除法的意义到底应该怎么教？

北师版 “分一分与除法” 电子课本链接：http://www.xsj21.com/index/show.php?contentid=89

人教版 “表内除法（一）” 电子课本链接：http://www.pep.com.cn/xxsx/jszx/tbjxzy/dzikb/xs2bkb/201008/t20100828_818167.htm

苏教版 “认识除法” 电子课本链接：http://www.51jjcn.cn/default_book_info.asp?page=30&types=81

本帖最后由 东师附小刘文元 于 2012-12-4 22:06 编辑

先来分享一段资料：

关于数的运算的知识是人们在日常生活和生产实践的经验中抽象出来的，并且逐渐形成了 “法则”。总体来看，加法是 “+1” 的复合，即从 1+1 出发，可以推导出所有自然数的加法。乘法在本质上是一类特殊的加法，是数自相加的缩写。减法是加法的逆运算，减法是通过加法来定义的。除法是乘法的逆运算，是通过乘法来定义的。

－－史宁中 <font face="宋体">《数学思想概论－－数量与数量关系的抽象》</font>

本帖最后由 东师附小刘文元 于 2012-12-4 22:07 编辑

加法是所有运算的基础。

数量的本质是多与少，而多与少的最简单形式是多一个或少一个，因此加法的的核心是加 1，美藉华人数学家项武义说，加法是 “+1” 的复合，是有道理的。

经过向千年对于加法运算的使用，人们最终希望能够给出严格的表述，这就需要建立起在符号意义上的算律。

基于 “+1” 的经验，规定去处 a+b 表示在 a 的后面增加 b 个的序数，如果这个序数为 c，则称 c 为 a 与 b 的和，求和的运算叫做加法。这是加法运算的定义。

－－史宁中《数学思想概论－－数量与数量关系的抽象》

感谢刘老师提出讨论的话题 ！更有相关的资料，既能提高认识，开阔眼界，还能感受到讨论的意义所在。

刘老师列举的四个方面情况，其中：2. 除法意义和除法运算是一回事吗？

这一提法还真激发了我的思维，这让我想起：已知两个数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫除法。

还有例如 8/4=2，表示，把 8 平均分成 4 份，其中的一份是 2。或 4 个一组，8 里面有几个 4，结果是 2…… 也许在已有的经验或是说传统的思维中，我们的重点更倾向于单纯的运算。究其根源，数源于数（shǔ），除源于分。懂得平均分，就初步懂得了除法的意义。这与传统的 “已知两个数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫除法。” 格格不入。现在理解，后者，应该表示的是运算的意义。在传统教材中，是将乘除法的算式放在一起来比较的，如：5*6=30，30/6=5；30/5=6；同样也是在 “运算实践” 基础上总结出除法运算的意义，也泛指除法的意义。但这一理解，过于突出了运算技能的作用，而忽视了应用和除法本质的理解，在当下，不适合了。在这方面，我认为北师版的教材，更能突出这一本质，更容易让人接受除法意义的理解。

现在很多有使用旧教材经验的老师，面对新教材的变化不易接受。对新教师而言，还是好一些。所以我的观点：依据北师教材对除法意义的理解，从分一分开始，排除等分与包含除，是很有现实意义的。老师带领学生感受到这个除法本质就是平均分，除源于分就够了。至于技能方面，学生在分的基础上，也是能容易理解。

这个帖子，读起来，就有些 “研究” 的味道。

教研沧海 发表于 2012-12-4 23:08 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=413&ptid=128)

感谢刘老师提出讨论的话题 ！更有相关的资料，既能提高认识，开阔眼界，还能感受到讨论的意义所在。

刘老师 ...

