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主题解读：

新的课程标准指出，符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能，知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。

简而言之，符号意识指的就是，学生面对具体情境，能够有意识地用数学符号进行刻画；能够选择正确的数学符号进行刻画；能够用符号正确演绎其中的规律。

数学符号是数学抽象的特殊表征形式，符号意识是形成数学抽象能力和逻辑推理的经验基础，在教学实践中，帮助学生感知领悟数学符号的意义，逐步培养学生对于数学符号意义的获得能力。符号意识的培养要注重在教学过程中引入数学符号的必要性，让学生知其然亦知其所以然；要注重结合具体情境渗透和强化符号意识，让学生从具体事物出发形成形式化的抽象数学符号；要注重操作实践，让学生亲身参与符号化的过程，感受符号意识。

选课思考：

数学符号是数学抽象的表现形式，符号意识是抽象思想的经验基础。符号意识表现为能够理解并用符号表示对象，能够知道使用符号可以进行运算和推理并得到结论，能够简单表述符号意识的作用。按此理解，数学符号意识的培养，从学生认识第一个数字 “1” 就已经开始了。3-4 年级学生符号意识的培养，可以在早期蕴伏的基础上，将游戏活动、简单规律活动进行一般化的拓展。

基于此，我们考虑选择《确定位置》这节课作为载体，以研究符号意识的渗透。《确定位置》这节课是北师大版教材四年级上册《方向与位置》单元中的内容，属于 “图形与几何” 领域中 “图形与位置” 部分的内容，是在学生已经掌握了 “六路”（上、下、前、后、左、右）和 “八方”（东、南、西、北、东南、东北、西南、西北）的基础上学习的一种描述物体位置的方法 —— 用有序数对确定位置。用有序数对确定位置，是描述物体位置从模糊到精确的重要一步，是第一次引入数学结构描述物体的位置，具有很重要的承前启后作用。用有序数对刻画物体位置的思想的方法，为五年级学习用方向和距离描述物体位置乃至中学的直角坐标系和极坐标系做了关键的铺垫和迁移基础。

有序数对实质上就是坐标，坐标把几何图形转换成了代数结构，从用方位词描述物体位置到用代数结构描述位置凸显了 符号意识的发展 ，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释的过程，也积累了运用符号的数学活动经验， 提升了符号意识 。用有序数对确定位置，将相互分离的 “数” 与 “形” 统一起来了，有利于感悟数形结合的数学思想，为学生将来直观理解直角坐标系，进一步学习各类坐标系做准备。有序数对将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，使学生更好地理解自己所处的世界，加强了对空间方位与位置关系的感知， 发展空间观念 。

教案一稿：

一、教学目标分析

（1）会在具体情境中用数对确定物体的位置，感受用数对表示位置的简洁性以及相通性。

（2）经历由实物图到点子图的过程，体会抽象在解决问题中的简化作用。

（3）经历数对由静到动的过程，初步体会动静结合的数学思想。

二、重点难点分析

（1）教学重点：有序数对的 “维” 与 “序”；有序数对的符号表示

（2）教学难点：有序数对的 “维” 与 “序”

三、教学流程预设

（一）各就各位

（1）按图就坐

PPT 首页呈现全班同学的座位图，引导学生进入教室，根据座位图就坐。

设计意图：充分利用教室空间资源，将教室内的座位作为教学材料，让学生亲身经历确定位置的过程。

（2）描述位置

师：同学们非常快的就入座安静下来了，你们是怎样找到自己位置的？

生 1：第 3 组第 4 排。（教师板书：第 3 组第 4 排）

教师跟着学生的回答，在座位图上，从右往左数组别，从后往前数排数。与学生习以为常的从左往后数、从前往后数产生反差，激活原有认知。

生 1（补）：从左往右数，第 3 组，从前往后数，第 4 排。（教师板书：从左往右数，第 3 组，从前往后数，第 4 排）

师：谁还想来说说你是怎样找到自己位置的？

生 2：……

生 3：……

设计意图：描述位置不仅要注意距离，还要注意方向。通过这样活动，激活学生原有的认知经验，严谨规范位置的描述方式。确定了方向，物体位置描述之间的序也就随之确定了。

（二）多元表示方法

（1）约定方向

师：每次描述位置都要说明数的方向，从左往右数，从前往后数。对此，你们有什么想法？

生 4：每次都要说明数的方向，这样太麻烦了，如果能去掉就好了。

生 5：不能去掉。

师：还有谁有什么想法？

生 6：我们可不可以大家约定好，以后我们的数的方向都是从左往右数，从前往后数。

师：那我们就按照你想法，约定好数的方向。

（2）多元表示

师：约定好数的方向之后，那 XXX 的位置就可以描述成了第 3 组第 4 排。除了这种方法，你还有什么方法来描述位置，我们还是以 XXX 的位置为例。大家把自己的表示方法写在学习单上。写完后和前后桌一起交流一下，一会儿再跟全班一起汇报分享。

