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本帖最后由 张玲玲 于 2019-10-30 19:30 编辑
尊敬的各位教育专家、同仁们：
您们好，我是来自吉林长春东师附小教育基地的张玲玲，很荣幸我能代表我们基地参加新世纪小学数学第十四届基地教学设计与课堂展示 “度量” 主题教研活动，能参加此次活动，我倍感珍惜，感谢大会的举办给了我更多的与教育同仁交流、学习，不断提升自己的机会！
我选取的课题是《三角形的面积》，接下来的日子里，我将围绕大会主题 “度量” 对这节课展开探索和尝试。在这里，预祝各位教育同仁：砥砺前行、不负众望，取得好成绩！
《三角形的面积》网上教研目录
[1.教材电子图片2楼](https://bbs.xsj21.com/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=125724&pid=173102)
[2.选课思考5楼](https://bbs.xsj21.com/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=125724&pid=173108)
[3.教材分析、学情分析3楼](https://bbs.xsj21.com/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=125724&pid=173104)第一稿网络回帖的整理
https://v.youku.com/v_show/id_XNDM5NzM3MzE0OA==.html?firsttime=99
256 条回复 • 2019-10-30 19:28:04 +08:00
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-7-22 06:48 编辑
【 教学内容 】北师大版数学五年级上册第 56、57、58 页。
【 教材分析 】《三角形的面积》是北师大版数学教材五年级上册第四单元第 5 课时的内容。隶属于 “图形与几何” 领域，是在平行四边形面积学习的基础上探索三角形面积 的 问题。 对此内容的编排，教材提出解决三角形流动红旗面积的问题，设计了三个递进的问题，第一个问题是讨论如何求三角形的面积，“如何求出这面流动红旗的面积，说一说你的想法”，教材首先用图示的方法把现实问题抽象为数学问题，并标记出三角形的底和高的数据，然后呈现了学生可能出现的两种解决问题的思路，一是用数方格的方法，二是如何把三角形转化成 已 学过的图形，这两种方法都是学生在探索过程中可能出现的方法，体现出教材想让学生经历探索和思考的过程。
第二个问题是把三角形转化成学过的图形， 教材在这里呈现 的三角形不再是刚才抽象出来标有数据的等腰锐角三角形，而是一个三边不相等的锐角三角形 ，并 给出两种转化方法：一是将两个相同的三角形通过拼接转化成平行四边形；二是把这个三角形填补成长方形，并通过智慧老人提出思考问题 “转化前后图形的面积有什么关系？” 教材试图通过提示方法，让学生在操作的过程中进一步体会转化思想 ，并掌握转化方法。
第三个问题是探究三角形面积的计算公式。在上一个问题的基础上，采用留白的方式，让学生完成三角形面积的探究任务。最后以冒泡的形式 “你能求出流动红旗的面积吗？” 体现三角形面积计算公式的初步应用。
从对教材的分析来看，我们主观的认为，教材编者希望学生经历数方格的方法，并充分经历探索和思考转化的方法，但没有提到直角三角形和钝角三角形，可能是因为直角三角形的转化过程相对简单，钝角三角形的转化过程和转化前后各部分之间的关系相对复杂，从而增加学生完成的困难度 ，因此选择了难度适中的锐角三角形。
【学情分析】 在学生已经充分认识了三角形的特征，能熟练地计算长方形、正方形面积，在此前学生经历了推导平行四边形的面积公式，在实际操作的过程中已经感受到了知识之间的相互联系与互相转化的思想，为本节课中三角形的面积公式的推导做 了 铺垫。平行四边形转化成长方形是等积转化，而三角形通过构造一个全等图形拼组转化成平行四边形和三角形通过添补转化成长方形，学生在原有基础上是没有这个经验的。学生的已有经验是等积变形，但把三角形进行等积变形，需要合理分割重新组合，这对于学生来说仍具有挑战性。综上，学生能想到将三角形转化成学过的长方形或者平行四边形，但是如何转化，以及转化前后找到各部分之间的关系仍然是 具有挑战性的 。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-8-31 10:49 编辑
【 教学目标 】 1. 使学生在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能够正确地计算三角形的面积。
使学生通过操作和对图形的观察、比较、发展空间观念。使学生知道转化的思考方法在研究三角形的面积时的运用，培养学生的分析、综合、抽象、概括和运用转化方法解决实际问题的能力。
在探索学习过程中，培养学生的实践能力、探索意识、合作精神与创新精神；同时使他们获得积极、成功的情感体验。
【 教学设计 】
【 教学重点 】
掌握三角形面积的计算公式，会运用公式计算三角形的面积。
【 教学难点 】
理解三角形面积计算公式的推导方法。
【 教学准备 】
A4 纸大小的格子图。
【 教学流程 】
一、 情境导入，激发兴趣
1. 学校要做一面流动红旗，它是什么形状的？
9009
生：三角形。
2. 做这面红旗需要多大的布呢？其实这就是在求什么？
生：这个三角形的面积。
3. 你有什么办法能得到这个三角形的面积呢？
生 1：数格子
生 2：用公式计算
4. 数格子的方法是大家很熟悉的，我们现在就动手数一数，得到这个三角形的面积是多少。（为学生发格子图，上面印有三角形）
生：350 平方厘米
【 设计意图： 从学生熟悉的实际问题入手，激发学生的学习兴趣。初步建立面积模型，让学生感受求三角形面积的生活需要。用数格子的方法得到这个流动红旗的面积，既是对前面所学知识的巩固，也为学生接下来的操作提供启发性和目的性。】二、探究新知
1. 老师 ppt 出示一个更大的三角形（底 58 厘米，高 48 厘米），对于这个三角形同学还想用数格子的方法得到它的面积吗？
生：不能
2. 为什么不行了呢？
生：太麻烦了，也没有那么大的纸呀
3. 如果我们能推导出三角形面积计算公式就好了，是不是？
生：是
4. 上节课我们学习了平行四边形面积公式的推导，还记得我们是怎样得到平行四边形的面积的吗？
生：转化成长方形
5. 节课我们就来研究一下，三角形能不能转化成我们学过的图形，进而得到它的面积公式呢？（学生独立学习）
独立学习指南：
（1）想办法推导三角形的面积公式，你可以用画一画、拼一拼等方法。
（2）在操作的过程中，你可能得到了新的图形，想一想，新的图形和原来三角形的底、高有什么联系。
（3）尝试写出三角形的面积公式。
集体学习指南：
（1）在小组内轮流说一说你的想法。
（2）认真倾听，认真记录。
（3）小组派一名代表准备做全班汇报。
学生可能的方法有：
9010 9011
（1）拼成一个平行四边形 （2）拼成一个长方形
6. 你能说一说，这个平行四边形（长方形）和原来的三角形有什么关系吗？
在追问中明确两件事儿：
（1）平行四边形的底就是三角形的底。
（2）平行四边形的高就是三角形的高。
（3）必须是两个完全一样的三角形。
7. 你能尝试得到三角形的面积公式吗？
生推导出公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷2
追问中明确：为什么平行四边形的面积除以 2 就是三角形的面积。
8. 你能尝试用字母表示这个公式吗？
生：S=ah÷2（也可以有分数形式）
【 设计意图： 这个教学过程给了学生很大的自由思考空间，意在让学生通过前面相关知识的学习，运用 “转化” 的思想探索三角形面积的计算公式。由于三角形按角的标准可以分为三类：直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，所以，学生运用两个相同的三角形拼成的四边形也是不同的，既可能是普通的平行四边形也可能是长方形，学生也在运用不同种类三角形推导得到面积公式的过程中，进一步感受到思考数学问题的严谨性、多样性。】三、练习巩固
1. 下图是一个三角形的花圃。
（1） 如何求出这个三角形花圃的面积？想一想并与同伴交流。
（2） 已知这个花圃的高为 6m，对应的底为 12m，求出它的面积。
90132. 一块三角形交通标志牌（如图），面积是 35.1dm²，底是 9dm。这个底对应的高是多少分米？
9012
【 设计意图： 得到了三角形面积公式不是我们学习的最终目的，我们的最终目标是要回归现实生活，解决实际问题。这一教学环节既巩固了对公式的运用，也让学生感受到数学学习的魅力和价值。】
