胡意

课堂实录链接：https://v.youku.com/v_show/id_XNDk5NTMyMDk2MA==.html

                探索活动：3 的倍数的特征

【核心问题】
3 的倍数有什么特征？为什么有这样的特征？

【教材分析】
本节课北师大五年级上第三单元第 3 课时《探索活动：3 的倍数特征》，本课是在学习了因数和倍数的概念及掌握了 2 和 5 的特征的基础上教学的，学习了 2、5、3 的倍数的特征有利于学生很快找出一些数的因数，是今后判断质数，合数的基础，也为今后学习约分、通分打基础。3 的倍数特征可以借助 2、5 倍数特征的探究方法进行探究，本节课学生会经历操作（圈）- 观察 - 猜想 - 推翻猜想 - 再观察 - 再猜想 - 验证的过程，在这样的过程中逐步培养学生的探究能力。由于理解为什么 3 的倍数特征是各个数位数字之和有难度，教材没有编排解决 “为什么” 的问题。

【学情分析】
学生通过 2、5 倍数特征探究方法的学习，能较轻松迁移到 3 的倍数特征的探究。学生在概括 2 和 5 的倍数特征时，只注意了个位上的数，因此学生在猜想 3 的倍数时，会自然的认为 3 的倍数特征也和个位上的数字有。由此可产生认知冲突，激发学生探索 3 的倍数的特征的欲望。学生比较容易接受 2、5 倍数特征和个位上数字有关的结论，而 3 的倍数的特征和各个数位数字和有关。于是产生为什么 “3 的倍数的特征和各个数位上的数字有关” 的疑问。进而提出为什么 “各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数” 的问题。只有解决了这个问题，才能帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征。

【追问与思考】
1.“倍数” 的实质是什么？
2. 要不要让学生弄明白？
3. 混合式学习该怎样学？怎样教？

【教学目标】
1. 学生结合微课和导学单，通过观察、操作、猜想、验证等活动，认识 3 的倍数的特征，并能根据特征进行判断。
2. 学生借助小正方体模型直观理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理，培养学生数形结合的分析推理能力。

【教学重点】
3 的倍数的特征，并能正确判断 3 的倍数。

【教学难点】
理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理

【学习方式】
线上微课预学 + 线下课堂教学

【学习时间】
40 分钟

【学习地点】
录播室

【学习准备】
微课、探究单、PPT

【学习过程】
一、快乐分享
师：同学们，课前，大家已经利用预学单和北师大 3.0 微课，对探索 3 的倍数特征这一课进行了学习，通过  预学，你知道了什么？
生：1. 我已经知道 3 的倍数的特征是什么了。
   2. 我知道如何找到 3 的倍数特征。
 PPT 出示问题：
1.3 的倍数有什么特征呢？
  （出示预学单中收集到的问题）
将所有数位加起来，和如果是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
师：老师在预学单中收集到了这样的答案，你有什么想说的？
生：应该是将所有数位上的数字加起来。
师：请你说说 3 的倍数特征。
生：各个数位上数字之和是 3 的倍数。
师：谁来举例说说。
（请生举例，正反例子都有，副板书出来）
师：你们不仅知道 3 的倍数特征，还能用 3 的倍数特征判断一个数是否为 3 的倍数。是利用微课认真预学的好孩子。
(设计意图：学生通过具体数字举例，如果能清楚的说出这个数是不是 3 的倍数，说明学生已经知道了 3 的倍数的特征，并能通过特征判断一个数是否为 3 的倍数。）
PPT 出示问题：
2. 你是怎样发现的？
师：3 的倍数的特征又是如何发现的呢？
生 1：百数表中圈出 3 的倍数
生 2：观察百数表中 3 的倍数，发现：都是一斜行一斜行排列的。
生 3：观察百数表中 3 的倍数，发现：除 30、60、90 外，每一斜行个位数字依次减 1，十位数字依次加 1。
生 4：观察百数表中 3 的倍数，发现：个位和十位数字之和都是 3 的倍数。
生 5：通过 “个位和十位数字之和都是 3 的倍数” 这一发现，猜想 3 的倍数特征可能是各个数位数字之和是 3 的倍数。
生 6：对百数表以外的更大数进行验证，发现也符合我们的猜想，于是就认为 3 的倍数特征就是各个数位数字之和是 3 的倍数。
师：大家有没有发现，探寻 3 的倍数特征的过程与探寻 2、5 倍数特征的发现过程是相似的。
生：都先利用百数表圈出倍数，去观察发现规律。
师：对，这样的研究是小范围研究。
板书：小范围研究
生：然后对规律进行合理猜想，再验证猜想。
板书：猜想
师：对，然后扩大范围研究，验证规律。
板书：扩大范围验证
师：最后呢？
生：得出结论
板书：得出结论
(设计意图：通过微课关键环节截图，对 3 的倍数特征发现过程进行回顾，勾联 2、5 倍数特征发现过程的相似处，让学生体会到操作、猜想、验证、结论是研究问题的基本方法和策略。)

