伏凯

东北师范大学附属小学

关于参加 “新世纪小学数学第十三届教学设计与课堂展示活动” 的研究历程照片

东北师范大学附属小学

关于参加 “新世纪小学数学第十三届教学设计与课堂展示活动” 的研究历程表

全国新世纪小学数学

第十三届基地教学设计与课堂展示活动

—— 网络答辩

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老师们好：

我们来自东北师范大学附属小学，执教的内容是《三角形分类》。这是对方辩友提出的问题。

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问题中提到两个核心词， 空间思维和空间观念 ，有研究表明，学者们大都把空间观念作为空间思维的代名词。因此我们在这里也不再区分。将上述两个问题合并为：如何借助 语言表达 、 实物直观 、 操作体验 确定分类标准，促进学生空间观念的发展？

分类标准的确定是本节课的的难点。空间观念的培养也是本节课的重要教学目标。分类的过程能够促进空间观念的发展；反之，空间观念的发展也有助于学生深入体会分类的合理性。二者相辅相成，不可分割。

纵观本节课的教学过程，是一个集观察、操作、想象、表达纵横交错的过程。不论是空间观念的培养，还是分类的过程，都离不开实物直观、动手操作和语言表达。下面我们就从以下三方面予以具体阐述。

一、提供实物直观，唤醒空间知觉

直观是发展学生空间观念的重要手段。

学生第一次认识三角形是在一年级，距离现在时间较长。因此有必要再次经历从实物到图形的抽象过程。上课伊始，教师先给学生提供实物图片，借助图片学生很自然地想象出不同的三角形，有效唤醒了已有的知识经验。

我们知道，分类本身是一个归纳的过程。归纳就要有足够的表象积累。学生怎样能快速得到不同的三角形并且便于操作呢？为此，我们给学生提供了长短不同的扣条，让学生课前尝试围出不同的三角形。据统计，一组扣条 72 根，能围出 49 个不同的三角形，有效丰富了三角形的感性经验。同时，在围的过程中，学生也能深刻体会到，任何一个三角形都有三个角、三条边和三个顶点。

二、借助操作体验，建立空间表象

1. 操作与想象相结合，寻找分类线索

确定标准也就是按什么分是三角形分类的难点。影响三角形分类的因素有哪些呢？为此，教师先引导学生想象，除了我们屏幕上看到的三角形外，三角形还有可能长什么样？在练习本上画一画，借助 pad 拖一拖，在想象、拖拉的转换中学生得到了不同的三角形，也体会到了影响三角形形状的关键因素：边和角。因此，边和角是三角形分类的重要线索。

2. 操作与观察相结合，经历分类过程

学生明确了分类线索：即按角分，按边分以后，教师给学生提出了具体的学习任务，先观察三角形角或边的特征，然后确定分类标准进行分类。孩子们把一个个的三角形拿在手里，摆弄观察，（孩子操作图片）比较角和边的异同。进而把具有相同特征的一些三角形放在一起，得到不同类别。

3. 操作与推理相结合，理解分类本质

史宁中校长曾提到，对于比较复杂的问题，在头脑中形成一个合理的类绝对不是自然而然的，需要一个由混沌到清晰的过程。对三角形的分类也是如此。学生把有直角的放在一起、有钝角的放在一起，都是锐角的放在一起。这样分类是否合理呢？接下来就引导学生进一步观察，看看每类三角形的三个角，都是什么角。通过观察发现，不论是哪类三角形，都有两个锐角。因此要判断一个三角形是什么三角形，关键就要看第三个角。（图片）第三个角就是不同类别三角形的异相。（三类一起图片）通过这样的辨析让学生体会：通过共相能得到类，通过异相能划分类。

此外，学生分的是自己围的三角形，是不是所有的三角形都能归入这三类呢？学生再次操作 pad，拖拽出不同的三角形，看一看是否存在反例，从而确认分类结果。这样学生就经历了从具体到抽象，从个别到一般的思维过程，有效建立了各类三角形的表象。

