这是一个创建于 1359 天前的主题，其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
尊敬的各位专家、老师们：
大家好！
我是来自四川成都高新基地的张小容老师。很荣幸，能作为成都高新基地的教师代表，参加本届教学设计与课堂展示 “量感” 主题专场活动。感谢新世纪教材编委会、北京师范大学课程研究中心数学工作室的各位专家、领导们为我们搭建的展示、研讨、交流以及促进专业发展的成长平台。感谢领导们把专家、教研员与我们普通教师聚集在了一起，让我们这些普通教师与异地的同行、专家们一路同行。 在接下来的日子里，我们团队成员（葛琳老师、王萍老师、马燕老师）将紧紧围绕本次活动的主题 “量感”，基于数学课程标准、学情，认真思考、设计、组织实施本次活动的研讨课例。我们会认真阅读、思考每一位老师的点评，不断学习、实践、反思。 在这里先向大家道一声：感谢！
预祝本次活动取得圆满成功！预祝各位参赛老师都取得优异的成绩！
【选课思考】 https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_74390
【教学设计（初稿）】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_74451
https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_74452
【学力单（初稿）】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_74465
□
【第一次试讲和研讨照片】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94243
【第一次试讲反思】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94244
【教学设计二稿】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94245
【学力单二稿】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94252
□
【第二次试讲和研讨照片】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94865
【第二次试讲反思】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94868
【教学设计三稿】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94873
【学力单三稿】https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_94875
□
【第三次试讲和研讨照片】 https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_97446
□
【教学设计终稿】 https://bbs.xsj21.com/t/1752#r_97448
□
110 条回复 • 2021-04-22 21:14:58 +08:00
成都高新基地张小容4年前
【选课思考】
量感是指人的视觉或触觉对物体大小、多少、长短、粗细、方圆、厚薄、轻重、快慢等量态的感性认识。量感是数感的重要组成部分，也是数感的一种延伸。量感的培养有助于学生理解量的概念、体会量的大小，加强对于数量的感知，同时也可以提高学生的估算和估测能力。良好的量感将有助于学生的学习和生活。
三年级学生在学习和生活中已经具有初步的量感，通过货币、长度、时间、重量等量的学习，具备了一些常见量的学习经验，在生活中，也对物体的大小有了自己的感知。《长方形的面积》这节课，是要将学生对于大小的感性认识提升到理性的高度，将从工具度量过渡到公式度量，这个过程是学生量感发展的一次质的飞越。
在设计过程中，我们团队将教材进行了三个细节的改编，一是将问题串 1 设计得更加开放，给学生提供丰富的工具，以供选择，选择工具的过程是学生量感的一次唤醒；二是改变问题串 2 中两个长方形的周长，变得和问题串 3 中第二个周长一样，学生对比周长和面积，发现周长一样，面积却不同，为后面探究周长和面积的关系打下基础。同时，通过一维和二维的对比，学生的量感得到提升；三是将问题串 3 中的第一个正方形的边长变为 2.5 厘米，学生无法直接用边长 1cm 的小正方形密铺量出面积，这时候只能考虑推理或者是将面积单位变小来进行密铺。细分单位和转化正是学生数学学习的两大重要方法，这个过程也将继续丰富学生的量感。
成都高新基地张小容4年前
【教学设计（初稿）】
学情分析：
本课是在学生已经学习了货币、时间、长度、重量这些生活中常见的量之后，了解了长方形、正方形特征，学习了长方形和正方形的周长概念以及周长计算方法，在知道了面积和面积单位，学会用面积单位直接量面积的基础上展开的，是学生第一次学习平面图形的面积计算。学生在学习这一课之前，通过其它量的学习，具备了初步的量感；在观察、操作和想象的过程中有了量感逐步丰富的体验，具有了学习量、建立量感的一些经验。这些学习经验和知识储备，都可以迁移到本课中来，同时，通过本课的学习，不仅能为后续学习平行四边形、三角形以及梯形面积计算打下基础，也能为长方体体积的探索提供研究路径。
教材分析：
量感是在度量的过程中逐步建立和丰富的，同时丰富的量感又有助于度量活动的顺利进行。从本课的教材编排看，三个问题串正好符合学生量感逐步提升的过程。在测量长方形的面积时，从密铺 —— 只摆满长和宽 —— 用公式度量，操作越来越简单，但抽象程度越来越高，需要的对量的感受也越来越强。最后在学习正方形面积的计算方法时，通过想象、类比、推导，从而得出结论，是学生量感的又一次升级。
设计理念：
以发展学生量感为目标，从单元整体视角分析知识本质，把握数学知识结构和学生认知结构，结构化设计教学并实施，引导学生在理解面积概念的基础上，推导长方形正方形面积公式，不仅巩固对概念的理解，还为后续学习面积单位的换算打下基础，建构起面积单元内的认知结构，同时通过丰富的观察、操作，猜想、验证活动，在度量长方形面积的过程中发展学生的量感。另外，通过关联周长，找到面积这个新知和旧知的连接点，丰富测量板块的认知结构，也为后续学习其它平面图形面积、立体图形表面积、体积等知识准备好连接点。
教学目标：
1. 经历探索长方形和正方形面积公式的过程，提升量感，掌握长方形、正方形面积计算的方法，能够解决相关问题。
2. 在实践操作、讨论交流等活动中，积累活动经验，初步养成独立思考、勇于探索的习惯。
3. 在猜想、验证、归纳、类比、应用等学习过程中，培养学生的探究能力，丰富量感，同时树立知识结构化意识，形成结构化能力。
教学重点：
掌握长方形和正方形面积的计算方法，培养量感。
教学难点：
1. 理解长方形和所含面积单位的个数等于长方形的长与宽的乘积。
2. 在丰富的活动中培养量感并让学生感受到量感的提升。
教学准备：
学力单、面积为 1 平方厘米的小正方形若干、直尺、ppt 课件、投影仪。
成都高新基地张小容4年前
【教学设计（初稿）】
教学过程：
一、 提问导入，关联认知起点，唤醒量感
看课题提问，聚焦核心问题。
师：同学们，我们今天要研究《长方形的面积》，关于这个课题，你有什么想问的？
预设 1：为什么要学长方形的面积？
预设 2：长方形的面积只能摆吗？能不能像周长一样计算出来？
预设 3：长方形面积怎么算？
预设 4：为什么长方形的面积等于长乘宽？
预设 5：长方形的面积和周长又什么关系？
师：从同学们提的问题来看，有的想研究长方形的面积跟长和宽的关系，有的想研究长方形面积与周长的关系。这跟昨天大家学力单上对长方形面积与什么有关的猜测是一致的。（ppt 出示学力单上对学生猜测的统计）
师：到底长方形的面积跟什么有关？有什么样的关系？这节课我们就来验证一下到底谁的猜测是对的。希望在这个过程中，我们能发现周长和面积的关系。
（设计意图：在学习新知识之前，学生基于已有的知识经验，会对新问题有自己的思考和疑问，这些真问题正是我们教学的起点。提问的过程，也是学生量感唤醒的过程。同时，通过学生的提问，还能够初步了解学生的量感处在什么水平，教师能够知道从何处着力发展学生的量感。）
二、 探索分享，建构新认知结构，提升量感
1. 选择测量工具，关联概念
师：你们在选择工具的时候，为什么没有用绳子去围呢？
预设 1：用绳子围一圈，量出来的长度是长方形的周长，我们要量面积啊。
预设 2：面积是这个面的大小，只能用小面积去量大面积，不能用长度来量。
师：周长和面积都在测量这个长方形，但周长量的是边线上有多少个长度的单位，所以可以用绳子围出来量长度，面积量的却是这个面的大小，是研究这个里面有多少个面积单位。
