【2020春】成都陈祖惠工作室瞿小庆三下《什么是面积》

思考一：《什么是面积》一课的度量本质

史宁中教授指出，“度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学、进而认识现实世界的工具。而度量的本质，是表现事物某些指标的顺序”【1】。这里的 “指标顺序”，我想就是对事物的某些物理属性进行量化排序。比如，数量的多少以及抽象出来的数的大小；距离的远近；重量的轻重；速度的快慢。这些都是量化后的排序，即指标顺序。

在《什么是面积》这一课，度量对象便是物体表面或封闭图形。而封闭图形是对物体表面 “形状” 这一属性的数学抽象。故，本课所涉及的度量本质，可以简化为量化 “面” 的大小。这里所讲的 “面”，包含基于现实背景的物体表面，也包含已被数学抽象，且为学生熟知的封闭图形的 “面”。因此，要想顺利度量面的大小，就得先明确 “什么是面”“哪里有面”。

基于现实背景的物体表面，因为能看能摸，学生找起来容易，是学生认识面的起点。随着学习的深入，更多时候研究的是封闭图形的面。

在同一平面上，封闭图形是由首尾相连的线围成。它同时承载一周的边线与边线内部的面这两个数学要素。度量一周的边线，数学上产生了周长的概念；度量边线内部的面，则产生了面积的概念。周长与面积，放到同一个图形中，学生总是容易混淆。要想区分周长与面积，有必要从度量对象出发，有意区分图形 “一周的边线” 与 “边线内部的面”。

思考二：《什么是面积》一课的度量类别

“度量主要包括两类，一类是通过抽象得到的，是人思维的结果；另一类是借助工具得到的，是人实践的结果。”【1】前者主要是指度量数量的多少，基本认为 “数，就是计数单位的累积”。后者，主要是指基于事物的背景构建的度量，基本认为 “量，就是度量单位的累积”。例如，量事物的重量、长度、能量、体积、温度、速度，就是相应测量单位的累积过程。

《什么是面积》这一课，是要初步尝试对面的大小的度量，属于第二类，借助工具得到的度量，是实践的结果。史宁中教授还特别强调，这类的度量 “不仅不能舍去事物的物理背景，还要抓住物理背景的本质，基于物理背景的指标构建用于度量的类，不同的类度量采用不同的度量方法。”【1】由此可见，提供大量的物理背景，亲历创设度量工具、优化度量工具和方法的实践过程，是这类度量学习的关键。

同时，应重视引导学生发现，度量单位，是借助工具得到的，并且会因人而异的。要研究面积的度量，一开始的测量工具可能是多样的，这会有一个由粗糙到精细，由多元到统一的过程。

思考三：《什么是面积》的度量教学

关于度量的教学，史教授给出了三个基本原则。其中第三个原则，“把握学生认知度量单位的先天本能和特殊能力（将其形象化见下图）”【1】尤为重要，是度量教学的出发点。

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史教授指出，借助工具得到的度量，要特别重视利用与发展学生对距离远近的感知这一先天本能，让学生知道，应当根据事物的背景选用合适的度量单位。也正是因为如此，在尝试度量面积时，学生一开始的思维，多会停留到一维的思考，比如长方形的长，或长方形的宽，及图形的周长。从一维距离远近的感知，到二维面的大小的感知，这之间是有个跨度的。设计活动帮助学生逐步自发意识到面的大小会受长、宽两个因素同时影响，可以帮助学生思维从感性直观到理性分析的发展。

基于以上思考，我们找到了《什么是面积》一课，在度量视角下的定位。教师用书指出，五单元 “面积” 主要分为三个内容，探索并体会面积的含义，体会统一面积单位的必要性，以及用统一的单位探索长、正方形面积公式。这正好是一个借助工具实现的，从粗略到精细，从多元到统一，度量面积的过程。《什么是面积》这一课，正好是在统一度量单位之前，基于现实背景中的各类 “面”， 结合实例与比较图形大小的需要，产生度量面大小的动机，引出面积的概念。与此同时，借助对距离远近的本能感知，发起度量面积的尝试，设计活动帮助学生逐步自发意识到面的大小会受长、宽两个因素同时影响，可以帮助学生思维从感性直观到理性分析的发展。

【1】娜仁格日乐，史宁中．度量单位的本质及小学数学教学 [J]．数学教育学报， 2018， 27（ 6）： 13-16．

【教学过程】

活动一：认识面及面积

1. 故事引入

预设

师：看过动画片《大头儿子和小头爸爸》吗？

生：看过。

师：一天，大头儿子和小头爸爸在家比本事，看看谁更适合当爸爸。爸爸说，我个子比你高，力气比你大，当然适合当爸爸啦。大头儿子托着下巴，沉思了一会儿，灵机一动，指着自己的大脸盘子说，可我 “面子” 比你的大呀！（最好面露得意，引得学生发笑）

师：你们认同大头儿子说的话吗？他说的 “面子” 你知道是什么吗？

生：他的脸。

师：哈哈，大头儿子是说，他的 “脸面”（摸脸的手势）比爸爸的大，所以他更威武神气！

2. 认识物体表面，找一找，摸一摸，说一说。

预设

师：学习数学，我们也经常说，物体的 “表面”，你能找到哪里有面吗？

生：我找到了桌面，我找到了书的封面，我找到了黑板面，我还找到了我的手掌面、脚板面、我的背面……

师：请你跟它打个招呼，摸摸它，要把它的面摸完哦，不能遗漏。

小结，课件出示教室场景，标识出其中可见的面，尽量位置多样、形状多样。

3. 认识封闭图形的面，画一画，说一说。

预设

师：刚刚我们找到了那么多的面，都是我们身边真实存在的，这些物体的表面。如果我们的纸面足够大（加手势），我们可以把刚刚找到的，这些物体的表面画出来，留到纸面上吗？

生：能。

师：请你从刚刚找到的这些面中，选择两个不是特别大的面，试着画出来，留到纸面上。

师：向同学介绍一下，你画的是哪个物体的什么面。

师：你能摸一摸你画出的面吗？要摸完，不能遗漏哦。

师：为什么不继续向外摸呢？

生：不能，边线里面的才是它的面。

（当学生摸得不完全时，可把学生摸出的部分涂上颜色，以作醒目的提示。）

小结，课件出示教室的场景及标识出的面，然后隐去现实背景，留下封闭图形。师：我们用这样简单的线条，就勾画出了之前找到的那些面，这可太神奇了！看到这些图形，你还能想到之前他们的位置吗？