四、总结提升
1. 师：通过这节课的学习，你有什么收获？（学生自由发言）
生 1：知道了三角形的面积公式：s=ah÷2
生 2：学会了转化的方法求三角形面积
2. 教师小结：通过这节课的学习，我们又一次体会到了 “转化” 的方法在求图形面积领域的应用，也让我们知道了两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形或长方形，进而我们就能求出三角形的面积了，希望同学们在以后的学习中，能更深一步体会这种数学思想在学习中的重要作用，学会动脑思考。
【设计意图： 课堂最后的小结，既是对本节课知识的梳理、巩固，也是一种反思和提升，使学生对这节课有了更整体的认识。】
板书设计：
三角形面积 = 底 × 高 ÷2 转化：平行四边形
s=ah÷2 长方形
图片：
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-7-22 08:34 编辑
【 选课思考 】
《三角形的面积》是北师大版数学教材五年级上册第四单元第 5 课时的内容，隶属于 “图形与几何” 领域，是在平行四边形面积学习的基础上探索三角形面积的问题。
1. 教学内容的选择是围绕本届网络教研主题 —— 核心素养发展导向的课堂教学 ——“度量” 确定的。《三角形面积》是 “图形与几何” 领域中测量部分需要承载的课程目标和课程内容。
2.《三角形的面积》隶属于 “图形与几何” 中 “测量” 的内容。如何在测量内容领域落实核心素养，理解并发展度量的概念，这是一次艰难的探索，因为我们要去思考，如何引起广大教师在这一类内容领域中促进学生对度量概念的理解，并加强对度量方法的掌握等问题。
3. 三角形是重要的平面几何图形研究对象之一。比起长方形正方形和平行四边形面积的探究，探究三角形的面积对学生的要求更高。需要学生对转化方法有更多的思考，和大胆的操作尝试。所以内容的选择一方面对于学生学会思考本身就是一种很好的素材，另一方面对于提高学生探究并利用公式求量的大小的度量意识也是一种挑战。
东师附小孙艳君5年前
读了张老师的教学设计，张老师不仅关注学生可能出现的学习障碍，而且关注学生数学思想的培养。另外，张老师对三角形面积公式的推导与之前学习的平行四边形的面积公式推导进行了对比分析，平行四边形的推导是等积变形，而三角形的推导是拼出更大的平行四边形面积变了，不是等积变形，需要重点探讨变形前后面积之间的关系，这里非常值得学习。有几点疑问和张老师探讨：
用格子图测量的是具体三角形的面积，而后面的三角形面积的推导是任意的三角形，在从具体的三角形到任意三角形之间是否需要一些过渡？如遇到更大的三角形还用格子去测量怎么样？这里学生可以选择大一些的面积单位去测量。格子图的方法弊端究竟是什么？只是因为图形变大了吗？我想应该不是，而是因为每遇到一个三角形都这样去数，去拼拼凑凑，太麻烦了，所以我们才要去推导公式。
把三角形转化成平行四边形共有两种方法，一是张老师提到的用两个完全一样的三角形去拼，还有一种是直接用一个三角形进行剪拼，在张老师的设计没有看到第二种方法，如果学生出现这种方法张老师怎么处理？是留到下节课处理吗？
本次大赛的主题是度量，前面数格子的方法可以看出张老师是通过度量出三角形所包含的面积单位的个数来突出面积度量的本质，那么在推导的环节是怎么突出度量主题的呢？
期待得到张老师的回复，谢谢！
wx_zPdv2Qut5年前
张老师的设计非常有层次，从三角形面积公式产生的必要，到运用转化思想得到三角形面积公式一点点循序渐进，学生的思维在这个过程中得到了很好的发展，完全是从学生角度出发，设计的本节课。
王丹5年前
本帖最后由 王丹 于 2019-8-30 17:01 编辑
看了张老师的课，觉得张老师很有想法，想张老师探讨一下。
（1）面积与周长不同，周长是长度，有简单方便的测量工具，可以通过测量得到具体长度，而面积虽然也有电子测量仪器，但并不普及，人们更多的是通过测量长度结合面积计算公式来解决生活中的实际问题，所以面积公式较周长公式具有更重要的意义。在长正方形面积和平行四边形面积的研究过程中，都有具体的统计面积单位个数的过程，而三角形面积公式的得出依赖于转化成平行四边形或者长方形。如果是转化成长方形，仍然可以清晰的对应到面积单位的个数，如果转化成平行四边形就不能显现的对应成面积单位的个数，而是对应为了平行四边形的面积公式。这里如何处理更符合学生对面积的认识值得研究。
（2）面积的大小和长度、体积一样是其包含的度量单位（即面积单位）的个数，也就是说面积的得到实际是对面积单位个数的统计。这个统计的过程可以是逐一的数，人们也会自发的想办法借这个统计的过程，面积公式实质就是实现了对面积单位统计的简化。既然第一环节学生有了数格子的经验，第二环节可不可以考虑延续第一环节的任务，将 “数出面积” 变为 “算出面积”，这样就建立了数和算的练习，学生更容易理解算其实是简便的数。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-2 17:39 编辑
[王丹发表于2019-8-3016:45](https://bbs.xsj21.com/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175394&ptid=125724)
<p align="left"><font face="Tahoma,"> 三角形面积这节课的内容本身涉及面积公式的推导，这对于学生本身就有些困难，对应的练习是不是应该是最基本的利用三角形的底和高来求面积。第二个练习题显然是面积公式的逆向应用，会不会偏难了一些，想看看张老师第一次试教后学生的程度如何。</font></p>回复：
王老师您好，您的建议特别好也很及时。
本节课我们将教学重点聚焦在 “利用转化的方法推导三角形面积”，最近我们已经进行了一次试教，从学生反馈来看，对学生来说，用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形这种方法难度不大，难的是用割补法或剪拼的方法将三角形转化成平行四边形，学生动起手来操作较慢，课堂时间很紧张，这一点是我们之前没有预设到的。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-8-31 11:11 编辑
[家有小机灵发表于2019-8-3014:34](https://bbs.xsj21.com/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175379&ptid=125724)
张老师，你好！对于平面图形面积的度量，三角形并不是第一个，之前有长、正方形面积的度量。为什么在三角形 ...老师您好，我个人理解：度量是我们研究一维图形、平面图形、立体图形的重要方法，没有度量，几何学无从谈起。
所以，度量的思想和方法对学生来说太重要了，而 “转化” 更是一种重要的数学思想。
在我们小学阶段，图形与几何是学生感受、体会、应用 “转化” 思想的很好载体，所以，我认为，我们应该抓住这样的教育契机，培养学生的 “转化” 思想，让其转化为学生的学习能力，使学生终生受益。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-2 17:37 编辑
[东师附小于雪发表于2019-8-3014:44](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175382&ptid=125724)
<p align="left"><font face="Tahoma"><b> 张老师的教学设计非常好，但是我有一个小建议：</b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 在情境引入环节，应该让学生充分感受到计算三角形面 </b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 积的生活需要，但是我觉得生活中做一面流动红旗是不需要 </b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 计算它的面积的，因为流动红旗是一个等腰三角形，我们可 </b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 能只需要关注这面红旗的底有多长，高有多高，或者只是关 </b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 注它的三条边长度等，所以我认为这个情境可能不太符合实 </b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 际的生活需要。</b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 希望张老师可以考虑更换一个能让学生产生计算需要的 </b></font></p><p align="left"><font face="Tahoma"><b> 情境。</b></font></p>回复：
