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推导圆的面积公式的关键所在，就是拼成的平行四边形与原来的圆之间的关系，通过想象把圆等分成无穷多个扇形，那么由这无穷多个扇形所拼成的 “曲边” 就化曲为直了。因此，所拼成的平行四边形的底相当于圆的半周长，高相当于圆的半径，进而得到圆面积的计算公式：圆的面积 = 圆周率 x 半径的平方，即 S=πr2。

“感”，指在体验中感受，让学生运用多种感官共同参与，通过借助外界信息对其感官的刺激，获得对体积和体积单位的直接感觉，这是发展学生量感的必经途径。

“思” 指思考与内化。量感的建立，必须在多种感官实践体验的基础上通过思维的参与，形成表象，总结提升经验，从而建立起相对比较抽象的量感。在本课中，梁老师重视学生对新知的内化以及在学生体验后进行的一系列追问，并设置形式多样的思考环节。

《圆的面积（一）》教学设计三稿 教材分析： 圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和挑战性。教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。因此本课的教学应紧紧围绕 “转化” 思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。 与探索圆的周长计算公式类似，探索圆的面积与圆的半径之间的关系。教材考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得到圆的面积计算公式。 教科书采用了 4 个问题，问题 1 用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题 2 是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题 3 是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接近平行四边形；问题 4 是推导圆的面积计算公式。 学情分析： 小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。 一、教学目标： 1．结合实例认识圆的面积，经历探索圆面积的计算公式，从而推导出圆的面积计算公式，并掌握圆的面积计算公式。 2．在探索推导的过程中，感受 “化曲为直” 的思想。 3．发展学生的量感，建立学生平面几何学习的知识框架。感受数学的奥秘，激发学习平面几何的兴趣。 二、教学重难点： 教学重点：会推导圆形的面积公式，理解圆形面积公式的含义，掌握圆形面积公式的计算方法。 教学难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。 三、教学准备： 教具：多媒体课件、面积转化教具。 学具：课本、学习单、圆形卡片等学具。 四、教学过程： 1．情景创设，快速导入： 播放《十四运图标宣传片》片段，让学生在感受圆形美的同时，对圆形留下一个深刻的印象。 师：这么多创意图标，都与什么图形有关系？ 预设：圆形。 过渡：它和我们之前学过的图形有什么区别呢？ 生：之前学过的是直线图形，而圆是曲线图形。 师：这位同学非常发现不同事物之间的区别。老师为同学们每人都准备了一个十四运的图标，请你们拿出来。 师提问：如果我们想知道这个曲线图形的大小，要怎么办呢？ 预设：算出它的面积。 师提问：什么是它的面积？ 预设：就是它的大小。 观察课件，引导学生完整表述：圆所占平面的大小，叫做圆的面积。（板书） 过渡：今天就让我们一起来学习《圆的面积（一）》。（板书） 【设计意图：在教学过程的伊始借助十四运宣传视频来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面圆面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。】 2、活动探究、小结方法： 组织学生再来摸一次图标的大小，加深学生对面积的认知：这个圆所占平面的大小，就是它的面积。 在学习如何准确计算它的大小以前，我们先来试着估一估。 （1）活动 1：估一估 要求：同桌合作，讨论方法，估一估《活动单》中圆形的面积是多少。 学生活动： 学生汇报：（沙龙模式） 生 1：我是在圆的里面，画了一个正方形，用尺子量，算出正方形的面积是多少，就能大概知道圆形的面积是多少。 生 2：我补充。我和他差不多。但，我是在圆的外面画了一个正方形，算出这个正方形的面积，也能大概知道圆形的面积是多少。 生 3：我补充。我是利用老师发的测量纸，把它印在圆形的上面，通过数格子的方法，数出来的。