生：能。

4. 认识物体表面或封闭图形的面积

预设

师：这些图形你们认识吗？依次出示他们的名字。你们知道它们各自的面在哪里了吗？课件出示物体表面及对应封闭图形。

师：其实我们并不是第一次见到这些图形。我们在三年级上册，就讨论过物体表面或封闭图形，我们研究的是它们的周长（课件显示图形一周的边线）。

师：今天我们又重点讨论了它们的面。我们发现它们的面，有大有小，我们可不可以给他们 “面的大小” 起个名字呢？

生：面积。

师：“面积”，“积”，你怎么理解这个 “积” 的意思？（引起学生的思考，埋下疑问 “为什么叫面积”）

课堂随练 1：比较下面两个图形的面积，并用 “面积” 一词说一说。（曲边图形、规则长方形 3 种情况，前者的长宽都大于后者，长相等宽不同，宽相等长不同。）

师：我们发现，同一个图形，我们既可以去讨论它一周边线的长度，就是周长；也可以讨论它内部的面的大小，就是面积。

课堂随练 2：描一描下面图形的一周的边线，涂一涂下面图形的面。（出示一个未封闭的图形，辨析其是否具有周长与面积。）

设计意图 ：创设富有趣味的故事氛围，让学习自然发生。由人的 “脸面” 引入到物体 “表面”，让原本抽象的数学学习也变得生动、有人情味儿。再由现实背景中的物体表面抽象到封闭图形，尽最大可能，让学生亲历数学抽象的需要与发展过程。同时将实物表面与简化的图形建立双向联系，由直观到想象，发展空间观念。从度量对象出发，区分图形的边线与面，从面积与周长的直观表象进行区分，避免周长与面积概念的混淆。

活动二：探究比较面积的方法

1. 故事引入，埋设认知冲突。

师：两只蟋蟀发现了一片嫩草地。一只的名字叫 “特别蟀”，这一只的名字叫 “超级蟀”。它俩各自找来一根绳子，想要圈出属于自己的那一块草地。“特别蟀” 找来的绳子长 20 厘米，“超级蟀” 找来的绳子长 22 厘米。猜一猜，它俩谁围出的草地大？

预设

生：“超级蟀”，因为它的绳子更长。

生：不确定，还不知道他们怎么圈的呢。

师：想不想看看它俩用绳子圈出的草地的样子？

生：想。（课件出示两块草地）

师：现在你敢不敢确认你的猜测了？

生：我认为 “特别蟀” 围的草地更大，我相信我的眼睛。

生：我认为 “超级蟀” 围的草地更大，因为它用的绳子更长。

师：你们说的好像都有道理。敢不敢拍拍胸脯说自己肯定是对的呢？

生：不敢。

师：那怎么办？

生：我们需要验证。

2. 探究比较面积的方法，经历尝试粗略度量面积的思考过程。

预设

生 1: 重叠割补，再看谁剩的更多。

生 2：用大拇指、橡皮、硬币、小正方形铺

生 3：画相同大小的小正方形，或透明方格纸，比小正方形个数。

生 4：画小正方形，只沿着一条长和一条宽画。

生 5：用直尺量边线，比周长

（过程中，体现注意力要从边线逐步移到一小块一小块的面上来；度量工具，度量方法又粗略估计到尽量密铺，由粗略到精细的优化。）

师生：总结比较面积的方法。并引导学生发现，度量对象，必须是面，度量工具尽量适合密铺，才能更加准确地判断两个图形的面积。

3. 对比猜测与验证结果，尝试自我反思与修正。

预设

生： “超级蟀” 的绳子更长，圈出的面积还更小，这是怎么回事呀？太不可思议了！

生：可能跟它们的形状还有关吧。

师：如果暂时还不能解释这个问题，我们先把这个问题存在心底，随着我们这个单元的学习，看看能不能慢慢找到答案。不过，我们至少可以肯定，“图形周长越长，面积越大” 这个想法是错误的。周长变长了，面积却不一定变大，甚至还可能会变小。周长和面积不能简单地同大同小。

设计意图 ：带着猜想去验证，激发学生探究学习的积极性。认知冲突越强烈，越有利于自我反思与辨析，学习效果越深刻。同时，原本的感性认识被当下验证结果否定了，在后续的相关学习中，心中埋设的这个疑问，会不断敲击自己，不断想要获得解释，促进自身不断追问桌面，完成认知体系的重构，让学习自然发生。

活动三：画一画，体会面积相同的图形，形状和周长可以都不同。

课堂随练 3：周长和面积谁变了

（1）图示：（从一个图形中取下一块，平移旋转，再合起来。）

（2）图示：（分别向里、向外、斜角拉伸）

【教材分析】

《什么是面积》是北师版三下第五单元《面积》的第一课时。本课的学习建立在学生已经认识了长度单位，掌握了长方形、正方形的特征，并学习了周长的概念、测量及计算的基础上。刘加霞教授认为，学生对面积、体 积 等 内 容 的 学 习和理解 ，一般都经历下述五个阶段：量的初步认识（直观感知 “量”，直接或间接比较 “量” 的大小），量的间接比较（用非标准单位 或 用 另 一 个 量 为 中 介 进 行 比较），认识国际通用单位并用其描述大小，国际通用单位体系的认识与换算（化聚），利用公式求量的大小（只有面积和体积有此阶段）【1】。《什么是面积》作为《面积》单元的起始课，辐射了前两个阶段的学习，既要初步感知面积的含义，还要初步尝试选择合适的工具和方法比较面积。

教师用书指出，“从一维的长度到二维的面积，是空间认识上的一次飞跃”。 作为《面积》单元的起始课，本节课担任着开启这次 “飞跃” 的重要使命。史宁中教授认为，人有两个原始本能，其中一个就是 “对距离远近的感知【2】”，也就是教师用书说的 “一维长度” 的感知。而人却不具有对 “二维面积” 的本能感知。这也就是为什么，我们的学生在初次接触图形的面积时，总是很容易关注到边长与周长或试图去测量边长与周长，甚至会本能地认为 “周长越长，面积越大”。不过，史宁中教授还指出，人有两个特有的能力，“抽象能力” 与 “想象能力”。用好这两个能力，能更好地帮助学生的认识从 “一维的长度” 过度到 “二维的面积”。