三、依托语言表达，发展空间思维

语言表达贯穿本节课教学始终。用语言描述影响三角形变化的因素，描述分类的过程和结果，说明三角形的 “共相” 与 “异相” 等。（屏幕打出学生说的关键的话：如 “分水岭”）通过 “生生交流”“师生交流”，在言语与表象、言语与想象、言语与推理的转化反馈中不断丰富学生的空间知觉，促进空间观念的发展。

当然，空间观念的发展不是一蹴而就的，是一个长期浸润、积累与循序渐进的过程。通过本节课的学习，力求让学生经历一个类的形成过程，在类的形成过程中建立各类三角形的表象，发展学生的空间观念。谢谢！

三角形分类 教学设计（第四稿）5

三、巩固练习，增强空间想象，思辨中提升空间能力。

师：我们来做个游戏。

师：猜一猜被信封遮住的可能是什么三角形？

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预设：直角三角形。

师：一定吗？为什么？

预设：一定。因为它有一个直角，就是直角三角形。

师：猜一猜被信封遮住的可能是什么三角形？

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预设：一定是钝角三角形。

师：猜一猜被信封遮住的可能是什么三角形？

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预设：学生可能开始时会惯性的认为是锐角三角形，但略微思考，头脑快的学生可能会反应过来，只看一个锐角无法判断的问题。

师：看来它是不是一个锐角三角形，大家意见不统一。这样吧，请同学们在题卡上画一画你想象出来的三角形，看看它可不可能是锐角之外的三角形。

四、课堂小结

师：今天我们给三角形按不同的标准进行了分类，同学们表现非常棒！老师奖励大家再看一些图片（播放图片）。三角形在生活中的应用非常广泛，希望同学们在课后继续观察生活，看看生活中都应用了哪类三角形？并关注哪类三角形在生活中应用的相对比较多。这节课我们就上到这里，下课。

三角形分类 教学设计（第四稿）4

2. 按边的标准，制定分类标准，为三角形分类

师：按下来，我们从边的角度，重新给你手中的三角形学具分分类，看看你可以找到什么分类标准？怎么进行分类？分成几类？小组合作完成分类活动。

师：哪个小组愿意到前面来分享一下你们的学习成果？

师：说一说你们组的分类标准是什么？怎么分的？分成几类？

预设 1：按有或没有相等的边来分：分成两类。

预设 2：按照有几条边相等来分：分成三类。有两条边相等的三角形，有三条边相等的三角形，没有边相等的三角形。

师：哪个小组和他们分的一样，有没有补充或质疑？

......