感谢于老师的建议，这一点真的是提醒了我，仔细想一想，这个情境貌似合理，但是与生活实际却有不符之处：生活中对于等腰三角形的量尺制作问题，确实很少需要求面积，好像利用水平边和高的居多，至于学生的理解是怎样的，我们还需要对学生做进一步的研究和考察，接下来我们团队会对这一点进行深入思考。
感谢您提出的宝贵意见 ！
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-2 17:43 编辑
[<b>风清发表于2019-9-216:06</b>](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175423&ptid=125724)
<p align="left"><b> 在板书设计环节，对学生各种转化方法的展示过程中，是否 </b></p><p align="left"><b> 可以考虑用不同颜色的三角形，让学生直观感受到拼成的图形是 </b></p><p align="left"><b> 由两个完全一样的三角形转化而来的。让学生更容易发现拼成的 </b></p><p align="left"><b> 图形和原来三角形面积的关系。</b></p>回复：
老师您好！
我们在教学设计中之所以考虑用一样颜色的三角形是觉得学生这样更容易接受两个三角形是完全相同的，也让学生更容易从视觉上看到拼成的是一个完整的平行四边形，但是这一点可能对于学生后续寻找转化前后两个图形的面积关系直观性就不够强了，我们会考虑您的建议。
再次感谢！
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-3 12:54 编辑
<font face="Tahoma,"> 关于情境设计合理性的前测 </font>对于上面老师提出的关于情境的问题，引起了我们的重视和深刻的反思。为了了解学生关于生活经验的积累到底达到了什么样的程度，是怎么样来理解这个问题情境的，我们用访谈法对 10 名同学进行了前测：
问题：老师想给班级做一面流动红旗，我已经用电脑制作了一个图片（用电脑出示图片），现在想知道做这面红旗需要多大的布，你需要知道什么？
访谈结果显示：
需要知道三条边：2 人。知道水平底、高长度：6 人（个别学生语言表述虽然没有说出 “高” 这个词，但是意思是相同的，比如：量出底，把布对折，再量一下等。）。需要知道周长：1 人需要知道面积：1 人
从调查结果我们看到：10 人中仅有 1 人指出求面积，其余 9 人都将研究的方向集中在三角形的高。
为什么会出现这样的情况呢？我们团队进行了剖析：
我们认为：孩子的思维、考虑的方法是符合生活实际的。因为流动红旗是等腰三角形，我们生活中真的需要做一面这样的红旗，只是需要用尺子量一下底，再对折确定高就可以了呀，根本无需求它的面积，也就是我们的情境设计是不太合理的，并不能让学生感受到面积产生的生活需要。但是具体需要什么样的生活情境呢？我们现在思考的还不够成熟，所以，我们将这个生活情境做了修改，直接变成了数学情境，直入主题。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-3 13:16 编辑
<font face="Tahoma,"> 一、二稿改动前后对比 </font>- 关于情境的修改。
说明：基于以上前测结果，我们对教学设计进行了修改。
原教学设计： 改后：
9358 9357
- 关于教师板演作品的修改
一稿中我们将三角形用一样的颜色是为了让学生更容易从直观上看到是 “两个完全一样的三角形”，但是这一点可能不太利于学生发现转化后平行四边形和原来三角形的面积关系，所以，我们决定接受老师的建议，用不同颜色的三角形来展示学生作品。
原教学设计：
9359
改后：
9360
- 关于练习题的修改
因为教学设计的一稿是在假期完成的，没有学生，我们预设学生会在 30 分钟左右完成前面的教学环节，但是在学生开学后，我们针对学习任务的难度进行了初步的、粗略的前测，测试结果显示：在转化的这个环节，一部分孩子是存在困难的，即便是能顺利完成转化任务的孩子，在接下来寻找转化前后两个图形的面积关系、底和高的关系的环节中，几乎没有几个学生能说清楚这里面的具体关系，搞不清楚所说的高是转化后图形的高还是转化前三角形的高，所说的底是转化后图形的高还是转化前三角形的底。
所以，这一节课的课堂容量还是很大的，一节课下来我们只是完成了公式的推导部分，这样看来，我们的课堂练习部分在一稿中的设计是不够合理的。在二稿中，，我们对练习题进行了梯度设计，循序渐进。
原教学设计： 改后：
9361
图片：
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张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-3 13:36 编辑
《三角形的面积》教学设计二稿
【教学准备】教师准备：A4 纸大小的格子图，每个同学 4 个一样的三角形。
学生准备：剪刀、胶棒。
【教学流程】
一、提出数学问题
- 老师想知道下面这个三角形的面积，你有什么办法？
9377<b></b>生 1：数格子
生 2：用公式计算
- 数格子的方法是大家很熟悉的，我们现在就动手数一数，得到这个三角形的面积是多少。（为学生发格子图，上面印有三角形）
生：6 平方厘米
【设计意图：直接提出数学问题，为本节课的研究指明方向，也为后面教学环节的实施争取更多时间。】
二、探究新知
- 老师 ppt 出示一个更大的三角形，对于这个三角形同学还想用数格子的方法得到它的面积吗？
9378
生：不能
- 为什么不行了呢？
生：太麻烦了，也没有那么大的纸呀
- 如果我们能推导出三角形面积计算公式就好了，是不是？
生：是
- 上节课我们学习了平行四边形面积公式的推导，还记得我们是怎样得到平行四边形的面积的吗？
生：转化成长方形
- 转化是数学中很重要的方法，这节课我们就来研究一下，三角形能不能转化成我们学过的图形，进而得到它的面积公式呢？
学生独立学习，可能的方法有：
（1）拼成一个平行四边形 （2）拼成一个长方形
9375 9373（3）拼成一个正方形
9374
教师追问：拼成图形的面积和三角形的面积有什么关系？
生：都是三角形面积的一半。
怎样才能得到三角形的面积？
生：先求出平行四边形或长方形或三角形的面积，再除以 2 就可以了。
想一想，三角形的面积该怎样计算呢？
生推导出公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷2
你能尝试用字母表示这个公式吗？
生：S=ah÷2（也可以有分数形式）
【设计意图：这个教学过程给了学生很大的自由思考空间，意在让学生通过前面相关知识的学习，运用 “转化” 的思想探索三角形面积的计算公式。由于三角形按角的标准可以分为三类：直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，所以，学生运用两个相同的三角形拼成的四边形也是不同的，既可能是普通的平行四边形也可能是长方形，学生也在运用不同种类三角形推导得到面积公式的过程中，进一步感受到思考数学问题的严谨性、多样性。】
三、练习巩固
9376
【设计意图：得到了三角形面积公式不是我们学习的最终目的，我们的最终目标是要回归现实生活，解决实际问题。这一教学环节既巩固了对公式的运用，也让学生感受到数学学习的魅力和价值。】
图片：
spring_i4f375年前
认真阅读了张老师关于《三角形面积》这一节课的教学设计，有这样一点思考：教师提出问题后，学生想到可以通过数格子得到三角形面积。那么，在使用这种方法时，学生一定要一个格子一个格子的去数吗？此时学生会不会想到可以把这个三角形放在一个长方形中，先算出长方形的面积，再 ÷2 就能得到三角形的面积呢？然后就可以顺势引导学生用转化的思想推导出三角形面积公式。
伏凯5年前
张老师您好，通过对本届大赛 “度量” 主题的不断学习，我们年组的全体教师对 “度量” 有了新的认识，更对面积的度量有了重新的认识。
如：“几何学的基本度量之一，是用以度量平面或曲面上地块区域大小的正数。通常以边长为单位的正方形的面积为度量单位。（非负数或 0）面积的这个严谨定议说明，面积乃是对一些平面图形分别指定一个数（0 或正数），而且批定的方法必须满足” 有限可加性 “、” 运动不变性 “和” 正则性 “三个条件，这三个条件也可以看作是” 面积公理 “。
数学意义上的面积测量，其实质是要对某些平面图形指定一个合适的数，并使之满足一些特性。