【学情分析】

在做教学二稿设计时，学校已复课，我们请了不同层次的学生代表做了简要的课前访谈。访谈围绕两个话题展开。一是 “关于面积，你知道些什么”，二是 “什么是面积，你能不能举个例子说一说。” 通过第一个话题，我们发现，不少同学在学习面积之前，已经听说过 “长方形的面积等于长乘宽”，但是并不明白为什么这样计算。通过第二个话题，我们发现，对于 “面积概念” 的理解，学生觉得空洞抽象，是有较大困难的。

【设计思路】

综上，基于教材与学情的分析，我们确定了设计本课的基本思路。本课的最终目标是要引导学生认识到 “面积的本质含义”。学生对面积的认识可以分为三个层次不断推进。

第一层次，知道什么是 “面”。要想帮助学生从 “一维的长度” 过度到 “二维的面积”，就得从现实背景中对比认识 “一维的长度” 具象 “边”，和 “二维的面积” 具象 “面”。借助大量的、普遍的、多样的（含不规则的）实物表面，积攒丰富的关于 “面” 的现实经验。继而引发学生的抽象能力，把实物表面抽象成封闭图形，引发学生想象能力，将封闭图形想象成现实的物体表面。这个层次完成了现实背景与数学抽象间的双向联系，既帮助学生明确了 “面”，也培养了学生空间观念。

第二层次，知道 “面积” 描述的是 “面的大小”。 出于对 “距离远近的” 本能感知，学生更易于关注到边长与周长或试图去测量边长与周长。所以在初步揭示面积的意义时，有意设计了与周长的对比认识。我们选择从度量对象出发，直观地区分图形的边线与面，从而区分周长与面积的意义，避免混淆。

第三层次，知道 “一个图形的面积” 就是 “看这个图形里面有多少个工具面”。“面” 既然有大小之分，该如何去比较两个图形面积的大小呢？在发现观察法、重叠法的局限后，学生自然感受到找工具测量面积的必要性。学生想到用硬币、橡皮、小方格的面去铺满图形的面时，其关注点已然从 “一维长度” 过度到了 “二维面积”。从而更加具体地认识到，“要知道一个图形的面积，就是看它里面可以铺满多少个工具面”。这个认识，不光令学生有了初步的度量面积的意识，也让面积的含义更为易懂具象化。同时，尝试用硬币、橡皮、小方格测量面积的过程，也是度量工具不断被优化的过程。这个过程保护了学生，从无到有创造工具，从一般到标准改良工具的思考历程，使学生得以亲历从粗糙到精细的度量演化过程，让学习自然发生，深化度量意识。

【学习目标】

1. 结合大量具体实例，知道哪里有 “面”。对比周长的意义，知道 “面积” 描述的是 “面的大小”。

2. 经历用硬币、橡皮、小方格铺满图形的过程，知道 “一个图形的面积，就是看它里面能铺满多少个工具面”。

3. 参与 “画” 面与 “想” 面的活动，培养空间观念；亲历优化度量工具的过程，培养度量意识。

【学习重点】形成面积的感性认识。

【学习难点】知道 “一个图形的面积，就是看它里面能铺满多少个工具面”。

【学习准备】直尺、铅笔、硬币、橡皮、小方格贴纸，导学单。

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课前谈话

师：课前我采集了同学们对于学习 “面积” 提出的问题，我将同学们的疑问整理为这样三个问题（指黑板上写好的三个问题）。你们看，是你们想问的吗？

生：是。

师：今天我们就带着这样三个问题去学习，好吗？

故事引入

师：我们来认识两个卡通人物（课件出示大头儿子与小头爸爸）。一天，大头儿子和小头爸爸在家讨论谁更适合当爸爸。爸爸说 “我的个子比你高，力气比你大，当然适合当爸爸啦”。大头儿子托着下巴想了一会儿，灵机一动说 “可我‘面子’比你大呀！”

师：你们知道大头儿子说的 “面子” 是什么吗？（课件呈现如图 1）

生：他的脸。

师：哦，他的脸面。那我们来大致验证一下（课件演示），果然大头儿子的脸面更大，他觉得威武神气。

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设计意图：创设富有趣味的故事氛围，让学习自然发生。由人的 “脸面” 引入到物体 “表面”，让原本抽象的数学学习也变得生动、有人情味儿。

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问题一 哪里有 “ 面 ”？

1.“找” 面，积攒大量的、各种各样的有关 “面” 的现实经验。

师：我们数学中，也常说 “物体表面”，你们知道是什么吗？哪里有 “面”，你能从自己身上或周边物体找找吗？

生 1：我找到了我的手掌面。

生 2：我找到了课桌面。

师：请你跟找到的面打打招呼，摸摸它，注意要尽量把你找到的面摸满（注意引导学生用手掌面去摸，有序摸满）。

师：我们总结一下大家找到的面（课件演示如图 2），比如身体上的面，手掌面、脚掌面、背面，这三个面可太好了，可以跟着我们行走，随时可以拿出来用。现在将真实的面隐掉，只留下轮廓（课件演示如图 3），你还能想到它是什么面吗（引发联想）？

生（齐）：能。

师：我们扩大范围，再来找身边的面。（课件演示）数学书封面、桌面、黑板面、墙面…… 同样隐掉真实的面，只留下一周的边线，你能想到它是什么面吗？

生（齐）：能。

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2.“画” 面，体验数学抽象的过程。

师：我们找到生活中这么多面，能不能挑选一个画在题单上。画了之后，请说说你画的是什么面，画在纸面上的面在哪里，用手摸出来。

生 1（全班展示）：我画的是一个半圆尺（量角器）的表面，画出的面在这里（边说边用手掌摸图形的面）。

生 2（全班展示）：我画的是一个盒子的底面（如图 4），画出的面在这里（边说边用手掌摸图形的面）。

师：同学们，用简单的线条就勾勒出这样真实而生动面，可真能干（为全班同学竖起大拇指）！

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3. 想 “ 面 ”，发展空间想象能力。

师：我也画了，第一组在我身 体上，画出的样子是这样的（课件展示），你能猜出是什么面吗？

生（兴高采烈，异口同声）：你的眼镜，镜片的面。

师：你们可真会联想（课件验证如图 5）！

生：耶！

师：还有一个，画出的样子是这样的（课件出示）。想想它可能代表的是什么面。

生（七嘴八舌）：桌面、地面、天花板面、墙面……

师：为什么可以代表这么多大小不一的面呢？这些面有什么共同点？

生：形状相同，都是长方形。

师：这么说，它可以代表的面可太多了（课件展示如图 6），可以是一块长方形花布，可以是一块长方形草地；可以是一面长方形桌面，可以是一扇长方形的窗户；甚至可以是长方形游泳池静止的水面，也可以是透过长方形天窗看到的一方蓝天……（引发学生丰富的联想，可适当停顿）

