成都工作室-颜欢

【结构化解读《三角形内角和》】

【活动综述】

历时 4 个月的第二届全国名师工作室教学设计与课堂展示活动落下帷幕。非常庆幸自己能够成为本次活动的一

员，与工作室三位老师一起经历选课、上课、磨课、查阅资料、答辩等一系列过程，与优秀同行，自己也收获良

多。本次活动主题为 “混合式学习”，什么是 “混合式学习”？这种教学样态是否能真正有效促进学生深度学

习？本节课最核心、最本质的内容是什么？这节探索与发现课例，基于前测，我们如何根据学情引导学生通过数

学活动去培养推理能力，发展空间观念？我们一边查阅资料，一边实践于课堂教学。

以下，是我们通过反复研读教材、查新资料，根据前后测学情调查并实践课堂后的一些认识和思考。

一、混合式学习


（一）混合式学习的内涵解读

混合式学习是指对所有的 “教” 与 “学” 中组成的要素进行合理选择和优化组合，使 “教” 与 “学” 达到最

佳的理论与实践。混合式学习是在适当的时间，通过应用 “适当的学习技术对 “学习者传递能力，从而取得最优

化的学习效果的学习方式。教师要发挥自身引导，启发，监控教学过程的主导作用，又要充分体现学生作为学习

过程主体的主动性、积极性与创造性。混合式学习是采用线上和线下两种途径开展教学的。当然 “线下” 的教学

不是传统课堂教学活动的照搬，而是基于 “线上” 的前测学习而开展的更加深入的教学活动。充分发挥 “线

上” 和 “线下” 两种教学的优势来改造我们的传统教学，对传统教学的时间和空间都进行了拓展。

（二）基于本课的混合式学习方式

本课采用混合式学习方式有助于帮助学生理解核心概念。

片段一：通过观看微课里三角形家族关于内角和大小的争论，让学生在已有的知识结构中自然而然地产生

认知冲突，引发质疑：三角形的内角和是多少呢？为什么是 180 度？让他们内心产生学习知识的需求，激发学生

探究的兴趣。

片段二：现阶段小学课堂探究主要有：操作验证和推理论证两大类。本节课的操作验证有测量求和法、撕拼

法、折拼法、演绎法等。操作验证不够严谨，但就小学生而言，这样的 “实验几何” 是符合四年级孩子的心理年

龄特点的，不过操作会产生误差，操作材料的片面性会导致不科学的结论。因此借助看微课，利用计算机技术可

以很好的解决误差，并科学验证三角形内角和为 180°。微课虽然 “微型”，但它独有的特点：短（时间）、小

（着眼点、容量）、趣（童趣）、便（方便学习），为课堂教学增添助力。特别是我们所使用的 3.0 微课，站在

儿童视角，以形式活泼、富有童趣、儿童化的语言呈现学生真实、多样的想法，有效激发学生的学习积极性，

提升学习效果。

（三）混合式学习优势

我们认为，教学资源，如 3.0 微课可以课前答疑，成为预习新知的好帮手；课中感知，成为思维的引领者；

课后使用，成为智慧的启迪者。教学实践表明，在教学进度、时间基本限定的情况下，班级群体中学生的数学知

识、技能、思想、方法等获得都有着不同程度的差异。以本课前期试讲后，后测数据为例，我们可以看出并非所

有学生都收获到验证三角形内角和的量、撕、拼方法，对于借助三角形内角和来解决问题的学生人数仅占调查总

人数的 17%等。针对以上情况，我们可以借助课后微课的 “回头看” 来巩固学生课堂所学，形成闭环学习。

课后微课的 “回头看”，有助于学生重复观看与学习。对于课堂上还没完全理解的知识点进行再次学习，能辅助

学生有效地理解并突破重点和难点，查漏补缺。有助于满足个性化的学习需求。课堂大班教学中，因为学生知识

储备不同，不能兼顾到所有学生的学习情况，课后微课的学习起到了 “因材施教” 的作用，不同学习程度的学生

可针对自己薄弱或更具挑战性的内容进行学习。有助于促进教学时间分配更合理。延长教与学的时间，优化教与

学的过程。

二、通过操作活动，培养学生推理能力与空间观念

必要的操作是推理的基础，对于小学低年级的学生而言，通过操作能积累感性认识，为有效推理提供思考的

源泉。课中让学生通过操作活动去探索三角形的内角和，学生根据自己积累的活动经验，有的想到测量角度求

和，有的想到撕拼法，有的想到折拼法，学生对问题解决有自己的独特理解。在这一主动构建过程中，通过动手

操作，把课堂交给了学生，把学生推到思维的前沿。操作学习解放了学生的思维，为学生思维提供支柱，让学生

体会到了问题的本质，挖掘到了数学的内在性质。 学生在操作的过程中遇到困难，对于折拼法的操作程序、操作

原理不得要领，比如撕拼：怎么拼？怎么把三个角放在一块儿？课中引导学生观察，思考如何拼接的过程，通过

思考提醒操作程序，要合并，也就是要顶点重合，边对接。这种操作原理的学习，也为以后学习密铺作出了准

备。

再比如折拼：怎么折？先确定哪个顶点折向哪条边？哪个角先过去？课中引导学生观察、思考，学生明白了

操作原理：原来是要把边相对的角折过去（即边对角）。从数学的原理来讲是中位线对折，但是目前学生不懂，

学生改为折向哪条边，折痕与边平行，折痕平行于对边，再折其它角。通过学生的观察、交流、思考，明白撕

拼、折拼中，如何 “拼”、如何 “折” 才得要领，使误差更小。

（一）基于课标定位

“三角形内角和” 是学生在学习三角形的过程中，探索三角形性质的重要内容之一。本课学习前，学生已经对三

角形进行了直观认识，了解三角形的特征及分类情况，认识了平角。《标准》（2011 版）中指出：“图形与几

何” 这部分知识教学应注重使学生探索现实世界中有关图形与几何的问题；应注重使学生通过观察、操作、推理

等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小及变换。基于此，我们力图引导学生经历 “提出问题→建

