青山基地郑苗

教学反思

日本数学教学家米山国藏说：“学生们所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期的在他的生活和工作中发挥作用。” 因此在终稿教学设计主要突出了以下几点：

一、动手操作，体验 “化曲为直”。学生动手操作，通过折一折、剪一剪、拼一拼等活动，拼成平行四边形或长方形，然后通过课件演示，发现如果把一个圆形平均分成的份数越多，这个图形就越接近平行四边形或长方形。这个环节的设计也是 “极限” 思想渗透的最好体验。

二、借助课件的动态演示，弥补了动手操作过程中的一些不足，丰富了学生的感知，充分体验了化曲为直的转化思想和极限思想，使学生的思维更加清晰，并将新的数学思想纳入到原有的知识结构当中。

三、教学中在课件演示八分法、十六分法、三十二分法之后，加入想象的环节，通过想象分的份数越来越多拼成的图形的样子，进一步培养学生的空间想象力，有效提升了学生的空间观念。这样由扶到放，由现象到本质地引导，使学生充分体会 “化曲为直” 的思想，感受极限思想，学生的思维在碰撞中发散，在想象中得以提升。

圆的面积（一）教学设计终稿

一、教学内容

北师大版小学数学六年级上册第一单元《圆》

二、课标要求：

通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。

三、教材分析

圆的面积是在学生了解和掌握了圆的特征、学会计算圆周长的计算以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。圆是小学数学平面图形教学中唯一的曲线图形，而圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，如果学生完全自主地探索如何把圆转化成长方形或其他平面图形是有很大难度的，所以教材首先出示了格子图，让学生通过利用方格度量圆的面积，发现不能得到准确结果，接下来引导学生将圆转化为以前学过的图形，学生通过动手操作，自主发现圆的面积与拼成的长方形的面积的关系，推导出圆的面积计算公式。所以本课的教学活动将化曲为直和极限的数学思想纳入到学生原有的认知结构之中，从而完成新知的构建。学好这节课的知识，对今后进一步探究 “圆柱圆锥” 的体积起着举足轻重的作用。

四、学情分析

学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，是一次飞跃，但是从学生思维特点的角度看，六年级学生以抽象思维为主，已具有一定的逻辑思维能力，已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比、推理的数学经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学中应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探究性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生从中获得数学学习的积极情感体验和感受数学的价值。

五、学习目标

1. 通过折一折、剪一剪、拼一拼等活动，经历圆面积计算公式的推导过程，能说出圆的面积计算公式。

2. 在探究面积公式的活动中，通过操作想象等活动，体会 “化曲为直” 的思想，初步感受极限思想。

六、学习重难点

重点：圆面积计算公式的推导和应用。

难点：通过操作想象等活动，体会 “化曲为直” 的思想，初步感受极限思想。

七、教学过程

（一）数方格

师 前面我们已经学习过一些平面图形的面积，今天我们再来研究圆的面积，根据你的经验，你打算用什么方法研究圆的面积呢？（出示圆的图片）

生 我想用 “数方格” 的方法研究。

生 我想用 “转化” 的方法研究。

师 数方格是个不错的方法，请视屏中的小朋友来帮我们数一数。（课件出示微课片段：数格子）

设计意图：让学生回忆旧知，引导学生利用旧知类比迁移。为学生打开思路，找到了继续往下探究的方向，对由直线图形过度到曲线图形有了初步的感知。数格子的方法通过微课的形式展现，既节省了课上的时间，又体现了线上与线下不同学习方式的有机融合，同时感受到度量

