是正整数吗？

【设计意图：表格中数据的补充，学生更多的是借助过去所学数量关系，关注点多在计算，没能站在动态的、对应的角度去看看待变化关系。由学生习惯的常量视角到变量视角的变化，需要老师引导学生调整观察视角】

2. 小组合作探究：观察表格你有什么发现。

预设：生 1：正方形的周长总是边长的 4 倍。

生 2：正方形边长加 1cm，周长就增加 4cm。

生 3：正方形边长扩大几倍，周长就扩大几倍。

师追问：对比观察两组变量，说说它们的变化情况有什么相同之处。

预设：生 1：正方形的面积和周长都随着正方形的边长增加而增加。

生 2：正方形的面积和周长都随着正方形的边长变化而变化，而且它们的变化方向是一致的。

【设计意图：借助学生熟悉的正方形周长与边长，面积与边长这两种学生熟悉的相关联的量，先放手让学生合作探究、观察发现， 再通过引导学生有序观察，梳理自己的发现， 让学生感知判断正比例关系的第一个要素， 两种量相关联，一个量随着另一个量的变化而变化 （变化方向一致）。】

二．比较变量特征，认识正比例

（一）情境一：正方形周长与边长，面积与边长变量规律的不同。

师：同学们发现了上面两种变量关系的共同点是： 都是相关联的量，一个量随着另一个量变化而变化。（方向一致）

师追问：那么正方形周长与边长，面积与边长的变化规律相同吗？

预设：生 1：正方形的周长是边长的 4 倍，但面积与边长的倍数关系是不确定的。

生 2：4÷1=4 8÷2=4 12÷3=4 比值相等 1÷1=1 4÷2=2 9÷3=3 比值不一样

师：结合动图说说，它们的比值分别表示什么。

预设：正方形周长比边长就是边数，边数是不变的，面积比边长就是边长，边长在变化。

师：能用更简明的数量关系式表示它们的变化规律吗？

预设： 正方形的周长 ÷ 正方形的边长 = 4（一定）

正方形的面积 ÷ 边长 = 边长（变化的）

【设计意图：在学生发现两组量的变化情况的基础上，引导学生发现两组变量变化规律的不同，从变化中发现不变为理解正比例意义奠定基础，并引导学生用更简明的数量关系式表征关系。】

（二）情境二：一辆匀速行驶的汽车，行驶时间和路程

独立探究要求：

1. 独立完成表格，观察表格想想你从表中发现了什么。

2. 变化有什么规律，并用数量关系式表示。

预设：

生 3：90× 时间 = 路程

追问：90 这个比值表示什么意义呢？ 生：表示速度，速度一定就是匀速行驶。

【设计意图：借助现实世界中学生最熟悉的路程、时间与速度之间的数量关系，速度不变，就是路程随着时间变化而变化的过程中，路程与时间的比值保持不变，由此引入路程与时间成正比例，为学生理解正比例丰富实力支撑。】

（三）结合正比例的材料，说一说什么样的两个量成正比例关系。

师：（出示正比例描述性定义）你能说说判断路程和时间是否成正比例的依据有哪些吗？

预设 : 生 1：路程随着时间变化而变化，它们的变化方向是一致的。

生 2：路程与时间的比，也就是速度是一定的。

师：你能判断第一个问题中正方形周长与边长，面积与边长成正比例吗？

预设：生 1：正方形周长与边长成正比例，它们是两个相关联的量，且比值一定。

生 2：正方形的面积与边长不成正比例，因为它们的比值是不一定的。

师：结合正方形周长与边长，匀速行驶汽车的路程与时间的关系，说一说什么样的两个量成正比例关系。

生：我明白了，两个相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化（变化方向一致），且它们的比值一定，它们就成正比例。

追问：是否有简洁统一的方法表示出所有成正比例的变量关系？

预设：生 1：可以用字母表示

生 2：比如 a÷b=c (c 一定) a 可以表示路程或者总价，b 可以表示时间或者数量…，c 表示它们的比值，c 是一定的。

生 3：也可以是 a=bc (c 一定)

追问：这两个字母式 a÷b=c (c 一定)， a=bc (c 一定) 都可以表示正比例关系吗？你能说说吗？

生 4：这两个式子 a÷b=c (c 一定)， a=bc (c 一定) 这两个式子都可以表示正比例关系，都能表示 a 随着 b 的变化而变化且比值 c 是一定的。

