得 “标” 诱寻 “本”

— 在《最大公因数与最小公倍》教学中读懂学生及教学策略的调整

山东省枣庄市薛城区北临城小学 任旭

读懂学生是老师的一项基本功，课堂是老师读懂学生的主战场。学生的一个表情、动作、习惯、甚至是解决问题时的速度等很多看似不起眼的因素，都能成为老师读懂学生的突破口。只有读懂了学生的这些 “小动作”，才能采取针对性的教学策略并进行相应的课堂教学调整。

案例：

笔者在执教《最大公因数与最小公倍数》练习课的后半段用最大公因数解决问题时出现的情形：

“有一间长 24 分米，宽 18 分米的长方形房子。要在这个房间的地面铺方砖，为了美观，要求必需铺整块的方砖。至少需要多块方砖？”

面对这个问题，多数学生读一遍题后就不加思考地求 24 与 18 的最小公倍数；也有一部分同学在 “至少” 二字下面画上横线或做别的标记，然后依然求这两个数的最小公倍数，完成后兴奋地让我判断。

从学生读题后就立即做题这种情形来看，他们没有经过认真思考的，在未能将生活问题一步步地转化成数学问题的情况下，仅仅依靠 “经验”（学习什么知识就用什么知识解决问题：既然刚刚学习最大公因数与最小公倍数，就当然用最大公因数或最小公倍数来解决问题）来解决问题。从学生找 “标志” 解决问题的方法上看，这部分学生是有一些自己体会的 —— 凡求最多、最大类问题就是用最大公因数；同样求最小、至少类问题就是用最小倍数。在这种一叶障目不见森林的情形下当学生看到 “至少需要多块方砖？” 中的 “至少” 二字时就盲目且自信地判断为此题是求 “24” 与 “18” 的最小公倍数。他们急切地给我看，至少是想得到我的肯定。

学生为什么会出现这种不思考只凭 “学啥用啥” 或 “标志” 来解决问题的情况呢？老子说：“天下有始，以为天下母。既得其母，以知其子，既知其子，复守其母，没身不殆”。学生的 “学什么用什么” 和 “看标志” 的经验，最多是 “得其子” 而没能去 “守其母”，以至于 “始终有殆”。

既然是 “不守其母” 所惹的祸，那么我们就应该引导学生 “守其母”，即引导学生依照最大公因数（最小公倍数）的概念产生的过程并结合实际具体问题一步步地找出是求最大公因数（最小公倍数）的理由 —— 先分析为什么是各自的因数（倍数）→公因数（公倍数）→最大公因数（最小公倍数）。

从本题来看 “要求铺整块的方砖” ，转换成数学语言，就是说方砖的边长必需是长 24 分米的因数；又必需是宽 18 分米的因数，这样方砖的边长就必需是 24 与 18 的公因数。又因为要求方砖的块数最少，用数学语言来说就是方砖的边长最大，因此本题的核心内容是求这两个数的最大公因数。

下面是笔者调整后的一段教学实录：

师：“要求铺整块的方砖” 是生活语言，用数学语言怎么说？（让学生思考一会）

生 1：房间的长除以方砖的边长商正好是整数没有余数；房间的宽除以方砖的边长商也是整数，没有余数。

师：你理解的很到位。能不能把你的话换一种说法而意思不变？

生 1：“要求铺整块的方砖” 就是要求方砖的边长既是长 24 的因数，也要是宽 18 的因数，也就是 24 与 18 的公因数。

师：说的很到位。当方砖的边长应该是长与宽的公因数时，就能铺整块的方砖。现在请大家思考：“铺整块的方砖所需要的块数的多少与方砖的边长有什么关系？

生：当方砖越大的时候，所用的方砖的块数就越少，当方砖最大的时候，用的块数就最少，因此这题需要先求 24 与 18 的最大公因数。

师：由此看来这题里的 “至少” 是一个假面具。当我们一步一步地把生活语言转换成数学语言时，就看到了问题的真面目。 这时我们就拥有了一双智慧的眼睛。现在就请同学们把这题的思维过程再还原一遍吧。

……

思考：

从这个案例可以看出在课堂上学生的练习是是读懂学生的一个窗口。另外，在课堂上还可以从以下两方面读懂学生：

1. 从学生的数学语言中读懂学生

鬼谷子说：“口乃心之门户”。也就是说心中所想是通过语言表达出来的。因此可以从学生的独特的语言中读懂学生对知识是否真正地理解。如学习带分数后，让学生看图（如图）写数后，一个学生读道 ：“是 3—— 又 ”。他在 “3” 的后面停顿了好长时间后再读出 “ ”， 这样的回答引来一阵大笑。

笑声中有对他的否定，更多则是认为他在搞笑。而我眼前为之一亮，他的回答是对带分数的本质的理解：带分数就是 “整数 + 真分数”。想到这儿，我对他说，你能说说为什么这样读吗？他的解释验证了我猜想完全正确，其它学生听不由自主地点头，脸上也露出会心的微笑。