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师：谁说我们数学枯燥乏味，它用这样极简的图形，收纳着、代表着万千世界、丰富多彩的面。这就是数学独有的价值与美好！

师：现在，我们可以回答 “哪里有面” 这个问题了吧。

生 1：生活中有丰富的物体表面。

生 2：图形中也有面。

（学生一边作答，课件同步演示如图 7）

4. 沟通 “ 抽象 ” 与 “ 联想 ”，发展空间观念。

师：（课件演示如图 8）我们看到、谈到生活中这些物体表面，要能画出对应的封闭图形，看到 画出的图形，也要能联想到它所代表的真实的物体表面。这样我们才能学好。

设计意图： 问题一 “哪里有面”，总的目的是借助体验过程，发展学生空间观念。这一目的，通过 “找” 面、 “画” 面、“想” 面三个活动逐步实现。“找” 面，是为了积攒大量的、各种各样的有关 “面” 的直观形象与现实经验。“画” 面，由现实背景中的物体表面抽象到封闭图形，尽最大可能，让学生亲历数学抽象的需要与发展过程。“想” 面，由一个简洁的封闭图形，联想到生活中丰富多样的、真实存在的实物表面，发展学生空间想象能力。同时也引发学生体味数学极简的价值与美好，展现数学内涵与魅力。于是将丰富的实物表面与简化的封闭图形建立双向联系，培养学生抽象与联想能力，发展空间观念。

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问题二 什么是 “ 面积 ”？

师：我们知道了 “哪里有面”，知不知道什么是 “面积” 呢？我们来看这些实物表面与封闭图形，他们都有一周的边线（课件演示如图 9，突出一周边线），也有边线里面的 “面”（课件演示如图 9，突出图形的面）。一周边线的长度，也就是一周的长度，就是之前学习过的周长。而 “面” 的大小，或者说图形的大小，就是它的面积（随即板书）。

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师：你知道什么是面积了吗？举例说一说。

生 1：我知道了面的大小就是面积。

师：比如说这个桌面……

生 1：这个桌面的大小就是这个桌面的面积。

师：（指着黑板上提前画好的正方形）比如这个正方形……

生 2; 这个正方形面的大小就是它的面积。

师：你说得对。我们问这个正方形有多大，就是问它的面有多大，也就是它的面积。

师：现在你们会区分一个图形的周长与面积了吗？

即时练习 描一描，涂一涂。

1. 想要知道下列图形的 周长 ，得关注它们哪里的长短？请用 彩笔 描出来。

2. 想要知道下列图形的 面积 ，得关注它们哪里的大小？请用 彩笔 涂出来。

学生独立完成，集体交流展示。

生 1：要想知道这些图形的周长，就得看它一周的边线有多长。要想知道这些图形的面积，就得看它里面的面有多大（如图 10）。

生 2：那后面那个图形为啥漏做呢？

生 1：因为它不是封闭图形。

师：为什么不是封闭图形就不涂也不描呢？

生 3：它都没有闭口，你怎么知道下面该怎么描怎么涂呢？

这项练习，绝大多数同学都完成得很好。小予同学的做法如图 11。课堂上我们展示出来供大家讨论。大家都说她做错了，小予同学有点胆怯。只有小秦同学说她没错，他的高情商解释让大家心服口服。

秦：她没错，她只是把这个没有周长的图形补成了一个有周长的三角形（大家为小秦同学智慧而富有包容心的解读送上了掌声）。

师：即使她在第一次描这个图形的一周时没有察觉问题，那后来她自己其实已经想明白了（手指图暗示）。

生：因为第二次涂面时，她就没有涂了，还打了个小 “×”。

师：我们为她在作业中的进步鼓掌。（所有孩子投去欣赏的眼光鼓掌，小予同学开心地回了座位。）

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师：我们来把大家的发现总结一下。万千世界都可以用线条来勾勒（课件演示如图 12）。上面这些线条有什么特点？

生：没封口。

师：有没有周长？有没有面积？

师：这些线条未封闭，没有围成一周，没有周长，也没有面积。所以只有封闭图形，才有周长与面积。

师：下面的图形呢？

生：封闭图形，有周长，也有面积。

师：对。封闭图形围成了一周，也围出了确定的面。一周的长度用周长表示，面的大小用面积来表示。

师：现在对于 “什么是面积”，你有没有更清晰的认识了呢？

生（频频点头）：清楚了（学生记录如图 13）。

师：那 “面积” 为什么叫面 “积”，不叫面大或面小？（学生若有所思、跃跃欲试，但我没有展开，想他们存着这个疑问，进入下面的学习。）

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设计意图 ：根据课前访谈，我们发现学生对面积的意义理解是有困难的。尤其是很容易与周长混淆。所以我们在初步揭示面积的意义时，有意设计了与周长的对比认识。我们选择从度量对象出发，直观地区分图形的边线与面，从而区分面积与周长的意义，避免混淆。随后的即时练习意在考察学生对周长与面积对应的直观具象，一周边线与面，能否准确区分。另外补充了一个非封闭图形供学生质疑辨析，凸显周长与面积也有共性，都是仅仅存在于封闭图形。之后便在非封闭图形与封闭图形的对比中，补充并巩固了对周长与面积的认识。

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问题三 怎么 “测量” 面积？

师：我们知道了 “什么是面积”，那我们能不能比较两个图形面积的大小呢？

1. 观察法

师：这两个图形，谁的面积更大（课件呈现如图 14）？

生：左边的更大。

师：怎么知道的？

生：一眼就看出来了。

师：说得好，只需要观察就知道了。

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师：（课件呈现如图 15）再来看看，A 和 B, 谁的面积更大？