（3）全班汇报

生 7：第 3 列第 4 行

生 8：（3,4）

生 9：（4,3）

生 10：C4（追问：如果超过 26 列呢？）

生 11：……

学生汇报时，要求不仅要给出自己的表示方法，还要说出为什么要这样表示，这种表示的好处在哪。

（三）生成数对

师：在我们约定的方向下，同学们给出的表示方法都是合理的。下面我们来了解一下数学家是怎样表示的。

（微视频介绍笛卡尔是如何用数对表示物体位置的）

师：同学们的这些表示方法都是对的。数学的一门交流沟通的语言，随着时间的推移，人们选择了笛卡尔的这种表示方法，并一直沿用至今。

（四）应用数对

（1）点线成形

师：笛卡尔用数对表示位置之后，还给大家留下了一些卡片礼物，就悄悄藏在一些同学的抽屉，看看谁是幸运儿。请大家看一看自己的抽屉，找到之后，请把你的坐标和笛卡尔送给你的卡片大声读出来。

（2）数对离场

师：这节课，我们从教室的座位图出发，为了大家更好的沟通交流，我们先约定了方向，一起学习了用数对表示位置。位置的表示方法各种各样，随着时间的推移，笛卡尔的表示方法逐渐被大家所接受。

师：下面，请大家收拾好你的学习用品，老师出示一些数对，如果有你，就请你带好东西离开教室。

师：（4,3）

师：（5,7）

师：（x，2）

师：（3，y）

师：（x，y）

一稿反思

《确定位置》一课是在学生已经学习了用 “六路” 和 “八方” 模糊描述位置的前提下，用更加精确的方式来描述位置的一种表示方法，其内核是用二维数对来确定平面的位置。针对这节课，我们团队进行了充分的研讨，认为优点有以下几点：

（1）充分利用教室空间资源

在课堂开始，让学生从进入教室的开始就沉浸在学习环境中，学生进入教室的时候需要自己根据课件中的座位安排找到自己的座位。本节课充分利用了教室空间资源，将教室空间资源转化为学生的学习资源。

（2）创设生活情景，经历数对再创造的过程

学生进入教室之后，用自己的方式描述位置，学生在生活经验的支撑下，可能会有不同的表示方式，在教师的相机引导中，逐步规范表示方式，最终形成数对表示。经历数对表示的形成过程，体验用数对表示的优势所在。

也有几点还需要进一步思考：

（1）用数对表示位置的学习，学生的生活经验提供了怎样的支撑，生活经验与数学学习之间还有多大的距离？学生是否深刻理解了用数对表示位置的本质？

（2）数对表示的必要性是什么呢？为什么要学习数对？学生如果会用 “第几排第几个” 表示二维位置，那么数对的学习是否有必要？

（3）在实际生活场景中，我们会用数对表示位置吗？如，教室的位置，我们会用 “第 3 排，第 4 个” 描述？还是用（4,3）表示呢？怎样的情境才能展现出数对表达的需求？

教学设计二稿

一、教材分析

《确定位置》这节课是北师大版教材四年级上册《方向与位置》单元中的内容，属于 “图形与几何” 领域中 “图形与位置” 部分的内容，是在学生已经掌握了 “六路”（上、下、前、后、左、右）和 “八方”（东、南、西、北、东南、东北、西南、西北）的基础上学习的一种描述物体位置的方法 —— 用有序数对确定位置。用有序数对确定位置，是描述物体位置从模糊到精确的重要一步，是第一次引入数学结构描述物体的位置，具有很重要的承前启后作用。用有序数对刻画物体位置的思想方法，为五年级学习用方向和距离描述物体位置乃至中学的直角坐标系和极坐标系做了关键的铺垫和迁移基础。

有序数对实质上就是坐标，坐标把几何图形转换成了代数结构，从用方位词描述物体位置到用代数结构描述位置凸显了符号意识的发展，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释的过程，也积累了运用符号的数学活动经验，感悟了符号化的数学思想，提升了符号意识。用有序数对确定位置，将相互分离的 “数” 与 “形” 统一起来了，有利于感悟数形结合的数学思想，为学生将来直观理解直角坐标系，进一步学习各类坐标系做准备。有序数对将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，使学生更好地理解自己所处的世界，加强了对空间方位与位置关系的感知，发展空间观念。

二、学情分析

学生在之前已经学习了用 “六路”（上、下、前、后、左、右）描述一维空间的物体相对位置，也会用 “八方”（东、南、西、北、东南、东北、西南、西北）描述物体的相对位置。这些前置的学习经验为学生在二维平面上进行位置确定做了知识上的储备。《确定位置》这节课与学生的生活联系紧密，学生在课前就已经积累了丰富的生活经验。学生在日常生活中也会用类似 “第 2 组，第 4 个” 的方式描述自己的座位，丰富的生活经验为教学提供了有利的支撑。

