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守得云开见月明

                      ——《什么是周长》案例研修总结

湖北省宜昌市伍家岗区 周璇名师工作室

宋代禅宗大师青原行思提出参禅的三重境界：“一、参禅之初，看山是山，看水是水；二、禅有悟时，看山不是山，看水不是水；三、大彻大悟时，看山仍是山，看水还是水。” 山水依然，但因随悟者 “有我”、“无我”“忘我” 之进步。对客观世界的认识也随之而改变。本次参加新世纪小学数学组织的发展学生量感的学习方式探索展示大赛，我们团队也经历了这样几个阶段，所幸有前辈引领、有同伴互助，我们终于守得云开见月明，找到了我们的最佳方法。

一：山重水复，看山是山，看水是水

研修之初，我们的目光聚焦在《什么是周长》这一课题之上，在教学设计时，我们重点围绕什么是周长进行了抽丝剥茧般的设计，希望在细致周到充分的活动中让学生感知周长的定义并会辨析是不是周长以及不同图形周长的特点。在这次的教学设计中我们首先设计了说一说、描一描、找一找的活动，让学生感知图形一周的边线，然后设计了两个辨析活动帮助学生认识到 “封闭图形才有周长” 和 “不规则图形也有周长” 这两个周长的特点，再次设计了通过想、量、说、算得到周长，最后通过一个练习来巩固对周长的认识。我们的初衷是通过这一系列的活动让学生对周长有非常明晰的认识。可是通过学习和研讨我们发现，我们过分注重了对 “周长就是一周的长度” 这一概念的强调，但是，记住这句话就是理解了周长吗？显然不是，我们忽视了学生已有的认知基础和对周长深层次的理解。同时这节课也没有关注学生量感的培养，我们需要通过这样一节课帮助学生在脑海中形成周长的样子，但是这节课似乎只注重了对知识的讲解，而缺乏将数学知识转化为数学素养的过程。第三是课程容量大，但却没有基于学情，在学生还不甚理解周长时就在灌输周长的特点，这是违背学生的认知规律的，我们的初步尝试，过于浮于表面，需要再次改进。

二：柳暗，看山不是山，看水不是水

经过一段时间的学习和研讨，我们想要在教学中注重对学生量感的培养，可是什么是量感？如何培养学生的量感呢？很多书上提出 “量感” 是 “对量的感受力”，是指 “学生关量的比较、运算和估计等方面的感悟。” 可是，感受力、感悟这种东西怎么在课堂上教出来？这些感悟不应该是来源于生活，在某一时刻的顿悟吗？我们陷入思考，既然我们可以通过比较、运算和估计得来，而且估测是量感的一个重要组成部分，在实际中也用的最为广泛。于是，我们的教学设计中大量融入了估测这一活动。我们设计了将周长从图形中剥离出来的环节，请同学们估计三角形和圆形的周长，再估计树叶形和长方形的周长，最后通过测量和数的方式来求周长，在辩析活动中理解周长。我们的预设是学生能够在剥离的过程中体会周长和面积的不同，在估测等操作中培养学生的量感，在辩析中体会周长的本质。但是在磨课中我们发现，估测图形的周长对于学生而言是有一定的难度的，当我们前期缺乏有效的引导示范和评价标准时，学生在估计时很难做到有依有据，凭空想象反而对量感的培养产生相反的作用。其次，我们的课程依旧没能找准学生的认知水平，在学生已经会的地方下了太大功夫，而忽视了对难点的引导。我们需要进一步的探索。