生；B

师：A 和 C 呢？

生；C

师：B 和 C 呢？

生：看不出来了。

2. 重叠法

师：学具袋里，老师为大家准备了 B 和 C 两个长方形。大家来想想办法，怎么才能知道 B 和 C 谁更大呢？

学生自主尝试，同伴相互启发，再到全班交流。绝大多数同学想到了重叠法比较两个图形的大小。

生（一边在展台演示，一边讲解）：我先把 B、C 两个图形对齐重叠，再把多出的部分折出来，最后把多出的部分再重叠，发现正方形更大。（如图 16）

小结：同学们想到了重叠法比大小，是个好方法。重叠一次，除去相同的部分，再去重叠不同的部分，直到能看出谁剩下的更大为止。

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<续> 问题三 怎么 “测量” 面积？

3. 测量法

师：刚刚我们拿的是两个图形的纸片，方便重叠比较。要是我们的图形不能拿出来重叠，又该如何比较谁更大呢？B、C 两个图形现在在我们的导学单上，你能想到办法去比较它俩谁更大吗？可以自己独立尝试，也可以和同伴讨论、合作。

（这里给学生准备的工具有硬币、橡皮和直尺。刚开始有极少数同学用直尺去测量边长，试图比较周长，很快就被同伴指出，那是周长，现在需要测量的是面积。）

3.1 硬币测量

生 1：我用硬币试了试，但是不行。

师：我希望你能来展示一下你的尝试。

生 1：我用 1 角的硬币去放，但是不行。（学生的课堂操作，课堂上未能捕捉，课后我记录如图 17）

师：怎么不行呢？

生 1：有的地方有重叠，还有的地方有空隙。

师：虽然他的这个方法没能比较出两个图形的大小。但是我仍然从中看到了价值（启发同学们带着肯定的眼光去思考与修正）！

生 2：他虽然没成功，但这是一次有用的尝试。

生 3：我知道了硬币不方便，要去找找别的工具试试。

师：我还有个问题，他把硬币放在这个这里，是为了干什么？

生 4：他想看看一共能放几个，然后看哪边放得更多。

师：说得太好了！你们觉得硬币不方便，如果你们可以改良这个硬币，你们想要怎么改呢？

生 5：我想把它改小点。

生 6：光改小还是不行，我想改成方形的。（其他同学连连说对，表示认同）

3.2 橡皮测量

生 7：我的橡皮差不多是方形的，我试了试，确实更方便放整齐了，但是仍然不行。（学生的课堂操作，课堂上未能捕捉，课后我记录如图 18）

师：请你来展示一下。别着急否定，我们一起想想看，还有没有别的办法。

生 8：我觉得可以。这个正方形和长方形都有一部分是两块橡皮那么大，我们只需要比剩下的部分了。

生 9：对，对。我们需要一个更小的方形的工具。

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3.3 用小方格测量

师：请同学们拿出桌箱里的信封，看看里面有没有你们想要的工具。（这里为同学们提供了小方格贴纸）

生：小方格，太好了。

师：可以自己独立完成，也可以找同桌合作。之后集体交流

生 1：我用小方格贴满了正方形，数出有 16 格；又用小方格贴满了长方形，数出有 15 格。所以正方形更大，大 1 格。（如图 19）

师：所以你发现正方形有多大？

生 1：有 16 个小正方形那么大。

师：那长方形有多大？

生 2：有 15 个小正方形那么大。

师：现在可以马上比较长方形与正方形的面积了吗？怎么比较的？

生 3:16 大于 15，正方形大。

师：可以直接比较数了，这得感谢谁？

生：小方格！

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生 4：我觉得这样全部铺满，太麻烦了。我是这样做的（上台展示如图 20）。然后我们就想，一条边可以贴 4 个，有 4 条边，4 乘 4 等于 16 个……

师：大家同意吗？

生（绝大多数）：同意。（少数同学心存迟疑）

师：同意？

生 5：不同意！你这样是在算周长了！

师：他是算的小方格呀。他说靠一条边可以铺 4 个，有 4 条边。

生 5：那你这样就没有贴满呀！你只靠着四边贴，中间呢？

师：你说得太好了！我们可以把他的想法画出来吗？

生：可以。（如图 20）

师（对生 4）：你现在知道问题出在哪里了吗？

生 4：知道了。我们要把整个面铺满，不能只靠着边铺。

师：嗯，你想省些麻烦，爱动脑筋，这个尝试很大胆。这样做到底行不行得通呢？既然实际没有铺满，我们看着这个图，可以想到铺满的样子吗？

生 6：可以（上台展示如图 21）。我们可以这样想，正方形每行铺 4 格，可以铺这样的 4 行。长方形每行铺 5 格，可以铺这样的 3 行。为了避免出错，我还画出来验证了一下。（全班掌声响起）

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师（对着生 4）：我们要感谢你，做了不用满铺的第一次尝试！

师（对着生 6）：我们还要感谢你，做了大胆的修正与补充！（全班掌声再次响起）

师：大家都明白了吗？我们对照着看一看，在算正方形时，两位同学都用了算式 “4×4=16”，意思相同吗？

生：不同。

师（指图说）：第一位同学的这个 4，表示什么意思？

生：“有 4 条边”

师：第二位同学的这个 4，表示什么意思？

生：“有同样的 4 行”。

师：这两者的区别，你能体会吗？

生：能。

小结：看来我们想要知道一个图形的面积有多大，就得用小方格把它的面铺满。即使我们没有真实地铺满，也得能想到它铺满该有的样子。这样我们才能数出或者算出它到底有多少个小方格那么大。

师：我们来回顾一下，我们采用了哪些方法去比较图形的大小？

<续> 问题三 怎么 “测量” 面积？

即时练习 猜一猜，想一想

（此练习参考学习了吴正宪老师执教的《什么是面积》。）

师：下面我们来做一个小游戏。天黑了，全班同学请闭眼静息。女生请睁眼，男生继续闭眼静息。（确认男生都闭眼静息，再出课件呈现如图）请女生大声数出你看到的图形的面积，并记住它。