三、教学目标分析

（1）结合具体的情境，体会用数对确定物体位置的必要性，感悟符号化的思想，提升数学符号意识。

（2）经历由实物图到点子图的抽象过程，体会数学抽象在问题解决中的价值所在。

（3）经历数对生成的过程，重走笛卡尔探索的足迹，感悟古人智慧的光芒。

四、重点难点分析

（1）教学重点：用数对确定位置的必要性；数对生成的过程

（2）教学难点：数对生成的过程

五、教学流程预设

（一）情境导入，任务驱动

同学们，学校将于过段时间组织一次线下家长会，你会怎样向爸爸妈妈介绍你的座位呢？请将你的方法写在学习单上。

（二）多样描述，确定位置

搜集部分学生的作品，有梯度地进行展示。

（1）先展示一维表示方法

生 1：我是张三的同桌。

追问：张三坐在哪？

生 2：我在李四的后面。

追问：李四坐在哪？

（2）再展示二维表示方法

生 3：我在第 3 排第 4 个。

师：其他同学有什么问题吗？可以提问。

生 4：第 3 排到底是从前往后数，还是从后往前数的。同样的，第 4 个是从左往右数，还是从右往前数呢？

生 3：从前往后数，我在第 3 排，从左往右数，我在第 4 个。

师：要提前规定一下数的方向。

（3）最后展示类数对表示

生 5：3F

生 6：（3,4）

生 7：（4,3）

师：大家看懂了吗？谁来说一说。

生：……

（4）交流研讨，对比多种不同的表示方法

师：对比这些不同的表示方法，你最喜欢哪种呢？为什么呢？小组内交流讨论一下。

组织学生分享不同的观点。

（三）呈现数对，溯古探源

师：同学们给出的表示方法都是合理的，都能很清楚的表示出我们的位置。让我们来看看大数学家笛卡尔会用什么样的表示方法呢？

（微视频介绍笛卡尔是如何从蜘蛛结网中找到灵感，从而用数对表示物体位置的，同时，也要介绍一下数对的优势所在）

师：同学们的这些表示方法也都是对的。数学是一门交流沟通的语言，随着时间的推移，人们选择了笛卡尔的这种表示方法，并一直沿用至今。

（四）应用数对，深化理解

师：那我们就来试试笛卡尔的这种方法吧。首先，将我们教室的座位图也结成一张蜘蛛网。

师：根据前面的讨论，我们要怎样才能表示自己的位置呢？

生 8：需要先约定方向，从那边开始数？

师：那我们就一起来约定一下，从左往后数，第 1 列，第 2 列……，从前往后数，第 1 行，第 2 行……

师：那现在你会用笛卡尔的方法表示一下自己的位置了吗？在学习单上动手试试吧。

教学组织：组织几个同学将自己的方法写在黑板上，并说一说自己的想法。

（五）延伸数对，开拓视野

师：大家都记住了自己所在座位对应的数对了吗？

师：那老师来考考你是否真的都记住了。老师出示一个数对，这位同学立刻站起来，并用 “第几列，第几行” 的形式说出自己的位置。

师：（1,5），（2,5），（3,5），（4,5），（5,5），（6,5）（出示一个数对之后，前面出示的数对不要丢失，颜色变浅即可）

师：（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6）

师：观察这些数对，有发现什么规律吗？

生 9：第一组数对的第 2 个数都相同，都是 5，他们的座位都在一条直线。第二组数对的第 1 个数都相同，都是 4，他们的座位也是在一天直线上。

师：这个规律发现的真好！让我们来听听笛卡尔的想法。

（PPT 上动画呈现笛卡尔的点线成形，心形线，并配音：如果在这个平面建立坐标系，那么就可以用一个式子来表示更多美丽的图形了）

（六）回归生活，升华数对

师：今天，我们学习了有序数对。其实生活中处处都有着数对的影子，请同学回想一下有哪些？

PPT 呈现出电影院座位、火车座位、海中航船的位置（东经 72°，北纬 58°）

师：这些场景，虽然不是直接用数对（3,4）这样的形式表示的，但是其背后的思想都是一样的，都是用 2 个数组成的数对确定了二维平面的位置。

师：确定二维平面的位置需要 2 个数，如果是三维空间呢？这个问题留给同学们好好思考。

（七）课堂回放，再遇数对

师：最后，我们一起来回顾一下我们是怎样学习认识数对的？

师：马上要开家长会了，我们要给爸爸妈妈介绍自己的座位。同学们的方法各种各样，大家的方法都可以清晰的向爸爸妈妈传达座位信息。后来，我们了解到笛卡尔从蜘蛛网上找到灵感发现坐标系的故事，我们沿着笛卡尔的足迹，用他的方法表示了我们的座位。最后，我们还知道，如果建立了坐标系，很多美丽的图形都可以用式子表示出来了。

二稿反思：

针对二稿，我们团队进行了充分研讨。认为二稿的优点主要有以下几点：

（1）以学生的生活经验为切入点

这节课用学生最熟悉的教室座位作为教学的材料，充分考虑了学生的生活经验，充分利用了教室空间资源，让学生在沉浸式的观察发现中学会如何用数对来描述自己的位置。

（2）任务布置驱动性强

这节课以新学期马上要召开的家长会为情境，以告诉家长自己的座位为学习任务，真实性强驱动性强。孩子的数学学习，任务性强，可操作性强，孩子在学习了《确定位置》这一节课之后，就可以将自己的表示方法告知家长，指引家长来校开家长会。真正的将数学学习融入到了学生的生活实践中。

（3）教学环节层次清晰

这节课从抛出任务，学生进行展示交流，呈现数对表示，应用数对解决问题，升华数对，再到最后的回归生活，寻找生活中数对的影子。每个教学环节层次清晰，从生活中的位置确定，再到用数对确定位置，最后延伸数对，深化数对背后的数学思想。每个环节的目标具体，有利于教学落实。

