【2021秋】杨薪意名师工作室 王娟 6上《圆的面积（一）》

【教材图片】：

【活动主题解读】：

通过文献综述，我们发现关于 “量感” 目前有三种解释：

一是直接将量感看作数感，课标就明确指出，“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”。数量简称为量，是数与量的复合，因此，对于数量的感悟，就是我们所说的量感。

二是认为量感是对量的感受，是指视觉、触觉等感官对物体的规模、程度、速度等方面的感觉，也就是对物体的大小、多少、轻重、厚薄等的感性认识。在小学阶段，量感主要是指对长度、面积、体积、时间、质量、货币等的感性认识。

三是认为量感是指学生不使用测量工具对某个量的大小进行推断，或推断用某个单位表示的量与哪个实际物体的大小吻合的一种感觉。

量感是学生必备的核心素养之一。

【选课思考】：

通过对本次活动主题的认真解读，我们认为 “发展学生量感” 不仅有助于学生分析、解决实际问题，提高其估测能力，还有助于学生提高和完善数学核心素养。

“行是知之始，知是行之成。” 量感的培养离不开丰富的数学主题活动，需要让学生在丰富多样的主题活动中通过实际操作积累丰富的学习体验，只有足够的亲身体验才能促进学生逐步形成 “量感”。

想要落实 “量感” 的培养目标，需要适合的载体，而《圆的面积（一）》这一课就是我们认为合适的选择。圆是小学阶段所学的平面图形中唯一的一个曲线图形。圆的面积的研究，不论是学习内容的本身，还是研究策略的探讨，对老师和孩子们来说都具有一定的难度和挑战性。

《圆的面积（一）》教学设计 第一稿

教学内容：

北师大版小学数学六年级上册第一单元《圆的面积（一）》，课本第 14～15 页。

教材分析：

《圆的面积（一）》是新北师大版小学数学六年级上册第一单元的内容。在此之前，学生已经直观认识了圆，学习了长方形、正方形、平行四边形、梯形等平面图形及其周长、面积的计算。它是学生初步研究曲线图形面积的开始，也是后面学习圆柱、圆锥等知识的基础，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。圆的面积的探索安排在学生进一步认识了圆的特征，并探索了圆的周长公式之后，本课教材结合实例引导学生认识圆的面积，让学生通过不同主题的测量活动经历圆面积计算公式的推导过程，重点突出利用已有研究图形的经验解决新问题的探究过程，从而掌握圆的面积计算公式。在探究圆面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 的思想和方法。

学情分析：

六年级的学生已经具备一定的探索、交流合作能力，好奇心、求知欲强。能够比较熟练地利用公式对已学过的平面图形进行周长和面积的计算，在本单元中学生进一步认识了圆的特征，探索了圆的周长公式，再结合已有平面图形的周长、面积公式的学习经验，能合理运用转化的数学思想，这些都为本课的学习打下坚实的基础。

教学目标：

1、结合实例认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2、在探究圆面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 的思想。

教学重点：

掌握并理解圆面积的计算公式。

教学难点：

引导学生用多种方法推导概括圆面积公式。

教学准备：

圆纸片、剪刀、胶棒等，多媒体课件。

教学过程：

（一）创设情境，初步感知【触发】

师：同学们去过天府广场吗？天府广场变得越来越美丽，今天让我们从不同的角度再来欣赏一下我们的天府广场。广场的中间部分像一个太极八卦图，所以这个圆形的广场又被称为 “太极广场”。它的直径为 150 米，那么太极广场的面积是多大呢？

（二）任务驱动，自主探究【探究】

师：这个广场面积太大，实际操作会有困难，怎么办？

生：太极广场是一个圆形，可以先研究小的圆的面积，得到方法后再去计算。

师：这个想法不错，那么我们先来直径为 8 厘米的圆。如何得到一个圆的面积呢？根据以往学习经验，有哪些方法可以帮助我们得到它的面积？

预设：

1、在圆内画正方形……

2、利用方格图来测量

3、将圆转化成已学过的图形来思考，如平行四边形、长方形等

师：能有这么多想法，老师既惊喜又佩服。接下来同学们可以根据老师提供的学习材料，选择自己喜欢的方式来研究。

布置学习要求。

a) 小组内商量选择研究方法，根据提示独立完成学单。

b) 小组内交流，对自己的的研究结果进行改进。

c) 整理组内成员研究情况，准备汇报。

明确活动要求后，开始探索。

(1) 独立研习，探索新知

小组商量好研究方法后，先根据学习单进行独立探究。

(2) 同伴研讨，探索解惑

有组织的进行小组内的研讨，对自己的研究结果进行再思考，进一步深入研讨，最终达成组内共识。教师巡视指导，了解学生探究情况，适时参与学生讨论。

(3) 团队研述，探索提炼

分不同方法展开小组汇报。

A 组：圆内外画正多边形

预设：

生 ₁：我在圆里画一个最大的正方形，我能算出正方形的面积，8×8÷2=32cm²，圆的面积应该比 32 平方厘米大。如果是在圆外画一个最小的正方形，那么 8×8=64cm², 圆的面积应该比 64 平方厘米小。但是剩余部分怎么办呢？

