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《圆的面积（一）》教学设计

成都市龙泉驿区实验小学校 肖丽莎

【教学内容】

北师大版六年级上册第一单元 P13-14《圆的面积（一）》

【教材分析】

本内容是学生在小学阶段的最后一次学习平面图形的面积，也是由原来的直边图形变成曲边图形的一次飞跃。虽然孩子们已经有长方形（正方形）面积大小用摆小方格的方法、平行四边形、三角形、梯形以及不规则图形面积用转化成学过的图形推导公式的经验，但对于圆这个曲边图形的面积大小的探索还是有一定的困难。本课围绕着 “量感” 设计，“量感” 主要体现在：量的估测、量的累加、量的联系三个方面。教材一共分为四个问题来让孩子的思维可视化。问题一：量的估测。用度量的方法得到圆的面积的近似值。在学生想办法估计圆的面积过程中，调动学生原有的度量经验，用正方形估或者用标准单位（平方厘米）小方格估，发展学生的量感。问题二：量的累加。把圆等分后拼成近似的平行四边形。也是调动学生原有的转化经验，探索圆能够转化成我们学过的什么图形，通过学生操作实践，等积变形、化曲为直的过程中，让学生的思维可视化，这个地方学生用近似的小三角形、平行四边形来估计圆的面积，依然是近似值。问题三：量的累加、量的联系。探索在什么条件下所拼出的近似平行四边形更接近平行四边形。这个过程我们可以是让我们的猜想在实验中得到验证，运用极限的数学思想，化曲为直，把圆转化成了近似的平行四边形，学生心中对圆的大小理解更加有感觉。问题四：量的联系。推导圆的面积计算公式。圆的面积和平行四边形的面积相等，平行四边形的底相当于圆周长的一般，平行四边形的高，相当于圆的半径，学生能找到转化前后两个图形之间的联系，也是量感的体现。

【学情分析】

学生已具备的知识能力：已经知道面积的意义，知道什么是面积；知道面积单位的大小，脑袋里有平方厘米、平方分米、平方米的模型；已经有选择合适的度量工具的经验，面积大小已经知道统一，有数格子度量的经验，有转化成学过的图形的经验，知道面积可以用单位大小累计 “量” 出来，也可以用公式算出来。学生已具备的思维和动手能力：六年级的学生已经由具体思维过度到抽象思维，能够发挥想象，这样有助于学生的 “量感” 可感；在以前的学习过程中，积累了大量的活动经验和能力。

【教学目标】

1. 结合实例认识圆的面积，经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 在探究圆的面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 和 “转化”“极限” 的数学思想。

3. 在估计、操作与实践活动中，发展学生的 “量感”。

【教学重难点】

1. 经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 在操作实践活动中，体会 “化曲为直” 和 “转化”“极限” 的数学思想，发展 “量感”。

【教学资源】

3.0 微课、方格纸，正方形卡片、圆形卡片、剪刀、双面胶等。

【教法学法】

教法：直观演示、讲授法、直观演示法。

学法：“四学”、探究学习、自主学习等。

【教学过程】

情境引入：小羊被主人栓在树干上，小羊围着树干一圈吃草，小羊能吃到草的最大范围有多大？（绳长 3 米）

设计意图：小羊吃草的面积就是一个圆的面积，就是已知半径求圆的面积，让孩子明白学习圆的面积计算的必要性，也是理解数学来源于生活。揭示课题：圆的面积（一）。

（一）忆一忆

师：“什么是面积？我们学过哪些图形的面积？这些图形的面积公式是什么？是怎么推导出来的？”（抽生汇报）。

设计意图：本环节是为了让学生在回忆长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，知道度量面积的大小来自标准单位的累加，比如长方形的面积计算公式是由数格子的方法推导出来的长方形的面积 = 长 x 宽。平行四边形、三角形、梯形如果用数格子的方法度量就不太方便，由此就可以思考把新图形转化成学过的图形再进行面积公式的推导。出现两种探索图形面积的方法（数格子、转化），调动已有的度量意识和度量方法，为学生本节课的学习做好铺垫。