二、探个究竟
（一）提出问题
师：研究到这里，大家提出的两个问题也已经解决了。在预学单中老师还发现了同学们想问的问题，我们一起来看看。
PPT 出示学生预学产生的问题
（为什么各个数位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数？）
师：这些问题中，你最想解决哪个问题？
生：为什么各数位上数字和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数？
PPT 出示：
  为什么各个数位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数？
师：写下这些问题的同学有没有去查阅资料进行探究呢？
生：有（请生说）。
生：无。
师：这个问题本身有难度。当我们遇到难题时，通常从简单问题入手，找到其中的规律，复杂问题也就变简单了。
（二）研究两位数
师：老师为大家带来了 4 个数字，12 、22、42 、142。你们准备从哪个数字开始研究。
PPT 出示：12   22   42   142
生：12
师：从最小的 12 开始。12 我们是如何判断的？
生：1+2=3，3 是 3 的倍数，12 就是 3 的倍数。
PPT：
探个究竟：为什么 1+2=3，3÷3=1，12 就是 3 的倍数？
PPT 动画出示 12 个小正方体分一分的过程
师：你能看懂分小正方体的过程吗？如果你能看懂，并能解释请选择 A 锦囊，如果你似懂非懂，请选择 B 锦囊，如果你看不懂，请选择 C 锦囊。（分层设计 3 类锦囊，从 12、22、42 依次研究）
学习要求：
（1）自己选择适合的锦囊。
（2）独立研究，完成后可以做锦囊后面的 “做一做”。
（3）在小组交流。
（4）时间 5 分钟
生：12 个小正方体，是由一个十和 2 个一组成。一条 10 个 3 个 3 个分，分走 9 个，还剩 1 个。十位剩余的 1 个和个位的 2 个合起来就是 3 个，剩余的 3 个能被 3 整除，所以 12 就是 3 的倍数。也就是说 1+2 中 1 表示十位剩余部分，2 表示个位的数。

PPT 动画再现分的过程。 



师：一个十，3 个 3 个分，分走 9 个，余下 1 个。余下的一个再和个位的两个合起来，这 3 个能被 3 整除，所以这 12 能被 3 整除。
可以表示成：
   12
/     \
10     2
/    \
9    1
师：分解 12 的过程我们还可以表示为 12=10+2=9+1+2。9 是 3 的倍数，1+2 中的 1 和 2 正好对应 12 各个数位上的数字。
（设计意图：12 是两位数中 3 的最小倍数，通过 1+2 的理解，初步感知加法算式中的 1 表示十位 1 个十分走 3 个 3 后余下的 1。数形结合，从形的分解到数的分解，最后到算式表达，为学生理解数论原理做铺垫）
师：22 谁能说明白？                      
生：22 十位可以分成 2 个十，1 个十分走 9 个剩一个，2 个十分走两个 9，剩 2 个一，十位共剩余 2 个，再和个位的 2 合起来是 4，4 不是 3 的倍数，所以 22 不是 3 的倍数。
PPT 动画展示：

（设计意图：22 十位上 2 个十，学生从已知 1 个十余 1 个一迁移到 2 个十余 2 个一，初步感知几个十就可以余下几个一。）
师：42。我们是如何判断？
生：4+2。
师：4+2=6，是 3 的倍数，谁能说清楚 4+2 表示什么？
生：42 中 40 可以分成 4 个十，1 个十分走 9 个还剩一个，4 个十分走 4 个 9，剩 4 个一，也就是十位剩余 4 个，再和个位的 2 合起来是 6，6 是 3 的倍数，所以 42 是 3 的倍数。
PPT 动画展示：

师：1 个十余 1，2 个十余 2，3 个十余 3，3 个十怎么余 3 呢？
生：先不分走。4 个十余 4，和个位 2 和起来是 6，6 是 3 的倍数。
（设计意图：42 十位上 4 个十，通过对 3 个十是否余下 3 个一的质疑，感知十位上有几个十就余下几个一。）
PPT 出示 12、22、42 动画图



师：回过头看看这三个数，你有什么发现？
生 1：各个数位数字之和应该表示分走 3 的倍数部分剩余部分。
生 2：十位有几个十就会余下几个一（十位剩下个数对应十位上数字）。
师小结：通过观察发现，各个数位数字之和表示分走 3 的倍数部分后剩余部分。同时还发现十位有几个十就会余下几个一。
师过渡：十位有几个十就会余下几个一。百位几个百，分走后又剩余多少呢？来看看三位数，142。
（三）研究三位数
师：三位数，142。我们用 1+4+2 判断。
生：142 由 1 个百，4 个十，2 个一组成。
百位上 1 个百，分走 99，余 1。十位 4 个十，分走 4 个 9，余 4 个一。百位、十位剩余部分和个位合起来，一共 7 根，7 不是 3 的倍数。
师：百位上分走 99，能具体说吗？
生 1：百位 3 个 3 个分，分走 99，分走 3 的倍数。
生 2：剩余的 1 和百位上数字 1 正好对应。
生 3：有几个百就会余下几个一。
PPT 动画展示


（设计意图：142 中百位上 1 个百和算式 1+4+2 中的 1 个一做对比，理解 1 个一是 1 个百分走 99 个后剩余的 1。迁移推理百位有几个百就余几个一。）
（四）研究更大数
师：自己写一个更大的数，也这样去探个究竟。先独自探究，再讲给小组伙伴听。
（设计意图：通过更大数的探究，学生已有几个十余几个一、有几个百余几个一的基础，进一步推论数位上有几个计数单位就余几个一，帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征，同时还可以帮助学生理解结论背后用字母表示更具普遍规律性的理论依据。）
师：为什么各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数这个问题解决了吗？
生：解决了。
师：接下来运用自己学到的知识解决问题吗？拿出导学单，完成后面练习。
三、学以致用
PPT 出示：
（一）、判断
1. 个位上是 3、6、9 的数一定是 3 的倍数。（  ）

2. 个位、十位、百位上数字都相同的 3 位数一定是 3 的倍数。（  ）


（二）、你能快速判断这个数是否为 3 的倍数吗？

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四、触类旁通
1.2 和 5 的倍数为什么只用看个位上的数字？用这样的方法研究一下试试看。
2. 通过研究 2、3、5 的倍数的特征，你发现了什么？
3. 用这样的方法是不是可以研究 “9、7、4 等的倍数的特征”？ 

