梁超

《圆的面积一》教学简案

王春艳名师工作室

教材分析：

“量感” 是对长度、面积、体积、时间、质量等的感性认识。“量” 作为一条学习主线贯穿北师大小学数学教材四大领域，教材在图形与几何领域精心安排了相关知识，旨在通过培养学生量感提升思维能力。

在第一学段，学生直观认识了圆，并学习了长方形、正方形等平面图形及其周长、面积的计算，在此基础上本单元进一步学习有关圆的知识。

六年级上册圆面积的计算是一个难点，与探索圆的周长计算公式相类似：探索圆的面积与圆的半径之间的关系。本单元教材通过对圆的探究，学生将初步了解研究曲线图形的基本方法。这不仅利于丰富学生对图形的认识，而且利于发展学生的空间观念。因此，通过本单元知识的学习，不仅加深学生对周围事物的理解，提高解决简单实际问题的能力，也为以后学习圆柱、圆锥等知识和理解扇形统计图打好基础。

学情分析：

基于儿童视角下的思维力发展，通过大量的体验活动，在观察中建立量感，在操作中发展量感，在推理中提升量感。六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。因此，考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得出圆的面积计算公式。结合实例认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。在探究圆面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 的思想。

教学设想：

我们团队经过研读教材了解到：教科书直接呈现问题 “如何得到一个圆的面积”，问题 1 用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题 2 是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题 3 是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接近平行四边形；问题 4 是推导圆的面积的计算公式。

基于以上思考，本节课的教学我们团队采用了四个活动贯穿始终：活动一：用度量的方法得到圆的面积的近似值，感受圆的面积的取值范围；活动二：把圆转化成近似的平行四边形，体会化曲为直的数学思想；活动三：寻找转化后的平行四边形与转化前圆的关系，从而推导出圆的面积公式。活动四：运用面积公式，解决生活中的实际问题，培养学生解决问题的综合能力。这些学习过程有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，体会极限的思想。

学习目标：

1．结合实例认识圆的面积，经历探索圆面积的计算公式，从而推导出圆的面积计算公式，并掌握圆的面积计算公式。

2．在探索推导的过程中，感受 “化曲为直” 的思想。

3．发展学生的量感，建立学生平面几何学习的知识框架。感受数学的奥秘，激发学习平面几何的兴趣。

学习重点：

会利用转化的思想推导圆形的面积公式，并理解圆形面积公式的含义。

学习难点：

利用 “化曲为直” 的思想，理解圆形面积推导公式的过程。

教学准备：

多媒体课件、方形测量纸、十四运图标卡纸、教具。

学习框架：

教学过程：

一、创设情境，触发 “问题思考”

1. 借助十四运图标，引发对圆的面积的探索

2. 感知平面图形大小，激发学生对面积的探究

【设计意图】通过创设十四运的情境导入新课，激发了学生学习的兴趣，又为圆面积的学习奠定基础，体验到数学来源于生活，抛出问题引发思考，让学生有探究新知的欲望。

二、活动探究、形成 “量感积累”

活动一：在估测中建立量感

1. 估法一：转化为已学图形，确定圆的面积的取值范围

2. 估法二：借助测量纸数格子，感受不同估测结果

3. 对比不同估法，引发认知冲突

【设计意图】：此环节主要是复习面积的意义和用方格纸度量面积的方法。学生会有两种思路：一是在圆内画出一个最大的正方形，这个想法是有价值的；二是用方格纸度量。学生在观察、思考、交流中初步体会圆面积的大小，初步发展学生的 “量感”。

活动二： 在 操作 中发展量感

1. 剪拼圆形卡纸，探索等分方法

2. 学生自主汇报，感受极限思想

3. 总结归纳核心，强调化曲为直

【设计意图】：此环节引导学生利用旧知解决新问题，渗透转化的数学思想，为新知的 “再创造” 做好准备。因为半径决定圆的大小，因此切割成的图形要保留圆的半径这个特征要素。基于这些思考，才把圆等分成扇形，并用这些扇形拼成近似的平行四边形，这个近似的平行四边形的一边是圆的半径，另一边通过 “以直代曲”，才变成已学过的平行四边形，此过程也蕴含了极限思想。

活动三： 在 推理 中提升量感

1. 学 生互助交流，探究平行四边形与圆的关系

2. 师生共同突破，感悟高与圆的半径的关系

3. 建立内在联系，自主推导出圆的面积公式

【设计意图】：在问题的驱动下，推导圆的面积公式是本节课的关键所在，通过想象把圆等分成无穷多个扇形，由无穷多个扇形拼成的 “曲边” 就化曲为直。在实践操作中，经历公式的推导过程，发现所拼成的平行四边形的底相当于圆的半周长，高相当于圆的半径，进而得到圆面积的计算公式。此过程进一步发展了学生的空间观念，深化了对 “量感” 的体验。

三、学习致用，深化 “量感体验”

1. 发现、总结圆的面积与半径的关系

2. 运用所学知识，解决生活实际问题

【设计意图】此环节力图通过不同的方式，进一步帮助学生积累研究图形的经验，明确要想求出圆的面积，只需求出半径即可，利用圆的面积公式解决实际问题，在解决问题中强化、积累学生自身的 “量感” 经验。

四、情感升华，总结 “量感价值’

1.“靓” 出自我、内化思想，

2. 教师总结，升华情感

【设计意图】：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，更要关注学习经验的反思提升，因此通过引导学生思辨内化，找准提升点。利用充足的数学活动经验成为学生学好数学、提高数学素养的重要基础，这样数学的基本知识和技能就能借助 “数学活动经验” 内化成为学生的核心素养。

板书设计：

https://v.youku.com/v_show/id_XNTgwNjYzMTcwNA==.html

《圆的面积（一）》磨课总结

为了落实 “双减” 政策，向每一节课要效率，达到全优课堂教学的目的，切实提高数学教师的教学能力，高新一小东校区数学组辩课团队参加了小学新世纪辩课大赛，由经验丰富的梁超老师执教，授课的内容为六年级上册《圆的面积（一）》，整个辩课团队为本次活动做了积极充分的准备，先后进行了 8 次磨课，将《圆的面积（一）》进行多次研究讨论，最终将一节完美的设计呈现，作为数学教师的我们有义务当起培养和提高学生数学学科素养的责任。