生 ₂：将圆内的正方形换成正八边形，那么剩余部分就明显减少，如果画更多正多边形，那么得到的值会更接近圆的面积。

总结：但是我们这种办法只能得到圆面积的近似值，并不是圆的真正面积。而且正多边形边数越多，其面积算起来也麻烦。

师：你们找到了广场面积的取值范围，这样的发现非常有价值，还有没有其他方法呢？

B 组：数方格

① 圆中画方格

预设：

生 ₁：将圆分成小格子，差不多一共 16 个格子，每个格子是 4 平方厘米，这个圆的面积大约是 64 平方厘米。将方格补充完整后，可以看出多出 4 个大半格，我们估计圆的面积应该比 58 平方厘米小。

生 ₂：后来我们发现格子大了后，误差就比较大，要想更加精确，需要将格子换小一些。

② 利用方格纸数面积单位进行测量

放到边长为 1 厘米的方格纸上，可以看出外面多出来 4 小格，则圆的面积小于 60 平方厘米，

如果再换成更小一些的方格，每一格再四等分，就有 256 个方格，外面多出 40 个完整方格，40×0.25=10 cm², 圆的面积小于 54 平方厘米。

总结：每个方格面积越小，圆的面积就越精确，但仍得不到精确值。怎么办？

师：同学们能借助以前的学习经验来探索演的面积，很棒！但不管是画正多边形还是数方格的方法都只能是无限的接近圆的面积。还有没有其他的方法呢？

C 组：转化成学过的图形

① 组：转化成平行四边形（详）

生 ₁：我们小组把圆转化成了近似的平行四边形。先将圆平均分成 8 份，把它拼成一个近似的平行四边形。

提问：转化成的平行四边形的底和高与原图形有什么关系？

生 ₂：我们发现虽然形状变了，但是面积没变，平行四边形的面积就是圆的面积，通过对比，我们发现平行四边形的底就是圆周长的一半，平行四边形的高就是圆的半径，

平行四边形面积 = 底 × 高

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

追问：不太像，怎么拼才能更接近平行四边形？

你怎么知道平行四边形的高是圆的半径？底是圆周长的一半？

总结：（重点讨论对应关系）

圆等分的份数越多，拼出来的图形就越接近平行四边形。

师：同学们把圆转化成我们学过的 “平行四边形”，还找拼成的平行四边形和原来的圆之间的联系，那么用 S 表示圆的面积，r 表示圆的半径，你知道怎么表示圆的面积吗？

生：S=πr²

师：还有没有其他想法？

② 组：拼成近似的三角形。（略）

把圆形平均分成 16 份，拼成这样一个三角形。

圆的面积 = 三角形的面积

=ah÷2

=(C÷4)×4r÷2

=(2πr÷4)×4r÷2

=πr²

③ 组：拼成近似的长方形。（略）

我们把圆形平均分之后，先拼成平行四边形，然后再拼成长方形。

圆的面积 = 长方形的面积

=ab

=πr×r

=πr²

沟通方法之间的联系

师：同学们，我们用几种方法推导出了圆的面积公式啊，真是条条大路通罗马，对比这几种方法，你有什么发现？

生说说自己的看法，讨论中总结：

1) 方法不同，但最终得到的结论都是 S=πr²

2) 都用到了转化的思想，将圆转化成学过的图形（就知）来探索圆的面积公式（新知），“化曲为直” 的转化思想

……

（三） 迁移应用，集体提升

师：现在我们来算算天府广场中间的这个太极广场到底占地面积是多少呢？

问题：天府广场中间圆形部分的直径为 150 米，那么它的面积是多大呢？

r=150÷2=75m

S=πr²=3.14×75²=17662.5m²

（四）课堂小结

师：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？

板书设计：

圆的面积（一）

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径 转化思想

S= πr × r 新知→旧知

= πr² 化曲为直

《圆的面积（一）》第一稿教学反思

本课充分围绕发展学生 “量感” 来设计，

（一）创设 “太极广场的面积有多大” 问题情境，触发学生产生 “必须要求出圆形面积的大小” 的问题驱动力。激活学生的探究兴趣，感受计算圆的面积在生活中的必要性，由此进入到探究圆的面积计算方法的学习之中。同时这样的情境创设让学生感受家乡的美好，培养学生热爱家乡之情。