师：这节课我们研究了什么问题？
这节课你们还有什么疑问？  

【作业布置】
 题单

【板书设计】
                 探索活动：3 的倍数的特征
小范围研究         3 的倍数特征：
猜想                  各个数位数字之和是 3 的倍数？！
验证           1+2=3                          12=   10   +    2
结论             12（√）                       =   9    +     1  +  2
                                             3 的倍数   各个数位数字之
                                       
            2+2=4        4+2=6       1+4+2=7
              22（×）    42（√）     142（×）


【教学反思】

        “线上 + 线下” 混合式学习模式研究
      —— 记林智慧名师工作室课例探讨《3 的倍数特征》

混合式学习是一种将传统教学方式和 E-learning 结合的教学方式。及线上学习与课堂学习的混合式学习方式。传统教学方式以课堂为主体，学生能获取的内容大部分来源于老师的讲授；而 E-learning，也就是电子教学，借助现代信息技术设备，如手机，平板等扩展学生的视野。2020 年 10 月 25 日晚，在林智慧老师的引领下，工作室就开展了 “线上 + 线下” 混合式学习模式研究，以五年级上册课例《3 的倍数特征》为切入点，开展了长达两个多小时的研课活动，取得了满意的效果。

本次活动由工作室胡意老师主持，工作室混合式学习主研团队林智慧、骆冀、叶永秀、周扬洋主要发言，工作室成员李红梅老师积极参与。大家通过网络，围绕混合式学习，结合具体案例，通过研讨、反馈等形式引发深入思考与思维互动，加深对 “混合式学习” 内容的认识与理解，解决教学中的问题，提升团队成员的学科专业能力。

首先为我们做分享的是林智慧老师。林老师先整体介绍了混合式学习的学习方式、学习目标、教学过程等。接着具体到关于《3 的倍数特征》的教学设计，林老师重点强调三点：（1）学习过程的设计一定要围绕目标。（2）要高度关注 “学生、学习、学习心理和学习过程”，设计有创意有实效的学习活动，尝试突破惯用的学习方式。如：项目式学习，以结果导向：完成并呈现一个具体真实的学习成果（学习产品）——“3 的倍数” 探寻图。思考需要用到的工具如：列表、举例子、分类研究、用豆子动手分一分、图文结合的表达等。在研究方式上，充分利用分组合作探究。（3）教学设计要要设计成课堂语言。怎么开课？提什么问？怎么提问？预设充分，对用策略充分。（明白学习过程中，教师怎么引导？怎么教？怎样激励？怎样评价？怎样组织学习活动？……） 在林老师的引导下，接下来大家分别对第一课时的预学单和第二课时的教学设计进行了讨论。先讨论的是第一课时的预学单，因为胡意老师已经试上了第一课时，所以他先交流了磨课过程中的收获和疑问，针对胡老师提出来的意见和疑惑，大家逐字逐句对第一课时的预学单进行了研讨。叶永秀老师提到，听了大家的讲解后自己的思路都清晰了很多，练习部分建议适当增加知识小结。骆冀老师谈到：因为学情不同，课的流畅度就不同，要考虑后进生和优生的学习差异，要考虑到个别化辅导。引入部分用 2,5 的倍数特征会在一定程度上暗示学生倍数和个位有关系，建议适当修改。周扬洋老师提出，预学单的编排格式还可以优化，数学思想方法可以改成选择题，给出选项让学生勾选就可以了。在大家集中智慧下，最后达成共识把原来的八个环节，优化成了六个环节，让整个预学单的教学目标更加清晰，内容层层深入，螺旋上升，使学习过程更加高效。 ▲林智慧导师预学单修改意见手稿

完成了第一课时的预学单修改后，大家接着集中精力研究第二课时的教学设计。胡老师最初设计是先通过两位数，然后是三位数，接着多位数的探讨，探寻 3 的倍数的特征。通过计数单位，认识到几个计数单位分完后就剩下几个 1 的特征，归纳出 3 的倍数的特征。林老师指出教学设计里面要添加学习准备，这是必须要考虑的，不管准备的东西是多还是少，都是需要提前考虑。接着林老师解读了教学设计，从 “快乐分享”→“探个究竟”→“学无止境” 三个大的教学环节对设计进行了解读，强调一定要重视培养学生的自主学习能力。大家仔细研究了第二稿以后，发表了自己的意见和建议，经过不断的碰撞，最终形成了比较成熟的设计。大环节是：“快乐分享”→“怎么探寻”→“分组探寻”→“分享展示、交流沟通”→“总结反思”→“学以致用”→“学无止境”，同时形成了第二课时的学习单。

▲《3 的倍数特征》第 2 课时教学设计修改单  总的来说，通过这次的研讨，大家对混合式学习有了更深入清晰的认识，两个多小时的研讨在不知不觉中结束，在研讨的最后，大家还商议了下次现场磨课的时间和地点，力争通过这次难得的机会，不断的研课、上课、磨课，成长自己，成长团队。相信随着互联网的不断普及和发展，混合式学习也将会逐渐进入到我们的日常学习中，成为学习的常态。

                   探寻 3 的倍数
核心问题：
3 的倍数有什么特征？
怎样找到 3 的倍数特征？
为什么 “各个数位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数”？

教学目标：
1. 借助小棒模型直观理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理。
2. 通过探寻 3 的倍数为什么有这样的特征，进一步理解 3 的倍数，并能熟练运用解决具体问题。

