<小学数学课堂中学生基本活动经验的积累途径>研讨帖

主持人简介：

陈汉操，小学高级教师，本科学历，西安高新国际学校教师，陕西省课改新秀，2008 年 8 月在《陕西素质教育》发表《用教材教：小学新课标教材特点及教法探索》，2009、2010 年参加雁塔区全区中小学现代教育技术评选中课件《什么是周长》、《什么是面积》均获一等奖，2011 年参加西安市教学设计评选获一等奖，2012 年在第六届教学设计与课堂展示（全国）中获特等奖，2013 年度新世纪小学数学网络指导团队指导教师.

图片：

史宁中教授在修改和制定《数学课程标准（2011 版）》时提出了基本活动经验，把其与 “基本知识”“基本能力”“基本数学思想” 一起写入数学课程标准（2011 版），将传统的 “两基” 变成 “四基”，这样，基本活动经验作为 “新事物” 走进了我们的视野。它到底是什么？它怎样存在？它对学生学习有哪些影响？它使得我们在教育教学中要注意些什么？这些命题在不断拷问着我们。在这里真诚的邀请大家参与到这次大讨论中来，你的一个想法，一句话，也许能为大家拨开迷雾，见到真理。

积极参加。

陈汉操 发表于 2013-3-18 22:43 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=2126&ptid=715)

主持人简介：

陈汉操，小学高级教师，本科学历，西安高新国际学校教师，陕西省课改新秀，2008 年 8 月在《陕西 ...

:victory:

一定来学习！

学习中，期待中！

积极参加，准时学习。

基本活动经验的含义

“课程论之父” 泰勒（R.Tyler）提出 “教育的基本手段是提供学习经验”，认为教师的职责是为每个学生提供有意义的经验。从心理学上分析，经验比知识和能力更容易获取，因为它是在潜移默化中自然生长出来的，不需要经过雕琢、粉饰，是最原生态的感官体验、思维方法。

数学课程中的基本活动经验是指在数学课堂教学中师生围绕特定的教学目标，经历了相关的数学学习活动后，所留下的直接感受、体验、感悟和思考方法。它是经验的一种，是学生在数学学习活动中相互作用的结果。

本帖最后由 陈汉操 于 2013-3-20 22:27 编辑

 北师大版四年级下册《三角形内角和》一节课，学生要得到三角形内角和是 180°，我们经常会用到下面的方法让学生在动手操作感悟和体会新知。

http://bbs.xsj21.com/data/attachment/forum/201303/16/234637zgec4ozgomciy45y.jpg

 学生在操作过程中，会体会 “割补法”，明白了在几何学习中通过图形部分与部分之间的割补可以找到新的发现。这种学生动手实践的操作活动就为学生以后的数学学习提供了活动经验。以后如果我们在进行求平行四边形面积教学时，把平行四边形转化成长方形时，学生会想到这节课所积累的活动经验 —— 割补法，这样就为学生以后的几何学习奠定了思维基础，为学生的终身学习打开了一扇窗户。

 通过这个案例我们能发现学生获得了 “割补法” 的思考方法，这种方法就是经验的一种，<font face="宋体"> 是学生在数学学习活动中相互作用的结果。</font>

共同学习：我已开展了研究，http://122.225.201.217/zjer2/rural/main.do?method=show&ruralId=36。也开展了讨论：http://xkmh.zjer.cn/zjer2/research.do?method=info&researchId=840

与大家分享名家对 “基本活动经验理解” 的文章摘取片段如下：

张天孝 的理解：小学数学基本活动经验首先是 “数学” 的，所从事的活动要有明确的数学目标，没有数学目标的活动不是 “数学活动”。小学数学是研究最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关系）的。其次是 “经验” 的，经验是一种感性认识，包含双重意义，一是经验的事物，二是经验的过程。数学经验是数学的感性认识，是在数学活动中积累的。 再次是 “活动” 的，苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：数学教学是数学活动的教学，也是思维活动的教学。那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学教学活动都是 “数学活动”，这样就过于泛化。我理解的 “数学活动经验” 所指的 “活动” 其特定含义主要是对数学材料的具体操作和形象操作探究活动。 至于 “基本”，《数学课程标准》把数学知识、数学技能、数学思想、数学活动都冠以 “基本”，称作 “四基”。“获得数学基本活动经验” 作为教育目标指出，是基于 “动态的数学观”，把数学看成是人类的一种活动，是一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动。这样的数学观必然影响着数学教育观。

张奠宙指出：“数学经验，依赖所从事的数学活动具有不同的形式。大体上可以有以下不同的类型：直接数学活动经验（直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验）、间接数学活动经验（创设实际情景构建数学模型所获得的数学经验）、专门设计的数学活动经验（由纯粹的数学活动所获得的经验）、意境联结性数学活动经验（通过实际情景意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质）。”

徐斌艳教授认为：我们还可以将基本活动经验进一步细化，它包括基本的数学操作经验；基本的数学思维活动经验；发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验。

孔凡哲教授认为：““基本活动经验” 是指 “在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”

张丹教授认为：第一，基本活动经验建立在生活经验基础上。

第二，是在特定数学活动中积累的。

第三，其核心是如何思考的经验。

第四，最终帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。

史宁中校长认为：基本活动经验：思维的经验，实践的经验 （强调经验的积累，最终要培养孩子们数学的直观。学科直观很重要，数学的所以结果是看出来的，不是证出来的）人的发展需要什么？需要创造力。创造需要什么：数学知识和思维方法，以前没有注意到，是学生悟出来的，不是教出来的。这种东西就是数学活动经验。

是啊！名家的话给了我们无限的启发，典型案例更让我们理解了 “数学基本活动经验” 的内涵，特征，类型以及在《数学》教材中的体现。

史宁中校长有关基本活动经验的解读：

问：最重要的基本活动经验有哪些？请举两个例子说明。

史宁中校长：人的发展需要什么？需要创造力。创造需要什么：数学知识和思维方法，以前没有注意到，是学生悟出来的，不是教出来的。这种东西就是数学活动经验。

教书的原则，这是老师的任务，不是我的任务。

会想问题：

l 做计划，例 20 扣子；

l 全面，考虑到所有人。例 18 水果；

l 仔细，想不细，浮在上面，下不去。例 22 上学。

l 模式，最好是形成模式。先乘除后加减。有 3 个，又来了一些人，是多少人？先写上操场上原有多少人加上又来的人，就是操场上的人数。这是从头思考问题。教学列式是从中间思考。其实我们做的时候也有这个模式，这个模式没告诉学生，…… 我们的教学丢掉（省略了）思维的某些环节。

基本活动经验

1．对 “数学基本活动经验” 的理解

基本活动经验首先是 “数学 “的。所从事的活动要有明确的数学目标，没有数学目标的活动不是 “数学活动”。小学数学是研究最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关系），也就是说与数量关系、图形关系、随机关系无关的活动，不是数学活动。其次是 “经验” 的。经验是一种感性认识，包含双重意义，一是经验事物，二是经验的过程。数学经验是数学的感性认识，是在数学活动中积累的。再次是 “活动” 的。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔的《数学教育学》认为：“数学教学是数学活动的教学，思维活动的教学”，那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学教学活动都是 “数学活动”，这样就过于泛化。我们所说的 “数学活动经验” 所指的 “活动” 其特定含义主要是通过对数学材料的具体操作和形象探究活动。至于 “基本”， 《数学》把数学知识，数学技能，数学思想，数学活动都冠以 “基本”，称作 “四基”。

2、数学基本活动经验的特征

数学基本活动经验的特征有四个：

个体性：数学基本活动经验是属于个人的，它有明显的学生个性特征。数学基本活动经验是属于学生自己的。

实践性：数学基本活动经验是学生在学习过程中获得的，离开实践活动就不能形成有意义的数学活动经验。

多样性：学习群体针对同一数学对象，尽管学习环境等外部条件相同，但每一个学生仍然会有不同的活动经验。所以。对于学生群体来说，数学活动经验具有多样性。

发展性：数学基本活动经验是反映学生在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性的认识，是感性的、非严格性的，随着学习内容的深入，获得的活动经验会不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的 “经验交流” 中会相互补充。相互充实，丰富、发展个体活动经验。

3、数学基本活动经验的基本类型

小学数学的活动是多种多样的，但最根本是帮助学生能为抽象的数学找到具体形象的原型，增进数学理解。根据从事数学活动的不同模式，数学基本活动的主要类型有：

（1）直接的数学活动经验

小学数学知识相当一部分直接来源于日常生活现实，因此，应设计源于实际生活的数学活动，体验其中的 “数学味” 获得相应的数学活动经验。比如说：购物活动、测量活动等。

（2）间接的数学活动经验

创设情境，构建数学模型所获得的经验，这类活动的特征是模拟，在假想的模型中进行操作和探索。比如：做一张数位表，取 9 颗围棋子，让学生在数位表中的个位、十位中摆数。分别用 3、4、5……9，这些活动在现实生活中是没有的，而大量存在于数学活动之中，是数学学习的有机组成部分。重视这些活动设计，就丰富了数学基本活动经验。

（3）专门设计的数学活动经验。

由纯粹的数学活动获得经验。这类活动是专门味数学学习而设计的，是具体的形象的数学操作。比如：圆锥体积的教学，圆的面积推导，圆柱体积的推导等

4、数学基本活动经验在《数学》教材中的体现

积累数学活动经验，使之成为学生形成数学现实，构成数学认识的现实基础，是数学教学实施素质教育的重要课题。《数学》教材注意了以下几个方面。

（1）教材编排在 “做数学” 中体验数学，感悟数学；

（2）教材已经设计好了的教学活动；

（3）教材体现数学基本活动经验重在积累与提升。

应该看到仅仅停留在在感性层面的活动经验是粗浅的，教学时要采取恰当的措施对数学知识、解题思路从感性认识上升到理性认识，要处理好活动过程与活动结果的关系，问题化、情境化与知识系统化的关系。

5、小学数学教学中应形成的基本活动经验有那些？

小学数学教学中应形成的基本活动经验有操作、观察、实验、猜测、度量、验证、推理、交流等数学活动经验。

http://53250565.blog.sohu.com/113662223.html

张丹：数学经验不仅需要积累，更需要提升

编者按] 在首届中国小学数学教育峰会上，北京教育学院数理学院副院长张丹，对小学数学教学的课改方向进行了阐述，特此转载。

“数学活动经验” 不是一个新词，却因为进入了新修订的《数学课程标准》而成为一个新的研究领域。

经验对于学习的重要性不言而喻。杜威曾说：“一盎司经验胜过一吨理论。” 史宁中校长说：“创新能力来自知识积累、经验积累和思维训练。”

“所以我们应基于学生数学经验开展有效教学。” 北京教育学院数理学院副院长张丹认为，就小学数学课堂而言，有两个问题值得注意。

其一，就每个抽象的数学概念而言，教学时应找找其背后有没有原型。为什么要寻找原型？一方面，数学来自生活；另一方面，通过原型，学生可以更好地理解数学概念的来龙去脉。

“比如负数比较大小，小孩子怎么能够理解这么抽象的意义呢？可以找出温度计，负数大小的比较就容易理解了。小数的原型是什么？元、角、分无疑是重要的一个。

“再比如，数数活动，能给孩子们积累什么样的经验？顺序，大小，还有呢？—— 一一对应。还有吗？—— 计算，往前数．是减法，往后数是加法。了解了’遂些 0 我们在上这些内容的时候，也就会更加重视经验。”

其 =，数学经验的提升。

张丹副教授说，老师们已经开始关注数学经验，但有点浅尝辄止的感觉。

有一次，一位老师上 “圆的认识” 这一课，他请六年级学生观察圆有什么特点，学生答：“圆圆的，没有边，没有角。” 这是一个小学一年级学生都能回答出来的答案，老师没有继续挑战学生的思维，而是直接转人他的课题。

“其实，一年级学生也会这么回答，这就是学生对于圆的原始经验认识，但对六年级学生而言，老师完全可以提升经验，比如拿出一个椭圆，你看，这也是圆圆的，没有边，没有角，为什么不用它做车轮呢？这就开始触及圆的本质特征。” 张丹副教授认为，数学经验一方面在于积累，另一方面也需要提升。经验不经过提升、内化、概括，难以成为学习的内在支撑。

原文链接：http://zyq1963.banzhu.net/article/zyq1963-9-1684147.html

帮助学生积累怎样的基本活动经验

—— 以 “分数的认识” 教学为例

▇ 仲广群

著名教育家陶行知关于人如何获得知识曾做过一个形象的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机组成部分。” 可见，基本活动经验是学生数学学习的必要前提，是其获得数学直觉的源泉。那么对于学生的数学学习而言，什么才是可以用来做 “根” 的基本活动经验呢？本文试以 “分数的教学” 为例，阐述我们要帮助学生积累怎样的数学基本活动经验。

一、重观察，重操作，丰富学生的表象，积累体验性经验

有研究表明，就智力和经验对学生概念学习的影响程度来看，经验的作用更大。孩子们的内心世界往往不是按照定义的方式来理解的，他们更多地按照先前眼睛看到的，尔后积累在脑海中的先前经验来给所学的抽象概念加以编码的。丰富的经验背景是学生理解概念的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的 “经验”，除了从学校学习中获得以外，学生从日常生活中获得的经验也起着非常重要的作用。事实上，学生掌握的数学概念大多是对自身经验经过辨别、分化、抽象、概括以后发展而来的。

学生认识分数远不像当初认识整数时那样来得顺利。这是因为，在学生的已有的活动经验中，来自有关 “分数” 方面的储备，远不如整数那样多。生活中，学生更多接触到的是可以一个一个地来数的自然数，当 “1” 需要再分时，人们又更喜欢用小数来表示（如商场里物品的标价等）。由于缺少丰富的表象来支撑，也缺少外显操作活动中来自感觉、知觉的经验，这给学生建立分数的概念带来了不小的困难。

尽管如此，教学还是得从学生所熟悉的感性材料入手，因为概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，毫无疑问，辨别各种刺激模式，并在知觉水平上进行分析、筛选、辨认，根据事物的外部特征进行概括，是建立正确概念的第一步。既与分数的概念相通，又存在于学生的已有经验之中的，就是学生 “均分” 物体的经验了。

分蛋糕、分苹果，的确是生活中较好的关于 “均分” 的模型，因为学生都有过这样的经历。只是生活中人们并不习惯把一个蛋糕平均分成 8 块后，将其中的一块称为，而更多是称作 “一小块”。但这并不妨碍学生对分数产生的感知，因为学生从分苹果、分蛋糕中，已经完成了初级阶段的抽象，即学生能够明白，以前经验中最小的 “1” 还是可以继续分下去的，这样分得的结果我们就得用新的数来表示了。这就把新的认知起点与旧有的经验联系起来了。相比之下，有的教材从 “折纸” 切入，学生便不能从操作中感受到 “分” 的必要性，由此引入分数多少显得牵强和生硬，这是对学生经验缺少深入细致的考察所导致的。

概念的抽象往往不是一次性完成的，分数概念的建立也不例外。我们可以从皮亚杰等人的研究成果中得到启发：“4-4 岁半的儿童能把小的正规图形分成两半；6-7 岁的儿童能把小的正规图形分成三份；7-9 岁的儿童能把小的正规图形通过试错分成六份。” 皮亚杰等人的研究成果告诉我们，学生通过面积的模型来认识分数比较容易。依此，组织折纸、填图等操作性活动，可以引导学生向更高一层的抽象发展，亦即线段、长方形、圆……，以致一个整块的物体，都也可以像分苹果、分蛋糕那样均分下去，在这方面它们具有共同的属性，这就是所谓的 “二阶抽象”。

较之于 “连续量模型”，学生对于 “离散量模型” 的理解，似乎来得更为困难。因为对学生而言，这是更高一层次的 “三阶抽象”。把多个物体看做一个整体进行均分，在学生的已有活动经验中储备不多，加之整体 “1” 的类型并不像想象的那么简单，例如，形成分数至少关涉到以下几种不同的类型：⑴数量刚好为 5 个；⑵数量在 5 个以上并被分成了 5 等份；⑶数量比 5 多但不能被 5 整除；⑷数量比 1 多但比 5 少。

日常生活并不能为学生提供这些经过高度结构化处理的素材，只有教学这一专业活动才凸显这一功能，这是教师 “浓缩” 了前人探索的结果，使得素材本身更具 “数学味儿”，它可以避免学生走太多的弯路，耗费太多的时间。

“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号，总是运用模糊的表象进行思考。” 很显然，学生建立分数的概念必须先积累大量的感官经验、操作经验，且这些体验性经验又具有某些相似性、共通性，然后经由多个层次的 “抽象” 这一心智活动才得以完成。而若不能以丰富的表象做支撑，概念的建立就成为无源之水、无本之木。

二、重探究，重思考，优化学生的策略，积累方法性经验

这里的 “探究” 指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。对于行为操作和思维操作，我们不妨用 “操作地思考” 和 “思考地操作” 来界定两者的区别。行为操作的价值取向是问题解决，而不是仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，探索所获得的经验一般是直接经验，我们称之为 “操作地思考”；思维操作指的是在思维过程中开展活动而获得的经验，即，思维操作经验，比如，归纳的经验、类比的经验、证明的经验。思考的经验不仅可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至产生于某些实验过程之中，我们称之为 “思考地操作”。显然，前者侧重于直接经验的获得，而后者侧重于间接经验的获得。

学生对 “均分” 后产生分数有了初步的感知，就可以安排一些带有思维性质的操作性活动，如：通过引导学生进行折纸和画图等活动，想想和哪个大？用涂色的方法说明和哪个大？这样的活动，既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与，但更侧重于的是操作本身，让学生从图像中直观地感悟分数的大小，获取的直接经验占据主要的成分。

显然，不同的呈现方式，对学生的思维的要求是有区别的，即便是分桃子，将一只桃子进行均分，与将一大一小两只桃子进行均分，对学生的思维挑战就不在一个层面上。

如上图，学生当然可以通过 “操作地思考”，寻求到解决问题的答案。但是，更适宜的方法却是进行 “思考地操作”，亦即，这一操作的过程可以在脑中完成，然后只要通过实验去验证一下就可以了，其思考的依据是，两个部分量的相加，应该等于整个量的。再如：小明看了一本书的，小红看了一本书的，他们俩谁看得页数多？一个图形的是□，原来的图形是怎样的？事实上，解决这两个问题，学生如果先行实验，或许会对寻求问题的正解产生误导。比如学生用一样大小的纸做实验模型，结果只能发现小明看的页数多。同样，学生处理第二个问题时，画成 ，也会影响其对离散图形的进一步思考。不难分析，对实验之前的先行思考，即 “思考地操作” 恰恰反映了学生对概念的本质的认知水平，因为这种先行的思考，带有很强的策略意味儿，是学生多次开展类似的开放性活动后形成的心理敏感机制，属于典型的个体知识。应该说，这种方法性活动经验对学生的学习而言，显得尤为重要，它是将学生的数学学习上升到 “数学思想” 境界的必要桥梁。

三、重概括、重反思，增进学生的内隐能力，积累 “数学地思考” 的经验

概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生所掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无法形成；没有概括，就无法实现思维的 “缩减” 与 “浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现，学生掌握概念，直接受思维概括水平的制约。从前面的分析可以看出，学生掌握分数的概念，大致要经历几个不同的阶段：

首先，对已有生活经验和教师呈现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来。

其次，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在高层次上的抽象概括过程。

最后，把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。

因此，教师应该把学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类化的基本技巧，从而逐步学会自己分析材料、比较属性，并概括出关键属性，以逐步培养概括能力。学生概括能力的强弱，带有很强的个性特征，是学生的一种内隐能力。教学无法也不必让所有的学生达到一致的水平。但是，通过传授相关的策略，特别是，引导学生通过适当的反思，可以帮助学生在原有的基础得到适当的提高。为此，教师要帮助学生反思他们自己在学习活动中的缄默知识，使他们学会不断地从自己显性的观点和想法中分析自己所使用的那些缄默的认识模式，从而不断地提高他们元认知的水平，提高对自己的学习行为进行自我分析和自我管理的能力。

引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。如果学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回顾和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。如果学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，探索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会了 “数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化、概括化，而这，便促进了数学素养的形成。

从概念本身的教学来看，我们固然希望学生的已有经验既要有我们想象的相似性、共通性，又不要有太多与概念无关的干扰。但是，学生的活动经验相当部分来自于日常的生活，而生活经验的提供途径和方式并不遵守学校教育的法则，所以学生所获取的经验成分中，带有相当程度的模糊性、片面性，甚至有不少的错误藏匿其中。学生由整数加法的经验迁移而产生 “+=” 的想法，便是较好的例证。教学的任务就在：对学生既有的经验进行筛选、整理、优化和提升，实现经验的改造或重新改组，以帮助学生生成新的经验，促进学生的经验上升到更高水平，让模糊的变得清晰起来，让片面的变得完善起来，让错误的变得正确起来。让零散的变得结构化起来，而这，就是基于了学生的基本活动经验，引领学生经历的 “数学化” 过程。这是基本活动经验培养的高级境界。

http://blog.ntjy.net/my_blogs/131848/（作者单位：南京市石鼓路小学）

—— 本文发表在《江苏教育》2011 年第 12 期

让 “活动” 带给 “经验” 生长的力量

▇ 仲海峰

如果说，数学 “基本活动经验” 是学生在从事有明确的数学目标的活动过程中产生和形成的经验，那么很显然的是，使学生获得基本活动经验的前提和核心是要提供好的活动。苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为数学教学就是数学活动的教学，也是数学思维的教学。这是一种将整个数学教学都看成是 “数学活动” 的 “大活动” 观、“泛活动” 观。从现有的研究来看，数学课程标准修订时所提出的 “基本活动经验” 中的 “活动”，其范围和内涵都有所窄化，借用张天孝先生《关注数学基本活动经验》一文的观点，“主要是对数学材料的具体操作和形象探究活动”。这句话中，“数学材料具体操作活动” 并不难理解，而 “形象探究活动”，我以为，既包含实物、图形等具体形象，也包含着思维中、想象中的事物，即脑袋瓜中籍以进行思维、想象等活动之 “隐形” 形象。

有了这样的认识，我们有必要进一步深究：什么样的活动才是好的数学活动？好的数学活动能产生怎样的活动经验呢？如何让我们的数学活动向 “好的” 方向发展？对这些问题的回答既需要时间，更需要实践。对一些典型案例进行分析，或许能为我们提供思考的路径。

让活动经验触及概念的本质

有这样一则案例，从课改初一直讲到现在。案例记录的是某学生与父亲回忆学校学习的一段对话。

爸爸：儿子，你今天学习了什么？

儿子：学了集合。

爸爸：你听懂了吗？

儿子：懂了！太简单了！

爸爸：老师是怎么讲的。

儿子：老师先让男小朋友站起来，然后告诉我们这些男小朋友就组成了一个集合。接着让所有女小朋友站起来，告诉我们所有的女小朋友也组成了一个集合。最后老师让全班小朋友都站起来，告诉大家全班小朋友也组成了一个集合。

爸爸分别指了指家里的桌子、椅子和一筐土豆问：它们能组成集合吗？

明明：家里所有的桌子组成的是一个集合，所有的椅子组成的也是一个集合，一筐土豆组成的不是一个集合。

爸爸很惊讶问：为什么？

明明：因为桌子椅子是站着的，但土豆不可以站起来。

故事是虚构的，但似乎又 “合乎情理” 地反映了我们平时教学中某些教学现象。活动在活跃课堂气氛，带给了学生乐趣的同时，也夹杂着一些多余的、甚至有干扰的信息 —— 孩子在一次次的、并非体现集合本质 “起立” 活动中，产生了 “能不能站起来是区分一些元素组成的是不是集合的依据” 这个活动经验。强烈的负效经验干扰了学生对集合本质的理解。

经典的例子还有三角形稳定性教学，老师让学生分别拉三角形和平行四边形木架，体验三角形的稳定性和四边形的易变性。热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴、印象也很深刻。然而热闹之后再思考，却发现学生 “深刻的印象” 其实只停留在使劲 “拉” 上 ——“拉” 不动，就具有稳定性”，“拉” 得动，就 “不” 具稳定性。其实三角形稳定性是指 “三角形三条边长度确定，其大小、形状也就确定”。其对应的活动应该是让学生用三根小棒围不同的三角形，从而让学生体验三根小棒围成的三角形，“除了姿势不同外，形状和大小都完全一样”。这样让活动经验明确地指向于 “边长确定，大小、形状也就确定” 这个本质，有效地避免了理解上的歧义。概念是数学的灵魂，也是学生数学学习的根基。围绕概念本质内涵的活动所产生的活动经验才会带着浓浓的数学味，蕴含着无限的扩展力。

让活动经验触动思维的内核

新课程改革前，我们的课堂教学大都着力于对教材提供方法的模仿与训练，新课程改革要求不仅重视 “方法的多样化”，而且重视对多种方法的分析、比较、优化。这种变化的实质是强化对数学思维的培养，提升学生的数学思考自觉。顺应此，数学活动也应该成为数学思维的活动，让活动经验要触动思维的内核。

以六年级 “假设策略” 一课为例，常见的教学流程：

出示例题：五（1）班的 42 位同学去划船，他们一共租用了 10 条船，每只大船能坐 5 人，每只小船能坐 3 人，正好每条船都坐满。他们分别租用了几条大船和几条小船？

接着，组织学生先独立思考，再小组讨论、大组交流。

最后，分析比较出最优方法，重点学习：假设全班同学都坐小船，坐船的就有 10×3=30 人，比实际多出 42-30=12 人。事实上，每只小船换成大船就会多出 2 人，共有 12÷2=6 条小船换成大船，10-6=4 条小船。

笔者曾对这节课做过一项调查：超过一半的同学认为，在学过假设法后，如果长时间不接触这类题目，很容易遗忘。究其原因，学生上述学习过程其实只是停留在模仿、训练、机械记忆层面，并未能深入到思维的里层。针对此，我的做法是：

在学生独立思考、小组讨论、大组交流时增加一个让学生在操作中 “凑” 答案的体验活动（以★为大船，▲为小船）。

学生独立活动后，各学习小组汇报，将所有情况有序展示在黑板上（图略）：

大船只数 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

小船只数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

人 数 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30

接着组织学生带着活动经验比较操作题与例题的联系 —— 两题都要假设大船和小船的只数，求出人数。不同的是，操作题根据假设的人数就可以求出可能的人数，而例题实际人数已经告诉了我们，而且往往与假设的人数不一致，这说明假设的大、小船的只数有问题。这时需要调整：如果求出的人数比实际人数少了，说明要用小船换大船，每换一次相差 2 人；如果求出的人数比实际人数多了，说明要用大船换小船 —— 这样调整若干次直至人数吻合。