大概是 9 个格子。 生 4：我有不同答案，我数的是 10 个格子。 …… 引导：你们有没有发现刚刚几位同学汇报的结果，有什么联系？ 提示：如果给他们几种结果排个序，应该怎么排？ 生 5：外面的正方形最大，下来是圆形，里面的正方形最小。 小结：假如把里面的面积看做 S1，外面的面积看做 S2，那么圆形的面积一定在（生补充：S1 和 S2）之间。 这样一来，我们就能大概知道圆形面积的一个取值范围了，对吧。可是，如果我们想要准确的知道这个数值，应该怎么办？ 生 6：把它算出来。 师：怎么算？你的想法是什么？（快速思考、同桌讨论）。 学生汇报。 生 7：因为曲线图形的面积计算没学过，所以，可以用转化的方法，把它转化成学过的图形，再去计算。 师：非常好的方法。具体怎么操作呢？我们先来回忆一下之前学的平行四边形面积是怎么转化的。 播放音频。 师提问：有点思路了吗？ 生 8：我想把圆形剪成小正方形然后，拼成一个大的长方形。 生 9：我不同意，因为圆形是一个曲线图形，所以它无法剪成同样的小正方形。我觉得，可以试着把圆形剪成多个相等的小扇形，把小扇形看作近似的小三角形，最后把它们组合成我们认识的图形，应该就可以了。 生 10：我补充，剪的时候应该沿着半径剪，不然剪出来的小扇形就不一样大了。 师：同意这几位同学的说法吗？ 生：同意。 过渡：这几位聪明的同学给我们指出了一条 “康庄之路”，那接下来就请同学们一起沿着这条 “康庄之路” 去寻找我们的答案吧。 进入第二个活动环节，动手试一试。 【设计意图：从学生熟悉的画内接、外切正方形，数方格开始学习圆面积的计算，有利于学生从整体上把握平面图形面积计算的学习，有利于充分激活学生已有的关于平面图形面积计算的知识和经验，从而为进一步探索圆的面积公式作好准备。由数方格获得的初步结论对接下来的转化推导相互印证，使学生充分感受圆面积公式推导过程的合理性。】 （2）活动 2：试一试 要求： 1. 组内讨论，确定转化方案。 2. 试着把手中的圆形卡纸，转化成我们学过的图形。 3. 完成后，组内交流自己转化的方法。 4. 小组汇报。 预设 1： 4 等份的扇形。 预设 2： 8 等份的扇形。 预设 3： 16 等份的扇形。 生小组 1： 代表：我们小组分别采用了 3 种不同的方案。分别是把圆形 4 等份、8 等份和 16 等份。 生 1：我把圆 4 等份，发现拼出的图形不太像我们学过的图形。 生 2：于是我把圆 8 等份，拼出来图形有点像我们学过的平行四边形。 生 3：我把圆 16 等份，发现拼出来的图形很接近我们学过的平行四边形。 代表：我们发现，圆等分的份数越多，拼出的图形越像平行四边形。 掌声送给他们。 我补充：我们小组采用的方法和他们类似，但我们小组有另一个发现。那就是：不管圆形等份的分数有多少，它的面积大小始终没有发生变化。 师：他补充的太精彩了，而且也正是我们转化思想推导圆面积的核心。因此，我们只需要算出这个近似平行四边形的面积，也就算出的圆形的面积，同意吗？ 生：同意。 师：只不过，这里有点小小的问题。那就是，我们拼出的图形确实很像平行四边形，但，它是平行四边形吗？ 生：不是。 引导：我们知道，圆是由曲线围成的图形，而平行四边形的边是由线段组成的。所以，在这里，我们采用了一种数学史上极为重要的一种转化思想 --- 叫做 “化曲为直”。（板书） 过渡：那接下来，让我们进入本节课最重要的一个环节，一起来推导一下圆形的面积公式吧。 【设计意图：通过这一环节，渗透一种重要的数学思想 —— 转化，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题，从而推及到圆的面积能不能转化成以前学过的平面图形！如果能，我们可以很容易发现它的计算方法了。让学生迅速回忆，调动原有的知识，为新知识的 “再创造” 做好知识的准备。学生展开想象的翅膀，从而得出等分的份数愈多，拼成的图形就越接近平行四边形。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。】 （3）活动 3：有趣的推导。 组内交流，想一想：拼成的平行四边形的底和高与拼之前的圆有什么联系？ 学生交流并汇报。 预设：平行四边形的底相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 请学生上台，用手指出，拼成的平行四边形的底和高分别是拼接之前圆形面积的哪一部分。 师提问：同学们都看清楚了吗？ 预设：看清楚了， 师：既然看清楚了，那就请把你的推导过程，写在学习单上。 引导学生汇报小结： 生 1：我发现：圆周长的一半相当于平行四边形的底，圆的半径相当于平行四边形的高，根据平行四边形面积公式： S = 底 × 高可以推出，圆的面积就等于圆周长的一半 × 半径