（二）回顾已学知识，激活已有学习经验，在回顾中前后关联，归纳和梳理推导公式的思路，启发学生的思维，为后续学习做好铺垫。

（三）让学生在独立思考、组内合作下充分进行直观操作，各组选取不同探究方法，呈现不同的思考路径。首先学生想办法通过分割、数方格等方法估计圆面积的过程中，调动学生原有的度量经验得到圆的面积的近似值，通过学生对量的估计发展学生量感。然后让学生在实际操作活动中体会切割边数的增加、数的方格越来越小时，所得图形的面积越接近圆的面积，感受量的累加，从而发展学生量感。把圆转化成了近似的平行四边形，甚至其他已经学过的图形，推导圆的面积计算公式。找到转化前后两个图形之间的联系也是在发展学生量感。

（四）让学生通过不同的探究方式，在多元方法对比中通过观察、推理，深度沟通方法之间的联系，体会极限思想和化曲为直的思想。在表达中让思维外显，理解圆的面积计算方法的合理性和正确性。

（五）最后再回过头来应用圆的面积计算公式算出 “太极广场” 的实际面积，做到全课首尾呼应，因为大多数孩子都去过天府广场，计算出实际面积也能和学生自身经验建立起联系，这也发展了学生的量感。

第一次试讲之后，发现仍有不足之处待改进：

1、 最大的问题是超时。学生在第三个实际操作的环节中花了大量时间，使得后面应用环节不能较好地完成，下来后需思考如何更加有效地组织学生完成探索活动，从而更好的把控课堂时间。

2、 本堂课容量大，需要对教材再进行研究，对所呈现的方法做进一步分析，做到详略安排得当。

《圆的面积（一）》教学设计 第二稿

教学内容：

北师大版小学数学六年级上册第一单元《圆的面积（一）》，课本第 14～15 页。

教材分析：

《圆的面积（一）》是新北师大版小学数学六年级上册第一单元的内容。在此之前，学生已经直观认识了圆，学习了长方形、正方形、平行四边形、梯形等平面图形及其周长、面积的计算。它是学生初步研究曲线图形面积的开始，也是后面学习圆柱、圆锥等知识的基础，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。圆的面积的探索安排在学生进一步认识了圆的特征，并探索了圆的周长公式之后，本课教材结合实例引导学生认识圆的面积，让学生通过不同主题的测量活动经历圆面积计算公式的推导过程，重点突出利用已有研究图形的经验解决新问题的探究过程，从而掌握圆的面积计算公式。在探究圆面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 的思想和方法。

学情分析：

六年级的学生已经具备一定的探索、交流合作能力，好奇心、求知欲强。能够比较熟练地利用公式对已学过的平面图形进行周长和面积的计算，在本单元中学生进一步认识了圆的特征，探索了圆的周长公式，再结合已有平面图形的周长、面积公式的学习经验，能合理运用转化的数学思想，这些都为本课的学习打下坚实的基础。 少数学生由于课外拓展，知道圆面积的计算公式，但并不知道公式的由来。

教学目标：

1、结合实例认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2、通过观察、猜想、操作、验证、讨论、归纳，经历并理解圆面积计算公式的推导过程；进一步体会转化方法的价值，发展学生的逻辑思维能力和空间观念，体会化曲为直和极限思想，发展学生量感。

3、在探索圆面积计算公式的过程中，养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯，会用圆的面积计算公式解决生活中的实际问题，培养应用意识。