（设计意图：探究一给学生提供了一个开放的探究任务和丰富的测量工具，其中包括绳子，如果学生不选择绳子，说明通过前两课的学习，学生能够意识到绳子绕一圈量的是周长、而不是面积，进而理解面积测量与周长测量的本质区别，实现从一维到二维的过渡，发展空间观念和量感。）
2. 对比测量方法，关联意义
展示学生的测量方法（①全铺；②用透明方格纸；③铺一部分；④公式计算）
师：观察对比这些方法，你看懂了吗？你有什么想说的？
预设……
师：这里用长 × 宽得到的是不是面积呢？为什么？
预设：我认为是面积。因为长方形的长是 3 厘米，而小正方形的长是 1 厘米，如果像法 3 的摆法一样，沿着长边就可以摆 3 个，同样的，宽是 2 厘米，沿着宽边就能摆 2 个，所以可以用 3×2，算出一共可以摆 6 个，面积就是 6 平方厘米。
师：用尺子量出长度单位的个数，同样可以知道每行每列摆的面积单位的个数，所以，每行的个数乘行数，就是总个数。现在，你同意猜测 “长方形面积与它的长和宽有关” 吗？
预设：同意。
师：那他们到底是什么样的关系呢？再猜一猜。
预设：长方形的面积就等于长乘宽。
师：是不是呢？所有的长方形的面积都等于它的长乘宽吗？我们再来试试。
（设计意图：通过方法对比，沟通联系，巩固对面积概念的理解，体会求面积，就是求这个面积单位的总数，进而，从 “数面积数” 这个推导原点出发，找到更简约的计数方法 —— 乘法计算，建立起和乘法意义的联系，最后，引出认知冲突：法 4 明明量的是长度，为什么最终得到了面积呢？通过看似长方形长边和宽边长度的计数实质是面积单位的计数，促成面积概念的强化达到利用量感促进面积单位个数的顺利建构，通过观察、分析、讨论，初步理解面积数和长度数之间的关系，之前的猜想变得具体，形成 “长方形面积等于长乘宽” 的猜想。）
3. 验证猜想，归纳长方形面积公式
师：请先独立完成探究二，然后小组内核对答案，讨论交流你们有什么发现。
预设 1：我们小组有的人用小正方形摆，有的人用长 × 宽来计算，最后答案都是一样的。
预设 2：大家看这个表格，每个长方形的面积其实都等于长和宽的乘积。所以我们认为长方形的面积等于长乘宽。
师：谁能解释这是为什么呢？
预设：长方形的长是几厘米，每行就可以摆出几个小正方形。宽是几厘米，就可以摆这样的几行。所以长方形的面积＝长 × 宽。
师：只需要用尺子量出长方形的长和宽分别是多少，再用公式计算就可以求出面积了。
师：对比这几种方法，你更喜欢哪种？
预设：我更喜欢用公式计算。如果我们要求教室的面积、操场的面积，用小正方形摆太麻烦了，而用公式计算的话，就只需要量出长和宽就可以算了。
（设计意图：通过测量更多长方形的面积来验证长方形面积＝长 × 宽，有的学生使用工具测量，有的学生使用公式测量，发现得到的结果一样，通过观察表格中长、宽的关系，从特殊到一般，归纳概括出长方形面积公式，理解其含义，建立数学模型，最终验证猜想。）
4. 类比推理，推导正方形面积
师：通过探索，我们知道了长方形的面积需要量出长和宽，再相乘。那我们怎么得到这个正方形的面积呢？
预设 1：正方形也是一种长方形，长方形的面积公式也可以用来计算正方形的面积。量出这两条边的长度，再相乘就可以了。
预设 2：正方形的长和宽相等，只用量一条边长就可以了，然后用边长 × 边长，我量出来边长是 25 毫米，面积是 25×25＝625（平方毫米）。
预设 3：我刚才尝试了摆一摆的方法，发现这个正方形的面积用这个方法没办法算，只能用边长乘边长来计算。
师：哦？这个正方形的面积不能通过摆一摆得出来吗？大家也试一试。
预设 4：摆的时候横着可以摆两个多不到三个小正方形，竖着也是这样。
预设 5：因为我们用的小正方形是边长 1 厘米的，刚才我们量过了这个正方形的边长是 2 厘米 5 毫米，所以横排和竖列都不能刚好摆整个数。
预设 6：如果换成边长是 1 毫米的小正方形就可以了，一横排可以摆 25 个，竖着也可以摆 25 个，所以这个正方形中能摆的小正方形的个数是 25×25＝625，那么它的面积就是 625 平方毫米。
预设 7：其实摆小正方形和用边长 × 边长的方法是一样的，都是在算这个正方形里面能摆的小正方形的个数。
师：在算这个正方形面积的过程中，你还有哪些收获呢？
预设 8：面积都可以通过摆的方法得到，只是有时候大的面积单位不行，就要换成小的面积单位来摆。
师：很棒！在遇到问题时，我们知道想办法来解决，通过类比推理，我们还推导出了正方形面积公式：正方形面积＝边长 × 边长。
师：像这个正方形的面积，你能快速计算出他的面积吗？
预设：用边长 × 边长就可以了。3×3＝9（平方厘米）
师：大家太厉害了，推导出了长方形面积公式，知道长方形面积＝长 × 宽，还能用更简便的方法计算特殊长方形，也就是正方形的面积。现在看来长方形的面积是它的长和宽的乘积，恭喜做这种猜测的孩子，通过验证，你们猜对了。
（设计意图：在推导正方形面积这个环节，北师版教材呈现两种方法：（1）摆一摆，让学生再次体会面积度量本质就是面积单位的计数。（2）根据正方形和长方形的关系，运用演绎推理，推导正方形面积公式，发展学生推理能力。但实际上，绝大部分的学生能通过推理得出正方形面积公式，本环节将学生要研究的正方形边长改为 2.5 厘米，学生通过实际摆一摆，得不到完整的面积单位，产生冲突，此时只能用演绎推理的方式推导出正方形面积公式，或者被逼着想办法利用量感想到可以把单位继续细分成更小的单位就又可以进行密铺，从而求出更小的面积单位的个数即可，从而完整地形成面积单位个数只要愿意细分一定就能找到完整的较小面积单位个数的 “面积单位计数方法”，更科学的解释我们猜想的合理性。）
5. 完善测量知识结构，关联周长
师：虽然我们求的是面积，但也可以用尺子作为测量工具量出长和宽，只不过还需要用面积公式计算出面积。回忆一下，我们量出了长方形的长和宽，还可以算出什么？
预设：还可以算出这个长方形的周长。
师：接下来，请你们再算一算图形②、③、⑤的周长是多少？思考一下，你有什么发现。
预设 1：我发现它们的周长都是 12 厘米，但是面积分别是 5 平方厘米、8 平方厘米、9 平方厘米。
预设 2：我发现周长一样的图形，面积可能不同，
师：是啊，并不是说周长越长，面积就越大。关于这个问题，我们以后会进一步探索。
师：现在，请结合今天的学习，思考一下，周长和面积有什么联系？
预设 1：都可以用尺子量长和宽，再用公式计算，只是公式不同。（板书：公式不同）
预设 2：周长可以用绳子围一圈，量出有多少个长度单位。面积可以用小正方形去铺一铺，量出有多少个面积单位。
师：也就是说虽然它们用的测量工具不同，但都是在量单位的个数。（板书：工具不同。度量：单位总数）
师：既然都是量单位总数，为什么用的工具不同呢？
预设 1：因为周长量的是边线的长度，面积量的是面的大小。（板书：对象不同）
预设 2：他们的单位也不同，周长是长度单位，面积是面积单位。（板书：单位不同。）
师：周长测量和面积测量都是在度量图形里有多少个单位，不同的是，周长量的是一周的长度单位个数，而面积量的是面积单位个数。他们的计算公式、测量工具、测量对象和测量单位都不同。
（设计意图：学生明白了量出长和宽可以算到长方形面积，再追问：“还可以算出什么？” 引导学生将周长和面积建立联系。将教材中②号和③号长方形分别改成了长 5 厘米宽 1 厘米，长 4 厘米宽 2 厘米，和正方形的周长一样，学生算出它们的周长，通过对比，初步感知周长一样的图形，面积可能是不同的，为后面深入探究周长和面积的关系打下基础。同时，结合今天的学习收获，讨论交流，回归度量本质分析面积和周长的 “同” 和 “异”，将一维的长度测量与二维的面积测量建立联系，丰富学生头脑中原有的认知结构，进一步发展空间观念，培养度量意识。）
三、 回顾总结，整合认知结构，丰富量感
1. 回头看，建立认知结构。
师：请大家完成学力单的回头看 1 和回头看 2。
（设计意图：这两个问题，一个帮助学生明白为什么长方形的面积等于长乘宽，另一个是对周长和面积异同的辨析，它们都指向对知识本质的理解，帮助学生建立知识结构。）
2. 勾画板书，整合结构
师：最后，请大家看看板书上的内容，你认为什么是本节课的重点？哪些是有关联的？或者你想补充什么？可以直接到黑板上来勾画。
预设 1：我认为长方形的面积公式是重点，正方形面积公式也是从这里推出来的。
预设 2：“长 × 宽” 表示什么意思是最重要的，以前我只知道公式，今天明白了为什么这样算。
预设 3：我觉得好多问题都可以先大胆猜想，再想办法验证。
预设 4：从铺满到只铺一行和一列再到直接用公式算，越来越简单了。那其他图形的面积是不是也可以通过这样的方式推导出计算公式呢？
师：你们还想研究什么图形的面积？
预设 1：平行四边形、三角形。
预设 2：还有圆形的面积。
预设 3：立体图形有没有面积？
师：你们都是好奇宝宝啊！大家下来可以思考一下，你打算怎么探究这些图形的面积？试一试，你能得到什么结论。