研讨过程中，团队成员也提出了几点还需进一步思考的地方。

（1）数对在生活中的意义是什么

平时我们习惯于用 “第 3 组第 4 排” 或 “第 3 列第 4 行” 来描述生活中的位置，并不会用数对（3,4）来描述位置，主要是因为数对是在规定了从哪里数起之后才会有的，而数的起点，并不是全民共识，这需要事前进行沟通约定。所以，生活中用数对表示位置反倒是更加麻烦了。数对与生活的联系或许可以进一步从数对确定位置背后的数学思想来点明。

（2）生活中描述二维平面的位置，需要约定哪些

生活中二维平面的位置的确定，看似学生已有一定的生活经验，但学生在生活中描述位置并没有很规范，因此这节课还需要探讨生活中描述位置聚焦于以下几点。描述位置的前提是，二维区域已经进行规整排序，对原有的自然状态进行了整齐排列，并且已经进行了网格划分进行排序。同时，描述位置还要聚焦于方向的约定，从哪里数起，只有这个问题达成了共识，大家的描述才是一致的。

（3）要从座位图抽象成数对，需要进行哪些操作

从行列表示位置到用数对表示位置，必须要先将座位图抽象成网格图。数对是数学的表示，数对的表示只有在纯数学的网格图中才有意义。

《确定位置》教学设计三稿

一、教材分析

《确定位置》这节课是北师大版教材四年级上册《方向与位置》单元中的内容，属于 “图形与几何” 领域中 “图形与位置” 部分的内容，是在学生已经掌握了 “六路”（上、下、前、后、左、右）和 “八方”（东、南、西、北、东南、东北、西南、西北）的基础上学习的一种描述物体位置的方法 —— 用有序数对确定位置。用有序数对确定位置，是描述物体位置从模糊到精确的重要一步，是第一次引入数学结构描述物体的位置，具有很重要的承前启后作用。用有序数对刻画物体位置的思想方法，为五年级学习用方向和距离描述物体位置乃至中学的直角坐标系和极坐标系做了关键的铺垫和迁移基础。

有序数对实质上就是坐标，坐标把几何图形转换成了代数结构，从用方位词描述物体位置到用代数结构描述位置凸显了符号意识的发展，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释的过程，也积累了运用符号的数学活动经验，感悟了符号化的数学思想，提升了符号意识。用有序数对确定位置，将相互分离的 “数” 与 “形” 统一起来了，有利于感悟数形结合的数学思想，为学生将来直观理解直角坐标系，进一步学习各类坐标系做准备。有序数对将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，使学生更好地理解自己所处的世界，加强了对空间方位与位置关系的感知，发展空间观念。

二、学情分析

学生在之前已经学习了用 “六路”（上、下、前、后、左、右）描述一维空间的物体相对位置，也会用 “八方”（东、南、西、北、东南、东北、西南、西北）描述物体的相对位置。这些前置的学习经验为学生在二维平面上进行位置确定做了知识上的储备。《确定位置》这节课与学生的生活联系紧密，学生在课前就已经积累了丰富的生活经验。学生在日常生活中也会用类似 “第 2 组，第 4 个” 的方式描述自己的座位，丰富的生活经验为教学提供了有利的支撑。

三、教学目标分析

（1）结合具体情境，体会用有序数对确定位置的必要性，感悟符号化的数学思想，提升数学符号意识。

（2）经历数对的抽象过程，探索用数对确定位置的方法，体会数对与方格纸上点的对应关系，能在方格纸上用数对确定位置，发展空间观念与推理能力。

（3）经历数对的生成过程，重走笛卡尔探索的足迹，感悟古人智慧的光芒。

四、重点难点分析

（1）教学重点：数对和方格纸中点的对应；数对中的每个数在方格纸上的意义

（2）教学难点：数对表示中行数和列数的混淆

五、教学流程预设

（一）创设情境，描述位置

（1）出示任务

师：同学们，开学有一周了，学校想邀请你爸爸妈妈来学校开家长会，沟通了解大家在学校的学习情况。但是新学期大家的座位都换了。你回去要告诉爸爸妈妈你的位置在哪，根据你说的，爸爸妈妈一来教室就能找到你的位置。