教学重点：

掌握并理解圆面积的计算公式。

教学难点：

进一步体会转化方法的价值，体会化曲为直和极限思想。

教学准备：

教具准备：多媒体课件

学具准备：圆纸片、剪刀、胶棒、方格纸、展示背景板等

教学过程：

（一）创设情境，激趣引入

PPT 出示天府广场图片

师：孩子们，这是成都的哪儿？

生：天府广场

师：瞧，中间的广场因为像一个太极八卦图，所以又被称为 “太极广场”。想知道它有多大，其实就是要求圆的面积，这恰恰就是今天这节课我们要一起来研究的问题。

提问：关于圆的面积，你知道什么？

生：圆的面积公式是 πr²

师：你真厉害，关于圆的面积，你还想知道什么？

生：这个公式是怎么来的，为什么要这样计算？

（二）任务驱动，自主探究【探究】

师：对，学习不光要知其然，更要知其所以然，希望通过今天的学习，能解开你的疑惑。

师：如何得到一个圆的面积呢？根据以往学习经验，有哪些方法可以帮助我们研究呢？

1、在圆内画正方形……

2、 利用方格图来测量

3、将圆转化成已学过的图形来思考，如平行四边形、长方形等

师：能有这么多想法，老师既惊喜又佩服。你们想用什么思路来研究呢？和组内同伴讨论一下。

师介绍根据不同思路选择的每种文件袋中的工具，学生小组内商量好研究思路。

师：接下来同学们可以根据老师提供的学习材料，请组长来选择自己组喜欢的方式来研究。

布置学习要求。

a) 小组内商量选择研究方法，根据提示独立完成学单。

b) 小组内交流，对自己的的研究结果进行改进。

c) 整理组内成员研究情况，准备汇报。

明确活动要求后，开始探索。

(1) 独立研习，探索新知

小组商量好研究方法后，先根据学习单进行独立探究。

(2) 同伴研讨，探索解惑

有组织的进行小组内的研讨，对自己的研究结果进行再思考，进一步深入研讨，最终达成组内共识。教师巡视指导，了解学生探究情况，适时参与学生讨论。

(3) 团队研述，探索提炼

分不同方法展开小组汇报。

蓝袋：圆内外画正多边形

预设

生 ₁：我在圆里画一个最大的正方形，我能算出正方形的面积，但是剩余部分怎么办呢？

生 ₂：将圆内的正方形换成正八边形，那么剩余部分就明显减少，如果画更多正多边形，那么得到的值会更接近圆的面积。

结：但是我们这种办法只能得到圆面积的近似值，并不是圆的真正面积。而且正多边形边数越多，其面积算起来也麻烦。

师：你们找到了广场面积的取值范围，这样的发现非常有价值，还有没有其他方法呢？

红袋：数方格

① 圆中画方格

生 ₁：将圆放到方格纸上，数出整格……

疑惑：每个方格面积越小，圆的面积就越精确，但仍得不到精确值。怎么办？

师：同学们能借助以前的学习经验来探索圆的面积，很棒！但不管是画正多边形还是数方格的方法都只能是无限的接近圆的面积。还有没有其他的方法呢？

黄袋：转化成学过的图形

A 组：转化成平行四边形（详）

生 ₁：我们小组把圆转化成了近似的平行四边形。先将圆平均分成 4 份、8 份、16 份、32 份，把它拼成一个近似的平行四边形。

追问：你们把圆转化成了平行四边形，都拼成了平行四边形，它们有什么不同？

转化成的平行四边师形的底和高与原图形有什么关系？

生 ₂：我们发现虽然形状变了，但是面积没变，平行四边形的面积就是圆的面积，通过对比，我们发现平行四边形的底就是圆周长的一半，平行四边形的高就是圆的半径，

平行四边形面积 = 底 × 高

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

师：你怎么知道平行四边形的高是圆的半径？底是圆周长的一半？

总结：（重点讨论对应关系）

圆等分的份数越多，拼出来的图形就越接近平行四边形。

师：同学们把圆转化成我们学过的 “平行四边形”，还找拼成的平行四边形和原来的圆之间的联系，那么用 S 表示圆的面积，r 表示圆的半径，你知道怎么表示圆的面积吗？

生：S=πr²

师：还有没有其他想法？

B 组①：拼成近似的三角形。（略）

把圆形平均分成 16 份，拼成这样一个三角形。

圆的面积 = 三角形的面积

=ah÷2

=(C÷4)×4r÷2

=(2πr÷4)×4r÷2

=πr²

B 组②： 拼成近似的长方形。（略）

我们把圆形平均分之后，先拼成平行四边形，然后再拼成长方形。

圆的面积 = 长方形的面积

=ab

=πr×r

=πr²

B 组③：拼成近似的梯形。（略）

师：他们组是把圆转化成了平行四边形，而你们却转化成了梯形和三角形。这样能推出和他们组一样的面积公式来吗？下课以后同学们可以继续研究。

沟通方法之间的联系

师：同学们，我们用几种方法推导出了圆的面积公式啊，真是条条大路通罗马，对比这几种方法，你有什么发现？

（三） 迁移应用，集体提升

师：现在我们来算算天府广场中间的这个太极广场到底占地面积是多少呢？

问题：天府广场中间圆形部分的半径为 75 米，那么它的面积是多大呢？

S=πr²=3.14×75²=17662.5m²

（四）课堂小结

师：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？

预设：

生 ₁：我知道了圆的面积公式是怎么推导出来的。

生 ₂：我知道了可以用数单位面积的个数、化曲为直的转化方法来研究圆的面积，推导圆的面积计算公式。

生 ₃：我知道圆就是越来越多，无限多。

……

板书设计

圆的面积（一）

化曲为直

学生作品 圆 学生作品

S=πr×r=πr²

^{底 × 高}

^极限思想

教案二稿 同课同构反思：

（一）创设 “天府广场” 问题情境，让学生感受到数学来源于生活，并触发学生产生 “必求圆面积大小” 问题的内驱动。此外，选取学生身边的著名景点为素材，引导学生欣赏事物之美，用数学的眼光观察世界，感受家乡之美。