师 看来数方格的方法并不能得到一个准确的结果，圆是曲线图形，就像视屏中说的那样，即便把格子分的足够小、无限小，也还是会有不完整的方格，那还能怎么办呢？

（二）转化为我们学过的图形

1. 独立思考

能不能把圆转化为一个我们学过的图形呢？现在请同学们独立思考，试着折一折、剪一剪、拼一拼。

2. 小组合作学习

师：你是怎样把圆转化为学过的图形的？把你的想法和组内同学交流（出示学习单 1）

设计意图：教师放手让学生自己剪拼，为学生提供了解决问题的方法和途径，并面向全体学生，促进不同层次的学生在原有水平上得到不同程度的发展与提高。

3. 展示汇报

（一）把圆沿半径剪开，分成 8 等份，转化为近似的平行四边形。 （二）把圆沿半径剪开，分成 16 等份，转化为近似的平行四边形。

质疑 1 为什么都是偶数等份？

质疑 2 圆不能转化为平行四边形，因为转化后的图形上下两边是弯曲的。

师 圆可以转化为平行四边形吗？对于边是弯曲的怎么解决？

师 观察这些不同的分法，比较一下，拼出来的图形有什么变化？（课件演示八分法、十六分法、三十二分法）

师：你有什么发现？如果再往下分呢？闭上眼睛想象一下，继续分，64 等份、128 等份、256 等份、无限等份.... 变成了什么样子了？和你想象的一样吗？（课件演示无限等份）

设计意图：借助计算机手段辅助课堂教学，直观形象且生动，此环节运用课件演示，不仅充分调动了学生的学习兴趣，而且能使静态的画面动态化，抽象的内容形象化，弥补了动手操作过程中的一些不足，通过想象分的份数越来越多拼成的图形的样子，丰富了学生的感知，充分体验了化曲为直的转化思想和极限思想，使学生的思维更加清晰，进一步培养学生的空间想象力，有效提升了学生的空间观念。

（三）研究推导出圆的面积公式

思考：你能根据转化后的图形推导出圆的面积计算公式吗？转化前后的图形有什么关系？

1. 独立思考，你能根据转化后的图形推导出圆的面积计算公式吗？转化前后的图形有什么关系？拿出十六等份的圆，动手摆一摆，尝试推导。

2. 把你的想法和同桌说一说，边讨论、边记录、边推导，看哪组合作得最快最好！

3. 小组讨论并汇报，同步板书公式推导过程。

明确转化前后，圆的面积和长方形的面积是想等的，只要求出长方形的面积也就求出了圆的面积。长方形的面积等于长乘宽... 

4. 揭示字母公式。

圆的面积公式还可以用字母表示，一般情况下，我们用 S 表示面积，圆周长的一半也就是 C/2，这里 C=2πr ，那么 C/2=πr......

设计意图：通过独立思考与小组交流，学生采用不同形式的剪拼，运用假设、转化、想象等方法，利用等积变形把圆的面积转化为其他平面图形的面积，这样多层次的操作、多角度的思考，既沟通了新旧知识的联系，又最大限度地激发了学生的求知欲，学生不仅知其然，更知其所以然。

（四）应用知识，解决问题

计算圆的面积是多少？（先不出示半径）

明确：要求圆的面积必须知道半径。

设计意图：学生通过解决实际数学问题，能对知识形成更加深刻的记忆，并掌握其应用的方法，养成在生活中运用数学知识的意识，有利于数学实践能力的提升。

（五）课堂总结

总结思想方法。

“转化” 是我们小学阶段一种特别常见而且特别好用的思想方法，当你的学习遇到困难时，不妨运用转化的思想方法把新知转化为旧知帮助我们渡过难关。

反思：本稿教学设计在三稿的基础上进行了比较大的改动

改动一：删掉绘本引入，开门见山式提问：根据你的经验，你打算用什么方法研究这个圆的面积？

改动二：强化两个重点环节 --- 转化和公式推导，先让学生独立思考，在此基础上进行小组合作学习。

改动三：删除拓展部分。

改动原因：本次活动的主题是线上与线下教学的有机融合，之前我过分地理解了融合的含义，好多教学环节为了体现这种融合而融合，显得很是牵强，同时也造成很多无效地学习，没有真正的留给学生思与辨的时间与空间，我觉得好的课堂应该是能看到学生思考的课堂，能充分调动学生思考因子的课堂，而不是表面花里胡哨，看似热闹、顺畅，实则没有一丝思维的波澜。基于这样的原因，在第四稿设计中进行了大幅删减与改动，摒弃那些原来的花架子，改为实实在在的让学生思考、生成的课堂，力求简约而不简单。