（设计意图：学生的思维过程是动态的，量感在这个过程中慢慢丰富起来，教师通过板书将重点记录下来，最后孩子们自己来勾画板书，谈收获和学习期待，将本课学习到的探究方法和获得的量感迁移到其他图形面积的探索中，量感将助力新知的探索，新知的探索又会进一步丰富量感。）
黑龙江大庆肇源吴艳秋4年前
本节课教师能面向全体学生，激发学生的深层思考和情感投入，鼓励学生大胆质疑、独立思考，引导学生用自己的语言阐明自己的观点和想法，合理组织学生自主学习、合作探究，对学生的即时评价具有发展性和激励性。
155670787094年前
培养学生量感，从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历猜想，验证，归纳，类比，总结的探究过程。本节课老师给学生提供充足的思考时间和空间，不断的给予量感启示，让学生通过实践操作、讨论、交流等活动，帮助学生建立新知结构，使学生在头脑中留下深刻的印象，在潜移默化中发展量感。
lizhongjun4年前
本节课的教学设计，教师在设计导入环节是，让学生充分提出问题，有利于教师掌握学生的学情，在教学过程中也是把课堂充分还给了学生，让学生通过自主探究，最后得出并归纳长方形面积计算的公式，量感的思想在学生的操作中便油然而生。
Teacher_zhang4年前
张老师设计很巧妙，本课是在学生已经学习了货币、时间、长度、重量这些生活中常见的量之后，了解了长方形、正方形特征，学习了长方形和正方形的周长概念以及周长计算方法，在知道了面积和面积单位，学会用面积单位直接量面积的基础上展开的，是学生第一次学习平面图形的面积计算。
182496246784年前
本课是在学生已经学习了货币、时间、长度、重量这些生活中常见的量之后，了解了长方形、正方形特征，学习了长方形和正方形的周长概念以及周长计算方法，在知道了面积和面积单位，学会用面积单位直接量面积的基础上展开的，是学生第一次学习平面图形的面积计算。学生在学习这一课之前，通过其它量的学习，具备了初步的量感；在观察、操作和想象的过程中有了量感逐步丰富的体验，具有了学习量、建立量感的一些经验。这些学习经验和知识储备，都可以迁移到本课中来，同时，通过本课的学习，不仅能为后续学习平行四边形、三角形以及梯形面积计算打下基础，也能为长方体体积的探索提供研究路径。
wei3607867954年前
混合式教学让学生有种眼前一亮的感觉，很新颖，学生的学习兴趣会高涨，同时可以提高课堂效率。作为教师能采用不同的教学模式，目的只有一个，发挥学生学习的主动性，培养学生数学思维能力，提高学生解决问题的能力。
wei3607867954年前
本节课学习来源于学生的生活实际，让学生感觉到数学就在自己的身边，通过观看微课视频，让学生视觉上发现圆的特点，再通过一系列动手活动，让学生感受实践探真知，充分发挥学生的动手动脑能力，培养学生的学习兴趣。
钟悦4年前
张老师团队对教材的 3 处改编让我印象深刻，而且我也一致同意这 3 处改编非常有必要。教材进行了三个细节的改编，一是将问题串 1 设计得更加开放，给学生提供丰富的工具，以供选择，选择工具的过程是学生量感的一次唤醒；二是改变问题串 2 中两个长方形的周长，变得和问题串 3 中第二个周长一样，学生对比周长和面积，发现周长一样，面积却不同，为后面探究周长和面积的关系打下基础。同时，通过一维和二维的对比，学生的量感得到提升；三是将问题串 3 中的第一个正方形的边长变为 2.5 厘米，学生无法直接用边长 1cm 的小正方形密铺量出面积，这时候只能考虑推理或者是将面积单位变小来进行密铺。细分单位和转化正是学生数学学习的两大重要方法，这个过程也将继续丰富学生的量感。
xuf139440510604年前
本节课就是让学生通过一系列可操作的数学活动，借助学生已有的知识、生活经验，熟悉的生活场景，在获得感性认识的基础上，建立面积的表象，抽象出面积的概念，从而发展学生的 “量感” 和 “空间观念”。
yangrunjie1234年前
教师给学生提供了一个开放的探究任务和丰富的测量工具，从绕一圈量的是周长、而不是面积，进而理解面积测量与周长测量的本质区别，实现从一维到二维的过渡，发展了空间观念和量感。
成都高新基地张小容4年前
【第一次试讲反思】
通过这次试讲，我们认为最初的教学设计的思路是对的，即把本课的重点放在长方形面积公式的推导上。在上本课之前，已经有很多学生通过各种途径知道了长方形的面积公式，在上本单元的前两课时，很多学生也迫不及待地告诉老师他已经会算长方形和正方形的面积了。但是在追问为什么这样算时，却回答不出来。同时，我们在课中始终贯穿区分周长与面积的关系，将概念进行了再次巩固。只有在对概念理解深刻的情况下，量感才会得到有效发展。
本次试讲，我们也发现了一些问题，并进行了一些调整：
第一个问题是将探究一前置，课堂上缺少了动态生成的过程，学生的体验不够深刻，而这个生成过程正是理解长方形面积计算公式的必要途径。因此我们在二稿中调整为课堂上来完成这一板块。
第二个问题是为了体现出周长一样，面积不一样这一点，我们对教材中图形的数据进行了改动，经过反复研读教材，我们觉得教材中给出的数据是有一定道理的，它体现了一个渐变的过程，因此我们将探究二和探究三中三个图形的数据还原，在此基础上增加了边长是 2.5 厘米的正方形，以此体现细分单位的过程，又增加了一道练习题，并对练习题进行了改编，在这里去体现周长和面积的关系。
第三个问题教学过程中发现学生思维的灵活性还有待提高，对于面积还惯性思维停留在以厘米为单位上。因为教材中的探究部分的图形的边长都是以厘米为单位的，为了发展学生的量感，体现在不同情境下选择不同量标的灵活性，我们保留了边长 2.5 厘米的正方形，同时在练习题中增加了对于使用的长度单位不一样，引起面积单位不一样的理解，再次体会面积公式的道理。
成都高新基地张小容4年前
【教学设计二稿】
教学内容： 北师大版小学数学三年级下册 p53。
学情分析： 本课是在学生已经学习了货币、时间、长度、重量这些生活中常见的量之后，了解了长方形、正方形特征，学习了长方形和正方形的周长概念以及周长计算方法，在知道了面积和面积单位，学会用面积单位直接量面积的基础上展开的，是学生第一次学习平面图形的面积计算。学生在学习这一课之前，通过其它量的学习，具备了初步的量感；在观察、操作和想象的过程中有了量感逐步丰富的体验，具有了学习量、建立量感的一些经验。这些学习经验和知识储备，都可以迁移到本课中来，同时，通过本课的学习，不仅能为后续学习平行四边形、三角形以及梯形面积计算打下基础，也能为长方体体积的探索提供研究路径。
教材分析： 量感是在度量的过程中逐步建立和丰富的，同时丰富的量感又有助于度量活动的顺利进行。从本课的教材编排看，三个问题串正好符合学生量感逐步提升的过程。在测量长方形的面积时，从密铺 —— 只摆满长和宽 —— 用公式度量，操作越来越简单，但抽象程度越来越高，需要的对量的感受也越来越强。最后在学习正方形面积的计算方法时，通过想象、类比、推导，从而得出结论，是学生量感的又一次升级。
设计理念： 以发展学生量感为目标， 从单元整体视角分析知识本质，把握数学知识结构和学生认知结构，结构化设计教学并实施，引导学生在理解面积概念的基础上，推导长方形正方形面积公式，不仅巩固对概念的理解， 还为后续学习面积单位的换算打下基础，建构起面积单元内的认知结构，同时通过丰富的观察、操作，猜想、验证活动，在度量长方形面积的过程中发展学生的量感。 另外，通过关联周长，找到面积这个新知和旧知的连接点，丰富测量板块的认知结构，也为后续学习其它平面图形面积、立体图形表面积、体积等知识准备好连接点。
教学目标：
1. 经历探索长方形和正方形面积公式的过程，提升量感，掌握长方形、正方形面积计算的方法，能够解决相关问题。
2. 在实践操作、讨论交流等活动中，积累活动经验，初步养成独立思考、勇于探索的习惯。
3. 在猜想、验证、归纳、类比、应用等学习过程中，培养学生的探究能力，丰富量感，同时树立知识结构化意识，形成结构化能力。
教学重点： 掌握长方形和正方形面积的计算方法，培养量感。
教学难点：1. 理解长方形和所含面积单位的个数等于长方形的长与宽的乘积。
2. 在丰富的活动中培养量感并让学生感受到量感的提升。
教学准备： 学力单、面积为 1 平方厘米的小正方形若干、直尺、ppt 课件、投影仪。
教学过程：
一、 提问导入，关联认知起点，唤醒量感
看课题提问，聚焦核心问题。
师：同学们，我们今天要研究《长方形的面积》，你觉得长方形的面积跟什么有关？
预设 1：跟小正方形有关。
预设 2：跟周长有关。
预设 3：跟长和宽有关。
师：大家的猜想都联系到了我们学过的知识。（板书：猜想）到底长方形的面积跟什么有关？有什么样的关系？这节课我们就来验证一下。（板书：验证）