五年级上的学生，在对求三角形面积时，学生的策略变得更加合理且多样化，但对面积度量的理解应该和很多教师一样，都停留在程序性理角上，没有质的突破。这是我们在对” 度量 “浅显的理论学习，和对学生对度量理解的浅谈。
在北师版五上的《多边形面积》单元，很多的课程都会是” 度量 “主题的重点课例，如何以格子图数面积和以公式推导面积这样的传统教学中，更加突显” 度量 “主题的味道，当然数格子和公式计算也都是度量，但意味不够酣畅淋漓，希望张老师团队，能够深耕” 度量 “主题，让我们眼前闪亮，学习受益！谢谢！—— 来自： 二附小五年团队petrelblue5年前
张老师您好，《三角形的面积》一课是在学生已经学习了平行四边形面积的基础上进行的，这节课主要是培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力以及类推能力，渗透转化的思想，发展学生的空间观念。张老师尝试放手让学生自主探索发现三角形的面积的计算值得我们学习。学习了您的教学设计的第一稿与第二稿，深益颇深，同时也有几处小问题与您探讨：问题引入时，第一稿从现实问题情境引入，转变成第二稿直接切入 “想知道这个三角形的面积” 的问题，这样转变的初衷是什么？
张玲玲5年前
[东师附小石迎春发表于2019-8-2912:00](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175352&ptid=125724)
图形的面积单元中三角形的面积一课，是一节非常典型的探究课。
长度、面积、体积的度量除了维度不同，其在 ...石老师您好！
感谢您提出的宝贵问题！
在本节课中如何帮学生感知度量的本质一直是我思考的问题。您提出的让学生通过与长度的测量过程进行类比这一想法，应建立在学生在利用度量单位密铺平面图形，或巧算面积单位的数量等一系列操作活动的基础上，待积累了一定的活动经验后，再自发或教师引导提出，从而进行类比推理。的确，度量活动中蕴含着推理，无论测量对象是一维的还是二维三维的，其实质都是相同的！张玲玲5年前
[张玲玲发表于2019-9-813:42](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=176019&ptid=125724)
老师您好！
您的建议非常值得我们团队去探讨。
直接拿出一个三角形，问题感是不太强，我们会 ...老师您好！
学生在研究三角形面积之前，已经探究过了长、正方形及平行四边形面积的计算方法。所以，他们在面对三角形的时候，往往想到的第一个方法依然是数格子 —— 即用面积单位去度量。
通过前测，我们发现：大多数学生在没有提示的情况下，很难想到将三角形转化成其他学过的图形，是因为转化方法只出现在探究平行四边形面积方法时，且是图形自身的转化；而三角形与长、正方形的形状区别较大，不利于学生联想和联系，且边的数量也不同。这的确给学生在转化方面带来了巨大的困难。
所以，我们认为数格子是学生的基本经验，更是探究平面图形面积的基本方法。
对于学生的困难，我们会继续研讨出 “锦囊”，使他们的学习更有效。
感谢您的建议！张玲玲5年前
[伏凯发表于2019-9-420:34](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175678&ptid=125724)
张老师您好，通过对本届大赛 “度量” 主题的不断学习，我们年组的全体教师对 “度量” 有了新的认识，更对 ... 感谢伏老师及团队其他老师对我们的期望。
几何学源自图形大小的度量。可见，度量对于几何学的意义，没有度量就没有几何学，几何学的长足发展更信托于度量。所以，我们团队研究的并不仅仅是一节平面图形的面积课，而是要全面、系统、深入地了解度量的意义、实质及其发展史。
我们的学习与研究还在继续，相信一定不会让老师们失望的！张玲玲5年前
[东师附小石迎春发表于2019-9-418:30](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175672&ptid=125724)
张老师您好！
认真学习了你们的研究，为你们的探究精神感动。
在第二轮研究中，最大的改变是把教学情境进行 ...石老师您好！
在小学数学课堂上，情境引入至关重要，好的情境更发激发学生的思考。
史宁中教授概括的这几种情境在小学数学课堂上广泛使用。但一节课究竟要使用其中的哪一种，我们团队认为，这取决于学生的认知水平及要探究的知识本身。
流动红旗，学生们现熟悉不过了，相当一部分学生对它的大小是有一定感知的，因此，探究的动力性就有可能会减弱，所以，我们将情境 “简化”，拿出一个不可感知其大小的三角形，希望更能激发学生的探究欲望。
当然，我们团队对度量的学习、研究与实践还在继续，也许在后续的几稿中还会对情境进行改进，请石老师继续关注！
非常感谢！张玲玲5年前
[wx_zPdv2Qut发表于2019-9-417:29](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=175670&ptid=125724)
在用格子图数三角形面积的时候，学生的方法是什么？由于数比较大，还有很多半格，学生会不会就想到把三角形 ...教师您好！
感谢您的提问。
一个一个地数密铺地面积单位是度量的最基本方法，在探究长方形面积时，学生就会发现一个一个地数太麻烦，明明是可以看成有几行、有几列的，因而，计算的方法即公式法也就产生了。
在数三角形内部有多少个面积单位时，有些学生可能还是会一个一个地数，会将不满一格的两个或多个拼成一个格，但这样数非常麻烦，所以意识到以后便会自发地去探索更快捷的方法，转化法就水到渠成了。当然，度量法便是转化法的实践基础。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-14 14:27 编辑
<font face="宋体"><b> 第三稿教学设计 </b></font><b><font face="宋体"> 前测题目、前测结果 </font></b>教学设计第三轮 学情分析设计思考：
《标准》指出：数学活动应该建立在学生认知发展水平和已有知识经验的基础之上。了解学生的认知基础，正确把握学生的探究起点，教学才能真实有效。教学前测正是帮助教师找准教学起点和把握学情的有效手段。
《三角形的面积》是北师大版数学教材五年级上册第四单元第 5 课时的内容，隶属于 “图形与几何” 领域，是在平行四边形面积学习的基础上探索三角形面积的问题。那么在教学过程中，哪些是学生已经理解、掌握了的？哪些又是学生学习过程中会遇到的困难？也就是学生生活经验的、知识经验的根底到底在哪里。由于我们第一、二稿的教学设计里呈现的学情分析，多是以教师对学生知识经验了解的基础上进行分析得来的，这样就不能做到对学情的精准把握。因此，我们团队试图通过对学生的学前调查，找准教学的起点，找到突破重难点的策略，以期待达到事半功倍的教学效果。
张玲玲5年前
- 访谈对象的选择。
五年 6 班 9 名同学，根据四年级下学期所有考试总分排名，前五名中选 3 人，中间选 3 人，后五名中选 3 人。由四位老师分别进行一对一的访谈录音录像测试。
- 前测目标的定位
通过对不同学生的访谈调查，目标有二：一是学生的学习起点在哪里。二是我们该为学生提供什么样的学习材料。
- 访谈结果及分析
（1）4 人知道公式，5 人不知道公式，6 人没有办法尝试说理或推导三角形面积计算方法，3 人把三角形转化成了学过的图形，但是找不到图形之间的联系，说不出道理。由此说明学生转化图形和找联系是有困难的。
（2）9 名同学中 5 人选取 3 号学具，3 人选择 4 号学具，1 人在纸上画三角形，然后自主画格子，我们追问为什么选择带格子的三角形，学生普遍回答说感觉有格方便找出面积，由此能看出学生从直觉上依赖方格。
张玲玲5年前
三角形的面积教学设计第三稿
【 教学目标 】1. 使学生在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能够正确地计算三角形的面积。
2. 使学生通过操作和对图形的观察、比较、发展空间观念。使学生知道转化的思考方法在研究三角形的面积时的运用，培养学生的分析、综合、抽象、概括和运用转化方法解决实际问题的能力。
3. 在探索学习过程中，培养学生的实践能力、探索意识、合作精神与创新精神；同时使他们获得积极、成功的情感体验。
【 教学重点 】
理解三角形面积计算公式的推导方法 , 掌握三角形面积的计算公式。
【 教学难点 】
理解 转化前后图形各部分间的关系 。
【 教学准备 】
教师准备：
1. 印有彩色三角形的格子图。
2. 学习任务卡一、二
3. ①号、②号、③号彩色三角形若干。
学生准备：剪刀、胶棒。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-14 13:26 编辑