在整个备课中多次得到王春艳主任及数学组教师的指导，基于量感是数感的重要组成部分、是数感的一种具体化表现。梁老师的设计将 “量感” 体现于教学的各个环节，是对圆 “量” 态的感性认识。教学中让学生运用多种感官共同参与，通过借助外界信息对其感官的刺激，获得对面积的直接感觉，这是发展学生 “感” 的必经途径。

在经历多次试讲的经验上，梁超老师不断引导学生去表达去探索知识，充分以小组合作的模式发挥了学生的主体地位，体现了学生是数学学习的主人。通过初步感知圆的面积，到之后猜想圆可以转化成学过的哪些平面图形，学生通过操作并推导圆的面积公式，进行验证，多种方式的呈现，学生的数学思维提到了提升，教学中也对学生学习数学应有的转化、化曲为直的思想都进行了渗透，整个磨课给教师们带来了一个深入交流的平台、充分展示自我的机会，最大地激发了教师参与教研的潜能。在磨课、评课、议课的过程中，真正感受到了大家对课程标准把握的准确度上升到理论高度。

磨课的过程是学习、研究、实践的过程，是教师专业素养提升的过程。要磨出精品课，就务必钻研教材，了解编者的意图，才能设计出最佳的教学方案。在磨课中，辩课团队为了得到更好的教学效果，撰写教案，制作课件，反复推敲，几经斟酌，深入到每 - 个细节。透过磨课，教师的教学组织潜力、应变潜力、教学创新潜力都得以提升。

我们一路走来，收获颇丰。参加小学新世纪的辩课活动就像一缕春风，荡涤着我们的心灵，像一股清泉，注入了新的活力。我们将以此为契机，让差距成为自身发展的源动力，不断梳理与反思自我，促使自己不断成长。

三稿反思

本节课经过多次打磨，反复推敲，感受颇深。我在教学过程的伊始借助十四运宣传视频来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面圆面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。

从学生熟悉的画内接、外切正方形，数方格开始学习圆面积的计算，有利于学生从整体上把握平面图形面积计算的学习，有利于充分激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识和经验，从而为进一步探索圆的面积公式作好准备。由数方格获得的初步结论对接下来的转化推导相互印证，使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。

在活动二通过学生动手操作环节，渗透一种重要的数学思想 —— 转化，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题，从而推及到圆的面积能不能转化成以前学过的平面图形！如果能，我们可以很容易发现它的计算方法了。让学生迅速回忆，调动原有的知识，为新知识的 “再创造” 做好知识的准备。学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数愈多，拼成的图形就越接近平行四边形。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。

而后，在我的引导下，使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知，把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作，经历公式的推导过程，不但使学生加深对公式的理解，而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力，学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美，品尝到成功的喜悦。

最后的全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。

本节课是基于儿童视角下量感的研究，所谓 “量感” 是指视觉或触觉对各种物体的规模、程度、速度等方面的感觉，即对于物体的大小、多少、长短、粗细、方圆、厚薄、轻重、快慢、松紧等量态的感性认识。我通过这样多形式、多途径地思考、感悟与内化，学生对于体积和体积单位的概念才能建立得更加清晰和牢固，才能更好地发展学生的量感。

《圆的面积（一）》教学设计

教材分析：

圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和挑战性。教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。因此本课的教学应紧紧围绕 “转化” 思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。

与探索圆的周长计算公式类似，探索圆的面积与圆的半径之间的关系。教材考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得到圆的面积计算公式。

教科书采用了 4 个问题，问题 1 用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题 2 是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题 3 是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接近平行四边形；问题 4 是推导圆的面积计算公式。

学情分析：

小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。

一、教学目标：

1．结合实例认识圆的面积，经历探索圆面积的计算公式，从而推导出圆的面积计算公式，并掌握圆的面积计算公式。

2．在探索推导的过程中，感受 “化曲为直” 的思想。

3．发展学生的量感，建立学生平面几何学习的知识框架。感受数学的奥秘，激发学习平面几何的兴趣。

二、教学重难点：

教学重点：会推导圆形的面积公式，理解圆形面积公式的含义，掌握圆形面积公式的计算方法。

教学难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。

三、教学准备：

教具：多媒体课件、面积转化教具。

学具：课本、学习单、圆形卡片等学具。

四、教学过程：

1．情景创设，快速导入：

播放《十四运图标宣传片》片段，让学生在感受圆形美的同时，对圆形留下一个深刻的印象。

师：这么多创意图标，都与什么图形有关系？

过渡：它和我们之前学过的图形有什么区别呢？

师提问：如果我们想知道这个曲线图形的大小，要怎么办呢？

观察课件，引导学生完整表述：圆所占平面的大小，叫做圆的面积。（板书）

过渡：今天就让我们一起来学习《圆的面积（一）》。（板书）

【 设计意图： 在教学过程的伊始借助十四运宣传视频来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面圆面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。】

2、活动探究、小结方法：

组织学生再来摸一次图标的大小，加深学生对面积的认知：这个圆所占平面的大小，就是它的面积。

在学习如何准确计算它的大小以前，我们先来试着估一估。

（1）活动 1：估一估

要求：同桌合作，讨论方法，估一估《活动单》中圆形的面积是多少。

学生活动：

学生汇报：（沙龙模式）

这样一来，我们就能大概知道圆形面积的一个取值范围了，对吧。可是，如果我们想要准确的知道这个数值，应该怎么办？

师：怎么算？你的想法是什么？（快速思考、同桌讨论）。

学生汇报。

预设：转化成学过的图形。

师：非常好的方法。具体怎么操作呢？我们先来回忆一下之前学的平行四边形面积是怎么转化的。

播放音频。

过渡：这几位善于思考的同学为我们指出了一条 “康庄之路”，那接下来就请同学们一起沿着这条 “康庄之路” 去寻找我们的答案吧。

进入第二个活动环节，动手试一试。

【 设计意图： 从学生熟悉的画内接、外切正方形，数方格开始学习圆面积的计算，有利于学生从整体上把握平面图形面积计算的学习，有利于充分激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识和经验，从而为进一步探索圆的面积公式作好准备。由数方格获得的初步结论对接下来的转化推导相互印证，使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。】

（2）活动 2：试一试

要求：

1. 组内讨论，确定转化方案。

2. 试着把手中的圆形卡纸，转化成我们学过的图形。

3. 完成后，组内交流自己转化的方法。

4. 小组汇报。

预设 1： 4 等份的扇形。

预设 2： 8 等份的扇形。

预设 3： 16 等份的扇形。

生小组 1：

预设：我们小组分别采用了 3 种不同的方案。分别是...