（2）汇报交流

（学生在表示座位的时候，把学生的座位图张贴在黑板上）

师：请同学们来说一说，你是怎样表示你的座位的。Q：按照你的描述，看看我们能不能找到你的位置？

预设 1：可以看名牌啊。

预设 2：我在王朝阳的后面。

预设 3：用数对（3,4）表示

预设 4：我在一进门靠墙这组的第 4 个。

预设 5：靠窗户的第 3 组第 2 个。

预设 6：我在第 5 排第 2 个。

（3）总结提炼

师：你们刚刚在描述位置的时候，有的提到了第几组，有的提到了第几排。按照大家的描述，爸爸妈妈能找到你的位置，大家说的都挺好。

师：如果这个教室的座位是这样的话，Q：你们还能用组和排来描述吗？

生：太乱了，组都找不到。

师：看来，还是要先排列整齐，我们才能用组和排这 2 个信息来描述位置。

师：刚刚在描述位置的时候，有些同学说第 1 组是从这边开始数，有些同学说的第 1 组那边开始数。Q：大家的数法都不一样，怎么办呢？

生：统一一下。

师：那我们统一一下，从进门的这边开始数，第 1 组，第 2 组…… 在座位图上对应的就是……（板书：标记第 1 组，第 2 组，第 3 组…）

师：同时，第 1 组，我们又叫做第 1 列。

师：同样的，我们把 “排” 也标记一下。（板书：第 1 排，第 2 排，第 3 排…）

师：第 1 排，我们又称为第 1 行。

师：以 XXX 同学为例，这个位置怎么表示？

生：第 3 组第 4 排。还可以说成是第 3 列第 4 行。

师：Q：第 3 列，你是怎么看出来的呢？

生：……

师：第 3 列，第 4 行（手比划），交汇的这个点就是 XXX 同学的位置了。

师：同样的，第 2 列，第 1 行，交汇的这个点就是这位同学的位置了。

师：列的和行的一碰，就出来一个座位了。其实，我们相当于就把座位画成了网格图。

（二）探索方格，呈现数对

（1）方格图中，揭示数对

师：现在给大家 10 秒钟的时间，想想你是在第几列第几行，一会儿大家直接开口说。

师：开始

生：……

（全班同学小嘴都在说自己的位置，PPT 上直接投出大家的位置表示 “第几列第几行”）

师：要是都这么标注的话，你们感觉怎么样？

生：太乱了吧，看都看不清。

师：太乱了，好多重复的字，那我们试试把这些重复的字去掉，行不行？

（PPT 隐去了坐标轴和坐标表示上的字）

师：字确实是少了，可这里面是啥意思啊，看不懂。

师：一个位置的描述，要和数字有所区分，所以，我们习惯给它加上一个 “（ ）”，中间用 “，” 隔开。前面代表的是列数，后面代表的是行数。这就是数对，读作 “数对三 四”，读的时候中间稍微停顿一下。

（2）理解数对中每个数的含义

师：刚刚每位同学都知道了自己的位置是第几列第几行。Q： 你现在能在这个图里找到你的位置吗？是哪个数对？

生：数对（2,5）

师：我们来找找，数对（2,5），第 5 列第 2 行。（在图中比划）

生：不对不对，我说的是（2,5）

师：（2,5）和（5,2），不都是这两个数吗？怎么就不对了？

生：前面的数表示列数，后面的数表示行数，有顺序的。

师：，看来，以后用数对确定位置的时候，要特别注意列数和行数的顺序，这一点很重要。

（3）简单介绍笛卡尔

师：我们在确定班级同学位置的时候，其实我们干了一件事，和数学家笛卡尔一样，他就是建立了坐标系，用数对来表示了位置，但他很少用来表示生活中的位置，更多的是数学中的位置。

（三）应用数对，升华数对

（1）数对成线

师：下面，我们来玩一个小游戏。老师出示一个数对，这位同学立刻站起来，并正确的读出数对。

师：（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6）（出示一个数对之后，前面出示的数对不要丢失，颜色变浅即可）

师：观察这些数对，有发现什么规律吗？

生 9：第一组数对的第 2 个数都相同，都是 5，他们的座位都在一条直线。第二组数对的第 1 个数都相同，都是 4，他们的座位也是在一条直线上。

师：这表示什么呢？（PPT 呈现：（x,5））

师：其实不仅仅是直线！有了有序数对之后，我们就可以像笛卡尔一样表示出很多美丽的图形了。（PPT 上动画呈现笛卡尔的点线成形，心形线）

（2）点线成图

师：那我们跟着笛卡尔来试试吧，请拿出学习单，完成学习任务二。大家独立完成，完成后和前后同学一起核对一下。

（给数对描点，给点写数对）

（四）回归生活，再遇数对

师：今天我们学习了有序数对，有序数对能够帮助我们很方便的确定位置。其实生活中处处都有着数对的影子，请同学回想一下哪些？

PPT 呈现出电影院座位、火车座位、海中航船的位置（东经 72°，北纬 58°）

师：这些场景，虽然不是直接用数对（3,4）这样的形式表示的，但是其背后的思想都是一样的，都是用 2 个数确定了二维平面的位置。

师：确定二维平面的位置需要 2 个数，如果是三维空间呢？这个问题留给同学们课后好好思考。

三稿反思

针对教学设计三稿，我们团队以磨课的方式进行了充分研讨。认为三稿主要有以下几点优点：

（1）教学环节层次分明

数对来自于生活，高于生活。本节课将教学环节划分成了在生活中确定位置与在方格图中确定位置两大块，教学环节层次鲜明，从已有的生活出发到数学中研究数对，也符合学生的认知特点。

（2）总结提炼有深度

《确定位置》这节课，学生已经有确定位置的生活经验，但是学生的生活经验不规范不严谨，如何将生活中确定位置规范化，这是我们团队思考最多的。只有学生搞明白了在生活中如何确定位置，抽象到方格图中时，用数对表示位置就自然而然了。