生 5：它们是乘除法的逆运算，可以互相转化。

师：同学们想到字母式来表示所有正比例关系，真是好办法，通常我们用 X 表示一个量，用 Y 表示另一个随着变化的量，k 表示它们的比值。你能再用字母式表示出正比例关系吗。y÷x=k (k 一定)， y=kx (k 一定)

【设计意图：让学生自主阅读教科书中给出关于正比例的具体情境的描述性定义。并结合教材中提供的两个正例和一个反例，帮助学生认识正比例的意义，对比两组成正比例变量进一步发现正比例共性特征，然后 以任务驱动学生用字母式表征正比例，并结合情境解释字母式。感受符号表征的统一、简便。】

三．巩固练习，辨别生活中的正比例关系

1. 学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实 验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。

（1）表格中相关联的量是（ ）和（ ），（ ）随着（ ）的变化而变化。

（2）写出几组竿影的长与竹竿高的比，并计算比值，你发现了什么？

（3）竹竿的高与竹影的长是不是成正比例？ 说明理由。

【设计意图：考察学生能否依据正比例的意义判断两个量是否成正比例，学生不仅要写出结论，还要说明理由。学生用自己语言描述的过程，就是对正比例意义应用过程。 学生对正比例的不同呈现方式，判断的难易程度是不同的，其中表格法呈现的判断正确率高于纯文字描述的呈现方式，可见学生还是需要借助直观性强的素材理解正比例的意义。第一题基础训练中，以表格数据为载体呈现变量关系，以引导式的问题，帮助学生有序思考、判断正比例关系。】

2. 观察视频中的情境，思考以下的问题

（1）视频情境中，有哪些变化的量。

（2）情境中两个变化的量成正比例吗？说明理由

【设计意图：以加油的动态生活素材，让学生运用运动和变化的观点分析变量关系，用字母式概括表示出，金额和油量所有点的集合及其对应关系。 脱离表格数据呈现变量关系，是学生厘清正比例的难点，以学生熟悉的加油情境的动态视频，让学生在变化中思考，把静态的、有限的表格数据换成动态的、对应的视频数据，引导学生通过分析情境变量关系，而不是只依靠具体数据计算判断正比例。】

3. 联想生活场景，判断两个相关联的量是否成正比例，说明理由。

生活场景一：

一个生产防护服的车间，要生产 10000 件防护服， 已生产的件数 与 未生产的件数 。

生活场景二： （成 否）

一个生产防护服的车间，每小时生产防护服 600 件， 防护服的总件数 与 生产的时间 。

生活场景三： （成 否）

一个生产防护服的车间，要生产 10000 件防护服， 每天生产的件数 与 生产的天数 。

生活场景四： （成 否）

张师傅比李师傅每小时多做 50 个口罩，生产时间相同的情况下， 张师傅生产口罩的数量 与 李师傅生产口罩的数量 。 （成 否）

【设计意图： 在同一情境下，设计四个场景 ，都是相关联的量但变化的趋势不同，都是有变化规律的但规律却不同。让学生在丰富的变量素材中，辨别正比例变量关系，进一步强化了正比例的认识。 正、反比例的学习是抽象的， 文字描述的呈现更进一步让学生把对数据的关注，提升到对变量关系的关注上 ，也是学习正、反比例以及后续函数学习的焦点，也是从常量思维到变量思维的转变，给孩子们提供丰富的变量关系， 在辨析不同变量关系的本质规律中，进一步加深对正比例意义的理解。】

四．板书设计

【教学设计点评】

浓墨淡彩 -- 正比例

----- 导师（李燕、马凯）评语

一、浓墨 ----- 一种变化的量（正比例）的深入理解

学生在 “变化的量” 一课中理解未必深刻，在对实际问题和数学问题进行分析过程中，需加强对函数概念的理解。

小学生常年在常量的学习中，有一定固化思维，本课带领学生体会对于自变量每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应。正比例函数的特殊性在于两个变量的比值是定值，且为不等于零的实数，这是小学正比例关系的内涵的深化。而且后面学习在正比例函数的图象与性质的教学中，应注重引导学生体会由 “形” 助 “数” 和以 “数” 析 “形”，“数”“形” 结合展开探究活动。