生 1：...

生 2：...

生 3：...

掌声送给他们。

师：我们拼出的图形是平行四边形吗？

引导：我们知道，圆是由曲线围成的图形，而平行四边形的边是由线段组成的。所以，在这里，我们采用了一种数学史上极为重要的一种转化思想 --- 叫做 “化曲为直”。（板书）

过渡：那接下来，接让我们带着她们的发现，一起去解开圆面积的这一层神秘面纱吧。

【 设计意图： 通过这一环节，渗透一种重要的数学思想 —— 转化，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题，从而推及到圆的面积能不能转化成以前学过的平面图形！如果能，我们可以很容易发现它的计算方法了。让学生迅速回忆，调动原有的知识，为新知识的 “再创造” 做好知识的准备。学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数愈多，拼成的图形就越接近平行四边形。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。】

（3）活动 3：有趣的推导。

组内交流，想一想：拼成的平行四边形的底和高与拼之前的圆有什么联系？

学生交流并汇报。

预设：平行四边形的底相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

请学生上台，用手指出，拼成的平行四边形的底和高分别是拼接之前圆形面积的哪一部分。

预设：我发现：圆周长的一半相当于平行四边形的底，圆的半径相当于平行四边形的高，根据平行四边形面积公式：

S = 底 × 高可以推出，圆的面积就等于圆周长的一半 × 半径

S 平 = 底 × 高

S 圆 =πr×r

S 圆 =πr²

经过我们班同学的集思广益，终于，圆的面积公式终于被你们推导出来了，那么请认真观察一下这个公式，思考一个问题：圆的面积与圆的什么有关系呢？

生：圆的面积与圆的半径有关。

师提问：也就是说，想要计算某个圆形的面积，只需要知道它的什么就可以了？

预设：知道圆的半径就可以了。

【 设计意图： 在教师的引导下，使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知，把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作，经历公式的推导过程，不但使学生加深对公式的理解，而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力，学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美，品尝到成功的喜悦。】

4．当堂反馈，小结课堂：

同学们， 通过这节课的活动，你学到了什么呢？谁来和我们分享一下。

预设 1：我学会了用化曲为直的转化思想，推导圆形的面积公式。

师全课总结：在这节课中，我们通过自主探究、小组合作的方式，利用化曲为直的思想把圆形转化成了平行四边形，利用我们学过的知识来解决新的问题。这样有趣且实用的数学方法，在以后的学习生活中，我们也要善于去利用它帮助我们解决更多的困难。这节课就上到这里，同学们，下课。

【 设计意图： 全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】

《圆的面积（一）》教学反思

本节课经过多次打磨，反复推敲，感受颇深。我在教学过程的伊始借助十四运宣传视频来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面圆面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。

从学生熟悉的画内接、外切正方形，数方格开始学习圆面积的计算，有利于学生从整体上把握平面图形面积计算的学习，有利于充分激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识和经验，从而为进一步探索圆的面积公式作好准备。由数方格获得的初步结论对接下来的转化推导相互印证，使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。

在活动二通过学生动手操作环节，渗透一种重要的数学思想 —— 转化，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题，从而推及到圆的面积能不能转化成以前学过的平面图形！如果能，我们可以很容易发现它的计算方法了。让学生迅速回忆，调动原有的知识，为新知识的 “再创造” 做好知识的准备。学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数愈多，拼成的图形就越接近平行四边形。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。

而后，在我的引导下，使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知，把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作，经历公式的推导过程，不但使学生加深对公式的理解，而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力，学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美，品尝到成功的喜悦。

最后的全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。

本节课是基于儿童视角下量感的研究，所谓 “量感” 是指视觉或触觉对各种物体的规模、程度、速度等方面的感觉，即对于物体的大小、多少、长短、粗细、方圆、厚薄、轻重、快慢、松紧等量态的感性认识。我通过这样多形式、多途径地思考、感悟与内化，学生对于体积和体积单位的概念才能建立得更加清晰和牢固，才能更好地发展学生的量感。

《圆的面积（一）》教学设计

教材分析：

圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和挑战性。教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。因此本课的教学应紧紧围绕 “转化” 思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。

与探索圆的周长计算公式类似，探索圆的面积与圆的半径之间的关系。教材考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得到圆的面积计算公式。

教科书采用了 4 个问题，问题 1 用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题 2 是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题 3 是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接近平行四边形；问题 4 是推导圆的面积计算公式。

学情分析：

小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。

一、教学目标：

1．结合实例认识圆的面积，经历探索圆面积的计算公式，从而推导出圆的面积计算公式，并掌握圆的面积计算公式。

2．在探索推导的过程中，感受 “化曲为直” 的思想。

3．发展学生的量感，建立学生平面几何学习的知识框架。感受数学的奥秘，激发学习平面几何的兴趣。

二、教学重难点：

教学重点：会推导圆形的面积公式，理解圆形面积公式的含义，掌握圆形面积公式的计算方法。

教学难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。

三、教学准备：

教具：多媒体课件、面积转化教具。

学具：课本、学习单、圆形卡片等学具。

四、教学过程：

1．情景创设，快速导入：

播放《十四运图标宣传片》片段，让学生在感受圆形美的同时，对圆形留下一个深刻的印象。

师：这么多创意图标，都与什么图形有关系？

预设：圆形。

过渡：它和我们之前学过的图形有什么区别呢？

生：之前学过的是直线图形，而圆是曲线图形。

师：这位同学非常发现不同事物之间的区别。老师为同学们每人都准备了一个十四运的图标，请你们拿出来。

师提问：如果我们想知道这个曲线图形的大小，要怎么办呢？

预设：算出它的面积。

师提问：什么是它的面积？

预设：就是它的大小。

观察课件，引导学生完整表述：圆所占平面的大小，叫做圆的面积。（板书）

过渡：今天就让我们一起来学习《圆的面积（一）》。（板书）

【 设计意图： 在教学过程的伊始借助十四运宣传视频来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面圆面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。】