2. 从学生的动手操作中读懂学生

操作在思维领域属于动作思维，学生的操作情况同样可以反映学生对知识的理解情况。有这样一题：“摆摆试试，至少用几个同样的小方体可以摆成一个较大的正方体？”

学生常常只用 4 个小正方体摆出长是 2 个单位、宽是 2 个单位、高是 1 个单位的长方体。这时学生看到的长方体的 “上面” 是正方形，就把一组相对面是正方形的长方体也当作正方体（长、宽、高都相等也是正方体）。这说明这部分学生对正方体长、宽、高都相等的特点还只是停留在文字阶段，还没有正方体的整体表象。

如果只用正方体的 “长、宽、高相等” 的特点来建立正方体的表象，有些盲人摸象的感觉，很大程度上强化了正方体 “长、宽、高相等” 的特点，而对空间表象的建立起不了太大的作用。因此老师的教学应把重点放在发展学生的空间观念上而非正方体的特点。这时老师可以拿出一个较大的正方体说：“像这样的物体才是正方体。在你摆的基础上怎样才能摆成这样的形状呢？”

很多时候很多学生的 “学” 是 “依葫芦画瓢”，只是走近其 “标” 而远离其 “本”。因此教师在课堂要随时听其言、察其行，及时调整自己的教学策略，帮助、引导他们跨 “标” 得 “本”。

孩子为什么找不到单位 “1”

山东省枣庄市薛城区北临城小学 任旭

在教学用分数乘除法解决问题的过程中，一些学生找不到单位 “1”（标准量）. 很多老师也对此耿耿于怀。学生为什么找不到单位 “1” 呢？老师为什么特别钟情于寻找单位呢？下面我谈谈对这个问题的认识。

一、老师为什么格外重视单位 “1”

课改前的教材，在分数乘除法教学中，老师们教给学生的往往是 “解题术”──标准量 × 对应分率＝比较量；比较量 ÷ 对应分率＝标准量。从公式中可以看出，标准量与对应分率是解决问题的前提条件，没有这两个条件就无法解决问题。在这种情境下，老师们形成了潜意识与潜标准：标准量是很好寻找的，每个学生都能、都应该准确地找到标准量。在这种潜意识下，学生找不到标准量的现象被放大了──把少部分学生有时找不准标准量说成不会找标准量。

二、什么是标准量

什么是标准量？我在各种工具书里没找到答案，它似乎是一个只可意会而不可言传的概念。我自己更是无法给出有说服力的定义，只能结合自己的理解谈一谈自己的认识：有了数量后，就会自然地出现数量的比较──多少。在比较的过程中，人们总是不自觉拿一数量与另一数量比，这个被比的另一个数量就是充当了一个标准，这个起标准作用的量， 就是标准量，用来与它比较的量，就叫比较量。例如，红花 4 朵，黄花比红多，这里红花数量 4 就是标准量，黄花的朵数就是比较量。 这样看来标准量在低年级比多比少时候就产生了，只是我们老师把它忽略了。后来学习的几倍多几（少几）的问题，标准量就呼之欲出了，到了分数问题，一些教材提出了整体 1 的概念，这个整体 1 就是标准量。

三、分数乘除法问题要不要教单位 “1”

虽然说标准量就是单位 “1”，可二者之间也是有先后的：先有标准量，后有单位 “1”。比多比少问题、倍数问题、分数问题都有标准量产生的要素，而只有倍数才可以产生单位 “1”。如杨树的棵数比柳树多 1/4，在画图分析数量关系时，先用一段线段代表柳树的棵数，那么怎样表示杨树的棵数呢？我们城朵再画同样长的一段线段表示与柳树同样多的棵数，还要加上多的 1/4，这个 1/4 怎样画？自然要把表示柳树棵数的线段平均分成 4 份，取其中的一份。这时表示柳树的棵数的线段就成了 “1”，至此，单位 1 就 产生了。

不过从上面单位 “1” 产生的历程来看，它似乎是一个可有可无的东西，没有单位 “1” 而只有标准量这个词，对其数量关系的分析并没有多少影响。前几年我在教学分数乘除法问题时，就没有提单位 1 这个词，更没有受授学生文章一开始所说的解题术，学生的学习质量并没有因此降低。

四、怎样找标准量

单位 “1” 的名称可有可无，但标准量还是要找的，只有找到了标准量，才可以更好理解数学关系。怎样让学生找到标准量呢？我们可以结合实例让学生感到与谁比，谁就是比较量。如在我比姚明矮中，姚明的身高是标准量；在姚明比我高中，我的身高是标准量.

