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话题提供人：武秀华
话题提供背景：
为什么我们在五年级、六年级分数解决问题的教学中，孩子们屡屡出错。
特别是标准量未知情况下，学生更易出错？
实际上，分数意义的教学和分数乘法的质量高低教学直接影响着这部分知识的学习，
还有其他的吗？
欢迎大家跟帖研讨！
16 条回复 • 2012-12-30 19:30:47 +08:00
东师附小刘文元12年前
东师附小刘文元 发表于 2012-12-6 08:55 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=449&ptid=114)
我想，出现这种情况的原因应该不只一个，我今天想说一点，就是学生对数量关系有些混乱。新课标中强调加强对 ...由此我想到的是，分数解决问题中出问题最多的是求单位 1 的类型，其实这和除法意义的教学中学生对除法意义的理解不彻底是有关系的。
另外，找不准单位 1，不全是数学素养问题，是阅读能力，分析能力就存在问题。单位 1 是标准量，那什么是标准量，当然和谁比谁就是单位 1，多举一些生活中的例子，应该对学生有所帮助。如：我比爸爸高，因为是和爸爸比，所以爸爸是标准量。诸如类似的例子，让学生多举，学生应该慢慢会有好转。
有时候我们过于追求课时安排，走程序的东西。那么反而不敢放慢步子在学生容易出问题的时候进行更多的个别指导，因此我们也要反思我们的教学习惯，哪不行就干脆全力以赴训练哪。磨刀不误砍柴功，说的就是这个道理。
山东省刘勇12年前
由学生的分析过程想到的
小孩出生时每分钟脉搏 140 次，六岁时每分钟脉搏是刚出生时的４／７。
师：请说出这题目的数量关系。
生１：小孩出生时每分钟脉搏等于六岁时每分钟脉搏的４／７。
师：请仔细读一下这句话，我边说边指向（六岁时每分钟脉搏是刚出生时的４／７）。
没有想到得到的却是学生的沉默，原来学生虽然也意识自己的说法是错误的，可还有不少学生看到的却是小孩出生时每分钟脉搏 140 次相当于六岁时每分钟脉搏的４／７，虽然强调了让学生再读一下，可依然还有几个学生没注意这细节。从这个环节来看，学生并不是真的不会，而是在阅读环节中出现了问题：只是读到自己想看的内容，而并不是读到题目的条件。
师：你认为这位同学说得对吗？为什么？
生２：我认为这位同学说得不对。因为题目中给出的条件是六岁时每分钟脉搏是刚出生时的４／７。而这位同学说的是小孩出生时每分钟脉搏等于六岁时每分钟脉搏的４／７。
师：那么我们思考一下，造成这种错误的原因是什么呢？
生３：是他在读题目不认真，没有看清题目要求就做练习了。
山东省刘勇12年前
练习中的问题：
东湖小区今年拥有电脑的家庭有１２０户，比去年增加了１／４，东湖小区去年拥有电脑的家庭有多少户？
讲完百分数后，专门进行了一节练习课，把分数混合运算的相关练习通过数字的变化变成百分数练习题目，下面我把学生练习过程中出现的错误情况做一下介绍：
49
首先让我们来看一下左图，有了以下的对话：
师：你认为是今年多还是去年多？
生： 比去年增加了１／４，自然是今年多。
师：可你的分析怎么像是去年多呢？
生：我觉得要增加就是增加 120 的１／４，不然的话，不知道是谁的１／４，怎么进行计算？
师：你再念一下题，增加的是谁的１／４？是今年的１／４，还是去年的１／４？
生：我再看一下题目（略）
我们再来看一下右图：
师：请你用自己的语言叙述一下题目的意思
生：今年比去年增加了四分之一……
师：是吗？增加是的是（生也跟着说）去年的四分之一（25%），（生不说话了）我则指出，你看你写的却是今年的四分之一呀？
其实，此时如果写成今年的数量减去比去年增加的量，也是正确的，可意想不到的是学生居然写出了第二个数量关系式。
师：你认为是今年多还是去年多？比去年增加了，应该是去年加上还是去年减去？
生再看题目，终于写对了数量关系式。可当我以为学生真正明白时，学生突然写出了（120－）这几个字，可写完后自己却不知道应该再写什么了，于是提醒学生看自己的分析过程，此时学生写出了 120＝１／４+１／４，然后又不知道应该写什么了。