【 教学流程 】
一、情境导入
1. 这节课，老师带大家去一个神秘的国度，看看是哪？（播放 PPT 图片）
9601哪啊？埃及。知道埃及在哪吗？
现在你就是税官，来看看，要知道这块土地有多大？怎么办？（长 × 宽）还记得吗，当时我们是怎么推导出长 × 宽的？（数方格 ppt）
9602还真巧了，4000 多年前的古埃及啊，也是用这种看起来像方格一样，分割土地的方法得到长方形和正方形面积算法的。看来咱们的思考啊，和数学文明的发展还真有些想象的地方。
2. 不过后来古埃及人发现并不是所有土地都这么方方正正的，怎么知道他们有多大呢？
你们想不想知道他们的办法呀？想不想超越他们？我们这节课就来探究三角形面积的算法（板书课题 —— 三角形面积）
【 设计意图 ： 设计有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣，同时，让学生了解数学史，更进一步体会面积产生的生活需要。】
图片：
张玲玲5年前
二、数格子得到三角形的面积
1. 土地的面积太大了，我们先从一个小三角形入手来研究吧。（出示一个普通的锐角三角形）
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2. 求这个三角形的面积，就是在求什么？
生：它里面有多少个面积单位。（板书：面积单位的个数）
3. 有什么办法能得到它的面积呢？
生：数格子
96004. 对于这个三角形，我们选择哪个面积单位合适呢？
5. 生：1 平方厘米
6. 是这样吗？（师 ppt 出示格子图）数格子的办法我们很熟悉，再来两个三角形大家还会数吗？
生：会
7. 接下来，我们就动手数一数。
8. 谁能到前面来说一说，你是怎么数的？
生：先数整格，再数半格（只要学生说的合理就行）
9. 我们用同样的办法也能得到 2 号、3 号图形的面积，对吗？
生：对
10. 谁来汇报一下你的结果，2 号图形的面积是？3 号图形的面积是？
生：②号面积是 4 平方厘米，③号面积是 5 平方厘米。
11. 看来呀，无论锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，我们都能用数格子的办法得到它的面积。
12. 相像一下，刚才那么大一块土地，你也想用数格子的办法去求它的面积吗？
生：不行，太麻烦了。
13. 既然数格子不行了，就要想办法去算！
14. 三角形的面积公式我们还没有学过，但我们学过哪些图形的计算方法？
生 1：长、正方形的面积公式
生 2：平行四边形的面积
15. 我们是把平行四边形转化成长方形来研究的，那我们能不能尝试把三角形转化成长方形或平行四边形来研究它的面积计算方法呢？
【 设计意图 ： 数格子的办法最接近学生理解用面积单位度量面积的本质：面积单位个数。而选择合适的面积单位度量一个图形的面积是度量的起点，再让学生经历数格子的过程，即复习了原有知识，又为后面探索计算方法积累了度量经验 】
图片：
张玲玲5年前
三、 探索三角形面积计算方法
- 独立学习：出示学习指南。
9603
- 小组学习：出示学习指南
9604
- 汇报交流。
预设：生 1：
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（1）平行四边形 （2）长方形
生：按照学习卡片的顺序汇报
师：重点关注学生有没有讲清楚转化前后两个图形的面积和各部分的关系。
学生可能提出的问题预设：（1）为什么前后的面积要除以 2？
理答：平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的，平行四边形的面积是三角形的 2 倍，所以要除以 2.
（2）平行四边形的面积公式为：底 × 高，这里面的底是三角形的底，高是三角形的高，为什么得到的不是三角形的面积？
理答：三角形的底也是平行四边形的底，三角形的高也是平行四边形的高，底 × 高看似是三角形的面积，其实是平行四边形的面积，除以 2 才能得到三角形的面积。
师：板书三角形的面积 = 平行四边形的面积 ÷2
= 平行四边形底 × 平行四边形高 ÷2
= 三角形底 × 三角形高 ÷2
结论：三角形的面积 = 底 × 高 ÷2- 谁来说一说刚才的方法怎么样？
生：很巧妙，很好。
- 他是借助一个图形来转化的，方法很巧妙，老师都不一定能想到，这么好的方法，我们给它起个名字吧！
生：重叠法、复制法等（只要合理即可）
- 都有哪些同学也用了复制法？
生：举手。
我们看到，无论是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形我们都能利用复制法转化成平行四边形，进而推导出面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷2。
恭喜大家，到现在我们已经成功解决问题了。
【设计意图：这个教学过程给了学生很大的自由思考空间，意在让学生通过前面相关知识的学习，运用 “转化” 的思想探索三角形面积的计算公式。三角形与其它平面图形相比最大的特点是它有类别特征，我们让全班同学分组分别研究了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形是由于三角形按角的标准可以分为这三类，从这三类三角形入手得到一个相同的公式对学生来说更有说服力，推导过程更严谨。学生运用两个相同的三角形拼成的四边形也是不同的，既可能是普通的平行四边形也可能是长方形，学生也在运用不同种类三角形推导得到面积公式的过程中，进一步感受到思考数学问题的严谨性、多样性。】
图片：
张玲玲5年前
四、 进一步学习交流、体验多种方法
- 刚才老师看到，很有同学还有不一样的方法，大家想不想学一学？
生：想。
- 出示学习指南，完成学习任务。
96069607
- 谁来说一说，你要推荐谁的方法？
生：我推荐某某的方法，理由是・・・・・・・
- 请这种方法的同学到黑板来展示。
9608
学生主要说清楚是怎样变化的，转化前后图形的面积和各部分之间的关系。
- 得到面积公式：三角形面积 = 底 ×（高 ÷2），求的是同一个图形的面积，我们可以把这个公式变成更简洁的：三角形面积 = 底 × 高 ÷2。
【设计意图：让学生体验不同的推导方法，开阔视野，拓展思维，也使学生明确：不同的推导方法可以得到相同的计算公式，归根于度量的本质：图形中面积单位的个数。】
图片：
马老师5年前
[东师附小石迎春发表于2019-9-1415:46](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=176743&ptid=125724)
张老师好！
认真研读了你们团队的新一轮的设计！收获特别大！
感觉你们这一轮有很大的改进，无论是教学情境 ...石老师您好，关于您提出的第一个问题，为何改情境：原有教材在设计中是以 “求一面流动红旗的面积” 展开的，我想，教材的设计意图应该是让学生感受到 “求三角形面积” 的生活需要，我们将情境进行了调整，一方面达到了教材的设计意图，另外一方面是因为我们查阅了相关材料，得知面积产生的历史缘由，所以，情境的修改，另一个目的是让学生了解数学史，同时，激发学生的学习兴趣！
马老师5年前
[东师附小石迎春发表于2019-9-1415:46](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=176743&ptid=125724)
张老师好！
认真研读了你们团队的新一轮的设计！收获特别大！
感觉你们这一轮有很大的改进，无论是教学情境 ...关于石老师提出的第二个问题，为何加入 “数格子” 环节：我们认为，面积归根结底是要看图形中包含有多少个面积单位，而数格子的方法是最能直接体现用面积单位度量面积的本质的，数格子的方法虽然学生在三下的时候已经有了一定的经验积累，但学生的经验更多是建立在整格子，如长、正方形的基础上的，本节课是本单元学生继平行四边形面积后第二次经历数格子，虽然方法相似，确又有诸多不同，所以，我们认为有必要让学生再次经历数的过程，再次体会度量的本质即面积单位个数，为后续转化积累度量经验。
lixingrong5年前
教师设计的 “出示一个更大的三角形（底 58 厘米，高 48 厘米），对于这个三角形同学还想用数格子的方法得到它的面积吗？” 这个活动对于学习三角形面积的必要性有着很重要的思考作用，赞！
wx_Xz8aoXTd5年前
从学生的真正去用已有的知识，解决未知的问题，这是数学思维给予我们的启发，对三角形面积的探索，方法多种，而让学生自己探索出，会记忆很久，这点张老师的教学设计中，真的是非常突出。
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-17 11:24 编辑
三角形的面积 教学设计 最终稿