三：花明，看山仍是山，看水还是水

经历了前期的尝试与讨论，我们越来越清晰的认识到我们需要什么。量感，确实是我们对于事物的感知能力，但是，既然是一种能力，它就是可以培养的，尤其是数学方面的能力，更是如此。我们转换思想，为什么我们不给学生一种像厘米、平方厘米这样的基础单位，让学生一眼就能看出周长是多少呢？我们可不可以教给学生一种通用的方法得到周长呢？我们又有了新的尝试。首先进行前测，了解学生的知识起点，我们发现大多数学生是知道 “周长就是一周的长度” 这一概念的，他们的问题在于对于 “一周” 理解不够明确，同时，对于得到周长的方法不太会。于是，我们就以一周为课堂的出发点，通过跑步的事情，助力学生理解操场的一周。然后还是通过将周长从三角形和圆形中剥离出来，帮助学生更加深刻的认识一周，同时初步接触周长，既然估测对于学生而言是一个难点，那么我们就先教会学生化曲为直的方法，将曲线转化为直线之后进行测量，对周长形成一个初步的印象。再在用手比划和比较两个大小差不多但周长不一样的图形中，培养学生的量感，让学生清楚决定周长大小的是一周边线的长度。然后对两个图形的周长进行测量，这时候，给学生提供工具尺子、毛线、铁丝、方格纸，通过这样的实际测量，让学生感受针对不同的测量对象就要选择合适的测量方法，这里其实是在渗透解决问题的策略，帮助学生建立化曲为直的思想。在这里的测量中，我们提供的一个工具是方格纸，很多学生可能会存在困难，那么就由老师引导理解，其实方格纸只是帮助我们测量周长的一个工具，我们可以利用方格纸，将图形的周长化零为整。最后的估计和辨析活动既是课堂的总结，也是对周长更深刻的理解。同时，我们进行了后测，跟进学生的学习效果。

终于，我们的研修有了进一步的发展，也很庆幸，我们没有中途放弃。我们，在每一次的研修中成长精进收获，在每一次的活动中，改变最大的，也是我们自己。

终稿反思：

经过前面几次的打磨和反思，教学环节已基本定型。针对第二稿的不足之处，我们做了以下调整：

1、估测图形周长时，提供方法作为支点培养学生的量感

在第二次试教时，我们发现学生不知道怎么用手去比划图形一周的长度，模模糊糊的完成了 “估一估” 的活动，所以我们在三稿中给学生提供了 “估” 的脚手架，手把手的教他们通过 “指、想象、比划” 等操作在脑海里面形成量的感觉，实际体验如何将一维的线从二维的面上剥离下来的过程。在估 “周长” 时再次给学生提供自己的一扎、15cm 的直尺、黑板上 30cm 长的线段，为学生的 “估” 提供一个支撑，慢慢的将这些值量化，最后联系生活实际，在已有经验的情况下，感受操场的周长，引导学生在生活中去培养量感。

2、利用前后测，掌握学生对 “周长” 的认知水平

根据学生的学情，制作了前测，根据学生对周长已有的认知水平，以学生的疑惑点为出发点，优化了教学环节。大部分学生都理解 “一周” 的含义，但是把图形放入方格纸中，学生就数格子的多少（其实是图形的面积），所以教学中设计了利用方格纸来找图形的一周，用以区别图形的周长和面积，加深对 “一周” 的理解。同时课后进行后测，检测学生是否理解周长的含义，检测教学设计是否达到教学效果，触及到学生的最近发展区。

3、培养量感的过程中渗透数学方法

在教学设计中，有些实物和图形，如树叶、圆形，无法直接利用直尺测量出来一周的长度，学生先描出它的一周，再选择合适的工具进行测量，在实际测量中，让学生感受针对不同的测量对象需要选择合适的测量方法，感受化曲为直的必要性，在测量中培养学生的量感。

总之，在本节课的教学过程中，我利用指一指、描一描、估一估、量一量、辨一辨等活动引导学生感知了图形的一周，认识和理解了周长的概念，同时也培养学生的量感。

二稿反思：

经过对第一稿的反思和再次打磨，我们认为应该在用多种方式度量周长的过程中培养量感上下功夫，并第二稿做出以下改进：

1、循序渐进认识周长，在辨析中体会周长本质

学生在认识周长时最容易将周长和面积混淆，认为图形大周长就长，忽视周长的本质。所以我们设计了淘气跑步的活动，通过辨析何为 “一周”，先建立封闭图形的一周边线的概念，再通过将周长从图形上剥离下来比较和估测长度，认识到决定周长大小的是图形一周的长度。最后通过辨析哪块图形的周长长，再次引导学生关注线而不是面。