2、活动探究、小结方法：

组织学生再来摸一次图标的大小，加深学生对面积的认知：这个圆所占平面的大小，就是它的面积。

在学习如何准确计算它的大小以前，我们先来试着估一估。

（1）活动 1：估一估

要求：同桌合作，讨论方法，估一估《活动单》中圆形的面积是多少。

学生活动：

学生汇报：（沙龙模式）

预设：我在圆的里面，画了一个正方形……

引导：你们有没有发现刚刚几位同学汇报的结果，有什么联系？

这样一来，我们就能大概知道圆形面积的一个取值范围了，对吧。可是，如果我们想要准确的知道这个数值，应该怎么办？

预设：把它算出来。

师：怎么算？你的想法是什么？（快速思考、同桌讨论）。

学生汇报。

预设：转化成学过的图形。

师：非常好的方法。具体怎么操作呢？我们先来回忆一下之前学的平行四边形面积是怎么转化的。

播放音频。

师提问：有点思路了吗？

师：同意这几位同学的说法吗？

生：同意。

过渡：这几位善于思考的同学为我们指出了一条 “康庄之路”，那接下来就请同学们一起沿着这条 “康庄之路” 去寻找我们的答案吧。

进入第二个活动环节，动手试一试。

【 设计意图： 从学生熟悉的画内接、外切正方形，数方格开始学习圆面积的计算，有利于学生从整体上把握平面图形面积计算的学习，有利于充分激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识和经验，从而为进一步探索圆的面积公式作好准备。由数方格获得的初步结论对接下来的转化推导相互印证，使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。】

（2）活动 2：试一试

要求：

1. 组内讨论，确定转化方案。

2. 试着把手中的圆形卡纸，转化成我们学过的图形。

3. 完成后，组内交流自己转化的方法。

4. 小组汇报。

预设 1： 4 等份的扇形。

预设 2： 8 等份的扇形。

预设 3： 16 等份的扇形。

生小组 1：

预设：我们小组分别采用了 3 种不同的方案。分别是...

生 1：...

生 2：...

生 3：...

掌声送给他们。

师：我们拼出的图形它是平行四边形吗？

生：不是。

引导：我们知道，圆是由曲线围成的图形，而平行四边形的边是由线段组成的。所以，在这里，我们采用了一种数学史上极为重要的一种转化思想 --- 叫做 “化曲为直”。（板书）

过渡：那接下来，接让我们带着她们的发现，一起去解开圆面积的这一层神秘面纱吧。

【 设计意图： 通过这一环节，渗透一种重要的数学思想 —— 转化，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题，从而推及到圆的面积能不能转化成以前学过的平面图形！如果能，我们可以很容易发现它的计算方法了。让学生迅速回忆，调动原有的知识，为新知识的 “再创造” 做好知识的准备。学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数愈多，拼成的图形就越接近平行四边形。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。】

（3）活动 3：有趣的推导。

组内交流，想一想：拼成的平行四边形的底和高与拼之前的圆有什么联系？

学生交流并汇报。

预设：平行四边形的底相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

请学生上台，用手指出，拼成的平行四边形的底和高分别是拼接之前圆形面积的哪一部分。

师提问：同学们都看清楚了吗？

预设：看清楚了，

师：既然看清楚了，那就请把你的推导过程，写在学习单上。

引导学生汇报小结：

预设：我发现：圆周长的一半相当于平行四边形的底，圆的半径相当于平行四边形的高，根据平行四边形面积公式：

S = 底 × 高可以推出，圆的面积就等于圆周长的一半 × 半径

S 平 = 底 × 高

S 圆 =πr×r

S 圆 =πr²

经过我们班同学的集思广益，终于，圆的面积公式终于被你们推导出来了，那么请认真观察一下这个公式，思考一个问题：圆的面积与圆的什么有关系呢？

生：圆的面积与圆的半径有关。

师提问：也就是说，想要计算某个圆形的面积，只需要知道它的什么就可以了？

预设：知道圆的半径就可以了。

师：你们真的是太厉害，抓住了问题的核心。以后遇见求圆面积的问题，只需要很快的找到圆形的半径，这道题是不是就迎刃而解了。

【 设计意图： 在教师的引导下，使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知，把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作，经历公式的推导过程，不但使学生加深对公式的理解，而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力，学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美，品尝到成功的喜悦。】

4．当堂反馈，小结课堂：

同学们， 通过这节课的活动，你学到了什么呢？谁来和我们分享一下。

预设 1：我学会了利用化曲为直的转化思想，推导出圆形的面积公式。

预设 2：我知道了圆形面积与圆的半径有关系，想要计算圆形的面积，只需要知道圆形的半径就行了。

……

师全课总结：在这节课中，我们通过自主探究、小组合作的方式，利用化曲为直的思想把圆形转化成了平行四边形，利用我们学过的知识来解决新的问题。这样有趣且实用的数学方法，在以后的学习生活中，我们也要善于去利用它帮助我们解决更多的困难。这节课就上到这里，同学们，下课。

【 设计意图： 全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】

《圆的面积（一）》教学设计

教材分析：

圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和挑战性。教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。因此本课的教学应紧紧围绕 “转化” 思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。

与探索圆的周长计算公式类似，探索圆的面积与圆的半径之间的关系。教材考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得到圆的面积计算公式。

教科书采用了 4 个问题，问题 1 用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题 2 是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题 3 是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接近平行四边形；问题 4 是推导圆的面积计算公式。

学情分析：

小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。

一、教学目标：

1．结合实例认识圆的面积，经历探索圆面积的计算公式，从而推导出圆的面积计算公式，并掌握圆的面积计算公式。

2．在探索推导的过程中，感受 “化曲为直” 的思想。

3．发展学生的量感，建立学生平面几何学习的知识框架。感受数学的奥秘，激发学习平面几何的兴趣。

二、教学重难点：

教学重点：会推导圆形的面积公式，理解圆形面积公式的含义，掌握圆形面积公式的计算方法。

教学难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。

三、教学准备：

教具：多媒体课件、面积转化教具。

学具：课本、学习单、圆形卡片等学具。

四、教学过程：

1．情景创设，快速导入：

播放《十四运图标宣传片》片段，让学生在感受圆形美的同时，对圆形留下一个深刻的印象。

师：这么多创意图标，都与什么图形有关系？

预设：圆形。

过渡：它和我们之前学过的图形有什么区别呢？

生：之前学过的是直线图形，而圆是曲线图形。

师：这位同学非常发现不同事物之间的区别。老师为同学们每人都准备了一个十四运的图标，请你们拿出来。

师提问：如果我们想知道这个曲线图形的大小，要怎么办呢？

预设：算出它的面积。

师提问：什么是它的面积？

预设：就是它的大小。

观察课件，引导学生完整表述： 圆所占平面的大小，叫做圆的面积。（板书）

过渡：今天就让我们一起来学习《圆的面积（一）》。（板书）

【 设计意图： 在教学过程的伊始借助十四运宣传视频来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面圆面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。】