反思：看这两位同学的练习过程，似乎没有什么联系，如果我们从另外的角度来思考 —— 就是学生根本就没有在解决问题的过程中用上分析数量关系的式子。之所以写这个分析式，最主要的原因是老师要求要写出分析过程来！
图片：
山东省刘勇12年前
自从自己参加工作以来，一直发现学生不读题或没有读懂题目意思就开始解决问题的情况，对此类问题我以前总感觉束手无策。
记得自己上学时，也曾经发生类似的情况，往往是我带着问题去问老师，这题目应该怎么解。此时我的老师让我读一下题目，然后再让我自己说一下想法。没有想到的是我居然把自己认为不会的题目解决了。上学时的这种经历也无时不在提醒我：学生不读题或没有读懂题目是正常的，是我们每个人在学习的过程中必须经历的一个阶段。可问题是，我怎样才能帮学生走出这种不读题或没有读懂题目就开始解决问题的阶段呢？下面是以在教学中的一个例子来说明我在学生解决问题过程中的一些思考。原题：参加田径比赛的人数有 54 人，参加球类比赛的人数少 25%，参加球类比赛的有多少人？
在百分数的应用（三）的练习中，有一位同学迟迟没有完成练习，到底是怎么回事呢？下面让我们来看一下这位同学的练习过程：
50
师：关于 54÷（1+25%）的列式，你能说一下自己的思考过程吗？
生：我原来是这样想的，比参加球类比赛的人数少 25%，那也就是参加球类比赛的人数比参加田径比赛的人数多 25%，所以参加田径比赛的人数相当参加球类比赛人数的（1+25%），于是我就列式计算了。
师：那你这样思考存在什么问题呢？
本来我想引导学生再次读原题，发现题目中的数量关系，可没有想到的是学生给出了另一种解释：老师，我已经计算过了，可我计算的结果是小数。而我要求的是参加球类比赛的人数，不可能出现小数的，所以我发现自己做错了。
交流至此，我不禁产生欣慰的感觉，虽然这位同学解决问题的时间很长，但通过对学生第一次解决问题的访谈，我发现学生已经有了检查的习惯，并且结合生活实际来发现自己解决问题过程中的错误：人数不可能是出现小数。这说明学生已经开始反思自己解决问题的过程，并在反思中开始质疑自己的答案，这是好的开始！
那么我们再来看学生的第二次解决问题的过程：25%x＝54
师：你能解释一下自己列式时的思考过程吗？
生：在我发现错误后，感觉是自己想得太复杂了。于是就以为田径比赛的人数相当于球类比赛人数的 25%。
师：是呀，你的思考是有道理的，可你为什么没有完成这次解决问题呢？
生有些不好意思，“比参加球类比赛的人数少 25%，而并不是相当参加球类比赛的人数 25%。我发现自己没有找到数量关系，于是再次读题，终于发现题目的数量关系：
参加球类比赛的人数－参加球类比赛人数的 25%＝参加田径比赛的人数
于是我设参加球类比赛的人数为 x，按数量关系列式为 x－25%x，可我写到这里还是感觉没有把握……”
师：“那么我们再来读一下条件，并判断一下自己找出的数量关系对不对？”
生：“比参加球类比赛的人少 25%，我写出的数量关系是参加球类比赛的人数－参加球类比赛人数的 25%= 参加田径比赛的人数，这是正确的！”
面对这位学生解决问题的过程，我不得不思考一个现实的问题：从开始解决这个问题，到学生有了自己的解题计划，时间已经过去近十多分钟，如果再加老师的引导与点评，一道练习的解决至少要二十分钟！试问一下，有几位老师可以在练习中给学生留下这些充足的思考时间呢？又有几人能在真正理解学生的思路后再开始引导学生呢？
当然，我可能是以自己的经验出发来说这样的话，因为在这解决这个问题的过程中，我不止一次发现自己没有足够的耐心，多次想打断学生的讲解！真的，有时听学生的讲自己的想法，是一种 “折磨”：明明答案已经在那里了，可学生就是视而不见！此时内心产生那种难以抑制的强烈冲动 —— 答案就在这里，你怎么还没有发现？唯一值得庆幸的是我这几年来积累的经验告诉我：等一下，再等一下，也许学生的思考更有价值！正是这种经验支撑着我，让我抵抗着自己内心的冲动，放弃了想打断学生的念头。