师：其实同学们都关注到了三角形边与边之间的长短关系。也是在按照三角形三条边相等的情况来分类的，分为：三边都不相等的，有两边相等的，有三边相等的。

师：老师注意到，很多同学都关注到了这两类三角形，我们一起来看一看。

（将等腰三角形分别挂到黑板上）

师：（指等腰三角形）这类三角形的边有什么特征？

预设：有两条边相等。

师：根据特征给这类三角形起个名字，谁知道这类三角形叫什么三角形？

预设：等腰三角形

师：“腰” 在哪儿？

师：（标 “腰”）

师：（指等边三角形）这类三角形的边有什么特征？

预设：三条边都相等。

师：这类三角形叫什么名字？

预设：等边三角形。

师：（拿出纸质三角形）老师这里有个三角形，它是什么三角形？

预设：等腰三角形。

师：你怎么能判断它是个等腰三角形呢？

预设：可以测量，看有没有相等的两条边。

师：老师测量过，这两边是相等的，所以可以确定它是一个...... 等腰三角形。

师：除了测量，你还有什么办法？

预设：我们也可以对折，两边重合，说明这两条边相等。

师：这样一对折，除了可以验证这两边相等，还验证了什么，谁看出来了？

预设：底下的两个角也相等。

师：通过观察，你发现等腰三角形和等边三角形有什么关系？

预设：等边三角形是特殊的等腰三角形。

师：看看你自己画的那 2 个三角形，从边和角这两个方面看一看，它们都是属于哪类三角形？

（拿一个孩子的作品，展示。）

三角形分类 教学设计（第四稿）3

师：（指直角三角形）大家看，他们将这些三角形分到了同一类，那他们都有什么相同的地方吗？

预设：它们都有 1 个直角。

师：你怎么确定这个角是直角的呢？（标直角符号）

预设：用三角板量。

师：除了都有 1 个直角，另两个角什么角呢？（锐角，几个？2 个。）

师：它们都有 1 个直角 2 个锐角。（板书：1 直 2 锐）

师：（指钝角三角形）把这些三角形分到了同一类，那他们又有什么相同的地方吗？

预设：它们都有 1 个钝角 2 个锐角。

（板书：1 钝 2 锐）

师：（指锐角三角形）那这类三角形，他们都有什么相同的地方？

师：它们都有 3 个锐角。（板书：3 锐）

师：观察这每类三角形中的三个角，你有什么发现？

预设：都有 2 个锐角。

师：老师看锐角三角形是有 3 个锐角呀。

预设：3 个锐角就是 1 锐 + 2 锐，所以能看出它们都有 2 个锐角。

（板书：1 锐 + 2 锐）

师：都有 2 个锐角...... 那 2 个锐角还是每类三角形的特征吗？能作为区分每类三角形的分类标准吗？

预设：不能。

师：那谁能？

预设：除两个锐角以外的第三个角。

师：（指直角三角形一类）这类三角形的特征是什么？

预设：有一个直角。

师：（指直角三角形一类）我们能根据这类三角形的特征为这类三角形取个名吗？

预设：直角三角形。

师：（指钝角三角形一类）这类三角形具有什么特征呢？谁能给它们起个名字？

师：（指锐角三角形一类）这类三角形具有什么特征？最后再给它们起个名字？

预设：锐角三角形，不能只说有 1 个锐角，要说 3 个角都是锐角的三角形是锐角三角形。

师：前面都说有 1 个直角、有 1 个钝角，怎么到锐角这里就不说有 1 个锐角的三角形是锐角三角形呢？

预设：因为每类三角形里都有 2 个锐角，所以只有 1 个锐角并不是锐角三角形的特征，要说 3 个都是锐角，才是锐角三角形的特征。

师：如果老师手里有一个三角形，想让你判断它是哪类三角形，你怎么判断？还用三个角都说吗？

预设：不用了，只要判断除 2 个锐角以外的第三个角就可以。

师：“2 锐” 可以擦掉吗？

师：这个锐角三角形的 “2 锐” 我也擦掉，行吗？

预设：不行。“3 锐” 是锐角三角形的特征，擦掉后只剩 “1 锐” 不行。

师：所以三角形按角分类，就是按照第三个角是什么角进行分类的。

师：请同学们在 PAD 里任意拖拉出一个三角形，判断它属于哪类三角形？看一看有没有被我们遗漏的，归不到这三类的三角形？

预设：3 个顶点在一条线上，很平的钝角三角形......

师：老师也拖一个三角形，大家看看这是哪类三角形？（老师拖动，反复拖动，最后手动图不动的让学生想。）

师：你发现这三类三角形之间有没有什么关系？

预设：我感觉直角三角形起到一个分界线的作用。

师：请同学们闭上眼睛，你的头脑里现在一定有无数个千变万化的三角形。就请你想一个只属于你自己的直角三角形，想到了吗？再想一个只属于你自己的钝角三角形，最后想一个只属于你的锐角三角形。