2、活动探究、小结方法：

组织学生再来摸一次图标的大小，加深学生对面积的认知：这个圆所占平面的大小，就是它的面积。

在学习如何准确计算它的大小以前，我们先来试着估一估。

（1）活动 1：估一估

要求：同桌合作，讨论方法，估一估《活动单》中圆形的面积是多少。

学生活动：

学生汇报：（沙龙模式）

预设：我在圆的里面，画了一个正方形……

引导：你们有没有发现刚刚几位同学汇报的结果，有什么联系？

这样一来，我们就能大概知道圆形面积的一个取值范围了，对吧。可是，如果我们想要准确的知道这个数值，应该怎么办？

预设：把它算出来。

师：怎么算？你的想法是什么？（快速思考、同桌讨论）。

学生汇报。

预设：转化成学过的图形。

师：非常好的方法。具体怎么操作呢？我们先来回忆一下之前学的平行四边形面积是怎么转化的。

播放音频。

师提问：有点思路了吗？

师：同意这几位同学的说法吗？

生：同意。

过渡：这几位善于思考的同学为我们指出了一条 “康庄之路”，那接下来就请同学们一起沿着这条 “康庄之路” 去寻找我们的答案吧。

进入第二个活动环节，动手试一试。

【 设计意图： 从学生熟悉的画内接、外切正方形，数方格开始学习圆面积的计算，有利于学生从整体上把握平面图形面积计算的学习，有利于充分激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识和经验，从而为进一步探索圆的面积公式作好准备。由数方格获得的初步结论对接下来的转化推导相互印证，使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。】

（2）活动 2：试一试

要求：

1. 组内讨论，确定转化方案。

2. 试着把手中的圆形卡纸，转化成我们学过的图形。

3. 完成后，组内交流自己转化的方法。

4. 小组汇报。

预设 1： 4 等份的扇形。

预设 2： 8 等份的扇形。

预设 3： 16 等份的扇形。

生小组 1：

预设：我们小组分别采用了 3 种不同的方案。分别是...

生 1：...

生 2：...

生 3：...

掌声送给他们。

师：我们拼出的图形它是平行四边形吗？

生：不是。

引导：我们知道，圆是由曲线围成的图形，而平行四边形的边是由线段组成的。所以，在这里，我们采用了一种数学史上极为重要的一种转化思想 --- 叫做 “化曲为直”。（板书）

过渡：那接下来，接让我们带着她们的发现，一起去解开圆面积的这一层神秘面纱吧。

【 设计意图： 通过这一环节，渗透一种重要的数学思想 —— 转化，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题，从而推及到圆的面积能不能转化成以前学过的平面图形！如果能，我们可以很容易发现它的计算方法了。让学生迅速回忆，调动原有的知识，为新知识的 “再创造” 做好知识的准备。学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数愈多，拼成的图形就越接近平行四边形。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。】

（3）活动 3：有趣的推导。

组内交流，想一想：拼成的平行四边形的底和高与拼之前的圆有什么联系？

学生交流并汇报。

预设：平行四边形的底相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

请学生上台，用手指出，拼成的平行四边形的底和高分别是拼接之前圆形面积的哪一部分。

师提问：同学们都看清楚了吗？

预设：看清楚了，

师：既然看清楚了，那就请把你的推导过程，写在学习单上。

引导学生汇报小结：

预设：我发现：圆周长的一半相当于平行四边形的底，圆的半径相当于平行四边形的高，根据平行四边形面积公式：

S = 底 × 高可以推出，圆的面积就等于圆周长的一半 × 半径

S 平 = 底 × 高

S 圆 =πr×r

S 圆 =πr²

经过我们班同学的集思广益，终于，圆的面积公式终于被你们推导出来了，那么请认真观察一下这个公式，思考一个问题：圆的面积与圆的什么有关系呢？

生：圆的面积与圆的半径有关。

师提问：也就是说，想要计算某个圆形的面积，只需要知道它的什么就可以了？

预设：知道圆的半径就可以了。

师：你们真的是太厉害，抓住了问题的核心。以后遇见求圆面积的问题，只需要很快的找到圆形的半径，这道题是不是就迎刃而解了。

【 设计意图： 在教师的引导下，使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知，把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作，经历公式的推导过程，不但使学生加深对公式的理解，而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力，学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美，品尝到成功的喜悦。】

4．当堂反馈，小结课堂：

同学们， 通过这节课的活动，你学到了什么呢？谁来和我们分享一下。

预设 1：我学会了利用化曲为直的转化思想，推导出圆形的面积公式。

预设 2：我知道了圆形面积与圆的半径有关系，想要计算圆形的面积，只需要知道圆形的半径就行了。

……

师全课总结：在这节课中，我们通过自主探究、小组合作的方式，利用化曲为直的思想把圆形转化成了平行四边形，利用我们学过的知识来解决新的问题。这样有趣且实用的数学方法，在以后的学习生活中，我们也要善于去利用它帮助我们解决更多的困难。这节课就上到这里，同学们，下课。

【 设计意图： 全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】

《圆的面积（一）》教学设计

教材分析：

圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和挑战性。教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。因此本课的教学应紧紧围绕 “转化” 思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。

与探索圆的周长计算公式类似，探索圆的面积与圆的半径之间的关系。教材考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得到圆的面积计算公式。

教科书采用了 4 个问题，问题 1 用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题 2 是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题 3 是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接近平行四边形；问题 4 是推导圆的面积计算公式。