【教学目标】使学生在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能够正确地计算三角形的面积。
使学生通过操作和对图形的观察、比较、发展空间观念，感悟度量本质，使学生知道转化的思考方法在研究三角形的面积时的运用，培养学生的分析、综合、抽象、概括和运用转化方法解决实际问题的能力。
在探索学习过程中，培养学生的实践能力、探索意识、合作精神与创新精神；同时使他们获得积极、成功的情感体验。
【教学重点】
理解三角形面积计算公式的推导方法，掌握三角形面积的计算公式。
【 教学难点 】
理解转化前后图形各部分间的关系。
【 教学准备 】
教师准备：
1. 印有彩色 三角形的格 子图。
2. 学习任务卡一、二
3. ①号、②号、③号彩色三角形若干。
学生准备：剪刀、胶棒。
【 教学流程 】
一、情境导入
1. 今天老师给同学们准备了一个小视频，请大家仔细看。（播放尼罗河视频）
9937
2. 谁听清里面的数学问题了？
生：求这块土地的面积。
3. 其实，就是求这个 “三角形” 的面积。
【设计意图：设计有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣，同时，让学生了解数学史，更进一步体会面积产生的生活需要。】
图片：
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-15 21:33 编辑
二、数格子得到三角形的面积
1. 土地的面积太大了，我们先从一个小三角形入手来研究吧。（出示一个普通的锐角三角形）
9938
2. 求这个三角形的面积，就是在求什么？
生：它里面有多少个面积单位。（板书：面积单位的个数）
3. 有什么办法能得到它的面积呢？
生：数格子
99394. 对于这个三角形，我们选择哪个面积单位合适呢？
生：1 平方厘米
5. 是这样吗？（师 ppt 出示格子图）数格子的办法我们很熟悉，再来两个三角形大家还会数吗？
生：会
6. 接下来，我们就动手数一数。
7. 谁能到前面来说一说，你是怎么数的？
生：先数整格，再数半格（只要学生说的合理就行）
图片：
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-15 21:33 编辑
8. 谁能到前面来说一说，你是怎么数的？
生：先数整格，再数半格（只要学生说的合理就行）
9. 我们用同样的办法也能得到 2 号、3 号图形的面积，对吗？
生：对
10. 谁来汇报一下你的结果，2 号图形的面积是？3 号图形的面积是？
生：②号面积是 4 平方厘米，③号面积是 5 平方厘米。
11. 看来呀，无论锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，我们都能用数格子的办法得到它的面积。
12. 相像一下，刚才那么大一块土地，你也想用数格子的办法去求它的面积吗？
生：不行，太麻烦了。
13. 既然数格子不行了，就要想办法去算！
14. 三角形的面积公式我们还没有学过，但我们学过哪些图形的计算方法？
生 1：长、正方形的面积公式
生 2：平行四边形的面积
15. 我们是把平行四边形转化成长方形来研究的，那我们能不能尝试把三角形转化成长方形或平行四边形来研究它的面积计算方法呢？
【设计意图：数格子的办法最接近学生理解用面积单位度量面积的本质：面积单位个数。而选择合适的面积单位度量一个图形的面积是度量的起点，再让学生经历数格子的过程，即复习了原有知识，又为后面探索计算方法积累了度量经验】
张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-16 09:59 编辑
学生可能提出的问题预设：
（1）为什么前后的面积要除以 2？
理答：平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的，平行四边形的面积是三角形的 2 倍，所以要除以 2.
（2）平行四边形的面积公式为：底 × 高，这里面的底是三角形的底，高是三角形的高，为什么得到的不是 三角形的面积？
理答：三角形的底也是平行四边形的底，三角形的高也是平行四边形的高，底 × 高看似是三角形的面积，其实是平行四边形的面积，除以 2 才能得到三角形的面积。
师：板书三角形的面积 = 平行四边形的面积 ÷2
= 平行四边形底 × 平行四边形高 ÷2
= 三角形底 × 三角形高 ÷2
结论：三角形的面积 = 底 × 高 ÷2
4. 谁来说一说刚才的方法怎么样？
生：很巧妙，很好。
5. 他是借助一个图形来转化的，方法很巧妙，老师都不一定能想到，这么好的方法，我们给它起个名字吧！
生：重叠法、复制法等（只要合理即可）
6. 都有哪些同学也用了复制法，请他你们的学习卡片粘贴在前面的小白板上。
生：把作品贴在白板上。
7. 我们看到，无论是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形我们都能利用复制法转化成平行四边形，进而推导出面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷2。
8. 恭喜大家，到现在我们已经成功解决问题了。
【设计意图：这个教学过程给了学生很大的自由思考空间，意在让学生通过前面相关知识的学习，运用 “转化” 的思想探索三角形面积的计算公式。三角形与其它平面图形相比最大的特点是它有类别特征，我们让全班同学分组分别研究了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形是由于三角形按角的标准可以分为这三类，从这三类三角形入手得到一个相同的公式对学生来说更有说服力，推导过程更严谨。学生运用两个相同的三角形拼成的四边形也是不同的，既可能是普通的平行四边形也可能是长方形，学生也在运用不同种类三角形推导得到面积公式的过程中，进一步感受到思考数学问题的严谨性、多样性。】张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-15 21:39 编辑
四、 将底、高由正整数域拓展到小数域
1. 我们知道，面积归根结底是看有多少个面积单位，是不是任意两个一样的三角形都能用复制法拼成平行四边形进而推导面积公式呢？
生：是
2. 我们来试试看（ppt 动画）
生：确实可以呀！
3. 刚才我们研究的三角形底、高都是整格子数，但是生活中的三角形底或高不都是整格子的，像屏幕上的这个三角形，为了更清楚看出面积单位个数，再把这个平行四边形转化成长方形（ppt 动画）。这个三角形还能用底 × 高 ÷2 计算吗？
生：可以，用更小的面积单位测量。（ppt 展示）
【设计意图：本节课，我们始终要牢牢抓住度量的本质：图形中面积单位的个数。公式只是帮助我们快捷得到面积单位个数的方法。我们推导三角形面积公式的过程是一个归纳的过程，即从特殊到一般的过程，我们在枚举三角形时，为了方便研究都是从底、高都是整数的三角形入手，这也使得三角形面积公式的推导只是局限于底、高为整数的三角形，史宁中校长说过：单从几个个例出发就得到一个结论，这样太可怕了！我们在初步得到三角形面积公式后一定要利用演绎推理进行证明：（1）所有两个完全一样的三角形都能拼成平行四边形。（2）所有拼成的平行四边形与原三角形面积、各部分关系都是相同的。这样才能得到整数范围内的三角形面积公式。而现实生活中的三角形不只是在整数域范围内，所以，要将数域拓展到小数域，只有所有类型的三角形都能用 “底 × 高 ÷2” 计算才行。这才是一个完整的推导三角形面积公式的过程。】张玲玲5年前
本帖最后由 张玲玲 于 2019-9-15 21:38 编辑
五、 进一步学习交流、体验多种方法
1. 刚才老师看到，很有同学还有不一样的方法，大家想不想学一学？
生：想。
2. 出示学习指南，完成学习任务。
99319932
3. 谁来说一说，你要推荐谁的方法？
生：我推荐某某的方法，理由是・・・・・・・
4. 请这种方法的同学到黑板来展示。
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学生主要说清楚是怎样变化的，转化前后图形的面积和各部分之间的关系。
5. 得到面积公式：三角形面积 = 底 ×（高 ÷2），求的是同一个图形的面积，我们可以把这个公式变成更简洁的：三角形面积 = 底 × 高 ÷2。
【设计意图：让学生体验不同的推导方法，开阔视野，拓展思维，也使学生明确：不同的推导方法可以得到相同的计算公式，归根于度量的本质：图形中面积单位的个数。】
图片：
大V吴小_n8eHL5年前