（二）回顾已学知识，激活已有学习经验，在回顾中前后关联，归纳和梳理推导公式的思路，启发学生的思维，为后续学习做好铺垫。

（三）让学生在独立思考、团队合作中充分进行直观操作，各组选取不同探究方法，呈现不同的思考路径。在原有经验基础上，学生先想到通过数方格、分割转化等方法估计圆面积的过程中，调动学生原有的度量经验得到圆的面积的近似值，通过学生对量的估计发展学生量感。然后让学生在实际操作活动中体会切割边数的增加、数的方格越来越小时，所得图形的面积越接近圆的面积，感受量的累加，从而发展学生量感。把圆转化成了近似的平行四边形，甚至其他已经学过的图形，推导圆的面积计算公式。找到转化前后两个图形之间的联系也是在发展学生量感。

（四）让学生通过不同的探究方式，在多元方法对比中通过观察、推理，深度沟通方法之间的联系，体会极限思想和化曲为直的思想。在表达中让思维外显，理解圆的面积计算方法的合理性和正确性。

（五）最后再回过头来应用圆的面积计算公式算出 “太极广场” 的实际面积，做到全课首尾呼应，因为大多数孩子都去过天府广场，计算出实际面积也能和学生自身经验建立起联系，这也发展了学生的量感。

试讲之后，发现仍有不足之处待改进：

1、学生操作活动花时稍长。

2、在操作活动中让学生自主选择数方格、切割转化图形。两大类方法同时进行并不能让每一位学生感受到量感。

【团队一稿磨课图片】

【团队二稿同课同构磨课图片】

【团队三稿磨课图片】

《圆的面积（一）》教学设计 终稿

教学内容：

北师大版小学数学六年级上册第一单元《圆的面积（一）》，课本第 14～15 页。

教材分析：

《圆的面积（一）》是新北师大版小学数学六年级上册第一单元的内容。在此之前，学生已经直观认识了圆，学习了长方形、正方形、平行四边形、梯形等平面图形及其周长、面积的计算。它是学生初步研究曲线图形面积的开始，也是后面学习圆柱、圆锥等知识的基础，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。圆的面积的探索安排在学生进一步认识了圆的特征，并探索了圆的周长公式之后，本课教材结合实例引导学生认识圆的面积，让学生通过不同主题的测量活动经历圆面积计算公式的推导过程，重点突出利用已有研究图形的经验解决新问题的探究过程，从而掌握圆的面积计算公式。在探究圆面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 的思想和方法。

对比人教版、苏教版、西师版教材发现所有版本都注重化曲为直，用转化思想将圆转化为平行四边形来推导圆的面积公式，用方格纸和圆内外正方形来估圆的面积的方法每个版本都有各自不同的处理和用力之处，其他三版教材都只注重用两种方法让学生感受面面积的估计和推导，只有北师版编排了数方格、转化和圆内方圆外方（类割圆术）三种方法，并且北师版中这三种方法都引导了学生继续想象，直至无限多的情况，从而很好地渗透了极限思想。

学情分析：

六年级的学生已经具备一定的探索、交流合作能力，好奇心、求知欲强。能够比较熟练地利用公式对已学过的平面图形进行周长和面积的计算，在本单元中学生进一步认识了圆的特征，探索了圆的周长公式，再结合已有平面图形的周长、面积公式的学习经验，能合理运用转化的数学思想，这些都为本课的学习打下坚实的基础。课前我们对班上 40 名学生进行了问卷调查，全班有 13 名学生会用圆的面积计算公式来计算，但是没有一个人知道为什么圆的面积计算公式是这样的，因此，我们认为，帮助学生厘清圆的面积计算公式的推导过程尤为重要。

教学目标：

1、结合实例认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2、通过观察、猜想、操作、验证、讨论、归纳，经历并理解圆面积计算公式的推导过程；进一步体会转化方法的价值，发展学生的逻辑思维能力和量感，体会化曲为直和极限思想。

3、在探索圆面积计算公式的过程中，养成独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯，会用圆的面积计算公式解决生活中的实际问题，培养应用意识。

教学重点

经历并理解圆面积计算公式的推导过程。

教学难点

进一步体会转化方法的价值，体会化曲为直和极限思想。

教学准备：

教具准备：多媒体课件

学具准备：圆纸片、剪刀、胶棒、方格纸、展示背景板、彩笔等

教学过程：

一、触发：创设情境，激趣引入

师：今天老师带来了一段关于成都夜景的小视频，想邀请大家一起来欣赏，愿意吗？

播放视频《成都的夜景真美丽》（18 秒）

师：当时我看到它的时候想的和大家还有些不一样，谁猜到我当时这么想的？

预设：

1、想到圆。

2、圆的面积是多少？

……

师：说的都对。同学们也学会用数学的眼光来看世界啦！瞧，中间的广场像一个太极八卦图，所以又被称为 “太极广场”。想知道它有多大，其实就是要求 圆的面积 ，这恰恰就是今天这节课我们要一起来研究的问题。