学情分析：

小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。

一、教学目标：

1．结合实例认识圆的面积，经历探索圆面积的计算公式，从而推导出圆的面积计算公式，并掌握圆的面积计算公式。

2．在探索推导的过程中，感受 “化曲为直” 的思想。

3．发展学生的量感，建立学生平面几何学习的知识框架。感受数学的奥秘，激发学习平面几何的兴趣。

二、教学重难点：

教学重点：会推导圆形的面积公式，理解圆形面积公式的含义，掌握圆形面积公式的计算方法。

教学难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。

三、教学准备：

教具：多媒体课件、面积转化教具。

学具：课本、学习单、圆形卡片等学具。

四、教学过程：

1．情景创设，快速导入：

播放《十四运图标宣传片》片段，让学生在感受圆形美的同时，对圆形留下一个深刻的印象。

师：这么多创意图标，都与什么图形有关系？

预设：圆形。

过渡：它和我们之前学过的图形有什么区别呢？

生：之前学过的是直线图形，而圆是曲线图形。

师：这位同学非常发现不同事物之间的区别。老师为同学们每人都准备了一个十四运的图标，请你们拿出来。

师提问：如果我们想知道这个曲线图形的大小，要怎么办呢？

预设：算出它的面积。

师提问：什么是它的面积？

预设：就是它的大小。

观察课件，引导学生完整表述： 圆所占平面的大小，叫做圆的面积。（板书）

过渡：今天就让我们一起来学习《圆的面积（一）》。（板书）

【 设计意图： 在教学过程的伊始借助十四运宣传视频来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面圆面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。】

2、活动探究、小结方法：

组织学生再来摸一次图标的大小，加深学生对面积的认知：这个圆所占平面的大小，就是它的面积。

在学习如何准确计算它的大小以前，我们先来试着估一估。

（1）活动 1：估一估

要求：同桌合作，讨论方法，估一估《活动单》中圆形的面积是多少。

学生活动：

学生汇报：（沙龙模式）

生 1：我是在圆的里面，画了一个正方形，用尺子量，算出正方形的面积是多少，就能大概知道圆形的面积是多少。

生 2：我补充。我和他差不多。但，我是在圆的外面画了一个正方形，算出这个正方形的面积，也能大概知道圆形的面积是多少。

生 3：我补充。我是利用老师发的测量纸，把它印在圆形的上面，通过数格子的方法，数出来的。大概是 9 个格子。

生 4：我有不同答案，我数的是 10 个格子。

……

引导：你们有没有发现刚刚几位同学汇报的结果，有什么联系？

提示：如果给他们几种结果排个序，应该怎么排？

生 5：外面的正方形最大，下来是圆形，里面的正方形最小。

小结：假如把里面的面积看做 S1，外面的面积看做 S2，那么圆形的面积一定在（生补充：S1 和 S2）之间。

这样一来，我们就能大概知道圆形面积的一个取值范围了，对吧。可是，如果我们想要准确的知道这个数值，应该怎么办？

生 6：把它算出来。

师：怎么算？你的想法是什么？（快速思考、同桌讨论）。

学生汇报。

生 7：因为曲线图形的面积计算没学过，所以，可以用转化的方法，把它转化成学过的图形，再去计算。

师：非常好的方法。具体怎么操作呢？我们先来回忆一下之前学的平行四边形面积是怎么转化的。

播放音频。

师提问：有点思路了吗？

生 8：我想把圆形剪成小正方形然后，拼成一个大的长方形。

生 9：我不同意，因为圆形是一个曲线图形，所以它无法剪成同样的小正方形。我觉得，可以试着把圆形剪成多个相等的小扇形，把小扇形看作近似的小三角形，最后把它们组合成我们认识的图形，应该就可以了。

生 10：我补充，剪的时候应该沿着半径剪，不然剪出来的小扇形就不一样大了。

师：同意这几位同学的说法吗？

生：同意。

过渡：这几位聪明的同学给我们指出了一条 “康庄之路”，那接下来就请同学们一起沿着这条 “康庄之路” 去寻找我们的答案吧。

进入第二个活动环节，动手试一试。

【 设计意图： 从学生熟悉的画内接、外切正方形，数方格开始学习圆面积的计算，有利于学生从整体上把握平面图形面积计算的学习，有利于充分激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识和经验，从而为进一步探索圆的面积公式作好准备。由数方格获得的初步结论对接下来的转化推导相互印证，使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。】

（2）活动 2：试一试

要求：

1. 组内讨论，确定转化方案。

2. 试着把手中的圆形卡纸，转化成我们学过的图形。

3. 完成后，组内交流自己转化的方法。

4. 小组汇报。

预设 1： 4 等份的扇形。

预设 2： 8 等份的扇形。

预设 3： 16 等份的扇形。

生小组 1：

代表：我们小组分别采用了 3 种不同的方案。分别是把圆形 4 等份、8 等份和 16 等份。

生 1：我把圆 4 等份，发现拼出的图形不太像我们学过的图形。

生 2：于是我把圆 8 等份，拼出来图形有点像我们学过的平行四边形。

生 3：我把圆 16 等份，发现拼出来的图形很接近我们学过的平行四边形。

代表：我们发现，圆等分的份数越多，拼出的图形越像平行四边形。

掌声送给他们。

我补充：我们小组采用的方法和他们类似，但我们小组有另一个发现。那就是：不管圆形等份的分数有多少，它的面积大小始终没有发生变化。

师：他补充的太精彩了，而且也正是我们转化思想推导圆面积的核心。因此，我们只需要算出这个近似平行四边形的面积，也就算出的圆形的面积，同意吗？

生：同意。

师：只不过，这里有点小小的问题。那就是，我们拼出的图形确实很像平行四边形，但，它是平行四边形吗？

生：不是。

引导：我们知道，圆是由曲线围成的图形，而平行四边形的边是由线段组成的。所以，在这里，我们采用了一种数学史上极为重要的一种转化思想 --- 叫做 “化曲为直”。（板书）

过渡：那接下来，让我们进入本节课最重要的一个环节，一起来推导一下圆形的面积公式吧。

【 设计意图： 通过这一环节，渗透一种重要的数学思想 —— 转化，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题，从而推及到圆的面积能不能转化成以前学过的平面图形！如果能，我们可以很容易发现它的计算方法了。让学生迅速回忆，调动原有的知识，为新知识的 “再创造” 做好知识的准备。学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数愈多，拼成的图形就越接近平行四边形。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。】