2、多种方式测量周长，在操作中培养长度量感

如何得到图形的周长是多少，是本节课的目标之一。引导学生利用已有的长度认识经验估一估，鼓励学生想象、比划、评价，逐步发展量感。并提供测量工具，小组合作探究如何准确得到周长，学生在操作中对长度的感知进一步得到发展，并掌握化曲为直的思想和方法。

当然，第二稿还有一些不足之处：

首先是在估测图形的周长时，缺乏有效地引导示范和有依据的评价标准，学生在估计时很难做到有依有据，凭空的想象反而会对量感的培养产生相反的作用。可以通过将图形转起来，想象将边线拉直的过程，引导学生进行估计。

其次是没有设计前后测，无法更准确地了解学生对周长的已有认知水平，从而设计贴合学生就近发展区的活动。在第三稿时需要补充完善。

最后是要加强对周长意义的认识，更多地让学生经历摸一摸、指一指、描一描的过程，建立周长是跟图形一周边线有关的表象。

磨课图片：

《什么是周长》教学设计三稿

教学内容 ：北师大版小学数学三年级上册第五单元第 1 课时 “认识周长”

教学目标 ：1、结合具体实物或图形，通过观察、比较等活动感知周长，能正确指出物体表面或简单图形的一周；

2、在围一围、量一量、估一估、算一算等活动中理解周长的概念，了解测量周长的方法，渗透化曲为直的思想，培养学生的量感及空间观念；

3、能与他人合作，测量图形的周长，获得测量周长的活动经验，结合具体情境，感受周长与实际生活的联系。

教学重点 ：认识周长的含义，会正确测量或计算图形的周长。

教学难点 ：理解周长的含义。

教学过程：

一、感知 “一周”

课前测中，我们发现很多同学都提到 “周长” 是一圈的长度或者一周的长度，一圈、一周是什么意思？我们在淘气跑步的事儿中找一找。

（1） 第一天：跑操场里面去了

（2）第二天：没跑完

（3）第三天：沿着操场边线跑完了。

你觉得哪一天跑的才是操场的一周或者说一圈？用手势告诉我

这么多同学都认为第三天是操场的一周，前两天为什么不是呢？（第一个跑里面去了）那你觉得应该在哪里跑呢？（指一指）要沿着操场的边线跑。那这一天是沿着边线跑的呀（没跑完），怎样叫跑完了呢？（指）哦，就是要从那里出发就回到哪里。

（4）小结：所以一周就是从一个点出发沿着边线绕一圈再回到出发点。

【设计意图：通过前测，了解学生认知，根据淘气三次跑步的情况，让学生初步感知一圈两个关键要素，实际体会一圈其实就是一周。】

二、理解 “周长”

（一）指出图形的 “一周”（找学生上台指）

平面图形有没有一周，它们的一周在哪里呢？我这里有一个三角形和一个圆形，谁来指一指

（二）揭示周长意义

①预测：你觉得哪个图形的一周长一些呢？

（三角形的一周长 / 圆形的一周长 / 它们的一周一样长）

这些都只是我们的猜测，那到底谁长一些呢？

②示范操作：我把它们的一周取下来（演示）谁的长一些？这个三角形一周的长度到底是多少厘米呢，估一估。究竟有多长？我们来量一量。这个 30cm 就是三角形的周长。有了 30cm 的感觉，你估计这个圆形的周长是多少厘米呢？我们再量一量。

【设计意图：通过取毛线将抽象的一周从图形上剥离下来，突破这一难点。】

（三）用手比划图形的周长

大家桌面上有图形，你估计这个图形的周长大约是多少厘米？我请一个同学和我合作。先指一指图形的一周，想象指过的地方出现了一条线，把这条线展开，用手比划一下有多长。同桌合作，开始。

汇报：一个错的，一组面积差不多，周长不一样

追问：看起来差不多大的图形，怎么周长不一样呢？

小结：决定周长大小的是一周边线的长短。

【设计意图：同桌合作经历指、想象、展开、比划等一系列活动培养学生的量感，并通过两个大小差不多但周长不一样的图形，让学生清楚决定周长大小的是一周边线的长度。】

三、测量 “周长”