（3）渗透数学文化

这节课虽然只是在呈现数对表示之后，简要的介绍了一下笛卡尔，但其实，我们一直带着学生跟随古人的足迹探索数对的表示。特别是当部分学生的表示方法和笛卡尔的很接近时，大大拉进了学生跟数学家的距离，在一定程度上给学生带来了很大的鼓舞。

也还有几点需要进一步思考：

（1）学生汇报交流他们表示位置的方法时，这几种预设要如何把握，如何有层次的展示学生的方法，还需要进一步思考。

（2）电影院、火车上的座位，这些生活中的场景，如何提炼出用两个信息确定位置，还需要好好斟酌。

【学情前测】

1、数学符号意识水平测查

为了解学生的真实情况，掌握学生的数学符号意识发展水平，我们借鉴了朱立明的数学符号意识水平测查问卷，对三、四年级的学生进行了数学符号意识水平的测查。通过数学符号意识水平的测试，我们得到了如下结论：

（1）三、四年级学生在数学符号意识总体水平上没有显著差异。

（2）三、四年级学生在数学符号意识感知与识别分析层次上，没有显著差异，且表现不错。这说明，三、四年级学生在其学习范围内能够达到对数学符号的数学意义的理解。

（3）三、四年级学生在数学符号意识理解与运算分析层次上，没有显著差异，得分率超 60%。这说明，三、四年级学生可以接受数学符号的理解与运算，教学中可以适当地对学生进行数学符号的理解与运算的培养，引导学生理解数学符号可以作为运算对象参与运算。

（4）三、四年级学生在数学符号意识联想和推理分析层次上，没有显著差异，但得分率均在 60%以下。这说明，三、四年级学生没有能力接受对数学符号的联系和推理。

（5）三、四年级学生在数学符号意识抽象与表达分析层次上，没有显著差异，学生的测查表现不佳，但仍有个别题项得分超 60%。这说明，三、四年级学生要接受数学符号抽象与表达有较大困难，但在其学习内容范围之内，能够达到数学符号的抽象与表达层次。

从以上测查分析可以得知，三、四年级学生在数学符号意识水平上，并没有显著差异。在其学习内容范围之内，都可以达到数学符号意识的感知与识别、理解与运算、抽象与表达。

基于以上测查，我们考虑三年级的学生提前学习四年级上册《确定位置》的内容是可行的。学生对符号的感知与识别、理解与运算不会存有太大问题。可能在抽象与表达方面会有一些困难，需要在教学中做好铺设，为学生对符号的抽象与表达创造条件。

2、《确定位置》学情调查

本节课，我们考虑在上课伊始就让学生自行描述自己在教室里的位置，上课过程就围绕学生的描述方法进行展开。每次试教后回收学习单，对学习单进行全面分析，以为下一次的施教提供参考。

我们团队一共进行了 5 轮试教，通过分析这 5 轮试教的学习单。我们发现，三年级学生描述自己在教室里的位置会用以下几种方法。

（1）无参照物无方向的二维文字描述

（2）无参照物单一方向的二维文字描述

（3）无参照物两个方向的二维文字描述

（4）有参照物两个方向

（5）无方向的图形描述

（6）有方向的图形描述

教学设计终稿

【教材分析】

《确定位置》这节课是北师大版教材四年级上册《方向与位置》单元中的内容，属于 “图形与几何” 领域中 “图形与位置” 部分的内容，是在学生已经掌握了 “六路”（上、下、前、后、左、右）和 “八方”（东、南、西、北、东南、东北、西南、西北）的基础上学习的一种描述物体位置的方法 —— 用有序数对确定位置。用有序数对确定位置，是描述物体位置从模糊到精确的重要一步，是第一次引入数学结构描述物体的位置，具有很重要的承前启后作用。用有序数对刻画物体位置的思想方法，为五年级学习用方向和距离描述物体位置乃至中学的直角坐标系和极坐标系做了关键的铺垫和迁移基础。

有序数对实质上就是坐标，坐标把几何图形转换成了代数结构，从用方位词描述物体位置到用代数结构描述位置凸显了 符号意识的发展 ，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释的过程，也积累了运用符号的数学活动经验， 感悟了符号化的数学思想 ， 提升了符号意识 。用有序数对确定位置，将相互分离的 “数” 与 “形” 统一起来了，有利于感悟 数形结合的数学思想 ，为学生将来直观理解直角坐标系，进一步学习各类坐标系做准备。有序数对将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间，使学生更好地理解自己所处的世界，加强了对空间方位与位置关系的感知， 发展空间观念 。