在学生已经充分认识了三角形的特征，能熟练地计算长方形、正方形面积，在此前学生经历了推导平行四边形的面积公式，在实际操作的过程中已经感受到了知识之间的相互联系与互相转化的思想，为本节课中三角形的面积公式的推导做了铺垫。平行四边形转化成长方形是等积转化，而三角形通过构造一个全等图形拼组转化成平行四边形和三角形通过添补转化成长方形，学生在原有基础上是没有这个经验的。学生的已有经验是等积变形，但把三角形进行等积变形，需要合理分割重新组合，这对于学生来说仍具有挑战性。综上，学生能想到将三角形转化成学过的长方形或者平行四边形，但是如何转化，以及转化前后找到各部分之间的关系仍然是具有挑战性的。
30度的_JF3rV5年前
平行四边形转化成长方形是等积转化，而三角形通过构造一个全等图形拼组转化成平行四边形和三角形通过添补转化成长方形，学生在原有基础上是没有这个经验的。学生的已有经验是等积变形，但把三角形进行等积变形，需要合理分割重新组合，这对于学生来说仍具有挑战性。
小琪琪5年前
看了张老师的教学设计，收获颇丰：
（1）重视引导学生通过归纳逐步得出三角形面积计算公式。
很多时候，教师在课堂教学中急于得到面积公式，经常以一个图形为载体，探索面积公式。学生缺少从个别到一般的归纳过程。而张老师是从三个不同类别的三角形入手，通过数格子得出三角形的面积，初步体会三角形的面积计算公式。在此基础上进一步通过转化无格子的三角形推导出三角形的面积公式，最后将三角形的范围进一步扩大，从整数到小数，归纳出三角形面积公式。从而也为不同层次学生探索三角形面积提供了支撑。
（2）在探索面积公式的过程中进一步凸显面积的本质
学生对面积意义的建构不是一蹴而就的，传统教学过于重视对面积公式的探索，对面积的本质关注不够。而张老师在这节课中，借助对三角形面积公式的探索过程，很好地让学生感受了面积的意义：要求三角形的面积实际上就是看三角形包含单位面积的个数。而且，通过数格子，为不同层次学生探索图形面积提供了有力支撑。以往的教学经验表明，课堂上常常会出现两极分化的现象：一部分学生能通过切割、平移、旋转等实现图形间的转化，而还有一部分学生束手无策。而本节课张老师为学生提供了格子图。借助方格更有助于学生形成 “剪拼、割补” 的思路，更便于学生想象，有效促进了学生图形转化策略的多样化。
wx_z81JKDSp5年前
《三角形的面积》这课设计有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣，更进一步体会面积产生的生活需要。数格子的办法最接近学生理解用面积单位度量面积的本质：面积单位个数。选择合适的面积单位度量一个图形的面积是度量的起点，再让学生经历数格子的过程，即复习了原有知识，又为后面探索计算方法积累了度量经验。
张玲玲5年前
[wx_z81JKDSp发表于2019-9-2110:34](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=178516&ptid=125724)
《三角形的面积》这课设计有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣，更进一步体会面积产生的生活需要。数格子的 ...在本节课中，学生时刻把握 “三角形中面积单位个数” 这条主线展开一系列学习活动，所有的实践、操作都为三角形中面积单位的个数服务，在操作中进一步感知求三角形面积的两种方法：数格子和推导计算公式，而后面的推导公式在是前面用数格子的办法无法进行时展开的，也让学生进一步感知到用计算的方法求面积的必要性。
张玲玲5年前
[清新淡雅@[雪儿](https://bbs.xsj21.com/member/雪儿) 发表于 2019-9-16 13:55](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=177789&ptid=125724)
本节课老师非常注重让孩子经历公式产生的过程。抓住了重点，突破难点。我自己对这节课的情景选择有点儿不同 ...感谢老师提出的宝贵意见！我们在一稿时采用了教材中原有的教学情境，经过试教和前测，我们发现这个教学情境并不适合我们的自己的学生，北师版教材也明确指出：各个地方可以根据实际情况，对情境进行修改。所以，在遵循原教材设计意图的基础上，在终稿部分我们对教学情境已经进行了修改，老师可以看一下。
张玲玲5年前
[淘气小猴发表于2019-9-2007:46](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=178432&ptid=125724)
在学生已经充分认识了三角形的特征，能熟练地计算长方形、正方形面积，在此前学生经历了推导平行四边形的面 ...老师说得对，纵观整个北师版教材编写，在图形与几何求 “面积” 领域，我们是在三下学习了长、正方形的面积计算方法，在五上，也就是本学期的《多边形的面积》单元安排了三个图形面积公式推导，分别是平行四边形面积在先，然后是三角形的面积，最后是梯形面积，六年级还会学习圆的面积，每个图形面积的推导都为后面图形面积的计算起到了承前启后的作用。
张玲玲5年前
[小琪琪发表于2019-9-1921:17](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=178422&ptid=125724)
看了张老师的教学设计，收获颇丰：
（1）重视引导学生通过归纳逐步得出三角形面积计算公式。
...感谢老师高度的评价！我们在教学设计之初，一直都在思考几个问题：学生的学习起点在哪里？需要为学生提供什么样的学习材料？学生是怎样学习的？带着这些问题，我们进行了学情的相关前测，在掌握了学生的学情之后，我们为学生提供了带有格子图的学习材料，可以说，我们每个教学设计都是有所依据的，整个的教学设计过程也是我们研究学生的过程，我们力争将教学设计更加合理化，学生能够学得更好。
张玲玲5年前
[蔷薇_fTHuD发表于2019-9-1911:01](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=178324&ptid=125724)
学生利用不同的三角形进行操作，学生利用推导平行四边形面积的方法，建立三角形面积模型，激发学生的学习兴 ...我们提供的三角形的不同，是类别的不同，而不是简单的图形形状的不同：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各一个。因为三角形与其他图形相比最大的特点是有类别特征的，而三角形面积的推导过程一定是归纳的过程，我们认为，既然是归纳，就要考虑从三角形不同的类别入手，得到一个基本的结论：三角形面积 = 底 × 高 ÷2，再进行演绎推理，对之加以证明，这才是一个完整的归纳、推导过程。
张玲玲5年前
[30度的_JF3rV发表于2019-9-1713:31](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=178037&ptid=125724)
平行四边形转化成长方形是等积转化，而三角形通过构造一个全等图形拼组转化成平行四边形和三角形通过添补转 ...老师说得很深刻！用两个完全一样的三角形转化成平行四边形的方法和之前平行四边形的转化方法是完全不同的，学生根本没有这样的转化经验，所以，确实相对比较难。但是，在之前的学习中，教材中是有意做了铺垫的，在四下第二单元《图形的分类》中，学生已经积累了经验：两个完全一样的三角形能拼成平行四边形，一个平行四边形能变成两个完全一样的三角形；在五年级上《多边形的面积》单元，第一课时 “比较图形的面积” 中也为学生铺垫了两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形，所以，班级里有一部分学生是能实现转化的。而且，为了掌握学生到底积累了怎样的学习经验，我们进行了前测，大约有三分之一左右会成功利用双拼法完成转化，这与实际的课堂教学反馈也是吻合的。
刘仙玲5年前
今天有时间上网关注东师附小的网络教研，看到执教教师和研究团队以及热心参与研究的教师，真是群策群力、出谋划策，最后呈现出了比较完善的教学设计，这样的研究过程于参赛教师还是参与的教师都是非常有价值和意义的。这样的一节课的聚焦，让我们看到了教师对学生的真切关注和对教学的深度思考，以及为了学生获得发展所做的学习活动等方面的一遍一遍的调适！现对教学目标的表述，提出一点儿建议。我们知道教学目标抑或叫做学习目标，是从学生视角进行阐述的。所以，最后稿中的 “使学生。。。” 还是将学生置于了被动学习的位置。建议去掉这样的表达，直接了当的说明学生在三维目标上获得了哪些收获和成长即可。当然，瑕不掩瑜，相信，东师附小率性教学的理念以及有过程的归纳的思想都体现得比较充分了！
fuchenchen5年前
通过操作，体现了解决问题的方法多样性，如主题图中长方形与平行四边形面积的比较用数方格法、割补法等方法。启发学生设法把所研究的图形转化为已经会计算面积的长方形，渗透 “转化” 的思想方法
简阳袁春华5年前