感谢李老师不吝赐教。

持了李老师的帖子后，我翻看了传统版的人教版教材，大体在这一部分的编排思路上和现行教材出入不大，都是由平均分入手而认识除法。而翻看三个版本的教材，我发现这一部分教材体系的编排整体格局，也是基本一致的。

由此，我产生了新的疑问：

1.“已知两个数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫除法。” 这是众所周知的除法意义的表述，而在现实教学中，教材中并不提倡把这段文字告诉给学生，认识除法由平均分而入，那么在我们教给学生除法意义的时候，我们重视的是除法意义的现实本质呢，还是除法运算的现实应用呢？从我上一个帖子中，摘录的史宁中的观点来看，除法的意义应该是由乘法而入。那么由平均分来引入，到底要解决的是意义理解的问题，还是计算技能的问题？

2. 如果从平均分来进行除法意义的理解，在后续的学习过程中，会产生哪些影响，首先，我们想到了分数的教学，其中会有很多知识和除法有着千丝万缕的联系，还有比。然后还有列方程解决问题中，如何顺向思维找等量关系式的问题等。如何把这些相关知识有机的联系起来，使学生知一反三？

3. 除法意义的表述里并没有提到平均分，那么如果处理好平均分、除法意义、除法认识、除法运算几者的关系，似乎特别值得我们思考。

教研沧海 发表于 2012-12-4 23:08 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=413&ptid=128)

感谢刘老师提出讨论的话题 ！更有相关的资料，既能提高认识，开阔眼界，还能感受到讨论的意义所在。

刘老师 ...

感谢李老师不吝赐教。

持了李老师的帖子后，我翻看了传统版的人教版教材，大体在这一部分的编排思路上和现行教材出入不大，都是由平均分入手而认识除法。而翻看三个版本的教材，我发现这一部分教材体系的编排整体格局，也是基本一致的。

由此，我产生了新的疑问：

1.“已知两个数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫除法。” 这是众所周知的除法意义的表述，而在现实教学中，教材中并不提倡把这段文字告诉给学生，认识除法由平均分而入，那么在我们教给学生除法意义的时候，我们重视的是除法意义的现实本质呢，还是除法运算的现实应用呢？从我上一个帖子中，摘录的史宁中的观点来看，除法的意义应该是由乘法而入。那么由平均分来引入，到底要解决的是意义理解的问题，还是计算技能的问题？

2. 如果从平均分来进行除法意义的理解，在后续的学习过程中，会产生哪些影响，首先，我们想到了分数的教学，其中会有很多知识和除法有着千丝万缕的联系，还有比。然后还有列方程解决问题中，如何顺向思维找等量关系式的问题等。如何把这些相关知识有机的联系起来，使学生知一反三？

3. 除法意义的表述里并没有提到平均分，那么如果处理好平均分、除法意义、除法认识、除法运算几者的关系，似乎特别值得我们思考。

继续分享资料：

乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写。

减法是加法的逆运算，减法是通过加法来定义的。因为可能出现负整数，需要把运算的集合扩大，从自然数集合扩张到整数集合。整数集合包含正整数（自然数），0 和负整数。

除法是乘法的逆运算。与减法一样，我们需要进一步扩大运算的集合，从整数集合扩张到有理数集合，有理数集合包括：整数和分数。这样，有理数系包括了一切形如 m/n 的数，其中，m、n 是整数，n 不能为 0. 与负数不同，几乎所有的文明从一开始就能接受基于自然数的分数，即形如 m/n 的数。这是与人们的经验有关的，因为在生活中需要处理部分与整体的关系、线段长度的比例关系、数量分配的比例关系。需要注意的是，人们最初使用的分数都是真分数，是对于比例的刻画，而不是近代意义上扩张了的有理数。

通过上面的资料可以看出，减法、乘法和除法都是基于加法的，称这四种最基本的去处为四则运算。

－－史宁中 “数学思想概论－－数量与数量关系的抽象”

通过上面的资料分享，我们也可以看得很清楚，除法的本质是乘法的逆运算，是基于加法的特例。如果关注这个本质，审视我们除法意义的教学，个人认为我们现在基于平均分的基础上来进行除法认识的教学，走的不是从本质认识的路线，似乎走的是从现象认识的路线。

我的一个困惑是，这样做会不会为今后的教学留下一些不可预知的影响。

举一个似乎不太恰当的例子，在教学方程的时候，我们都知道用方程解决问题中，最难的一点是找准等量关系式，但学生的一个表象是在这个时候，反而不太熟悉逆向思维了。

提个假设，如果把加、乘法看做顺向思维的话，其实减、除法就是逆向思维。学生在这个时候表现出来的是直接关注除法的表象，而忽略了真正的本质意义。

如果上面的假设成立，那么，造成这种现象的一个重要原因是不是我们老师的教学理念、行为造成的。

小学阶段的数学学习绝大部分关注的是 “算术”，升了初中以后，“代数” 成分就占了绝大部分的比例。从毕业生反馈回来的信息来看，到了初中，方程学得好是一件很重要的事，但事实是，在小学阶段，方程似乎学得不太好，特别做为基础的一元一次方程，我们好像没给孩子一个合理的知识逻辑、结构。