本课教学设计依据北师版教材的问题串进行了从量众的生活实例中感悟一种变化的量（正比例），从 “ 淘气、笑笑走进变量的世界 ---- 正方形周长与边长，面积与边长的关系比较 ---- 一辆匀速行驶的汽车，行驶时间和路程的关系 ---- 竹竿的高与竿影的长 ---- 加油站金额和油量的关系 ---- 等等” 一系列的生活实例中体会这种关系。

皮亚杰认为，儿童认知形成的过程是先出现一些凭直觉产生的概念 (并非最简单的概念)，这些原始概念构成思维的基础，在此基础上经过综合加工形成新概念，建构新结构，这种过程不断进行，这就是儿童认知结构形成的主要方法。这也是我们这节课在变化的量的认知上学习正比例的依据 --- 浓墨之处 。

二、淡彩 ----- 符号抽象这种变化的量（正比例）

本课还在从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并符号表示进行了 “淡彩” 这也是将问题一般化的过程，超越了实际问题的具体情境，深刻揭示共性。

课中教师的点睛追问：

1. 追问：是否有简洁统一的方法表示出所有成正比例的变量关系？”

2. “这两个字母式 a÷b=c (c 一定)， a=bc (c 一定) 都可以表示正比例关系吗？你能说说吗？”

这样的教学环节既检测学生对正比例的理解 -- 是否能理解并运用符号表示数量关系和变化规律。符号看起来是多变的，如果真正意义的掌握相应的符号语言，就能更清楚，便捷的表达数量关系与变化规律。

【我对符号意识的理解】

经过这一段时间对符号意识的学习，我们团队对符号意识有了更深的认识。

一、关于符号意识的理解

1. 符号是数学中特有的，是数学的语言、工具和方法。因此，符号是针对具体事物抽象概括出来的一种简略性的记号或代号。

2. 数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。数学符号具有抽象性、明确性、严谨性、简略性和通用性等特性。

3. 符号意识与符号不同，数学符号意识应该同时具有数学、符号、意识这三个方面的特征，包括数学学科上知识本身的价值感悟、符号学上符号的抽象性的对应关系、心理学上思维引导下意识的心理倾向和行为能力。

4. 学生应该具备的符号意识有三个层次，第一层次生活化的语言，第二层次数学化的语言，第三层次符号语言。

5. 所谓数学符号意识，即学习者在数学思维的引导下，对数学知识与数学符号之间抽象对应关系的一种积极主动的行为反应和心理倾向，通过感知与理解数学符号的内涵，借助数学符号进行运算与推理，最终实现符号交流与表达等数学思维方式，在解决数学问题过程中所表现出来的一种数学符号的核心素养。由此可见，数学符号的使用并不是只停留在潜意识中的直觉，而应是一种积极运用符号的心理倾向。

二、关于符号意识的培养

1. 小学阶段发展学生的符号意识是数学教学的重要培养目标。学生用生活化的语言表达，教师逐渐引领学生用数学化的语言，最后到符号语言，是潜在的培养学生符号意识。

2. 符号意识的培养要在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学过程中进行。从小学开始，教师就要有针对性地引导学生进行符号意识的培养。可以利用数学符号进行表达，并实现符号转化；从具体问题中抽象出数学符号。可以运用数学符号推理，进行抽象运算，能理解数学符号的不同含义，能识别不用的数学符号，以帮助学生体验数学符号的价值。

3. 符号意识的建立要与学生的生活经验相联系，在生活情境中，理解符号表达的意义。建构主义理论认为，教学不能无视学习者已有的知识经验，应当把学生原有的知识与活动经验作为新知识的生长点，生长新的知识经验，数学符号意识的形成同样应该遵循这样的规律。

4. 培养学生符号意识需要一个过程，所以教学中我们需要让学生亲近符号，接受并理解符号。在教学中内化符号思维，通过推理情境中的规律，进行符号思维活动的过程，发展符号思维。

【思考在延伸】

关于本课还有三个方面进行探究：

1. 正比例关系式的两种表征是否要对比。

2. 教材中正比例描述性定义突出表述两个变量的比值一定，但在后面正比例图像中是要经过（0.0）点的。所以是否要渗透两个字母式 的关系？

3. 学生学习完正比例后，学生的符号意识可以达到形式化的理性辩证水平。今后的教学中让更多的学生深化对符号表征的理解，那么要通过什么样的方式让学生提高普适水平呢？

【教材图片】