《正比例》教学设计二稿

【教材分析】

《正比例》第一课时，教材首先呈现了正方形面积与边长、周长与边长的表格，通过实例让学生看到每一组中的两种量的变化情况，引导学生初步发现 “正方形的面积和周长都是随着边长的增加而增加”；再通过对比这两组量的变化的区别，从变化中看到 “不变”，初步体会周长与边长、面积与边长之间的变化规律不同。然后再结合 “路程与时间” 两个变量关系的研究，丰富学生认识正比例的例证，初步理解正比例的意义。在第一课时两个正例一个反例的基础上，“试一试” 中又提供了一正一反两个情境，帮助学生辨析理解正比例的意义。这样，教材从不同的角度提供了有利于学生探索并理解正比例意义的情境，既包括 “时间与路程”“乐乐和爸爸年龄变化情况” 等生活情境，也包括 “正方形周长与边长、面积与边长” 等数学情境，情境中有正例也有反例，为学生理解 “正比例” 意义提供了丰富的直观背景和具体案例，以引导学生经历从具体情境中抽象概括出正比例的过程，从而理解正比例的意义。

【学情分析】

《正比例》这个内容是学生在学习乘法时，已经初步接触了正比例的变化规律，在六年级上册已经学习了比的意义、比的化简与比的应用等。判断有具体数据的两个量是否成正比例是学生容易掌握的，但是离开具体数据，判断两个量是否成正比例对学生来说是有难度的。

【教学目标】

1．结合 “正方形的周长与边长，正方形的面积与边长，路程、时间与速度” 等情境，用自己的语言描述它们之间的变化关系，能从变化中看到 “不变”，认识正比例。

2．能根据图表或文字总结成正比例量的变化规律，并用此规律判断两个相关联的量是不是成正比例，能举出生活中成正比例的实例。

【教学重难点】

教学重点：

理解正比例的意义，依据正比例的意义判断两个量能否构成正比例关系。

教学难点：

体会 “变与不变” 的数学思想，运用运动和变化的观点、集合和对应的思想分析变量关系。

【教学过程】

一．情境导入，探究两个变量间的关系

师：同学们， 第二单元我们学习了比例的相关知识， 上节课我们认识了，生活中有许多变化的量，今天我们继续跟随淘气、笑笑走进变量的世界。

呈现视频动画，引出问题：正方形周长与边长，面积与边长是否存在着某种关系。

探究要求：

1. 独立填写表格。

预设：

师追问：边长 4cm 吗？只能是整数吗？如果边长是 3.5cm，周长和面积是多少呢？

预设：

生 1：边长还可以是 5、6、7...... 一直增长，同样周长和面积也很会随着增长

生 2：边长也可以是小数、分数，但都比前面的 3 大

生 3: 当边长是 3.5cm 时，周长时 3.5×4=14cm，面积是 3.5×3.5=12.25cm²

【调整理由：表格中数据的补充，学生更多的是借助过去所学数量关系，关注点多在计算，没能站在动态的、对应的角度去看看待变化关系。由学生习惯的常量视角到变量视角的变化，需要老师引导学生调整观察视角】

2. 小组探究：观察表格你有什么发现，它们有什么相同或不同之处。

预设：

生 1：正方形的周长总是边长的 4 倍。

生 2：正方形的周长与边长的比值是一样的。

生 3：正方形边长加 1cm，周长就增加 4cm。

生 4：正方形边长扩大几倍，周长就扩大几倍。

生 5：正方形的面积和正方形的周长都随着正方形的边长增加而增加。所以正方形周长与边长，面积与边长是相关联的变量。

调整：

师追问：同学们的观察发现有横向、纵向，我们一起梳理一下：从左到右看正方形的面积和周长都随着正方形的边长增加而增加，那从右到左呢？他们的关系怎么表述。

预设：

生 1：从右到左看正方形的面积和周长都随着正方形的边长减少而减少。

生 2：我们可以说正方形的面积和周长都随着正方形的边长变化而变化，而且它们的变化方向是一致的。

【设计意图：借助学生熟悉的正方形周长与边长，面积与边长这两种学生熟悉的相关联的量， 通过引导学生有序观察，梳理自己的发现， 让学生感知判断正比例关系的第一个要素，两种量相关联，一个量随着另一个量的变化而变化 （变化方向一致）。】