其实，作为一个教学例子分析，我根本没有必要把自己的这种内心的挣扎经历写在这里，是什么原因让我把这个促使我写下自己的这段心得？因为从我发现学生根本不读题就开始解决问题（四年级刚开始教他们时最为明显），越是想讲明白，学生越是不理会老师的讲解，那时的我真的束手无策！可当我放弃自己想讲的念头时，当我引导学生一步步说出自己的想法时，居然发现学生有了巨大的进步。特别是在现在（学生已经上六年级了），在语文课上无法读课文的学生也能根据题目意思列对式子，这种经历让我不得不思考一个问题：真的是学生没有掌握解决问题的方法，还是我们自己在教学中没有留给学生足够的思考空间？
后记：我以自己内心的挣扎为出发，写下自己在等待学生解决问题的过程中的事实与心得，以此期望有更多老师关注学生的解决问题的过程，以达到师生共同成长的效果。
图片：
阿飞12年前
阿飞 发表于 2012-12-9 08:22 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=508&ptid=114)
在教学中，应该把单位 1，说成整体 “1”，用一个名称就可以，没有必要两个名。 ...画图理解分数除法的 “颠倒相乘”
黑龙江省大庆市第五十二中学小学部 滕 飞
一、 起因
分数除法计算中的 “颠倒相乘”，把除法计算转化成了乘法计算，体现了除法和乘法是互逆运算，使学生学会了转化的思想。我发现学生能掌握分数除法的计算方法，但说不出分数除法的意义，在学习分数应用题时，表现得更加突出，不仅不理解题意，还不知道条件之间的关系，主要表现是乘法和除法区分不开。有一次我问我教的小学毕业生：“为什么在计算分数除法时要‘颠倒相乘’？” 学生回答不出来，根本原因是学生能够运用算理，但不理解为什么这么算。
二、 找原因
仔细想一想自己的教学方法，觉得没有太大的漏洞。于是我出了一道题关于分数乘、除意义的题，让学生做一做。
根据图写出一道乘法算式和一道除法算式。
答案是： ，
班级共 35 人，有 8 人做得全对了，有 10 人全做错了。这与我出题时的预想大相径庭，根本原因是学生对分数乘、除法的意义理解不好，在讲解分数乘、除法的意义时，没有让学生画图理解题意。
三、 用对策
（一） 画图理解分数乘法的算理，为画图理解分数除法的算理做准备
乘法和除法是互逆运算，让学生探索出画图理解分数乘法为基础，有利于学生探索出画图理解分数除法的算理，即 “颠倒相乘”。
1、 分数乘整数
题目 1：拖拉机耕一块地，每小时耕这块地的 ，4 小时耕了这块地的几分之几？（分数乘整数）
（1）第一步学生先画 。
（2）第二步画 4 个 。
（3）第三步画 的 4 倍。
（4）学生列算式是 。
（5）学生说出图意思，理解图意， 4 就是求 4 个 连加是 。
题目 2：共 6 千克水果，其中苹果占 ，苹果有多少千克？（整数乘分数）
（1）第一步学生先画 6 千克。
（2）第二步画把 6 千克平均分成 3 份。
（3）第三步画其中的一份。
（4）学生列算式是 6 ＝2（千克）。
（5）学生说出图意思，理解图意，6 就是求 6 的 是 2。
2、分数乘分数的意义和算理
题目：校园面积的 是空地，空地的 准备铺草坪，铺草坪的面积占校园总面积的几分之几？
（1）第一步学生先画 。
（2）第二步画把 平均分成 3 份。
（3）第三步画其中的二份。
（4）学生列算式是 ＝ 。
（5）学生说出图意思，理解图意， 就是求 的 是 。
（二） 画图理解分数除法的算理
1、 画图理解分数除以整数的意义
题目 1：把一张纸的 平均分成 2 份，每份是这张纸的几分之几？（分数除以整数，分数的分子能被整数整除）
（1）第一步学生先画被除数 。
（2）第二步画除以 2。
（3）第三步表示其中的一份。
（4）学生列算式是 2＝ ＝ 。
（5）学生说出图意思，理解图意， 2 就是求 的 是 。
题目 2：如果把一张纸的 平均分成 3 份，每份是这张纸的几分之几？（分数除以整数，分数的分子不能被整数整除）
（1）第一步学生先画被除数 。
（2）第二步画除以 3。
（3）第三步画表示其中的一份。
（4）学生列算式是 3＝ ＝ 。
（5）学生说出图意思，理解图意， 3 是求 的 是 。
2、画图理解整数除以分数
题目：把一根长 2 米的绳子，截成每段长 米，可以截几段？（整数除以分数）
（1）第一步学生先画被除数 2 米。
（2）第二步画 米。
（3）第三步画 2 米中有 3 个 米。
（4）学生列算式是 2 ＝2 ＝3（段）。