（二）估一估

师：那 “我们如何得到一个圆的面积呢？”“拿出自己准备的圆片，用老师准备的工具估一估，并说一说你的估计方法”（生操作）。

生 1 用大方格估，50 个格子。

生 2 用小方格估，12 个格子。

生 3 用大正方形估，圆的面积小于 100 平方厘米。

生 4 用小正方形估，圆的面积大于 49 平方厘米。

师共学：测量时，我们要统一标准，测量结果才相同。我们用不同的小方格度量同一个圆，结果不同。我们可以用小方格累加为圆的面积也就是以小估大，也可以用大正方形减去四个角的面积估计圆的面积，也就是以大估小。

设计意图：帮助孩子们理解在估计面积大小时，脑袋里必须出现一个标准（比如这里的小方格，正方形），学生借助标准调整自己估计结果的过程，就是培养量感的时候，有理有据的估，就是 “感觉” 越来越准的表现。

（三）做一做

师：但刚刚我们只是在用一个标准去进行合理的估计，那这个圆到底有多大呢？我们该怎么办？

生：既然数格子不行，那能不能把圆转化成我们学过的图形？

师：你发现圆和以前学过的图形有什么区别？难点在哪里？

生：以前学的是直边，圆是曲边。

师：那我们如果研转化成以前我们学过的图形，那我们就需要干什么？

生：化曲为直。

师：那来看老师变一个魔术。（把圆对折三次）现在是一个什么形？

生：有点像三角形，扇形。

师：圆的面积与这个小扇形的面积什么关系？

生：那我们可以说这个圆的面积是这个小扇形面积的 8 倍。

师：是的，我们可以通过部分来推测总体，虽然现在我们不知道近似三角形的面积，但是这也是一种思路，以小估大，让我们的估计越接近正确结果。

设计意图：渗透化曲为直、转化的数学思想。在魔术中，再次渗透量感培养，为孩子以后生活中的一些估计提供活动经验。

师：那我们把这个圆沿着折痕剪开，看看到底能不能转化成我们学过的图形？（拿出学具）

首学：折一折：（折成你想折的份数），剪一剪（沿半径剪开）、摆一摆（摆成我们学过的图形）、想一想（这个图形跟圆有什么联系）

生小组内互学：组内选一副作品贴在组长的卡纸上，跟圆对着观察，找一找两个图形之间的联系，可以在卡纸上写一写。

生全班同学群学：小组上台汇报，其他小组听和补充。

设计意图：在活动中，反复强调 “感觉” 这个词，是激发孩子们的思考，渗透量感的培养。这一环节，让孩子动手实践操作，验证自己的猜想，体验成功。发挥想象，体现数学上的 “极限思想”，通过微课，让孩子的思维可视化。

师：把掌声送个这个小组，分析得太准确了。它们刚刚说这是一个近似的平行四边形，我们怎样才能变成更像平行四边形呢？

生：我猜把圆等分的份数越多，会越像，因为边越直。

师：越来越会猜，越来越会感觉，这节课你就成长了，那我们一起来看一个微视频，验证一下你的想法。（播放微课）

设计意图：观看 3.0 微课，让学生的极限思维（感觉），可视化，肯定了学生的想法，不仅知道是什么，还知道为什么，找到转化前后两个图形之间的联系。

（四）用一用

1. 利用方格估计下图的面积。

圆的面积大约是 ( 　　) 个小方格。

设计意图：利用合适的估计方法，合理估计圆的面积，让量感可感。

2. 看一看、说一说

图一：圆的内接正多边形。图二：圆的外切正多边形。

设计意图：圆不管是内接还是外切的正多边形，都是边数越多越接近圆形，体会 “极限” 和 “化曲为直” 的思想。

3. 在草地的一个木桩上拴着一只羊，想一想这只羊能吃到草的最大范围是多少？（绳长 3 米）

设计意图：运用圆的面积计算公式解决生活中的实际问题。让抽象的公式更加具体，让孩子们脑海里能够想象这个圆到底有多大。并解决开课设计的疑问，首尾呼应。

（五）说一说

师：愉快的时间总是短暂的，学完本节课你有什么收获呢？

生：......