二、追究：探究新知

（一）回顾唤醒

师：关于 面积 ，我们是从什么图形开始研究的？

通过谈话引导学生回忆有关面积的探究过程以及探究方法经验。

师：那之前我们研究面积所用的方法还灵吗？实践出真知，灵不灵试过才知道。

先试用一个单位面积。

师：你有什么发现？

生：摆不完，有剩余……

师：还能用这种方法继续测量吗？

生：换更小的面积单位来测量。

师：那好，我们一起来试试。

（二）方法迁移，新知探究

1. 独立研习，探索新知

学习活动（一）：数方格，估测圆的面积

红袋：数方格

师：我们如果把中间包含完整面积单位的方格图上颜色，会怎样呢？请大家涂一涂。

学生独立完成涂色，教师收集作品展示

提问：观察这几幅作品，你有什么发现？

预设：1、方格越小，数出的方格越来越多了。

2、随着格子越来越小，剩余部分的越来越少了。

3、中间的形状越来越像圆了。

师：想象一下，如果方格更小呢？会怎样？

生：随着方格越来越小，涂色部分的面积就越接近圆的面积。

师：同学们能借助以前的学习经验来探索圆的面积，很棒！在研究的过程中有疑惑吗？

预设：1、尽管越来越接近，但是这样数很麻烦……

2、只能越来越接近，还是没有得到圆的面积。

3、还是不知道怎么算的啊？

师：有道理，为什么其他图形可以测量，而圆不行？

生：因为它的边是弯曲的

师：能不能把它 “化曲为直” 呢？

生：可以分割、把它转化成我们学过的图形来研究

师：我们已经研究过哪些图形的面积呢？

生：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形……

2. 同伴研讨，探索解惑

学习活动（二）：转化图形，推导圆的面积公式

师：能想到这么多，老师既惊喜又佩服。你们想选择什么思路来研究呢？和组内同伴讨论一下。

组内讨论商量选择研究方法

师：为了方便大家研究，老师为大家在黄色袋子里准备了圆、剪刀等工具材料。另外同学们 发现我这儿还为大家准备了两个蓝色学习袋，这里面装的什么呢？老师先保密，有没有哪个组愿意挑战一下？

学生根据学习材料，分小组完成活动，教师巡视指导。

3. 团队研述，探索提炼

分不同方法展开小组汇报。

黄袋：转化成学过的图形

（1）A 组：转化成平行四边形（详）

学生汇报预设：我们小组把圆转化成了近似的平行四边形。先将圆平均分成 4 份、8 份 16 份、32 份，把它拼成一个近似的平行四边形。

生 ₂：我们发现随着边数增加，平行四边形的边越来越平。随着等分的份数越来越多，拼出来的图形越接近平行四边形。虽然形状变了，但是面积没变，平行四边形的面积就是圆的面积，通过对比，我们发现平行四边形的底就是圆周长的一半，平行四边形的高就是圆的半径，

平行四边形面积 = 底 × 高

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

师：这组给大家带来的信息量很大，让我们一起再来梳理一下。刚开始他们拼成的图形为什么不像？

生：边是弯的

师：随着等分的份数越来越多之后呢？

生：边越来越直了！

师：想象一下，如果就这样继续分割下去会怎样呢？让我们一起来看看。

播放视频《极限切割圆》

师：随着等分的份数越来越多，拼成的图形也越来越像平行四边形，最后变成长方形。

追问：转化成的平行四边形的底和高与原图形有什么关系？

你怎么知道平行四边形的高是圆的半径？底是圆周长的一半？

（2）师：还有没有其他想法？

B 组①：拼成近似的三角形。（略）

把圆形平均分成 16 份，拼成了这样一个三角形。这个三角形的面积等于圆的面积。

B 组②：拼成近似的梯形。

预设：我们把圆形平均分成 16 份，拼成了一个近似的梯形。

圆的面积 = 梯形的面积

师：同学们真厉害！那你们用出拼成的三角形和梯形推导出相同的圆的面积计算公式呢？课后我们继续研究、推导。

师：还有同学挑战了新方法，让我们来听听他们是怎样想的。

（3）蓝袋：割圆术等其他方法

预设：内接正多边形、外切正多边形、正方形减去四个近似的三角形等

师：哇，你们的方法太有创意了。真是未来的数学家，当初阿基米德、刘徽也是这样研究圆的。

播放视频《割圆术》

（由于时间关系，如果学生没有来得及推导其他图形与圆的面积公式之间的联系，可以布置成课后探究作业）

（三）课堂小结

师：同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？

预设：

1、我知道了圆的面积公式是怎么推导出来的。

2、我知道了可以用数单位面积的个数、化曲为直的转化方法来研究圆的面积，推导圆的面积计算公式。

3、我知道圆就是越来越多，无限多。

……

师：刚才我们通过数方格、分割圆将圆转化为学过的基本平面图形，通过对比圆和基本平面图形直接各部分的关系，推导出了圆的面积计算公式。还在这个过程中感受了方格越小，估计出来的圆的面积越精确，分割的份数越多，拼出来的图形越接近平行四边形，这就是我们数学中非常重要的思想 —— 极限思想。同学们还利用已经学过的图形来帮助研究新图像 —— 圆。这也是数学中的重要思想 —— 化曲为直。