（设计意图：在学习新知识之前，学生基于已有的知识经验，会对新问题有自己的思考，也有的学生通过课外班和家庭等各种渠道知道了长方形面积的算法。但是大多数学生仍然处于知其然不知其所以然的程度，因此我们把它叫做猜想，不管学生的猜想是跟周长有关，还是跟小正方形，或者是跟长宽有关，都体现了学生的量感水平。同时，猜想 —— 验证猜想 —— 得出结论的过程也是研究的一个基本过程，在本课中，通过各种活动，引导学生经历这一过程，在学习知识的同时也提升能力）
二、 探索分享，建构新认知结构，提升量感
1. 选择测量工具，关联概念
师：要得到你们学力单上探究一长方形的面积，可以选择那些工具？
预设 1：透明方格纸。
预设 2:1 平方厘米的小正方形。
预设 3：直尺。
师：为什么没人选择 1 平方分米的正方形和 1 平方米的正方形？（ppt）
预设 1：因为这个长方形很小，1 平方分米和 1 平方米的正方形都太大了。
师：那又为什么不选择绳子呢？
预设 1：用绳子围一圈，量出来的长度是长方形的周长，我们要量面积啊。
师：周长和面积都是在测量这个长方形，但周长量的是边线上有多少个长度的单位，所以可以用绳子围出来量长度，面积量的却是这个面的大小，是研究这个里面有多少个面积单位。
（设计意图：探究一给学生提供了一个开放的探究任务和丰富的测量工具，其中包括绳子，如果学生不选择绳子，说明通过前两课的学习，学生能够意识到绳子绕一圈量的是周长、而不是面积，进而理解面积测量与周长测量的本质区别，实现从一维到二维的过渡，发展空间观念和量感。根据需要测量的长方形的大小选择适合的面积单位去测量，也是学生量感的重要体现。）
2. 对比测量方法，关联意义
师：那就选用一种工具来测量它的面积吧。
师：选用透明方格纸的请举手，选择 1 平方厘米正方形的请举手，用直尺的请举手。
师：用透明方格纸怎么测量的，谁来展示？
师：用小正方形测量的谁来展示一下？
师：都是这样摆的吗？有没有不同的？
预设：我没有摆满，一行摆 3 个，可以摆 2 行，一共是 6 个。
师：对于这种方法，有没有疑问？
师（如学生无疑问）：我明明只看到 4 个小正方形，怎么面积就是 6 平方厘米了？
预设：一行 3 个，可以摆 2 行，2×3＝6 个，就是 6 平方厘米。
师：也就是说这里面可以摆的面积单位的总个数等于每行摆几个 × 有几行。（板书：面积单位的总个数＝每行摆几个 × 有几行）。这比摆满更简单了。用直尺又怎么测量？
预设：先量出长方形的长是 3 厘米，宽是 2 厘米，用长乘宽就得到面积是 6 平方厘米了。
师：还有疑问吗？
预设 1：为什么长乘宽就能得到面积啊？（应对：长 × 宽到底是不是面积呢？谁能解释）
预设 2：直尺量的明明是长度，怎么两个长度相乘就是面积了呢？（应对：有同样疑惑的举手？我也挺好奇的，谁能解释？）
预设 3：（无疑问）（应对：我有个疑惑，用直尺量出来的 3 厘米和 2 厘米明明是长度，怎么相乘就变成了面积了呢？）
预设 4：因为长方形的长是 3 厘米，小正方形的边长是 1 厘米，像刚才某某的摆法一样，每排就可以摆 3 个小正方形。同样的，宽是 2 厘米，沿着宽边就能摆 2 个，所以可以用 3×2，算出一共可以摆 6 个，面积就是 6 平方厘米。
师：所以这里的 3 和 2 除了表示长度以外，还表示什么意思？
预设：3 表示一排可以摆 3 个 1 平方厘米的小正方形，2 表示可以摆两排。
（根据学生的回答贴方法、板书）
师：看来，用尺子量出长度单位的个数，就可以知道每行每列摆的面积单位的个数，所以，每行的个数乘行数，就是总个数。现在，你同意猜测 “长方形的面积与它的长和宽有关” 吗？
预设：同意。
师：那他们到底是什么样的关系呢？再猜一猜。
预设：长方形的面积就等于长乘宽。（板书：长方形的面积＝长 × 宽）
师：在这个长方形里面是这样的，是不是所有的长方形的面积都等于它的长乘宽呢（板书：？）？我们再来试试。
（设计意图：通过方法对比，沟通联系，巩固对面积概念的理解，体会求面积，就是求这个图形里包含的面积单位的总数，进而，从 “数面积数” 这个推导原点出发，找到更简约的计数方法 —— 乘法计算，建立起和乘法意义的联系，最后，引出认知冲突：量长和宽量的是长度，为什么最终得到了面积呢？通过看似长方形长边和宽边长度的计数实质是面积单位的计数，促成面积概念的强化达到利用量感促进面积单位个数的顺利建构，通过观察、分析、讨论，初步理解面积数和长度数之间的关系，之前的猜想变得具体，形成 “长方形面积等于长乘宽” 的猜想。）
3. 验证猜想，归纳长方形面积公式
师：请先独立完成探究二，谁来帮大家解读一下探究 2 的要求。（ppt）
师：咱们先来核对一下数据。全对的孩子请举手（ppt）。真能干，这与你们完成过程中的细心是分不开的。
师：通过这个表格，你发现了什么？说给组内同学听一听？
师：谁来说说你们的发现。
预设 1：大家看这个表格，每个长方形的面积其实都等于长和宽的乘积。所以我们认为长方形的面积等于长乘宽。
师：谁能解释这是为什么呢？
预设：长方形的长是几厘米，每行就可以摆出几个小正方形。宽是几厘米，就可以摆这样的几行。所以长方形的面积＝长 × 宽。（根据回答板书箭头）
师：如果不摆，你知道这个长方形里面一行可以摆几个 1 平方厘米的小正方形吗？可以摆几行？这个呢？这个呢？（ppt）
师：看来，长决定了每行摆的面积单位的个数，宽决定了摆几行，所以只需要用尺子量出长方形的长和宽分别是多少，再相乘就行了。也就是长方形的面积就等于它的长乘宽。这就是长方形的面积公式。
师：这个发现可真了不起，比如我们要算操场的面积，如果一个一个正方形去摆的话……
预设：太麻烦了，直接用公式计算。
（设计意图：通过测量更多长方形的面积来验证长方形面积＝长 × 宽，发现使用工具测量出来的长方形面积与长乘宽的结果一样，再通过更多的长方形，想象长边和宽边分别能摆的小正方形个数，再通过乘法计算小正方形的总数，归纳概括出长方形面积公式，理解其含义，建立数学模型，最终验证猜想。）
4. 类比推理，推导正方形面积
师：这个正方形，要求它的面积可以怎么办？（ppt）
预设 1：正方形也是一种长方形，长方形的面积公式也可以用来计算正方形的面积。量出这两条边的长度，再相乘就可以了。
预设 2：正方形的长和宽相等，只用量一条边长就可以了，然后用边长 × 边长，师：那就量一量，算一算吧！谁来说说第一个正方形的面积是多少？
预设 1：我量出来边长是 3 厘米，3×3＝9 平方厘米。
师：这里的第一个 3 可以表示？第二个 3 可以表示？（动画出示）
师：第二个正方形呢？
预设 1：我量出来不是整厘米数。
预设 2：可以用毫米做单位。
预设 3：还可以用小数表示。
师：真会想办法，如果用毫米做单位，边长就是 25 毫米，面积就是？
预设：25×25＝625 平方毫米。
师：用厘米做单位呢？
预设：2.5×2.5
师：小数乘小数我们还没学，应该是 6.25 平方厘米。
师：我也来摆一摆，一行可以摆？怎么办？
预设 1：摆两个半。
预设 2：如果换成边长是 1 毫米的小正方形就可以了，一横排可以摆 25 个，竖着也可以摆 25 个，所以这个正方形中能摆的小正方形的个数是 25×25＝625，那么它的面积就是 625 平方毫米。
师：你的想法太妙了，虽然我们没有学平方毫米这个面积单位，但是你却能根据实际情况灵活更换测量工具。这也解释了为什么这里的单位是平方毫米了。
师：在计算长方形和正方形面积的时候，我们都在用直尺量边线的长度，量长度的目的是算长度吗？
预设：不是，算的是面积。
师：怎么通过量长度来算面积的呢？
预设：量出了长就知道每行摆几个面积单位，量出了宽就知道可以摆几行，相乘就得到面积了。
师：我们一起来看回头看一。我们知道长方形面积 = _______________，公式中的 “长” 表示______________________ ，“宽” 表示________________________ 。
（设计意图：在推导正方形面积这个环节，北师版教材呈现两种方法：（1）摆一摆，让学生再次体会面积度量本质就是面积单位的计数。（2）根据正方形和长方形的关系，运用演绎推理，推导正方形面积公式，发展学生推理能力。但实际上，绝大部分的学生能通过推理得出正方形面积公式，本环节将学生要研究的正方形边长改为 2.5 厘米，学生通过实际摆一摆，得不到完整的面积单位，产生冲突，此时只能用演绎推理的方式推导出正方形面积公式，或者被逼着想办法利用量感想到可以把单位继续细分成更小的单位就又可以进行密铺，从而求出更小的面积单位的个数即可，从而完整地形成面积单位个数只要愿意细分一定就能找到完整的较小面积单位个数的 “面积单位计数方法”，更科学的解释我们猜想的合理性。）
5. 巩固练习，完善测量知识结构，关联周长
师：知道了长方形和正方形面积的计算方法，咱们来算算这两块地的占地面积吧！
师：第一块草地的面积谁来说。
预设：这块草地是长方形，直接用长乘宽就可以算出面积，也就是 50×30＝1500 平方米。