重点：掌握 “3 的倍数为什么是各个数位上的数字之和” 的数学原理。
难点：掌握 “3 的倍数为什么是各个数位上的数字之和” 的探究思想、策略和方法。

学习准备：小棒（100 根）、圆形同色小磁铁 30 个（教师用）、学习单、A4 纸（学生记录研究用）
学习方式：线下课堂教学
学习时间：40 分钟
学习过程：

一、快乐分享
师：同学们，在第一课时，大家已经学习了 3 的倍数的特征，谁愿意来分享你的学习收获。

PPT 出示：3 的倍数有什么特征？我是这样发现的？我想问？ 生 1：3 的倍数特征是，各个数位上数字之和是 3 的倍数。 生 2：我是这样发现的，先再百数表中找出 3 的倍数，通过观察发现这些数各个数位上数字之和正好都是 3 的倍数，于是我猜想 3 的倍数特征就是各个数位数字之和是 3 的倍数，最后我举了比 100 大的数，发现这个数如果是 3 的倍数，这个数各个数位上数字之和也是 3 的倍数。 生 3：我想问，为什么 “各个数位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数 。”

二、探个究竟

1、研究一位数（实践操作：摆一摆，分一分）

（分组给学生准备数量为 3、6、9 和 4、7、8 根的小棒，让学生通过分小棒体会 3 的倍数） 师：请同学们拿出老师为你们准备的小棒，分一分，看看你们组小棒根数是否为 3 的倍数？ 生：活动 生：汇报：是。3 根 3 根分刚好分完。 不是。3 根 3 根分，分完后还剩余 1 根或 2 根。

2、研究两位数（这是重点；操作 + 画图 + 推理）

环节①：PPT 出示 12，12 是 3 的倍数吗？ 师：你是怎么判断的？ 生：12÷3=4 1+2=3，3 是 3 的倍数，所以 12 是 3 的倍数。（副板书：1+2=3） 师： 1+2=3，这个算式表示什么意思？ 生：这个 1 代表十位的 1，2 代表个位的 2。 师：一起来分一分 12 根小棒，看看哪个小组最先发现 1+2=3 中的 1 和 2 表示的意思。 活动：请拿出 12 根小棒。（一捆加 2 根） 生汇报：我发现，这个 1 是这样来的，12 根小棒，我先把一捆小棒 3 根 3 根分，分了 9 根，还剩 1 根，这一根再和个位的 2 根合起来就是 3 根，3 根能再分一分，所以 1+2 表示的是剩下的小棒根数。 PPT 动画再现分的过程。 师：我们可以把分小棒的过程用数的组成来表示：把 12 分成 10 和 2，十位有 10 根，3 根 3 根分，分走 9 根，还剩 1 根。（同时板书） 板书：数的组成 12 / \ 10 2 / \ 9 1 师：通过分小棒，发现，12 是不是 3 得倍数，实际是由哪些小棒决定的？ 请学生圈出。 生：剩余的小棒。 师：圈出板书中的 1 和 2。 环节②：PPT 动画增加一捆小棒 师：再增加一捆小棒。变成 22 根，22 是 3 的倍数吗？ 生：不是。 活动：用小棒摆一摆，22 是 3 的倍数吗？ 答：不是 思考：①哪些小棒决定着 22 不是 3 的倍数的？ ②这些小棒是怎样得到的？ ③你能用数的组成示意图把分的过程表示出来吗？ ④请圈出起决定作用的数？ 活动： 师：剩下 4 根，可以通过拿走或添加小棒将 22 变成 3 的倍数吗？ 生：可以 生用导学单活动 导学单出示： 给剩余小棒位置编号①②③④ 我准备在___号位置拿走___根小棒，拿走后 22 就变成了____。 我准备在___号位置添加___根小棒，添加后 22 就变成了____。

3、研究三位数（推理 + 画图 + 验证）

PPT 出示 111 问：111 是 3 的倍数吗？是 问：你是如何判断的？ 我的方法：

（提示：可以画一画示意图，圈出起决定作用的数字（小棒）？）

思考 ：①圈出的这些数字（小棒）是如何得到的？ ②你还有什么发现？能举例验证你的发现吗？

师：百位上剩余的 1 是如何得到的呢？ 生 1:3 根 3 根分，分 33 次，可以分走 99 根，还剩 1 根。 生 2：1 个百是 10 个十，1 个十分走 9 根，10 个十就剩下 10 个一，又是 1 个十，再分走 9 根，最后剩 1 根。 PPT 出示动画。

4、研究更大的数（猜想、验证、拓展）

师：：如果 1 个千，一个万……，3 根 3 根分，分完后还剩几根？ 推理演绎：1 个千等于 10 个百，每个百，3 根 3 根分，最后剩 1 根，10 个百共剩 10 根，又是 1 个十，3 根 3 根分，分完后剩 1 根。1 个万，1 个十万……，同理。（PPT 动画演示）

5、总结

我们在找 3 的倍数的过程中，通过一位数，两位数，再到三位数和更多位数的研究，发现，不管多大多小的数，每个计数单位（一除外），十、百、千、万等，除以 3 都会余下 1。 数位上有几个计数单位就会剩下几，把每个数位上余下的数相加恰好相当于各个数位上的数的和。和如果是 3 的倍数，那这个数就是 3 的倍数；反之则不是。

三、学以致用

练习题 判断、选择 （一）判断： 1. 个位上是 3、6、9 的数一定是 3 的倍数。（ ） 2. 个位、十位、百位上数字都相同的 3 位数一定是 3 的倍数。（ ） 3. 用三个连续的自然数组成的三位数一定是 3 的倍数。（ ）