立假设→验证假设→分享交流” 的过程，让学生经历 “数学家式” 的探究活动，发展多元思维，感受智慧产生

的过程。本课，学生主要通过量、撕（剪）、折拼等不同操作活动进行三角形内角和的探索，在课题引入和重要

环节的验证部分借助 3.0 微课进行再次直观解析，力图把动作的逻辑内化为思维的逻辑，进一步发展学生的推理

能力，渗透发展学生的空间观念，获得经验的积累，体验数学思考与探究的乐趣。

（二）基于学情定位

我们对 “三角形内角和” 相关知识进行了前测。通过前测，我们发现一半以上的学生对三角形内角和是 180°

已经知悉，甚至有部分学生对三角形内角和已经有了正确的数学理解。结合课前导学完成情况进行分析，我们发

现一大部分，在解决问题时，习惯先量求和，后撕拼，折拼，只有极少部分同学运用推理来帮助解决问题，说明

我们推理还有一大段路要走。基于此，我们的教学设计，应顺应学生已有学习基础及前测中提及的学习需求，引

导学生亲身经历 “三角形内角和” 探索过程，解决 “三角形内角和” 是什么、怎么求、有什么用等相关问

题。

（三）借助转化实现推理

推理在数学中具有重要的地位，《课标》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用

的思维方式” 数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方式。它与数学证明密切关联，数学

推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。在本节课中，我们首先借助转化实现推理。第一次转化：数→形。

学生测量求和得知三角形的内角和可能是 180 度，由 180 这个特殊 “数”，学生自然想到 180 度所对应的形，也就

是平角。在猜测的过程中，实现了由数到形的空间想象的提升。如何让各自为阵的 3 个内角，想办法走在一起，变

为平角呢，同学们各显神通。第二次转化：形→数。在操作验证环节，学生想到撕拼、折拼两种方法，把分开的

三个内角合并在一起，转化成一个平角，直观感知三角形的内角和是 180 度，用形知数，合情推理。

（四）借助分类 - 归纳实现推理

数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方式。我们在教学过程中给学生提供各个领域丰富

的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。在本节课中，我们在充分尊重学

情的基础上，借助分类 - 归纳实现推理。 1 位同学，只研究 1 个三角形，1 个组汇集 3 类三角形，再全班汇总，归

纳，不论是按角分类还是按边分类，，最终都是在 “类” 的层面上实现归纳，推理最终得出结论：所有的三角形

的内角和都得 180 度。

（五）适度进行演绎推理的渗透

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已经有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断

某些结果；在本节课中，在质疑和猜测的交替中，培养学生的演绎推理能力，进行理性的提升。当学生想到把一

个长方形沿对角线分成两个直角三角形 (连接长方形的对角线); 借助长正方形也可以验证三角形的内角和是

180°。长方形内角和可以分成 2 个一样的三角形内角和，一个三角形是长方形内角和的一半，一个三角形内角和

是 180° ; 继续追问 “四边形内角和” 多少度”；“如果给你一个六边形，你能很快得到它的内角和吗？” 我们团

队在收集数据后发现，学生在五边形和六边形内角和探究活动的参与度表现为，利用三角形推导的占比 56.8%，

量占比 18.2%，拼占比 11.4%，折占比 2.3%， 其他占比 15.9%。学生的推理能力由合情推理向演绎推理在逐步

过渡。

学生在操作中逐渐感悟到测量法、撕拼法、折拼法 “异中有同”，能主动进行联想、类比、推理，获得

自己的数学知识和方法，明白这些方法都是把分开的三个角 “合并” 在一起。即便有些学生的操作有错误

的，遭遇挫折或失败，也很费时，但是带给学生的是对数学的一种感悟，也是一种数学经验，是有价值的，

是创新意识的另一种表现。给学生个性化的学习带来更多的机会，更大的空间。课堂上舍得时间和空间让

学生操作，学生回报的将是精彩的数学思考以及逐步提高的数学素养。

再次感谢新世纪小学数学搭建的本次学习平台，让我们对教材、对课标、对核心素养有了进一步地理解； 


让我们对 “混合式学习” 教学样态有了新的尝试与认识；让我们更加有信心去打造有深度的课堂。我们将  


把 3.0 微课创造性的用于常态教学中，不断优化课堂教学，丰富课堂内涵，提高课堂含金量。

第二次 —【课后小调查】

初次试讲，我们把 “折拼、撕拼” 环节以观看微课的形式替代学生亲身参与动手操作的过程，从后测数据可以看

出，学生对核心知识的理解并不深刻，对学生发展空间观念没有起到很好的促进作用。基于此，我们把教学设计

进行了调整，课堂上老师积极引导学生经历猜想 - 实验 - 验证的过程，在量一量、撕一撕、折一折、拼一拼等

操作环节中，有意识地培养学生的空间观念和推理能力。教学设计修改后，我们对授课班级 41 名同学进行了课

后小调查，与前期后测数据相比，学生对 “三角形内角和是什么、为什么是 180°、有什么用” 有了明显的变化。

【课堂教学实录】

教学内容：北师大版小学数学四年级下册第二单元《认识三角形和四边形》第 3 课时

教材分析：“三角形内角和” 是学生在学习三角形的过程中，探索三角形性质的重要内容之一。本课学习前，学生已经对三角形进行了直观认识，了解三角形的特征及分类情况，认识了平角。《标准》（2011 版）中指出：“图形与几何” 这部分知识教学应注重使学生探索现实世界中有关图形与几何的问题；应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小及变换。基于此，我们力图引导学生经历 “提出问题→建立假设→验证假设→分享交流” 的过程，让学生经历 “数学家式” 的探究活动，发展多元思维，感受智慧产生的过程。本课，学生主要通过量、撕（剪）、折拼等不同操作活动进行三角形内角和的探索，在课题引入和重要环节的验证部分借助 3.0 微课进行再次直观解析，力图把动作的逻辑内化为思维的逻辑，进一步发展学生的空间观念与推理能力，获得经验的积累，体验数学思考与探究的乐趣。