师：本节课我们不仅回忆了原来学过的图形的面积，还研究了圆的面积计算公式，在这个过程中我们对面积的感觉越来越好。到目前为止，我们不仅学习了直直的边围成的图形的面积，还学习了曲边围成的圆的面积，你猜我们后面可能还要学习什么图形的面积？

生：既有直边也有曲边的图形（比如圆柱与圆锥）

设计意图：帮助学习建立完整的知识体系，六年级的学生，应该对图形的面积板块儿建立系统的认识，不仅会回归本质，而且能生长到新的知识里。

圆的面积（一）》二稿反思

陈祖惠名师工作室 肖丽莎

《圆的面积（一）》是北师大版六年级的课程，学生小学阶段对平面图形的最后一次研究，但圆跟以前的平面有区别，也有难度，这一节课需要突破难点，运用化曲为直的思想，推导出圆的面积公式，同时还要落实对学生量感的培养。在本节课的教学中，我们融入以生为本的教学理念，注重在理解圆的面积的度量意义的本质上发展学生的量感，通过忆一忆、估一估、做一做、用一用、说一说等活动，让学生利用多元的素材从不同的角度去理解圆的面积意义，推导出圆面积的计算公式，让学生主动参与，动手操作，让学生提出质疑，主动验证，勇于探索，向学生架起一座由 “学会” 到 “会学” 的桥梁。

通过设置有趣的 “羊吃草的最大面积” 的生活情境，引出课题。通过回忆什么是面积，让学生通过摸圆形卡纸，引导学生感受什么是圆的面积，理解所谓圆的面积实际上就是圆所占平面的大小。 在理解圆的面积的意义之后，让学生估一估圆形卡纸的面积，对圆的面积的大小有一个定量的认识，落实估测这个环节能够使学生找准量感的生长点，进而促进学生量感的生长，所以估测这个环节能够更好的促进学生对量的灵活应用，因此我们设计了丰富的操作活动，培养学生的量感。

紧接着在估测的基础上，学生通过正方形和数方格都无法准确得到圆的面积，提出探索的思路，那如何解决这个问题呢？利用已有的平面图形面积计算的知识经验为研究圆的面积计算做好铺垫，自然的引导学生发现 “转化” 是探究新的数学知识，解决数学问题的好方法。 教师先引导学生折一折，体会量的累加。学生在已有知识经验的基础之上，大胆猜测，确定 “转化” 的策略，分小组亲自动手拿出准备好的圆形卡片，将其平均分成若干份，然后拼成平行四边形或长方形。剪拼，虽然慢，但给足了学生自主学习的空间，学生拼好后观察对比，就会发现如果把一个圆形平均分成的份数越多，这个图形也就越接近平行四边形或长方形，这个环节的设计也是 “极限” 思想渗透的最好体现。

跟二稿不同的，二稿我们在剪拼环节让孩子只剪了 8 份的。终稿，我们提出放手让孩子剪成自己想剪得份数，所以看到孩子们更多的精彩。更好的落实了化曲为直的思想。我们也让孩子想想，体会极限思想。

本节课的教学中始终将以生为本的理念贯穿始终，以活动为学生认识的基础，通过动手操作，自主探究，小组活动等教学方法把抽象思维物化为动作形象思维，让学生的多种感官参与，激活学生原有的知识经验，让学生感受量，亲历量的形成过程，学会利用公式计算量的大小，促使学生的量感持续生长。并建立完整的知识体系，感受数学的魅力。

2021.8.20 日，我们组的小伙伴们在工作室领衔人陈祖惠的号召下，齐聚学校录播教室，商量本课的教学设计，我们确定了教学一稿的初步设计，大家群策群力，解决了工具多，难操作的困难点，想到了好办法。