师：这里单位怎么就变成平方米了？
预设：因为长度是 50 米，表示一行可以摆 50 个 1 平方米的小正方形，宽 30 表示可以摆 30 行，那就是 1500 个 1 平方米的小正方形，所以单位应该是平方米。
师：这个正方形花坛呢？
预设：40×40＝1600 平方米。
师：两个都算对的同学举举手。把掌声送给自己。
师：思考一下，根据图上的数据，还能算出什么？
预设：周长
师：长方形草地的周长是多少，谁来说？
预设：（50+30）×2＝160 米
师：正方形花坛谁来？
预设：40×4＝160 米
师：你发现了什么？
预设 1：周长一样。
预设 2：周长一样，但是面积不一样。
师：看来，并不是说面积越大，周长就越长，关于这个问题，我们以后会进一步学习。
师：那周长和面积之间到底有什么相同和不同？（板书：大括号，同、异）
预设 1：表示的意义是不一样的。
预设 2：它们的单位不同。
预设 3：计算公式不同。
预设 4：周长算的是边线的长度，面积算的是里面的大小。
师：也就是我们测量的对象是不一样的。测量工具呢？
预设 1：是一样的，都用尺子。
预设 2（师）：不一样，周长可以用尺子测量出来长度，但是面积用尺子只是为了知道里面能摆多少个小正方形，面积的测量工具应该是面积单位的小正方形。
师：但是不管是周长和面积，他们有一个共同点，都是要去测量单位的总数是多少。
（设计意图：通过练习巩固长方形和正方形的面积的计算方法。再追问：“还可以算出什么？” 引导学生将周长和面积建立联系。通过对比，初步感知周长一样的图形，面积可能是不同的，为后面深入探究周长和面积的关系打下基础。同时，结合今天的学习收获，讨论交流，回归度量本质分析面积和周长的 “同” 和 “异”，将一维的长度测量与二维的面积测量建立联系，丰富学生头脑中原有的认知结构，进一步发展空间观念，培养度量意识。）
三、 回顾总结，整合认知结构，丰富量感
1. 回头看，建立认知结构。
师：今天这节课上到这儿就快结束了，回顾一下，我们是怎么推导出长方形和正方形的面积公式的，周长和面积又有哪些区别和联系？（ppt）
（设计意图：通过回忆学习内容和学习过程，学生将本节课的知识点进行再一次的整理，纳入自身的认知结构中，建立新的认知结构。）
2. 勾画板书，整合结构
师：最后，请大家看看板书上的内容，你认为什么是本节课的重点？哪些是有关联的？
预设 1：我认为长方形的面积公式是重点，正方形面积公式也是从这里推出来的。
预设 2：“长 × 宽” 表示什么意思是最重要的，以前我只知道公式，今天明白了为什么这样算。
预设 3：我觉得好多问题都可以先大胆猜想，再想办法验证。
预设 4：从铺满到只铺一行和一列再到直接用公式算，越来越简单了。那其他图形的面积是不是也可以通过这样的方式推导出计算公式呢？
师：你们还想研究什么图形的面积？
预设 1：平行四边形、三角形。
预设 2：还有圆形的面积。
预设 3：立体图形有没有面积？
师：你们都是好奇宝宝啊！大家下来可以思考一下，你打算怎么探究这些图形的面积？试一试，你能得到什么结论。
（设计意图：学生的思维过程是动态的，量感在这个过程中慢慢丰富起来，教师通过板书将重点记录下来，最后孩子们自己来谈收获和学习期待，将本课学习到的探究方法和获得的量感迁移到其他图形面积的探索中，量感将助力新知的探索，新知的探索又会进一步丰富量感。）
成都高新基地张小容4年前
【第二次试讲反思】
这两次试讲，我们都发现最后在辨析周长和面积异同的时候，学生很难从度量的角度来分析，除了单位和测量的对象不一样以外，难以找到工具和公式的不同，而且在找相同点的时候，学生更多想到的是工具一样，因为都用到了直尺。这些知识是从度量的角度来说的，非专业人员一般难以想到，也很难理解，具有一定的抽象性，不是在几分钟之内就能说清楚的。因此我们将这一部分调整为在本课简单地进行周长和面积的对比，为后面的进一步对比学习学习埋下伏笔。
关于用边长 2.5cm 正方形引起冲突，从而想到细分单位的方法，目的是提升学生的量感，但是考虑到平方毫米不是本单元要求学生掌握的内容，而且会涉及到小数乘法，因此我们在不改变大致理念的前提下想到灵活选取单位的活动，将单位细分换成单位放大，为下节课单位换算做铺垫。
周长和面积的对比精简了后，我门考虑到学习知识的目的就是运用，本课的练习只有一道题，所以将在教学设计三稿中增加教材 55 页的 6、7 题。第 6 题是根据长方形的周长求面积，第 8 题是根据正方形的周长求边长，再通过边长算面积。在联系的过程中，学生也是对周长和面积概念的进一步巩固以及对面积公式的进一步理解。
成都高新基地张小容4年前
【教学设计三稿】
教学内容： 北师大版小学数学三年级下册 p53。
学情分析： 本课是在学生已经学习了货币、时间、长度、重量这些生活中常见的量之后，了解了长方形、正方形特征，学习了长方形和正方形的周长概念以及周长计算方法，在知道了面积和面积单位，学会用面积单位直接量面积的基础上展开的，是学生第一次学习平面图形的面积计算。学生在学习这一课之前，通过其它量的学习，具备了初步的量感；在观察、操作和想象的过程中有了量感逐步丰富的体验，具有了学习量、建立量感的一些经验。这些学习经验和知识储备，都可以迁移到本课中来，同时，通过本课的学习，不仅能为后续学习平行四边形、三角形以及梯形面积计算打下基础，也能为长方体体积的探索提供研究路径。
教材分析： 量感是在度量的过程中逐步建立和丰富的，同时丰富的量感又有助于度量活动的顺利进行。从本课的教材编排看，三个问题串正好符合学生量感逐步提升的过程。在测量长方形的面积时，从密铺 —— 只摆满长和宽 —— 用公式度量，操作越来越简单，但抽象程度越来越高，需要的对量的感受也越来越强。最后在学习正方形面积的计算方法时，通过想象、类比、推导，从而得出结论，是学生量感的又一次升级。
设计理念： 以发展学生量感为目标， 从单元整体视角分析知识本质，把握数学知识结构和学生认知结构，结构化设计教学并实施，引导学生在理解面积概念的基础上，推导长方形正方形面积公式，不仅巩固对概念的理解， 还为后续学习面积单位的换算打下基础，建构起面积单元内的认知结构，同时通过丰富的观察、操作，猜想、验证活动，在度量长方形面积的过程中发展学生的量感。 另外，通过关联周长，找到面积这个新知和旧知的连接点，丰富测量板块的认知结构，也为后续学习其它平面图形面积、立体图形表面积、体积等知识准备好连接点。
教学目标：
1. 经历探索长方形和正方形面积公式的过程，提升量感，掌握长方形、正方形面积计算的方法，能够解决相关问题。
2. 在实践操作、讨论交流等活动中，积累活动经验，初步养成独立思考、勇于探索的习惯。
3. 在猜想、验证、归纳、类比、应用等学习过程中，培养学生的探究能力，丰富量感，同时树立知识结构化意识，形成结构化能力。
教学重点： 掌握长方形和正方形面积的计算方法，培养量感。
教学难点：1. 理解长方形和所含面积单位的个数等于长方形的长与宽的乘积。
2. 在丰富的活动中培养量感并让学生感受到量感的提升。
教学准备： 学力单、透明方格纸、面积为 1 平方厘米的小正方形若干、直尺、ppt 课件、投影仪。
教学过程：
一、 提问导入，关联认知起点，唤醒量感
看课题提问，聚焦核心问题。
师：同学们，我们今天要研究《长方形的面积》，你觉得长方形的面积跟什么有关？
预设 1：跟小正方形有关。
预设 2：跟周长有关。
预设 3：跟长和宽有关。
师：大家的猜想都联系到了我们学过的知识。（板书：猜想）到底长方形的面积跟什么有关？有什么样的关系？这节课我们就来验证一下。（板书：验证）
（设计意图：在学习新知识之前，学生基于已有的知识经验，会对新问题有自己的思考，也有的学生通过课外班和家庭等各种渠道知道了长方形面积的算法。但是大多数学生仍然处于知其然不知其所以然的程度，因此我们把它叫做猜想，不管学生的猜想是跟周长有关，还是跟小正方形，或者是跟长宽有关，都体现了学生的量感水平。同时，猜想 —— 验证猜想 —— 得出结论的过程也是研究的一个基本过程，在本课中，通过各种活动，引导学生经历这一过程，在学习知识的同时也提升能力）
二、 探索分享，建构新认知结构，提升量感
1. 选择测量工具，关联概念
师：要得到你们学力单上探究一长方形的面积，可以选择那些工具？
预设 1：透明方格纸。
预设 2:1 平方厘米的小正方形。
预设 3：直尺。
师：为什么没人选择 1 平方分米的正方形和 1 平方米的正方形？（ppt）
预设 1：因为这个长方形很小，1 平方分米和 1 平方米的正方形都太大了。
师：那又为什么不选择绳子呢？
预设 1：用绳子围一圈，量出来的长度是长方形的周长，我们要量面积啊。
师：周长和面积都是在测量这个长方形，但周长量的是边线上有多少个长度的单位，所以可以用绳子围出来量长度，面积量的却是这个面的大小，是研究这个里面有多少个面积单位。