学情分析：为了掌握学生知识储备，我们对 “三角形内角和” 相关知识进行了前测。通过前测，我们发现一半以上的学生对三角形内角和是 180° 已经知悉，甚至有部分学生对三角形内角和已经有了正确的数学理解。基于此，我们的教学设计，应顺应学生已有学习基础及前测中提及的学习需求，引导学生亲身经历 “三角形内角和” 探索过程，解决 “三角形内角和” 是什么、怎么求、有什么用等相关问题。

学习目标：1、经历猜想到验证的过程，通过量、剪、拼、折等直观操作活动，验证三角形内角和为 180，累积活动经验，进一步发展空间观念。 2、掌握由特殊到一般的逻辑方法和先猜想后证明的方法。

学习重点：经历探索与证明三角形的内角和为 180° 的过程，并能利用三角形内角和的性质解决相关问题。

学习难点：掌握证明三角形内角和是 180° 的策略及方法。

【教学准备】 3.0 微课、PPT、学具袋（不同形状、大小的三角形、量角器、剪刀）

教学过程：

环节一，情景引入，激发学生探索兴趣

师：在上节课，我们通过学习三角形的分类，已经认识了直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。今天，在三角

形王国里正在进行着激烈地讨论，它们正在讨论什么呢？我们一起来看看吧！ （引入微课片段 1）

师：真的像它们所说，个头大、胖胖的三角形内角和就大，个头小小的三角形的内角和就最小，是这样吗？说说

你们的想法吧。

生 1：我认为高高的、大大的、胖胖的三角形内角和就是最大的。

生 2：我觉得高高的、胖胖的三角形和那个矮矮的三角形内角和是一样的。

师：你怎么知道它们内角和是一样的？

生 3：因为我把它们三个角都量过，最后加起来发现它们的内角和都是一样的。

师：这个爱学习的孩子有了自己 “量” 经验，这是他的想法，其他孩子还有补充吗？

生 4：我要反驳她的想法。这些三角形的内角和和边长无关，和角的开口才有关系。

师：所以，你的结论是？

生 5：我觉得它们的内角和都是一样的。

师：看来你和他的想法一样的。那，到底三角形内角和是像这位孩子所说有大有小，还是像那两位孩子所说，都

是一样的？今天，我们就一起来探索三角形的内角和。 （板书）

环节二，多元思维，不同方法探索三角形的内角和

（一）从 “数” 的角度探索：量角 —— 求和

师：三角形王国里关于 “内角和” 谁大谁小的问题，引发了孩子们这么多的讨论，

我们就先来认识一下，什么叫内角吧！

师：在三角形里，像这样，由一个顶点和两条边所组成的角，我们把它叫做三角形的内角。那，每个三角形都有

几个内角？

生 1：三角形有 3 个内角。

师：你可以去指一下吗？ （生指）

师：为了方便记录，我们把这三个内角记为∠1、∠2、∠3。认识了内角，我们就要来认识认识今天的主题，内角

和了。你觉得三角形内角和指的是什么呢？

生 2：我觉得内角和指的是把它们三个角量出来相加。在这个三角形里，算式应该这样列：∠1+∠2∠3 就等于它们

的内角和了。

师：和他想法一样的请举手。刚才大家已经认识了内角，知道内角和是指的三个内角之和。

1. 研究特例，初步感知

师：我们要去研究三角形内角和，可以从一些熟悉的特例去研究。在我们经常用的工具里面，三角板是我们非常

熟悉的，我们一起来看看。你记得每一个角的度数吗？

生 1：这个三角板的度数分别是 30°、60°、90°。

师：记得非常清楚！那，这样的三角形内角和是多少呢？谁来算一算。

生 2：它的内角和就用 30°+60°+90° 就可以算出来，它的内角和是 180°。

师：表达的非常清楚，我们再来看看下一个熟悉的三角板。这样的三角板的三个内角分别又是多少呢？

生 3：它的内角的度数分别是 45°、45° 和 90°。它的内角和是 90°+45°+45°=180°。

2. 研究一般，逐步深入。

师：看来我们有同学提到的猜想：三角形内角和是一样的？好像有点对。但是，两个三角形的结论是不是就代表

所有三角形的内角和都是 180° 呢？

生 4：我觉得不能代表所有三角形的内角和都是 180°，因为还有钝角三角形和锐角三角形。

师：那也就是说，这两个三角形只是很特殊的两个例子。如果我们要去探索三角形的内角和，仅仅靠两个例子，

够吗？就像刚才孩子们所说，还有其他的三角形。

现在我们看看，直角三角形，好像内角和是 180°，如果我们要去探究钝角三角形和锐角三角形的内角和，我可以

怎么办呢？

生 5: 我想把它们每个角量出来，然后相加；我还想用折一折的方式，把它折起来，如果它是一条直线的话，就能

证明它是 180° 了。

师：我从他刚才的描述中好像听到了两种方法。你听到了几种？

生 6：他的意思是可以用三角形来量三个内角，再加起来，然后再用折的方法看看是不是能折成平角。

师：看来孩子们听懂他的意思了。“量” 这种方法啊，确实在我们以前的学习中已经涉及到了，我们就先来研

究 “量”，一会再来研究 “折” 的方法，可以吗？

生 7：可以。

师：如果要去量，我现在没有其他三角形呀，怎么办呢？

生 8：我们可以画一个三角形去量它的角度。

师：有补充吗？如果我们要去画三角形，我们的目标更明确一些，你会画什么三角形？

生 9：我会每个三角形都画一个。

师：你指的每个三角形，指的是？

生 10：就是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形。

师：和他想法一样的请举手。采访一下，为什么要画三种？

生 1：因为一种是鉴定不了三角形内角和是 180° 的，所以我们要多画几种。

师：亲爱的孩子们，我觉得大家已经有点儿数学家的头脑了。我们在研究问题时，一种素材可不能解决问题呀，

所以，我们尽量要使画的三角形种类更加的丰富才能证明结论。现在，我们一起来看一下以下小组活动。

活动要求： 1、从 1 号信封里拿出画图纸和记录表，每人在画图纸上画一个三角形，量一量，算一算，并在记录

表上进行记录。

2、完成后，组内交流你们的发现与结论。

小组活动，引导学生经历量 — 记录 — 交流 — 发现 — 分享的过程。

小组分享：

组 1：请大家看我们的记录。我们分别画出了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，三角形的内角和都是