9 月，开学初，随着孩子们学习的进度，我们通过试讲，又对教案进行了第二次修改，确定了教案二稿。

在试讲的过程中，发现孩子们对本课的学习兴趣浓厚，强烈的探索欲望，看到孩子们一次次的眼睛发亮，看到孩子们眼前的迷雾消散，看到最后说收获时，满满的小手举起来，觉得这节课的设计还是很符合学生的心理特点，看到孩子们的成长，我们就是幸福的。研究之路，团队里成长自己。

《圆的面积（一）》教学设计

成都市龙泉驿区实验小学校 肖丽莎

【教学内容】

北师大版六年级上册第一单元 P13-14《圆的面积（一）》

【教材分析】

本内容是学生在小学阶段的最后一次学习平面图形的面积，也是由原来的直边图形变成曲边图形的一次飞跃。虽然孩子们已经有长方形（正方形）面积大小用摆小方格的方法、平行四边形、三角形、梯形以及不规则图形面积用转化成学过的图形推导公式的经验，但对于圆这个曲边图形的面积大小的探索还是有一定的困难。本课围绕着 “量感” 设计，“量感” 主要体现在：量的估测、量的累加、量的联系三个方面。教材一共分为四个问题来让孩子的思维可视化。问题一：量的估测。用度量的方法得到圆的面积的近似值。在学生想办法估计圆的面积过程中，调动学生原有的度量经验，用正方形估或者用标准单位（平方厘米）小方格估，发展学生的量感。问题二：量的累加。把圆等分后拼成近似的平行四边形。也是调动学生原有的转化经验，探索圆能够转化成我们学过的什么图形，通过学生操作实践，等积变形、化曲为直的过程中，让学生的思维可视化，这个地方学生用近似的小三角形、平行四边形来估计圆的面积，依然是近似值。问题三：量的累加、量的联系。探索在什么条件下所拼出的近似平行四边形更接近平行四边形。这个过程我们可以是让我们的猜想在实验中得到验证，运用极限的数学思想，化曲为直，把圆转化成了近似的平行四边形，学生心中对圆的大小理解更加有感觉。问题四：量的联系。推导圆的面积计算公式。圆的面积和平行四边形的面积相等，平行四边形的底相当于圆周长的一般，平行四边形的高，相当于圆的半径，学生能找到转化前后两个图形之间的联系，也是量感的体现。

【学情分析】

学生已具备的知识能力：已经知道面积的意义，知道什么是面积；知道面积单位的大小，脑袋里有平方厘米、平方分米、平方米的模型；已经有选择合适的度量工具的经验，面积大小已经知道统一，有数格子度量的经验，有转化成学过的图形的经验，知道面积可以用单位大小累计 “量” 出来，也可以用公式算出来。学生已具备的思维和动手能力：六年级的学生已经由具体思维过度到抽象思维，能够发挥想象，这样有助于学生的 “量感” 可感；在以前的学习过程中，积累了大量的活动经验和能力。

【教学目标】

1. 结合实例认识圆的面积，经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 在探究圆的面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 和 “转化”“极限” 的数学思想。

3. 在估计、操作与实践活动中，发展学生的 “量感”。

【教学重难点】

1. 经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 在操作实践活动中，体会 “化曲为直” 和 “转化”“极限” 的数学思想，发展 “量感”。

【教学资源】

3.0 微课、方格纸，正方形卡片、圆形卡片、剪刀、双面胶等。

【教法学法】

教法：直观演示、讲授法、直观演示法。

学法：“四学”、探究学习、自主学习等。

【教学过程】

情境引入：小羊被主人栓在树干上，小羊围着树干一圈吃草，小羊能吃到草的最大范围有多大？（绳长 3 米）

设计意图：小羊吃草的面积就是一个圆的面积，就是已知半径求圆的面积，让孩子明白学习圆的面积计算的必要性，也是理解数学来源于生活。揭示课题：圆的面积（一）

（一）忆一忆

师：“什么是面积？我们学过哪些图形的面积？这些图形的面积公式是什么？是怎么推导出来的？”（抽生汇报）。

设计意图：本环节是为了让学生在回忆长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，知道度量面积的大小来自标准单位的累加，比如长方形的面积计算公式是由数格子的方法推导出来的长方形的面积 = 长 x 宽。平行四边形、三角形、梯形如果用数格子的方法度量就不太方便，由此就可以思考把新图形转化成学过的图形再进行面积公式的推导。出现两种探索图形面积的方法（数格子、转化），调动已有的度量意识和度量方法，为学生本节课的学习做好铺垫。