应该说，动手操作 “凑” 答案，活动虽然有些土气、原始，但充分展开的 “凑答案” 过程却意蕴十足 —— 从 0 开始，一组数、一组数有序地 “凑”，答案逐渐浮出水面。这种由 “无” 生 “有”、由 “虚” 渐 “实” 的 “凑” 的活动经验，既蕴含着 “假设法” 中假设的必要性，也揭示了 “假设法” 中 “调整” 这个环节的 “关门过节”——“1 只大船” 和 “1 只小船” 替换就会相差 2 人。由此，我们可以说 “假设法” 是学生积足了 “凑答案” 的活动经验之后的 “由熟生巧”，而近乎接近学生本能的 “凑答案” 所产生的体验和形成的思维经验，具有 “根基” 的作用，即便学生一段时间忘了后，解决问题的路径仍能由根 “再生” 出来。

让活动经验触摸创造的萌芽

新课程标准在修订时再次突出 “培养学生创新精神和实践能力” 的改革方向和目标价值取向，东北师大史宁中校长在论及创新能力时指出：“创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要”。尽管我们很难直接传递创造的经验，但是，数学活动应该为学生提供更多创造的机会，让他们触摸创造的萌芽，积淀更多的具有创造潜质和基质的活动经验。

以 “自然数两种分类之间的关系” 为例：

自然数按是不是 2 的倍数，可以分为奇数和偶数；而根据因数的个数，又可以分为 0、1、质数、合数。同一数集的两种不同角度的分类，使得奇数、偶数、质数、合数等数之间的关系错综复杂。学生在遇到诸如 “所有的奇数都是质数”“所有的质数都是奇数”“所有的合数都是偶数”“所有的偶数都是合数” 之类的辨析题时，很是头疼。

对此，我们设计、组织了一次 “数形结合 —— 借助操作理解奇、偶数和质、因数之间的关系” 的画图辨析关系活动。下图是学生陆杰 “创造” 的自然数两种分类之间的关系图：

自然数两种分类之间的关系图

自然数两种分类之间的关系图

【图解】用长方形代表自然数，从中间画一条竖线将自然数分为奇数和偶数两部分。

在奇数中，“1” 既不是质数也不是合数 —— 用方框框出来；剩下的数中，一部分是质数，另一部分是合数。

在偶数中，“0” 去掉既不是质数也不是合数 —— 用方框框出来；剩下的数中，只有 2 是质数，其余都是合数。

换个角度看，质数部分，除了 2 是偶数，其余的都是奇数；再看合数部分既有奇数又有偶数。

应该说，学生创造性地设计直观形象集合图，将知识间千丝万缕的联系浓缩到一张结构图中，既有助于看出知识间的联系，加深知识的理解，也便于知识经验的灵活调用，有助于 “活化” 经验。当然，最重要的是这种创造性活动中所积累的经验，有如冬天里埋在雪地下的种子，春风吹来时就会生出创造的嫩芽，充满着无限的生机。

当然，数学活动不是 “哪里需要贴哪里” 的狗皮膏药，也不是 “贴哪里，瘦哪里” 的灵丹妙药。需不需要实际操作？活动的成本有多大？每一次的活动能否如我们所愿能给学生留下很好的活动经验？这些都是我们帮助学生积累活动经验时应该全面考虑的问题。但无论如何，着力设计短小精悍、彰显数学本质、强化数学思考、追求实践创新的活动给学生留下 “最具生长力” 的活动经验，是值得我们每一位教师持续关注并积极付诸教学改革的。

                       （作者单位：海安县教育局教研室）

—— 本文发表在《江苏教育》2011 年第 12 期

基本活动经验实践研究的辩证解读

▇ 储冬生

积累基本活动经验，形成比较完整的数学认识过程，构建比较全面的数学现实，对于帮助学生获得良好的数学教育，提升数学素养，具有重要的意义。随着新课标的修订，基本活动经验在课程目标中被进一步明确，地位得到进一步凸显，将其作为数学课堂教学的核心目标予以落实已经成为大家的共识。

如何使得基本活动经验的积累从理念走向行动？我以为，眼界决定境界，思路决定出路！用辩证的眼光来看待这一新话题并平衡和处理好各种关系是我们推进教学改革时应有的思维。本文结合具体案例略谈几点想法，求教于各位同仁。

继承与发展

案例：面积和面积单位

师：凭你的 “感觉”，你觉得 1 平方米大概有多大？

…… 学生自由地发表自己的观点。

师：到底有多大呢？为了研究问题的方便，人们规定了一个 1 平方米的模型。（师出示教具：1 平方米的模型）谁能用数学语言来描述一下这个模型？

生：边长为 1 米的正方形，面积就是 1 平方米。

师生合作测量边长，验证学生的描述。

师：你能从生活中找到 1 平方米的影子吗？

学生举例：餐桌的上面、讲台的前面、水磨石地面的一个方格…… 约 1 平方米。

师：下面我们一起来做个游戏，看看 1 平方米的地面上大约能站多少个小朋友。

学生争先恐后地参与，1 平方米的地面大约能站 15 名三年级的小朋友。

师：大家估计一下黑板的面积大约有几平方米？

生：3 平方米左右。

师：他估计的结果对不对呢？

师生合作，用 1 平方米的教具量一量，加以验证。

【思考】数学教育目标从 “双基” 走向 “四基” 并不能看作是 “2+2” 的简单叠加，帮助学生积累基本活动经验在我们过去的教学实践中就有很多好的传统，这次数学课程标准修订将其作为核心概念单独提出，意在进一步强化。上例教学面积单位时，先让学生根据自己的生活经验去 “猜测”，然后提供模型让学生去估计，去测量验证，到生活中去找它的 “影子”，再在游戏中强化，从而逐步加深认识，建立起 “1 平方米” 的正确表象。猜测、估计、测量、游戏这一系列的活动其实就是一个典型的积累基本活动经验的过程，学生在多感官的参与中直觉地建立起 “1 平方米” 的概念。以往的教学中我们一直都是这样做的，只是过去我们并未特意从积累基本活动经验这一视角来考量它、优化它，发掘它特有的价值和意义。因而，在继承中发展是我们开展基本活动经验研究的基本战略。

活动与思维

案例：游戏规则的公平性

师：大家认为刚才的游戏还是不公平，现在该怎样改变包中的球，才能使游戏变得公平呢？

生：黄球和白球的个数一样多，游戏就公平了。

师：个数一样多，可能性相等，游戏规则就公平了。

教师将包中的黄球和白球调整为同样多。

师：现在黄球和白球的个数一样多了，摸球的结果又可能会是怎样的呢？

生 1：两种球摸到的次数应该相等。

生 2：两种球摸到的次数应该差不多。

……

师：在规则公平的情况下摸球的结果到底会怎样呢？实践出真知，大家再分小组自己动手试一试。

学生进行摸球游戏，教师巡视，学生汇报。

师：观察各小组的活动记录大家又有什么发现呢？

生：各组的情况也不一样，有的摸到的黄球多一些，有的摸到的白球多一些，也有相等的。

师：为什么会这样呢？

生：公平只是可能性相同，机会均等，摸球的结果并不一定每次都一样多，这还得看 “运气”。

师：看来游戏规则公平，只表示双方赢的机会是均等的，即使在规则公平的情况下，游戏的结果仍然是 “一切皆有可能”！假如我们把各组的结果都汇总起来又会有什么发现呢？课后有兴趣的同学可以自己去探索。

【思考】数学活动经验有别于日常生活经验，是具有数学目标的学习活动的结果。比如同样是折纸，可能是美学欣赏，可能是技能训练，也可能是数学操作。而作为数学活动的折纸，其目的是学习数学，比如轴对称的概念，图形的运动，图形的不变特征等等。同样，一般的摸球游戏本身并不具备多少数学意义，只有思维的深度介入，才使其具有数学意义。以此观照上述案例，摸球游戏前的预测显得尤为必要，不少学生认为：球的个数相等，游戏规则公平，游戏的结果摸到两种球的个数也应该是相等的。这是学生认识上的一个难点，揭示学生的这种错误认识，正是为了矫正他们的错误，把力气用到紧要处。活动之后对于数据的分析既关注各组数据内部的比较，又提示学生可以从各组数据汇总的角度去分析，这是一种分析方法上的引领和审视视角上的指导，这些对于提升思维含量，使得感性经验上升为理性认识显得尤为重要。倘若没有了前面的预测和后面的分析也许就只剩下 “活动” 了，没有思维介入的 “操作工式” 的活动，只能带来缺失了数学意义的 “基本活动经验”。

直观与抽象

案例：平均数

师：一下子说出这几幅图中哪根虚线表示这五位女生玩套圈游戏套中个数的平均水平，的确不容易，我们降低些难度，谁能先说说，哪一幅图肯定是不正确的。

生：图 1 和图 2 都是错误的。

师：为什么呢？

生：平均数一定在最大值和最小值之间，不可能大于最大值也不可能小于最小值。

生：图 4 也是不对，因为根据 “移多补少” 的规则，比平均数多出部分之和应该等于比平均数少的部分的和。

生：第 3 幅图是正确的。

师：如果要使得平均数值达到现在的图 4 虚线所在的位置，我们可以怎么办呢？

生：没有达到的 4 个人，每个人都增加一些就行了。

师：平均数很敏感，每个数据的变化都会带来平均数的变化。

生：其实也可以只在其中的一个人上面增加，不过要增加得多一些而已。

师：虽然其它数据都比平均数据低一些，但是由于有一个极大数据就可能将整体的平均水平拉上去了。平均数容易受到个别极限数据的影响，这也是我们在使用平均数分析问题时需要注意的。

【思考】积累活动经验总得依赖一些活动，但是所谓活动并不一定都是指直观的操作活动，行为操作的经验是基本活动经验，抽象的思考、探究的经验也是基本活动经验的重要组成部分。这道平均数的巩固练习采用了选择题的构题方式，题面虽简单，但综合性很强，思维含金量足。教学目标十分集中地指向于运用平均数的图示虚线出现的不同位置，引导学生思考平均数的本质属性，从而加深学生对平均数的大小范围、判断依据的直觉把握。不但有所排除，有所确认，还进一步引导学生思考被否认的图 4，假设它的平均数合适，应当怎么去调整各个统计量。通过统计图的形象展示，诱导学生对一组统计数据中个别极端值对平均数的影响真切地体会并表达出来。这里没有关于 “移多补少” 的直观的简单的行为操作，而是借助半抽象的统计图让学生在头脑中去思考，这种抽象思维活动的经验积累也属于基本活动经验的范畴，而且是更高层次的理性的数学活动经验。

生活与数学

案例：解决问题的策略 —— 转化

师：课前我们又重温了《曹冲称象》的故事，让我们一起思考这样几个问题。第一，曹冲将称 “大象” 转化成了称 “什么”？

生：曹冲将大象转化成了石头。

师：第二，为什么要转化成石头呢？

生：因为大象是一个整体不好分，而石头可以分开来称。

师：第三，故事中有一个重要的细节 —— 在船舷上做了个记号，这是为什么？

生：大象在船上的时候，水面到了那里，后来石块放在船上的时候水面也到了那里，这样石块的重量就和大象的重量差不多一样重。

师：第四，一定得将大象转化成石头吗？

生 1：不一定非得转化成石头，换成木头、铁块也都行啊……

生 2：我倒觉得转化成人才方便，我们可以要求观看的士兵走到船上去，这样还方便些，省得搬东西。

师：这种转化的策略对于我们的数学学习又有什么启发呢……

【思考】很多日常的生活经验都能为学生积累基本的数学活动经验提供基础。有些老师也关注到了学生的生活经验对于儿童数学学习的价值，但是在实现由生活经验向数学活动经验的提升方面仍然做得不够。用 “曹冲称象” 的故事引入转化的策略不少老师都用过，但是仅仅指出 “曹冲称象” 的故事中用到了转化的策略显然还是不够的，这只是关注到了生活经验而已。上面的案例中，老师追问的四个问题，直指转化策略的实质，其实就是在着力引导孩子实现由生活经验向基本活动经验的提升。数学基本活动经验是人们的 “数学现实” 最贴近生活现实的部分，数学现实就像一座金字塔，从与生活现实密切相关的底层开始，一步步抽象，直至上层的数学现实。学生学习数学，要把握从生活现实上升为数学现实的完整认识过程，即从感性认识上升为理性认识的全过程，这是抽象数学活动的前提和基础。

总的说来，儿童的数学学习是一个系统，在这个系统中，各元素间存在着多种关系、多重联系。我们应该用一种扬弃的眼光来聚焦基本活动经验，植根传统又突破定势，在对教学实践的辩证解读中，开阔视野，拓宽思路，寻求超越。

                 （作者单位：江苏省海安县实验小学）

—— 本文发表在《江苏教育》2011 年第 12 期

关于获得数学活动经验的三点认识

▇ 贲友林

数学活动经验是人们在数学活动过程中形成的并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。数学教学应致力于学生数学活动经验的获得。本文就学生获得数学活动经验谈三点思考。

一、经验在经历中获得

《现代汉语词典》对 “经验” 是这样解释的：“经验” 有两种词性，作为名词，指由实践得来的知识或技能；作为动词，指经历，体验。杜威指出：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。” 这里的经验，包括了经验事物和经验的过程两重意义。由此来看，经验以静态与动态两种状态存在着。

《数学课程标准》（实验稿）就曾指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。” 活动经验，离不开活动，学生的数学活动经验是在参与数学活动过程的基础上获得的。没有经历数学活动，就谈不上获得数学活动经验。数学活动经验是数学活动的过程和结果。也就是说，有经历，不一定有经验，没有经历，一定没有经验。

如，分子相同的分数进行大小比较，分母大的分数反而小。在教学中，学生不是要将这样的结论熟记于胸，而是需要建立在自己经验基础上的理解。学生可能选择画图思考并说明比较大小的活动，而这样的活动选择也是源于以往画图解决问题的经验。如果以往没有经历用图、数轴等表示分数大小的活动，那这里也就缺乏了画图的经验。

再说对具体内容的理解经验的积累过程。在尚未入学的时候，不少孩子就有分东西的经历，他们在分东西的过程中，积累 “分” 的经验，知道分的份数越多，每一份就越少。当然，这样的经验是一种日常生活经验，还不是数学经验。数学教学，需要把这样的生活经验进行数学改造。在学习除法时，学生一定会经历类似如下的操作活动：12 根小棒，平均分成 2 份、3 份、4 份、6 份；在这样的操作过程中，学生对 “分” 的经验再积累，对分的结果也积累了经验。在认识分数时，学生有画图表示分数的经验，待到解决上述问题时，学生也就有了可供提升的经验积淀了。综上所述，学生的活动经验也正是在一次又一次经历的活动中积淀、丰富。

常常听到长辈对晚辈的告诫：我吃的盐比你吃的米多，走的桥比你走的路长。我们是否可以从经历的角度理解，因为长辈的经历比晚辈多，所以经验也就比晚辈丰富。“吃一堑，长一智”，这里的 “智” 包含了经验，因为有了 “吃一堑” 的经历，也就增长了一份 “智” 的经验。

二、经历了≠获得了

学生经历或参与了数学活动，并不是就能获得充足的数学活动经验。也就是说，经历了数学活动，未必就获得了数学活动经验。

就不同的个体而言，学生经历数学活动过程，获得数学活动经验是有差异的。学生的数学活动经验是建立在学生参与数学活动的过程和个体的感觉基础之上的，而学生个体之间感悟数学的水平差异较大，因而，学生之间的数学活动经验有较大的差异。就某一数学活动而言，同一个班级的学生都参与其中，有的学生获得的数学活动经验比较清晰，有的则比较模糊；有的学生获得的数学活动经验比较丰富，有的学生则比较单薄。存在着这样的现象，教师因教学进度、教学容量的考虑，当部分动手能力较强、思维较为敏捷的学生比较快地完成了活动内容时，教师也就组织全班学生从该活动 “转场” 到另一个活动。显然，相当一部分学生只经历了前一个活动的某些片段，也就不能获得较为充分的数学活动经验。所以，在活动过程中，教师要关注每一位学生是否真正参与了数学活动的全过程。这里还要指出的是，数学活动经验虽然是个性化的，但从学生群体的角度来看，数学活动经验是很多学生在经历了同一个数学活动之后形成的，具有一定的共性和普适性。

就经历的过程而言，活动经验的发展具有一定的层级性、规律性。第一次数学活动中获得的是原初经验；第二次遇到相同情境时，经验再现，一般称为再生经验；再次遇到类似情境时，迁移运用先前经验，产生再认性经验；在形式不同、本质一样的新情况下，按照 “模式” 重复运用这种经验时，这种经验成为概括性经验；概括性经验在多次调用、反思后，内化为经验图式。学生获得数学活动经验的过程，至少需要经历这样几个阶段：原初经验阶段；再生经验阶段；再认经验阶段；概括性经验阶段；再次参与多样化的数学活动，逐渐内化为概括性经验图式阶段。由此来看，经验有时需要在多次类似的数学活动的反复经历中获得。经历了，不等于获得了，这里所说的获得的是指较高层次的概括性的经验图式。

如，学习平行四边形面积计算时，学生通过操作将平行四边形剪、移、拼成长方形，这一过程使学生获得剪、移、拼的经验，感受将陌生的问题转化为熟悉的、将未知的问题转化成已知的过程。不过，这样的经验是非常粗糙的，难以适应新情境中的数学对象，也就是说，在新的数学问题中不能被调用。学习三角形面积计算，学生往往不能凭借自己的经验将求三角形的面积问题化归成已学图形面积的问题，因而教师组织学生通过旋转、平移或剪、拼的操作活动将三角形转化成平行四边形，在此基础上，对活动过程进行反思、总结和交流，概括所获得的经验。学习梯形面积计算，学生经历的情境与三角形面积计算的情境几乎相同，因而学生会把先前在三角形学习的数学活动中获得的经验运用于当下活动中，在 “还原” 前一活动经验的过程中，学生关于图形转化的方向与方式的经验得到了巩固。在学习圆的面积时，学生的数学活动经验外显，他们有明确的将圆转化成已学图形的倾向。不过，在实际教学中可以发现，很多学生的操作都是将圆沿着 4 条弦剪去 4 个弓形，再把 4 个弓形和剪出的长方形相拼。这恰恰说明了学生的经验还比较单薄，其原因也正是数学活动不够多样化。从数学活动经验的角度看，学生数学活动的过程就是数学活动经验不断上升、不断转化的过程。事实上，学生经历了数学本质一样的、多样化的数学活动，在交流、讨论与反思等活动的作用下，他们的原初经验得以改造和提炼，完成数学活动经验从低层次到高层次的生长。

三、经验，并非总是亲历所得

对数学活动经验的获得，有的老师在认识上存在着一个误区，认为活动经验一定是学生亲历所得。亲历，是获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式。正如史宁中教授所说：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。” 这和戴尔 “经验之塔” 理论是相吻合的。

以笔者 20 年前在一所农村小学的一段教学经历为例。当时使用的五年级数学教科书中有这样一道题目：有一台播种机，作业宽度 1.8 米。用拖拉机牵引，按每小时 6 千米计算，每小时可以播种多少平方千米？20 年前的农村小学生，没有见过播种机，他们不理解题目中的 “作业宽度”，他们觉得 “作业” 就是指他们平时做的语文作文、数学作业，怎么 “作业” 还有宽度？这又说明了学生在日常生活中获得的经验也许还是欠准确与精致的，经验是一把 “双刃剑”，对学生的学习既有积极的正面作用，也有消极的负面作用。如果今天的数学教学中遇到这个问题，我们可以组织学生去实际观察播种机播种的场景，可以播放一段视频或制作多媒体课件进行演示，从而使问题得以解决。而我，基于当时农村小学的条件，给学生做了这样一个演示：先在黑板上用粉笔涂上一大片，然后手拿黑板揩:“这好比是播种机。黑板上涂的这一大片就是待播种的地。” 随即将黑板揩按在黑板上：“开始播种！” 黑板揩慢慢地前进，黑板上渐渐地出现了长方形空白。手指空白:“黑板揩的长相当于空白部分的宽度，也就是播种机的‘作业宽度’。” 教师在学生的笑声中完成了演示，学生在笑声中理解了 “作业宽度”。

由此可见，在教学中，教师要充分整合动手操作、板书演示等各种教学手段，适时运用现代教育技术，给学生提供和创造像 “观察性经验” 一类的替代性经验，让学生在观察、模仿、想象这些替代性经验中获得类似于亲临其境的实实在在的经历和体验，促进学生获得广泛的丰富的数学活动经验。

（作者单位：南京师范大学附属小学）

              —— 本文发表在《江苏教育》2011 年第 12 期

对 “基本活动经验” 内涵与形成的思考

▇ 刘加霞

积累 “基本活动经验” 是修订后的数学课程标准中提出的一个新学习目标。为什么提出该目标？什么是数学的 “基本活动经验”？在日常教学与学生的日常生活中如何让学生积累基本活动经验？这些问题都亟待思考与解决，结合具体的教学案例分析数学基本活动经验的内涵、性质以及探讨如何积累数学活动经验，是研究 “基本活动经验” 的重要途径。

一、积累 “案例”，丰富对 “基本活动经验” 的感性认识

积累并分析日常生活和教学中的案例，是了解数学基本活动经验的重要途径，只有在丰富的案例中才能看到数学基本活动经验的 “血肉”。

先看日常生活中的一个例子：“应该是 52 秒 09，不应该是 51 秒 69”

笔者的女儿在小学三年级时参加北京市 “育英杯” 游泳比赛（50 米蛙泳），参加这次比赛她应该取得好成绩（平时训练时成绩就很好）。但由于入水后她想看看自己是否犯规，就停顿、然后向后张望了几下。正是由于这 “几下张望”，她只获得了第七名，成绩是 51 秒 69。对此，她 “耿耿于怀”，比赛一结束就说 “妈妈，发奖肯定是发前十名的”。但我只能遗憾地告诉她 “体育比赛获奖名次只取前六名”，她很难过。隔了一天，她又说起了游泳比赛，对我说：“妈妈，他们肯定是弄错了，我的成绩应该是 52 秒 09，不应该是 51 秒 69 啊？”

一听到这个问题，我高兴地说：“宝贝，你提出的这个问题比你得第一名还让我高兴。是啊，怎么不是 52 秒 09 呢？我们问一问、查一查吧！”

接下来我们打电话问游泳教练这个问题，教练说：“秒和毫秒之间肯定不是 60 进制，毫秒表只取到 99，但不应该是 99 进制吧，可能是 1 秒 = 100 毫秒吧” 游泳教练没有给出明确答案。

后来我俩又一起上网查找，原来 1 秒 = 1000 毫秒，“秒” 后面相邻两个时间单位之间的进率都是 1000，甚至有这么小的时间单位：1 秒 = 1000000000000000 飞秒，我感到非常震惊，当然女儿的体验不像我这么强烈。

从数学活动经验积累的角度看，我和女儿的上述经历是否为我们积累了一定的经验？在积累数学活动经验时经历了哪些活动过程或思考过程甚至情感体验过程？我们两人的体验程度一样吗？

再看教学中的案例：到底搬了多少块砖？

北京小学高丽杰老师曾经执教过一节 “巧用乘法” 的拓展训练课，在教学中高老师设计了如下几个活动：（图略）

设计这些活动的价值是什么？在解决这些问题时学生积累了哪些数学活动经验？学生解决这些问题时并没有亲身参与动手操作，也能积累数学活动经验吗？

到底什么是数学活动经验？数学基础知识、基本技能以及基本思想还具有一定的 “客观性”，而数学活动经验的 “主观性” 更强，涉及个人的感受、感悟，具有典型的 “个体性”“内隐性” 特征。因此真正说清楚什么是 “数学活动经验” 有一定难度，但数学活动经验对个体的数学学习又起着至关重要的作用，我们又必须说一说，必须结合教学实践谈一谈。

 二、追问概念的内涵，提升对数学 “基本活动经验” 的理性认识

（一）数学 “基本活动经验” 是什么

显然理解数学 “基本活动经验” 的内涵与性质要了解两个核心概念：什么是 “经验”？什么是 “数学活动”？

经验属于哲学范畴的概念，从柏拉图、亚里斯多德时代一直到 18 世纪末 19 世纪初欧洲哲学的启蒙时代，哲学家们一直都在研究 “经验”。前者将 “经验” 与 “理性” 相对立，认为经验纯粹出自实践与行动，而理性则与此无关。后者则将理性知识建立在感觉经验基础之上，使经验具有了理智的含义与认知的含义。

近代强调经验在教育中的巨大作用的首推人物是美国著名哲学家教育学家约翰・杜威，他对教育与经验的看法影响我们对经验的认识。杜威认为：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。” 他认为经验有两重含义，一是经验的事物，另一是经验的过程，强调经验是人与环境主动的交互作用的过程，这一过程融合了情感、意志、思维、实验等理性和非理性因素。因此经验一是由实践得来的知识或技能，二是经历、体验，是一种缄默知识。

其实从 “经验” 的英文单词 “experience” 可以看出，谈 “经验” 一定要强调 “过程”，因为 “experience” 本身还有 “经历” 的意思，离开 “过程” 也就不存在 “经验”。在实际教学中，上述两重内涵密不可分，不存在独立于知识、技能的数学活动经验，经验的积累就是在获得这些基本知识技能培养数学能力的过程中积淀下来的体验和感受。而这两重意义的获得具体落实在 “数学活动” 中，那么，有哪些数学活动？

数学活动的内涵非常丰富，从操作与数学认知的层面看，数学活动主要包含如下几方面：数学的实验操作活动、算法规则的操作练习活动、数学的思维活动，以及关于数学的交流活动。张奠宙先生则认为基本的数学活动还应该包括 “模式直观”“解题经历”“数学想象力”“数学美学欣赏” 等。

因此，数学活动经验就是学生在经历上述数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知。与数学概念、技能等显性知识相比较，数学活动经验是一种缄默知识。它包含了对数学的情感、态度、价值观以及对数学美的体验，也包含了渗透于活动行为中的数学思考、数学观念、数学精神等，还包含处理数学对象的成功思维方法、方式等。