三、提升：迁移应用

师：现在我们来算算天府广场中间的这个太极广场到底占地面积是多少呢？

问题：天府广场中间圆形部分的半径为 75 米，那么它的面积是多大呢？

S=πr²=3.14×75²=17662.5m²

四、全课总结

板书设计

《园的面积》终稿反思：

再次调整教学设计之后走进课堂，较前两次而言有了明显的进步，现将具体情况总结如下：

（一）创设圆形 “太极广场” 视频问题情境，在学生原有的生活经验的基础上，触发学生产生 “求圆面积大小” 问题的驱动，帮助学生构建有关 “面积” 的知识结构。选取学生身边的著名景点为素材，引导学生欣赏生活中的数学美，会用数学的眼光看世界，感受家乡之美。

（二）激活学生已有的知识经验，回顾探索 “面积” 方法，在回顾构建知识关联，归纳和梳理探索面积的方法和推导公式的思路，启发学生的数学思考，通过操作活动从数方格，细分方格到估计圆的面积，为后续学习做好良好的铺垫。

（三）让学生在独立研习充分进行直观操作，各组选取不同探究方法，呈现不同的探索思路。在充分体会数方格的过程后，学生体会到将小方格细分越多，数出来的数越接近圆的面积，提高了精确度的同时，体现了 “极限思想”。

（四）在团队研讨、团队研述中，让学生在实际操作活动中体会转化、切割等方法所得图形的面积越接近圆的面积，感受量的累加，从而发展学生量感。在把圆转化成了近似的平行四边形，甚至已经学过的其他图形，来推导圆的面积计算公式，帮助学生建立两个图形面积计算公式的联系也在发展学生量感。

（五）学生在不同的探究方式中，多元对比，通过观察、操作、推理，沟通方法之间的联系，体会极限思想和化曲为直的思想，使学习《圆的面积》更有广度和深度。

（六）应用圆的面积计算公式算出 “太极广场 " 的实际占地面积。帮助学生将自己头脑中对 “太极广场” 的估量与 “太极广场” 实际面积的数据建立联系，在 “数”“形” 对应中自觉纠偏估量误差，增强对大面积的直观量感。同时，与课前情境首尾呼应，再次在实际情境中感受圆的图形美，意蕴美，感受家乡在新时代建设中变得更加美好。

有待改进之处：

1、 在引导学生回顾旧知，唤醒测量面积方法时，原本设计的是孩子们会很自然的回忆起用单位面积来摆一摆的方法，但是实际操作中却发现并非如此，因为距离长方形、正方形的探究已经很长一段时间，孩子们很自然的先想到了方格纸，说明对孩子课堂反应的预设还是不够。

2、 在理解了转化成的近似平行四边形和圆的面积公式之后，我们也想尝试着如果课堂中让每个孩子都在动手画一画平行四边形的底和高与圆的半径和圆周长的一半这个环节上再处理的更为精细一点，那么对于拼车的近似梯形和近似三角形的面积计算和圆面积公式的转换之间的推导，又会擦出怎样精彩的火花呢？

期待着下一次的课堂还可以再继续。

导师修改意见：

1、应注重活动有效性，学生通过直接经验或间接经验获取知识的感受有深浅之分，要向生展示间接经验，更要注重直接经验的获得。让学生在高参与度的操作活动中，如此一来，不仅能唤起已有量感的体现，还能更好地进一步感知量感。

2、团队合作活动中，多引导学生巧操作，此举不仅可起到节约时间的效果，还能达到渗透圆与拼成图形之间量对应关系的目的，从而做到在操作活动中形成量感。

3、结合 “双减” 大背景，可将课后练习巧妙地融入学生的课堂动手探索中，在积累学生的活动经验的同时，也达到了构建学生的知识体系的目的。

【活动综述】

体验极限魅力 感悟化曲为直

—— 在操作活动中发展学生量感

骄阳似火的七月，有幸和小伙伴们一起组队参加了 “全国新世纪小学数学第三届名师工作室教学设计与课堂展示大赛活动”。 团队老师们在杨薪意老师的引领、林佳老师的陪伴下，紧紧围绕本次大赛 “学会学习 —— 发展学生量感的学习方式探索” 的主题来开展 理论学习，认真研读教参、教材，精心打磨课堂教学，大家通力合作，在活动中不断成长，顺利完成比赛任务。现将我们团队参加本次活动的感悟总结如下：