（3）活动 3：有趣的推导。

组内交流，想一想：拼成的平行四边形的底和高与拼之前的圆有什么联系？

学生交流并汇报。

预设：平行四边形的底相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。

请学生上台，用手指出，拼成的平行四边形的底和高分别是拼接之前圆形面积的哪一部分。

师提问：同学们都看清楚了吗？

预设：看清楚了，

师：既然看清楚了，那就请把你的推导过程，写在学习单上。

引导学生汇报小结：

生 1：我发现：圆周长的一半相当于平行四边形的底，圆的半径相当于平行四边形的高，根据平行四边形面积公式：

S = 底 × 高可以推出，圆的面积就等于圆周长的一半 × 半径

S 平 = 底 × 高

S 圆 =πr×r

S 圆 =πr²

经过我们班同学的集思广益，终于，圆的面积公式终于被你们推导出来了，那么请认真观察一下这个公式，思考一个问题：圆的面积与圆的什么有关系呢？

生：圆的面积与圆的半径有关。

师提问：也就是说，想要计算某个圆形的面积，只需要知道它的什么就可以了？

预设：知道圆的半径就可以了。

师：你们真的是太厉害，抓住了问题的核心。以后遇见求圆面积的问题，只需要很快的找到圆形的半径，这道题是不是就迎刃而解了。

【 设计意图： 在教师的引导下，使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知，把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作，经历公式的推导过程，不但使学生加深对公式的理解，而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力，学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美，品尝到成功的喜悦。】

4．当堂反馈，小结课堂：

同学们， 通过这节课的活动，你学到了什么呢？谁来和我们分享一下。

预设 1：我学会了利用化曲为直的转化思想，推导出圆形的面积公式。

预设 2：我知道了圆形面积与圆的半径有关系，想要计算圆形的面积，只需要知道圆形的半径就行了。

……

师全课总结：在这节课中，我们通过自主探究、小组合作的方式，利用化曲为直的思想把圆形转化成了平行四边形，利用我们学过的知识来解决新的问题。这样有趣且实用的数学方法，在以后的学习生活中，我们也要善于去利用它帮助我们解决更多的困难。这节课就上到这里，同学们，下课。

【 设计意图： 全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】

《圆的面积（二）》教学反思

圆是学生第一次接触的曲线围成的图形，在探索圆的面积计算公式时，教师渗透 “化曲为直” 的思想让学生体会，这也就需要教师在课堂教学活动中优化教学方法以激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，激发兴趣。

我在教学圆的面积公式推导前，我先引导学生回忆我们研究一个图形的面积时，用到过哪些好的方法？学生回答将新的图形转化成为已经学过的图形，并举例平行四边形的面积公式的推导办法。我紧接着问我们能不能从中受到启发，也来将圆转化成我们学过的图形？开放性的问题，促发学生从自己已有的认知结构中检索有关的知识，去多方面的解决新问题。以旧引新，促进学生知识的系统化，扫除在新知中将要遇到的思维障碍，突出新知的生长点，将学生带入有利于学习新知识的 “邻近发展区”。最后，我让学生以小组为单位讨论怎么动手，并动手操作，在分析推导的过程中，引导学生仔细观察拼成的图形，提出问题：我们把圆转化成学过的长方形、平行四边形，形状变了，什么没有变呢？ 

要想求出圆的面积，只要求出长方形提出问题：我们把圆转化成学过的长方形、平行四边形，形状变了，什么没有变呢？要想求出圆的面积，只要求出长方形、平行四边形的面积就可以了。长方形、平行四边形的面积怎么求？这。里的长和宽又相当于圆的什么？继而提出问题：我们把圆转化成学过的长方形、平行四边形，形状变了，什么没有变（学生答出面积不变) 看来要想求出圆的面积，只要求出长方形、平行四边形的面积就可以了。长方形、平行四边形的面积怎么求？这里的长和宽又相当于圆的什么？

在操作活动中，学生的思维以形象思维为主，学生的思维过度到以抽象思维为主，让学生感性的认识上升到理性的高度，有效地推导出圆面积的计算公式，学生始终参与到如何把圆转化为长方形、平行四边形的探索活动中，思维的能动性和创造性得到充分激发，探索能力、分析问题和解决问题的能力得到了提高。

《圆的面积（一）》一稿教学反思

圆是最常见的图形之一，它是最简单的曲线图形。在本节课的教学中，我们融入以生为本的教学理念，注重在理解圆的面积的度量意义的本质上发展学生的量感，通过估一估、数一数、算一算、有趣的猜想等活动，让学生利用多元的素材从不同的维度去理解圆的面积意义，推导出圆面积的计算公式，让学生主动参与，动手操作，向学生架起一座由 “学会” 到 “会学” 的桥梁。

通过设置有趣的情境，让学生通过摸圆形卡纸，引导学生感受什么是圆的面积，理解所谓圆的面积实际上就是圆所占平面的大小。

在理解圆的面积的意义之后，让学生估一估圆形卡纸的面积，对圆的面积的大小有一个定量的认识，落实估测这个环节能够使学生找准量感的生长点，进而促进学生量感的生长，所以估测这个环节能够更好的促进学生对量的灵活应用。

紧接着在估测的基础上，利用方格纸数一数，数的过程中学生通过操作发现有不完整的方格，所以无法得到准确的圆形卡纸的面积。那如何解决这个问题呢？利用已有的平面图形面积计算的知识经验为研究圆的面积计算做好铺垫，自然的引导学生发现 “转化” 是探究新的数学知识，解决数学问题的好方法。

学生在已有知识经验的基础之上，大胆猜测，确定 “转化” 的策略，分小组亲自动手拿出准备好的原型卡片，将其平均分成若干份，然后拼成平行四边形或长方形。剪拼，虽然慢，但给足了学生自主学习的空间，学生拼好后观察对比，就会发现如果把一个圆形平均分成的份数越多，这个图形也就越接近平行四边形或长方形，这个环节的设计也是 “极限” 思想渗透的最好体现。

最后再次通过联系已有知识，学生自主尝试推导出圆的面积计算公式，然后学以致用，学会利用公式求量的大小。学生的思维在交流中碰撞，在碰撞中发散，在想象中得以提升。学生思维的能动性和创造性得到充分激发，探索能力、分析问题和解决问题的能力得到了提高，同时使学生量感的培养真正的有抓手。

本节课的教学中始终将以生为本的理念贯穿始终，以活动为学生认识的基础，通过动手操作，自主探究，小组活动等教学方法把抽象思维物化为动作形象思维，让学生的多种感官参与，激活学生原有的知识经验，让学生感受量，亲历量的形成过程，学会利用公式计算量的大小，促使学生的量感持续生长。