由上述分析可以看出，提出数学活动经验为目标的根本意图还是强调教育的 “过程性目标” 而不仅仅是 “结果性目标”。因为 “思想感悟与经验积累决定人的思维方法”，而思想感悟与经验积累是 “悟出来的，想出来的，而不是教会的”。

（二）数学 “基本活动经验” 是怎样形成的

美国学者科尔比认为：经验获得至少要经过：具体经验、反思性观察、抽象概括、主动实践这四个阶段，并在这四个阶段的循环过程完成。

20 世纪上半叶，戴尔提出了 “经验之塔” 理论，并在 20 世纪 60 年代末进一步完善了该理论。他认为经验就是学习的途径，一切学习应 “从经验中学习”，最好是从直接参与的动作性经验学习开始，以获得直接经验，当直接经验无法获得时，应该寻求观察的经验作为 “替代性经验” 以弥补、替代直接经验的不足。

布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。教学提供的数学活动应该尽可能遵从学生 “已有经验 —— 到直接经验 —— 再过渡到经验的符号性表象” 经验的获得过程。

概括上述几位研究者的观点可以看出，经验的获得需要 “领悟” 与 “转化”: 通过参与具体活动（也可以是替代性的视觉观察）直接领悟获得具体经验；然后对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，内化为能够理解的合乎逻辑的、抽象的经验；最后将获得的经验在解决新问题中进行证实和运用，重新领悟和创造新的经验。经验的积累就是在这样不断循环往复的连续过程中实现经验的创造、领悟与转化。

在小学数学教学中，学生获得经验的最重要途径是参与具体的活动，在具体活动中获得直接经验。但由于教学时间的限制，不可能事事都让学生 “亲力亲为”，教师提供的直观可视化的材料，学生对此进行观察、思考也可以获得替代性经验。在实际教学中为学生获得 “替代性经验” 而设计有意义有价值的数学活动是教师义不容辞的责任，“替代性经验” 与 “直接性经验” 同样重要！这是戴尔的 “经验之塔” 带给我们的最大收获。

三、深度分析 “案例”，提升对数学 “基本活动经验” 的理解力

对概念的 “理解力” 是指既知道这个概念的内涵和外延并能运用这个概念解决实际问题。对数学基本活动经验的理解决不能停留在 “理性的” 定义上，更重要的是在教学实践中如何落实。理性分析重要，即有了对什么是数学活动经验的追问以及如何积累数学活动经验的分析，更需要结合具体的教学案例进行深度分析，由此我们对数学 “基本活动经验” 的感受就不是那么抽象和难以把握。

广大读者可以对本文提出的两个案例做进一步的分析，我在此不做赘述，只提出两点思考：深度分析案例离不开对学科内容本质与结构的分析、离不开对学生学习数学的思维路径以及困难的分析。

（作者单位：北京教育学院）

—— 本文发表在《江苏教育》2011 年第 12 期

数学教学中如何体现积累活动经验目标

▇ 马云鹏

在数学教学中使学生逐步积累活动经验成为数学教育工作者越来越关心的问题。2001 年开始实施的数学课程标准实验稿，在课程目标中已经提到数学活动经验的问题，即将公布的数学课程标准修订稿更把基本活动经验与数学的基础知识、基本技能、基本思想并称为 “四基”，作为义务教育阶段数学课程的重要目标。可见，基本活动经验在数学课程与教学中的重要性。而对于第一线教师来说基本活动经验又显得陌生，教学中如何体现学生活动经验更觉得无从下手。对于数学活动经验的培养问题特别需要理论工作者和第一线教师共同探讨和研究。非常高兴地看到有许多第一线教师已经在实践中对这个问题进行了探索，积累了相关的教学经验，为我们提供进一步研究和思考问题的空间和话题。对于如何在教学中体现数学活动经验问题我没有深入地研究，只能谈谈个人的看法。

先看一个例子：

下表是某市一周之内最高气温，请将表中的信息绘制折线统计图。

6 月 21 日

6 月 22 日

6 月 23 日

6 月 24 日

6 月 25 日

最高气温 (℃)

26

27

27

26

28

这是小学数学中常见的问题，要求学生运用统计图的知识与方法表示数据。

如果把这个问题改编一下，变成 “记录一周之内每一天的气温，再提出相关的问题，并在班上讨论”。这两个问题的区别一目了然，对学生的要求有很大的不同。下面试从积累活动经验的角度做一些分析。

首先，活动经验积累要有活动，要注重过程。这里所说的活动，不是一般意义上的教学和解题活动，而是需要学生参与其中的数学探索活动，是在具体的问题情境中 “做” 数学的活动。一般来说，这种活动不是解决现成的数学问题，不是简单的对一个问题寻找答案的过程。前面的例子中第一个问题只是在解决一个问题，学生是在运用有关的知识和技能，可以达到知识技能的理解和巩固的作用。而改编后的问题，需要学生亲自搜集真实的数据，再把数据按恰当的方式记录和整理出来，从中找出有价值的信息，提出有意义的问题。这需要一个过程，在这个过程中，学生要用到数学的知识技能，更要根据各种实际情况做一些具体的事情，在这个做的过程中学生有了体验和经历。不同的学生可能用不同的方式方法，呈现出不同的样态，他们的经历也有所不同。

第二，活动经验要在不断做的过程中积累。“积累” 在这里是关键，不能指望有一两次这样的活动学生就有数学活动经验，要在教学过程中不断地为学生提供这样的机会。如果学生在学习不同内容的时候，都有机会做这样的活动，就会不断地积累相关的经验。这样的活动可以是在课内，也可以是课内与课外相结合；可以是独立完成，也可以合作解决。在数学课程的四个领域里都有机会为学生提供这样的活动。“综合与实践” 领域更是学生积累活动经验的很好的载体。

第三，活动经验所达到的是过程性目标，不能用常规的方式评价。一般来说，常规的纸笔测验更适合于考查知识与技能的掌握情况，对活动经验的考察不能简单地用解决常规问题的方式进行。上面的第一个问题是在测试中运用的，而第二个改编后的问题，就需要采用活动记录，课堂交流，小型调查报告等方式。重点在于考查学生的参与状况与学习过程，同时还要综合考虑不同学段学生的能力水平。

以上只是对活动经验问题的一点思考，难免挂一漏万。希望能引起老师们的讨论，并提供更加鲜活的教学案例，使这个问题有更深入的研究。

（作者单位：东北师范大学教育科学学院）

—— 本文发表在《江苏教育》2011 年第 12 期

关于 “数学基本活动经验”

张奠宙

去年 12 月在澳门听东北师范大学校长史宁中教授演讲，其中提到要把数学教学中的 “双基” 发展为 “四基”，即除了 “基本数学知识” 和 “数学基本技能” 之外，加上 “数学基本思想”，以及 “数学基本活动经验”。这是一个很有意义的建议。

新加坡的 “基本数学思想” 我们已经提倡多年，现已成为中国数学教育的特色之一。那么，什么是 “基本数学活动经验” 呢？如何加以界定？似乎还需要做一个基础性的研究。

数学经验大致可以分为：日常生活中的数学经验，社会科学文化情境中的数学经验，以及从事纯粹数学活动积累的数学经验。

记得已故著名数学教育家余元希先生说过，可以直接应用于日常生活的数学，不过是 “扩大了的算术”。至于中学的其他数学修养，都是为了适应现代社会的文化环境、科学精神、思维训练等所必须具备的文化素养。但是，基本数学活动是否还包括 “模式直观”、“解题经历”/“数学想象力”、“数学美学欣赏” 等能力，值得探讨。

此外，一个突出的问题是，“前三基” 都是客观的数学问题，可以定出一般的要求，但是数学活动经验则是因人而异，涉及个人的感受、感悟数学的水平。如何制定人人适合的基本要求，似乎也需探讨。

总之，一个新的课题放在我们面前，不妨下点力气加以研究。

史宁中

　　（东北师范大学 　长春 　130024）

　　编者按 　史宁中教授是数理统计学家。自 1998 年担任东北师范大学校长后，他对中小学教育做过深入的思考，并于 2005 年开始主持教育部《九年义务教育数学课程标准》的修订工作。 史校长将学校的主要培养目标定位于教师的职前教育，主张数学教师的培养要注重专业课的学习，将教育理念渗透到课程当中。目前东北师大数学系的毕业生遍布于全国各地的中学，包括各大城市的许多重点中学，这件事情成为他的骄傲。本文根据史校长 4 月 14 日在宁波数学教育高级研修班上的报告记录和 4 月 26 日访问北京师范大学的座谈记录整理而成。

　　1、制定《数学课程标准》的目的

　　为什么要制定课程标准呢 ？为什么要进行如此大规模的课程与教学改革呢？有的人说是要解决应试教育的问题，有人说要减轻学生的负担，还有人说要激发学生学习的兴趣等等， 有各种各样的理由。 但是我想这些都不是根本。 教育的好坏取决于两条：第一，是不是有利于学生的发展；第二，是不是有利于国家的发展。如果教育既有利于学生的发展又有利于国家的发展，即便辛苦一点也没什么了不起的。

　　我之所以说这些，是因为在讨论问题时应当遵循一个原则，也就是在考虑任何问题时应该有个很好的出发点，这个出发点应当是大家公认的标准。

　　关于学生发展的需要我不想谈的更多，过去的教育是一种专业人才的培养，专业人才的培养适应于计划经济。但是对市场经济来说，学生毕业之后的工作、求职往往是会变化的， 而且要更多地尊重本人专业的志向，因此要采用自主发展的人才培养模式。

　　第二就是国家发展的需要。 现在国家最需要的是创新人才，为什么呢 ？因为中国的经济已经得到了快速的发展，要保持这个速度发展，创新是很重要的。 新的思想、新的工艺、新的技术很重要，所以创新人才的培养是国家重要的发展战略。

　　创新人才应该在基础教育阶段开始培养，这个想法已经被国家采用了。 过去大家误认为创新型人才都是在大学或者是工作之后才培养的，其实不然。 为什么呢 ？创新最起码依赖于三个条件，创新意识、创新能力和创新机遇。 事实上创新意识、甚至创新能力都是在基础教育阶段培养。 一个在 18 岁之前一个问题都没有认真思考过的孩子是不可能成为创新型人才的。 所以在基础教育阶段应该培养学生的创新意识和创新能力，这是我们研制课程标准和未来教学的最基本的出发点。

　　2 、创新能力的基础

　　创新能力依赖于三方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要。 关于 “知识的掌握”，我国的中小学数学教育是没有问题的；关于 “经验的积累”， 大概还差得很多； 关于 “思维的训练”，我们做得也不够，只能打五十分。 那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作。 我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新，帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验，没有这样的意识。

　　我今天主要谈一谈思维训练。 思维训练主要靠两个能力，一个是演绎能力，一个是归纳能力。 爱因斯坦说过：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中） ，以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时代， 特别是工业革命以后） .” 前者指的是演绎能力，后者指的是归纳的能力。

　　3、我国教育的现状

　　回忆我们的数学教育，特别是 50 年代的数学教育，我们强调数学的双基。双基主要是基础知识和基本技能。 基础知识本质上是概念的记忆和命题的理解，要求基础知识扎实；还要求基本技能，主要是证明的技能和运算的技能；要求熟练。 这是我们当时整个教育的状况，也就是说我国的数学教育主要关注的是演绎能力的培养。关于这一点， 杨振宁先生深有体会。 他在《我的生平》中说 “：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，在美国学到了归纳能力。” 不仅仅是杨振宁先生，许多留学生都有同感，不管他们是否作出了卓越的成绩， 他们的感受是一样的。 事实上，我国古代传统数学的基础是归纳推理，因为在古代中国根本就没有演绎推理， 一直是归纳、计算。但是现在归纳少了，演绎反而多了。 演绎从康熙时代翻译《几何原本》开始到现在也不过几百年历史，但是现在却占了主导。 为什么会出现这种情况 ？我想大概演绎和中国上千年的科举考试关系密切。因为科举要求的是基本功扎实， 知识记忆的牢靠和八股文的写作。 演绎方法与此有相似之处。

　　现在，很多中学提出来，数学问题应该 “一看就会、一做就对”。 怎么能这样呢 ？不经过思考的不是数学，数学不是技能训练。 一定程度的熟练是必要的，但是过分强调就走向反面。 所以我这次跟教育部很认真地提出来，要不然增加考试时间，要不然减少考试题目。 只要学生经过思考能够答出就是好样的。

　　演绎能力是能够熟练使用演绎推理的能力。 演绎推理来源于什么呢 ？来源于亚里士多德。 当时的古希腊非常盛行辩论，在辩论过程中， 亚里士多德发现两个事情需要清楚， 第一， 大家讨论问题得有一个脱离逻辑背景的公认前提；第二， 在讨论过程中必须有一个大家都认为可行的推理的办法，然后再来推理。亚里士多德对这个进行了总结， 并将其写入《工具论》这本书里。 他提出了著名的三段论，即大前提、小前提和结论。 这个方面他有一个非常重要的推理的模式，这个模式之一就是：

　　凡人都会死，苏格拉底是人，苏格拉底会死。

　　凡人都会死是大前提， 苏格拉底是人是小前提，苏格拉底会死是结论。 这是一种标准的三段论模式。这是一种前提和结论之间有必然性联系的推理，是基于概念、按照规则进行的一种推理，是由一般到特殊的推理。 欧几里德把这个思想成功地用到了几何学的研究上， 创立了几何公理化体系，即欧氏几何。

　　欧几里德几何是现代数学推理的典范，甚至是开源。 它的演绎推理是基于公理、定义和符号的，按照规定的法则进行命题的证明或者公式的推导。从这个意义上来说，计算也是一种演绎的推理， 因为计算也是对符号在规定的法则下进行的一种推理。其基本推理模式是这样的：已知 A 求证 B ，A 和 B 都是确定的命题，是由确定的命题到确定的命题的一种推理。 我们往往认为几何证明是数学的本质， 这是不正确的。克莱因说，推理本身是个工具。逻辑可以是数学的标准和约定，但不是它的本质。演绎推理的主要功能在于验证结论而不在于发现结论，由一般到特殊的推理本质上在于验证结论。

　　前些年我写了篇文章， 提出个问题：数学到底是发明的还是发现的 ？事实上，在一个体系之下作出任何结果都是显然的。为什么呢 ？因为这个结果在体系中必然存在的，只是你发现它而已。所以体系建立有好处也有坏处。它的好处在于讲课可以很规范，坏处在于任何东西都是显然的。所以忙于建立一个体系不是什么好的事情。

4、还缺少什么

　　那么我们还缺少什么呢 ？缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的能力。 这两个能力很重要，是创新的基础。前者有利于创造新产品，形成新工艺；后者有利于发现新理论。

　　拉普拉斯说，发现真理的主要工具是归纳和类比。 庞加莱说，数学推理的性质是什么 ？真是我们通常所认为的演绎吗？归纳能力是能够熟练使用归纳推理的能力。 现代归纳推理来源于培根，他在《新工具论》中谈到，就 “帮助人们寻求真理” 而言，三段论的 “坏作用多于好作用”。黑格尔也有类似的说法。数学在本质上研究的是关系（各种关系） ，最难研究的是因果关系。 数学这些年来最核心的研究也是因果关系，因果关系几乎无法用式子表达，但可以研究其内涵。休谟利用归纳和类比思想研究了因果关系，虽没完全搞清楚因果关系， 但是对因果关系研究做出了很大的贡献，而这已经成为现代科学的动力。 穆尔在他的著作《论自由》中认真地总结了归纳推理。归纳推理十分庞杂， 就方法而言， 包括枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析。 与演绎推理相反，归纳推理是一种从特殊到一般的推理。穆尔说过 “，这句话不是很确实的，归纳推理是一种从特殊到范围更广的推理。” 归纳推理主要包括两种方法，归纳法和类比法。借助归纳推理可以帮助学生培养预测结果和探究的能力，这是演绎推理不可比拟的， 因此从方法、思维角度来说，过去双基教育缺少了对归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新人才不利。

　　5 、如何培养归纳能力

　　现在的教育本质上是知识的教育，考察的是该教的内容是否教了，教了的知识学生是否掌握了。这样的教育是不够的。我们必须知道教育应该是以人为本的教育，要考虑学生的全面发展。 不仅考虑学生知识的掌握，还要考虑身心的发展， 要考虑能力、思维的教育。 所以新课标提出的三维目标很重要，除了知识能力的考察外，还要考察过程的目标、情感态度的目标。

　　演绎推理表现为一种知识，归纳推理则表现为一种智慧。 知识和智慧有什么不同呢 ？我在一篇文章① 中谈到，“知识在本质上是一种结果，可能是经验的结果，也可能是思考的结果。” 单纯追求知识的教育是一种结果的教育，这种教育要走在时代的前面是不可能的。“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程中。”“智慧表现于对问题的处理，对危难的应付， 对实质的思考以及实验的技巧等等。” 归纳能力是建立在实践的基础上的，更多地依赖于过程，依赖于经验的积累。

　　要培养一个人的创新能力，必须注重过程， 启发思考，总结经验，教会反思。“过程的教育” 不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。而是学生探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等等。 讨论知识产生的过程是必要的，但是不可能把知识产生过程都重复一遍，因此，重要的是加深对问题本身的理解，并且能够抓住问题的本质，启发新的思考。 比如函数，现在函数的定义非常好，但是当初并不是这样定义的。 当初 “function” 是莱布尼兹给出的，他当时定义的只是图形与数量的对应。 虽然他的定义是有问题的，但是他抓住了函数最本质的东西。 虽然以后定义改的非常好了，本质却看不见了。 一个学者或发明家得到的最后结论可能是非常完美，但头脑中思考的是非常简洁的东西。我在教研究生时，总是让学生先读懂华丽文章的背后思考的东西是什么、思考的主线是什么、思考的核心是什么， 这个读出来才能发明创造， 把根本的东西吃透了才能得到新的东西。现在，数学课堂上讨论的很热闹，讨论时是一锅粥，讨论完了还是一锅粥。 为什么呢 ？老师必须帮学生总结，不是总结结论对还是错， 而是讨论过程中孩子的思考对还是不对，思考的是符合常理还是不符合常理。老师帮助孩子反思总结，积累经验，这是我们的目的。 我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历，比如智慧。 智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练，自己去感悟，去积累去反思。

　　下面我举例说明。

　　先讲分类。 分类是很重要的。 可以给小学三年级以下的学生出这样的题目：自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和分类的结果。分类有个基本的原则，能把类分出来，分类之后得到的结果和标准符合就行， 无所谓对错。 分类在数学中是很重要的， 一个好的分类必须抓住事物的本质特征。 对于这样的问题，答案是无所谓对错的，只要分类的结果与分类的标准一致就可以。这种问题可以让学生体会到， 标准是可以自己定的，这种思维是创新的根本。 如果所有的发明创造都是在别人的标准下的发明创造，这是要吃亏的，我们要突破这些。 所以从小要教给孩子们：数据可以自己获取，标准可以自己定，结论也可以自己给。

　　下面是北大附中张思明老师给出的例子：

　　如图所示， 桌子上散落着各式各样的扣子， 请同学们想一想能把这些扣子分成几类 ？分类的标准是什么？

　　这个问题难一些， 可以按照扣子的颜色分类，也可以按照扣子的眼数或形状分类， 让孩子们来分。不管开始是怎么分的，这样分下去，分到一定程度后，结果是一样的。让学生知道，可以从不同角度思考问题，这都是归纳。 分类基本思想：从一个大前提出发分出两类，再细分，标准逐渐加细，但最后结果一样。

　　到了初中阶段，问题就可以更复杂了：

　　某电视台希望了解本地区居民喜欢的电视节目的类型，请同学帮助设计一个调查方案。

　　这个问题就十分复杂了，不同年龄段的人喜欢的节目不同，光知道这个还不行， 还得知道不同年龄段的人数占总人口的比例；涉及到不同文化背景及其所占比例；涉及到不同类型的人看电视的时间；涉及到需要调查的人数等等。 在做这个调查之前要把方案设计得很周密， 分类分得很仔细，把这个特性抓住。 但是，这个问题的核心还是在于标准和结果的关系。学生通过类似这样的贯穿始终的训练，是能够逐渐领悟归纳的思想的。

　　下面说归纳。 归纳这种思想方法与分类有关，归纳的基本思路是：在一类事物中，如果我们考察的所有事物都有性质 A ，则认为这类事物都具有性质 A.

　　归纳思想在代数的研究中体现得非常多。 比如高斯曾说，在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。欧拉则认为，今天人们所知道的数的性质， 几乎都是由观察所发现的 …… 这类知识是通常所说的用归纳所获得的。 包括哥德巴赫猜想、费尔马大定理。下面举一个代数的例子：

　　在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共 16 个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有 60 个，有几个椅子和几个凳子？

　　这是 “鸡兔同笼” 的问题的变形， 但是椅子和凳子相差一条腿，问题相对简单了一些。 老师在教的时候要灵活一些， 不要显得太聪明，要让学生思考。对于低年级学生，可以让学生列表尝试：

　　这个方法看起来很笨拙， 实际上很好， 因为这是归纳。 只要掌握了这种方法， 孩子们碰到新问题就会这样来思考了。不要一开始就讲道理， 孩子就没有时间思考了。到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程

　　再比如， 级数求和（数学归纳法）

　　虽然可以用数学归纳法证明，但得事先知道结论，必须先拿数试一试，然后再用数学归纳法。

　　B（n） / A （n）= （2 n + 1） / 3

　　B（n）= A （n）（2 n + 1）/ 3 = n（n + 1）（2 n + 1）/ 6

　　对于平方和的情况，我们用 B（n） 除以 A（n） 试一试，就会发现一组比较有规律的数，我们可以猜测一般的结果，然后用数学归纳法验证。

　　对于立方和的情况，试一下，发现更简单。 事实上通过这种方法可以得到更一般的结果

　　对于 k 次方和的情形，我们猜测是一个 的式子，再通过代入 n 个数求出系数，从而确定这个方程。

　　看看几何中的例子，观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱锥，我们发现

　　多面体的欧拉公式：

　　F（面） + V （顶） = E（棱） + 2.

　　再谈类比。 类比是指，一个事物具有性质 A、B、C，就有结论 D；还有一个事物也具有性质 A 、B 、C，也有结论 D. 又有一个事物也具有性质 A、B、C，它是否也有结论 D 呢 ？这与归纳有所不同。 类比主要用在几何里。 开普勒说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不容忽视的。”

　　比如， 平面上三条直线可以形成一个封闭图形；空间上四个面可以形成一个封闭图形。 还有庞加莱猜想。

　　这些也许就是 “过程的教育”，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲道理分析出答案。 通过 “道理” 直接给出公式固然是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有效手段，特别是能够帮助学生更直观地理解 “道理”。 教师在讲课的时候不能太聪明，教师可以与学生一起探索尝试，这是归纳推理的手法，也是我们过去的数学教育忽视的地方。

6、如何改变标准

　　我想基础知识、基本技能还是必要的， 在此前提下还要加上基本思想和基本活动经验。 希望能够继续保持促进学生理解数学的基本知识，训练学生掌握数学的基本技能之外，要启发学生领会数学的基本思想，积累数学活动的基本经验。教学时间是有限的，如果加上新的东西就必须对老的东西进行改造，要节省出时间和空间。 首先，我们要去掉一些形式化的东西，应当清楚：形式不等于逻辑。 过分强调形式化不利于学生思考，这种方法会把数学搞歪了，就会走向八股。形式化适用于判卷，对判断学生是不是清楚地理解了知识是有利的，但不适于学生思考。 过分地强调形式就把逻辑的本身掩盖了。 其次，我们还应当清楚技巧不等于技能，现在反复训练的是技巧而不是技能。技巧是对一个具体例子或很窄的范围才适用的方法。 技能是能举一反三的，而技巧是个案的。 我们现在训练过多的是技巧， 学生因此很累。 比如绝对值中出现字母的情况，我们的老师往往会把问题出的很难，最后不知道是在考察绝对值还是考察方程的解。 还有韦达定理。 我们需要考的是技能而不是技巧。

　　7、关于基本思想

　　“基本思想” 主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线， 是最上位的思想。 演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的， 通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想， 但最上位的思想还是演绎和归纳。 之所以用 “基本思想” 而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。 每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。 这里所说的思想，是大的思想， 是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。

　　结束语

　　如果在我国中小学数学教育中， 一方面保持 “数学双基教学” 这个合理的内核，一方面添加 “基本思想” 和 “基本活动经验”，出现既有 “演绎能力” 又有 “归纳能力” 的培养模式，就必将会出现 “外国没有的我们有、外国有的我们也有” 的局面，到了那一天，我们就能自豪地说，我国的基础教育领先于世界。（根据录音整理，已经本人核对）

对应 “基本活动经验” 的提出，反思你的教学，举一个教学片断说明落实（或没有体现）“基本活动经验”【新世纪小学数学 qq 群研讨整理：陈春艳整理】

高研班・虞文辉 (348699671) 20:09:25

在平时的思考中接触到小学数学教学的本质，其精髓在新课标中昭然若揭，这更鼓励我们的探索和研究，而新课标中提出的 “基本数学思想”“基本活动经验”，也正解决了当前小学数学课堂教学的发展中的一些问题，比如：无数学味道之操作活动的泛滥；重视活动的活跃气氛忽略活动的数学本质，等等。

下面结合一些例子，谈谈自己对 “基本活动经验” 思考。

举例一，四年级下册 “三角形内角和”，教师通常把注意力集中在去找方法得出 “三角形内角和是 180°” 这个结论，根据 “基本活动经验”，我们来思考，这样的课，属于 “探索与发现” 类型，那么如何 “探索与发现” 呢？数学的活动应该是什么样的呢？“设疑 — 猜测 --（初步探索：量，算）”— 初步结论 — 验证结论（拼）-- 解释应用”，如果能够在这样的活动过程中培养学生的思考，这节课就会给学生不同的活动体验，学生也会得到积极的数学的活动经验，那么这种活动经验，就可以迁移到四边形的内角和或者更多的奥秘的探索发现中去。