1、我这里还有两个图形，你能得到它们的周长吗？

看看我给大家提供了哪些工具？尺子、毛线、铁丝、方格纸

听清楚要求再行动。

一同桌合作，选择合适的工具，二把结果记录到作业单上。

2、汇报：你选择的是哪个工具，怎样得到周长的？ 边指边说 。

长方形：

素材 1—— 四条边

素材 2—— 两条边

追问： 为什么有的同学只量了两条边呢？哦，长方形的特征是 “对边相等”，所以量两条边就可以得到它的周长。

追问：那有没有只量一条边就能得到周长的图形？（正方形）

树叶：

素材 1—— 铁丝

素材 2—— 线

补充：为什么结果不一样？有没有不一样的结果？测量是存在误差的，但是我们可以知道树叶的周长大约是 9、10cm。

追问：为什么不直接用尺子量？（化曲为直）

【设计意图：通过实际测量，让学生感受针对不同的测量对象就要选择合适的测量方法，建立化曲为直的思想。】

3、方格纸有没有用呢？

利用方格纸，你能得到这两个图形的周长吗？试一试。化零为整

四、总结

今天我们学习了周长，大胆估一估，我们学校操场的周长大约是多少米？

五、辨析（5 分钟）

今天我们这节课认识了周长，还测量了几个图形的周长，你们觉得你们真的知道什么是周长了吗？

这是一个正方形，两只小蚂蚁打架，将它们撕成了两块，你能说说哪块图形的周长长一些？或者说一样长？说说你的理由，给大家 15 秒讨论一下。

【设计意图：通过辨析，让学生重温周长概念，掌握决定周长大小的是图形一周边线的长度。】

六、板书设计：

周 长

三角形 （周长线段）

圆形 （周长线段） 一周 长度

七、 后测

1、喝水的杯子有周长吗？

2、 学过的角有周长吗？

3、 数一数，下图的周长是多少厘米？

1、用自己的话说一说什么是周长？

6、简单说一说怎么得到一个圆形的周长是多少？

《什么是周长》教学设计二稿

教学内容 ：北师大版小学数学三年级上册第五单元第 1 课时 “认识周长”

教学目标 ：1、结合具体实物或图形，通过观察、比较等活动感知周长，能正确指出物体表面或简单图形的一周；

2、在围一围、量一量、算一算等活动中理解周长的概念，了解测量周长的方法，渗透化曲为直的思想，培养学生的空间观念；

3、结合具体情境，感受周长与实际生活的联系。 教学重点：认识周长的含义，会正确测量或计算图形的周长。 教学难点：理解周长的含义。

教学过程 ：

一、 初步感知 “一周”： 淘气今年升三年级了，为了身体健康，爸爸要求他从今年开始要养成晨跑的好习惯，每天围着操场跑一圈，瞧，他已经跑了三天了，我们去看看吧！

（1）第一天：

（2）第二天：

（3）第三天 你觉得哪一天跑的才是操场的一圈？

（生：第三天） 第一天怎么就不是操场的一圈呢？（跑到里面去了）也就是要沿着操场边线来跑是吗？ 那第二天怎么也不是一圈呢？（没有连上）换句话说就是要回到起点。

（4）小结：所以沿着边线跑，再回到出发点这才叫一圈。这个一圈在数学学科里我们把它叫做一周。

【设计意图：通过三次跑步的情况，让学生初步感知一周的两个关键要素。】 二、充分理解 “一周” 的含义，得到 “周长”：

我们学过的平面图形也有一周，比如：三角形和圆形，你能指一指它的一周在哪儿吗？

（一） 指 “一周”（找学生上台指）

真好，他帮我们找到了三角形的一周，那圆形的一周呢？（上台指）

（提示：圆形比较特殊，它不太好记起点在哪，所以老师帮你做个记号吧。）他指的对吗？

起点不唯一： 他刚刚是从这里开始沿着边线指再回到这个点，这就是圆形的一周，是不是只能从这个点开始呢？我换个点行不行？那三角形是不是也可以从这个点出发呢？

看来不论从哪个点开始，只要满足（沿着边线和回到起点）这两个条件，都可以叫做这个图形的一周。

【设计意图：通过指平面图形的一周，让学生实际体验如何沿着边线，如何回到起点。】

（二） 比 “一周” 的长度

①预测：刚刚我们已经找到了这两个图形的一周，那你觉得哪个图形的一周长一些呢？ （三角形的一周长 / 圆形的一周长 / 它们的一周一样长） 这些都只是我们的猜测，那到底谁长一些呢？我们该怎么办？（测量）怎么量？