四则运算是 “解方程” 的基础。新版本课标中，对于解方程的方法也打破了 “唯等式性质” 论，而是建议增加利用四则运算互逆关系等方法教会学生解方程。

基于这一个事实，我们也应该重新审视对于除法意义的教学，从平均分切入，引出除法的认识是不是最合理的。

那么接下来，我想研究的是为什么这么多版本的教材编写的时候都要从 “平均分” 入手，希望能有所收获。

来看一下，北师版教师教学用书在 “分一分与除法”（除法认识）单元里的教材分析：

本单元是在学生已经初步了解了乘法的意义，会用 2－5 的乘法口诀口算表内乘法的基础上进行教学的。教材创设了许多 “分一分” 的实践活动，让学生通过具体操作解决生活中平均分的问题，深刻体验平均分的意义；在丰富体验的基础上，引入除法算式，并把它与 “平均分” 的具体操作过程和结果联系起来，从而使学生获得对除法意义的初步理解；进而在乘除混编的具体情境中，使学生经历情境识别，直观操作，再列出相应的乘法或除法版式的过程，体会乘法与除法的区别，进一步理解除法的意义。在理解除法意义的基础上，学生还要学会用乘法口诀求商，并在除法运算中，逐步摆脱对实物操作的依赖，发展抽象思维；同时，在应用乘、除法解决实际问题（包括 “倍” 的问题）的过程中，不断深入地体会乘法与除法的区别与联系。

本单元教材编排有三个特点。一是强调对除法意义的体验。除法运算的本质就是平均分。二是编排学习内容上采取乘、除有分有合的策略，有利于学生体会乘法与除法的区别与联系，并且教师要指导学生先弄清楚两者区别再体会它们的联系，也就是先分化再贯通。三是 “倍” 不作为科学概念，而作为生活概念来处理，所以不下概括性的定义，而是结合具体情境和解决问题的过程，让学生感受 “倍” 的意义，体会 “倍” 与平均分的联系与区别。

看了这段资料，我有两个困惑：

1. 到底什么是除法意义，是 “已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算” 还是 “平均分”？

2. 如果是后者，教材的编排无可厚非，如果是前者，教材这样编排是为什么？

再来看看人教版教参中对于这部分知识的一个说明：

“除法的初步认识” 内容编排，分两个层次：第一，以生活中常见的 “每份同样多” 的实例和活动情境，让学生建立 “平均分” 的概念。第二，在建立 “平均分” 概念的基础上引出除法运算，说明除法各部分的名称。教材结合具体事例和活动情境，从让学生认识 “平均分” 开始，通过观察、动手操作、探讨等学习活动，逐步体会除法运算的意义，掌握除法算式各部分的名称。这样编排让学生充分参与 “平均分” 的实践活动，既为学生认识 “除法” 积累丰富的感性知识，又促使学生对 “除法” 产生亲切感。

通过上面的资料，我认为人教版教材与北师版教材在这部分的说明中大同小异，但唯一不同的地方，北师版教材直面 “平均分就是除法意义”，而人教版教材却有意无意的回避了这一论断，只是说明，平均分是让孩子认识除法意义的一个开始，有利于学生认识除法运算的意义。

我们是不是可以这样分析，人教版教材并不认可 “平均分就是除法意义” 的诊断，更多是从实践层面，出于学生接受程度的角度来考虑，学生如果直接理解除法意义是有难度的，但理解平均分是很容易的，即有生活经验，也容易抽象成数学模型。

接下来，我要好好琢磨一下课标中对于这部分知识的阐述与解读了。

东师附小刘文元 发表于 2012-12-5 19:40 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=426&ptid=128)

继续分享资料：

    乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写。

    减法是加法的逆运算， ...