举例二，五年级下册 “长方体的认识”，通常的教学都是把注意力集中在观察、测量、剪拼活动来发现和总结长方体的特征，根据 “基本活动经验” 我们来思考，这样的课属于概念认知课中的特征抽象类型，那么，这样的课，它的数学活动应该是什么样的呢？“设疑 — 猜测（推测：研究什么：可能有什么特征）”— 初步结论（测、量、比较等直观动手活动）-- 验证结论（分析、推理、判断、归纳）-- 解释应用”，在这样的活动中培养学生的思考，培养学生在直观建构的基础上发展空间想象和推理能力，学生的数学活动经验就会得到积极的积累。

高研班 郑彦伟 murphy1980@[qq.com](https://bbs.xsj21.com/member/qq.com>) 20:10:38

基本活动经验要体现出它的主体性和实践性，教学中老师如何通过运用操作性的教具和学具，通过实物操作、观察、体验来建立对数学的感觉，形成对学习对象的数学经验。

举例三，五年级下册 “容积单位”，教学中教师通常结合生活中的例子直接解释 “液体的体积一般用升和毫升做单位”，然后告诉 “从里面量棱长 1 立方分米的立方体容积所容纳的液体的体积就是 1 升”，相较于传统教学，现在教学中出现的亮点就是估测，知道 1 升和 1 毫升的概念后，出示不同的盒子和瓶子，感受它们的大小，使学生建立空间认知。如果从 “基本活动经验” 来思考，这样的课可以如何设计和组织呢？“设疑（巩固体积和容积的意义）— 猜测（引出计量液体一般用的单位：立方米、升和毫升；产生新的疑问：1 升和 1 毫升究竟是多少？）-- 定义（体会计量单位的统一的必要，了解其意义，了解其与立方分米和立方厘米的关系）-- 估测（建立对 1 升和 1 毫升的空间认知；知道计量液体还有其他的）”，在 “估测” 环节，也需要重视 “基本活动经验” 的积累，可以这样来处理，估计出一个范围，即界定出一个上限和一个下限，确定一个范围，这样的活动能真正体现估计的价值和意义，然后，再体会继续用更小的单位来计量（估计），使估计值更接近一个准确值，渗透极限的数学思想，这样的学习对学生是非常有意义的。

以上三个例子，是近期的一个浅思。

李海东 (976569714) 20:11:50

刘加霞老师举个一个例子：她的女儿在小学三年级时参加北京市 “育英杯” 游泳比赛（50 米蛙泳），参加这次比赛她应该取得好成绩（平时训练时成绩就很好）。但由于入水后她想看看自己是否犯规，就停顿、然后向后张望了几下。正是由于这 “几下张望”，她只获得了第七名，成绩是 51 秒 69。对此，她 “耿耿于怀”，比赛一结束就说 “妈妈，发奖肯定是发前十名的”。但我只能遗憾地告诉她 “体育比赛获奖名次只取前六名”，她很难过。隔了一天，她又说起了游泳比赛，对我说：“妈妈，他们肯定是弄错了，我的成绩应该是 52 秒 09，不应该是 51 秒 69 啊？” 上网查找，原来 1 秒 = 1000 毫秒，“秒” 后面相邻两个时间单位之间的进率都是 1000，甚至有这么小的时间单位：1 秒 = 1000000000000000 飞秒，我感到非常震惊，当然女儿的体验不像我这么强烈。从数学活动经验积累的角度看，我和女儿的上述经历是否为我们积累了一定的经验？在积累数学活动经验时经历了哪些活动过程或思考过程甚至情感体验过程？我们两人的体验程度一样吗？

山西 - 任巧珍 (763309578) 20:13:03

一个教学经历给我们的启发：当时使用的五年级数学教科书中有这样一道题目：有一台播种机，作业宽度 1.8 米。用拖拉机牵引，按每小时 6 千米计算，每小时可以播种多少平方千米？20 年前的农村小学生，没有见过播种机，他们不理解题目中的 “作业宽度”，他们觉得 “作业” 就是指他们平时做的语文作文、数学作业，怎么 “作业” 还有宽度？这又说明了学生在日常生活中获得的经验也许还是欠准确与精致的，经验是一把 “双刃剑”，对学生的学习既有积极的正面作用，也有消极的负面作用。如果今天的数学教学中遇到这个问题，我们可以组织学生去实际观察播种机播种的场景，可以播放一段视频或制作多媒体课件进行演示，从而使问题得以解决。而我，基于当时农村小学的条件，给学生做了这样一个演示：先在黑板上用粉笔涂上一大片，然后手拿黑板揩:“这好比是播种机。黑板上涂的这一大片就是待播种的地。” 随即将黑板揩按在黑板上：“开始播种！” 黑板揩慢慢地前进，黑板上渐渐地出现了长方形空白。手指空白:“黑板揩的长相当于空白部分的宽度，也就是播种机的‘作业宽度’。” 教师在学生的笑声中完成了演示，学生在笑声中理解了 “作业宽度”。

高研班 王文森 (499172979) 20:16:20

1．有计划地想问题。这个计划首先要明确思考问题的出发点。比如分扣子活动，有黄颜色、绿颜色等，有四个眼儿、有两个眼儿等，有圆的、方的等，在分扣子之前要定一个分类的标准，这就是思考的出发点。

为了帮助一线老师明白这个道理，史校长特别指出 “我发现我在写的时候是跟那些老师在对话，我在告诉他，你这个课应该这么讲。” 仔细阅读《数学课程标准》2011 版 “例 21 图形分类” 的说明，确实指导得十分到位。

（1）教师提出问题，引导学生讨论分类标准。可以启发学生这样思考：先关注一个指标作为分类标准，如先关注颜色；在此基础上，再进一步关注两个指标作为分类标准，如进一步关注颜色和形状；最后再关注颜色、形状和扣眼数。这样可以避免出现混乱。

（2）根据已经讨论确定的分类标准对学生分组，引导学生实际操作，合作完成计数；各小组呈现统计结果。

（3）教师组织学生报告统计结果，引导学生作出评价，帮助学生整理思路。

如果我们老师都能够这样指导学生去分类，其实就是帮助孩子们 “有计划地想问题”。

2．想问题要全面和仔细。比如新年晚会买水果的活动，要启发学生思考既然班会要买水果，就不能光凭个人的喜好来决定，而是要启发学生报告愿意吃什么水果。如果一人一个就按个人喜欢的买就行了，如果大家集体买的话，就要统计后按喜欢多的就多买点，喜欢少的就少买点，就是要这样全面地仔细地想问题。

高研班・虞文辉 (348699671) 20:16:48

孔凡哲教授认为：““基本活动经验” 是指 “在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”

桐城 姜向阳 (347930936) 20:16:50

用科学的方法解决问题明

3．按照一定的模式来思考，这是会想问题的最好状态。如操场上原来有 3 个孩子，后来又来了一些同学，2 个人一排，一共 4 排，问现在操场上一共有多少个同学？解答这个问题时，有些小学老师直接列式子 3+2×4，这样的话学生就不能理解为什么先乘除后加减了。而应该启发学生思考操场里原来有的同学加上后来的同学就是一共有多少位同学，这就叫做从头思考问题，或者以模式的形式思考问题。孩子们如果养成这个习惯，做题就不太会错了。

高研班 郑彦伟 murphy1980@[qq.com](https://bbs.xsj21.com/member/qq.com>) 20:19:00

三角形内角和一课，可以让学生动手去拼，把内角分别剪下来，拼成一个平角。

主持人 毕晓光 (24119640) 20:35:12

还是通过大家课堂实践中来理解吧！下面大家看 第五个问题：对应 “基本活动经验” 的提出，反思你的教学，举一个教学片断说明落实（或没有体现）“基本活动经验”。

高研班 - 孙枚 (1528681058) 20:35:13

有没有像基础知识那样相对清晰的界定，便于教师可以在课堂去落实，引导学生积累

高研班 王文森 (499172979) 20:35:14

数学教学设计中有一个基本问题就是教学策略选择的问题。在这一个问题中就涉及到 “数学活动” 的设计，重视 “数学活动” 的设计，“基本活动经验” 就找到落脚点了。

高研班・虞文辉 (348699671) 20:35:14

前面，我发布的张奠宙教授的言论，就有了一些界定了，我们可以好好学习

衡菊芳 (23280567) 20:35:22

目前，也在操作 —— 结论来自老师的总结，这样的课堂还很多。

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:35:28

作为国家的课程标准，还是明确的好

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:35:51

否则，指导性就得大打折扣

高研班 - 孙枚 (1528681058) 20:36:06

要想把课表落实在课堂上，的确要思考什么是基本活动经验

高研班・虞文辉 (348699671) 20:36:17

课程标准，完成课程标准的任务，不要赋予它太多的任务。还是建议，大家好好学学新课标

主持人 毕晓光 (24119640) 20:36:59

大家可以针对第四个问题和第五个问题进行互动交流！！

桐城 姜向阳 (347930936) 20:37:12

现在的数学课已经是被赋予了太多的任务

高研班・虞文辉 (348699671) 20:37:11

不要 “没有学习” 的去误解

高研班 - 孙枚 (1528681058) 20:37:21

没有想赋予太多，从课标到课堂还有很长的距离

高研班 - 孙枚 (1528681058) 20:37:35

这是需要我们去探讨的

高研班・虞文辉 (348699671) 20:37:42

课标的实施是教师，教师很关键

高研班 - 孙枚 (1528681058) 20:38:23

《小数大小比较》，当学生掌握了比较小数大小的基本方法后，让学生解决下面的问题。

在方格里填上合适的数。

0.□7＜0.6 1.□＜□.2 □.□＜1.□ 0.□1＜0.1□

学生在解决的过程中，发现首先要确定最高位，再依次填写后面的数字。

□.□＜1.□，当个位填 0 时，两个数的十分位可以填任意数字；当个位填 1 时，第一个数的十分位要小于第二个数的十分位。

主持人 毕晓光 (24119640) 20:38:30

课标是弄清楚学生应该到哪里去？课堂是弄清楚学生怎样到那里！！

高研班・虞文辉 (348699671) 20:38:38

我们需要做的，就是来研究课标，弄清楚一些概念，来给老师们。

高研班 - 孙枚 (1528681058) 20:38:43

这应该算学生在解决问题的经验吧

碧水荷 (754301837) 20:38:54

很希望听到各位专家站在一线教师的角度去解读，为我们指导！

主持人 毕晓光 (24119640) 20:39:27

课标是弄清楚学生应该到哪里去？课堂是弄清楚学生怎样到那里？

高研班・高艳玲 (38634259) 20:40:13

在教学过程中，我们要引导学生经历反思推广的过程，积累情感、思想性经验。

数学活动经验是属于学生自己的，带有明显的个性特征，就学习群体而言，数学活动经验又具有多样性，因此，数学活动经验的积累需要学生的自我反思，也需要与同伴展开积极的交流。

教学《平行四边形面积的计算》，在总结环节中，我提问：这节课我们研究了平行四边形面积的计算，回忆一下，我们是怎样研究的，中间你有没有遇到哪些困难，又是怎样克服的？学生纷纷发言：我一开始是用数方格的方法计算面积，但太繁了，后来就觉得应该研究更简便的方法；我一眼就看出了从平行四边形中剪下一个三角形，平移到另一边，就转化成长方形，这样通过长方形面积得出平行四边形面积就方便多了；只要沿着高剪开就能转化为长方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形；我把平行四边形转化成长方彤后，误以为长方形的长和宽分别相当于平行四边形的两条边，后来在同桌的帮助下发现错了，看来以后学习中还是要细心观察。接着，我用课件演示将平行四边形转化成长方形的过程，提出问题：下节课我们学习三角形的面积计算，你准备怎么研究？

我们的教学目标不能仅限于一节课，应有长远的眼光，立足使学生终身受益。在平时的数学学习过程中，要引导学生检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现、解决问题的，运用了哪些基本的思考方法和技能技巧，有什么好的经验…… 使学生对数学的理解实现从量的积累到质的飞跃，这种经历生成的思想经验才是最具价值的同时，越是复杂的数学活动越需要积极的情感意志相伴，这种体验性成分也是学生基本数学活动经验不可或缺的组成部分，它对于良好人格的塑造具有不可替代的作用。

湖北潜江何雄燕 hexionyn72@[hotmail.com](https://bbs.xsj21.com/member/hotmail.com>) 20:41:18

请问 100 以内数的认识，数杂乱的铅笔中，哪些是生活的经验？哪些是基本的数学活动经验？

高研班 - 孙枚 (1528681058) 20:42:01

课标说：“例如，分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。” 就是经验

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:42:01

今天我上了展开与折叠一课，让孩子在自我操作，裁剪正方体的活动中，探索正方体展开图的种类，以及在展开图中，相对面的位置关系。在参与活动的过程中，学生感悟相对面的位置关系，通过与同学交流，比较展开图不同的特点，体验有序的思维，像这样的活动，就是在积累探索新问题的经验，积累一些数学的方法：分类、比较。还有和同学合作的情感体验。这些都是数学活动的经验。

武秀华 (407458012) 20:45:26

湖北潜江何雄燕 hexionyn72@[hotmail.com](https://bbs.xsj21.com/member/hotmail.com>) 20:41:18

请问 100 以内数的认识，数杂乱的铅笔中，哪些是生活的经验？哪些是基本的数学活动经验？

学生能够一一对应的数物对应。这是原有的经验。基本的数学活动经验需要我们关注的有往后数，和加法联系起来，几个几个的数与乘法联系起来。甚至数排等等。这些数与数学思维紧密联系起来。

高研班 — 谢玉娓 (844646029) 20:46:29

能够 10 根 10 根捆成一捆，认识了新的计数单位，也应是基本的数学活动经验吧

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:46:53

但是这样的参与活动，经历数学知识形成的全过程，需要时间。本来讲授一节课可以完成，但是为了孩子体验深刻，展开与折叠，我得上两节课。第一节探寻展开图的种类。第二节探索相对面位置关系，想象与动手操作展开与折叠，时间就用得多了

高研班・虞文辉 (348699671) 20:47:16

数数中的 “数学活动”——

认识 3 和 4，从数数开始，体会一个物品与一个数对应，渗透一一对应思想；从数数开始，体会数的基数含义，“数一数，一共有几个？”；从数数开始，体会数的序数含义，“小朋友排队，指指排在第 3 的小朋友是哪一个？”；从数数开始，体会自然数的排列规律，“2 后面是？4 前面是？多几个 “少几个？”；从数数开始，体会数的组成，“2 个苹果填上一个是 3 个”；从数数开始，体会运算的意义，“2 块积木，再拿来 1 块，是几块？拿走 1 块剩几块？”；从数数开始，体会集合思想，“3 个苹果，3 个小朋友，3 个圆片，都是 3。”；从数数开始，体会数学化、暨符号化、暨从直观到抽象的过程，“4 个小桶，4 个圆，用‘4’来表示。”

武秀华 (407458012) 20:48:01

继续前面的讨论：在活动过程中，关注，我怎么数（有计划），点数，不遗漏，培养仔细全面的思考。在物品多了以后，可以不再一个一个的数，而是，二个，或者五个，包括十个一捆等的数法。

武秀华 (407458012) 20:49:01

继续 —— 当学生有了这些思考后，我们认为他在这个过程中。就积累了一定的数学活动经验。

高研班 — 谢玉娓 (844646029) 20:49:41

同意武老师的观点

湖北潜江何雄燕 hexionyn72@[hotmail.com](https://bbs.xsj21.com/member/hotmail.com>) 20:50:18

那什么是基本的数学活动经验呢？基本？

我玉我儒 (962607966) 20:50:28

我也同意武老师的观点

高研班・虞文辉 (348699671) 20:51:07

数数中的 “数学活动”——

元角分与小数，数数，数纸币，1 分 1 分的数，到 10 分，是？--1 角 1 角的数，到 10 角，是？-- 体会：小数部分和整数一样，满十进一，体会位值制；小数的加法；-- 可以减少的数，体会：位值制和小数的减法

武秀华 (407458012) 20:51:27

万老师关于展开与折叠一课种类的讨论我不是很赞同。个人觉得就让学生想。不要总结规律。培养空间想像能力。培养学生的空间观念。

高研班・虞文辉 (348699671) 20:51:54

武老师说的活动经验，很单纯。

高研班王云峰 (287842729) 20:52:04

数学基本活动经验的类型也就相应地分为数学基本观察活动经验、数学基本操作活动经验、数学基本交流活动经验、数学基本体念活动经验、数学基本猜想探究活动经验、数学基本归纳活动、数学基本推广活动经验共七类。

桐城 姜向阳 (347930936) 20:52:06

还要注意引导学生对数学活动进行反思和回顾

高研班 — 谢玉娓 (844646029) 20:52:12

其实展开与折叠一课，是不要求学生会罗列出所有的展开图的

武秀华 (407458012) 20:52:18

要让学生经历心理操作的过程。

高研班・虞文辉 (348699671) 20:52:33

结合一些例子，我谈谈自己对 “基本活动经验” 思考。

举例一，四年级下册 “三角形内角和”，教师通常把注意力集中在去找方法得出 “三角形内角和是 180°” 这个结论，根据 “基本活动经验”，我们来思考，这样的课，属于 “探索与发现” 类型，那么如何 “探索与发现” 呢？数学的活动应该是什么样的呢？“设疑 — 猜测 --（初步探索：量，算）”— 初步结论 — 验证结论（拼）-- 解释应用”，如果能够在这样的活动过程中培养学生的思考，这节课就会给学生不同的活动体验，学生也会得到积极的数学的活动经验，那么这种活动经验，就可以迁移到四边形的内角和或者更多的奥秘的探索发现中去。

【前面发布过】

高研班 — 谢玉娓 (844646029) 20:52:34

所以，重点应该在于让学生通过动手操作、观察、思考、想象，培养空间观念

武秀华 (407458012) 20:52:40

对同意谢老师的观点。否则我们就违背了编者的意图。

广元南鹰苟远清 (790620049) 20:52:22

伟大领袖毛主席告诉我们要想知道梨子是什么滋味，你就必须亲口尝一尝

—— 虽然幽默，学很适合这个话题

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:53:51

王云峰老师发布的七类活动经验是否写进标准，老师们是否可以照章办理

武秀华 (407458012) 20:54:02

尝试找到规律更适合应试。

高研班・虞文辉 (348699671) 20:54:25

还有一个例子，也是我近日思考，对 “基本活动经验” 的解读：

举例三，五年级下册 “容积单位”，教学中教师通常结合生活中的例子直接解释 “液体的体积一般用升和毫升做单位”，然后告诉 “从里面量棱长 1 立方分米的立方体容积所容纳的液体的体积就是 1 升”，相较于传统教学，现在教学中出现的亮点就是估测，知道 1 升和 1 毫升的概念后，出示不同的盒子和瓶子，感受它们的大小，使学生建立空间认知。如果从 “基本活动经验” 来思考，这样的课可以如何设计和组织呢？“设疑（巩固体积和容积的意义）— 猜测（引出计量液体一般用的单位：立方米、升和毫升；产生新的疑问：1 升和 1 毫升究竟是多少？）-- 定义（体会计量单位的统一的必要，了解其意义，了解其与立方分米和立方厘米的关系）-- 估测（建立对 1 升和 1 毫升的空间认知；知道计量液体还有其他的）”，在 “估测” 环节，也需要重视 “基本活动经验” 的积累，可以这样来处理，估计出一个范围，即界定出一个上限和一个下限，确定一个范围，这样的活动能真正体现估计的价值和意义，然后，再体会继续用更小的单位来计量（估计），使估计值更接近一个准确值，渗透极限的数学思想，这样的学习对学生是非常有意义的。

【我在前面发布过】

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:54:50

谢谢武老师，应试也是我工作的一部分，我从不回避

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:55:25

我们常说戴着枷锁跳舞相信大家都理解的

主持人 毕晓光 (24119640) 20:55:50

上次沈阳会议的时候，北京教育学院的王长佩老师不是说要把我们教师培养成工程师吗？

武秀华 (407458012) 20:55:49

呵呵。为了应试，你就最后要考试的时候再探讨规律。

北师 - 五 - 风过耳 (914619245) 20:55:49

展开与折叠，主要是通过这个活动培养学生的空间想象能力

山东省刘勇 (531638959) 20:56:35

基本经验这类的，我确实不懂，但学生真正能动起来，学生就会产生强大的学习动力

高研班 — 谢玉娓 (844646029) 20:56:38

基本活动经验中的 “基本”，我想该是伴随着数学活动而积累的一些体验、经验，有时那些经验在大人、老师看来可能微不足道，但对学生个体来说，就是一种体验、一种收获。所以，我想，这里是不是要让老师们重视这样的一点、一些经验！不要把数学活动经验看成是高不可攀的东西。

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:56:43

嗯，同意，培养空间想象能力是展开与折叠的教学目标之一，是教学的重点

高研班・高艳玲 (38634259) 20:56:43

在思维操作活动中获得的经验即思维操作的经验，比如归纳的经验、类比的经验、证明的经验，等等。就一个人的理性而言，思维过程也能积淀出一种经验，这种经验就属于思考的经验。一个数学活动经验相对丰富并且善于反思的学生，他的数学直觉必 然会随着经验的积累而增强。

高研班・虞文辉 (348699671) 20:56:46

呵呵，“人类灵魂的工程师” 似早就有了

江苏 刘玲 (290759068) 20:56:51

基本活动经验像个跳板

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:56:56

而展开图就是表象空间想象借助展开图

武秀华 (407458012) 20:57:09

先让学生充分的想想吧。空间观念要让学生经历心理操作，实际操作验证的过程。要让学生体悟，我刚才思考对不对，如何是什么原因错了。

潜江 - 万正茜 (277956259) 20:57:39

由平面到立体，由立体到平面

武秀华 (407458012) 20:57:45

对不起，太着急打错了。要让学生反思刚才的过程。

如果他有一天忽然在这个过程发现了一些规律，那就成了他的经验了。

成都 - 清泉 (9010067) 20:59:06

好就是他的创造了。

【推荐】如何帮助学生积累数学基本活动经验

随着数学新课程对 “过程与方法” 的关注，“数学基本活动经验” 日益成为数学教育的一个热门话题。人们对其内涵、组成、教育意义等都进行了深入的探讨。但如何在实际教学中帮助学生有效地积累数学基本活动经验，仍值得研究。本文略提几点想法。求教于大家。

一、在操作活动中侧重于丰富来自感官、知觉的经验。

“基本活动经验是个体在经历了具体的学科活动之后留下的、具有个体特色的内容，既可以是感觉知觉的，也可以是经过反省之后形成的经验。” 在数学活动中，学生通过外显的行为操作，对学习材料的第一手直观感受、体验和经验一般是直接经验。这类操作的直接价值并不是问题的解决，而是对学习材料的感性认识。例如，在学生研究 “三角形内角和” 问题时，一位学生把任意三角形的三个内角撕下来，将角的顶点重合并依次拼在一起，发现正好形成一个平角，从而得出直观视觉印象：三角形的内角和是 180 度。这个过程，学生费时不多，但是亲自动手试一试的操作活动让他获得了对三角形内角和的直观感受。尽管类似于这样感知明显带有个体认识的成分，并且还存在原始、肤浅、片面、模糊地特征，但这类直接经验的获得、是构建个人理解不可或缺的重要素材。

当然，要使这类经验能合理地积淀，有时还需要经历一个判断、筛选、确定的环节，因为学生首次操作感知的结果并不一定是正确的，而错误的经验将会对学生的后续学习带来负面的影响。举个例子来说，在教学 “认识角” 时，许多教师都会让学生去摸一摸具体实物上 “角的顶点”，然后让学生说一说有什么感觉。学生往往会回答：“角的顶点时尖尖的，摸上去有刺痛的感觉。” 这个回答体现了学生的认知起点及初始经验处于 “生活数学” 范畴，不足以反映数学的本质特征，如果教师不及时加以纠正和引导，那么在接下去的练习中就有可能会出现类似钟面上指针的针尖也是角、墙角也是角的错误认识。因此，数学活动所期望学生获得的经验应与某些生活经验加以区别。

再如，在教学 “面积单位” 时，教师往往会借助多媒体的演示力求使学生获得更充分的关于平方厘米、平方分米以及平方米的表象。这一出发点是好的，但在实际教学过程中却有可能由于夸大了多媒体给他带来的错误体验。许多教师往往会指着屏幕上被放大很多倍的正方形向学生介绍 —— 边长是 1 厘米的正方形面积是 1 平方厘米。到底 1 平方厘米有多大？是学生手上的指甲盖那么大小的正方形还是屏幕上一块手绢大的正方形？如果教师此时不加以强调和规范，那么学生对于 1 平方厘米表象的而建立就会受到影响，屏幕上被放大的 “1 平方厘米” 很有可能会成为学生直观感知后的错误经验，形成对后续学习的干扰。因此，在经验获得的初始阶段，应该尽可能地使一些操作活动为学生的认知提供一个较为正确、清晰地体验，而不是模棱两可、似是而非的感知。经验的全面性和准确性必须为教师所重视，在提供素材、组织操作活动以及课堂提问、归纳时，教师也要充分考虑到上述因素。

二、在探究活动中侧重于融合行为操作经验与思维操作经验。

在数学课堂中，我们经常会向学生抛出特定情境下的某些问题，让学生进行动手操作、自主探究、合作交流，这其中，既有外显的行为操作活动，也有思维层面的操作活动。学生能获得融直接经验与间接经验为一体的数学活动经验。这类探究活动直接指向问题的解决而非获取第一手直观体验。学生不仅在活动中有体验，在活动前、活动中、活动后都有经历的数学思考。

例如，在教学三年级上册 “统计与可能性” 一课时，教师一般会让学生做 “摸球” 实验来感受可能性的大小。基于学生已有的知识经验，在已知盒内有 9 个白球和 1 个黄球的前提下让学生猜摸到哪种颜色球的可能性大，对学生来说已经毫无新鲜感，因此教师变化角度展开如下数学活动：“（出示盒子）同学们，这个盒子里放有白色和黄色的球共 10 个，不过两种球的数量不相等。如果不打开盒子看，你们有办法知道哪种颜色的球多吗？” 面对这样一个问题，不同层次的学生会充分调动各自已有的经验来尝试解决。有的同学用猜的方法，随即因其结果的不确定性被同伴否认。也有同学认为可以用摸球的方法，每次摸出一个看看颜色，然后放回去摇匀再摸，多摸几次，最后看摸到哪种颜色的球多，就说明这种颜色的球多。此时的动手操作和实验成了学生探究的需要，由于学生对实验的结果充满渴望，因此在这类探索活动中，学生所积累的数学活动经验也因个体的强烈感受而充满活力。不可否认的是，虽然在某些问题的解决中，某种经验本身就具有很好的知道作用和实际价值，但要使数学活动经验更长效地纳入学生的个体知识体系，还需要经历一个概念化和形式化的过程，这是经验与 “双基” 相互融合、向 “思想” 升华的必要途径。