（二）估一估

师：那 “我们如何得到一个圆的面积呢？”“拿出自己准备的圆片，用老师准备的工具估一估，并说一说你的估计方法”（生操作）。

生 1 用大方格估，生 2 用小方格估，生 3 用大正方形估，生 4 用小正方形估。

师共学：我们用不同的小方格度量同一个圆，结果不同。我们可以用小方格累加为圆的面积也就是以小估大，也可以用大正方形减去四个角的面积估计圆的面积，也就是以大估小。

设计意图：帮助孩子们理解在估计面积大小时，脑袋里必须出现一个标准（比如这里的小方格，正方形），学生借助标准调整自己估计结果的过程，就是培养量感的时候，有理有据的估，就是 “感觉” 越来越准的表现。

（三）做一做

师：但刚刚我们只是在用一个标准去进行合理的估计，那这个圆到底有多大呢？我们该怎么办？

生：既然数格子不行，那能不能把圆转化成我们学过的图形？

师：你发现圆和以前学过的图形有什么区别？难点在哪里？

生：以前学的是直边，圆是曲边。

师：那我们如果研转化成以前我们学过的图形，那我们就需要干什么？

生：化曲为直。

师：那来看老师变一个魔术。（把圆对折三次）现在是一个什么形？

生：有点像三角形。

师：圆的面积与这个三角形的面积什么关系？

生：那我们可以说这个圆的面积是这个近似三角形面积的 8 倍。

师：是的，我们可以通过部分来推测总体，虽然现在我们不知道近似三角形的面积，但是这也是一种思路，以小估大，让我们的估计越接近正确结果。

设计意图：渗透化曲为直、转化的数学思想。在魔术中，再次渗透量感培养，为孩子以后生活中的一些估计提供活动经验。

师：那我们把这个圆沿着折痕剪开，看看到底能不能转化成我们学过的图形？（拿出学具）

师：小组合作，剪一剪（沿半径剪开）、摆一摆（摆成我们学过的图形）、想一想（这个图形跟圆由什么联系）。算一算（圆的面积是多大）

生小组内互学：说一说怎样转化的，有什么联系？

生全班同学群学：小组上台汇报，其他小组听和补充。

设计意图：在活动中，反复强调 “感觉” 这个词，是激发孩子们的思考，渗透量感的培养。这一环节，让孩子动手实践操作，验证自己的猜想，体验成功。发挥想象，体现数学上的 “极限思想”，通过微课，让孩子的思维可视化。