180°。我们的结论是，任何三角形的内角和都是 180 度。

组 2：请大家看，这是我们组的汇报。我们一共画了三种三角形，它们的内角和都是 180°。我们发现任意三角形

的大小、形状都不改变三角形的内角和，三角形内角和都是 180° 左右，因为人工操作会有一些误差。

师：我们接着看下一组，看看她们的想法和前两组有什么不一样或相同之处呢？

组 3：我代表我们小组发言。我们画了三种三角形，分别是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，它们的内角和

分别是 180°、182°、180°、184°。我们的结论是无论什么三角形，内角和都是 180° 左右。

师：亲爱的孩子们，三个组进行汇报，它们的结论都是三角形内角和在 180° 左右，那为什么会这样呢？我们一起

通过微课来看一看吧！ （引入微课片段 2）

师：看完微课，有没有证明你刚才心中所想呢？你有什么想和大家分享的？

生 1：我想表达人工测量难免会有错误，但是电脑的帮助，我们得知了所有三角形内角和一定都是 180°。

师：很会提炼和总结的孩子。谁还想来说一说。

生 2：我想表达，任何三角形的内角和都是 180°，人工测量难免会出一些差错，但是测量出来始终在 180° 左右。

生 3：无论三角形是大还是小，高还是矮，三角形的内角和都是 180°。 （板书：任意三角形内角和是 180°）

师：孩子们，看来通过量一量，确实可以验证三角形的内角和。除了量一量，先前，有孩子还提到了他还想

去 “折一折”，怎么折呢？

（二）从 “形” 的角度探索：撕、折 —— 拼平角

撕 — 拼平角

师：同学们，说到 180° 角，你会想到我们之前所学过的哪个知识？请一个孩子说一说。

生 1：说到 180°，我会想到之前所学到的平角。

师：平角正好是 180°，它是什么样的呢？你心里有它的样子吗？请你先用语言描述出来，还可以用手来勾画勾

画。

生 2：它先有一个顶点，然后向两边延伸，还有一个弧线，代表它是 180°。

师：小朋友在描述的时候，你心里有没有这个模样，谁来动手指一指、画一画。

生 3：是一条直线，但与直线不同，又有一个顶点。

师：是它的外形像一条直线。三角形三个角明明不在一条线上，怎么折呢？

生 4：我认为是把三角形的三个角都重合在一条边上，点和边都重合在一起，我猜测可以折出来。

师：除了折，还有没有其他方法？

生 5：我还想到了可以用 “撕” 的方法，把它们的三个内角撕下来，看看能不能拼成平角。

师：看来通过 180°，这样一个特殊的数字，让孩子们想到了折、撕去拼平角的过程，那到底行不行呢？在探索过

程中，仅仅靠猜想是没有用的，除了猜想，还要去验证。现在请拿出 2 号信封，一起来看看能不能 “撕”，怎

么 “撕”。

活动要求： 1、从 2 号信封里拿出三角形，撕一撕，拼一拼。

2、小组内说一说你有什么发现。

小组分享：

组 1：我发现，无论什么三角形吗，边有多长、角有多大，内角和都是 180°。

师：为什么拼成这个样子就说它是 180° 呢？回答还不够充分，谁想继续分享。

组 2：我撕拼的是一个直角三角形，用∠1、∠2、∠3 凑成了一个平角。所以我认为所有三角形内角和是 180°。

师：我们班的孩子呀，才两个素材就得到结论了，好像还不够。

组 3：我撕拼的是锐角三角形。点要重合，边也要连起来，发现也能拼成平角，所以我认为任意三角形的内角和是

180°。

师：有了三种三角形的展示后，我们才能得到任意三角形的内角和是 180°。我们的学习过程中，可不能因为得到

一个特殊的例子就能得到结论，在探索过程中一定要用丰富的例子进行验证，才能得到完整的结论。

（PPT 播放三种三角形撕拼过程）

师：我觉得孩子们好厉害，都撕拼成了一个平角。现在请同学分享一下，撕拼的 “诀窍” 或重点关注的地方，才

能成为这样一个严谨的平角。

生 1：要注意顶点靠在一起，边也要靠在一起。

师：谢谢你。她提到了顶点和边的关系。

生 2：我要补充，我觉得还要做好记号，不然不清楚撕拼下来的各个角了。最后还要画一个圆弧，证明它是一个平

角。

师：看来在撕拼过程中，要注意 “点重合，边对接”。

折 — 拼平角

师：孩子们，刚才还有同学提到了，可以去折，怎么折呀？有些孩子有想法了，有些孩子没有举手。没关系，我

们现在就一起来试一试能不能通过折一折这种方法来验证三角形的内角和吧！

活动要求： 1、从 3 号信封里拿出三角形，折一折，拼一拼。

3、小组内说一说你有什么发现。

小组分享：

组 1：我还是不太会折，怎么办呢？

师：有没有小组可以来展示一下呢？

组 2：我们小组拼的是一个锐角三角形。

拼之前要先做好记号，折过去边要重合起来，这里是平角，就验证锐角三角形内角和是 180°。

师：同学们，刚刚演示过程中有什么小诀窍，你看到了吗？我们刚才不会折的孩子举手了，让她来说一说。

组 3：我发现要先折最高处的角，这样子才可以做调整。

师：等一会你就用观察到的方法，自己试试好吗？还有同学想分享吗？

组 4：我们折的是直角三角形。我们先把上面的角折下来，旁边的角也折过来，凑成了平角。所以，我们验证出直

角三角形内角和是 180°。