[张玲玲发表于2019-7-1809:52](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=173106&ptid=125724)
【教学目标】 1. 使学生在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能够正确地计算三角形的面积。
2. 使学生通 ...三角形的面积这节课中，是让学生借助已有的长方形面积计算公式的探究过程和平行四边形面积计算公式的探究过程当中的一些数学思想和数学方法来探寻它的面积计算公式。在新课的教学当中，张老师通过情境的创设，让学生用数方格的形式去数一数，并且是出示了更大的三角形，让学生发现，用数格子的方法，太麻烦了，从而促使学生去思考，能够度量三角形面积的计算公式。在这个环节当中，因为数方格有不满一格的情况出现，这个时候可激发学生想办法解决，学生会想到更小的一个小方格，这也就是用更小的度量单位去测量这个图形的面积。当教师出示第 2 幅更小格子图的时候，学生就发现这样子度量出来的结果就更加准确，在学生有了这样直观的认识基础上，让学生来想像如果格子越小，那么就能够越准确的度量出三角形的面积，同时就让学生发现度娘图形的面积可以找到更小的度量单位。在这个过程当中，一是发展了学生的度量意识，同时也是发展了学生极限思考的意识和能力。在此基础上，再引导学生回顾长方形和平行四边形面积的推导过程，从而激发学生去主动探寻三角形面积计算方法。
张玲玲5年前
现场答辩预设问题：
本次活动的主题是度量，我想贵方团队在教研过程中一定对 “度量” 有了一些理解与思考，请贵方团队谈谈你们对度量本质的理解。
尊敬的各位专家、同仁大家好，对方基地向我们提出的问题，我们将从以下四方面阐述对度量的理解。
一、对度量本质的理解及两类度量在课程领域中的分布。
度量是指用一个带单位的数值来描述可测量物体或现象的某一个属性，从而形成某个具有特殊含义的 “量”，即量化的过程。
度量的核心要素：单位和度量值
对于量化的过程，我们是这样理解的：如，要描述一个面的大小，要先确定一个度量单位，再用这个单位去测量，如果面中含有 10 个这样的单位，度量值就是 10 个单位。
关于度量，我们请教了史宁中教授。史教授认为：度量可以分为两类：一类是通过抽象得到的，是人思维的结果；另一类是借助工具得到的，是人实践的结果。
二、基于度量主题的教学，培养学生获得 “四基”。
我们认为，度量教学尤其有助于对基本思想和基本活动经验的培养与积累。如在《三角形面积》一课中，从有方格到无方格，实现 “具象” 度量到 “抽象” 度量就能体现抽象的数学思想。
度量教学，重点培养学生数学推理的能力，能进行推理是深度理解度量意义的关键。例如，在经历了长度单位由临时到统一的过程，感受统一单位的必要性和便捷性后，学生可以从活动经验上对面积、体积单位的统一进行推理，从而感悟度量单位统一的本质。
对于教学路程、速度、时间三个量之间的关系属于间接度量，能够培养学生的数学建模思想。
在平面图形面积这部分内容中，教材为发展学生的数学活动经验，是这样编排的：前面的知识学习，都能够为后面知识的探究积累数学活动经验。北师版在学习平行四边形面积公式之前，还设计了《比较图形的面积》，这节课为后面多边形面积公式推导的多样性和深入性提供了充分的数学活动经验。
三、基于度量主题的教学，转变学习方式，培养学科核心素养。
以《三角形面积》一课为例，鉴于对教学内容及学生的研究，决定了适合的学习方式是：独立思考、自主探索、动手实践和合作交流。这些学习方式有助于培养学生数学学科核心素养 —— 空间观念、几何直观、推理能力。
张玲玲5年前
追问问题：教学过程中是如何体现度量的
一、 通过对数学史的了解，体会面积度量的必要性
通过观看 埃及尼罗河水泛滥的视频，让学生感受测量面积产生的历史背景，更进一步体会面积测量的生活需要，激发学生学习的兴趣。
二、 选择合适的度量单位，培养学生的度量意识
用数学方法度量问题的基础，是构建或选择标准度量单位。因此能否选择合适的面积单位进行度量，是学生形成度量意识和度量能力的关键（鲍建生）。
教师在尼罗河泛滥的生活情境中，抽象出数学问题，研究一个小三角形面积，让学生选择合适的面积单位来度量。
三、 通过数方格得到三角形的面积，进一步积累直接度量经验
数单位的个数是度量活动中的基础活动，要贯穿度量内容教学的始终。
我们设计了这样的学习任务，在方格图中得到三角形的面积，把数长方形、正方形和平行四边形面积的学习经验，迁移到三角形面积中，通过数几类图形的面积，积累不同图形面积的度量经验，从而加深对面积概念本质的理解。
四、 在图形的转化过程中，得到面积公式，实现间接度量
张奠宙认为：度量是对度量对象指定一个合适的数，并使之 满足一些特征：正则性、有限可加性、运动不变性。
吴正宪认为：多边形（如长方形、平行四边形、三角形、梯形等）面积公式的导出，需要把图形分割、拼补，就是以不变性和可加性为基础的。
三角形面积公式的推导离不开转化的思想，在双拼法的转化过程中，重点让学生明确转化前后图形面积的关系、各部分的关系，通过寻找这种对应关系让学生感受到各种类别的三角形都可以通过找到合适的度量单位，用底 × 高 ÷2 这个方法求出三角形中面积单位的个数。
五、 从有方格到无方格，实现 “具象” 度量到 “抽象” 度量的升华
开始我们将三角形底和高的取值范围局限在正整数域。从而得到三角形面积的计算公式；然后我们将三角形放在非整数域中，通过缩小面积单位最终实现了全部都是整格，；最后，脱离格子图，进一步抽象，让学生感受到没有格子图，我们可以想象着计算三角形中面积单位的个数，这样就将三角形面积公式的适用范围从正整数域拓展到了任意长度。三角形面积度量的本质要归根到长方形面积的度量，我们又引导学生理解：三角形的底就是转化后长方形的长，也就是一行能摆的面积单位的个数，三角形的宽也就是转化后长方形的宽，也就是能摆几层，底 × 高就是长方形中面积单位的个数，也是平行四边形中面积单位的个数，再除以 2 即是三角形中面积单位的个数。度量基础是两点间的直线距离，也就是说直接测量三角形的底和高就可以计算三角形的面积，面积单位个数的计算变成 “长度” 的计算。只要知道对应的长度，就能算出面积。从而更深刻的感受求三角形面积就是求其中面积单位的个数。
张玲玲5年前
活动综述
2019 年 10 月 23-26 日，在王春英主任的带领下，我校数学教师一行五人赴太原参加第十八届全国新世纪小学数学课程与教学系列研讨会暨 “数学素养发展导向的数学课堂 —— 度量” 主题专场活动。
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大会主题报告阶段，我们有幸现场聆听史宁中校长《小学数学中的度量》专题报告，史校长从度量概念的重要性、以及从传统、拓展、现代理解三方面阐述了度量本质，最终得到结论：数学的本质在于度量，在于构建模型的度量。史宁中校长的报告让我们受益匪浅，加深了我们对度量的认识。在关于 “度量” 主题的研讨期间，团队成员在长春就带着问题拜访了史校长，我们一直比较困惑，在史校长讲座结束后的答疑环节，冯丹老师代表团队针对小学数学 “统计与概率” 领域如何体现度量老师代表团队针对上述问题请教了史校长，这也使得我们对统计与概率领域的度量有了更深入的理解。
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在紧张的教学设计课堂展示现场答辩活动环节，自由校区杨静、冯丹、张玲玲、马炳清 4 位教师代表东北师范大学附属小学基地校凭借教学研讨和答辩环节的精彩表现，最终获得了团体特等奖的好成绩！
本届大赛历时三个多月，团队成员在王春英副主任的指导下，在赵艳辉副校长带领的数学团队帮助下，从选课备课到学情调研、从教材比较到教学设计、都进行了深入探索和尝试。课堂教学的主题帖得到了东师附小四个校区数学教师的积极回应，老师们为我们提出了宝贵的建议，使我们的教学设计不断提升。我们的课堂教学实录也获得了老师们的啧啧称赞。
团队成员经过前期的网络研讨和答辩，过关斩将，有幸与来自全国的 12 个团队进行现场答辩。在现场答辩环节中，我校团队准备充分，有前瞻的理论高度，有扎实的教学实践，四位老师对对方辩友和评委的提问对答如流，层次分明，论据适切，展现了附小数学研究团队的实力和水平，得到了专家和老师们的高度认可！
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感谢学校给予老师这么好的提升锻炼的机会，三天的学习收获颇丰，但我们深知 “路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，在学校 “率性教育” 教育理念的滋养下，我们不断努力、不断奋斗，一定会取得更优异的成绩！
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