圆的面积（教学设计四稿） 教学过程

（一）数方格

师 前面我们学过很多平面图形的面积计算公式：长方形正方形、平行四边形、三角形、梯形。你还记得它们的面积计算公式是怎样得来的吗？

师 今天我们要研究圆的面积，根据你的经验，你打算用什么方法研究这个圆的面积？（出示圆的图片）

生 我想用 “数方格” 的方法研究。

生 我想用 “转化” 的方法研究。

师 数方格是个不错的方法，请视屏中的小朋友来帮我们数一数。

（课件出示微课片段：数格子）

师 看来数方格的方法并不能得到一个准确的结果，圆是曲线图形，就像视屏中说的那样，即便把格子分的足够小、无限小，也还是会有不完整的方格，那还能怎么办呢？

（二）转化为我们学过的图形

1. 独立思考

圆可以转化为哪一个学过的图形？试着剪一剪、拼一拼。

2. 小组合作学习

师：你是怎样把圆转化为学过的图形的？把你的想法和组内同学交流（出示学习单 1）

3. 展示汇报。

师：我们再次回顾这些不同的分法，闭着眼睛想象一下，如果继续分下去，分成无限等份，会怎样呢？

（微课演示八分法、十六分法、三十二分法的展开图）

师：观察这三种分法，比较一下，同样大小的圆平均分的份数不同，拼出来的图形有什么变化？你有什么发现？

（三）研究推导出圆的面积公式

思考：你能根据转化后的图形推导出圆的面积计算公式吗？转化前后的图形有什么关系？

1. 独立思考，你能根据转化后的图形推导出圆的面积计算公式吗？转化前后的图形有什么关系？拿出十六等份的圆，动手摆一摆，尝试推导。

2. 把你的想法和同桌说一说，边讨论、边记录、边推导，看哪组合作得最快最好！

3. 小组讨论并汇报，板书同步公式推导过程。

4. 揭示字母公式，验证猜想。（播放微课）

（四）应用知识，解决问题

1. 计算圆的面积是多少（先不出示半径）? 

明确：要求圆的面积必须知道半径。

2. 一个圆形杯垫的半径是 4 cm，这个杯垫的面积是多少平方厘米？

（五）课堂总结

1. 这节课你有什么收获？

2. 总结思想方法，呼应课前谈话。

一、绘本引入：

同学们喜欢看数学绘本吗？老师今天也为大家带来一本《艾默特岛探险》（出示绘本）

介绍人物：半径、直径夫人、圆周骑士、半径的表妹小波。

介绍故事情节（播放绘本）：半径、直径夫人、圆周骑士还有半径的表妹小波在一起边做游戏边聊天，圆周骑士指着不远处的一个海岛说：“据说，艾默特岛现在由一条凶猛的海蛇把守着，没人敢靠近。”

第二天，小波和半径决定去一趟艾默特岛，看看那里到底藏着什么秘密。

他们俩个人很快就到达了艾默特岛的城堡中，就在这时，他们头顶上方的窗户忽然被撞碎了，一条凶猛的海蛇把头伸了进来！它眼冒绿光，四处打量着，连身上的鳞片都闪着寒光。

快跑！半径和小波飞快地跑向塔楼，赶紧关上门。

"现在总算安全了。" 这时，半径注意到一行字："城堡之谜藏于面积等于 200 块方砖的地面上。"

小波不解地问："这些塔楼的地面都是圆形的，而且地面上的方砖很多都是不完整的，面积等于 200 块方砖…… 这可怎么算啊？"

同学们，你听明白了吗？实际上就是说城堡之谜藏在面积等于 200 方砖的圆上，今天我们一起探究《圆的面积》（板书课题）

二、探究圆的面积计算公式

（一）数方格

师 还记得我们以前学习平面图形的面积时，是怎么做的吗？那我们今天研究圆的面积，也用 “数方格” 的方法好吗？（播放微课：数方格）

看来，数格子的方法并不完全准确，我们看看小波和半径有什么好办法没有？（播放绘本）

小波依然在为 200 块方砖的问题绞尽脑汁，但半径实在是饿的受不了啦，他从口袋里拿出一个橙子，把它横向切开，递给小波一半。

橙子的截面是圆形的，小波若有所思地盯着那半个橙子，然后从上面切下来一片。

小波举着这片圆形的橙子说：我们来看看能不能找出计算这片橙子的面积的方法......