师：看来，通过不同类型三角形的折拼，发现都可以拼成平角，由此再次验证三角形内角和师 180°。刚才我们经

历了撕拼和折拼两种方法，对比一下，你有上面想说的吗？它们有什么共同点，有什么不同之处吗？

生 1：我回答它们的不同之处。撕拼会把三角形本身损坏，但是折拼不会。而且我认为，撕拼更简便。

师：这是她的想法。她观察的真仔细，撕拼会把三角形损坏，折拼保留了三角形原来的样子。还有孩子想说。

生 2：我发现它们的相同之处是会形成一个平角。

师：我们可以说，它们都可以转化成一个平角，说得很好！

生 3：我发现撕拼和折拼的共同点是，边重合边，顶点重合顶点才能形成平角。

师：孩子们真是太了不起了，不但自己会撕拼和折拼，还把自己的成功经验分享给其他同学，真是太棒了！其实

呀，法国著名物理学家、数学家帕斯卡，早在 12 岁时，就验证三角形内角和是 180°。希望我们的同学也能像数学

家一样，认真观察、勤于思考，积极地解决生活中和学习中所遇到的问题。

师：现在，我们就带着今天所学习到三角形内角和的知识开始练习吧！

环节三，课堂练习

1、完成教材第 6 题，算一算。（题单）

师：如果现在，在我们已经知道三角形内角和是 180° 的基础上，要知道一个三角形三个角的度数，我们需要量几

次？

生 1：我觉得只用量两次就可以了。因为我们已经知道三角形内角和是 180°，只要量出两个角，就可以用 180° 减

去量出的两个角，就能知道第三个角的度数呢？

师：认同吗？

生 2：用 180°-（78°+25°）就可以算出未知角的度数了。

活动要求： 从 4 号信封里拿出习题单，算一算，填一填。

师：第一题 77°，第二题 55°，第三题 115°，都做对啦？

可以直接用 90° 来减呢？什么意思呀？

生 3：我想的是，我们已经知道内角和是 180°，直角三角形里有个 90°，180°-90°，用剩下的 90°-35° 就可以

了。

师：看来，在直角三角形里，因为有一个非常特殊的角 90°，所以把这个 90° 减去后，两个锐角之和必然也是

90°。

2、合、分三角形

（1）合三角形

教材 25 页，练一练第 2 题。

想一想，它们的内角和分别是多少？与同伴交流你是怎么想的。

师：如果用两个一样的三角尺来拼，可以拼成四边形，也可以拼成三角形，那你知道它们的内角和是多少吗？

生 1：我觉得第一个图形内角和是 360°，因为它们是由两个三角形拼成的，而三角形内角和为 180°，所以

180°×2，我认为四边形内角和是 360°。

师：很会运用今天所学的问题来解决新问题，我们的孩子非常棒！还有其他想法吗？

生 2：我的想法是，它是两个直角，另外的角是 45°，就有 4 个直角，4 个直角就是 360° 。 师：太棒了！小朋友借助三角板的度数算出四边形的内角和。那下一个图呢，同样是两块三角尺，拼成了一个三

角形，它的内角和是多少？

生 3：我认为是 180°，因为三角形的内角和与三角形大小无关。

生 4：我想的是，180°×2-90°×2.

师：为什么还要去减 90×2 呢？

生 5：我想的是，拼在一起后，两个直角就重合了（不见）了。

师：哦，我明白了，你们的意思是，两个直角拼在一起后，就不再是新的三角形的内角，所以要减去它。

（2）分三角形

思考：一个三角形，如果沿虚线把它分成两个小三角形，每个三角形的内角和是多少度？与同伴交流你是怎么想

的。 生 1：我认为还是 180°。

生 2：分开后多了一个直角.

师：什么意思呢？多了一个直角与三角形内角和有什么样的关系呢？要去说服其他同学，谁再来说说。

生 3：我认为每个三角形的内角和就是 180°，因为和三角形的边、形状、大小都没有关系。

生 4：有的角在变大，有的角在减小，但是总的和不变。

师：不管角怎么增加，怎么减小，只有我们的图形是三角形，那么它的内角和都是 180°。

环节四，你有什么收获？

师：通过今天的学习，你有什么收获？

生 1：我收到了任意三角形的内角和都是 180°。

师：得到一个结论。

生 2：我知道了，如果想知道三角形的内角和，可以去量、撕、折的方法，它们都可以验证三角形内角和是一个平

角，是 180°。

师：你的话语中，让我知道，你收获到探索三角形内角和的方法。

生 3：我还学到了，有些时候人工测量会有误差，三角形内角和会是 180° 左右，但是，它的误差只在 1°、2°，

不会太大。

师：那这个现象告诉我们，以后测量时要更加的仔细、小心。

生 4：我还知道了，要知道三角形的三个角，测两次就够了，不用测三次。

师：我们的孩子知道了结论，还知道怎么运用。

师：如果我们要去探索四边形的内角和，你会用到哪些知识呢？

生 1：四边形可以分成两个三角形，而每个三角形内角和是 180°，四边形变成两个三角形后，只用三角形内角和

×2 就可以了。

师：真是太棒了！借助旧有经验，解决新的问题。

生 2：还可以用今天学习的量、撕、折的方法。

师：今天三角形内角和的探索只是一个基础，它会为我们今后的学习服好务。今天的学习就到这里了。

郑老师通过引导学生动手操作，亲身体验不同的剪拼方法获得数学活动经验，再通过微课直观巩固了平行四边形面积的探索过程，在教学过程中始终贯穿 “转化” 这条暗线，引导学生乐思考、会思考，课堂教学有趣有料，值得学习！

