2014年4月30日《小学数学模型思想的思考与实践》阅读分享

                                     小学数学中有哪些模型？

在《义务教育数学课程标准 (2011 年版)》中还提到一个核心概念，就是模型思想。什么是模型呢？许多数学教育工作者认为，一个数学表达就是模型，比如，方程就是模型，甚至一个代数式就是模型。广义上说，这样理解模型是可以的，但更确切地，单纯的数学表达是模式而不是模型。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事；强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。在《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中，是这样解释模型思想的：是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情景中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。由这个解释可以看到，模型有别于一般的数学算式，模型也有别于通常的数学应用，模型是能够用来解决一类具有实际背景问题的数学方法。必须强调的是，模型的重要性往往不是取决于数学表达是否完美，而是取决于对现实世界的解释，关于这个问题的详细讨论参见 “话题篇” 中的话题 23。我想，在小学阶段的数学教学中，至少需要考虑两个模型：一个是总量模型，一个是路程模型。

  总量模型。这种模型讲述的是总量与部分量之间的关系，其中部分量之间的地位是平等的，是并列的关系，因此在这种模型中，部分量之间的运算要用加法。如果单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这个模型为加法模型。这种模型具体表示为：总量 = 部分量 + 部分量

显然，模型中的部分量不局限于两个。可以用这个模型来解决现实生活中一类涉及总量的问题。这样的问题在小学低年级的数学教学中是屡见不鲜的。比如，计算图书室中各类图书的总和是多少，计算在商店中买几种商品的总花费是多少，计算在年级中各个班同学数的总人数是多少。还可以针对现实生中具体的问题背景的不同，引导学生灵活地使用这种模型，比如，可以在 “部分量” 那里讲一些故事，就像问题 14 中的叙述的那样；也可以在总量那里讲一些故事，把加法运算变为减法运算：部分量 = 总量 - 部分量。

路程模型。这种模型讲述的距离、速度、时间之间的关系，如果假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：距离 = 速度 × 时间

虽然所说的是路程问题，但这个模型可以适用于一类现实中的问题，比如，解决 “总价 = 单价 × 数量” 的问题，解决 “总数 = 行数 × 列数” 的问题等。但就描述自然界的规律而言，上面 (8) 式所表述的距离模型是本质的，详细讨论参见 “话题篇中” 的话题 23。 因为这种模型强调的是乘法，因此单纯从数学计算的角度考虑，还可称这种模型为乘法模型。显然在具体使用这类模型的时候，可以用时间讲一些故事，比如，甲比乙晚出发多长时间，还可以用速度讲一些故事，比如，某人在行程途中改变速度等。也可以用距离讲一些故事，把乘法变为除法：  时间 = 距离／速度。

针对具体问题的不同，还可以把总量模型（7）和路程模型（8）结合使用，在结合的过程中，方程就成为有力的数学工具。通过对模型的构建和理解，可以逐渐认识到：数学不仅是对现实世界中数量关系和图形关系的抽象，数学也不仅是逻辑推理的典范，数学所形成的概念、方法和命题还是描述现实世界的强有力的工具。

 在小学阶段，虽然《义务教育数学课程标准 (2011 年版)》没有明确提出要求，但还有两类模型是可以考虑的，一类是植树模型，一类是工程模型。

  植树模型。这类模型的问题背景是：在直线上或者平面上有规律地挖一些洞（也可以假设有一些洞），在洞中植树。在一般情况下，植树的数量小于洞的数量，这样就可以提出两类问题：一类问题是按一定规律在一部分中植树，问可以植树多少棵；一类问题是先确定植树的棵数，然后探索植树的规律。可以想象，现实生活中这类问题是层出不穷的，也非常有趣、非常有意义的。比如，要在一条道路沿线设立若干个加油站，就可以把道路的里程看成洞，把加油站看成树；再比如，在一个区域要设立若干个商业点，就可以把居民住宅区看成洞，把商业点看成树。特别是在现代社会，这个模型被广泛应用于资源调查或者环境调查，因为可以设想调查点就是树，为了更加经济科学地进行调查，就需要合理地设计可以被用来植树的洞。显然，在平面上设计这类问题要比在直线上困难得多，因此在小学阶段的数学教学中，问题的背景应当主要是针对直线而不是平面。