S 平 = 底 × 高

S 圆 =πr×r
S 圆 =πr2 经过我们班同学的集思广益，终于，圆的面积公式终于被你们推导出来了，那么请认真观察一下这个公式，思考一个问题：圆的面积与圆的什么有关系呢？ 生：圆的面积与圆的半径有关。 师提问：也就是说，想要计算某个圆形的面积，只需要知道它的什么就可以了？ 预设：知道圆的半径就可以了。 师：你们真的是太厉害，抓住了问题的核心。以后遇见求圆面积的问题，只需要很快的找到圆形的半径，这道题是不是就迎刃而解了。 【设计意图：在教师的引导下，使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知，把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作，经历公式的推导过程，不但使学生加深对公式的理解，而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力，学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美，品尝到成功的喜悦。】 4．当堂反馈，小结课堂： 同学们， 通过这节课的活动，你学到了什么呢？谁来和我们分享一下。 预设 1：我学会了利用化曲为直的转化思想，推导出圆形的面积公式。 预设 2：我知道了圆形面积与圆的半径有关系，想要计算圆形的面积，只需要知道圆形的半径就行了。 …… 师全课总结：在这节课中，我们通过自主探究、小组合作的方式，利用化曲为直的思想把圆形转化成了平行四边形，利用我们学过的知识来解决新的问题。这样有趣且实用的数学方法，在以后的学习生活中，我们也要善于去利用它帮助我们解决更多的困难。这节课就上到这里，同学们，下课。 【设计意图：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】

在学生推导圆的面积计算公式前，梁老师先通过引导学生回忆平行四边形、三角形的面积计算公式推导方法，实现知识迁移，然后引导学生动手操作把圆剪拼成近似的平行四边形或长方形，进而利用平行四边形面积计算公式推导出圆的面积计算公式，构建新知识。从这个层面来看，梁老师是一个很好的组织者。

学生主动参与学习活动，不但能使学生主动获取知识，促进知识的意义建构，更能培养学生的参与意识和创新精神。梁老师在整个教学活动中，始终扮演着组织者，引导者和合作者的角色。从复习着手一步步引导学生探究得出圆的面积公式并运用公式解决问题。

梁老师精心设计，不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念来说，进入了一个新的领域。因此，通过对圆有关知识学习，不仅加深学生对周围事物的理解，激发学习数学的兴趣，也为以后学习圆柱，圆锥打下基础。

圆是小学阶段最后的一个平面图形，学生从学习直线图形的认识，到学习曲线图形的认识，不论是学习内容的本身，还是研究问题的方法，都有所变化，是学习上的一次飞跃。通过对圆的研究，使学生认识到研究曲线图形的基本方法，同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。

采用多种方法，加强运动观点。教材编写应提供多种素材和研究方法，通过图形的运动，观察圆面积在转化过程中变与不变的关系，从特例的研究发现圆面积计算方法的一般规律， 通过数学归纳法，总结出面积公式。

借助几何直观，发展推理能力。直观，通常没有经过严格的逻辑推理，却能把握对象的全貌和本质。因此，“圆的面积” 教材编写及教学要重视借助图形直观研究问题，通过对圆面积与内接、外切正方形面积的猜想与估计，对圆面积与其他直线图形的面积关系直观思考和分析，把复杂的数学问题变得简明、形象，引导学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生的概括推理能力。

借助设计例题来培养学生的空间观念，例如：估一估半径是 1 米的圆有多大，大约能占几名同学？半径是 10 米的圆有多大，大约有几个教室那么大等。

学生学习数学的目的不仅仅是获得知识与技能，更重要的是获得自己去探索发现的意识与能力，教学中我们要善于运用信息技术，通过观察、实验、探究、猜想、推理、交流等多种方式开展数学活动，创造性地解决问题。

课标指出:“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式。” 同时，我们认为使用计算机辅助教学《圆的面积》有利于渗透 “边数越分越细” 的无限递增过程，渗透极限思想。