                     《探索与发现：三角形内角和》教学设计终稿
                     

教学内容：北师大版小学数学四年级下册第二单元《认识三角形和四边形》第 3 课时

教学内容分析：“三角形内角和” 是学生在学习三角形的过程中，探索三角形性质的重要内容之一。本课学习

前，学生已经对三角形进行了直观认识，了解三角形的特征及分类情况，认识了平角。《标准》（2011 版）中

指出：“图形与几何” 这部分知识教学应注重使学生探索现实世界中有关图形与几何的问题；应注重使学生通过

观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小及变换。基于此，我们力图引导学生经

历 “提出问题→建立假设→验证假设→分享交流” 的过程，让学生经历 “数学家式” 的探究活动，发展多元思

维，感受智慧产生的过程。本课，学生主要通过量、撕（剪）、折拼等不同操作活动进行三角形内角和的探索，

在课题引入和重要环节的验证部分借助 3.0 微课进行再次直观解析，力图把动作的逻辑内化为思维的逻辑，进一

步发展学生的空间观念与推理能力，获得经验的积累，体验数学思考与探究的乐趣。

学情分析：为了掌握学生知识储备，我们对 “三角形内角和” 相关知识进行了前测。通过前测，我们发现一半以

上的学生对三角形内角和是 180° 已经知悉，甚至有部分学生对三角形内角和已经有了正确的数学理解。

基于此，我们的教学设计，应顺应学生已有学习基础及前测中提及的学习需求，引导学生亲身经历 “三角形内角

和” 探索过程，解决 “三角形内角和” 是什么、怎么求、有什么用等相关问题。

学习目标：

1、经历猜想到验证的过程，通过量、剪、拼、折等直观操作活动，验证三角形内角和为 180，累积活动经

验，进一步发展空间观念。


2、掌握由特殊到一般的逻辑方法和先猜想后证明的方法。
 

学习重点：

经历探索与证明三角形的内角和为 180° 的过程，并能利用三角形内角和的性质解决相关问题。

学习难点：

掌握证明三角形内角和是 180° 的策略及方法。

教学准备：

3.0 微课、PPT、学具袋（不同形状、大小的三角形、量角器、剪刀等）

教学过程：

环节一、看微课，情景引入，激发学生探索热情

师：上节课，通过学习三角形的分类，我们认识了直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。今天，在三角形王国

里正在进行激烈地讨论，孩子们，让我们一起来看看吧！

【设计意图】

通过观看微课里三角形家族关于内角和大小的争论，引发学生对 “三角形内角和” 相关知识，如什么是三角形的

内角？什么是三角形内角和？怎么求三角形内角和？三角形内角和究竟是不是 180°？等问题进行思考，激发学生

求知探索热情。

环节二、齐动手，多元思维，不同方法探索三角形的内角和

（一）从 “数” 的角度探索：量角 —— 求和

1. 研究特例，初步感知

计算：三角板两个特殊直角三角形内角和，发现都是 180°。

2. 研究一般，逐步深入。

尝试：自己任意画出其他三角形（钝角三角形、锐角三角形、直角三角形）。

思考：要知道三角形的内角和，有什么办法？

量角：测量学生任意所画三角形，发现三角形内角和在 180° 左右。

发现：（1）三角形内角和与三角形大小无关。

（2）三角形内角和与三角形形状无关。

（3）三角形内角和是一个定值，在 180° 左右。

3、看微课：解释为什么人工测量会产生误差，并科学验证三角形内角和为 180°。

结论：（1）测量的人不同、测量的工具不同，所以我们在测量过程中不可避免的会产生误差。

（2）电脑可以很好的解决误差这个问题。

（二）从 “形” 的角度探索：撕、折 —— 拼平角

1、由数及形：由 180° 联想到平角，激发学生从不同角度去思考拼平角的方法。

想办法：通过量一量得知三角形的内角和可能是 180 度，跟平角一样大，可是三角形的三个内角又不在一起，你有

没有办法让这三个角走在一起呢？

先联想平角的 “形”

（1）联系旧有经验 —— 撕（剪）拼

方法：边对接，点重合

（2）联想创新方法 —— 折拼

方法：平行折，点落边，边对接。

2、看微课：再次巩固撕、折拼活动过程

3、对比：撕拼、折拼两种方法异同

相同点：都是转化成一个平角

不同点：一个破环了三角形，一个保持三角形完整性。

4、数学文化

知历史：早在 300 多年前，法国著名的数学家帕斯卡在他 12 岁时就用严谨的几何知识验证了三角形的内角和是 180°。

【设计意图】

通过数和形两个角度的探索三角形内角和，让学生从动作的逻辑内化为思维的逻辑，进一步发展学生的空间观念与推理能力。

环节三、重实践，强化思维，灵活运用固本质。

1、算与说。

【设计意图】通过三角形给定的两个内角，求第三个内角的过程，强化学生对 “三角形内角和是 180°” 的认识。

2、合与分。

（1）合两个相同三角形。

【设计意图】通过把两个相同三角形合在一起，体会两种不同的拼法。引发学生深度思考，为什么同样两个三角

形所拼出图形的内角和会不同？

（2）分一个三角形为两个小三角形。

【设计意图】一个三角形的内角和是 180 度，分成两个三角形，内角和各是 180 度。那么，这个 180 度是怎么多出来

的？在质疑中，理解并强化对 “三角形内角和” 的认识。

环节四、回头看，知识建构，承前启后结构化学习。

让我们回过头来看看，在探索三角形内角和时，我们用到了哪些方法？哪些方法让你体会最深？如果我们以后要

去探索四边形的内角和，你会从哪些方面的研究？

【设计意图】在 “回头看” 中，强化核心知识，凸显探索方法。有意识培养学生关注知识的联系，注重学生数学

思想的系统性建构。

@xiaoxuemei1001 确实有些环节在时间上略长，既想学生亲身体验，多累积活动经验，也要合理控制时间，这也是我们正在思考和改进的地方。

@赵婧雯ccdbsdfx666 谢谢老师的建议，我们也预设了孩子一些不同的想法，可能是借助长方形探索三角形内角和，可能是借助三角板这类特殊三角形探索三角形内角和・・・非常期待孩子们的智慧分享。

@liyajuan 谢谢老师的建议，前测和后测的数据正在统计中。从学生已有知识储备出发，站在儿童的角度思考，到底 “学什么、怎么学、有什么用”，确实值得我们思考。