（二）这三个数是否是 3 的倍数：836 1362 3786549210

师：通过 3 的倍数特征背后知识的探究，你学到了什么？

四、学无止境

我还发现，我还想问，我还想研究…… 你能解释 2、5 倍数特征为什么只看个位吗？ 你能尝试探究 4、6、7、8、9 等数的倍数特征吗？

游戏结束：从某个数开始连续数数，是 3 的倍数的数和含有数字 3 的数都用拍掌代替。

       初探混合式学习  

   ——《3 的倍数特征》一稿案例分享

 2020 年 10 月 7 日，工作室全体成员在林智慧老师的引领下，开展了《3 的倍数特征》一稿的第一次网络教研活动。活动采取混合式学习主研团队老师主要发言、其他老师补充发言、林智慧老师总结发言的形式进行。

胡意老师主持发言 本次活动由胡意老师主持，首先，胡意老师和大家谈了关于这次新世纪小学数学研讨的主题 —— 混合式学习的相关情况，然后胡意老师分享了关于《3 的倍数特征》的教学设计一稿，提出了自己的想法和一些困惑。

骆冀老师提建议

 接着骆冀老师针对教学设计提出了自己的一些想法，首先，教学设计的结构很好，是基于学生的实际情况进行的，但也提出了一些担心：1. 老师的预设很好，但学生能出来吗？探究时数能不能小一点。2. 核心探究环节，学生的思考太少，一问一答式的痕迹太重，能否结合前面的例子让孩子在小组内谈谈自己的认识。

叶永秀老师提想法

  叶永秀老师提出自己的想法：三个环节体现了从 “是什么” 到 “为什么”，体现 3 的倍数的特征，可能从数的整除入手，用小棒来帮助理解会更好。

周扬洋老师说看法 周扬洋老师的看法是：学生要出来点子图可能会有困难，怎样勾连 3 的倍数的特征和其它知识之间的关系呢？可以从拆分入手。

大家积极补充发言 接下来，大家积极补充发言，结合 42÷3 具体怎样让学生理解可以用因为 4+2=6,6÷3=2，所以 42 是 3 的倍数，大家纷纷发表自己的想法，如可以从数的组成入手，可以从更小的数入手，可以从数的拆分入手，可以用比点子图更好的方块图入手等等方式。在分享的过程中，大家除了分享自己的想法，还分享了自己在其它书籍、网络等地方看到的好方法、好点子，大家都在热烈的探讨、碰撞中学到了不少的知识。

林智慧老师做总结发言

 紧接着，林智慧老师做了总结发言。这是一节关于 3 的倍数特征的拓展延伸课，关于教材分析和学情分析都可以再深入一点。同时，林老师给大家抛出了以下问题：1. 面对 3 的倍数特征，学生在哪里？2. 通过视频学习，学生能获得什么？3. 教学内容的学习价值是什么？4. 基于核心问题的自由学习怎样体现？

探究和思考 最后，大家顺着林老师的发言，又对 “微课视频放在什么时候学习更好？导学单怎样设计？如何更好地了解学情？” 等问题进行了深入的探讨。2 个多小时的线上教研活动在讨论、学习、碰撞中结束了，大家都感觉收获满满。

                 《3 的倍数特征背后的奥秘》教学设计
一、教学内容： 

　　 北师大版五年级上册第三单元第三课时

二、教材分析： 
3 的倍数的特征是在学习了 2、5 的倍数的特征之后教学的。教材中呈现了通过百数表发现 3 的倍数特征，在教学时，是先圈出百数表中 3 的倍数进行观察，知道不能看一个数个位上的数确定这个数是不是 3 的倍数。而是利用百数表中圈出的 3 的倍数，进行观察、分析这些倍数的特点，发现 3 的倍数的特征。教材中并没有呈现为什么 3 的倍数特征需要把各个数位上的数字相加求和再判断。

三、学情分析： 
学生可能存在为什么 2 和 5 的倍数只看个位，而 3 的倍数要把各个数位数字相加求和再判断，其中蕴含的道理学生不清楚，心中会有疑问，这节课针对学生的疑问进行教学。

四、教学目标： 

　 1、使学生经历探索 3 的倍数的特征背后的奥秘的活动，知道 3 的倍数的特征背后的奥秘，能找到判断一个数是不是 3 的倍数的快速简便方法。 　 2、使学生体会探索数的特征的一些方法，能通过分析、比较、归纳或猜想、检验等方法发现 3 的倍数特征背后的奥秘。 　 3、在探索数的有关特征奥秘的过程中，体会数学内容的奇妙、有趣，产生对数学的好奇心。

五、教学重难点： 

　 　重点：知道 3 的倍数的特征，能判断一个数是不是 3 的倍数。 难点：让学生通过操作探究、自主发现 3 的倍数的特征存在的原因。

六、教学过程：
环节一：了解通过微课学习，知识掌握情况。
师：我们通过微课《3 的倍数特征》的学习，请同学来告诉老师，3 的倍数有什么特征？
生：各个数位上数字之和是 3 的倍数。
师：既然同学们都清楚 3 的倍数特征，我们就来判断一下哪些数是 3 的倍数，哪些不是？
PPT 出示：
①逐一 出示第一组数 ：147、741、471
判断：是
发现：不管几个数字的顺序怎么排列 ，只要它们的和是 3 的倍数 ，组成的数就一定是 3 的倍数。 
②逐一 出示第二组数 ：360、369、999
判断：是
发现：如果一个数每一位上的数都是 3 的倍数 ，它们的和肯定也是 3 的倍数。
 环节二：探索 3 的倍数特征背后的奥秘
师：对于 3 的倍数特征，你还有什么想了解的呢？
预设生：为什么 3 的倍数特征是各个数位上数字之和。
师：这节课我们就来解决这个问题。你们想通过哪种方式来解决这个问题。
生：画一画，摆一摆，举例……
生活动：
预设：

生 1：

发现：有几个十，就有几个一。
  十位剩下的 4 个与个位合起来，再分。
4+2=6
6÷3=2  

生 2:

发现：十位 40，3 个 3 个分，分完还剩 1 个。个位 5,3 个一组，分完还剩 2 个。最后把剩下的 1 个和 2 个合起来是 3 个。刚好 3 个一组分完。
40÷3=13……1
5÷3=1……2
1+2=3
3÷3=1
师：对比两个同学的方法，你认为哪一种更一目了然的表达了 3 的倍数特征。
生 a：第一种。
师：第一种方法，剩余的 4 能代替 42 十位上的 4 吗？
生 b：不能，这个 4 表示十位分后剩余的 4 个。42 中的 4 表示 40 个。所以不能代替。
生 c：能，因为我们已经知道有几个十，就会剩余几个一，42 十位上的 4 可以直接看成分完后剩余 4 个。所以我们可以用 4+2 来计算。

师：我们说把各个数位加起来。其实是我们在分的时候，越过了第一次分的过程，直接把十位剩余的数与个位加起来。 师：两位数我们探究了，三位数也是这样的吗？ 生 2：

举例：123。个位是 3，先放着。十位是 2，分完后还剩 2。百位是 1，3 个 3 个分，分完后，分走 99，还剩 1。把百位剩下的 1、十位剩下的 2 与个位 3 合起来是 1+2+3=6,6÷3=2。正好也是把各个数位上的数字相加求和，和是 3 的倍数，所以 123 是 3 的倍数。
（此处学生可能发现个位 3 本就是 3 的倍数，可以不用加了再分。处理方法：个位的 3 是 3 的倍数，我们只需要判断十位和百位分完后剩下部分是不是 3 的倍数即可。所以，当某一个数位上的数字已经是 3 的倍数了，我们只需判断其他数位上的数字即可。）
生 3：
发现：100÷3=33……1，有几个一百，分后就会余下几个一，所以百位上数字是几，也就表示分后会剩下几个，我们只需判断各个数位分后剩下的合起来是不是 3 个倍数即可。
师：3 位数如此，四位数呢？
生 4：
如果是一个四位数，千位上每 1000,3 个 3 个分会剩 1，有几个一千就剩几个 1。
1000÷3=333……1。如 6789，按照数位顺序逐个分，千位剩 6，百位剩 7，十位剩 8，加上个位的 9，一共是 30。所以 6789 也是 3 的倍数。
师：说的很好，根据这样的思路，大家能说说 3 的倍数特征背后隐藏的奥秘了吗？
生：我发现，任何一个数，每个数位上数字是几，3 个 3 个的分后，对应数位上就会剩下几，我们把各个数位上数字相加求和，其实是把各个数位上分后剩下的数相加求和，看剩下的部分是不是 3 的倍数。
环节三：应用发现
师：既然我们已经弄清楚 3 的倍数特征背后的奥秘了，现在我们再来看看，你准备如何判断下面这三个数是不是 3 的倍数？
PPT 出示：
逐一出示数 ：836、1362、3786549210
判断：836 不是。1362、3786549210 是。
发现：划去数位上是 3 的倍数或者某些数位上数字和是 3 的倍数的数字，判断剩下的数字即可。
生：3786549210 这个数，把 3、6、9、0 四个数字去掉后 ，剩下的数字 ，其中 7+8=15，5+4=9。2+1=3，15、9、3 正好都是 3 的倍数 。所以这个数就是 3 的倍数。 
师：同学们利用微课学习知道 3 的倍数特征，这节课我们探究了 3 的倍数特征背后的奥秘。我们不仅知其然，还知其所以然。同时大家还利用了我们的发现找到解决问题的渐变方法。



六、教学板书：

七、课后作业：

八、教学反思：

@20五年罗丽萍 请罗老师对本节课设计还可以优化和改进的地方赐教

@20五年罗丽萍 请罗老师对本节课设计还可以优化和改进的地方赐教

@lm123456 老师，你好。本节课通过学生使用预学单和学习微课，对本节课的学习目标和任务有一定的了解，课堂通过学生互相交流，补充，质疑等活动首先完成 3 的倍数的认识和如何找到 3 的倍数特征的教学，再通过学生的疑问提出为什么 3 的倍数的特征是这样，既解决学生的问题，也巩固了学生对 3 的倍数特征的认识。

@赵梓煜 赵老师，本节课采用线上线下混合式教学，以 3 个核心问题为导向，首先解决本节课学生预学的两个核心问题，①3 的倍数特征是什么②如何找到 3 的倍数特征，最后通过学生的疑问提出第三个核心问题，解决为什么 3 的倍数有这样的特征。

@师海丽 谢谢师老师的肯定，也请师老师对本节课需要改进的地方提出建议。

@王学娟 谢谢王老师，请王老师对本节课需要改进的地方也提出建议。

@木子 谢谢老师

                   探索活动：3 的倍数的特征

【核心问题】

 3 的倍数有什么特征？
 是怎样发现的？
 为什么 “各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数”？

【教材分析】

本节课北师大五年级上第三单元第 3 课时《探索活动：3 的倍数特征》，本课是在学习了因数和倍数的概念及掌握了 2 和 5 的特征的基础上教学的，学习了 2、5、3 的倍数的特征有利于学生很快找出一些数的因数，是今后判断质数，合数的基础，也为今后学习约分、通分打基础。3 的倍数特征可以借助 2、5 倍数特征的探究方法进行探究，本节课学生会经历操作（圈）- 观察 - 猜想 - 推翻猜想 - 再观察 - 再猜想 - 验证的过程，在这样的过程中逐步培养学生的探究能力。由于理解为什么 3 的倍数特征是各个数位数字之和有难度，故教材只编排了探究 3 的倍数是什么的问题，没有编排为什么这样的问题。