二。比较变量特征，认识正比例

（一）情境一：正方形周长与边长，面积与边长变量关系的不同特点

师：同学们发现了上面两种变量关系的共同点是：

都是相关联的量，一个量随着另一个量变化而变化。（方向一致）

追问：那么正方形周长与边长，面积与边长的变化规律相同吗？

预设：

生 1：正方形的周长是边长的四倍，但面积与边长的倍数关系是不确定的。

生 2：正方形周长与边长的比值是不变的，但面积与边长的比值是不相等的。

师：试着用两个关系式表示它们的变化规律。

预设：

生 3： 正方形的周长 ÷ 正方形的边长 = 4（一定）

正方形的面积长 ÷ 正方形的边长 = 正方形的边长（变化的）

【设计意图：在学生发现两组量的变化情况的基础上，引导学生发现两种量变化的不同点，从变化中发现不变为理解正比例意义奠定基础。】

（二）情境二：一辆匀速行驶的汽车，行驶时间和路程

探究要求：

1. 把汽车行驶的的时间和路程表填完整。

2. 说一说当时间发生变化时，路程怎样变化？

3. 变化有什么规律，并用数量关系式表示。

预设：

1. 学生独立填写表格

生 1：时间还会一直增长，路程也会随着时间增加而增加，如果用字母 n 表示时间，路程就是 90n

2. 说一说当时间发生变化时，路程怎样变化？

生 1：时间是原来的几倍，路程也是原来的几倍。

生 2：时间是原来的几分之一，路程也是原来的几分之一。

3. 变化有什么规律，并用关系式表示。

【设计意图：借助现实世界中学生最熟悉的路程、时间与速度之间的数量关系，速度不变，就是路程随着时间变化而变化的过程中，路程与时间的比值保持不变，由此引入路程与时间成正比例，为学生理解正比例丰富实力支撑。】

（三）对比正比例的材料，说一说什么样的两个量成正比例关系。

师：同学们的发现真精彩，自主阅读教材 41 页，说一说什么是正比例。

第一个问题中正方形周长与边长，面积与边长成正比例吗？

预设：

生 1：正方形周长与边长成正比例，它们是两个相关联的量，且比值一定。

生 2：正方形的面积与边长不成正比例，虽然他们是两个相关联的量，一个量随另一个量的变化而变化，但它们的比值是不确定的。

师：结合正方形周长与边长，一辆匀速行驶的汽车，路程与时间的关系，说一说什么样的两个量成正比例关系。

生：我明白了，两个相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化，且它们的比值一定，它们就成正比例。（板书满足正比例的条件）

【设计意图：让学生自主阅读教科书中给出关于正比例的具体情境的描述性定义。并结合教材中提供的两个正例和一个反例，帮助学生认识正比例的意义】

三。巩固练习，辨别生活中的正比例关系

1. 学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实 验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。

⑴说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。

⑵写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？

⑶竹竿的高与竿影的长是不是成正比例？说明理由。

【设计意图：考察学生能否依据正比例的意义判断两个量是否成正比例，学生不仅要写出结论，还要说明理由。学生用自己语言描述的过程，就是对正比例意义应用过程。】

2. 判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。

(1) 每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。

(2) 一个人的身高和年龄。

(3) 面积是 24cm² 长方形，长与宽。

(4) 一本书已读页数和未读页数。

(5) 大豆的出油率为 17％，豆油的质量和大豆的质量。

预设：

【设计意图：以丰富的素材，材料 1 是比值每袋质量不变，材料 2 是身高和年龄无规律，材料 3 是面积一定乘积不变，材料 4 是已读页数和未读页数关系和不变，材料 5 是比值出油率不变。让学生在丰富的变量素材中，辨别变量中的关系，通过正、反素材巩固对正比例的认识。】

3. 下面情境中，有哪些相关联的变量，你能用含字母的式子表示它们的关系吗，它们成正比例关系吗？

预设：

【设计意图：以加油的动态生活素材，让学生运用运动和变化的观点分析变量关系，用字母式概括表示出，金额和油量所有点的集合及其对应关系。】

4. 把表填完整，你从中发现了什么？应付金额与所买邮票的数量成正比例吗？

预设：

生 1：应付金额随着所买邮票的数量变化而变化，且它们的比值是一定的，都是单价 0.8 元，所以应付金额与所买邮票的数量成正比例。

【设计意图：根据两个量相对应的比值，给出一个变量能得到相对应的另一个变量，运用集合和对应的思想分析变量关系，判断正比例，也为进一步探究正比例的图像做铺垫。】

四。说一说这节课你有什么收获和困惑

五。板书