一、认真解读大赛要求 积极提升理论认知

接到比赛任务后，团队老师一起认真解读了大赛要求，认为本次大赛主题的核心词为 “量感”、“学会学习”，紧接着我们围绕比赛核心展开理论学习。

梁培斌、张先锋老师在所撰写的《量感的内涵、特征、价值与培养策略》一文中指出：关于量感，目前有三种解释：一是直接将量感看作数感，课标明确指出，“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟”。数量简称为量，是数与量的复合，因此，对于数量的感悟，就是我们所说的量感。二是认为量感是对量的感受，是指视觉、触觉等感官对物体的规模、程度、速度等方面的感觉，也就是对物体的大小、多少、轻重、厚薄等的感性认识。在小学阶段，量感主要是指对长度、面积、体积、时间、质量、货币等的感性认识。三是认为量感是指学生不使用测量工具对某个量的大小进行推断，或推断 用某个单位表示的量与哪个实际物体的大小吻合的一种感觉。大家对前两种解释的认可度较高，这两种解释都强调学习者个体对数量的一种感性认识，这种感悟是人们通过感觉器官，运用具身认知逐渐形成的。史宁中教授曾在《为什么强调量感》的讲座中提到：学生的 “量感” 要通过丰富的实际度量活动来培养。《经历度量工具创生过程，发展学生量感》中讲到：“量感就是对量的感受。” 培养学生量感的教学方式也不少，比如认读度量工具，借助度量工具进行计算，实测物体等。但唯有这些还远远不够，因为其缺乏对度量价值和作用地充分认识。”

在紧紧围绕 “量感” 的学习中，让我们逐步对 “量感” 以及如何培养学生 “量感” 有了更加深入而清晰的认识。

二、 认真研读教参教材 精心打磨课堂教学

本次参赛，我们团队选择了《圆的面积（一）》。一般而言，教师都会把《圆的面积一》的教学重点放在公式推导上。而 “双减” 背景下，如何将本课与大赛的主题 ——“量感”、“学会学习” 有效结合？如何提升课堂内的教学效率？这是一个大挑战。

为了更准确掌握学生实际情况，暑假初期，我们针对即将上六年级的学生做了学前调查。结合调查的结果和本次大赛的主题，团队老师再认真研读教材、教参，明确了本课的教学目标和教学重难点。本节课的重点我们确定为：帮助学生经历圆面积公式推导的全过程。通过课前调查我们发现 93%的学生存在的迷思有两点：1、为什么要将圆转化成平行四边形、三角形等直边图形？2、如何转化？

基于对重点的确定和学生迷思的分析，我们不断打磨修改教学设计，最终确定采用 “三研三探” 的教学策略，在 “数一数”、“拼一拼”、“画一画”“估一估”“算一算” 等活动中，帮助学生体会 “化曲为直” 等数学思想，在图形转化和对应的活动中，沟通图形之间的联系，厘清课前迷思，丰富和发展学生的量感。

通过数次试讲、同课异构等研讨活动，团队老师在杨老师、林老师的陪伴指导下，不断细化、调整教学设计，落实教学目标，最终有了较为满意的课堂呈现。让学生在丰富的实际操作活动中经历了圆面积公式推导的全过程，一步步深入体验 “极限思想” 的魅力，感悟 “化曲为直” 的重要数学思想，进而深度理解了圆面积公式的意义，厘清了为什么要把圆转化成直边图形的困惑；更让学生在这些活动中积累了探究经验，丰富了学生的量感。

三、认真总结课后得失 团队协作完成答辩

本次大赛给我们留下深刻印象的还有一点是：这个比赛是团队作战，尤其是录课后的 “答辩”。本次参赛的 四位老师均为第一次参加，没有任何经验可言，在杨老师和林老师的指导与陪伴下，我们根据各自的特点快速进行答辩分工，随后进行了 4 个小时的现场模拟答辩，积累实战经验，为最后的答辩打下坚实的基础。

本次大赛让我们深刻体会到 “事成于和睦，力生于团结。” 尽管执教的只有一位老师，但是整个比赛过程中，我们团队成员都群策群力，团队协作。每次课后都会认真研讨，给出自己宝贵的建议，充分发挥出每一位成员的力量，最后顺利完成了比赛任务。

经历了本次以 “学会学习 --- 发展学生‘量感’的学习方式探索” 为主题的教学设计与展示活动，我们团队老师对如何引领学生学会学习，对 “量感” 及如何在教学中发展学生的量感有了更加深入的认识。更让我们意识到：“学会学习” 不光是针对学生而言，对我们教师也同样适用，在科技高速发展的今天，作为孩子们领路人的我们更需要保有一颗 “学会学习”、“不断学习” 的进取之心。

感谢新世纪小学数学论坛为我们搭建的学习、交流、展示和提升的平台。

补充

教师从教材的编写、生活经验、学生操作的实践等方面做起，引导学生认识圆的面积，让学生通过不同主题的测量活动经历圆面积计算公式的推导过程，重点突出利用已有研究图形的经验解决新问题的探究过程，从而掌握圆的面积计算公式。在探究圆面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 的思想和方法。以此来培养学生的 “量感”。