【学情分析】

学生通过 2、5 倍数特征探究方法的学习，能较轻松迁移到 3 的倍数特征的探究。学生在概括 2 和 5 的倍数特征时，只注意了个位上的数，因此学生在猜想 3 的倍数时，会自然的认为 3 的倍数特征也和个位上的数字有。由此可产生认知冲突，激发学生探索 3 的倍数的特征的欲望。学生在学习 2、5 倍数特征时，比较容易接受 2、5 倍数特征和个位上数字有关的结论。迁移到 3 的倍数特征时，学生就发现 3 的倍数特征和已知出现冲突，于是产生为什么 “3 的倍数的特征是各个数位数字之和是 3 的倍数” 这样的疑问。只有解决了为什么 3 的倍数有这样的特征，才能帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征。

【教学目标】

1. 学生结合微课和导学单，通过观察、操作、猜想、验证等活动，认识 3 的倍数的特征并掌握一个数是否为 3 的倍数的判断方法。
2. 学生借助小棒模型直观理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理。

【教学重点】

3 的倍数的特征，并能正确判断 3 的倍数。

【教学难点】

理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理

【学习方式】

线上微课 + 线下课堂教学

【学习时间】

40 分钟

【学习地点】

录播室

【学习准备】

微课、学具、探究单、PPT

【学习过程】

一、快乐分享

师：同学们，大家通过看微课和使用预学单，已经自学了 3 的倍数的特征这一课，自评给自己打了多少颗星呢？

生：20 颗……

师：待会我们来验证下大家是否能学以致用。先一起来分享你学到的知识。

PPT 依次出示问题：

1.3 的倍数有什么特征呢？
2. 是怎样发现的呢？
3. 我想问？

预设：
生 1：各个数位数字之和是 3 的倍数。
生 2：百数表中圈出 3 的倍数，观察百数表中 3 的倍数共同的特征，猜想各数位数字之和是 3 的倍数，列举大于 100 的 3 的倍数是否符合这个特征，所举例子都符合特征，得出 3 的倍数的特征是各个数位数字之和是 3 的倍数。

应对 1：同意。你是怎么发现的。
应对 2：根据 2 和 5 倍数特征，大家是否猜想过 3 的倍数特征可能是个位是 3.6.9 的数。

师：运用所学知识合理猜测，会迁移知识。验证后发现如 13,16,19 这样的数，并不是 3 的倍数。3 的倍数个位 0-9 的数都会出现。于是有了刚才分享的找 - 观察 - 猜测 - 验证 - 结论的过程。是的，很多伟大的发现都经过多次猜想、验证，才得出结论的。

师：我们已经解决了这节课的两个核心问题，学完后你还有什么想问的呢？

生：为什么 3 的倍数特征是各个数位数字之和是 3 的倍数？

(设计意图：学生课前使用导学单和微课，通过操作、观察、猜测、验证、结论等过程，已经知道了 3 的倍数的特征，也掌握了判断一个数是否为 3 的倍数的方法，课堂中教师通过核心问题的设置及微课关键环节截图，引发学生回忆学习过程，达到巩固知识和技能的目的。)


二、探个究竟

1. 研究一位数
师：8 是 3 的倍数吗？
生：不是
师：（拿出 8 根小棒）能把老师手上的小棒分一分，说明 8 为什么不是 3 的倍数吗？
生：3 根 3 根分，分走 6 根，剩余 2 根不是 3 的倍数。
师：也就是说，判断 8 是不是 3 的倍数，关键看哪些小棒。
生：剩余的 2 根小棒。
师：为什么不看分走的部分？
生：分走部分已经是 3 的倍数了，所以只看剩余部分就可以了。
（设计意图：通过分 8 根小棒，让学生初步感知判断一个数是不是 3 的倍数，能整除就是 3 的倍数，不能整除就判断剩余部分是不是 3 的倍数）

2. 研究两位数（研究 12、22、42）
师：研究了一位数，你准备研究几位数？
生：两位数、三位数等
师：解决复杂问题，通常从简单入手，建议大家选小一点的，两位数来探究。
师：请大家拿出探究单，先独立完成探究，再小组谈论。
生活动（师巡视选择代表性的答案：如 12）
汇报分享：
生：我举例 12，是由一个十和 2 个一组成。十位 3 个 3 个分，分了 9，还剩 1。十位剩余的 1 再和个位的 2 合起来就是 3，剩余的 3 能被 3 整除，所以 12 就是 3 的倍数。也就是说 1+2 表示的是十位和个位剩余部分。
可以表示成：
     12
   /     \
  10       2
/    \
9    1

PPT 动画展示 
师：一个十，3 个 3 个分，分走 9 个，余下 1 个。余下的一个再和个位的两个合起来，这 3 个能被 3 整除，所以这 12 能被 3 整除。
（设计意图：12 是 3 的最小两位数倍数，通过 1+2 的理解，初步感知加法算式中的 1 表示 1 个 1。是 1 个十分走 3 个 3 后余下的 1。）

师：再添 1 个十，变成 22，22 是 3 的倍数吗？
生：不是。
师：为什么 2+2 就能判断 22 不是 3 的倍数呢？谁能说清楚其中的道理。
         22
   /       /      \
  10       10      2
 /  \      /  \ 
 9   1    9   1
生：22 由 20 和 2 组成，20 可以分成 2 个十，1 个十分走 9 个还剩一个，2 个十分走两个 9，剩 2 个一，也就是十位剩余 2 个，再和个位的 2 合起来是 4，4 不是 3 的倍数，所以 22 不是 3 的倍数。
PPT 动画展示：
师：1 个十，3 个 3 个分，分走 9 余 1，2 个十分走 2 个 9，余 2 个一，再和个位的 2 合起来是 4。余下的 4 不是 3 的倍数，所以 22 不是 3 的倍数。
（设计意图：22 十位上 2 个十，学生从已知 1 个十余 1 个一迁移到 2 个十余 2 个一，初步感知几个十就可以余下几个一。）