圆的面积一》教学设计

教材分析：

圆的面积是在学生学习了圆的周长的基础上进行学习的。与探索圆的周长计算公式类似，探索圆的面积与圆的半径之间的关系。教材考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得到圆的面积计算公式。

教科书采用了 4 个问题，问题 1 用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题 2 是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题 3 是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接近平行四边形；问题 4 是推到圆的面积计算公式。

一、教学目标：

1．结合实例认识圆的面积，经历探索圆面积的计算公式，从而推导出圆的面积计算公式，并掌握圆的面积计算公式。

2．在探索推导的过程中，感受 “化曲为直” 的思想。

3．发展学生的量感，建立学生平面几何学习的知识框架。感受数学的奥秘，激发学习平面几何的兴趣。

二、教学重难点：

教学重点：会推到圆形的面积公式，理解圆形面积公式的含义，掌握圆形面积公式的计算方法。

教学难点：利用圆形面积的计算公式解决生活中的问题。

三、教学准备：

多媒体课件、方形卡纸，圆形卡纸，教具。

四、教学过程：

1．情景创设，快速导入：

播放《西游记》片段（孙悟空画圆圈保护师傅），让学生直观感受圆形留下的痕迹是一条封闭的曲线。

师提问：孙悟空在地上画的这个圈是什么图形？

预设：圆形。

师提问：孙悟空画的这一圈的长度，我们称之为什么？

预设：圆的周长。

过渡：我们把这个圆形从视频中取出来 (出示教具，圆形卡片)，请同学们摸一摸，感受一下，围城圆的曲线，就是圆的周长。

2、活动探究、小结方法：

请同学们思考一下，按照我们以前学习的经验。你猜猜，圆的面积可能是什么？

预设：图形所占平面的大小，就是圆的面积。

观察课件效果，引导学生表述：圆所占平面的大小，就是圆的面积。

师组织学生摸一摸圆形卡片的面积，亲身感受，加深理解圆的面积：就是圆所占平面的大小。

（1）活动 1：估一估

要求：同桌合作，讨论方法，估一估圆形卡纸的面积是多少。

预设 1：在圆的外面画一个正方形，算出正方形的面积就能近似的知道圆形面积。

师介绍：像这样的正方形，我们称它为圆的外切正方形。

预设 2：在圆的内部画一个正方形，算出正方形的面积就能近似的知道圆形面积。

师介绍：像这样的正方形，我们称它为圆的内接正方形。

小结：圆形的面积在外切正方形和内接正方形之间。

（2）活动 2：数一数

利用手中的方格纸，数一数圆形卡片面积的大小。

小组合作，利用割补、平移的方法，数出圆形面积大概是多少。

学生汇报数的方法，以及数的弊端。

预设 1：无法得到准确数值。

预设 2：过程麻烦，结果不精确。

……

师提出问题：既然如此，如果需要准确计算圆形的面积，应该怎么办呢？

生生交流，确定 “转化” 的策略。

引导学生回忆，平行四边形、三角形、梯形面积推导的方式。

（课件展示，学生上台利用课件进行转化演示） 演示公式推导过程（视频）

预设 1：通过割补、平移、转化的方法，把平行四边形转化成长方形。

预设 2：利用两个完全相同的三角形，通过旋转、拼接、转化的思想，把三角形转化成平行四边形，

预设 3: 利用两个完全相同的梯形，通过旋转、拼接、转化的思想，把梯形转化成平行四边形。

师：试着猜想，圆形转化的方法。

同桌交流，你的猜想是什么？

预设：可以把圆形转化成正方形、长方形、平行四边形等。

指名学生说一说，他的想法。全班交流讨论，活动验证猜想。

活动 3：小组合作，利用圆形卡纸尝试转化。

思考：怎么把圆的面积转化为学过的图形面积？

（多次尝试并邀请学生说一说自己的想法）

预设 1：把圆形沿半径剪成成 4 等份的扇形。

预设 2：把圆形沿半径剪成成 8 等份的扇形。

预设 3：把圆形沿半径剪成成 16 等份的扇形。

教师示范裁剪的方法：对折以后，从圆心开始沿着半径剪，剪的过程中不要把圆形剪断。

…… 再把扇形交错拼成一个近似的平行四边形。（课件展示）

引导：圆是由曲线围成的图形，而平行四边形的边是线段组成的，所以在这里，我们采用了一种转化的思想 --- 叫做 “化曲为直”“化圆为方”。（板书）

小结：圆等分的份数越多，拼成的圆形就越接近（ ）？

组织学生动手摸一摸拼成的平行四边形的四条边，摸一摸拼成平行四边形的大小。

提出问题：经过拼接之后的圆，形状发生了改变，但是，它所占平面的大小发生变化了吗？

预设：大小没有发生变化。

师：也就是圆的面积没有发生变化，对吗？

活动 4：有趣的猜想。

同桌交流，共同猜想：拼成的平行四边形的底和高原来的圆之间有什么联系？

预设：平行四边形的底相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径。

学生尝试推导圆面积计算公式。

师引导学生汇报小结：因为圆周长的一半相当于平行四边形的底，圆的半径相当于平行四边形的宽，根据平行四边形面积公式：s = 底 × 高。所以，圆的面积就等于圆周长的一半 × 半径 → S=πr²

平行四边形的面积 = 底 × 高

圆形的面积 =πr×r s=πr²

思考：圆的面积与圆的什么有关系？

组内学生根据推导转化的过程，以及得到的面积公式进行讨论，并得到结论：圆的面积大小与圆的半径有关。

师引导：如果想要计算圆形的面积，我们只需要知道什么条件就可以了？

预设：圆的半径。

3．量感生活，学以致用：

关于十四运图标的例题

出示十四运的图标：你能用今天所学到的知识计算出这个十四运图标面积是多少吗？

巡视注意提醒学生，注意公式以及单位的使用是否正确。

个别学生汇报。

4．当堂反馈，小结课堂：

同学们， 这节课我们学到了什么呢？

预设 1：利用化曲为直、化圆为方的转化思想，推到出了圆形的面积公式。

预设 2：知道了圆形面积与圆的半径有关系，想要计算圆形的面积，只需要知道圆形的半径即可。

……

师：同学们，在这节课中，我们通过活动的方式，把圆形转化成了平行四边形，利用我们已学过的知识来解决新的问题。这样有趣的数学方法，在以后的学习中我们也要善于去利用它，帮助我们解决更多的困难。这节课就上到这里，同学们，下课。