【学生分析】

见链接 https://bbs.xsj21.com/t/2044#r_141838

【学习目标】

（1）结合具体情境，体会用有序数对确定位置的必要性，感悟符号化的数学思想，提升数学符号意识。

（2）经历数对的抽象过程，探索用数对确定位置的方法，体会数对与方格纸上点的对应关系，能在方格纸上用数对确定位置，发展空间观念与推理能力。

（3）经历数对的生成过程，重走笛卡尔探索的足迹，感悟古人智慧的光芒。

【学习重难点】

学习重点 ：数对和方格纸中点的对应；数对中的每个数在方格纸上的意义

学习难点 ：数对表示中行数和列数的混淆

【教学过程】

一、情境导入，描述位置

聊聊 “确定位置”，有什么想知道的？

学习任务一：学校马上要开家长会了，家长要坐在你的座位上。你会怎样向家长描述你在教室里的位置呢？把你的想法写在学习单上。

【设计意图】从学生熟悉的教室座位入手，将描述位置这个任务直接抛给学生，触发学生原有认知经验，为课堂教学找到学习起点。

二、向家长描述你在教室里的位置

（1）展示第一类：第 3 列，第 4 排

Q：你能根据他描述的位置，判断出他是谁呢？你是如何判断的？

讨论聚焦：描述位置的时候，要说清楚从哪边数起。

（2）展示第二类：从右数起，第 5 列，第 2 排

Q：你能根据他描述的位置，判断出他是谁呢？你是如何判断的？

讨论聚焦：描述位置的时候，要把列和行的起点做个规定。

（3）聚焦位置描述

Q：如果我只说第 6 列，你能确定是谁吗？

讨论聚焦：描述位置的时候，只有一个信息还不够，必须要说清楚第几行第几列。

【设计意图】通过有层次的展示学生的作品，归纳提炼在教室中确定位置，需要说清楚从哪边数起，也就是第 1 列在哪，让学生感受到规定起点的重要性。同时，通过一系列的位置描述，让学生体会在教室里描述位置必须要用两个信息。

三、用简洁的方法在图上表示位置

（1）座位图抽象成方格图

课件中出现座位图，将学生的思维从教室里确定位置引导至平面图中确定位置

抽象第一步：先抽象 “轴”

从 “第 5 列” 到 “5”，“5” 就表示了它所对着的这一列是第 5 列

从 “第 6 行” 到 “6”，“6” 就表示了它所对着的这一列是第 6 列。

抽象第二步：再抽象成方格图

XXX 同学的位置正好是第 4 列和第 5 行的交叉点，因而他的位置就表示为 “第 4 列第 5 行”。

讨论聚焦：行和列的交叉，行列交叉就形成了网格图。每个人都在行和列的交叉点上，而这幅座位图也就变成了数学中的方格图。

【设计意图】三年级学生在数学符号的抽象与表达方面需要教师做铺设。因而，这里将这个抽象过程分成了两步，先抽象 “轴” 上的表示，将 “第 5 列” 抽象成 “5”，再将座位图抽象方格图。从座位图抽象成方格图，分两步走，降低了学生的理解难度，为学生更好的理解数对表示创造了条件。

（2）方格图中呈现数对表示

学习任务二：你会把 “第 6 列第 5 行” 这种写法变得更简洁一些吗？请把你的想法写在学习单上。

同学们用了各种各样的符号来表示 “第 6 列第 5 行”，这些想法和数学上的表示非常接近。数学上，是用 “（6,5）” 来表示 “第 6 列第 5 行”。这种表示方法就是数对。（6,5）就读作：数对六五。

数对里，第一数表示的就是第几列，第二个数表示的就是第几行。笛卡尔发明了数对之后，用数对表示位置就变得简洁了。

【设计意图】当座位图抽象成方格图之后，数对的表示呼之欲出。但是，这里并没有直接给出，而是选择交给学生，充分调动学生的自主性创造性。让学生在创造符号的时候也进一步体会用两个信息才能确定二维平面的位置。同时，当学生发现自己的表示方法和数学家的表示方法很相近，学生内心的自信也进一步得到了加强。

四、课堂练习

（1）练习一：根据点的位置说数对

教师在方格图中寻找点的位置，让学生快速的说出点所对应的数对。

（6,5）VS（5,6），Q：同样的两个数字，为什么表示的点却不一样？

（3,3），Q：两个 “3” 含义有何异同？

（2）练习二：探险冒险岛，破解数对背后的奥秘

描出下列数对所对应的位置，再找找这些数对有什么奥秘？

A（2,2）；B（3,3）；C（4,4）；D（5,5）；E（5,4）；F（5,3）；

G（5,2）；H（4,2）；I（3,2）.

讨论聚焦：数对里，第一个数相同的数对，对应的点都在同一列；第二个数相同的数对，对应的点都在同一行。

（3）练习三：破解笛卡尔的信

笛卡尔说，恭喜你们躲过一劫！我这里有一封信，里面有我想对你们说的话…… 你能破解吗？

信的内容：我们班是最棒的！

五、延伸拓展

今天我们学习了在教室里确定位置，还学习了在图上怎样用数对表示位置。我们生活中，还有很多时候也需要确定位置。

出示电影院、高铁票，探秘在电影院高铁上是如何寻找位置的。

其实啊，不管是教室里的位置，还是电影院、高铁上的位置，都可以用第几列第几行，第几排第几座，这样 2 个信息来确定位置。就连地球上每一个地点，也可以用经度和纬度，2 个信息确定位置。比如我们深圳的位置就是东经 114°，北纬 22°。

【设计意图】通过生活中的确定位置，再一次明确，描述位置需要 2 个信息。建立起学生的数学现实与生活现实之间的联系，指引学生从高的视域来看数学，数学的一数一行都与生活有着密不可分的联系。