 工程模型。这类模型的问题背景是：有一个工程，甲工程队和乙工程队单独完成分别需要 A 天和 B 天，考虑两个工程队合作完成这个工程所需要的时间。解决这样的问题，一个简便的方法就是假设工程为 1，因为有了这个假设就可以确定甲工程队和乙工程队一天分别能完成工程的：1/A 和 1/B。正因为如此，人们又称这样的问题为归一问题。当然，在具体使用这个模型的时候，可以假设两个工程队合作会提高效率或者降低效率；也可以假设甲工程队先工作几天之后，乙工程队再参加；还可以假设有三个或者更多的工程队来完成这个工程。这种模型还可以包括传统的注水问题：有几个水管向一个池子中注水，还可以考虑一边注水一边放水的情况等。

可以看到，使用模型的过程可以充分发挥人的想象力。这个想象力主要表现在建构现实背景，想象背景中事物中的各种数量，想象各种数量关系之间的各种可能的组合。因此，在这样的教学过程中，不仅要培养学生分析问题和解决问题的能力，还要培养学生发现问题和提出问题的能力。《义务教育数学课程标准 (2011 年版)》中的例 54 提供了一个范例。这个例子是针对路程模型的，用图形描述了小明的父亲和母亲各自散步的路程与时间的关系，要求学生判断哪一个图形是父亲的、哪一个图形是母亲的。事实上，还可以先给出图形，然后让学生根据图形中所标注的数量关系（比如，路程与时间的关系，路程与速度的关系），自己建构路程模型的故事。

  总之，引导学生探索模型的过程是帮助学生积累数学活动经验的有效方法，这样的教学所需要的时间可能要多一些，因此在《义务教育数学课程标准 (2011 年版)》中专门设定了 “综合与实践” 的教学内容，希望通过这样的教学内容能够培养学生的应用意识和创新意识。

本帖最后由 李敏 于 2014-4-30 21:27 编辑

本帖最后由 李敏 于 2014-4-30 21:29 编辑

  三、通过 “说一说” 进一步理解加法模型。

《义务教育数学课程标准（2011 版）》中所说的模型，强调模型的现实性，使用数学的语言讲述现实世界中的故事。怎么让学生感悟如何用数学的语言和方法描述这一类现实生活中的问题，我想是教师应该关注和思考的。在这点，教材给了我们很好的方法 —— 说一说，让学生找一找生活中的加法问题，用自己的语言讲故事，在交流和思考中丰富对加法意义的理解，最终用数学的语言讲现实中的故事。我们一起来看看本节课中最靓丽的一个设计。

这里呈现了 “1+4=5” 这个算式，列举了四个用 “1+4=5” 能解决的实际问题，目的是通过用语言描述和画图解释的方式，帮助学生用多种方式表达对加法意义的理解，体会加法在生活中的应用。

  四、精心设计练习题应用加法模型。

  使用北师大第四版教材，我想最令老师省心的便是练习题的设计了。每节课都设计了 “练一练”，正文和练一练的页码比例达到了 1：1。练习题按照基本练习、变式练习、拓展练习三个层次设计。题目的呈现顺序与正文的内容顺序和问题串的顺序尽可能一致。这些数量合适、层次合理、形式多样、富有挑战性的习题的设计，再一次让学生感受到数学与生活的联系，再一次感受加法的作用，增加学习的兴趣和信心。

我们不妨再来简单看看《还剩下多少》一课的教材。

纵观整个单元的内容，我们不难发现整个单元的设计是非常类似的，整个单元自始至终围绕着本单元最核心的内容、最有价值的话题 “一共有多少个？” 和 “还剩下多少个” 展开数学活动，学生随着这些本质的问题进行高质量的数学学习活动，思考、交流、分享、讨论，最终达到学习目标的实现。

由此可见，北师大教材的编写对模加法模型的教学是非常好的，只要我们老师读懂教材，用好教材，把握小学数学的核心，就能设计出符合学生认知规律的教学过程，帮助学生积累思维和实践的经验，让数学活动为孩子的思维发展奠基。