师：除了从角的角度给三角形分类，还可以从哪个方面对三角形分类？

预设：还可以按边分。

三角形分类 教学设计（第四稿）2

【教学过程】

一、创设生活情境，直观感知异同，激发学习兴趣。

师：同学们，老师带来了一些照片，我们一同欣赏一番。

（课件展示，简单介绍）

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师：看到这些画面，你想到了哪个图形？

（课件展示）

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师：生活中只有长成这样的三角形吗？（不是的......）

师：你能不能画出 2 个你认为不太一样的三角形呢？请你也在本上画一画。

师：如果给你足够多的时间，你能画出多少个三角形？

预设：能画出无数个。

师：真的能画出无数个？怎么就能得出无数个三角形呢？我们利用手中的 PAD 体会一下。

（指导 PAD 操作）

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师：你们体会到有无数个三角形存在了吗？

预设：感受到了。

师：是什么因素在影响着三角形的形状千变万化的？

预设：是因为三角形角和边的变化。

师：这无数个三角形，不管怎么变化，它们都有什么共同的特征？

预设：它们都有 3 个角，3 条边和 3 个顶点）

（板书： 3 个角，3 条边，3 个顶点）

师：我们今天要研究三角形，把无数个三角形一个一个的研究可行吗？应该怎么研究？

预设：不可行，需要分类研究。

师：这节课我们就学习三角形的分类。

（板书：三角形分类）

【设计意图：空间知觉是指对物体距离、形状、大小、方位等空间特性的知觉。上课伊始，教师出示生活中的图片刺激学生视觉，引发学生对三角形这一图形的关注。PAD 的操作，不仅可能让学生感受到三角形的千变万化和共同特征，还让学生进一步直观感知到三角形形状的影响因素，为学生后面分类活动寻找分类标准奠定认知基础。】

二、找寻分类标准，经历分类过程，发展空间观念。

师：分类就要先 找到 分类的标准。给三角形分类，我们要从哪些方面去找分类标准呢？

预设：可以从三角形角和边的方面去考虑。

师：为什么？

预设：因为边和角的改变影响着三角形的形状的不同。

师：既然这样，我们就先从角的角度，给三角形分分类。请看学习指南。

（出示独立学习指南）

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1. 从角的角度，制定分类标准，为三角形分类。

・独立学习

（指导学生将 PAD 收好。）

（学生开展独立学习）

（教师深入学生中间，进行课堂观察，对分类有困难的个人进行指导，并做好记录。）

师：老师发现很多同学都有了自己的想法，现在我们要进行小组学习，哪位同学为大家读一下小组学习指南。

（出示小组学习指南）

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师：现在哪个小组愿意到前面来与大家分享你们的学习成果？

预设 1：我们组将三角形分成两类：有直角的分为一类，没有直角的分为一类。

预设 2：我们组将三角形分成三类：有 1 个直角的分为一类，有 1 个钝角的分为一类，3 个都是锐角的分为一类。

（将学生展示的三角形学具，按分类结果用磁力扣挂到黑板上，多挂一些，调好角度。）

师：哪个小组和他们组分的一样？

师：有这么多组和他们一样，对于这样分类的理由，还有要补充的吗？

预设：......

三角形分类 教学设计（第四稿）1

东师附小基地 —— 刘仙玲、李向坤、修影、李延春、伏凯

【 教学内容 】北师大版四年级下册第 22 页、23 页

【 教材分析 】

《三角形分类》是北师大版数学教材四年级下册第二单元第 2 课时的内容，隶属于 “图形与几何” 领域，是在图形分类学习的基础上探索三角形分类问题。对此内容的编排，教材首先呈现了由 9 个标有序号的三角形拼成的帆船图，并提出了 “把组成下面图案的三角形进行分类（用附页 3 中的图 1），并和同伴交流你的分法” 的活动要求。对于三角形分类的线索和思路等方面没有做任何提示，这是一个开放的分类活动。