【板书设计】

【教学设计点评】

（1）这节课从学生的生活经验出发，设置了两个主要的学习任务，向家长描述自己在教室里的位置，用简洁的方法表示图上的位置。通过这两个学习任务，唤醒学生的生活经验，以学生的生活经验为起点，展开了丰富多彩的教学活动。本节课设计，用数对表示位置的符号抽象过程，层层递进，教师通过有梯度的呈现学生的课堂生成，从生活实景具象的描述逐步过渡到数学抽象的表示。同时，在抽象表示时，通过表示形式的小差别，进一步强化数对在平面确定位置的两个重要元素 “列” 和 “行”。整节课，在老师有心的设计下，孩子们完整经历了一场数学符号抽象提炼的过程，实实在在地感受到数学符号对解决实际问题的作用！最后，生活中数对的有效拓展，也让孩子们明白，掌握了一种数学表示方法，可以解决生活中很多实际问题，真正做到了数学来源于生活，又回归生活！

（2）《确定位置》这节课，有以下几点优点突出。一是创设情境，提出待解决的问题。教师通过设计家长会，让学生描述教室里的座位这一任务，提出你是怎么判断的，让学生产生了描述自己在空间中的位置的需要，必然面临思考如何来表达一个确定的位置问题，在此基础上展开学习，从多元表达到规范表达。二是探究体验，经历再创造的过程。在学生表达座位位置的过程中，同学们将自己所在的位置进行了表达，从方向的规定性到第几排、第几列，表达样式各不相同，但都要关注横排与纵列的数据，这样纵横交错表述位置的关键所在，在此基础上，教师相机引导学生，明确表达的不唯一给交流带来不便，进而需要统一，明确规定方向，与排和列。并提出简化写法的需求，进而引出数对的简化表示。三是学以致用，在应用中深化理解。在结束环节，让学生串联起生活中不同场景的确定位置，并升华到确定位置的本质就是找到两个有序的信息来刻画描述。让学生学以致用，理解数对表达位置的意义。

【我对符号意识的理解】

（1） 数学符号是数学抽象的特殊表征形式，符号意识是形成数学抽象能力和逻辑推理的经验基础，在教学实践中，帮助学生感知领悟数学符号的意义，逐步培养学生对于数学符号意义的获得能力。符号意识的培养要注重在教学过程中引入数学符号的必要性，让学生知其然亦知其所以然；要注重结合具体情境渗透和强化符号意识，让学生从具体事物出发形成形式化的抽象数学符号；要注重操作实践，让学生亲身参与符号化的过程，感受符号意识。

（2）数学是表达世界的一种语言，而数学符号则是数学这门语言最重要的内核，数学符号意识主要是指学生能够感悟符号的数学功能。数学符号意识具有很强的内隐性，需要对相似的数学内容进行不断被感知、理解、联想、想象，才能形成相对外显的数学符号。因而，在教学中，需要教师设计多样的相似样例，引导学生在辨析中不断感知符号背后的意义。

（3）从课前的学情测查知道，数学符号意识的培养绝非一夕之功，而是常年累月渗透在每一次数学学习中。三四年级的是学生数学符号意识发展的关键阶段，学生已经具备了一定的数学符号感知和识别能力，也可以接受数学符号的理解与运算。但是，这个阶段的学生抽象能力相对薄弱，对于数学符号的抽象与表达还不足，需要教师在教学过程中设置一些脚手架，降低学生的抽象难度。如在这节课中，我们就尝试将座位图的抽象分解成 “轴” 的抽象和方格图的抽象，为学生的知识理解提供了阶梯。

【思考在延伸】

（1）在数对的学习中，方格图和点阵图有何不同的价值？

（2）人们在解决实际问题的时候总是会人为的将自然状态的实物进行规整排序，这种解决问题中蕴含的思想，该如何向学生呈现？

终稿反思

在经过了 2 次在线会议研讨，5 次线下磨课研讨，N 次单独沟通研讨，终于形成了这份终稿。

在这份终稿里，我们团队老师认为有以下几点优点：

（1）教学层次鲜明

这节课以向家长描述你在教室里的位置、用简洁的方法表示图上的位置，为两大主要学习任务，课堂结构鲜明，环环紧扣。由生活中确定位置逐步规范严谨表达，将学生的思维由生活逐步引入数学中，并最终在数学世界里，用简洁的方法表达现实世界。

（2）数学与生活的交融

这节课是以学生的生活经验为基点，由此出发，探索用有序数对确定位置。但是我们在这节课里，不断创新数学课堂，来自生活，高于生活，不拘泥于生活。既然学生的学习起点就是他们的生活经验，那教师就顺势而为，用学生的生活话语体系来进行学习，但是在整个交流探讨的环节，又时时刻刻将数学加在其中，做到生活经验与数学表达的融合。

（3）有趣好玩

三四年级的学生，对玩游戏还有着深深的热忱，因此，我们在这节课中，不断构思，如何将数学课变的更加有趣好玩。将学生每个人的头像都搬到课件中，大大的激发了学生的学习兴趣。练习环节也不断创新形式，创设了笛卡尔与同学们一起对话交流的情景，拉进了学生跟数学家的距离。

【团队磨课照片】

我们团队共举行了 2 次线上会议研讨，5 次线下磨课研讨，还有 N 次单独沟通研讨

，以及 N 次非正式会议研讨。