 最后我想和大家分享一下中国教育报的一篇文章：让阅读成为习惯的十五个小诀窍

 1. 找时间读书

2. 上哪去都带本书

3. 做一个读书的清单

这份清单是动态的，当你从别人那里或者网上看到了一本好书，马上加进去；那本书你已经读过了，就划掉。

4. 找一个安静的地方读书

在自己家里找个地方，要有一把舒服的椅子。椅子周围要没有电视，没有电脑，没有娱乐设备，完全只有你自己。

5. 减少上网和看电视的时间

6. 读书给你的小孩听

7. 做读书笔记

8. 逛逛二手书店

9. 去图书馆吧

10. 读读搞笑的有意思的书

11. 让读书变成一种享受

 看书的时候，沏一壶好茶，泡一杯香浓的咖啡，在你的椅子上放一张舒适的毛毯，在晨曦或是落日时间，让读书成为你一天当中最惬意的时光。

12. 在博客里谈谈你的读书

 13. 设立你的读书目标

14. 专门的读书时间

 你有一个专门的一个小时用来读书，当然你也可以说服你的家人在这一个小时除了看书什么都不干。

15. 借别人的书读

 读书容易，坚持不易，且读且成长！

 欢迎指导！谢谢大家！

数学模型思想案例思考 —— 许传秋

附件：

• 数学模型思想案例思考许传秋.ppt

本帖最后由 李敏 于 2014-5-7 16:04 编辑

                                  活动文本整理：

江苏蒋桂存：使用模型的过程可以充分发挥学生的想象力。

使用模型的过程可以有选择地沟通生活与数学抽象之间的联系，

四季歌：还要注意 不因颜色 大小不同而影响加的模型

传说湖北张鹰：用自己的语言讲故事来理解应用加法模型

四季歌：这是编者的意图

四季歌：数是数量的抽象

羊里中心小学陈爱霞：进一步理解加法的意义

肇源新站李莎莎：用自己的语言讲故事来理解应用加法模型

西安 --- 陈：床上读，马上读，厕上读

茶业峪门王加章：数学模型是由数学符号等构建出来的数学知识，即数学模型是由数学符号、数学思想按一定的数学方法构建出来

我心飞翔：还有什么好书也推荐一下．一并买

茶业峪门王玉来：数学模型在小学数学阶段是由师生在课堂上构建出的数学认知结构。

传说辽宁 -- 官官儿：使学生通过情景抽象出数学知识

茶业口镇暗摇头贾士民：用数学中的内容讲现实生活中的故事，有助于学生体会和理解加法模型。

福建 - 王白石：知识内化的过程

西安 --- 陈：抽象概况的能力，举一反三的运用能力

高庄中小窦圣东：设计多种形式练习题应用加法模型可进一步对加法意义的理解。

茶业峪门王加章：数学模型是由数学符号等构建出来的数学知识，即数学模型是由数学符号、数学思想按一定的数学方法构建出来

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茶业峪门王玉来：将数学模型的广义定义应用于小学数学教学，会使得数学模型在小学数学教学中的地位更清晰，更具活力，为一线教学工作者进行更深入的探究提供广阔空间。