三、在思维活动中侧重于积累和提升策略性、方法性经验。

在思维操作活动中获得的经验即思维操作的经验，比如归纳的经验、类比的经验、证明的经验，等等。就一个人的理性而言，思维过程也能积淀出一种经验，这种经验就属于思考的经验。一个数学活动经验相对丰富并且善于反思的学生，他的数学知觉必然会随着经验的积累而增强。

例如，在研究 “比的基本性质” 时，教材要求学生根据小冬测量几瓶液体的质量和提及的记录，填写质量和体积的比值，由此启发学生观察等式，联系对分数的基本性质的已有认识进行合情推理，探索比的基本性质。尽管学生对液体质量与体积的比值所表示的实际意义 ——“密度” 不太了解，但是由于有着对之前学习的商不变规律、分数的基本性质的探究经验，大部分学生会产生一个数学直觉，那就是在 “比” 中存在类似的性质。“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外）比值不变” 这个结论便是依据类比的经验得出的。而随即展开的验证活动中，学生也能从过去相关的经验中找到方法上的支撑，因此，教师在这段内容的处理能够可以大胆放手。学生类似的经验越丰富，新知就越容易主动纳入到已有的知识体系之中。教师所要做的便是对这些经验进行梳理，帮助学生发现其本质的异同，继而将学生发现的一个个知识 “点” 连接成一串知识 “链”，进而构成牢固的知识 “网”。

在上述教学案例中，学生的经验生成是在思维层面进行的，没有依附于具体的情境，仅在头脑中进行合情推理，并且整个过程更趋于有序。从获得的经验类型来看，这类活动中获得的经验相对前两种更侧重策略和方法，也更为理性。从这点上可以看出，思考的经验的获取是派生出思维模式和思维方法的重要渠道，这些成分对学生开展创新性活动具有十分重要的奠基作用。

四、在综合活动中 侧重于发展整合、应用的经验。

现实中，许多数学活动都会要求学生有多种经验参与其中，不仅有操作、探究的经验，也要有思考的经验，更需要有应用的意识。例如，下图中的两条线段表示两幢新建的大楼。现在要从星处将煤气送往两幢大楼，并且要使煤气管道的长度可能短，你能表示管道的位置吗？

解决这个实际问题需要学生用 “直线外一点到这条直线所作的所有线段中，垂线段最短” 的知识来诠释生活中的数学问题。如果学生已经具备了应用的意识，并能顺利地作图解答，那么说明他的相关知识经验已经形成，反之，则说明形成不力。对大多数学生来说，总是先进行思维上的深思熟虑而后再进行作图设计，最后实践操作。因此，应用的意识是充分建立在学生思考的经验和操作的经验基础上的。正如朱德全教授所指出的，“应用意识的生成便是知识经验形成的标志。” 作为数学基本活动经验的核心成分，应用意识需要教师在教学过程中更多地加以关注和发展。

值得一提的是，越是复杂的数学活动越需要积极地情感意志相伴，这种体验性成分也是学生基本活动经验不可或缺的组成部分，它对于良好人格的塑造具有不可替代的作用。当学生在活动结束后反思其整个解决问题的过程，除了对思考的经验、探究的经验以及具体操作经验有所感悟以外，成功或失败的情绪体验也能逐渐凝聚为其情绪特征的一部分并获得发展。因而，积累学生基本数学活动经验，感性认识、情绪体验及应用意识缺一不可。只有活动经验的均衡发展，才有可能实现学生的全面发展。

数学基本活动经验在《数学》教材中的体现

积累数学活动经验，使之成为学生形成数学现实，构成数学认识的现实基础，是数学教学实施素质教育的重要课题。《数学》教材注意了以下几个方面。

（1）教材编排在 “做数学” 中体验数学，感悟数学；

（2）教材已经设计好了的教学活动；

（3）教材体现数学基本活动经验重在积累与提升。

应该看到仅仅停留在在感性层面的活动经验是粗浅的，教学时要采取恰当的措施对数学知识、解题思路从感性认识上升到理性认识，要处理好活动过程与活动结果的关系，问题化、情境化与知识系统化的关系。

基本活动经验案例推荐阅读：

此主题相关图片如下：

探究性教学：一段价值选择之旅 ——“三角形三边关系” 教学实录

文献来源：《人民教育》2011 年第 23 期；

北京实验二小 华应龙

课前慎思

第一，是发现还是证明？

“三角形中任意两边的和大于第三边” 与 “任意两边的和大于第三边就能围成三角形” 是命题与逆命题的关系。有老师指出，应该从已经构造成的三角形中去研究三边关系，我们以前的教法就是在证明逆命题，需要正本清源。

我想，从已经构成的三角形中去研究三边关系，那太简单了 —— 两点间的距离，线段最短。要说有难度，那就是把两条边作为一个整体与第三条边去比，这是学生没有经验的。

这一教学内容，如果从结论的角度，完全应该放到中学再学，小学四年学了，没有下文，没有太多的用处；如果从过程的角度，让学生感受到数学学习的方法、探究的乐趣、数学的好玩，那它就是很好的 “玩具” 了。

因此，这节课，目标不在证明，而是让学生在玩中、在巩固旧知中发现新知。

第二，是用胶片还是用纸条？

第一次教学三角形三边关系，我是给 3 根小棒让学生来探究。第二次教学，我想到给两根小棒，让学生剪成 3 根，这样 “两边的和” 就是一个整体了。因此，为了方便剪开，我发吸管给学生。第三次教学，我考虑到即使使用很细的吸管供学生操作，其粗度还是带来了一些干扰。于是，我反其道而行，就用吸管供学生研究。

后来，看到一位好朋友给学生一张长 16 厘米、宽 1 厘米的画了线段的胶片，让学生剪开探究，这样交流起来省事多了，学生不再纠缠于宽度。其实，没有宽度，那是不可能的，只是忽略了，或者说 “疏忽” 了。

恩格斯说过，人看不见紫外线，但是人知道蚂蚁看得见人看不见的紫外线，这显示了人的智慧。那么，我们是不是可以说，数学教师是拿不出一条线段的，但是数学教师知道 “数学” 能拿得出自己拿不出的线段，这显示了数学教师的智慧。因此，我们硬要拿出一条线段给学生，是否忘记了 “教学” 的特色？中科院院士张景中先生说：“各门科学都要进行抽象，只是数学抽象得最厉害，一直抽象到‘凡夫俗子’莫名其妙的程度。”

这样想来，与其费心、费事地给学生一张画有线段的胶片，倒不如给他们一张普普通通的纸条，需要学生忽视其宽度，重视其长度，把它 “想成” 只有长度的线段。这，就有了 “数学化” 的味道。

粗吸管与小纸条，孰优孰劣？两根粗吸管 能 “点对点” 或者 “点对边”，不可能打架似的交错，教学中会省事；而小纸条，学生在拼摆中会把两张交错起来，带来不少麻烦。那么我们可能要思考：一个是不可能交错而没有交错，另一个是可能交错而不能交错，哪一个更具有数学教育的价值？

第三，差一点点，行不行？

数量是一切变化的根据。量变引起质变的例子在数学中比比皆是。平面与圆锥面相截的图形随平面与圆锥轴线的交角而变化。交角是直角时，截口是圆；交角稍变一点，截口成了椭圆；再变到一个关键点，椭圆变成了抛物线；过了这点，抛物线又变成双曲线了。

剪两张纸条中较长的一张才能围成一个三角形，一定是这样吗？未必。剪开点的移动，数量的变化，成与败的转换，是认识深化的过程，也是情感丰富的天地。“成功与失败就差一点点” 的感悟，或许会影响学生一生。

综合以上思考，我制订的教学目标是 ——

①探索发现三角形三边关系，能判断给定的三条线段能否围成一个三角形。

②在探究的过程中，培养操作能力和空间想象能力，以及严谨求实的科学态度。

③体验探究的快乐和数学的好玩，明白 “成功与失败就差一点点”。

教学实录

一、三张纸条，规范操作。

(实物投影出示黄、红、蓝三张纸条，请学生演示将其围成一个三角形。规范围法：头尾相接，点和点相连。教师强调：“纸条代表的是有长度的线段。只有点和点连在一起才完全用上了纸条的长度。” 如图 1。)

此主题相关图片如下：

二、两根纸条，创设情境。

(请学生两人一组，拿出信封里的两张纸条，将其中一张垂直于纸条剪成两段，并用这三张纸条围成三角形，大组之间比赛。教师巡视。)

师：时间到，围成三角形的请举手。第一大组没有围成，第二大组全部围成了，第三大组有一部分围成了，第四大组都围成了。让我们一起祝贺第二、四大组！(学生掌声稀疏无力。)

师：掌声没劲儿，有什么问题吗？

生：我发现刚才给我们的两根纸条，如果一张剪断的话就不能围。

生：我们组的问题是，把一张纸条剪断了，但是围成的图形要么是平行 (线)，要么点和点不能连在一起，不能围成一个规范的三角形。

生：我们发现的问题是有些同学把短的那张给剪断了，结果不能围成三角形，但是我们把长的那张剪断了，就能围成三角形。

师：看来我们可以提出很多问题，请看大屏幕。

(ppt 演示：发现问题 —— 大组之间的差距怎么这么大呢？难道有了三条边，还不一定能围成三角形？围成的，为什么围成了呢？没有围成的，为什么没有围成呢？能不能围成三角形与什么有关？三角形三条边之间有什么关系呢？)

师：实际上，刚才的活动为同学们提供了一个思考的空间，发现三角形三条边之间会存在一定的关系，三角形三条边之间有什么关系呢？我们一起来讨论研究。

三、分类讨论，形成共识。

师：大组之间的差距为什么这么大呢？

生：我发现有的组把短的那条线段剪断了，而没有剪长的，根本没法围成三角形。

生：我发现两边之和有的小于第三边，有的等于第三边。

生：我发现有的同学剪的位置不一样，如果剪的位置不对就围不成。

生：有的组开始把短的剪断了，一看围不成就又把长的剪断了。

师：哈哈哈，我发的纸条有秘密：第一大组、第三大组的两张纸条是一样长的。第二大组和第四大组的纸条是一长一短。(第一、三大组的同学有意见，第二、四大组的同学得意地在笑。) 别生气，别生气，请思考：纸条一样长的就围不成，纸条一长一短的就围得成，这背后的原因是什么？好好思考一下，成功失败都是收获。(学生们在思考。)

师：先让我们来欣赏一下围成三角形的作品，看看你能发现什么。演示的时候，一边说一边做，先把纸条还原。

生：开始是这样的，明显地红的比蓝的要长。所以我们发现这是可以围成的。

(开始围得不很标准，台下学生不断地指挥台上学生调整，最终，其他学生鼓掌表示认可。)

师：围成之后想一想，为什么就围成了呢？

生：两边之和大于第三边。

师：三角形三边之间有怎样的关系？

众生：任意两边之和大于第三边。

师：任意两边之和大于第三边。(板书) 怎么知道的呢？

生：我通过摆知道了，如果两张纸条长度相等的话，那我怎么摆也摆不成。如果两张纸条一长一短的话，只要我用的两边之和长，就能摆成一个三角形。

生：如果两张长度相同就会重叠在一起，怎么摆都不会摆成三角形。

师：看来通过操作，我们是有体会的。我们可以从另外的角度来思考一下为什么三角形任意两边之和大于第三边吗？(课件出示：从家到学校哪各路最近呢？如图 2)

此主题相关图片如下：

(学生纷纷表示从家直接到学校的路线最短，因为两点之间直线段最短。)

师：这样看的话，三角形的任意两边之和大于第三边与我们以前学的两点之间的距离线段最短是一致的。刚才，我们研究了一长一短的两张纸条。有人说剪长的就能围成，剪短的就围不成。谁来说明一下，剪短的为什么就围不成呢？

(一学生实投演示，如图 3)

此主题相关图片如下：

生：这样也能围成一个三角形，因为其中空白的部分也是点对点围成的三角形。

生：不同意你的意见，因为老师要求三条边的点和点连在一起，现在只有两个点对齐了，还有一个点没对齐。

师：对，这样围成三角形纸条的长度是不一样的了。(移动成图 4)

此主题相关图片如下：

师：为什么接不上？

生：两边之和小于第三条边。

生：我是这样想的，本来这条边就短，再剪短就更短了，两条短的不可能接上。

师：我们比较这样的两个作品，一长一短的两张纸条，剪长的就围得成，剪短的就围不成这样一比较就会发现三角形三边之间有什么关系？

众生：三角形任意两边之和大于第三边。

师：为什么要强调 “任意”?

生：如果不是任意，那么其余的两条边有可能合不上，所以要任意两条边都能合上才行。也就是说三角形的哪两条边的和都要大于第三条边。

生：我认为刚才从家到学校的例子已经说明问题了。从家到学校直看走路线最短，从家先到书店再到学校路线就长，同样从家直接到书店路线就短，从家先到学校再到书店路线就长。

师：看来大家对 “任意” 的理解还是很清楚的。三角形有几组两边的和？(三组) 我们只看左面围成的可能印象不深，但是有了右面图形作对比，就会深刻认识到两边之和要大于第三边。这就像空气一样，我们置身其中，毫不觉察。当我们的身边没有空气了，我们不能活了，才会感觉到空气的重要。等到失去了，才知道曾经拥有过。人一般都是这样的。(有几位学生笑了。)

师：刚才有同学说两张纸条一样长的也有围成的，哪位同学来展示一下？先把两张纸条还原，看看是什么样子。

生：这两张是一样的，先把红色的剪断，结果发现它们是平行的。然后我们把蓝色的也剪短了，就围成了。

生：我不同意，您刚才说只剪一张，可他们剪了两张，不符合要求。

生：而互剪了第二张长度也变了。

(一生用原来没有剪短的蓝色纸条继续调整，试图围成三角形。众生表示不同意。)

师：我首先佩服你的坚持！我还佩服咱们班同学一丝不苟的态度。(板书：就差一点点) 就差一点点，究竟行不行呢？

(其他学生继续提出要调整的地方，该生不断调整，但是最终也没有得到其他学生的认可。)

生 (终于忍不住大声说)：我认为永远也不能围上，因为两边之和不大于第三边，现在这样只能平行！

生 (主动走到实投前)：从这个点到那个点是这条蓝色线段的长度，如果红色线段的两个点和蓝色线段的点连在一起，就会平行在一起。

生：我们说过三角形任意两边之和大于第三边，从这点可以看出不能围成三角形。

生：你这是等于第三边，不是大于第三边。

生：谢谢大家，现在我知道了两边之和要大于第三边才能围成三角形。等于的话就不行。

师：先别走，看看能不能再围一次。比如，先把蓝色线段的两端和红色线段一端的点连起来，然后呢？

众生：把两端往下压，再压，最后就平行了。

师：举手表决吧，认为能围成三角形的？(1 人) 认为不能的？(几乎全部学生) 弃权的？(2 人)

师：应该这样，我们现在看到似乎是围成了，但是还差一点点。让我想想怎么才能说清楚呢？(做思考状，学生们微笑) 学数学，往往不能太相信自己的眼睛。(好多学生惊讶地 “啊 ——”) 刘谦的魔术看过吗？眼睛告诉我们那都是真的，其实真的是不可思议。那现在你闭上两只眼睛，睁开第三只眼。第三只眼在哪儿呢？(手指眉心) 想一想，如果两张纸条是一样长的，把其中的一根一刀两断，然后把它们的两端接在一起，再往下压一点，再压一点，最后怎么样？(生：平行了。) 或者是怎么样？(生：接不上。) 或者是 ——(生：完全重合了。)

(教师用 PPt 演示学生思考过程。学生随着演示过程发现总是差一点点，图不成三角形。当所有点都准确地连在一起的时候，两条线就平行了。)

师：看来当两边之和等于第三边的时候还能不能围成三角形呢？

生：不能，因为三角形的任意两边之和大于第三边。

四、峰回路转，突破难点。

师：两张纸条一长一短，一刀两段，剪短的能不能围成三角形？一定吗？为什么？

生：一定不能，因为这个时候是两边之和小于第三边。

师：剪长的呢？

生：能，因为两边之和大于第三边。

师：一定能吗？认为一定的请举手。(几乎全举手) 认为不一定的清举手。(两人) 弃权的请举手。(无人) 有人觉得不一定行，请你到前面来演示一下。

(学生演示：将较长的线段只剪下一点点，并说明：剪下一点点，围不成。图 5)

此主题相关图片如下：

(一生认为能围成，并坚持围摆。在几次尝试后放弃尝试。)

师：这位同学先坚持自己的观点，当发现真的不行了，又能及时修订自己的观点，好样的！鼓掌！为什么围不成了呢？

生：因为蓝色纸条和最短的红色纸条加在一起，根本就不大于第三边，所以围不成。

生：我想请大家注意 “任意” 这个词。因为蓝色的那条边和最短的红色的边加在一起是小于第三边的，没有满足 “任意” 这两个字。

师：从刚才的过程可以看出，如果只满足一组两边之和大于第三边，行不行？同学们说得非常好，要注意 “任意” 两个字。一长一短，剪长的一定行吗？

众生：不一定。

师：(ppt 演示，两报纸条一长一短) 请想象，从这里剪 开能不能围成三角形？会是什么样的呢？

(一生认为能围成，并坚持围摆。在几次尝试后放弃尝试。)

师：这位同学先坚持自己的观点，当发现真的不行了，又能及时修订自己的观点，好样的！鼓掌！为什么围不成了呢？

生：因为蓝色纸条和最短的红色纸条加在一起，根本就不大于第三边，所以围不成。

生：我想请大家注意 “任意” 这个词。因为蓝色的那条边和最短的红色的边加在一起是小于第三边的，没有满足 “任意” 这两个字。

师：从刚才的过程可以看出，如果只满足一组两边之和大于第三边，行不行？同学们说得非常好，要注意 “任意” 两个字。一长一短，剪长的一定行吗？

众生：不一定。

师：(ppt 演示，两报纸条一长一短) 请想象，从这里剪 开能不能围成三角形？会是什么样的呢？

(一生认为能围成，并坚持围摆。在几次尝试后放弃尝试。)

师：这位同学先坚持自己的观点，当发现真的不行了，又能及时修订自己的观点，好样的！鼓掌！为什么围不成了呢？

生：因为蓝色纸条和最短的红色纸条加在一起，根本就不大于第三边，所以围不成。

生：我想请大家注意 “任意” 这个词。因为蓝色的那条边和最短的红色的边加在一起是小于第三边的，没有满足 “任意” 这两个字。

师：从刚才的过程可以看出，如果只满足一组两边之和大于第三边，行不行？同学们说得非常好，要注意 “任意” 两个字。一长一短，剪长的一定行吗？

众生：不一定。

师：(ppt 演示，两报纸条一长一短) 请想象，从这里剪 开能不能围成三角形？会是什么样的呢？

此主题相关图片如下：

(学生们猜测着，欢笑着，思考着。)

师：那你看看，行，行，行，不行，是不是成功和失败就差一点点啊？这一点儿在哪呢？课下思考。

师：这样的 3 张纸条能不能围成三角形呢？(出示红、黄、绿 3 张线段，长度分别为 5 厘米、8 厘米和 3 厘米)

生：不能。

生：不能，因为两边之和等于第三边。

生：我认为不用任意，用较短的两条边之和大于第三边也行。

师：为什么用较短的两条边呢？

生：长的本来就长，不用比较，只要看两条短的比大小就行了。

师：想想，怎么改变一下就可以围成？

生：只要把短边增加 1 厘米。这样两边之和是 9 厘米，就能围成。

生：或者把长边减少 1 厘米。

师：剪掉 0.1 毫米行不行？为什么？

生：行，因为剪 0．1 毫米两边之和也大于第三边。

师：对啊，成功与失败就差一点点！

(动画演示，从长边上剪掉的部分越来越少，围成的三角形从锐角三角形到钝角三角形到围不成三角形，请学生观察变化。)

师：是不是数学真好玩呀？孩子们，世界上一勿的变化往往就是由于数量上发生了变化，成功与失败就差一点点。

五、回顾总结，点破提升。

师：(ppt 展示课始发现的问题) 请自己说给自己听 ——

师：孩子们，把眼睛闭起来，回想一下这节课你有什么收获呢？

生：从这节课里我学到了，三角形任意两边之和必须大于第三边。

生：我认识到要围成三角形，就差一点点也不行。

生：两张一样长的纸条，就是剪一刀也不能围成三角形。

生：如果有一条边比另两条边的和少 0．1 毫米，就能围成三角形，成功与失败只有那么一点点距离。

生：我知道了差之毫厘，谬以千里。只差一点点，以后会越差越多，就不是一样的东西了。

生：我知道了，就像 “十大感动华人” 之一的陈香梅说的那样，干什么事情都是做了，但要看做没做到家。

……

师：同学们说得真好，上完这节课我也有三个收获愿意和大家分享。第一，三角形三边关系很简单，跟我们以前学的两点之间的距离线段最短走一致的。第二，三角形边的关系很有趣，不是相等，而是大于；不是一条边和另一条边的关系，而是两条边的和与第三条边之间的关系。第三，成功和失败往往就差一点点。

(作者单位系北京第二实验小学。本实录由北京市芳草地小学易玫老师整理)

任景业老师读课标中谈基本活动经验 http://eblog.cersp.com/userlog/349/index.shtml#

片段欣赏：

无奈的结局（续 1）任景业

我们再看罗增儒先生引用过的一个例子：

一个数学家的女儿由幼儿园放学回家，父亲问她学的什么？女儿高兴地回答：“我们今天学的集合。”

数学家想到，对于这样高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了，便问：“你懂了吗？”

女儿说：“懂了，一点也不难。”

数学家还是放心不下，便追问：“你们老师怎么教的？”

“老师先让班上所有的男生站起来，说这是男孩子的集合。再让所有的女生站起来，说这是所有女生的集合。接一来是所有白孩子的集合，所有黑孩子的集合。问我们都懂了吗？我们说都懂了。就这么简单。”

看来这教学法没有什么问题。

数学家于是问了下面一个问题作为检验：“那么，我们能否以世界上所有的勺子或土豆组成一个集合呢？”

女儿想了想，说：“不能，除非它们都能站起来。”

在这个例子中，为什么说老师的 “教学法没有什么问题”？你看，有活动，老师也是通过活动让学生获得经验的，并且不是一次，是让男生站，女生站，白孩子站、黑孩子站，经过了一系列的活动。但孩子获得的经验并不是老师期望的，她得到的经验是 “站起来的某对象就是集合”，“站起来” 变成了判断是不是集合的要素。而这里的错就出在每一个活动都具有 “站起来” 的因素。在孩子抽象、提升的经验中没有把 “站起来” 这个无关因子剔除，多次的重复反而让孩子的思维更加强化 “站起来” 这个动作。

集合是指一组对象的全体，其中的元素可以是任何东西。这里的 “所有”“元素” 以及这种定义本身所含的高度抽象方法是小学生很难理解的。活动能做，但要提取的经验抽象度太高，远离了孩子的认知水平，以至于产生了 “不良经验。” 对于数学中远离远离学生生活和经验的概念名词，学生难以理解时，要么不去关注，要么死记硬背，而生呑活剥的结果便是极易出现上文中的错误理解。