师：把掌声送个这个小组，分析得太准确了。它们刚刚说这是一个近似的平行四边形，我们怎样才能变成更像平行四边形呢？

生：我猜把圆等分的份数越多，会越像，因为边越直。

师：越来越会猜，越来越会感觉，这节课你就成长了，那我们一起来看一个微视频，验证一下你的想法。（播放微课）

设计意图：观看 3.0 微课，让学生的极限思维（感觉），可视化，肯定了学生的想法，不仅知道是什么，还知道为什么，找到转化前后两个图形之间的联系。

（四）用一用

1. 利用方格估计下图的面积。

圆的面积大约是 ( 　　) 个小方格。

设计意图：利用合适的估计方法，合理估计圆的面积，让量感可感。

2. 看一看、说一说

图一：圆的内接正多边形。图二：圆的外切正多边形。

设计意图：圆不管是内接还是外切的正多边形，都是边数越多越接近圆形，体会 “极限” 和 “化曲为直” 的思想。

3. 在草地的一个木桩上拴着一只羊，想一想这只羊能吃到草的最大范围是多少？（绳长 3 米）

设计意图：运用圆的面积计算公式解决生活中的实际问题。让抽象的公式更加具体，让孩子们脑海里能够想象这个圆到底有多大。并解决开课设计的疑问，首尾呼应。

（五）说一说

师：本节课我们不仅回忆了原来学过的图形的面积，还研究了圆的面积计算公式，在这个过程中我们对面积的感觉越来越好。到目前为止，我们不仅学习了直直的边围成的图形的面积，还学习了曲边围成的圆的面积，你猜我们后面可能还要学习什么图形的面积？

生：既有直边也有曲边的图形（比如圆柱与圆锥）

设计意图：帮助学习建立完整的知识体系，六年级的学生，应该对图形的面积板块儿建立系统的认识，不仅会回归本质，而且能生长到新的知识里。

师：愉快的时间总是短暂的，学完本节课你有什么收获呢？

生：......

《圆的面积（一）》一稿反思

陈祖惠名师工作室 肖丽莎

《圆的面积（一）》是北师大版六年级的课程，学生小学阶段对平面图形的最后一次研究，但圆跟以前的平面有区别，也有难度，这一节课需要突破难点，运用化曲为直的思想，推导出圆的面积公式，同时还要落实对学生量感的培养。在本节课的教学中，我们融入以生为本的教学理念，注重在理解圆的面积的度量意义的本质上发展学生的量感，通过忆一忆、估一估、做一做、用一用、说一说等活动，让学生利用多元的素材从不同的角度去理解圆的面积意义，推导出圆面积的计算公式，让学生主动参与，动手操作，让学生提出质疑，主动验证，勇于探索，向学生架起一座由 “学会” 到 “会学” 的桥梁。

通过设置有趣的 “羊吃草的最大面积” 的生活情境，引出课题。通过回忆什么是面积，让学生通过摸圆形卡纸，引导学生感受什么是圆的面积，理解所谓圆的面积实际上就是圆所占平面的大小。

在理解圆的面积的意义之后，让学生估一估圆形卡纸的面积，对圆的面积的大小有一个定量的认识，落实估测这个环节能够使学生找准量感的生长点，进而促进学生量感的生长，所以估测这个环节能够更好的促进学生对量的灵活应用，因此我们设计了丰富的操作活动，培养学生的量感。

紧接着在估测的基础上，学生通过正方形和数方格都无法准确得到圆的面积，提出探索的思路，那如何解决这个问题呢？利用已有的平面图形面积计算的知识经验为研究圆的面积计算做好铺垫，自然的引导学生发现 “转化” 是探究新的数学知识，解决数学问题的好方法。

教师先引导学生折一折，体会量的累加。学生在已有知识经验的基础之上，大胆猜测，确定 “转化” 的策略，分小组亲自动手拿出准备好的圆形卡片，将其平均分成若干份，然后拼成平行四边形或长方形。剪拼，虽然慢，但给足了学生自主学习的空间，学生拼好后观察对比，就会发现如果把一个圆形平均分成的份数越多，这个图形也就越接近平行四边形或长方形，这个环节的设计也是 “极限” 思想渗透的最好体现。

最后再次通过联系已有知识，学生自主尝试推导出圆的面积计算公式，然后学以致用，学会利用公式求量的大小。学生的思维在交流中碰撞，在碰撞中发散，在想象中得以提升。学生思维的能动性和创造性得到充分激发，探索能力、分析问题和解决问题的能力得到了提高，同时使学生量感的培养真正的有抓手。

本节课的教学中始终将以生为本的理念贯穿始终，以活动为学生认识的基础，通过动手操作，自主探究，小组活动等教学方法把抽象思维物化为动作形象思维，让学生的多种感官参与，激活学生原有的知识经验，让学生感受量，亲历量的形成过程，学会利用公式计算量的大小，促使学生的量感持续生长。