生（女）：女生看到的图形有 16 格那么大。（课件隐去图形，留下 “16 格”）

师：接下来，请女生闭眼静息，男生睁开眼。（确认女生都闭眼静息，再出课件呈现如图）请男生大声数出你们看到的图形的面积，并记住它。

生（男）：男生看到的图形有 4 格那么大。（课件隐去图形，留下 “4 格”）

师：天亮了，请全班同学睁开眼睛。还记得各自看到的图形有多大吗？男生、女生谁看到的图形更大？

生（部分同学不假思索）：女生，16 格大多了。

生（部分同学早有警觉）：一样大。

生（小烛同学眼睛格外亮）：不能确定。你都不知道用的小方格有多大。小格子如果一样大，女生看到的图形 16 格，肯定更大；小格子如果不一样大，那就可能女生看的更大，可能男生看的更大，也可能一样大。（全班同学若有所思，表示认同，响起掌声）

师：小烛思考得真周全！我们一起来看看，她说的是不是这个意思（课件展示三种可能如图 22、23、24）。

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师：通过这个小游戏，你有些什么看法，谁能试着总结一下。

生 1：我们不能只看数量，还得看用的小格子有多大，两者要一起看。

小结：看来，我们要想直接比较数量，就得统一用相同大小的格子去测量（随即板书）。

设计意图（问题三）： “面” 既然有大小之分，该如何去比较两个图形面积的大小呢？在发现观察法、重叠法的局限后，学生自然感受到找工具测量面积的必要性。学生想到用硬币、橡皮、小方格的面去铺满图形的面时，其关注点已然从 “一维长度” 过度到了 “二维面积”。从而更加具体地认识到，“要知道一个图形的面积，就是看它里面可以铺满多少个工具面”。这个认识，不光令学生有了初步的度量面积的意识，也让面积的含义更为易懂具象化。同时，尝试用硬币、橡皮、小方格测量面积的过程，也是度量工具不断被优化的过程。这个过程保护了学生，从无到有创造工具，从一般到标准改良工具的思考历程，使学生得以亲历从粗糙到精细的度量演化过程，让学习自然发生，深化度量意识。

收获与疑问

师：以上，我们解决了课前梳理的三个问题。现在，你有新的收获与疑问吗？

不少同学谈了收获，有一个同学产生了新的疑问，“难道每次测量一个图形的面积，我们都要把这个小方格带着吗？” 他这个问题提的非常可贵，他已经产生了想把测量工具确定下来，标准化的动机，说明该生具有很强的度量意识，已为后续的学习埋下思考的种子！

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反思一：本课的内容很多，怎么把握好时间？

（一）尊重学生学情，从学生的问题出发

通过课前的学生谈话，发现孩子们对面积的概念理解还很模糊不清，所以我们设计了丰富的教学活动，来帮助学生理解什么是面积，比如解决第一个问题 “哪里有‘面’” 里面的找面、画面、想面活动，发展了学生的抽象能力和空间想象能力。在解决第二个问题 “什么是面积” 里面，有意设计了周长与面积的对比练习，让孩子们对面积和周长的概念有了更清晰的认识，解决了他们认识上的困难和盲点。

（二）灵活调整课时，为学生的发展奠基

“什么是面积” 这一课在面积这个单元是起始课，是学生从 “一维的长度” 过度到 “二维的面积” 的一次认识上的飞跃。所以，我们把教学重点放在了 “面积” 概念的理解和度量意识的培养上。比如，在课后谈话，学生已经问到 “难道每次测量一个图形的面积，我们都要把这个小方格带着吗？” 说明我们的教学是成功的，学生已经明白面积的概念并且度量意识已经根深蒂固在学生的脑海里，已经深化了度量意识，已经意识到度量中要比较大小，统一度量标准的重要性，也为第二课的面积单位的学习埋下了伏笔。

（三）设计情景问题，为学生的学习助力

本课以解决三个主问题为主线贯穿全课，让学生的学习顺理成章，学生的学习层层递进，相辅相成，激发了学生的学习兴趣，从而激起了学生的内在学习动力。面积的意义理解激发学生度量意识的萌发，学生是自主萌发度量意识，发展度量意识。度量面积的大小帮助学生理解什么是面积。学生主动参与课堂学习，体现了新课程中学生的主体性地位。

（四）学习习惯培养，为学生的学习保驾护航

本课虽然看起来活动丰富，时间可能不太够用，但是我们平时对孩子们的学习方法，学习习惯的培养很到位，孩子们上台发言组织有序，课堂参与积极顺畅，学习在问题中一步一步有序推进，让我们看到了孩子们思维的碰撞，看到了度量意识从模糊到清晰，从粗略到精确的过程，学习习惯的培养，为学生的学习保驾护航。

反思二：怎么能做到让 “学习自然发生” 的？

（一）激发兴趣，让学习自然发生

本课通过创设富有趣味的故事氛围，由比较人的 “脸面” 自然引入到物体 “表面”，让抽象的数学学习变得生动、具体、有人情味儿，让学习自然发生。

（二）借助体验感悟让学习自然发生

本课为了让学生能够经历概念的形成过程，遵循儿童的认知特点，通过设计 “找” 面、 “画” 面、“想” 面三个体验活动将丰富的实物表面与简化的封闭图形建立双向联系，借助体验感悟既培养学生抽象与联想能力，发展空间观念，又让学习在体验中自然发生。

（三）对比中体会让学习自然发生

为了进一步明确面积与周长的不同，本课设计一组对比练习考察学生对周长与面积对应的直观具象，一周边线与面，能否准确区分。让学生在质疑辨析中体会周长与面积的共性都是仅仅存在于封闭图形。然后在非封闭图形与封闭图形的对比中，补充巩固了对周长与面积的认识，让学生在对比中让学习自然发生。

（四）探索中优化让学习自然发生

“面” 既然有大小之分，该如何去比较两个图形面积的大小呢？瞿老师通过让学生经历对度量方法的探索，在感受发现观察法、重叠法的局限后，再通过对度量工具的探索，如使用硬币、橡皮、小方格来测量面积的过程中优化对度量工具的使用，通过这样循循渐进的探索活动让学生自然感受到找工具测量面积的必要性，这样的探索活动不光令学生有了初步的度量面积的意识，也让面积的含义更为易懂具象化，使得老师对学生度量意识的培养自然发生。