@张建忠 我们也正在尝试从学生认识的特殊三角形入手，经历从特殊到一般的过程，谢谢老师的建议。

【研讨过程花絮】

【研课过程中的困惑与思考】

《探索与发现：三角形内角和》是北师大版小学数学四年级下册 “图形与几何” 板块一课，《标准》中指

出：“图形与几何” 这部分知识教学应注重使学生探索现实世界中有关图形与几何的问题；应注重使学生通过观

察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小及变换。

为了更好地了解学生对 “三角形内角和” 的认识，我们对拟进行试讲的两个班 82 位同学进行了前测。我们发

现，听过 “三角形内角和” 的学生人数占调查总人数的 56%；对 “三角形内角和” 有一定理解的学生人数占调查

总人数的 58%；知道 “三角形内角和” 是 180° 的学生人数占调查总人数的 60%。在对 “三角形内角和” 你想了解什

么这个问题中，对 “三角和内角和是什么”、“三角形内角和有多大”、“三角形内角和都是 180° 吗”、“三角

形内角和为什么是 180°” 这几个问题学生的求知欲较大。小部分学生对 “怎么算三角形内角和”、“三角形有外

角吗”、“三角形内角和有什么用” 提出了学习需求。基于此，我们的教学设计，应顺应学生已有学习基础及学

习需求，解决 “三角形内角和” 是什么、有什么用的相关问题。

分析了教材，关注了学情，以为在课堂上学生会通过参与多种操作活动，水到渠成地验证出三角形内角和是

180° 这个结论，然而通过试讲才发现，教学过程并不顺利。

困惑 1：学生已经知道三角形内角和是 180°，在量、算的过程中出现 “凑” 180° 的情况，数据不完全真实

合理。

困惑 2：学生会 “撕拼” 是因为四上课本中在认识平角时有过类似活动经验，但为什么验证三角形内角和可 

以去 “撕拼”，怎么 “撕拼”，仍然理解不够深刻。

困惑 3：“折拼” 的方法，学生首先不易想到，同时因为 “折拼” 有一定技巧性，学生操作起来吃力，所以

课堂呈现这种方法的学生较少。

面对课堂存在的实际问题，我们又重新进行了思考。

思考 1：学生为什么不敢出示自己真实的数据，因为她们 “怕出错”。当大部分同学都在肯定回答出三角形

内角和是 180° 后，这个结论虽然还没有在课堂上被完全证明，其实已经被同学们认定了。所以，我们鼓励

孩子暴露 “问题”，积极引导孩子经历 “猜想 — 验证” 的过程，让学习真正发生。我们适时引用了微课片

段对于 “180° 左右” 现象的解释，直观了解人工操作易产生误差，进而进一步思考其他验证方法。

思考 2：学生有了撕拼的经验，为什么就没有联想到可以折拼呢？到底是什么原因。我们反复研读教材，结

合前测数据，我们发现，学生对于三角形内角和是 180° 这个 “数” 有了自己的了解。既然有 “数” 的感

知，是不是应该也有 “形” 的想象呢？于是我们把教学设计更改为从 “数” 和 “形” 两方面去认识三角形

内角和。通过引导学生对 180° 角的旧有经验，联想到 “平角”，再由 “平角” 的形，引导学生想办法把三

角形三个内角 “走到” 一起，转化为 “平角”，从而验证三角形内角和是 180°。有了这样的调整，“折

拼” 方法就自然产生了。

思考 3：撕拼、折拼，都需要一定的技巧，特别是折拼，操作还有些不易。所以，我们的教学设计基于学生

课堂回答做了 “两条线” 的准备。如果孩子能出现折拼成功的例子，并能完全讲述折拼的方法，我们就请

学生来 “互帮互助”，共同成长；如果孩子仍然对折拼这个方法有所困难，我们就用微课进行直观讲解。

在生生交流、师生对话、线上线下混合式学习模式下，把撕拼和折拼的 “小诀窍” 传递给孩子。同时，因

为两种方法都是把三角形三个内角拼在一起转化为平角，所以我们的教学设计也加入了两种方法的对比，

让孩子在对比中对两种方法的异同进行深度认识。不断丰富学生活动经验，渗透转化的数学思想。  

思考 4：本节课是探究性课例，需要学生亲身实践和体验，而不是被动接受结论性知识。于是，我们设计了

量 - 撕 - 折 - 拼的探索过程。我们想，在学生在自然卷入到自主探索的过程中，真正经历 “提出问题→建立假

设→设计实验方案→收集事实与证据→验证假设→交流” 的过程。学生在操作中，不断把动作的逻辑内化

为思维的逻辑，培养学生推理能力，在感受智慧产生的过程中，获得经验的积累。这种经验的累积也会为

学生今后其他探究性课例的学习奠定良好的学习基础。

通过 “课堂观察” 不断分析课堂现象，反复研读教材，我们基于学情做了以上的思考和调整。或许还不成

熟，我们将继续研讨，不断反思。

第一次 —【课后小调查】

为了解学生课堂学习所思所获，初次试讲后，我们对两个班 82 名学生进行了课后小调查。从真实数据出发，以便后续进行更有效地教学设计修改，统计结果如下。

课后小调查图片：

统计结果图片：

从学生反馈发现，通过课堂学习，大部分学生在知识与能力、方法与应用上有所收获；小部分学生获得了活动经

验；数学思想和数学文化的渗透还略浅，是我们后续需要关注的。

【课前小调查】

为了更加准确掌握学生对于 “三角形内角和” 的知识储备，让教学设计更满足学生实际学习需求，我们对两个班

82 名学生进行了前测，结果如下。

课前小调查图片：

统计结果图片：

我们发现，听过 “三角形内角和” 的学生人数占调查总人数的 56%；对 “三角形内角和” 有一定理解的学生人数

占调查总人数的 58%；知道 “三角形内角和” 是 180° 的学生人数占调查总人数的 60%。在对 “三角形内角和你想

了解什么” 这个问题中，对 “三角和内角和是什么”、“三角形内角和有多大”、“三角形内角和都是 180° 吗

、“三角形内角和为什么是 180°” 这几个问题学生的求知欲较大。小部分学生对 “怎么算三角形内和”、“三

角形有外角吗”、“三角形内角和有什么用” 提出了学习需求。

                                 【选课思考】
                                
                                
  《探索与发现：三角形内角和》是北师大版小学数学四年级下册第二单元《认识三角形和四边形》的第 3 课时， 属于 “图形与几何” 板块。该领域涵盖了图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置四个部分。同时，这四部分承载着培养学生几何直观、空间观念、推理能力等重要任务。