本帖最后由 陈春艳 于 2013-3-23 14:59 编辑

《变化的量》 基于帮助学生积累 “基本的数学活动经验” 的设计 武秀华 教材分析：《变化的量》是新世纪小学数学六年级下册第二单元正反比例的起始课。教材中小明的体重与骆驼体温的情境中 “变化的量” 分别是用表格和图来描述的。教材的设计意图需要学生把这些图表的数学信息转化成语言文字来描述变量之间的关系。可以唤醒学生 “看图找关系的经验。” 情境三是语言文字叙述的变量关系，需要学生转换为符号来描述变量的关系。可以唤醒学生用字母表示数的经验。 这节课不要求学生明白规范的 “变量” 概念，更多的是一种基于生活实践的理解。有了这样一节课，为后面学习正反比例奠定基础。这节课在其他版本并没有安排，为什么编者要安排这样的一节课呢？最重要的一个目的就是积累一些 “变化的量” 的基本的活动经验。 学生分析： 小学阶段，学生更多接触的是定量，虽然对于变化的量也有着一定的经验，但是对于一个量变化，另一个量也随着变化的两个相互依存的量即使见到过，但是感受不多，特别是从数学的角度，把数学文字信息用数学符号表征是一个难点。 设计理念： 本节课是基于帮助学生积累 “基本活动经验” 这一目的而展开的教学设计和实践。带着这样的任务再次审视这节课时，我首先想到的是，我帮助学生积累那些基本的活动经验？怎样实现。在设计与实践中，我以帮助学生积累基本的数学活动经验作为本节课的重要目标。具体关注以下几个方面：1、本节课中基本活动经验的积累中的重头戏就是思维的表达、抽象。具体的说就是把图表信息用文字来表征，把文字信息用数学符号来表征。2、活动经验的积累，首先需要唤醒学生已有的经验，加强新旧知识，生活实践与数学知识间的联系，新知与新知间的联系。从具体的生活情境中抽象出对 “变化的量” 的认识，体会她们是一组相互依存的量，3、积累活动经验的核心是如何思考，所以我尝试着把 “全面、细致” 这种思考方式融入学生的思考中，作为课堂教学的另一条目标呈现。。 教学目标： 通过具体的生活情境，认识生活中一个 “变化的量” 随着另一个 “变化的量” 而变化的普遍现象，积累表征 “变化的量” 的数学活动经验，积累全面细致思考的活动经验。 教学重点： 积累表征 “变化的量” 的数学活动经验。 教学难点： 认识一个 “变化的量” 随着另一个 “变化的量” 而变化的现象，把文字信息用数学符号来表征并能有深刻的体会。 教学流程： 课前谈话，从六年八班学生纪律，学习的变化引入，你们的变化，让老师感受到成长的幸福，也期待这节课你们还有新的变化，新的成长。今天我们要学习的变化的量，它又有着什么样的特点呢？我们先来看教材 18 页第一个题目。 新课学习：【学习活动一】1、出示教材情境图 1，自主读题。2、独立思考问题，并把自己的思考记录在练习本上。3、小组交流 （一个小组的孩子在交流他们的发现，出生是 3.5 千克，6 个月就又增加 3.5 千克，然后 1 周岁 .、2 周岁都是增加 3.5 千克，马上有一个学生反驳，不对后面就不是这样的变化了。我留给他们的任务是，想想你们怎么描述更好，是什么原因让我们的发现了错误？4、全班汇报。 反思：你能一句话概括一下刚才读了表格后的发现吗？（记录在练习本上，可以记录关键词，为后面交流做准备） 生 1：很具体的描述每个时间点，小明的体重分别是多少。 生 2：老师我发现，出生时，是 6 个月体重的 1/2，是 1 周岁时的 1/3, 是 2 周岁的 1/4, 是 6 周岁时的 1/6。 师：（教师请小组交流出错的学生表达是什么原因让他们出错了？）那个孩子说，我们没有把表格里所有的信息都看完。 师：给自己一点什么建议？ 生：思考问题要全面。教师板书 “全面” 师：是呀，考虑问题要全面，对于我们来说太重要了。 师小结：刚才你能从表格中找到具体的数据来描述你的发现。你们能用一句话来概括这两个量的变化特点吗？记录在你的练习本上。 生 3、随着年龄的变化而变化。 生 4：随着年龄的增长，体重也在增加。 生 5：老师，这些变化的规律仅限一段时间内，当他长到一定的年龄，体重就不在随着年龄增加了。 师：这位同学对时间的限定，说明他思考问题很全面。 生 5：这两个量是相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。教师板书。（貌似这个孩子提前学习了这部分内容。） 师小结：通过刚才同学们的反思，我们知道了：体重随着年龄的增长而增加。一个量变化，另一个量也在随着变化。这是我们过去很少关注的数学现象。【课后记】学生的思考给我最大的感受，他们习惯于用具体的量来描述数学信息。对事物的理解更多是管中窥豹，只关注局部。这和我预设的情况是一致的。让学生学会全面的思考，这是我教学目标的另一条线索，也正是史宁中校长提出的要让学生会思考。【学习活动二】1、出示教材情境图 2，自读题目，你读懂了什么，有问题要提问吗？ 生：第二天的图可以和第一天的重叠。 师追问； 这说明了什么？ 生：变化有规律，周期性。 师：你看这个同学能够把图很全面的观察，才能有刚才的发现，并且他观察的认真仔细，从中找到这么重要的发现。 师：我们思考问题非常重要的另外一点就是认真仔细。 师：（学生没有提出图像的横轴 28、32 是什么意思？）看横轴上的 28 是什么意思？（教师做了一个追问。孩子们很快的用规律性的语言描述横轴上的时间只要减去 24 就是第二天具体的时刻。“2、边读书，边回答课后的问题。（很顺利）3、全班汇报。把图转化成语言文字来描述 反 思 1：把你读图中体会最深的记录下来，与大家交流。 生：我们发现，一天中从 4 时到 16 时，随着时间的增加，从 16 时开始，随着时间的增加提问开始下降，一直到第二天的 4 时，降到最低点，然后重复这样的规律。 师：（随着时间而呈现周期性的变化） 反 思 2：回顾第一题一和第二题，你们有什么发现？ 生：都是两个变化的量，一个变化，另一个也随着变化，不同的是，第一题，在一定的时间内，一个量增加，另一个量也在增加。而第 2 题是有规律的变化。 师小结：无论用表格，还是用折线统计图，虽有不同，他们都描述了两个相关联的量，一个量变化，另一个量也在变化。【课后记】我把本节课用两条线索贯穿，一个是知识的线索，知识上体会两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。另一个是方法的线索。就让孩子们感受时时刻刻都是主要全面、认真仔细的思考问题。并能用区别与联系的观点认识事物同与不同。还是很好地完成了预设的目标。【学习任务三】1、读题，解题。2、在书上记录思考。3、全班展示。 展示所有的代数式。 反思 1：对比书上左边的文字，还有学生写的代数式，你们发现文字叙述和含有字母的式子表示，他们有什么区别和联系？ 先独立思考，然后小组交流、全班汇报。 生：用字母表述简洁，并且能概括所有的规律。变化的量还可以用代数式表示。【 课后记 】 今天执教的班级对于用字母表示的式子表达还是很好的，甚至有了很多变式的写法。为了让学生体会函数的思想，我还用副板书，特别列出当 t 等于 1、2、3..... 时，h 温度的值，重点体会她们的对应关系。这里面我还有一个困惑：这里面我让学生比较文字表达和代数式表达的区别与联系，这个地方的要求是不是高了？ 反思 2，完成了三个学习任务，你们能说说自己的发现吗？ 生：都是相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。【课后记】反思 2，是把全课进行梳理，明白生活中普遍存在这用图、表，文字、含有字母的式子来表达一个变化的量是随着另一个变化的量而变化的。 巩固练习：《变化的量》作业纸

http://b151.photo.store.qq.com/psb?/7d5ea3b5-dff8-4dbf-ac8e-a6e110d0e1d9/FLA6xyXMsVKyN2ERRqsipnay*jyeQw5mzjbaZkp4LBY!/b/Yd9YAlrQfwAAYiL4CVoZfwAA 【课后记】学生总是习惯于变成具体的量去描述。

http://b151.photo.store.qq.com/psb?/7d5ea3b5-dff8-4dbf-ac8e-a6e110d0e1d9/PyQ.iMCXDA8.70iURf5y7NgBQbaSAYnAe5MCDpGFdjk!/b/YTRlBVrAhQAAYhxRAlpVgwAA

【课后记】这个题目实际的开始我还有点犹豫，今天课后，发现，在题目 1 时，学生从表格里不容易看到那个阶段体重增加更快。但是看图一目了然。一下子就有学生说出哪些时段体重增加的更快。

③C 正方形 = 4 a【课后记】除了让学生感受边长的变化周长也随着变化，并且体会 “虽有变化，但是周长和变成的比是 4 是一个定值，为后面的学习埋下伏笔。学生还例举了圆的直径增加，周长也随着增加，圆的直径与周长的比值是 π。

http://b151.photo.store.qq.com/psb?/7d5ea3b5-dff8-4dbf-ac8e-a6e110d0e1d9/cyFzlVoVbvShNw7wN4Mbe0S9O4iaYB64YtCx4Rsls!/b/Yc0ADVpLfQAAYk*iA1qdgwAA

【课后记】思考 1 有一个孩子的描述很精彩，那个孩子把三个量都联系起来。其中速度一定，时间越长，路程越长。已经和后面的知识联系起来了。不过认识也是到此为止。

思考 2：回忆生活里哪些情境中，存在着互相依赖的变量，一个量变化，另一个量也随着变化？ 反思 2 中，孩子举的例子很丰富，其中一个孩子举了买东西的例子，单价一定，买的东西数量越多，钱数也就越多。这是一个很重要的数学模型。教师予以鼓励，并告诉孩子，一个数学家曾经说过，单价、数量、总价是我们小学阶段非常重要的数量关系，我对孩子进行了表扬，告诉他有数学家的潜质。孩子很开心的坐下。 全课总结： 生活中有很多互相依赖的变量，他们的变化有的还有一定的规律呢，我们将在下一节课继续研究。这节课就上到这里，下课。

磨课二稿（重点修改设计的理念，还有教学过程环节）

基于 “帮助学生积累基本的数学活动经验” 的设计

武秀华

教材分析：《变化的量》是新世纪小学数学六年级下册第二单元正反比例的起始课。教材中小明的体重与骆驼的体温的情境中 “变化的量” 分别是用表格和图来描述的。教材的设计意图需要学生把这些图表的数学信息转化成语言文字来描述变量之间的关系。可以唤醒学生 “看图找关系的经验。” 情境三是语言文字叙述的变量关系，需要学生转换为符号来描述变量的关系。可以唤醒学生用字母表示数的经验。

这节课不要求学生明白规范的 “变量” 概念，更多的是一种基于生活实践的理解。有了这样一节课，为后面学习正反比例奠定基础。这节课在其他版本并没有安排，为什么编者要安排这样的一节课呢？最重要的一个目的就是积累一些基本的活动经验。

学生分析：小学阶段，学生更多接触的是定量，虽然对于变化的量也有着一定的经验，但是对于一个量变化，另一个量也随着变化的两个相互依存的量感受不多，特别是从数学的角度，把数学文字信息用数学符号表征是一个难点。

设计理念：

关键词一： “联系、区别”。活动经验的积累，一方面需要唤醒学生已有的经验，加强新旧知识，生活实践与数学知识间的联系，已经新知与新知间的联系。

关键词二：“表征”。本节课中基本经验的积累的关键词就是 “表征”，把图表信息用文字来表征，把文字信息用数学符号来表征、

关键词三：“全面、细致”，尝试着把这种思考方式融入学生的思考中。

教学目标：通过具体的生活情境，认识生活中一个 “变化的量” 随着另一个 “变化的量” 而变化的普遍现象，积累表征 “变化的量” 的数学活动经验。

教学重点：积累表征 “变化的量” 的数学活动经验。

教学难点：认识一个 “变化的量” 随着另一个 “变化的量” 而变化的现象，把文字信息用数学符号来表征并能有深刻的体会。

教学流程：

点题导入：板书 “变化的量”，能说说你们对他的理解吗？

新课学习：

【学习任务一】

1、出示教材情境图 1，自主读题。

2、独立思考问题，并把自己的思考记录在练习本上。

3、小组交流

4、全班汇报。

反思：你能一句话概括一下刚才读了表格后的发现吗？（记录在练习本上，可以记录关键词，为后面交流做准备）

指导点拨：体重随着年龄的增长而增加。从出生到 1 周岁体重增长得最快。（教师要依据学生的回答，进行指导点拨。）

【设计意图】在活动中，积累学会用笔记录思考活动经验，积累用语言表征表格中的变量信息，经历从直观到抽象的过程。

让学生会思考，首先是养成记录思考的习惯，以保持思考的连续性和可视性，反思环节指导学生把思考引向深入，让学生从表格中用语言文字表征变换的量的特点，从开始凌乱的思考，到用一句话来表达自己的发现，凸显这个表格共性的规律。小学生喜欢就事论事，对于事物背后所隐含的规律往往关注度不够。

【学习任务二】

1、出示教材情境图 2，自读题目，你读懂了什么，有问题要提问吗？

Ø 某一时间对应的温度

Ø 什么时间体温呈现周期性变化。

Ø 图上的 32 时，可能会不理解。鼓励学生自主解决。

2、边读书，边回答课后的问题。

3、全班汇报。把图转化成

反 思 1：把你读图中体会最深的记录下来，与大家交流。

指导点拨：图形带给我们的信息：一个 “变化的量” 随着另一个 “变化的量” 而变化。变化是周期性的。（随着时间而呈现周期性的变化）

反 思 2：回顾任务一和任务二，你们有什么发现？

【设计意图】继续体验从直观到抽象的过程，并能全面、仔细的思考问题，用联系的观点认识事物。

看懂图像，首先孩子应该具备的能力，而这种识图的经验，对于学生来说过去虽然有，但是很少接触这样周期变化，并需要学生表达并体会其中的变化规律。把图形中的数学信息用学生的语言表征，对于孩子们来说不难，但是如何培养孩子在活动积累中关注全面、仔细的思考，并结合学习任务一，找到他们之间的共性、联系。这也是认识事物的一种方法。

【学习任务三】

1、读题，解题。

2、记录思考。

3、全班展示。

反思 1：你们发现文字叙述和用字母表示，他们有什么区别和联系？

先独立思考，然后小组交流

反思 2，完成了三个学习任务，你们能说说自己的发现吗？

指导点拨：“变化的量” 除了在表格、图像中看到他们变化的特点。变化的量还可以用代数式表示。

【设计意图】积累用字母表示变量关系的经验，培养代数意识，在比较中找到事物间的共性。

学习任务三，对于学生来说是应该是个难点，反思 1 正是学生的软肋，学生的代数意识淡薄，不善于用字母表示规律，这里面教师要关注弱势群体。所以这里面有一个小组交流的环节，目的是给学生充分表达的空间。而反思 2，是把全课进行梳理，明白生活中普遍存在一种用图、表，文字来表达一个变化的量是随着另一个变化的量而变化的。

积累数学活动经验的几点思考 (2011-09-22 19:50:25) 转载▼标签： 杂谈

在学习数学的过程中，由对数学知识的认识而产生的一些体验和意识的积累，就会渐成为一种经验 —— 基本数学经验。数学活动经验的积累，大致需要经过 “经历、内化、迁移” 的过程。

一、通过经历，获得数学活动经验

首先要注意的是，经历过程要 “生活化”。学生对知识的理解需要丰富的经验背景，如果脱离生活经验，让学生主动提出问题难度很大，也难以提高学生解决实际问题的能力。我们应以学生身边的教学资源为载体，环环紧扣，教师为学生创设了积极主动地学习探究活动，学生的主体地位才能得以充分体现。使学生从自己喜爱的活动中、提出自己真正关心的、真正想知道的问题。

其次要注意的是，经历过程要 “数学化”。动手实践是小学生学习数学的重要方式之一。但让学生动手 “做” 数学，并非意味着数学教学仅满足于让学生动手操作解决问题，那样他们对数学问题的思考就无法摆脱具体、直观的感性经验的束缚，数学抽象思维能力就不能得到训练与发展。因此，教师要让学生在充分感知的基础上，适时地引导学生观察、思考、发现、比较，揭示出感性经验背后的理性、抽象的数学活动经验。

二、经过内化，提炼数学活动经验

数学对于小学生来说，是他们对生活中的数学现象的解读。因此，教学要从学生已有的生活经验、“数学现实” 出发，通过与教材内容发生交互作用，在教师帮助下由学生自己动手、动脑做数学，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料、获得体验，将生活中的有关数学现象的经验进行类比、分析、归纳，加以总结与升华。作为教师，我们要善于运用生活经验的表象作用，引导学生深入进行 “数学化” 的探究。通过这些问题的探究，引导学生利用自身已有的经验探索新知识，掌握新本领。把教学的关注点放在促进学生的认识从模糊趋向清晰，从形象趋向抽象，提升数学活动经验。并经常在解决问题后的反思中，进一步体验生活经验对数学问题解决的好处，积极鼓励学生有意识地去积累生活中的数学经验。

三、应用迁移，拓展数学活动经验

如果学生的思维仅停留于感性经验的层面上，不能在感性认识中揭示、获取理性的经验，那么他们对数学问题的思考就无法摆脱具体、直观的感性经验的束缚，数学抽象思维能力就不能得到训练与发展。因此，教师要让学生在充分感知的基础上，适时地引导学生观察、思考、发现、比较，揭示出感性经验背后的理性、抽象的数学经验，让学生获取具有概括性、普遍性的数学活动经验。这样，学生才能学以致用、举一反三，灵活地运用数学活动经验解决问题。

http://blog.sina.com.cn/s/blog_8d5e62530100ygjb.html

感悟数学思想，积累数学活动经验

---- 从《课标》的三个案例说起

北京教育科学研究院 吴正宪

盼望已久的《义务教育数学课程标准》（以下简称 <课标>）终于和大家见面了。我作为基层教师代表参与了教育部关于《课标》的审定工作。在这里不仅有了静心再读、再品、再思考的空间，更是拥有了与数学教育大家对话、交流、研讨的平台。反复研读讨论，感想多多…… 由于篇幅的限制，本文仅以 “感悟数学思想，积累数学活动经验” 的角度，从三个案例说起。

 《课标》修订中在继承我国数学教育注重 “双基” 传统的同时，突出了培养学生创新精神和实践能力，提出了使学生理解和掌握 “基本的数学思想和方法”，获得 “基本的数学活动经验”。在强调发展学生分析和解决问题能力的基础之上，增加了发现和提出问题能力的课程目标。我赞成这样的补充。

数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂。数学思想方法是伴随学生知识、思维的发展逐渐被理解的，数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的。教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的学习转化为创造能力。这对于学习数学、发展能力、开发智力、培养创新能力都是至关重要的。

如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想，积累数学活动经验呢？我们从《课标》中新增加的三个案例的讨论说起。

 案例（一）

 图中每个小方格为 1 个面积单位，试估计曲线所围成的 面积。如图一:

(图一)

教师们对此题目并不陌生，，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来，用此方法估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。

在这次审定课标的讨论中，张恭庆院士的发言对我颇有启发。他认为这样处理没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。在张恭庆院士的建议下，我们进行了讨论，课标修改组对此也作了认真修改，以充分体现该题的数学教育价值。

教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边进行思考 “你认为曲线所围成的面积结果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？” 教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的 “单位” 即：以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有 75 个这样的单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有 113 个这样的单位）。进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。 由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。

如图二：

(图二)

在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。

教师继续追问 “那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！” 对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值。渗透极限思想。

如图三:

              (图三)

同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？

“数方格” 的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能 —— 数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。“寻找区间” 的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计 “单位” 是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从中渗透 “极限” 的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。

估算教学要通过在具体情境背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学数活动的经验。

案例（二）

“ 一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共 16 个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有 60 个，那么有几个椅子和几个凳子？”

此题目老师们似乎也很熟悉，有人把它称为 “鸡兔同笼” 的变型。这是在过去的奥数培训中是不可缺少的训练内容。今天的《课标》中又增加了这样的案例，为什么？该案例的数学教育价值何在？面对着同样的教学内容，今天该怎样进行教学？我们不妨将两种教学方法做一个比较。

过去教学此内容教师通常采用假设法，一开始就将自己明白的道理讲给学生，比如 “我们把所有的椅子都假设成有三条腿计算时，求出来的就是四条腿的椅子数；我们再把所有的椅子都假设成有四条腿计算时，求出来的就是三条腿的凳子数；” 接着一下子就把算式给出来了。

（60－16×3）÷（4－3）＝12（四条腿的椅子数）

（60×4－60）÷（4－3）＝4（三条腿的凳子数）

学生死记硬背公式，照猫画虎完成任务，没有经历公式数学化的学习过程。这样的教学事实上正像东北师大史宁中校长所说 “老师讲课不能太聪明了，老师虽然知道结果，但要引发学生思考。教师一下子把算式给出来了，学生还探讨什么？” 在这样的课堂里学生已经没有了探索的空间。《课标》教学建议中让学生在解决问题的过程中 “感悟数学思想，积累数学活动经验” 在此已经成为了一句空话！

我们一起来看看《课标》在案例的解读中给出了怎样的建议？这样的教学又会给学生继续学习数学带来怎样的后劲儿？

教师首先引导学生在对题目理解的基础上进行观察与猜想，并进行大胆尝试，让每一位学生亲自做一做，运用尝试的方法探索规律，得出结果。并记录计算的过程，引发新的思考。

如：

椅子数 凳子数 腿的总数

16         0          4×16=64

15         1          4×15+3×1=63

14         2          4×14+3×2=62

启发学生观察，“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少 4-3=1。” 如果继续尝试下去会有怎样的情况发生？学生带着观察结果，继续探究……

13         3          4×13+3×3=61

12         4          4×12+3×4=60

至此得到椅子数 12，凳子数 4 时，腿数恰好为 60。通过引导学观察发现：腿的总数为 60 时，需要减少的椅子数是 64-60=4，于是椅子数是 16-4=12，凳子数是 0+4=4。最后验证：12×4+3×4=60，是正确的。当然，也可以引导学生从凳子数的变化思考，即：“每减少一个凳子就要增加一个椅子，腿的总数就要增加 4-3=1。”

教学中教师通过引导学生以常见的 “四条腿的椅子、三条腿的凳子” 简单背景为研究素材，通过学生的观察、猜想、实验、发现 “每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少 4-3=1。” 学生在尝试中不断地归纳出数学规律，抽象出数学模型，并在此基础上推广到其他同类问题的研究中。学生在解决问题的实践中感悟数学思想，积累数学活动经验，这是培养学生数学能力的重要途径。

对于学有余力的学生，教师可以鼓励他们用字母代替椅子数与凳子数，得到计算腿的总数的数学模型。

学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，得出数学结论。学生经历了数学化的学习过程，体会到从特殊到一般的数学思想归纳法。归纳是人们认识事物的基本的思想方法，学生在数学活动中感悟数学思想方法，同时学会逐步积累利数学活动经验，为后续学习数学作好准备。

比较两个案例，您从中获得了怎样的思考？

案例（三）

图形分类

如图，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类的标准？根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。

面对着形状不同、颜色不同的、扣眼的数量不同的众多扣子，教师应引导学生该从何做起？如何理利用学生已有的经验进行分类？又该如何表示记录这些分类的结果呢？怎样渗透分类的思想？教学中教师要注重结合具体的分类任务，设计有效的数学探究活动，使学生经历完整的分类过程。建议教师可以先放手让学生先自己试一试，让他们在困惑中发现问题、提出问题、学会反思；再动手实践、归纳概括、形成正确的结论。具体建议分四步完成：

1、学生自己尝试、发现问题、提出问题。（为什么同样的扣子分的结果不一样？引起主动反思。）

2、讨论确定分类标准。（让学生理解分类是要依赖分类标准的，例如，可以根据扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量制定分类的标准。注意引导学生反思分类标准的交错造成的分类结果的重叠与遗漏，如：蓝色的一类，方型的一类，就会有扣子既不在蓝色的一类，又不在方型的一类，而有些扣子既在蓝色的一类，也在方型的一类。所以分类时，要按同一类的标准分。）

3、抽象出图形共性。（根据分类标准，引导学生实际操作，并运用文字、图画或表格等方法记录分类的结果，培养学生整理数据的能力。）

4、组织汇报。（学生报告分类结果，互动评价，教师引导学生回顾整理思路。）

《课标》指出：“分类就是一种重要的数学思想。分类的过程就是对事物共性的抽象过程。” 学生正是在尝试问题解决的过程中，感悟这样一种分类的数学思想和方法。在分类的过程中学生首先发现了问题 “为什么同样的扣子分的结果却不一样？”，引起主动反思，从而激起去寻求 “新分类标准” 的需求；然后再探索 “新标准下的分类方法”。学生经历了对 “形状不同、颜色不同、扣眼数量不同” 扣子的分类过程，在数学活动中体会着如何确定分类标准？如何在分类的过程中认识对象的性质？如何区分不同对象的不同性质？经过实验探索不断积累活动经验，加深对分类思想与分类方法的理解。学会分类，有助于学生分析和解决新的数学问题。学生在学习过程中成为了积极的探索者。

总之，教师要自觉帮助学生在积极参与数学学习中，重视数学思想的渗透和数学活动经验积累。正像史宁中校长所说：“数学思想很重要！我们过去的数学教育不注意思想是不行的。老师必须在脑子里形成思想，必须在教书的过程中把应该贯穿的思想贯穿。不然，创造性思想怎么培养？谈创造性，思想方法一点儿没有是不行的！”

参考资料：

1．教育部义务教育数学课程标准；

2．教育部义务教育数学课程标准 (修改意见)。

谢谢陈老师转载的关于基本活动经验诸多专家，学者的研究成果.

刘加霞老师提供的 <我的成绩是 52 秒 09，不是 51 秒 69> 读后很受启发，秒和亳秒之间的关系是通过游泳比赛发现的，就由经验生长出了新的知识点，给我们清楚地解释了什么是基本活动经验.