对于教师熟悉的按 “角” 分和按 “边” 分的两个维度的分法，教材都没有明确给出。按 “角” 维度的分法，教材直接呈现 “笑笑的分法”，即三个集合圈，每个集合圈里分别放有归类后的几个直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。为了体现对所有三角形分类的关注，教材在每个集合圈的下面分别引出一个箭头，箭头下画出了没有序号的具有一般性的三类三角形的直观图，并标上了名称。“你知道笑笑这样分的道理吗？与同伴说一说、认一认” 的要求，意在让学生揣摩其分类标准。按 “边” 维度分类的情况，教材编者有意回避了按 “边” 分类的 “分歧”，直接呈现了一个等腰三角形和一个等边三角形，这两个三角形已经脱离了帆船图的 9 个三角形，具有一般性，至于两者的关系则以智慧老人的语言 “等边三角形是特殊的等腰三角形” 加以说明。从对教材的分析来看，我们主观的认为，教材编者一方面希望教师能组织开放性的分类活动；另一方面，又不希望由于分类问题的难度影响学生对结果性目标的掌握，所以对 “分类标准” 有意做了弱化处理。

【 学情分析 】

学生在以往的学习中已经认识了角、认识了三角形，知道三角形具有稳定性，对图形分类已经有所了解。虽然以往的学习中学生积累了一些分类的经验，但是确定分类标准对于学生来说始终都是难点。因此，我们在第二稿的教学设计前，做了学情分析的调查问卷。

我们从统计结果可以看出，学生在随意画出一个三角形时，高达 75%的学生都画出来近似于等腰 (或接近等边) 的锐角三角形，说明这种形状的三角形在学生的头脑中建立了较 “牢固” 的空间表象。分析其原因，这也许跟一年级学生认识三角形的学习经验有关，教师关注较多的也许是这样类型的三角形，而对于直角和钝角三角形出示和强化的不够；还有另一个更重要的原因，可能是与学生的生活经验相关。生活中很多事物如建筑、桥梁、饰品等都选择这种具有对称性的三角形，比较常见。这一调查，提醒我们对直角三角形和钝角三角形的空间表象的形成要更加关注。

通过对结果的统计，我们还看到学生在面对诸多三角形时，学生用怎样的数学眼光进行观察、比较、辨析，能看到学生的思考维度，关注问题的角度，以及对异同辨析中是否可以抓住本质特征等。从统计结果可见，一部分学生或多或少的关注到了三角形 “角” 和 “边” 两个关键要素，这对于学生继续关注角和边进行分类就有了一定的认知基础。

还有就是对本节课的主体内容分类问题的关注。有一半以上的学生可以正确分类，尤其是有一部分学生按照是否有直角进行分类的，说明直角三角形作为锐角三角形和钝角三角形的 “分水岭” 受到了学生较为敏感的发现。但审视学生的问卷发现，学生也许分类分正确了，但是在表述自己的分类标准时还存在说不明白的情况存在。因此，这进一步说明 “分类标准” 的确定和表达是学生学习分类的难点所在。

从小学阶段儿童思维发展的特点来说，四年级的学生仍然处于以具体形象思维为主向抽象逻辑思维过渡的阶段，抽象逻辑思维在很大程度上还需要与直观的感性经验相联系。因此，组织学生多种感官参与的分类活动，是非常有必要的。

【 教学目标 】

1. 知识与技能：会根据三角形的角、边的特点确定分类标准并给三角形分类，认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形和等边三角形。知道等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 过程与方法：让学生经历探究三角形分类的过程、在分类中体会分类标准的严密性，感受各类三角形之间的关系。

3. 情感态度价值观：体会分类思想，发展学生空间观念。

【教学重点】

经历分类的过程，掌握各类三角形的特征。

【教学难点】

确定分类标准，从不同角度给三角形进行分类。

【教学准备】

教师准备：多媒体课件、每人一台 PAD，学习卡

学生准备：直尺、量角器、三角板等，多个不同的扣条三角形。