同学们，听到这里，你们得到什么启示了吗？
（二）转化为我们学过的图形

1. 小组合作学习

师：那圆可转化为哪一个学过的图形呢？小组可以剪一剪、拼一拼，试试看！（出示学习单 1：圆可转化为哪一个学过的图形？可以剪一剪、拼一拼）

2. 小组讨论，设计方案，展示汇报。

师：他们都是把圆转化为平行四边形，只不过分的份数不一样，再次回顾这些不同的分法，你有什么发现？ （微课演示八分法、十六分法、三十二分法的展开图） 

师：小结：平均分的份数越多，拼成的图形越接近平行四边形或长方形。

 （三）研究推导出圆的面积公式 

设疑：我们沿着半径把圆切开，巧妙地把圆拼成了近似的平行四边形，现在你能根据平行四边形的面积公式来推导圆的面积公式吗？

出示学习单 2： 你能根据转化后的图形推导出圆的面积计算公式吗？思考：转化前后的图形有什么关系？（播放微课：用字母表示圆的面积公式）

三、课堂检测

出示一个圆，你能计算它的面积吗？需要什么条件？

四、拓展发现（视屏演示将圆转化为三角形、平行四边形） 

五、全课总结 

1. 这节课你有什么收获？ 

2. 总结思想方法，呼应课前谈话。

@赵玲 哈哈，最后会帮小波解决的！

@赵玲

首先第一点从学生感兴趣的绘本故事入手，充分吸引了学生的注意力，引发探究学习的欲望，增加趣味性、探索性。

第二点绘本故事在探秘环节抛出问题：“城堡之谜藏于面积等于 200 块方砖的地面上”，与首稿设计的第一个学习环节数方格的思路不谋而合，摒弃了第一稿中复习学过图形的面积是如何得来的这个环节。直接从数方格入手，直奔主题。

第三点绘本故事引入大约 1-2 分钟。

@zhanggaohong 感谢您对我团队教学设计的认可，我们会在磨课、研课过程中逐渐完善设计，更好地为学生的成长助力，也希望您能给我们多多提出宝贵建议与意见。

@zhaolan 感谢您的宝贵意见！

《圆的面积》教学设计二稿

教学过程

绘本引入：

同学们喜欢看数学绘本吗？老师今天也为大家带来一本《艾默特岛探险》（出示绘本）

介绍人物：半径、直径夫人、圆周骑士、半径的表妹小波。

介绍故事情节（播放绘本）：半径、直径夫人、圆周骑士、半径的表妹小波在一起边做游戏边聊天，圆周骑士指着不远处的一个海岛说：“据说，艾默特岛现在由一条凶猛的海蛇把守着，没人敢靠近。”

第二天，小波和半径决定去一趟艾默特岛，看看那里到底藏着什么秘密。

他们俩个人很快就到达了艾默特岛的城堡中，就在这时，他们头顶上方的窗户忽然被撞碎了，一条凶猛的海蛇把头伸了进来！它眼冒绿光，四处打量着，连身上的鳞片都闪着寒光。

快跑！半径和小波飞快地跑向塔楼，赶紧关上门。

"现在总算安全了。" 这时，半径注意到一行字："城堡之谜藏于面积等于 200 块方砖的地面上。"

小波不解地问："这些塔楼的地面都是圆形的，而且地面上的方砖很多都是不完整的，面积等于 200 块方砖…… 这可怎么算啊？"

同学们，你听明白了吗？城堡之谜实际上藏在面积等于 200 方砖的圆上对不对？你知道哪个圆的面积是 200 块方砖吗？（出示图片）

（一）数方格

师 还记得我们以前学习平面图形的面积时，是怎么做的吗？那我们今天研究圆的面积，也用 “数方格” 的方法好吗？（课件演示：将圆覆上方格）

师 圆是曲线图形，所以不全是整格，这样数出来的结果准确吗？

生 可以把格子变得小一些。

师 你的提议非常好，就按你的意思，我们一起来和视屏中的小朋友数一数吧！（课件出示微课片段：数格子）

看来，数格子的方法并不完全准确，我们看看小波和半径有什么好办法没有？（播放绘本）同学们，你们得到什么启示了吗？

（二）转化为我们学过的图形

1. 小组合作学习

师：那圆可转化为哪一个学过的图形呢？小组可以剪一剪、拼一拼，试试看！（出示学习单 1：圆可转化为哪一个学过的图形？可以剪一剪、拼一拼）

2. 小组讨论，设计方案，展示汇报。

师：比较一下，你更喜欢哪一种？为什么？ 

你们是沿着什么来剪的？为什么要沿着半径来剪呢？ (圆的面积与半径有关)。

师：这种思路给了我们很大的启发！按照这种思路拼成的近似的平行四边形你们都很满意了吗？那么有没有什么办法让它的边变得更直呢？再剪几份，你是说把它分得更多份些，是吗？(可以把它分得更多份些) 