（设计意图：探究一给学生提供了一个开放的探究任务和丰富的测量工具，其中包括绳子，如果学生不选择绳子，说明通过前两课的学习，学生能够意识到绳子绕一圈量的是周长、而不是面积，进而理解面积测量与周长测量的本质区别，实现从一维到二维的过渡，发展空间观念和量感。根据需要测量的长方形的大小选择适合的面积单位去测量，也是学生量感的重要体现。）
2. 对比测量方法，关联意义
师：那就选用一种工具来测量它的面积吧。
师：选用透明方格纸的请举手，选择 1 平方厘米正方形的请举手，用直尺的请举手。
师：用透明方格纸怎么测量的，谁来展示？
师：用小正方形测量的谁来展示一下？
师：都是这样摆的吗？有没有不同的？
预设：我没有摆满，一行摆 3 个，可以摆 2 行，一共是 6 个。
师：对于这种方法，有没有疑问？
师（如学生无疑问）：我明明只看到 4 个小正方形，怎么面积就是 6 平方厘米了？
预设：一行 3 个，可以摆 2 行，2×3＝6 个，就是 6 平方厘米。
师：也就是说这里面可以摆的面积单位的总个数等于每行摆几个 × 有几行。（板书：面积单位的总个数＝每行摆几个 × 有几行）。这比摆满更简单了。用直尺又怎么测量？
预设：先量出长方形的长是 3 厘米，宽是 2 厘米，用长乘宽就得到面积是 6 平方厘米了。
师：还有疑问吗？
预设 1：为什么长乘宽就能得到面积啊？（应对：长 × 宽到底是不是面积呢？谁能解释）
预设 2：直尺量的明明是长度，怎么两个长度相乘就是面积了呢？（应对：有同样疑惑的举手？我也挺好奇的，谁能解释？）
预设 3：（无疑问）（应对：我有个疑惑，用直尺量出来的 3 厘米和 2 厘米明明是长度，怎么相乘就变成了面积了呢？）
预设 4：因为长方形的长是 3 厘米，小正方形的边长是 1 厘米，像刚才某某的摆法一样，每排就可以摆 3 个小正方形。同样的，宽是 2 厘米，沿着宽边就能摆 2 个，所以可以用 3×2，算出一共可以摆 6 个，面积就是 6 平方厘米。
师：所以这里的 3 和 2 除了表示长度以外，还表示什么意思？
预设：3 表示一排可以摆 3 个 1 平方厘米的小正方形，2 表示可以摆两排。
（根据学生的回答贴方法、板书）
师：看来，用尺子量出长度单位的个数，就可以知道每行每列摆的面积单位的个数，所以，每行的个数乘行数，就是总个数。现在，你同意猜测 “长方形的面积与它的长和宽有关” 吗？
预设：同意。
师：那他们到底是什么样的关系呢？再猜一猜。
预设：长方形的面积就等于长乘宽。（板书：长方形的面积＝长 × 宽）
师：在这个长方形里面是这样的，是不是所有的长方形的面积都等于它的长乘宽呢（板书：？）？我们再来试试。
（设计意图：通过方法对比，沟通联系，巩固对面积概念的理解，体会求面积，就是求这个图形里包含的面积单位的总数，进而，从 “数面积数” 这个推导原点出发，找到更简约的计数方法 —— 乘法计算，建立起和乘法意义的联系，最后，引出认知冲突：量长和宽量的是长度，为什么最终得到了面积呢？通过看似长方形长边和宽边长度的计数实质是面积单位的计数，促成面积概念的强化达到利用量感促进面积单位个数的顺利建构，通过观察、分析、讨论，初步理解面积数和长度数之间的关系，之前的猜想变得具体，形成 “长方形面积等于长乘宽” 的猜想。）
3. 验证猜想，归纳长方形面积公式
师：请先独立完成探究二，谁来帮大家解读一下探究 2 的要求。（ppt）
师：咱们先来核对一下数据。全对的孩子请举手（ppt）。真能干，这与你们完成过程中的细心是分不开的。
师：通过这个表格，你发现了什么？说给组内同学听一听？
师：谁来说说你们的发现。
预设 1：大家看这个表格，每个长方形的面积其实都等于长和宽的乘积。所以我们认为长方形的面积等于长乘宽。
师：谁能解释这是为什么呢？
预设：长方形的长是几厘米，每行就可以摆出几个小正方形。宽是几厘米，就可以摆这样的几行。所以长方形的面积＝长 × 宽。（根据回答板书箭头）
师：如果不摆，你知道这个长方形里面一行可以摆几个 1 平方厘米的小正方形吗？可以摆几行？这个呢？这个呢？（ppt）
师：看来，长决定了每行摆的面积单位的个数，宽决定了摆几行，所以只需要用尺子量出长方形的长和宽分别是多少，再相乘就行了。也就是长方形的面积就等于它的长乘宽。这就是长方形的面积公式。
师：这个发现可真了不起，比如我们要算操场的面积，如果一个一个正方形去摆的话……
预设：太麻烦了，直接用公式计算。
（设计意图：通过测量更多长方形的面积来验证长方形面积＝长 × 宽，发现使用工具测量出来的长方形面积与长乘宽的结果一样，再通过更多的长方形，想象长边和宽边分别能摆的小正方形个数，再通过乘法计算小正方形的总数，归纳概括出长方形面积公式，理解其含义，建立数学模型，最终验证猜想。）
4. 类比推理，推导正方形面积
师：这个正方形，要求它的面积可以怎么办？（ppt）
预设 1：正方形也是一种长方形，长方形的面积公式也可以用来计算正方形的面积。量出这两条边的长度，再相乘就可以了。
预设 2：正方形的长和宽相等，只用量一条边长就可以了，然后用边长 × 边长，师：那就量一量，算一算吧！谁来说说第一个正方形的面积是多少？
预设 1：我量出来边长是 3 厘米，3×3＝9 平方厘米。
师：这里的第一个 3 可以表示？第二个 3 可以表示？（动画出示）
师：这个正方形呢？（黑板上画的边长是 60 厘米的正方形）
预设 1：需要用长尺子量出边长。
师：那你来代表大家量一量。
预设 2：我量出来边长是 60 厘米。
预设 3：面积就是 60×60 等于 3600 平方厘米。
师：如果摆小正方形的话（假装摆）。
预设：太麻烦了。
师：谁有想法？
预设：换成面积是 1 平方分米的小正方形，因为正方形的边长是 60 厘米，也是 6 分米，这样每行就可以摆 6 个，可以摆 6 行，一共是 36 平方分米。
师：你的想法太妙了，却能根据实际情况灵活更换测量工具。这也解释了为什么这里的单位是平方分米了。
师：在计算长方形和正方形面积的时候，我们都在用直尺量边线的长度，量长度的目的是算长度吗？
预设：不是，算的是面积。
师：怎么通过量长度来算面积的呢？
预设：量出了长就知道每行摆几个面积单位，量出了宽就知道可以摆几行，相乘就得到面积了。
师：我们一起来看回头看一。我们知道长方形面积 = _______________，公式中的 “长” 表示______________________ ，“宽” 表示________________________ 。
（设计意图：在推导正方形面积这个环节，北师版教材呈现两种方法：（1）摆一摆，让学生再次体会面积度量本质就是面积单位的计数。（2）根据正方形和长方形的关系，运用演绎推理，推导正方形面积公式，发展学生推理能力。但实际上，绝大部分的学生能通过推理得出正方形面积公式，本环节在课本的基础上增加了一个边长是 60 厘米的正方形，一是为了巩固正方形面积公式的道理，二是引导学生在此基础上体会根据面积大小灵活选取量标的过程，提升量感。）
5. 巩固练习，完善测量知识结构，关联周长
师：知道了长方形和正方形面积的计算方法，咱们来算算这两块地的占地面积吧！
师：第一块草地的面积谁来说。
预设：这块草地是长方形，直接用长乘宽就可以算出面积，也就是 50×30＝1500 平方米。
师：这里单位怎么就变成平方米了？
预设：因为长度是 50 米，表示一行可以摆 50 个 1 平方米的小正方形，宽 30 表示可以摆 30 行，那就是 1500 个 1 平方米的小正方形，所以单位应该是平方米。
师：这个正方形花坛呢？
预设：40×40＝1600 平方米。
师：两个都算对的同学举举手。把掌声送给自己。
师：思考一下，根据图上的数据，还能算出什么？
预设：周长
师：长方形草地的周长是多少，谁来说？
预设：（50+30）×2＝160 米
师：正方形花坛谁来？
预设：40×4＝160 米
师：你发现了什么？
预设 1：周长一样。
预设 2：周长一样，但是面积不一样。
师：看来，并不是说面积越大，周长就越长，关于这个问题，我们以后会进一步学习。
（设计意图：通过练习巩固长方形和正方形的面积的计算方法。再追问：“还可以算出什么？” 引导学生将周长和面积建立联系。通过对比，初步感知周长一样的图形，面积可能是不同的，为后面深入探究周长和面积的关系打下基础。）
师：咱们再来看这道题，我们知道了哪些信息？要求什么？
预设：知道了长方形的面积和长，要求它的宽。
师：根据长方形的面积和长，怎么算宽呢？
预设：用面积除以长就行了。因为长 × 宽＝面积，那么面积除以长就等于宽。
师：你真是一个会学习的孩子。不但运用了我们今天学习的知识，还利用到了乘除法之间的关系。
师：这道题呢？请先独立思考，再将想法说给同桌听一听。
师：谁来说说你是怎么想的。
预设：正方形的周长等于边长乘 4，所以边长就等于周长除以 4，用 20÷4 得到边长是 5 厘米，在通过边长乘边长得到面积，即 5×5＝25（平方厘米）
（设计意图：通过另外两个联系，进一步理解长方形面积计算公式的道理，理解长和宽表示的意义，同时关联周长，初步体会周长和面积的区别与联系，提升量感。）