基本活动经验的含义、成分与课程教学价值

                     ---- 孔凡哲

摘 要：基本活动经验是个体在经历了具体的学科活动之后留下的、具有个体特色的内容，既可以是感觉知觉的，也可以是经过反省之后形成的经验。个体对于已有经验素材加工的深广度，直接影响着个体经验的品质。基本活动经验包含策略性内容，模式性、方法性内容与体验性内容等成分；同时，又可以区分为（行为）操作的经验、探究的经验、思考的经验与复合的经验。积累基本活动经验可以帮助学生形成理解性掌握，有助于感悟学科思维方式。在课程教学中，基本活动经验是综合实践活动的基本目标之一，是过程与方法目标的具体化，基本活动经验与基础知识、基本技能、基本思想同等重要。

关键词：活动经验，基本，策略性，模式，意义，价值

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1000-0186（2009）03-0033-06

在基础教育课程教学中，学生除了获得知识、技能、情感态度价值观之外，还能活得什么？在实践与综合应用的学习中，除了获得分析解决问题的能力，还能获得什么？在经历了活动过程之后，学生应该留下点什么？对此类问题研究的肤浅，在一定程度上限制了基础教育课程改革的发展。基于相关研究，史宁中教授在义务教育数学课程标准修订工作中提出 “基本活动经验”，并将 “基础知识、基本技能” 扩充为 “基础知识、基本技能、基本活动经验、基本思想”[1]（13）。关注基本活动经验已经成为完善课程标准的核心话题之一 [2]。

本文对此作进一步探讨，旨在揭示基本活动经验的概念本质。

基本活动经验的含义、成分与类别

（一）“经验” 的基本含义

在通常意义下，所谓经验就是按照事实原样而感知到的内容。哲学中的 “经验” 通常有两种解释，即来源于感官知觉的观念和来源于反思的（即我们由内省而知道的）那些观念。“经验” 是杜威教育思想的核心词汇。“经验” 一词有两种词性，一为动词，指相互作用的动态的经验过程，一为名词，指动态的经验过程造成的结果。

在 “课程论之父” 泰勒 (R.Tyler) 看来，经验是课程编制的基本素材，“教育的基本手段是提供学习经验…”，“学习经验是指学习者与他对做出反应的环境中的外部条件之间的相互作用”[3]，教师的职责是为每个学生提供有意义的经验。

2007 年《全日制义务教育数学课程标准》（修订稿）指出，“义务教育数学课程的目标在于获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。” 这里的基本活动经验，实际上是指 “学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”1（13）。

（二）基本活动经验的内涵

我们认为，在基础教育中，基本活动经验通常是相对于具体学科而言的，所谓某一个学科的基本活动经验，其实质在于，围绕特定的课程教学目标，学生经历了与学科相关的各类基本活动之后，所留下的直接感受、体验和感悟。它是经验的一种，属于学习本学科课程过程中，学生与学习活动相互作用的结果。由于经验的层次、水平（特别是，由于经验获得者的抽象、概括和反思水平）所限，个体之间的活动经验有较大差异，即使在同一个活动中，不同的个体所获得的基本活动经验也会有所不同，这往往取决于个体对活动的感知水平与反思能力。

从具体内容上分析，学生的基本活动经验包含三类基本内容：

1．一种体验性的内容，这种经验成分更多地表现为，学生在经历了活动之后在自己的情意世界所形成的有关相应学科活动的、稳定的心理倾向。这属于一种典型的情感、意志成分，有时甚至带有个人的人格成分。其主体是个体对于相应活动而感觉、知觉到的直接内容（属于直接经验），部分属于直接经验基础之上初步体验及其简单加工的结果。

2．一种策略性内容，即学生获得了这种活动经验之后，积累了开展类似活动的一种或几种基本的策略。这种策略既有方法学知识的意味，更有学生对这些策略性内容的自我诠释、自我解读。它属于典型的个体知识，而不是作为学科知识出现的一般知识。

3．一种模式性、方法性的内容，这种内容与第二类类似，都是在学生获得了这种活动的初步经验之后，经过个人反省而提升出来的、开展类似活动的一种或几种基本模式、基本方法。它仍属于典型的个体知识。

基本活动经验是个体在经历了具体的活动之后留下的、具有个体特色的内容，既有感觉知觉的内容，也是反省之后形成的经验。个体对于已有经验加工的深广度、准确性，都会影响个体获得的基本活动经验的质量。

从哲学上讲，在某个具体的学科教、学中，让学生获得基本活动经验，本质上是让学生获得学科直观（直觉），这是学生获得学科发展的源泉。但是，无论是作为策略性内容出现的经验，还是作为模式、方法性内容出现的经验，都是在直接的、感性的经验基础之上，经过个体的自我反省（反思）而形成的，它们带有明显的 “再抽象”、再加工痕迹，都是基于个体对活动过程的再现所致。

二、基本活动经验的成分和类别

史宁中教授指出，“我们大体上可以把经验分为感性经验和逻辑经验。感性经验也依赖思考，但更多的是依赖观察；逻辑经验也依赖观察，但更多的是依赖思考”[4]。这是关于活动经验的最基本的分类。

更进一步地，在开展活动中，人的活动可以区分为思维的操作活动和行为的操作活动，同时，由于活动对象与现实的距离有别、抽象程度的差异，而导致思维层次有高低之分。因而，可以将基本活动经验区分为更细致的若干层次、类别：

（一）（行为）操作的经验

这里的操作主要是指行为的操作，而不是指思维的操作。这种操作是进行抽象的直接素材，一般是直接经验。这种操作的直接价值取向不是问题的解决，而是获得第一手的直接感受、体验和经验，亦即，在实际的外显操作活动中来自感官、知觉的经验。如，折纸活动的经验。如果一位学生亲身经历了如下活动，并且在活动中进行适当的反思、回味，那么，他对于 “圆” 概念的理解一定非常深刻：将一张较软的纸对折，再对折；而后，不断对折，从第三次对折开始，每次对折的折痕都经过第一次、第二次折痕的交点；直到对折不能进行为止。将折出的扇形的多余部分撕掉，保证将折叠的每层纸都撕到，而且撕口线尽可能平整。将剩余的部分打开铺平，就得到一个近似于圆形的纸片。

在日常的课程教学中，我们平时所说的 “让学生亲身经历操作的过程” 就是期望学生获得这种操作的经验（属于直接经验）。

（二）探究的经验

这里的 “探究” 指的是，立足已有的问题，围绕问题的解决而开展的活动，这里的活动既有外显行为的操作活动，也有思维层面的操作活动，但是，无论如何，这种操作活动并没有完全脱离行为操作，而是融行为操作与思维操作于一体。同时，这种探究的直接价值取向是问题解决，而不仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，探索所获得的经验一般是直接经验。

探究的经验不仅表现在某个具体的学科领域，而且也表现在，综合运用多学科知识解决一个综合的课题而获得的直接经验。这些经验既可以是在探索直接源于生活、社会中的活动而获得的经验，也可以是探索间接来源于生活、社会的活动中获得的经验；这里的活动，既可以是为了学生的学习而设计的纯粹的学科活动，也可以是源于学科本身的活动。但是，无论如何，在这里，供探索的活动都有直接的活动材料、内容（情境一般比较真实，相对具体），而不是间接的、纯粹思维层面的活动。例如，在高速公路上行驶的汽车中，如何估计汽车行驶的平均速度？对于这个问题的探究，就是一个很好的综合课题。对此，学生有很多种方案，如，借助自己脉搏的跳动次数，当汽车行驶到两个里程标志之间时，测量出自己的脉搏在其间跳动的次数，将其换算成时间，就可测算出汽车行驶的平均速度。如，平时自己的脉搏每分钟跳动 63 次，而在第 352 千米与 353 千米之间行驶时，脉搏跳动了 32 次，也就是说，在大约 30 秒的时间内汽车行驶了 1 千米，从而，车速大约是 2 千米 / 分钟，即 120 千米 / 小时。其间，不仅用到医学、物理学知识，也用到了估算等数学内容。

（三）思考的经验

在思维操作中开展活动而获得的经验，即，思维操作的经验，比如，归纳的经验、类比的经验、证明的经验。它既可以是直接的经验，也可以是间接的经验。就人的理性而言，思维过程（特别是基于逻辑的思维过程）也能够积淀出一种经验（这种经验就属于思考的经验），一个经历丰富并且善于反思的人，他的直观能力必然会随着经验的积累而增强。而直观能力也不是一成不变的，随着经验的积累其功能也可以逐渐加强或拓展。不仅如此，思考的经验既可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至是产生于某些实验过程之中。

传说中的伽利略，先进行了 “思考的实验”，而后才进行实际的抛球实验，亦即，伽利略所在的那个时代坚信 “重的物体下落的速度更快一些”，对于物体 A、B，A 更重一些，于是，按照当时的观点，A 下落的速度应该更快一些；如果将 A、B 两个物体绑在一起，成为一个新的物体 C，那么，C 下落的速度应该比 A 更快一些；从常理上说，一个速度快的物体绑上一个速度慢的物体，这个 “合成” 物体的速度应该比快的慢一些，而比慢的快一些，从而，物体 C 的速度应该比 A 慢一些，而比 B 快一些。而两种分析方式都是 “合理” 的，只有一种情况下才不会产生矛盾，这就是 “将物体 A、B 是否绑在一起，其下落的速度不受影响”，亦即，物体的下落速度与其重量无关。正是基于这种 “思考的实验”，伽利略已经从中预测到实验的结果，而后只需要在真实的实验中验证自己思考的结果，从而进行了真实的比萨斜塔实验 —— 在比萨斜塔上将两个重量差异较大的铁球同时自由下落，发现二者几乎同时落地。

在上面的两种实验中，前者的实验是在思维层面进行的，而没有依附实在的器材、现实的物体等，仅仅在头脑中进行的；后者的实验是在真实状态下进行的，是经过个体的直接操作而获得的。相比之下，从真实的比萨斜塔实验中获得的更多的是体验性的经验（感性的成分更多一些），而从 “思考的实验” 中获得的更多的是策略性、方法性的经验（理性的成分更多一些）。

对于这个故事的听众来说，在经过自己的独立思考之后也可以获得思考的经验（即一种策略性的经验），而这种经验相对于抛球活动来说是间接经验。

（四）复合的经验

指兼有上面所述的（行为）操作的经验、探究的经验、思考的经验等三种类型中的两种以上的经验。

在现实状态下，特别是教育教学活动中，活动经验既有可以是直接操作的经验，也可以是思考的经验、探究的经验，更有可能包含操作、探索、思考等多种成分在内。例如，在诸如购买物品、校园设计等直接的行为操作活动中，对大多数人来说，活动之初往往需要先进行思维上的深思熟虑而后再操作，这就是 “思考的经验” 产生的基础。在开展预测结果、探究成因等活动中，运用分析、归纳等方法开展活动有时也需要借助部分的实物操作而进行，因而，在一些思考的活动中所获得的经验，一般是思考的经验，有时也混杂着操作的经验。

总之，在基本活动经验中，“操作的经验” 中的 “操作” 实际是广义的，凡是动手实践都可以理解成（行为）操作；而 “思考的经验” 中的 “思考”，既可以是预测性的思考，也可以是反思性的思考，也可以是调查性的思考，只要是依据思维材料（而不是借助外在的实在物体）而获得的，都可以理解成思考的经验。

三、基本活动经验的主要作用和功能

经验是课程设计的基础和内容来源，是学生构建理解的直接素材。在人的可持续发展中，直观能力和思维水平起主要作用。而只有将 “先天的存在与后天的经验” 有机结合才能形成人的直观能力，进而实现可持续发展。因而，让学生获得必要的基本活动经验，就成为基础教育课程的重要目标之一，也是学生获得终生可持续发展的基本源泉。

（一）有些经验的获得可以强化对有关知识、技能的理解，个体的基本活动经验是构建个人理解、形成理解性掌握不可或缺的重要素材

个体的基本活动经验是构建个人理解、形成理解性掌握不可或缺的重要素材。一方面，经验的获得时常可以促进、强化有关知识的理解和掌握。例如，“利用一张纸折出平行、垂直的一组线” 的折纸活动，可以深化对于平行、垂直概念的理解和认识。其中，具有折纸经验的学生对于 “垂直”、平角与直角之间的关系的理解，往往是深刻的、准确的。另一方面，经验是活动的派生物，对于那些技能性的学习内容而言，技能性的操作活动本身就可以积淀一些经验，而这些经验往往与相应的技能密不可分。例如，“利用一根绳子、一个粉笔头和一个图钉，在黑板上画出一个圆” 的活动，可以深化对于圆的画图技能的理解和把握，其中，活动经验起主要作用。事实上，在积累 “画圆” 经验的过程中，最为核心的内容就是 “要保持粉笔头与图钉之间的距离保持不变”，这恰恰是画圆技能的核心。

（二）基本活动经验可以强化动机、情感、态度、价值观，而有些学科的基本活动经验有助于净化心灵、完善人格

基本活动经验之中含有体验性成分，而这些体验性的经验，对于个体从事相关的活动具有重要的诱导和指向作用，如果个体对于发现新知所形成的经验和体验已经凝聚成稳定的情绪特征（如，兴趣、爱好），那么，这些情绪特征对于进一步开展类似的活动具有导向作用。因而，让学生经历科学研究的基本过程，“重走科学家走过的发现之路”，这种经验的积累对于培养中小学生的创新素养具有不可替代的作用。不仅如此，不同学科的基本活动经验，对于学生良好的人格塑造具有不可替代作用 —— 基本的数学活动经验有助于学生形成严谨、务实的思维习惯，定性思考、定量把握往往成为数学活动经验积淀和升华的结果之一；哲学思考的活动经验，往往可以诱发学生慎思、明事理，辩证地处理问题；…。因而，引导学生积累活动经验并进行及时的积淀升华，就成为基础教育课程教学的重要目标之一，而不同学科活动经验的均衡发展，才有可能实现学生的全面发展。

四、基本活动经验的课程教学价值

人类的一切知识都是从直观开始的，从那里进到概念，而以理念结束。直观能力的存在是先天的，但一个好的直观能力的养成却是依赖于经验的积累。直观的培养更依赖本人参与其中的活动，包括观察、思考、判断等等。如此，积累活动经验就成为学校教育的一个更加直接的目标和追求 6。

（一）获得必要的学科活动经验和与学科学习有关的生活经验，是进行科学建构、实现学生在学科上的全面发展的基本前提。

一般说来，数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于推理 6。不仅仅是数学，在许多学科中，对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观，而直观能力的培养依赖于活动经验的积累。因而，让学生获得必要的学科活动经验，以及与学科学习有关的生活经验，是建构理解、进而实现学生在学科上全面发展的基本前提。这些经验不仅是概念、定理、定律等基本内容建构的原始素材，而且也是学生学科直观能力发展的土壤，而其中的基本活动经验的全面性、准确性，对于学生形成有关学科的基本素养、能力，具有十分重要的影响。无论是有意义接受式学习，还是探究发现式学习，已有的经验和知识基础对于新知的形成都是十分重要的，而教师的作用恰恰体现在搭建 “起点是学生已有经验（已知）、终点是学习目标（未知）” 的一座桥梁，其间，学生原有的策略性、方法性的经验、原有的认知风格等等，对于自我建构起主要作用，而用于建构理解的那些素材性经验的多寡优劣，对于学生学习的效率起重要影响。

（二）一定数量的基本活动经验，是实现过程与方法目标的基本载体

自实施基础教育新课程以来，人们对于 “知识与技能”、“过程与方法”、“情感、态度价值观” 三维目标的认识，基本上停留在这样的理解，即，“过程与方法” 突出的是让学生 “学会学习”，使学生获得知识的过程同时成为获得学习方法和能力发展的过程。

这种理解并没有错误，但是，这种理解的深度是不够的。我们认为，“过程与方法” 的确突出 “学会学习”，但是，达到 “学会学习” 最直接的学习结果就是让学生积累基本的活动经验，获得学习方法和能力发展。其中，有些活动经验进一步发展为学科思维方式、思考模式，有些活动经验积淀为策略性知识、学科的基本思想，而有些活动经验则积淀为学科智慧、学科能力。与其同时，在积累活动经验过程中，学生所掌握的学习方法也往往依附于活动经验而存在（至少具有典型的个性化特征，具有学生对于这些方法的个人诠释，而这种诠释往往与活动经验交织在一起）。因而，学生是课程实施中的主体，他们在这一过程中的亲身体验和活动经验，本身就是一笔财富，将会对其未来发展起到十分重要的作用。

（三）获得基本活动经验，是 “实践综合应用” 领域的基本目标之一

众所周知，各科课程标准将本学科内的 “实践综合应用” 领域以及作为一门课程出现的 “综合实践” 的课程目标定位在 “综合运用所学知识分析问题、解决问题”，因而，多数人士认为，这个领域仅仅是 “综合应用” 而已。

其实不然，这个领域除了 “综合应用” 之外，一个十分重要的课程目标就是 “获得基本活动经验”，这种经验就是发现问题、提出（学科）问题，进而分析问题、解决问题的直接经验，其中，往往既包括了归纳式（即合情推理式）的经验，也包含了逻辑、演绎推理式的经验。前者往往体现在将 “现实问题学科化” 的过程之中，这种建立模型的思维过程积淀下归纳、抽象的经验；而后者体现在将已经建立的模型、已经发现的问题，运用本学科的有关原理、方法加以解决的过程，这个过程通常是演绎式的，是从一般到特殊的过程。

（四）获得基本活动经验，是情感态度价值观目标实现的必要前提，也有助于知识技能目标的实现

人的思维过程其实是认知、情感、意志相伴的过程，是 “情知对称” 的过程。正如美国学者 B.S. 布卢姆指出的，“在一门学程中，每个情感目标都伴随着一个认知目标”。而基本活动经验之中含有体验性的成分，这些成分与学习情感、意志密不可分。不仅如此，基本活动经验既包含着学生进行知识技能学习过程中 “思考的经验” 和体验，也包含着学生对于知识技能的自我诠释。因而，获得基本活动经验，就成为情感态度价值观目标实现的必要前提。

（五）有些经验直接派生出智慧、方法、思维模式，特别是，积累学生全面的学科活动经验，有助于全面提高学生的思维水平，更好地培养创新性人才

由思考的经验、亲身探究的经验，有可能派生出一种思维模式、思维方法。事实上，基本活动经验之中含有策略性的成分、方法模式性的成分，这些成分对于学生开展创新性活动具有十分重要的奠基作用，特别是，个体已有的关于归纳的活动经验，对于发现真理具有重要启迪作用。相比之下，如果个体已有经验之中不具备归纳的经验，那么，他只能习惯于演绎思维方式（即演绎思维的经验在发挥作用），让其发现新知几乎是不可能的，真理的发现毕竟靠归纳思维，而演绎思维的作用在于验证真理，通常所说的 “一个人 18 岁之前没有独立思考过一个问题，没有经历发现问题、提出问题进而分析解决问题的全过程，长大以后成为创新人才几乎是不可能的”，正是说明 “思考的经验” 的作用和策略性经验的价值。

从学理上说，一个人创新能力的形成依赖于知识的掌握、思维的训练和经验的积累。因而，有计划地使学生获得有关归纳思维、演绎思维的基本活动经验，是培养创新人才所必需的，特别地，全面积累学生的基本活动经验，将有助于培养和提高学生的归纳思维、演绎思维的水平，进而，提高中小学人才培养的整体水平。

将基本活动经验确立为基础教育课程教学的基本目标之一，是对于我国课程理论的进一步完善和现代发展。

1 本文是在史宁中教授指导下完成的。本文通讯作者系史宁中教授。

原载《课程・教材・教法》2009 年第 3 期：第 33-38 页.

作者简介：孔凡哲（1965— ），山东济宁人，国家基础教育实验中心副主任、教育学博士，东北师范大学教育科学学院教授、博士生导师，主要从事课程与教学论、数学教育、教师教育等领域的教学与研究。

参考文献：

[1] 史宁中，柳海民。素质教育的根本目的与实施路径 J，教育研究，2007（8）：13.

[2] 孔凡哲。深化基础教育课程标准的若干思路 — 来自教科书实验的启示 J，教育研究，2008（4）:56-62.

[3] 拉尔夫・泰勒著，施良方译。课程与教学的基本原理 M，北京：人民教育出版社，1994：49.

[4] 史宁中。数学思想概论・图形与图形关系的抽象 M，长春：东北师范大学出版社，2009 年 1 月：224-225.

“基本活动经验” 之联系

                    武秀华

每天到任景业老师的博客里淘宝，近日他一直在写关于《我看 “课标” 系列》的文章，文章很好看，生动，通俗易懂。不过毕竟任老师脑子里那些宝贝，并不是完全能转化为我们头脑里的智慧。这体会就像品茶，得慢慢地品。他说 “发现两个事物间的联系是基本活动经验不可或缺的”。我觉得有道理，但是体会不深。今晚发生的一件小事，让我一下子有了深刻地体悟。

家在东北，目前为止最低气温还在零下 10°——20° 徘徊。家中的阳台在北面，一个冬天墙上结了不少霜，随着温度升高。这墙上的霜化成了水，地面全是积水。我让先生帮忙把地上的水擦干。阳台的灯不甚亮，感觉东面的墙上有斑驳的印迹，“不知道是墙湿了，还是晾衣架的影子？” 我在阳台门口问了先生一句。先生拿起笤帚杆撞了一下晾衣杆，只见墙上的斑驳之处也随着动了一下。我不由得连声称赞先生聪明。如果是我，我会绕过地上的积水，到墙上摸摸来证实是墙湿了，还是影子作怪。

我问先生你是怎么想到用笤帚杆撞晾衣架一下呢。他笑而答曰：“经验！，晾衣杆动了，影子就动了” 我忙问：“具体说说，是什么经验让你找到了这个办法。” 他说：“既然想判断这个是不是影子，小时候玩手影，手动影子动。晾衣杆动了，如果斑驳之处动了，说明就是影子。”

忽然想起任景业老师说的 “联系”。先生是属于那种从小就爱琢磨的人，就是玩也能变着法的玩出花样的孩子。先生聪明这里面有 2 点：

1、 手影游戏，是他很喜欢玩，也一定在其中体会了很多乐趣的游戏，乐趣中不免生出很多的想法，可能就是智慧吧。

2、 他善于联系，所以才找到新问题与旧的经验间的联系来。

而我则不同。我也知道物体动，影子也会动的道理，为什么我会傻傻地想到到墙上摸一下呢？可能对于 “物体动、影子动” 的道理体会不够深刻。手影的游戏在我的儿时并没有像先生那样给他带来无尽的乐趣更没有在乐趣中积累经验。最重要的是我不善于联系。

联系到我们的课堂教学中要帮助学生积累丰富的活动经验该怎么办？随便想到的几点：

1、 数学活动一定是能让孩子们感兴趣，有了兴趣，积累的经验才能记忆深刻。

2、 在活动中，给孩子们思考的机会，特别是善于唤醒孩子已有的生活经验。并找到他们之间的联系。

3、 善于反思，给学生实践应用的素材应有利于学生沟通已有经验与解决问题之间的联系。

呵呵，慢慢体会中！

学习心得：去武老师空间看到这篇字数不多的宝贝，觉得武老师把数学活动经验真是用心琢磨了，由一个生活经验入手，让我明白了学生活动经验地积累就是和我们生活中活动经验地积累有异曲同工之妙，只不过前者更贴近目的性，因为使我们老师有意设计地活动，而后者是自觉生成，是 “偶遇”。

“基本数学经验” 的界定与分类

张奠宙 (华东师范大学数学系　200062)

竺仕芬 (宁波教育学院　315010)

林永伟 (杭州师范大学　310036)

在《数学课程标准》的修订过程中，东北师范大学史宁中校长提出，在注重 “基本知识” 和 “基本技能” 的同时，要积累 “基本数学经验” 和发展 “基本数学思想方法”. 这是数学教育研究上的一个重要进展。应该说，基本数学思想方法，已经研究多年，提法不算太新。但是，数学基本经验的提出，则在理论和实践上，都具有很大的学术价值和创新意义。本文拟对 “基本数学活动经验” 做出界定，探讨其内涵，给出一些具体的教学建议.

一、什么是基本数学活动经验

数学教学要创设源于学生生活的情境，尽量贴近学生的日常生活经验。这已经成为大家的共识。但是，数学其实不完全是从现实生活情景中直接产生的。人们基于日常生活经验，还必须通过一些感性或理性的特有数学活动，才能把握数学的本质，理解数学的意义。所谓基本数学经验，当是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学活动经验的积累过程是学生主动探索的过程.

数学活动经验有以下的特征.

1．数学活动经验，是具有数学目标的主动学习的结果。数学经验来源于日常生活经验，却高于日常经验。比如，同样是折纸，可以是美学欣赏，可以是技能训练，但也可以是数学操作。作为数学活动的折纸，其目的是学习数学，包括学习轴对称概念，图形的运动，图形的不变特征等等。没有数学目标的活动，不是数学活动.

2．数学经验，专指对具体、形象的事物进行具体操作和探究所获得的经验，以区别于广义的抽象数学思维所获得的经验。如果把抽象思维、数学证明、探究解题都算作 “数学活动”, 那就过于泛化。整个数学教学都是 “数学活动”, 没有特定价值了.

3．数学经验，是人们的 “数学现实” 最贴近现实的部分。人们学习数学，逐步形成了个人的数学现实。数学现实象一座金字塔，从与生活现实密切相关的底层开始，一步步抽象，直到上层的数学现实。高度抽象的数学概念，无法在具体的生活现实中找到原型，从质数、合数直到哥德巴赫猜想，已经没有直接的生活原型了。学生学习数学，要把握一大批从生活现实上升为数学现实的完整认识过程，成为学生整个数学现实的基础.

4．学生积累的丰富的数学活动经验，需要和探究性学习联系在一起，使其善于发现日常生活中的数学问题，提出问题，解决问题。学生在发现问题、提出问题和解决问题的过程中，又获得一定的数学活动经验.

二、基本数学活动经验的类型

数学经验，依赖所从事的数学活动具有不同的形式。大体上可以有以下不同的类型.

1．直接数学活动经验：直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验这种经验是日常生活经验的扩充，但是具有一定的数学目标。小学生往往不能回答什么是 “011”, 却能够说出:“011 就是 1 角”. 可见，学生掌握的数学知识中有相当一部分，直接来源于日常生活现实。我们应该主动地设计源于实际生活的数学活动，体察其中的数学底蕴，获得相应的数学经验。例如，

三角形分类和日常生活中具体对象的分类.

从平面上位置的确定发展为平面坐标系

根据银行信息计算各种利息

组织旅游活动时制定预算

摸球活动体会随机事件的概率

收集本班同学身高的信息，进行初步数据处理

梯子的数学。考察梯子斜靠在墙上形成的直角三角形，从中可以研究投影、斜率、三角比等一系列的数学问题.

这些活动，已经出现在《数学课程标准》以及大量的课案当中，渐渐地成为大家的共识。需要注意的是，这类直接源于生活经验的数学活动，必须有明确的数学目标，体现数学本质，不能停留在原来的生活经验上，下面还会论及.

2. 间接数学活动经验：创设实际情景构建数学。模型所获得的数学经验这些情景，依时间地点的不同，教师的关注程度，组织起适当的数学活动，最后以数学建模的方式，获得应用数学解决问题的实际经验。由于实际情景非常复杂，课堂上使用的情景，经过提炼、简化、筛选，离开实际状况有一定的距离，但是仍然是密切结合实际的数学体验.

・鸡兔同笼的模型，学习算术解法或者方程解法.

・在矩形场地上，以一半面积设计花坛，要求美观.

・结合嫦娥登月工程，学习椭圆知识.

・结合海军访问美国，学习球面上的最短线 ——— 大圆.

・用多媒体手段，观察掷硬币时国徽向上的统计规律，体验大数定律的意义.

・三角函数周期性图象的获得.

这类活动的特征是模拟。我们不会面对一个真实的 “鸡兔同笼”, 只知其总头数和总脚数而不知道各自的头数。这是一个想象的模型。嫦娥登月工程不是我们设计、操作的，是在假想的模型中进行观察和探索.

3. 专门设计的数学活动经验：由纯粹的数学活动所获得的经验这类活动，是具体的数学操作，专门为数学学习而设计、服务的。它们是具体的、形象的、肢体的活动，却充满着数学意味。例如

・扳手指头数数.

・用算盘学习位置制.

・测量三角形内角和.

・研究任意三根棒能否构成三角形.

・尺规作图.

・通过测量给出圆周率的近似值.

・制作立体几何模型.

・用计算器作数学运算.

这些活动，在生活现实中是没有的，只有学习数学和运用数学时才遇到。我们把它看作日常生活现实在数学上的扩充。例如尺规作图，是纯粹的数学操作，但是有肢体活动，有形象显示，能够促进数学思考。这些活动，在历来的教学大纲中多有提及，只是缺乏明确的规定和实施的指导。我们应当有意识地加以积累，成为数学学习的有机组成部分.

4. 意境联结性数学活动经验：通过实际情景意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质这类数学活动经验，不是直接产生于某种实际活动，而是将抽象的数学概念和法则，借助举例、比喻、联想等方法，寻求某种具体的形象化的支撑，获得具体的意象固着点，获得某种相对现实的数学经验.