羊里小学卢丽彦：不要为了教知识而教，要逐渐渗透建模思想和意识

茶业峪门王加章：每堂课可以形成一个核心的数学模型，在教学实践中，有些数学模型是显而易见的，而有些则需要我们老师进行仔细的研讨

湖北张鹰：总量的模型就是要学生看算式说故事！来加深对加法模型的理解与应用！

凤办中小吕霞： 在教学中渗透数学思想，更为重要

传说辽宁 -- 官官儿：网上可以买

黄冈余振兴：网上买很快的 谢谢你们！

茶业口镇暗摇头夏兴福：数学模型是由数学符号等构建出来的数学知识，即数学模型是由数学符号、数学思想按一定的数学方法构建出来

茶业口镇榆林王青峰：用数学中的内容讲现实生活中的故事，有助于学生体会和理解加法模型。

高庄中小窦圣东：数学模型是对数学知识的构建，有利于学生对数学知识理解和掌握。

茶业口镇暗摇头贾士民：精心设计练习题，在训练中提升学生应用数学模型的能力。

茶业峪门王玉来：教师构建出一个简洁、清晰、应用性强的数学模型，会让学生切切实实感受到数学的简洁美。

茶业峪门王加章：清数学模型在老师中的地位与作用，切实研究好每堂课中所应建立的数学模型，才能有效的设计好整个建模过程，让学生真切的体验数学的魅力。

肇源和平徐艳丽：数学与生活紧密结合，是学生提高学习兴趣的有效方法。

苗山中小周秀丽：以生活中的实例来构建模型

二实小张学慧：有生活问题，提炼出数学问题，建立数学模型，提高学生的思维能力。

茶业峪门王加章：每堂课可以形成一个核心的数学模型，在教学实践中，有些数学模型是显而易见的，而有些则需要我们老师进行仔细的研讨 表情

吐丝口陈萍：清楚数学模型在老师中的地位与作用，切实研究好每堂课中所应建立的数学模型，才能有效的设计好整个建模过程，

宾县肖海山：建模型是解决数学问题的一种有效的方法

茶业峪门王玉来：数学建模这个概念来讲也许是新的，但回想我们的日常教学不难发现我们的学生已经有数学建模的思想或意识，只不过没有从理论的角度把它概括出来 而已

四季歌：抽象 ---- 生活到数学 建模 ---- 生活到数学

方下中小谷：数学模型能帮助学生建立形象思维

四季歌：建模 --- 数学到生活

茶业峪门王加章：教学实例至少可以说明小学生在解决实际问题时有他自己的数学模型，有他 自圆其说的解读数学模型的方法，因此，小学生也有数学建模能力

吐丝口陈萍：清楚数学模型在老师中的地位与作用，切实研究好每堂课中所应建立的数学模型，才能有效的设计好整个建模过程，

羊里中心小学孙翔：构建模型是解决数学问题的一种有效方法。

湖北张鹰：不是说的北师版吗？

黄冈余振兴：是结合模型思想谈案例，既谈了北师的，也有人教的案例

吐丝口陈萍：加一减一的问题确实很难理解

湖北张鹰：北师版的新教材也有这些模型吗？

黄冈余振兴：刚才李敏老师已经结合北师的谈了

羊里中心小学孙翔：植树问题，可用画线段图来理解

吐丝口陈萍：实际教学中模型思想的建立挺抽象的

茶业峪门王玉来：为学生提供一个比较详实的问题背景。

茶业峪门王加章：要建模首先必须对实际原形有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才 能使建模者对实际问题进行简化。

羊里中小张静：数学模型，结构模型解决问题

羊里中小张静：找到规律，是复杂的问题变得简单

羊里中心小学孙翔：教师引导学生灵活建构模型。植树、路灯、车站等都可用同一种模型来解决。

湖北张鹰：这种模型是不是把原来的典型应用题说笼统了？

辽宁 -- 官官儿：用模型思想来解决生活中的数学问题

黄冈余振兴：其本质都是一样的

羊里中小张静：植树问题的延伸很有必要

江苏蒋桂存：植树类问题的模型问题，其实有更简单的原型可以代建模，可以省去太多公式的概括

羊里中心小学孙翔：模型的拓展很有必要。

福建 - 王白石：教是为了不教

羊里中小张静：模型的拓展是把很抽象的问题变得有规律有方法

湖北 —— 吴悠：受益匪浅！

吐丝口许贵玉：数学来源于生活，有反作用于生活

湖北张鹰：我认为这是把典型应用题说成数学模型是改头换面的一种说法！

凤办中小薛立峰：趣是最好的老师

湖北张鹰：原来有种典型的应用题，现在把他说成了种数学模型！

四季歌：表述更准确和涵盖更广一些。我的理解，存在限于思想。表情

湖北张鹰：种数学模型我觉得更糊涂了，种数学模型更清晰明了！

茶业口镇暗摇头贾士民：引导学生探索模型的过程是帮助学生积累数学活动经验的有效方法。

茶业峪门王玉来：抽象 ---- 生活到数学 建模 ---- 生活到数学

茶业峪门王加章：数学离不开生活