师：22 说清楚了，再大一点的数，42。我们是如何判断？
生：4+2=6，是 3 的倍数。
师：为什么 4+2 就可以判断是 3 的倍数？
生：42 由 40 和 2 组成，40 可以分成 4 个十，1 个十分走 9 个还剩一个，4 个十分走 4 个 9，剩 4 个一，也就是十位剩余 4 个，再和个位的 2 合起来是 6，6 是 3 的倍数，所以 42 是 3 的倍数。
PPT 动画展示：
师：1 个十余 1，2 个十余 2，3 个十余 3，3 个十怎么余 3 呢？
生：先不分走。4 个十余 4，和个位 2 和起来是 6，6 是 3 的倍数。
（设计意图：42 十位上 4 个十，通过对 3 个十是否余下 3 个一的质疑，感知十位数字大于等于 3 时，余数不用分走大于 3 的部分，而是有几个十就余下几个一。）
师：两位数大家弄清楚了吗？
生：清楚了。

3. 研究 3 位数
师：来一个大点的数，三位数，142。如何判断？
生：1+4+2
师：为什么，谁来解释？
生 1：不知道百位的 1 如何来的。
生 2：百位上 1 个百，分走 99，分走的 99 是 3 的倍数，余 1。十位 4 个十，分走 4 个 9，余 4 个一。百位、十位剩余部分和个位合起来，一共 7 根，7 不是 3 的倍数。
应对 1:142 中的 42，刚才我们已经清楚 4+2 表示的意思了，关键就是要判断 1+4+2 中的哪个数？
PPT 动画展示：
师：百位上 1 个百，分走 99，余 1。十位 4 个十，分走 4 个 9 后余 4 个一。我们把每个数位剩余部分合起来是 7，7 不是 3 的倍数，所以 142 不是 3 的倍数。
（设计意图：142 中百位上 1 个百和算式 1+4+2 中的 1 个一做对比，理解 1 个一是 1 个百分走 99 个后剩余的 1。感知推理百位有几个百就余几个一。）

4. 理论依据
师：有这样一个三位数，如何判断它是不是 3 的倍数？
生：看 a+b+c 的和是不是 3 的倍数。
师：你能说说其中的道理吗？
生：百位上是 a，表示 a 个 100，每个 100 分走 99 后余 1，a 个 100 余 a 个 1。十位上是 b，表示 b 个 10，每个 10 分走 9 后余 1，b 个 10 余 b 个 1。个位表示 c 个 1，把各个数位余下的部分合起来，如果是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
（设计意图：通过字母表示的三位数的理解，帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征，同时还帮助学生了解结论背后更具普遍规律性的理论依据。）

三、总结发现

师：现在你能说说为什么 “各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数” 了吗？
生：每个数位上有几个计数单位就会剩下几，把每个数位上余下的数相加恰好等于于各个数位上的数字之和。
四、灵活运用

师：有信心运用自己学到的知识解决问题吗？拿出导学单，完成后面练习。
PPT 出示：
一、判断：
1. 个位上是 3、6、9 的数一定是 3 的倍数。（  ）
2. 个位、十位、百位上数字都相同的 3 位数一定是 3 的倍数。（  ）
3. 用三个连续的自然数组成的三位数一定是 3 的倍数。（  ）
二、判断下面这个数是否为 3 的倍数，比一比，看谁的方法最简单？
9786549210

师：通过今天的学习你有什么收获？
我还发现，我还想问，我还想研究……

【作业布置】
你能尝试探究 4、6、7、8、9 等数的倍数特征吗？

【板书设计】
探索活动：3 的倍数的特征
3 的倍数特征：各个数位上数字之和是 3 的倍数？
操作   猜想    验证    结论
     12                  22   
   /     \         /       /      \
  10      2       10       10      2
/    \            /  \     /  \ 
9    1           9   1    9   1
【教学反思】

选课思考：

1. 通过对学生的调查发现，学生在学了 2 和 5 的倍数的特征之后，有部分学生已经提前知道了 3 的倍数的特征，学生发现 3 的倍数特征和 2、5 倍数的特征不一样，产生了为什么 2、5 倍数只看个位，而 3 的倍数要看各个数位数字之和这样的疑问。疑起于思，思源于学。为了解决学生的疑问，有必要解决为什么判断一个数是否为 3 的倍数要看各个数位数字之和这一问题。

2. 通过对部分家长的调查，家长在面对学生提出为什么判断一个数是否为 3 的倍数要看各个数位数字之和这一问题时，家长也无法解答，家长希望老师能给学生一个答案，同时自己也觉得这个问题很有趣，想知道其中的道理。

3. 通过对教师的调查，发现有教师对 3 的倍数特征也是知其然，不知其所以然，探究这个问题，可以促进教师之间的交流，达到共同学习和进步的目的。

4. 通过对不同教材版本的学习，发现人教版和浙教版在课后都有拓展性教学内容呈现，但对于为什么这部分内容属于简学内容，加上数论原理本身理解上比较困难，学生理解就更困难了，因此需要有老师的帮助。

5. 北师大教材内容编排只编排了解决 3 的倍数特征是什么的问题。但当有微课作为辅助教学手段之后，学生课前进行预学，通过微课知道 3 的倍数的特征，并掌握判断一个数是否为 3 的倍数的方法，可以为课堂教学争取到更多时间探究为什么 3 的倍数特征是各个数位数字和是 3 的倍数。学生理解为什么之后，更能促进学生对 3 的倍数特征的掌握。