三、 回顾总结，整合认知结构，丰富量感
1. 回头看，建立认知结构。
师：今天这节课上到这儿就快结束了，回顾一下，我们是怎么推导出长方形和正方形的面积公式的？（ppt）
（设计意图：通过回忆学习内容和学习过程，学生将本节课的知识点进行再一次的整理，纳入自身的认知结构中，建立新的认知结构。）
2. 勾画板书，整合结构
师：最后，请大家看看板书上的内容，你认为什么是本节课的重点？哪些是有关联的？
预设 1：我认为长方形的面积公式是重点，正方形面积公式也是从这里推出来的。
预设 2：“长 × 宽” 表示什么意思是最重要的，以前我只知道公式，今天明白了为什么这样算。
预设 3：我觉得好多问题都可以先大胆猜想，再想办法验证。
预设 4：从铺满到只铺一行和一列再到直接用公式算，越来越简单了。那其他图形的面积是不是也可以通过这样的方式推导出计算公式呢？
师：你们还想研究什么图形的面积？
预设 1：平行四边形、三角形。
预设 2：还有圆形的面积。
预设 3：立体图形有没有面积？
师：你们都是好奇宝宝啊！大家下来可以思考一下，你打算怎么探究这些图形的面积？试一试，你能得到什么结论。
（设计意图：学生的思维过程是动态的，量感在这个过程中慢慢丰富起来，教师通过板书将重点记录下来，最后孩子们自己来谈收获和学习期待，将本课学习到的探究方法和获得的量感迁移到其他图形面积的探索中，量感将助力新知的探索，新知的探索又会进一步丰富量感。）
成都高新基地张小容4年前
【教学设计终稿】
教学内容： 北师大版小学数学三年级下册 p53。
学情分析： 本课是在学生已经学习了货币、时间、长度、重量这些生活中常见的量之后，了解了长方形、正方形特征，学习了长方形和正方形的周长概念以及周长计算方法，在知道了面积和面积单位，学会用面积单位直接量面积的基础上展开的，是学生第一次学习平面图形的面积计算。学生在学习这一课之前，通过其它量的学习，具备了初步的量感；在观察、操作和想象的过程中有了量感逐步丰富的体验，具有了学习量、建立量感的一些经验。这些学习经验和知识储备，都可以迁移到本课中来，同时，通过本课的学习，不仅能为后续学习平行四边形、三角形以及梯形面积计算打下基础，也能为长方体体积的探索提供研究路径。
教材分析： 量感是在度量的过程中逐步建立和丰富的，同时丰富的量感又有助于度量活动的顺利进行。从本课的教材编排看，三个问题串正好符合学生量感逐步提升的过程。在测量长方形的面积时，从密铺 —— 只摆满长和宽 —— 用公式度量，操作越来越简单，但抽象程度越来越高，需要的对量的感受也越来越强。最后在学习正方形面积的计算方法时，通过想象、类比、推导，从而得出结论，是学生量感的又一次升级。
设计理念： 以发展学生量感为目标， 从单元整体视角分析知识本质，把握数学知识结构和学生认知结构，结构化设计教学并实施，引导学生在理解面积概念的基础上，推导长方形正方形面积公式，不仅巩固对概念的理解， 还为后续学习面积单位的换算打下基础，建构起面积单元内的认知结构，同时通过丰富的观察、操作，猜想、验证活动，在度量长方形面积的过程中发展学生的量感。 另外，通过关联周长，找到面积这个新知和旧知的连接点，丰富测量板块的认知结构，也为后续学习其它平面图形面积、立体图形表面积、体积等知识准备好连接点。
教学目标：
1. 经历探索长方形和正方形面积公式的过程，提升量感，掌握长方形、正方形面积计算的方法，能够解决相关问题。
2. 在实践操作、讨论交流等活动中，积累活动经验，初步养成独立思考、勇于探索的习惯。
3. 在猜想、验证、归纳、类比、应用等学习过程中，培养学生的探究能力，丰富量感，同时树立知识结构化意识，形成结构化能力。
教学重点： 掌握长方形和正方形面积的计算方法，培养量感。
教学难点：1. 理解长方形和所含面积单位的个数等于长方形的长与宽的乘积。
2. 在丰富的活动中培养量感并让学生感受到量感的提升。
教学准备： 学力单、透明方格纸、面积为 1 平方厘米的小正方形若干、直尺、ppt 课件、投影仪。
教学过程：
一、 提问导入，关联认知起点，唤醒量感
看课题提问，聚焦核心问题。
师：同学们，我们今天要研究《长方形的面积》，你觉得长方形的面积跟什么有关？
预设 1：跟小正方形有关。
预设 2：跟周长有关。
预设 3：跟长和宽有关。
师：大家的猜想都联系到了我们学过的知识。（板书：猜想）到底长方形的面积跟什么有关？有什么样的关系？这节课我们就来验证一下。（板书：验证）
（设计意图：在学习新知识之前，学生基于已有的知识经验，会对新问题有自己的思考，也有的学生通过课外班和家庭等各种渠道知道了长方形面积的算法。但是大多数学生仍然处于知其然不知其所以然的程度，因此我们把它叫做猜想，不管学生的猜想是跟周长有关，还是跟小正方形，或者是跟长宽有关，都体现了学生的量感水平。同时，猜想 —— 验证猜想 —— 得出结论的过程也是研究的一个基本过程，在本课中，通过各种活动，引导学生经历这一过程，在学习知识的同时也提升能力）
二、 探索分享，建构新认知结构，提升量感
1. 选择测量工具，关联概念
师：要得到学力单上探究一长方形的面积，可以选择那些工具和方法？？
预设 1：透明方格纸（摆）。
预设 2:1 平方厘米的小正方形（摆）。
预设 3：直尺（量长和宽）。
师：为什么没人选择 1 平方分米的正方形和 1 平方米的正方形去摆？（ppt）
预设 1：因为这个长方形很小，1 平方分米和 1 平方米的正方形都太大了。
师：那又为什么不选择绳子围一圈呢？
预设 1：用绳子围一圈，量出来的长度是长方形的周长，我们要量面积啊。
师：周长和面积都是在测量这个长方形，但周长量的是边线上有多少个长度的单位，所以可以用绳子围出来量长度，面积量的却是这个面的大小，是研究这个里面有多少个面积单位。
（设计意图：探究一给学生提供了一个开放的探究任务和丰富的测量工具，其中包括绳子围一圈，如果学生不选择绳子，说明通过前两课的学习，学生能够意识到绳子绕一圈量的是周长、而不是面积，进而理解面积测量与周长测量的本质区别，实现从一维到二维的过渡，发展空间观念和量感。根据需要测量的长方形的大小选择适合的面积单位去测量，也是学生量感的重要体现。）
2. 对比测量方法，关联意义
师：那就选择一种你喜欢的工具和方法来测量它的面积吧。
师：选用透明方格纸的请举手，选择 1 平方厘米正方形的请举手，用直尺的请举手。
师：用透明方格纸怎么测量的，谁来展示？
师：通过摆，我们可以数出这个长方形的面积是 6 平方厘米。
师：用小正方形测量的谁来展示一下？
师：都是这样摆的吗？有没有不同的？
预设：我没有摆满，一行摆 3 个，可以摆 2 行，一共是 6 个。
师：对于这种方法，有没有疑问？
师（如学生无疑问）：我明明只看到 4 个小正方形，怎么面积就是 6 平方厘米了？
预设：一行 3 个，可以摆 2 行，2×3＝6 个，就是 6 平方厘米。
师：也就是说这里面可以摆的面积单位的总个数等于每行摆几个 × 有几行。（板书：面积单位的总个数＝每行摆几个 × 有几行）。这比摆满更简单了。用直尺又怎么测量？
预设：先量出长方形的长是 3 厘米，宽是 2 厘米，用长乘宽就得到面积是 6 平方厘米了。
师：还有疑问吗？
预设 1：为什么长乘宽就能得到面积啊？（应对：长 × 宽到底是不是面积呢？谁能解释）
预设 2：直尺量的明明是长度，怎么两个长度相乘就是面积了呢？（应对：有同样疑惑的举手？我也挺好奇的，谁能解释？）
预设 3：（无疑问）（应对：我有个疑惑，用直尺量出来的 3 厘米和 2 厘米明明是长度，怎么相乘就变成了面积了呢？）
预设 4：因为长方形的长是 3 厘米，小正方形的边长是 1 厘米，像刚才某某的摆法一样，每排就可以摆 3 个小正方形。同样的，宽是 2 厘米，沿着宽边就能摆 2 个，所以可以用 3×2，算出一共可以摆 6 个，面积就是 6 平方厘米。
师：所以这里的 3 和 2 除了表示长度以外，还表示什么意思？
预设：3 表示一排可以摆 3 个 1 平方厘米的小正方形，2 表示可以摆两排。
（根据学生的回答贴方法、板书）
师：看来，用尺子量出长度单位的个数，就可以知道每行每列摆的面积单位的个数，所以，每行的个数乘行数，就是总个数。现在，你同意猜测 “长方形的面积与它的长和宽有关” 吗？
预设：同意。
师：那他们到底是什么样的关系呢？再猜一猜。
预设：长方形的面积就等于长乘宽。（板书：长方形的面积＝长 × 宽）
师：在这个长方形里面是这样的，是不是所有的长方形的面积都等于它的长乘宽呢（板书：？）？我们再来试试。
（设计意图：通过方法对比，沟通联系，巩固对面积概念的理解，体会求面积，就是求这个图形里包含的面积单位的总数，进而，从 “数面积数” 这个推导原点出发，找到更简约的计数方法 —— 乘法计算，建立起和乘法意义的联系，最后，引出认知冲突：量长和宽量的是长度，为什么最终得到了面积呢？通过看似长方形长边和宽边长度的计数实质是面积单位的计数，促成面积概念的强化达到利用量感促进面积单位个数的顺利建构，通过观察、分析、讨论，初步理解面积数和长度数之间的关系，之前的猜想变得具体，形成 “长方形面积等于长乘宽” 的猜想。）