另外一些人提出，为了让孩子正确而快速地寻找标准量，而教给学生一些术：一般来说 “比”、“是” 的后面哪个量是比较量。我认为这仍是一个术，还是不教为好。

多数教材只说可以利用 比的基本性质化简成最简单的整数比。至于什么是化简比，教材没有明确的说明。同样很多老师也是把 “什么是化简比” 当作学生的已理解的知识，也像教材一样不给学生作任何解释。在这种情况下多数学生不明白化简比的真正的意义，中下等学生更是一知半解。这时他们化简比也往往只能靠机械模仿──例题一般是先将比的前后项变成整数，再将比的前后项同时除以比的前项与后项的最大公因数数就得到最后的结果。受此影响，学生先将比的前后项变成整数，再将比的前后项同时除以前项与后项的公因数就结束，而不再想这时的结果是不是最简整数比，当然也不会把初步化简得到的不是最简整数比的比继续化简，直至得到最简整数比。

那么什么是化简比？把复杂的比化成比较简单比的过程 就叫化简比。一般来说，整数比比小数比简单；前后项是互质数的比比非互质数的比简单。化简比时，一般化为最简单的整数比，即比的前后项是互质数。

对化简比的意义有了上述的理解，我们就可以看清这个学生的来时路：他已走上化简比的征程，也掌握了化简比的基本方法──先把小数比化成整数比，即 “6.5 : 4.2”＝ “56:42” 然后根据比的性质将比的前项与后项同时除以 2 化成 28:21；只是没有达到化简比的最终目的地──最简单的整数比（4 : 3）；甚至是后来化简成 8:6 如此接近最简整数比时仍然不能走完最化一步化简的路

从上面的分析我们可以看出，这个学生距成功只有一步之遥，我们只有顺着学生的思路再稍加点拨就可以获得成功：你能利用比的性质将 “6.5 : 4.2” 分两步化成 “28:21”，现在的比确实比原来的比简单多了。万事开头难，你既然已经化简了，老师相信您能把 “28:21” 进一步化简成最简单的整数比。你再试一试吧。在老师的这种鼓励、引导、启发下，学生会进将 “28:21” 进一步化简成最简整数比──“4:3”。对于学习比较吃力的同学来说，能分步完成化简比已经是很不错了，我们老师没有必要提出一步化简到位的高要求。

上面的分析，好像全没有学生的责任，其实学生的责任还是有的：这位学生没有掌握好两个数的最大公因数，不知道 “56 与 42” 的最大公因数是 “14”；退一步说这位学生也由可能因为没有发现 “28 与 21” 的最大公因数是 “7”, 所以他只能把 “6.5 : 4.2” 化简成 “２８:２１” 而不是 “4:3”。

乘法口诀会背是否会影响到化简比？从这个学生对乘法口诀表的熟练程度上看是没有多少影响的，它最多影响到两个整数之间的最大公因数的判断。老师在乘法口决表纠结是只是抓住了错误的末枝，而失去了错误的根。

多数教材只说可以利用 比的基本性质化简成最简单的整数比。至于什么是化简比，教材没有明确的说明。同样很多老师也是把 “什么是化简比” 当作学生的已理解的知识，也像教材一样不给学生作任何解释。在这种情况下多数学生不明白化简比的真正的意义，中下等学生更是一知半解。这时他们化简比也往往只能靠机械模仿──例题一般是先将比的前后项变成整数，再将比的前后项同时除以比的前项与后项的最大公因数数就得到最后的结果。受此影响，学生先将比的前后项变成整数，再将比的前后项同时除以前项与后项的公因数就结束，而不再想这时的结果是不是最简整数比，当然也不会把初步化简得到的不是最简整数比的比继续化简，直至得到最简整数比。

那么什么是化简比？把复杂的比化成比较简单比的过程 就叫化简比。一般来说，整数比比小数比简单；前后项是互质数的比比非互质数的比简单。化简比时，一般化为最简单的整数比，即比的前后项是互质数。

对化简比的意义有了上述的理解，我们就可以看清这个学生的来时路：他已走上化简比的征程，也掌握了化简比的基本方法──先把小数比化成整数比，即 “6.5 : 4.2”＝ “56:42” 然后根据比的性质将比的前项与后项同时除以 2 化成 28:21；只是没有达到化简比的最终目的地──最简单的整数比（4 : 3）；甚至是后来化简成 8:6 如此接近最简整数比时仍然不能走完最化一步化简的路

从上面的分析我们可以看出，这个学生距成功只有一步之遥，我们只有顺着学生的思路再稍加点拨就可以获得成功：你能利用比的性质将 “6.5 : 4.2” 分两步化成 “28:21”，现在的比确实比原来的比简单多了。万事开头难，你既然已经化简了，老师相信您能把 “28:21” 进一步化简成最简单的整数比。你再试一试吧。在老师的这种鼓励、引导、启发下，学生会进将 “28:21” 进一步化简成最简整数比──“4:3”。对于学习比较吃力的同学来说，能分步完成化简比已经是很不错了，我们老师没有必要提出一步化简到位的高要求。

上面的分析，好像全没有学生的责任，其实学生的责任还是有的：这位学生没有掌握好两个数的最大公因数，不知道 “56 与 42” 的最大公因数是 “14”；退一步说这位学生也由可能因为没有发现 “28 与 21” 的最大公因数是 “7”, 所以他只能把 “6.5 : 4.2” 化简成 “２８:２１” 而不是 “4:3”。

乘法口诀会背是否会影响到化简比？从这个学生对乘法口诀表的熟练程度上看是没有多少影响的，它最多影响到两个整数之间的最大公因数的判断。老师在乘法口决表纠结是只是抓住了错误的末枝，而失去了错误的根。