师：请拿出手中的圆片试着折一折，展开来，看看你折成了几等份？(学生展示并汇报) 如果再折下去可以吗？现在老师就把你们折的这几种方案输入电脑。八等份、十六等份、三十二等份。（微课演示八分法、十六分法、三十二分法的展开图） 

师：观察这三种分法，比较一下，同样大小的圆平均分的份数不同，拼出来的图形有什么变化？—— 发现：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。

 （三）研究推导出圆的面积公式 

设疑：我们沿着半径把圆切开，巧妙地把圆拼成了近似的长方形，现在我们可以利用长方形的面积公式来推导圆的面积公式。今天，我们就把圆进行十六等分来研究。

1. 小组合作探究，请小组组拿出十六等份的圆和讨论提纲，动手摆一摆，边观察、边讨论、边记录、边推导，看哪组合作得最快最好！

出示学习单 2： 

（1）长方形的长相当于圆的

（2）长方形的宽相当于圆的

（3）长方形的面积相当于圆的

（4）因为长方形的面积 = 

所以圆的面积 =   

2. 小组讨论并汇报拼的过程，课件同步演示公式推导过程。

3、揭示字母公式，验证猜想。 

4、小结：要求圆的面积只要知道什么就行？（半径 r）

 （四）应用知识，解决问题 

1. 完成 P69 做一做第一题一个圆形茶几桌面的直径是 1 米，它的面积是多少？ 

2. 出示喷灌装置图，师：瞧，这是一种自动旋转喷灌装置。认真观察一下，这里隐藏着什么样的数学问题呢？公园草地上一种自动旋转喷灌装置的射程是 15 米。它能喷灌的面积有多少平方米？提示：射程相当于圆的半径，灌溉面大约相当于圆的面积。

 （五）课堂总结 

1. 这节课你有什么收获？

2. 总结思想方法，呼应课前谈话。

3. 课后拓展（视屏演示将圆转化为三角形、梯形） 

@徐丹 感谢徐老师的精彩评论，我会在教学中采纳您的意见！

各位同仁大家好，很感谢大家对我本次的教学设计一稿提出诸多建议和意见，还有以下 2 个问题想和大家探讨： 1. 本次活动主题是：混合式学习模式实践与探索，您是怎么理解的？ 2.《圆的面积》第 1 课时即本节课主要教学将圆转化为长方形或平行四边形，在第 2 课时及练习中介绍了还可以把圆转化为三角形或梯形，我想把 “转化为三角形或梯形” 作为这节课最后的一个拓展知识，大家觉得这样行不行、合理不合理？

@三小王玲 @赵玲 @天音附小—张娜 那我们大家就达成一致意见：学生可以说出数格子的方法，至于数的过程，用观看视屏代替 (*^ｰ^)

@陈娜 接受您的意见！

@闫芳芳 那我在第一种数格子的方法上就用视屏代替学生数的过程，这样能节省不少时间

@李婉双 谢谢，希望听到您的更多建议！

@13224728837 学生说出数格子的方法后，我用微课片段代替学生的动手操作，您觉得这样可以吗？

@王泽月 转化为长方形和平行四边形都可以，我想的是把圆转化为三角形或梯形作为这节课最后的一个拓展知识，这样行不行？

各位同仁大家好，很感谢大家对我本次的教学设计一稿提出诸多建议和意见，这里有以下 2 个问题想和大家探讨： 1. 这节课始，需不需要让学生亲身经历数格子的活动？ 2. 本次活动主题是：混合式学习模式实践与探索，您是怎么理解的？

@lianhaiyu890 老师您好，您觉得这节课中需要让学生亲自动手经历数格子的活动吗？