  空间观念的形成过程具有直观性的特点，对一些较为抽象的几何概念不易直接理解，需要借助直观的演  示才能逐步理解。要想建立空间观念，必须要有动手做的过程。让他们亲自去比一比、量一量、撕一撕（剪一剪）、折一折、拼一拼，调动视觉、触觉、听觉等多种感官的协同活动，只有在这样的过程中，学生才能逐步把握概念的本质。为进一步发展学生空间观念与推理能力，结合我校《基于深度学习的课堂样态研究》课题研究，我们选择了《探索与发现：三角形内角和》一课。希望借助学生已有生活经验和学习经验，为空间观念的形成架起支架。本课，我们试图把操作与观察相结合、操作与推理相结合、操作与想象相结合，再适时引用 3.0 微课，整合线上线下学习资源，构建出 “混合式学习” 课堂教学新样态。

【学习过程】

                      《探索与发现：三角形内角和》第一稿   
            

环节一、看微课，情景引入，激发学生探索热情

师：上节课，通过学习三角形的分类，我们认识了直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。今天，在三角形王国里正在进行激烈地讨论，孩子们，让我们一起来看看吧！

【设计意图】通过观看微课里三角形家族关于内角和大小的争论，引发学生对 “三角形内角和” 相关知识，如什么是三角形的内角？什么是三角形内角和？怎么求三角形内角和？三角形内角和究竟是不是 180°？等问题进行思考，激发学生求知探索热情。

环节二、齐动手，多元思维，不同方法探索三角形的内角和

（一）从 “数” 的角度探索：量角 —— 求和

1、思考：不管什么形状、大小的三角形的内角和，有什么办法？

2、量角：测量学生任意所画三角形，发现三角形内角和在 180° 左右。

发现：（1）三角形内角和与三角形大小无关。

（2）三角形内角和与三角形形状无关。

（3）三角形内角和是一个定值，在 180° 左右。

3、看微课：解释为什么人工测量会产生误差，并科学验证三角形内角和为 180°。

结论：（1）测量的人不同、测量的工具不同，所以我们在测量过程中不可避免的会产生误差。

（2）电脑可以很好的解决误差这个问题。

（二）从 “形” 的角度探索：撕、折 —— 拼平角

1、由数及形：由 180° 联想到平角，激发学生从不同角度去思考拼平角的方法。

想办法：通过量一量得知三角形的内角和可能是 180 度，跟平角一样大，可是三角形的三个内角又不在一起，你有没有办法让这三个角走在一起呢？

（1）联系旧有经验 —— 撕（剪）拼

方法：边对接，点重合

（2）联想创新方法 —— 折拼

方法：平行折，点落边，边对接。

2、看微课：再次巩固撕、折拼活动过程。

3、对比：撕拼、折拼两种方法异同。

相同点：都是转化成一个平角。

不同点：一个破环了三角形，一个保持三角形完整性。

4、数学文化

知历史：早在 300 多年前，法国著名的数学家帕斯卡在他 12 岁时就用严谨的几何知识验证了三角形的内角和是 180°。

【设计意图】通过数和形两个角度的探索三角形内角和，让学生从动作的逻辑内化为思维的逻辑，进一步发展学生的空间观念与推理能力。

环节三、重实践，强化思维，灵活运用固本质。

1、算与说。

【设计意图】通过三角形给定的两个内角，求第三个内角的过程，强化学生对 “三角形内角和是 180°” 的认识。

2、合与分。

（1）合两个相同三角形。

【设计意图】通过把两个相同三角形合在一起，体会两种不同的拼法。引发学生深度思考，为什么同样两个三角形所拼出图形的内角和会不同？

（2）分一个三角形为两个小三角形。

【设计意图】一个三角形的内角和是 180 度，分成两个三角形，内角和各是 180 度。那么，这个 180 度是怎么多出来的？在质疑中，理解并强化对 “三角形内角和” 的认识。

环节四、回头看，知识建构，承前启后结构化学习。

让我们回过头来看看，在探索三角形内角和时，我们用到了哪些方法？哪些方法让你体会最深？如果我们以后要去探索四边形的内角和，你会从哪些方面的研究？

【设计意图】在 “回头看” 中，强化核心知识，凸显探索方法。有意识培养学生关注知识的联系，注重学生数学思想的系统性建构。

【学习目标】 1、经历量、剪、拼、折等直观操作活动，探索并发现三角形内角和为 180，累积活动经验，进一步发展空间观念。 2、掌握由特殊到一般的逻辑方法和先猜想后研究问题的方法。

【学习重点】 经历探索三角形的内角和为 180° 的过程，并能利用三角形内角和的性质解决相关问题。

【学习难点】 掌握由特殊到一般的逻辑方法和先猜想后研究问题的方法。

【教学准备】 3.0 微课、PPT、学具袋（不同形状、大小的三角形、量角器、剪刀）

【教材分析】 “三角形内角和” 是学生在学习三角形的过程中，探索三角形性质的重要内容之一。本课学习前，学生已经对三角形进行了直观认识，了解三角形的特征及分类情况，认识了平角。本课，主要通过量、撕（剪）、折拼等不同操作活动进行三角形内角和的探索，力图把动作的逻辑内化为思维的逻辑，进一步发展学生的空间观念与推理能力。

【学情分析】 本课的教学建立在部分学生对 “三角形内角和” 已略知一二的基础上。我们借助这部分已经知道三角形内角和为 180° 的学生的回答，引导学生经历猜想，验证的过程，发展学生多元思维，在质疑和补充中，体验数学思考与探究的乐趣。

【教材图片】