（5）学生说出图意思，理解图意，2 就是求 2 的 是 3。
3、画图理解分数除以分数的意义
题目 1：有 平方米的长方形纸片，剪成 平方米的小长方形（如下图），能剪几块？
（1）第一步学生先画被除数 平方米。
（2）第二步画 平方米。
（3）第三步画 平方米里有 3 个 平方米。
（4）学生列算式是 （块）。
（5）学生说出图意思，理解图意， 就是求 的 15 倍是 3 块。
题目 2：画 的示意图（真分数除以假分数）。
（1）第一步学生先画被除数 。
（2）第二步画除以 3。
（3）第三步画表示其中的 2 份。
（4）学生列算式是 ＝ ＝ 。
（5）学生说出图意思，理解图意， 就是求 的 是 。
四、效果
1、通过画图，并说出图意，学生体会出乘、除法的关系，从一幅图中写出分数乘法算式和分数除法算式，感知到分数除法是分数乘法的逆运算。
2、通过画图，并说出图意，学生能够理解分数除法的意义，对今后将分数计算运用到实际生活中有促进作用。
3、通过画图，并说出图意，加深了学生对分数除法的法则的理解，而不是只停留在法则的记忆和运用。
4、通过画图，并说出图意，培养学生用画图来理解题的意思，将数与图有机结合，当学生掌握图的画法之后，学生不用画图，在头脑中就有图的概念。
5、有肋学生理解单位 1，能帮助学生理解、分析分数应用题。
经过画图来理解分数乘、除法的意义和算法，再次问学生分数除法计算时，为什么要 “颠倒相乘”，学生会自信地说：“我用画图就能说明为什么要‘颠倒相乘’。”
东师附小刘文元12年前
看了刘勇老师一系列的跟帖，深深地体会到刘勇老师真的是一位爱钻研、勤奋、爱思考的刘老师，向刘老师致敬。
刘老师在帖子中说，学生在解决分数问题的时候，找不准标准量的原因之一是阅读能力欠缺，需要提高，因此在刘老师的课堂上，领着学生一步一步通过反复阅读、对比、修订来完善数量关系，因此通过提高阅读质量，从而实现对学习的全面理解，从而完成任务。
说实话，对于学生的阅读能力不强，相信绝大多数同行，深有感触，也英雄所见略同。这一个月来，我们学校也在进行 “培养学生自主学习能力” 方面的教研活动，团队里共同研究，共同上课。通过一个多月的研究下来，发现要想实现 “自主学习” 的美好愿景，学生现有的情况还真不容乐观。在这次教研活动中，我们发现有两个方面就是学生非常欠缺，甚至是影响 “自主学习” 的关键因素。一个是 “阅读文字” 的能力，一个是 “倾听” 的能力。今天早上，在李明伟老师的微博上，看到了一篇推荐文章，题目是：学生自主学习要培养三种核心能力。作者余文森，文章刊登在近几天的 “中国教育报” 上。在文章中，余老师提到的三种核心能力之一就是阅读能力。看来，阅读能力得以提高才能实现学生学习能力的跨越式提升基本上在很多老师中达成了共识。（文章链接：[http://bbs.xsj21.com/thread-73-1-1.html](http://bbs.xsj21.com/thread-73-1-1.html) 第 3 楼）
诚然，学生找不准标准量的原因之一是阅读能力不强，甚至是可能是最重要的原因，但实际上，这决不是唯一的重要的原因，通过刘老师的几个案例，我们不难发现，学生阅读能力不强，并不一定是体现在没读懂，这样说太过于笼统，究其根本，也是刘勇老师所说的：读不懂，就找不对数量关系式。
那么，这就又体现出另一条找不准数量关系式的原因，找不准数量关系，那么找不准关系都是阅读能力不强造成的么，答案一定是否定的，还有一个原因就是：学生根本就不清楚各种数量关系，有时候这与是不是读懂文字无关。
提到数量关系，我们都不可避免的要谈到数量、关系。那么什么是数量，核心是什么？什么是关系？个人理解，数量是数与代数问题的核心，无论是数的认识、数的计算、数的测量、代数初步等，都离不开 “数量” 这一关键词，那么关系呢？与 “数量” 搭配到一起，指的就是四则运算的关系，最起码在小学阶段是这样的。
反思我们以前的教学，我们对四则运算的意义的教学是不是到位，是不是让学生充分理解并掌握了四则运算的意义、类型及运算技巧呢？事实上，在以往的教学中，我们有很多不尽如人意的地方。
比如说，加法：其本质是求和。减法，其本质是加法的逆运算。乘法，其本质是自相加求和的简便计算。除法，其本质是乘法的逆运算。