②示范操作：老师有办法将它们的一周取出来，看我怎么取。（演示）

那这条线段的长度是不是就是三角形一周的长度。你能估计一下这有多长吗？（20 厘米、30 厘米……）

老师的一扎差不多是 15 厘米，所以三角形的差不多是 30 厘米，（板书：30 厘米），现在我把圆形的一周也取下来，粘上去，你发现了什么？（它们的一周一样长），所以圆形一周的长度也是 30 厘米，那这个 30 厘米既可以是三角形的周长，也可以是圆形的周长，那么周长到底是什么呢？（一周的长度）

那刚才为什么有人说圆形的周长长一些？（圆大一些）看来，周长跟图形的大小无关，而是跟图形一周的长度有关系。

（三）学生活动一： 对周长大小的感知

观察你手中的图形，你能估一估它的周长是几厘米吗？你会怎么估？

学生总结方法：

1、指：手中图形的一周。

2、想象：如果将它的一周从一点断开拉直，会有多长？用手比划一下。

3、估：你比划的长度大约几厘米？ 提示：同桌两人一小组，一人比划一人估。

组 1：（错例）我们的图形的一周在这里（指一周，并提示记清楚起点的位置），它的周长大约有这么长，你们同意吗？（我觉得可以再长点）这样可以吗？那这大约是多长呢？（20 厘米 / 30 厘米……）用一扎进去比一下，大约多长？30 厘米

组 2：（四边图形）我的图形的一周是从这个点……（指一周，在起点处记得做上标记），它的周长大约这么长，你们同意吗？ ……（用一扎比划着估）40 厘米

组 3：（边多的图形）指一周……，我认为它的一周大约这么长 这跟前两个图形好像差不多大呀，怎么长这么多？ （因为它的边有很多，加起来就很长了） 哦，原来是这么回事，刚刚我们已经有了 30 厘米、40 厘米长的经验了，再估一下这大约有多长，(50 厘米)

【设计意图：在动手比划的过程中培养学生对周长大小的感知能力，并通过一扎的长度或者单位长度给学生的 “估” 提供一个支撑。】

三 、测量 “周长”

（一）用尺子和毛线测量：生活中有时候我们只需要估出大概的结果就行了，但有时候我们是需要得到准确的长度的，如果让你们量出这两个图形的周长，你会选择什么工具呢？

1、小组合作：选择合适的工具，测量出图形的周长，并把结果记录下来。（取整厘米数）

2、汇报：你是怎样得到周长的？边指边说。

组 1： 6 厘米 你量了几条边？ （四条）你量了四条边也就是量了 4 次，有没有跟他不一样的方法？（2 条）为什么有的同学只量了两条边呢？ 哦，长方形的特征是 “对边相等”，所以量两条边就可以算出它的周长，那有没有只量一条边的呢？（正方形）

组 2：9 厘米 你是怎样得到这个结果的？ 有没有不一样的答案，看来答案不是很精确，可能在测量时，有的同学拉的紧一些，有的同学拉的松一些。稍微有些误差不要紧，重要的是我们想到量的办法了，已经很棒了。

【设计意图：通过实际测量，让学生感受针对不同的测量对象就要选择合适的测量方法。】

（二）数方格：我们刚刚是用尺子或毛线量出图形的周长，其实方格纸也是一个很好的工具哦，它也可以帮助我们得到图形的周长，试试看吧！

四、辨析

今天我们这节课认识了周长，还测量了几个图形的周长，你们觉得你们真的知道什么是周长了吗？

这是一个正方形，两只小蚂蚁打架，将它们撕成了两块，你能说说哪块图形的周长长一些？或者说一样长？说说你的理由，给大家 15 秒讨论一下。

五、板书设计 ： 周 长

三角形 （周长线段）

圆形 （周长线段） 一周 长度