3. 验证猜想，归纳长方形面积公式
师：请先独立完成探究二，谁来帮大家解读一下探究 2 的要求。（ppt）
师：咱们先来核对一下数据。全对的孩子请举手（ppt）。真能干，这与你们完成过程中的细心是分不开的。
师：通过这个表格，你发现了什么？说给组内同学听一听？
师：谁来说说你们的发现。
预设 1：大家看这个表格，每个长方形的面积其实都等于长和宽的乘积。所以我们认为长方形的面积等于长乘宽。
师：谁能解释这是为什么呢？
预设：长方形的长是几厘米，每行就可以摆出几个小正方形。宽是几厘米，就可以摆这样的几行。所以长方形的面积＝长 × 宽。（根据回答板书箭头）
师：如果不摆，你知道这个长方形里面一行可以摆几个 1 平方厘米的小正方形吗？可以摆几行？这个呢？这个呢？（ppt）
师：看来，长决定了每行摆的面积单位的个数，宽决定了摆几行，所以只需要用尺子量出长方形的长和宽分别是多少，再相乘就行了。也就是长方形的面积就等于它的长乘宽。这就是长方形的面积公式。大家真厉害，通过自己的验证，得到了结论（板书：结论）
师：这个发现可真了不起，比如我们要算操场的面积，如果一个一个正方形去摆的话……
预设：太麻烦了，直接用公式计算。
（设计意图：通过测量更多长方形的面积来验证长方形面积＝长 × 宽，发现使用工具测量出来的长方形面积与长乘宽的结果一样，再通过更多的长方形，想象长边和宽边分别能摆的小正方形个数，再通过乘法计算小正方形的总数，归纳概括出长方形面积公式，理解其含义，建立数学模型，最终验证猜想。）
4. 类比推理，推导正方形面积
师：这个正方形，要求它的面积可以怎么办？（ppt）
预设 1：正方形也是一种长方形，长方形的面积公式也可以用来计算正方形的面积。量出这两条边的长度，再相乘就可以了。
预设 2：正方形的长和宽相等，只用量一条边长就可以了，然后用边长 × 边长，师：那就量一量，算一算吧！谁来说说第一个正方形的面积是多少？
预设 1：我量出来边长是 3 厘米，3×3＝9 平方厘米。
师：这里的第一个 3 可以表示？第二个 3 可以表示？（动画出示）
师：这个正方形呢？（黑板上画的边长是 60 厘米的正方形）
预设 1：需要用长尺子量出边长。
师：那你来代表大家量一量。
预设 2：我量出来边长是 60 厘米。
预设 3：面积就是 60×60 等于 3600 平方厘米。
师：如果摆小正方形的话（假装摆）。
预设：太麻烦了。
师：谁有想法？
预设：换成面积是 1 平方分米的小正方形，因为正方形的边长是 60 厘米，也是 6 分米，这样每行就可以摆 6 个，可以摆 6 行，一共是 36 平方分米。
师：你的想法太妙了，能根据实际情况灵活更换测量工具。这也解释了为什么这里的单位是平方分米了。
师：再试试这个正方形。（学力单探究三第二个）
预设 1：量出来不是整厘米？
师：谁能解决这个问题？
预设：可以用毫米做单位，是 25 毫米，或者写成 2.5 厘米也行。
师：这个正方形有点特别，我们先来摆一摆吧。摆不了整个数怎么办？
预设 1：可以将正方形变小，变成边长是 1 毫米的正方形就能摆下了。
预设：2：一行可以摆 25 个，可以摆 25 行。
师：所以这个正方形的面积可以用 25×25 来计算，也可以用 2.5×2.5 来计算。大家看，遇到问题，只要我们肯动脑筋，办法就出来了。
（设计意图：在推导正方形面积这个环节，北师版教材呈现两种方法：（1）摆一摆，让学生再次体会面积度量本质就是面积单位的计数。（2）根据正方形和长方形的关系，运用演绎推理，推导正方形面积公式，发展学生推理能力。但实际上，绝大部分的学生能通过推理得出正方形面积公式，本环节在课本的基础上增加了一个边长是 60 厘米的正方形，和一个边长是 2.5 厘米的正方形，一是为了进一步理解正方形面积公式的道理，二是引导学生在此基础上体会根据面积大小灵活选取量标的过程，提升量感。）
5. 巩固练习，完善测量知识结构，关联周长
师：知道了长方形和正方形面积的计算方法，咱们来算算这两块地的占地面积吧！
师：第一块草地的面积谁来说。
预设：这块草地是长方形，直接用长乘宽就可以算出面积，也就是 50×30＝1500 平方米。
师：这里单位怎么就变成平方米了？
预设：因为长度是 50 米，表示一行可以摆 50 个 1 平方米的小正方形，宽 30 表示可以摆 30 行，那就是 1500 个 1 平方米的小正方形，所以单位应该是平方米。
师：这个正方形花坛呢？
预设：40×40＝1600 平方米。
师：两个都算对的同学举举手。把掌声送给自己。
师：思考一下，根据图上的数据，还能算出什么？
预设：周长
师：长方形草地的周长是多少，谁来说？
预设：（50+30）×2＝160 米
师：正方形花坛谁来？
预设：40×4＝160 米
师：你发现了什么？
预设 1：周长一样。
预设 2：周长一样，但是面积不一样。
师：看来，并不是说面积越大，周长就越长，关于这个问题，我们以后会进一步学习。
（设计意图：通过练习巩固长方形和正方形的面积的计算方法。再追问：“还可以算出什么？” 引导学生将周长和面积建立联系。通过对比，初步感知周长一样的图形，面积可能是不同的，为后面深入探究周长和面积的关系打下基础。）
师：咱们再来看这道题，我们知道了哪些信息？要求什么？
预设：知道了长方形的面积和长，要求它的宽。
师：根据长方形的面积和长，怎么算宽呢？
预设：用面积除以长就行了。因为长 × 宽＝面积，那么面积除以长就等于宽。
师：你真是一个会学习的孩子。不但运用了我们今天学习的知识，还利用到了乘除法之间的关系。
师：这道题呢？请先独立思考，再将想法说给同桌听一听。
师：谁来说说你是怎么想的。
预设：正方形的周长等于边长乘 4，所以边长就等于周长除以 4，用 20÷4 得到边长是 5 厘米，在通过边长乘边长得到面积，即 5×5＝25（平方厘米）
（设计意图：通过另外两个联系，进一步理解长方形面积计算公式的道理，理解长和宽表示的意义，同时关联周长，初步体会周长和面积的区别与联系，提升量感。）
三、 回顾总结，整合认知结构，丰富量感
1. 回头看，建立认知结构。
师：今天这节课上到这儿就快结束了，回顾一下，我们是怎么推导出长方形和正方形的面积公式的？（ppt）
预设 1：通过摆 - 数、摆 - 算、量算的方法验证长方形的面积公式。
预设 2：先猜想再验证从而得出结论，最后再通过结论推理。
师：在计算长方形和正方形面积的时候，我们都在用直尺量边线的长度，量长度的目的是算长度吗？
预设：不是，算的是面积。
师：怎么通过量长度来算面积的呢？
预设：量出了长就知道每行摆几个面积单位，量出了宽就知道可以摆几行，相乘就得到面积了。
师：我们一起来看回头看一。我们知道长方形面积 = _______________，公式中的 “长” 表示______________________ ，“宽” 表示________________________ 。
（设计意图：通过回忆学习内容和学习过程，学生将本节课的知识点进行再一次的整理，纳入自身的认知结构中，建立新的认知结构。）
2. 观察板书，整合结构
师：最后，请大家看看板书上的内容，你认为什么是本节课的重点？哪些是有关联的？
预设 1：我认为长方形的面积公式是重点，正方形面积公式也是从这里推出来的。
预设 2：“长 × 宽” 表示什么意思是最重要的，以前我只知道公式，今天明白了为什么这样算。
预设 3：我觉得好多问题都可以先大胆猜想，再想办法验证。
预设 4：从铺满到只铺一行和一列再到直接用公式算，越来越简单了。那其他图形的面积是不是也可以通过这样的方式推导出计算公式呢？
师：你们还想研究什么图形的面积？
预设 1：平行四边形、三角形。
预设 2：还有圆形的面积。
预设 3：立体图形有没有面积？
师：你们都是好奇宝宝啊！大家下来可以思考一下，你打算怎么探究这些图形的面积？试一试，你能得到什么结论。
（设计意图：学生的思维过程是动态的，量感在这个过程中慢慢丰富起来，教师通过板书将重点记录下来，最后孩子们自己来谈收获和学习期待，将本课学习到的探究方法和获得的量感迁移到其他图形面积的探索中，量感将助力新知的探索，新知的探索又会进一步丰富量感。）
135980976934年前
张老师引导学生在理解面积概念的基础上，推导长方形正方形面积公式，通过测量更多长方形的面积来验证长方形面积＝长 × 宽，同时通过丰富的观察、操作，猜想、验证活动，在度量长方形面积的过程中发展学生的量感。
139430760804年前
本节课有效的建构起面积单元内的认知结构，同时通过丰富的观察、操作，猜想、验证活动，在度量长方形面积的过程中发展学生的量感。 另外，通过关联周长，找到面积这个新知和旧知的连接点，丰富测量板块的认知结构。
选择语言
选择编辑器