例如，分数通过扩分于约分可以有许多的表示，这些表示构成一个等价类。于是我们不妨把分数比喻为一个大家庭，每个成员都能代表家庭去做事。也可以把分数的多种表示，比喻为一个人可以穿许多不同的衣服，在不同的场合穿不同的衣服 (两个分数加减需要通分，好象不同场合需要穿不同衣服) . 这样的比喻，并非直接从事具体形象的数学活动，而是将以前具有的生活现实，

通过比喻、联想、借鉴等方法，使得抽象的数学内容，和生动的具体意境建立起一种联结，找到一个可以具体把握理解的、基于现实的立脚点。也就是说，把抽象的数学概念，通过具象的、经验的、生动的已经联结，把数学学术形态转化为教育形态。这样的例子很多.

・正负数的加减运算，规则很多，实际上的生活原型是 “抵消”. 3 - 4 正负抵消之后，剩下的是 - 1.

・向量的内积：购货时的付款金额就是 “数量向量” 和 “价格向量” 的内积.

・2 是实际存在的量：边长为 1 的正方形的对角线长度.

・多米诺骨牌与数学归纳法.

・轴对称运动与诗词上下联的对仗，都是在变化中保持某种不变性.

・极限的文学意境:“一尺之棰，日取其半，万世不竭”, 以及 “孤帆远影碧空尽 “的动态过程.

・方程函数与 “关系”(下文作进一步解释) .

尽管以上的分类不是完全的，但是已经可以看到基本数学活动多种多样、内容十分丰富。我们的任务，是在适当的数学课堂教学中设计和运用这些基本活动经验，使得学生能够为抽象的数学找到具体形象的原型，增进数学理解.

三、积累数学经验的教学案例分析

如何积累基本的数学经验，使之成为学生形成数学现实、构建数学认知的现实基础，是数学教学贯彻素质教育的重要课题。晚近以来，经过积极的提倡和实践，努力创设数学情境，初步形成了一批有价值的课案，与此同时，也有一些不大成功的事例，值得我们总结。以下是我们的一些认识：

1．数学活动应该成为数学学习的有机组成部分，不能可有可无。尤其是总结精选课题，形成一批具有保留价值的经典课案，作为大家的共识，成为课堂上经常使用的课例

例一：巨人的手 ( Freudent hal 经典情景) :

昨晚，外星人访问我们学校，在黑板上留下了巨人的手印，今晚他还会来，请你设计为巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸.

显然，这是一个儿童喜闻乐见的故事。要求学生从事有关 “相似” 以及 “比和比例” 的数学活动。活动内容包括度量 “巨人” 和 “我” 的手 (例如中指) , 找出二者的比值，然后按这个比值，放大我们的书籍，以及桌椅的尺寸.

数学教学中，让学生用刻度尺度量是常有的活动。这个经典活动的特点是：学生们通过度量活动不仅只得出一些尺寸数据，而是紧紧围绕 “比值” 不变的思想进行，将度量和几何上的相似的概念密切结合起来。这样量，量得有价值，有意义。可以相信，这种自己动手、探究体察出来的数学经验，将会长远地保存在记忆里，成为 “比例”、“相似” 等数学概念的现实基础.

例二：用二次曲线画米老鼠.

华东师范大学二附中郑耀星老师，曾经在二次曲线学习的单元，要求学生用二次曲线画 “米老鼠” 或其他图形，并写出各段曲线的坐标方程。这是要求艺术和数学相结合的数学活动。他在立体几何教学中，还要求用球体、锥体、柱体构作班级运动会的奖杯，也是有意义的数学活动。这样的活动，既是具体的形象化的，又充满着主动探索创新精神，应该成为数学教学的重要组成部分.

2. 数学活动要源于日常生活，但是高于日常生活我们常常看到一些教案，把大量的时间化在重复日常生活经验之上，不能高于生活，失去了数学活动的意义，于是也得不到正确有效的数学经验.

例三：坐标系的作用只是确定位置吗？

常常看到一些发表的获奖数学教案，以平面坐标系的引入为主题，但是使得学生 “活跃” 起来的部分，却是 “电影院找座位”, 学校在 “鼓楼东大街和 XX 南大路的交界处”, 猜 “我的好朋友在第几排第几座”, 甚至让一个学生蒙着眼睛听指挥找到某朋友等等。这些活动没有数学价值，仍然停留在 “生活经验” 的水平。数学课需要了解的是，坐标原点如何选取，坐标轴如何架设。在教室里设置坐标系之后，可以看到两个坐标相同的同学构成一条直线，而两个坐标都是负数的同学构成第三象限等等。总之，在初中阶段，坐标系的价值不再集中于描述 “位置”, 而是用来表示数学对象，这样的数学活动才能获得有价值的数学经验.

例四：关于必然事件和随机事件的活动.

概率和统计作为学习领域正式进入课程标准，这是一个十分重大的进步。于是我们看到小学数学公开课教案里，常常设计了许多学生参加的活动。有的教案，让学生在全是红球的袋子里摸红球，在全是白球的袋子里也摸红球，前者是必然事件，后者是不可能事件。这样的活动，对学生没有多少帮助。实际上，必然事件，随机事件，从幼儿时期已经有过许多经验 (比如，猜一块糖在左手或右手？就是处理随机事件) . 概率统计的数学活动，应当把数学活动的焦点，放在可能性的大小。低年级只要能分辨大小，学习分数之后，就要用分数来表示.

总之，我们设计数学活动，不能停留在生活经验，而要有数学味，提升为数学活动.

3. 拓展生活现实领域，扩大数学经验的范围。数学的学科我们应该深入开掘数学活动的现实源泉，通过联结与想象，使得抽象的数学找到现实的固着点，包括在意境上彼此沟通，从而获得有益的数学经验。前已提及，学生会认为 “011 是一角”. 这一事例再清楚不过地表明了抽象数学需要一个生活上的固着点。更进一步，还可以有以下的例子.

例五：方程与 “关系”.

方程的定义往往以其外在的逻辑形式而呈现出来，含有未知数的等式叫方程。这样的定义冷冰冰地没有生活背景。我们可以进一步揭示它的内在的数学本质：即方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系.

于是，“方程” 就和日常生活中的关系连接起来。比如，我们为了认识 “未知数” 先生，必须请 “已知数” 先生为中介，找到一种关系，根据关系就能认识 “未知数” 先生了.

这样，我们就为方程找到了一个生活经验上的立足点，成为一种数学经验.

例六：极限与古诗.

数列趋向于 0 的极限，有其一定的生活背景，教科书上常常引用 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” 加以揭示。数学名家徐利治先生，则用 “孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流” 的诗句表现趋向于 0 的极限意境，似乎更为传神.

最后，我们要指出的是，实际情景未见得都和学生的生活经验相吻合.

例如，我们曾经看到关于 “代数式” 的一个引例。内容是说:

一隧道长 l 米，一列火车长 180 米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为 t 分，则列车的速度怎么表示？导入新课，指出：象 “(1 + 180) /t” 这类表达式称为代数式.

这样创设的情景看起来联系生活实际，实际上离开学生的实际很远。隧道不是学生熟悉的场景，更没有 “火车通过隧道” 要加上 180 米的实际经验。由此得出 “代数式” 的概念，实在牵强，得不偿失。情景创设远离教学主题，只求包装靓丽，不管学生需要，是一种时髦的、但不好的倾向.

我们认为，代数式的引例应该十分简单。例如矩形的长 a , 宽为 b, 求矩形的周长 2 ( a + b) 和面积 a・b, 就很好。这些是学生的基本活动经验，而上述的 “火车过隧道” 则不是.

总之，积累 “基本数学活动经验”, 形成比较完整的数学认识过程，构建比较全面的数学现实，对于提高我国的数学教学质量，帮助学生获得良好的数学教育，具有重要的意义，值得我们认真加以研究，贯彻实施.

我们希望，未来的数学教学，在积累学生的数学活动经验上有以下的措施:

・《数学课程标准》中列出的最基本的 “数学活动”, 作为 “规定动作”, 人人都要经历学习.

・出版《数学活动案例集》, 供数学教师选择使用。这些 “自选动作”, 要根据学生和教师的具体情况，在课堂上使用.

・积累 “数学活动教学” 的教学经验，摆脱过度形式化的数学思维模式，把各种数学活动 (大型的或小型的，甚至是微型的) 组织进课堂教学，使得学生的 “数学现实” 中具有深厚的生活经验支撑，社会人文意识，从感性到理性的完整认识.

参考文献

1. 史宁中.《数学课程标准》的若干思考。数学通报，2007 ,5

2. 张奠宙。关于数学知识的教育形态。数学通报，2001 ,5

今天去任景业老师空间淘宝，发现了《研究课标的建议（1）》这篇文章，结合我们研究数学活动经验，里面有这样得几句话让我受益匪浅，想和大家共勉。

（研究课标我们要）回答常见的几个问题：

    谁？—— 是什么样的关键词？不可能研究全，找一、二个足亦。

    是什么？—— 关键词是怎么说的？内涵是什么？

    为什么？—— 为什么提出这个做为关键词？

    怎么样？—— 从不同的角度理解它？无论是老师还是研究者，如果没有案例的支撑，理解是不全面的，也是苍白无力的。

    怎么做？—— 我们一线老师学的目的，最终是希望能调整、改进自己的教学行为。选择一个案例试一试，能不能做到如专家们所说的？多做几次尝试试一试。

本帖最后由 陈汉操 于 2013-3-31 11:51 编辑

用一节课来研讨数学活动经验

（一）观察照片，导入新课

258

B. 用铅笔画轮廓的方法。

260

教师让学生比较普通白纸和餐巾纸，那张更适合描边线的方法。

261

262

263

264

课件出示题目。

265

266

图片：

本节课特点之一就是充分挖掘学生活动，学生用多种方法从立体图形中请出了平面图形，学生亲身体验到了长方形、正方形、三角形、圆地由来，是自己制作出来的，这时候学生第一个层面的数学活动经验为对这四种图形地感性认识，第二各层面为学生体验抽象的经验，由立体图性中抽象出平面图形。在这节课里，数学活动经验感性经验（直接经验）和理性经验（间接经验）都得到积累。

陈汉操 发表于 2013-3-31 11:31 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=2704&ptid=715)

用一节课来研讨数学活动经验

《认识图形》教学设计         西安高新国际学校  陈汉操 一、 教学内容：新世 ...

谢谢李老师的指导，我将对学生活动环节进行补充和丰富。

以义务教育数学课程为例，基本的几何操作经验，诸如解代数方程的直接操作经验等等，都是义务教育数学课程的基本的操作经验。例如，学生在经历了下面的 “图画还原” 活动之后，可以获得有关图形的平移、旋转、轴对称等图形运动的活动经验：打乱由四块积木或者图画构成的平面画面，请学生还原，并利用平移和旋转记录还原步骤，尝试寻找步骤最少的还原方案。在这里，积木块相当于方格纸的作用，通过实际操作，进一步理解平移、旋转，不仅能增加问题的趣味性，还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的，

体验选取最佳方案的过程，获得有关图形运动、变换的基本活动经验。

[*] 本文受教育部人文社会科学研究 2007 年度规划基金资助，资助项目批准号：07JA880058.

作者简介 ：孔凡哲（1965— ），山东济宁人，教育学博士，国家基础教育实验中心副主任，东北师范大学教育科学学院教授、博士生导师，主要从事课程与教学论、数学教育、教师教育研究。张胜利（1968— ），山西五台山人，吉林省教育科学研究院副研究员，东北师范大学教育科学学院 2008 级博士研究生。

注释 ：

① 史宁中，柳海民。素质教育的根本目的与实施路径 J，教育研究，2007（8）：10-14，57.

[②] 孔凡哲。完善基础教育课程标准的若干思路 J，教育研究，2008（4）：56-62.

[③] 孔凡哲。基本活动经验的含义、成分与课程教学价值 J，课程・教材・教法，2009（3）：33-38.

Keywords: basic, experience, category, effect, direct experience, tactics, emotional reactions

本帖最后由 陈汉操 于 2013-4-5 17:52 编辑

截止 39 楼，典型的基本活动经验的案例归纳如下：

1. 刘加霞：《我的成绩是 51 秒 09，不是 50 秒 69》

          《黑板擦擦黑板演示拖拉机的作业宽度》

2. 伽利略为了证明 “关于两个铁球同时落”，在实验前伽利略自己的思考过程。

3. 武秀华：“不知道是墙湿了，还是晾衣架的影子？”

4. 任景业：罗增儒教授孙女在学习集合概念的过程。

本帖最后由 陈汉操 于 2013-4-6 22:21 编辑

大家晚上好，很高兴能借助 Q 群平台来与大家一起研讨 “基本活动经验” 这个话题。《数学课程标准（2011 版）》提出了 “基本数学思想” 和 “基本活动经验”，与原有的 “双基”：“基础知识”“基本能力” 一起，我们称之为 “四基”。除基本活动经验之外，其它三个方面相对都好理解，只有基本活动经验我们能感觉到它存在于我们的课堂，不容易说清楚，认识也比较模糊。

今天我们就这个话题展开研讨，希望今天的活动能抛砖引玉，激发大家更广泛深入的交流。

今天和大家的讨论我是从以下几个方面展开：

一、什么是基本活动经验

（一） 关于 “经验”

（二） 基本活动经验的含义

二、基本活动经验的分类

（一） 学生动手操作获得的基本活动经验。

（二） 学生思维操作获取的数学活动经验

三、 如何在课堂教学中引导学生积累丰富的基本活动经验

（一）精心设计符合学生认知规律和知识特点的实践活动。

（二）要逐步培养学生思维操作的习惯，提高思维操作的品质。

一、什么是基本活动经验

（一）关于 “经验”

“课程论之父” 泰勒（R.Tyler）提出 “教育的基本手段是提供学习经验”，认为教师的职责是为每个学生提供有意义的经验。从心理学上分析，经验比知识和能力更容易获取，因为它是在潜移默化中自然生长出来的，不需要经过雕琢、粉饰，是最原生态的感官体验、思维方法。

杜朗口中学副校长任景业老师关于 “经验” 更有精辟的理解：

“什么是经验呢？我试着编了几种说法，希望能从不同的角度帮助自己悄悄走近 “经验” 的 “床前”：

 经验是知识出嫁前的形态，经验不是美女，她虽有美女的丽质，却无美女的容貌。她还不知道怎样妆伴自己，只有把她按坐在梳妆镜前经过一番妆扮经验才能成为知识的新娘。

 经验有时是令人讨厌的好心老人，时时会站你面前令人讨厌地指指点点。

 经验经常抢跑，不等理解的发令枪响，己越过起跑线冲进跑道。

 聪明的仓库储存的是经验的种子。

（二） 基本活动经验的含义

早在 2007 年，史宁中教授在《数学通报》第 46 卷第 5 期发表的《<数学课程标准> 的几点思考》就提出了 “四基”，后来张奠宙、孔凡哲、张丹、吴正宪等众多的教育理论家参与到关于 “数学活动经验” 这场大讨论中。大家普遍认为：数学活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验，直接数学活动经验（直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验）、间接数学活动经验（创设实际情景构建数学模型所获得的数学经验）、专门设计的数学活动经验（由纯粹的数学活动所获得的经验）、意境联结性数学活动经验（通过实际情景意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质）。而我们课堂教学中用得最多的就是专门设计的数学活动经验。

刘加霞教授给我们举过她的女儿在小学三年级时参加游泳比赛后，女儿对她提出提出 “我的成绩应该是 52 秒 09，不应该是 51 秒 69” 的例子，从而发现了秒和毫秒之间的进率不是 60，而是 1000。这种发于对成绩的质疑，最后收于发现秒和豪秒之间进率的过程，就是一个积累活动经验的过程，在这个过程中，孩子由时、分、秒的进率去推想秒和毫秒的进率，结果推想错误，但最后通过大量的亲身经历找到了正确的进率，这个活动过程不仅获得了知识，而且获得了数学学习中积极的情感体验。

例如《三角形内角和》一节课，我们证明三角形内角和是 180°，我们通常的做法是让学生通过撕、拼三角形的三个内角，最后发现了三角形内角和是 180 度。这就是通过数学课堂活动来让学生获得数学活动经验，一方面发现了三角形内角和是 180° 这个知识，另一方面潜移默化中理解了 “割补法” 这种数学思想。

我每天送 6 岁的女儿上幼儿园，总要经过一座铁路桥，

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前几天在车上我问她我们把铁路桥过了没有，她说没有过，我表扬她记忆力很好，都学会认路了。她说自己有一个小窍门，每当铁轨在右边的时候，铁路桥没有过，而每当铁轨在左边的时候，铁路桥就过了。听到这话，我兴奋了许多，孩子在路上的思考就是基本活动经验积累的过程。女儿每天上学路上亲身经历铁路、铁路桥和自己的位置关系，久而久之，自己的观察就沉淀下思考，找到了窍门，积累了经验，是在生活实践中积累基本活动经验的过程。

所以，数学课程中的基本活动经验是指在数学课堂教学中师生围绕特定的教学目标，经历了相关的数学学习活动后，所留下的直接感受、体验、感悟和思考方法。它是经验的一种，是学生在数学学习活动中相互作用的结果。

二、基本活动经验的分类

我们大体上可以把经验分为感性经验和逻辑经验，感性经验也依赖思考，但更多的是依赖观察；逻辑经验也依赖观察，但更多的是依赖思考”。而基本活动经验就可以分为通过学生的动手操作去获得的和靠思维操作的经验。

（一） 学生动手操作获得的基本活动经验。

这是指学生通过亲自动手实践、操作来直接感受、体验事物之间的结构、关系，从而建构数学模型，渗透思考方法。通过这种途径获得的基本活动经验学生获取的是一种直接经验，是学生最直接、最强烈、最不容易忘记的感官体验。

例如在北师大版一年级下册《认识图形》进行教学时，教师可以采用从立体图形中请出长方形、正方形、三角形、圆，学生把正方体一面蘸上印泥，在白纸上盖出一个正方形，在圆柱体的底面蘸上印泥，在白纸上盖出一个圆形，等等。学生会得到这样一幅作品。

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这样学生就会通过自己的亲手操作由已有的正方体、圆柱等立体图形知识迁移到正方形、圆等平面图形。一方面通过操作、观察，初步感知到了立体图形和平面图形的区别；另一方面也体验到了长方形、正方形、三角形、圆这四个平面图形的特点。

在学生用立体图形印平面图形的过程，就是在积累 “抽象” 这个数学活动经验，在动手操作过程中明白了从立体图形种可以抽象出平面图形。抽象的经验是在学生亲身经历了印一印这个实践操作活动种积累的，是一种亲身的感官体验，是直接经验的一种。而后，有了平面图形，学生又可以在对比中摸一摸平面图形和立体图形，从而感受到了立体图性和平面图形的区别，是一种感性经验，这些都是数学活动经验的具体表现形式。

（二） 学生思维操作获取的数学活动经验

张丹教授认为 “基本活动经验的核心是思考的经验”。我们知道，数学学习的目的就是让学生学会思考。如果我们的活动经验只停留在感知、体验这个层面，只靠直接经验就无法支撑起我们的数学学习。

所以数学学习必须回归到逻辑思维的发展上来，这样的数学课堂才会有数学味。学生思维操作的经验可以是演绎的经验、归纳的经验、推理的经验、证明的经验等。

在北师大教材二年级下册 40 页有一个 “转转盘” 的数学游戏，游戏规则是：一个人转动写有 0-9 的转盘，转盘指向几把这个数字记录下来，连续转动转盘 3 次，就会得到 3 个数。参加比赛的两个人利用这三个数进行组数，谁组的数大谁就赢。课堂上同学们的表现分为两类，一类是急于玩这个游戏，先和对方玩着、看着、想着。另一类是先想怎样组数数字会最大（也就是必胜的策略）。前者的表现就是通过动手操作获取基本活动经验，后者的表现就是通过思维获取的基本活动经验，不用亲身经历组数，先思考怎样组数最大，明显后者的思维优势要大于前者。 

三、 积累基本活动经验的途径

正是因为学生基本活动经验是靠动手操作和思维操作来获取的，所以在小学数学课堂教学中我们让学生积累基本活动经验建议从以下几个方面做起：

（一）精心设计符合学生认知规律和知识特点的实践活动。

数学课程标准（2011 版）指出，“除了接受学习外，动手操作、自主探究与合作交流也是重要的学习方式，学生应该有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”。这句话就给我们让学生不断积累基本活动经验指明了方向，课标上这些内容说的是学生的学习方式，对应上我们的教学方式，就应该是除了讲授法之外，我们还应该有实验操作法、任务驱动法等能让学生充分活动的更灵活多样的教学方式。我们在设计一节课时，首先想到的应该是如何让学生活动，而不是如何把知识讲明白。

例如北师大四年级上册《确定位置（一）》一节课，学生要学习用数对的方法来表示一个物体的位置，为第三学段学习坐标打下了良好的基础。教师在练习环节设计这样的活动。给每个学生发一个信封，里面装了一个数对，让学生根据教室里的座位去寻找信封里的数对位置，全班学生都动了起来，最后全班学生基本都找了自己的位置，只有一个学生找不到位置，教师问他为什么找不到，学生说教室里没有这个位置。最后全班同学一起探究到底班上有没有这个座位，最后发现确实没有，是教师故意设计的一个环节，一方面学生都离开了自己的座位去寻找新的座位，学生动了起来，但这还不够，再通过一个学生找不到位置这个情境，全班学生又进行了一次探索，学生之间分享经验，成功的对数对这个新知内容进行了练习。

（二）要逐步培养学生思维操作的习惯，提高思维操作的品质。

小组合作式学习方式是我们课改后所提倡的重要学习方式之一，通过小组合作可以让学生积累活动经验，教师要引导学生在交流时首先自己要进行独立思考，首先要有自己的想法，在这个过程中学生经历了演绎、推理、论证、计算。在交流的过程中，同伴听取同伴的想法、观察同伴的活动，再反思自己的想法、做法，自己的思维会得到提升，会经历一个 “悟” 的过程。

所以，我们的小组活动应该是这样的。即阅读题目，理解题目要求；然后进行独立思考，独立完成；再进行小组交流；最后进行汇报，教师小结。

总之，基本活动经验是新一轮课程改革出现的 “新事物”，我们思考这个问题的同时更要研究它的操作方法，不仅明白它是什么，它从哪里来，要到哪里去，更要知道它如何实施，我们要让学生不断积累基本经验，是在我们的有意安排之下进行的，我们的教学行为是在有目的和有计划之下进行的，这样我们的学生不仅能学到数学知识，更能理解数学思想、掌握学习方法。

这是我今天关于基本活动经验的全部解读，下来大家在教学中的具体困惑可以说一说，我们一起研究。

图片：

今晚活动时，我一直在返程的路上的车子上。看到了陈老师与大家的交流，由衷的说：“谢谢！”

补上了

陈汉操 发表于 2013-3-20 22:22 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=2269&ptid=715)

北师大版四年级下册《三角形内角和》一节课，学生要得到三角形内角和是 180°，我们经常会用到下面的方 ...

学习了：)

本帖最后由 陈汉操 于 2013-4-8 22:08 编辑

                                     文本整理

整理说明：在 4 月 6 号的研讨中，参与研讨的老师畅所欲言，发表了自己的思考。因为主讲人的讲稿已全文上传到论坛，所以主讲人讲稿中的观点在这里就不进行呈现，只把大家的研讨观点进行罗列，再次谢谢大家的参与。

一、什么基本活动经验

（一）关于经验

1. 经验也有好坏之分。

2. 经验有时会让我们过早下结论。

3. 经验也可以来自于生活。

（二）基本活动经验的内涵和外延

1. 课堂上的操作活动能形成基本活动经验，但不是基本活动经验形成的唯一途径。

2. 基本活动经验是学生开展社会实践活动的经验，比如测量。

3. 基本活动经验是学生在长期积累动口、动手和动脑的经验。

4. 经验是学生活动的结果

5. 由纯粹的数学活动所获得的经验

6. 亲身实践、操作的经历会加深孩子对知识的理解，也会培养孩子对学习的兴趣

7. 亲身经历过程而得来的知识积累是孩子不容易忘掉的.

8. 观察就沉淀下思考，积累了经验，

9. 可以思考的事物随处存在，只有善于思考的人才能发现它们！生活中的很多经历可以是孩子学习思考的源泉。

10. 基本活动经验可以在学生经历，体验，探索中积累.

11. 也可以间接听到，想到，推测到.

12. 学生的经验积累在很大程度上是老师帮助学生建立的.

二、基本活动经验的分类

（一）直接的经验

1. 数学教学活动中的指向是积累经验，实现这个目标的过程要经历数学活动。因此从基本的活动做起，积累基本的活动经验。

2. 我们老师上课就是在给学生积累经验，我们是通过一定的方法和手段把祖先的生活经验告诉学生，这也是帮助学生在积累数学经验！

3. 知识与经验是有联系，又有区别的。

4. 经验经过升华就是知识

5. 情境的创设和活动的精心设计尤为重要。

6. 知识是经验，但经验不能完全是知识，它有很多知识以外的东西。

7. 低年级孩子，多些 “做” 的经验，就可以了。因为思考会在 “做” 中形成。

8. 做可以证明想的对与否。

9. 直接经验也好、间接经验也好，都很重要。积累的量与质要考虑到学生的年龄特征。

10. 做会边想边做，想如果没有做来践行，那想的经验是不牢固的。

三、基本活动经验的积累途径

1. 直接做，是通过基本活动来思考总结归纳，而先想后做应是逻辑思维想象后的再验证。

2. 数学教学是学生活动的教学。

3. 只要我们每节课都思考或者都有意识的培养学生这种经验的积累，学生会有提升的。

4. 会悟的过程，是更高级的一种经验的积累～～我们需要更基本的经验积累。

5. 我们的小组活动应该是这样的。即阅读题目，理解题目要求；然后进行独立思考，独立完成；再进行小组交流；最后进行汇报，教师小结。6. 我们在设计一节课时，首先想到的应该是如何让学生活动，而不是如何把知识讲明白。

7.“基本” 二字，从头的意思，“基本活动” 是老师设计的或生活中的能引发学生从头思考的活动，基本活动中经过思考悟到的东西就是基本活动经验

积累经验正是在提升自己的水平。

[陈汉操发表于2013-3-3111:31](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=2704&ptid=715)

用一节课来研讨数学活动经验

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受益匪浅！