李春梅工作室提出的 预设问题 ：

在初稿中 “超级蟀” 的环节让学生体会了周长和面积不能同大同小，但在终稿中为什么没有了这个环节？

我方工作室回答过程如下。

周军成：老师们好，我们来自成都市陈祖惠名师工作室。李春梅工作室提出的问题是：在初稿中 “超级蟀” 的环节让学生体会了周长和面积不能同大同小，但在终稿中为什么没有了这个环节？总的来说，我们的终稿并没有否定初稿，而是结合学情对初稿进行了优化。我们将以这样的思路来回答这个问题（课件展示整体回答思路）。

李兴荣：初稿教学设计主要基于读懂教材。第一个小绿点，意在引导学生，“结合实例认识面积的含义”。第二个小绿点，我们初读得到三个要点，“通过探索比较面积的方法，深化理解面积的意义，发展度量意识”；第三个小绿点，则是通过画图体会 “面积相同的图形，形状，周长可以不同。” 通过深层次研读这个方格图，我们发现第二个小绿点中还隐藏了 “周长相同的图形，面积可能不同” 这样一个知识点。而学生本能的认知经验有可能认为 “周长越长，面积越大”。基于这样的理解，我们在初稿中设计了 “超级蟀” 这个情景，抛出 “用 40 厘米与 42 厘米的两根绳子围草地，哪根绳子围出的面积更大？” 这样一个开放性的问题，出于两个目的。一是活动之前先设问，引发学生带着猜想展开本环节四个知识点的探索活动，进行自我验证；二是埋设认知冲突，引发学生在本环节学习之后还会质疑与反思。

肖丽莎：初稿设计之后，学校已复课，我们试讲发现，学生单是理解面积的意义，就有较大困难，需要充分的活动体验。情境中预设的问题与冲突，无疑加重了学生的理解负担，不适合在建立 “面积” 概念的初始课展开学习。此处，需要说明的是，即使终稿中，这个情境与问题并未出现，我们仍然肯定其学习价值，准备运用于新课之后的整合学习中。试讲出现问题，我们开始思考，我们的教学设计到底该如何优化呢？为了了解学生的真实困难，我们选择了三年级还未上过此课的同学代表，做了简要的访谈。访谈围绕两个问题进行。一是，关于面积，你知道些什么。二是，什么是面积，你能不能举例说一说。我们发现，学生知道长方形的面积 = 长乘宽，但不清楚为什么这样计算。大部分学生说不清楚什么是面积，对面积概念的感知抽象、空洞。因此，我们坚定地将教学目标锁定为，帮助学生理解透彻理解 “什么是面积”。

瞿小庆：如何才能实现这一核心目标呢？我们对照史宁中教授的度量解读，对 “什么是面积” 的内涵作了三个层次的解读。第一层次，知道什么是面；第二层次，知道 “面积” 描述的是 “面的大小”。第三层次，知道 “一个图形的面积” 就是 “看这个图形里面有多少个工具面。” 第一层次主要经历找面、画面、想面三个活动，积攒大量实物经验。过程中，对比一维的边知道二维的面。画面、想面的过程就是抽象与联想的过程，于是发展空间观念。第二层次对比周长，知道面积描述的是面的大小。随即通过 “描、涂” 的对比练习，区分周长与面积。并引出只有封闭图形才有周长与面积。

第三层次，当学生发现观察法、重叠法在比较面积大小有局限，自然想到用工具测量。这个环节，活动体验的目的，一定得引发学生思考，有两点需要注意。一是，要重视引导学生经历创设、优化测量工具的过程。二是，要着意肯定学生看起来 “失败” 的尝试，鼓励他们不断思考、自我修正。

课堂时间有限，我们无法真正让学生去创设工具，但我们至少要让学生经历创设工具的思考。于是应注意先引发学生对可行工具应具有什么样的特点产生猜想，再提供工具。为了让学生经历优化工具的思考，我们应先提供粗糙的工具。在学生初步尝试测量时，我们只为学生提供了身边常见的工具，直尺、硬币、橡皮。学生在尝试中就发现，直尺只能量边长，无法直接量面积。硬币靠不紧，想要方形工具。橡皮是方形的，能靠紧，但太大了。于是就产生了改良工具的动机，想要一个大小合适的方形工具，这时候小方格就应运而生，学生喜出望外。

“真正有效的学习，不是直接习得好方法，而是不断探索并优化自己的方法。” 要注意肯定学生看起来 “失败” 的尝试，鼓励他们不断思考、不断修正。最开始提供直尺、硬币、橡皮这些工具时，学生稍微一摆就说 “不行不行”。很明显，这些工具确实不行，但想到用工具面去测量图形的面，就是一个一维到二维的尝试，是有价值的，应给予肯定与赞赏。而且，只有及时肯定这样粗糙的测量尝试，才能唤起学生优化测量工具与方法的思考热情。又比如，当我们用小方格满铺成功之后，有同学已经窥得不必满铺的天机。他无比激动上来展示，结果发现他错了，他沿着边铺的，没有铺满真个面。经过一番讨论之后，他对自己的冲动表示失望。而实际他做了一次了不起的尝试，他第一个用大脑的想象来代替实际的摆放，这是学习数学非常需要的能力。我们应给予其应有的肯定，并鼓励大家想得沉稳些、细致些。于是才有后面学生的补充与修正，还想到 “把没铺的格子画出来，验证自己的想象” 这样的好方法。

我们想做到以上两点，能够把第三个层次落实。同时，这也是贯穿整个课堂，我们的主张，创设 “从无到有” 的探索空间，引导学习自然发生。以上就是我们的解答，请问对方辩友，还有什么问题吗？

经历 “从无到有” 的探索，引导学习自然发生

——《什么是面积》一课的研讨综述

历时半年的第二届名师工作室教学设计与课堂展示大赛圆满落下帷幕。这半年，我工作室秉持真研究，诚交流，重反思，乐分享的参赛态度，扎扎实实学习 “度量” 这一数学本质，勤勤恳恳落实课堂上的自然习得，整个工作室与全校三年级学生共同经历了许多个心系课堂、激扬热血的日月，铸就了一段共同成长的美好时光。