在刘老师所举的案例中，学生找不到 1/4 是谁的 1/4，这体现出学生对于分数乘法的意义没有理解到位。再加上加减法的关系没有体会到位，就导致了一系列的问题。
其实想一想日常的教学中，我们遇到分数除法的的解决问题时，是学生接受起来最难的，这个时候，学生最纠结的地方是，既不是平均分，也不是包含除，为什么会列除法呢？那么回想我们日常教学除法的初步认识是，是从平均分和包含除入手，而不是从乘、除法的互逆关系入手，因此学生对于除法的本质，根本没有正确的理解。也就导致了我们接下来的一系列问题。
因此，个人认为，在数与代数领域，如何针对四则运算进行更好的教学，还有很多东西需要我们去研究，去探讨，去实践。这是后续所以计算问题（包括解决问题）的根。只有从根入手，对症下药，才会避免许多后续出现走歪路的可能，否则教师总是处于 “亡羊补牢” 的境界，何其尴尬，但更重要的是，我们的学生没有多少输的本钱。涧底松（枣庄-任12年前
孩子为什么找不到单位 “1”
山东省枣庄市薛城区北临城小学 任旭
在教学用分数乘除法解决问题的过程中，一些学生找不到单位 “1”（标准量）. 很多老师也对此耿耿于怀。学生为什么找不到单位 “1” 呢？老师为什么特别钟情于寻找单位呢？下面我谈谈对这个问题的认识。
一、老师为什么格外重视单位 “1”
课改前的教材，在分数乘除法教学中，老师们教给学生的往往是 “解题术”──标准量 × 对应分率＝比较量；比较量 ÷ 对应分率＝标准量。从公式中可以看出，标准量与对应分率是解决问题的前提条件，没有这两个条件就无法解决问题。在这种情境下，老师们形成了潜意识与潜标准：标准量是很好寻找的，每个学生都能、都应该准确地找到标准量。在这种潜意识下，学生找不到标准量的现象被放大了──把少部分学生有时找不准标准量说成不会找标准量。
二、什么是标准量
什么是标准量？我在各种工具书里没找到答案，它似乎是一个只可意会而不可言传的概念。我自己更是无法给出有说服力的定义，只能结合自己的理解谈一谈自己的认识：有了数量后，就会自然地出现数量的比较──多少。在比较的过程中，人们总是不自觉拿一数量与另一数量比，这个被比的另一个数量就是充当了一个标准，这个起标准作用的量， 就是标准量，用来与它比较的量，就叫比较量。例如，红花 4 朵，黄花比红多，这里红花数量 4 就是标准量，黄花的朵数就是比较量。 这样看来标准量在低年级比多比少时候就产生了，只是我们老师把它忽略了。后来学习的几倍多几（少几）的问题，标准量就呼之欲出了，到了分数问题，一些教材提出了整体 1 的概念，这个整体 1 就是标准量。
三、分数乘除法问题要不要教单位 “1”
虽然说标准量就是单位 “1”，可二者之间也是有先后的：先有标准量，后有单位 “1”。比多比少问题、倍数问题、分数问题都有标准量产生的要素，而只有倍数才可以产生单位 “1”。如杨树的棵数比柳树多 1/4，在画图分析数量关系时，先用一段线段代表柳树的棵数，那么怎样表示杨树的棵数呢？我们城朵再画同样长的一段线段表示与柳树同样多的棵数，还要加上多的 1/4，这个 1/4 怎样画？自然要把表示柳树棵数的线段平均分成 4 份，取其中的一份。这时表示柳树的棵数的线段就成了 “1”，至此，单位 1 就 产生了。
不过从上面单位 “1” 产生的历程来看，它似乎是一个可有可无的东西，没有单位 “1” 而只有标准量这个词，对其数量关系的分析并没有多少影响。前几年我在教学分数乘除法问题时，就没有提单位 1 这个词，更没有受授学生文章一开始所说的解题术，学生的学习质量并没有因此降低。
四、怎样找标准量
单位 “1” 的名称可有可无，但标准量还是要找的，只有找到了标准量，才可以更好理解数学关系。怎样让学生找到标准量呢？我们可以结合实例让学生感到与谁比，谁就是比较量。如在我比姚明矮中，姚明的身高是标准量；在姚明比我高中，我的身高是标准量.
另外一些人提出，为了让孩子正确而快速地寻找标准量，而教给学生一些术：一般来说 “比”、“是” 的后面哪个量是比较量。我认为这仍是一个术，还是不教为好。
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