回顾《什么是面积》这节课的教学设计，经历多次的研讨，两稿的修正，我们取得了以下三点认识性成果。

一、三个课前问题对应三个认识层次，是本节课学习的主线。

第一个问题，“哪里有面”，引发了 “找” 面、“画” 面、“想” 面，三个活动，帮助学生完成第一层次的理解，知道丰富多样的事物表面和封闭图形所表示的 “面”，形象而具体地知道什么是 “面”。

第二个问题是 “什么是面积”。这个问题引导学生对比周长的概念，简要总结面积的概念。对比 “线” 有长短之分，总结 “面” 有大小之分，“面” 的大小就被称为 “面积”。从而完成第二层次的理解，明白 “面积” 描述的，简而言之就是 “面的大小”。

第三个问题是 “怎么测量面积”。其实之所以会产生测量面积的需求，是因为在比较两个图形面积大小时，观察法、重叠法有局限。所以我们将这种局限抛到学生面前，让其自发产生尝试找工具测量面积的动机。继而尝试用硬币面、橡皮面、方格面满铺图形面。这个过程中，有两点需要特别注意。一是，工具的准备上，先提供直尺、硬币、橡皮这三种。提供直尺，是为了看看有没有同学去测量边长或周长（给予试错机会）。提供硬币、橡皮，意在让学生初步尝试，用工具的 “面” 粗略测量图形的面。进而思考 “什么样的工具面更方便铺满”，引发优化面积度量工具的需求。最后的度量工具，小方格应运而生，验证学生对理想度量工具的期待。通过亲历整个由粗略到精细的度量过程，学生完成第三个认识层次，发现 “一个图形的面积” 就是看 “这个图形里面能铺满多少个工具面”。

二、 帮助学生认识从 “ 一维的长度 ” 过渡到 “二维的面积”，是贯穿始末的一条得力暗线。

教师用书重点指出，“从一维的长度到二维的面积，是空间认识上的一次飞跃”。史宁中教授认为，人有两个原始本能，其中一个就是 “对距离远近的感知【1】”，也就是教师用书说的 “一维长度” 的感知。而人却不具有对 “二维面积” 的本能感知。这给我们一个重要的警示，在学习 “二维的面积” 时，“一维长度” 的本能感知，一定会给学生带来困扰。因为在学习相关新知识时，本能感知一定是率先想到的。这也就是为什么，我们的经验告诉我们，学生在初次接触图形的面积时，总是很容易关注到边长与周长或试图去测量边长与周长，甚至会本能地认为 “周长越长，面积越大”。这个 “来自本能的困扰”，同样在我们实际上课中有所体现，有两处尤为明显。

三、深入理解 “ 面积含义 ” 的过程，就是发展学生 “ 度量意识 ” 的过程。

度量，作为数学的本质，是如何在学习 “面积含义” 的过程得到落实的呢？我们在前期重点学习史宁中教授的度量解读时，已发现学习本课最关键的有两点。一是，创设大量的现实背景，体验数学抽象的过程；二是，引导学生亲历创设、优化度量工具的过程，在尝试中不断反思与修正。

（一）深入研读教材与学情，重新规划课时目标。

我们深入研读教材，知道本课的教学目标，可以整理为三个。目标一，结合实例认识面积的含义；目标二，借助探索比较面积方法的过程，深化理解面积的含义，同时经历创设、优化测量工具的过程，不断反思修正，发展度量意识；目标三，在探究各种形状图形的周长、面积之间的大小关系，进一步深化理解面积含义。经过课前访谈与试讲，准确把握学情，我们发现本节课三个目标均需要创设大量体验活动，一个课时无法落实，所以规划为两个课时来完成。本节课我们选择前两个目标设计活动，第三个目标将放到下一课时继续探究学习。

（二）补充教材内容，亲历数学抽象，为度量面积做准备。

为了创设大量的现实背景，让学生体验数学抽象的过程，我们将教材开篇快速揭示面积概念，作了向后的推延。在揭示概念之前，教材上也设计了寻找身边物体表面的活动，我们归纳为 “找” 面。为了积攒大量现实经验，我们在此处做了大胆的补充，在 “找” 面活动之后，还创设了 “画” 面、“想” 面的过程，使学生得以亲历抽象与联想的过程，实现实物表面与封闭图形的双向联系，为后续度量面积做准备。

（三）亲历创设、优化度量工具的过程，尝试与修正中发展度量意识。

当学生发现观察法、重叠法在比较面积大小有局限，自然想到用工具度量，开始度量的过程体验。这个环节，活动体验的目的，一定得引发学生思考，有两点需要注意。一是，要重视引导学生经历创设、优化测量工具的过程。二是，要着意肯定学生看起来 “失败” 的尝试，鼓励他们不断思考、自我修正。

课堂时间有限，我们无法真正让学生去创设工具，但我们至少要让学生经历创设工具的思考。于是应注意先引发学生对可行工具应具有什么样的特点产生猜想，再提供工具。为了让学生经历优化工具的思考，我们应先提供粗糙的工具。在学生初步尝试测量时，我们只为学生提供了身边常见的工具，直尺、硬币、橡皮。学生在尝试中就发现，直尺只能量边长，无法直接量面积。硬币靠不紧，想要方形工具。橡皮是方形的，能靠紧，但太大了。于是就产生了改良工具的动机，想要一个大小合适的方形工具，这时候小方格就应运而生，学生喜出望外。

“真正有效的学习，不是直接习得好方法，而是不断探索并优化自己的方法。” 要注意肯定学生看起来 “失败” 的尝试，鼓励他们不断思考、不断修正。最开始提供直尺、硬币、橡皮这些工具时，学生稍微一摆就说 “不行不行”。很明显，这些工具确实不行，但想到用工具面去测量图形的面，就是一个一维到二维的尝试，是有价值的，应给予肯定与赞赏。而且，只有及时肯定这样粗糙的测量尝试，才能唤起学生优化测量工具与方法的思考热情。又比如，当我们用小方格满铺成功之后，有同学已经窥得不必满铺的天机。他无比激动上来展示，结果发现他错了，他沿着边铺的，没有铺满真个面。经过一番讨论之后，他对自己的冲动表示失望。而实际他做了一次了不起的尝试，他第一个用大脑的想象来代替实际的摆放，这是学习数学非常需要的能力。我们应给予其应有的肯定，并鼓励大家想得沉稳些、细致些。于是才有后面学生的补充与修正，还想到 “把没铺的格子画出来，验证自己的想象” 这样的好方法。