依据你提供的资料，及众多资料，还比如《孙子算经》上说：“凡除之法，与乘正异。” 乘法是加法的另一种形式，除法又是乘法相反的形式，可以判断 “已知两个数的积与其中一个因数，求一个因数的运算” 是在分的基础上归纳得到的一种结论性规律。在知识的形成过程中，加法的出现引出了乘法，同样分的时候引出了除法，那么，除法的计算恰好蕴含着乘法，比如 6 个苹果，平均分给 2 人。分得结果是每人 3 个。（假设没有除法的出现，这里明确是实际分东西，而且分得的结果也是成立的。）从整个分的过程中，我们不难发现，用已有的乘法知识，可以表达这一过程：每人 3 个，2 个人就是 3+3=6 用乘法表示是 2*3=6。前面分到再在的乘法，不难发现这一规律：两个数的积与其中一个因数，求出另一个因数就恰好是 6/2 的这算式的意义，扩展到除法的意义，自然是成立的。

以上只是一种我的假想，是不是成立，还得请大家商议！

文元的提供问题还真是有点意思。

本帖最后由 东师附小刘文元 于 2012-12-6 20:49 编辑

继续分享资料：

格里尔区分了应用整数乘法的甲种主要情境：

1. 等组（例如，三张桌子，每张桌子围坐 4 个孩子）。

2. 倍数比较（比率系数）（例如，男孩数是女孩数的四倍）。

3. 矩形队列（例如，四个孩子一排，共三排）。

4. 笛卡儿积（例如，将三个女孩和四个男孩进行组合，共有几种可能）。

在某种程度上，上述情境分别描述了重复集合、多一对应、多行多列以及交叉对应。

在数学关系中，这些情境都涉及三个数字，即每个集合中物体的数量、集合的数量以及总数。对乘法来说，总数是未知的，但是只要总数已知，且其他两个数字和中的任一数字是已知的话，那么就可以使用除法进行计算。而对除法来说，集合的数量或者每个集合中物体的数量可能是未知的。因此，存在两种不同类型的除法：

1. 测量 / 分组（包含）（例如，12 个孩子，一张桌子坐 4 个人，需要几张桌子）。

2. 分配（等分）（例如，12 个孩子分坐 4 张桌了，每张桌子坐几个孩子）。

用不同的方法进行乘、除法运算，并理解这些方法都与相同的数学运算相关，这对孩子们来说是很重要的。虽然以上这些情境为他们提供了解决问题的实际活动，但是，理解数字之间的抽象关系将有有助于他们形成有效的计算方法。与此同时，孩子们会意识到计算过程不需要体现出所要解决的问题的结构。

－－[英] 朱莉娅。安吉莱瑞 “如何培养学生的数感” 徐文彬译。北京师范大学出版社。P63－65

看了这段资料，有两个感受，一是作者认为，除法是在乘法的基础上的逆运算。即：已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。二是 “平均分” 只是除法中的一个类型，从属关系决定，“平均分” 不等同于除法的本质。

但是黑体字部分是我不敢说读懂的地方，作者的意图是在说明什么呢，我理解是理解除法运算不能单纯依靠具体问题情境（包含或是等分），而要关注它的本质，即 “数字间的抽象关系”（除法中三个数字之间的关系，以及和乘法的互逆关系所决定的除法运算所蕴含的本质关系）。

至于是什么？希望大家能给出更多的解释。

继续分享资料：

尽管学校首先教授的是乘法，但孩子们可能对分组与平分这类活动更加熟悉。研究显示，在某些情况下，四岁的孩子能够用具体的事物解决除法问题。早在幼儿园期间，孩子们就能够用物体来模拟分组与平分这类除法问题。这些思想的形式化过程，需要孩子们学习精确化的语言并重视生成的数字关系。努涅斯和布莱恩特区分了平分活动和除法运算之间的差别，因为理解除法运算涉及理解平分活动之外的各种多样化的情境。与平分活动相比，把一个集合中的物体分成若干个小组，这种方法可以更直接地表现出反复相减是如何把一个集合分成几个部分的，这个过程与乘法是反复相加的过程截然相反。

努涅斯和布莱恩特认为，孩子们遇到的最简单的乘法形式可能是这样一种情况，即包含了两个集合之间的多一对应关系，这种对应关系与比率或比率系数有关，这是乘法思维的基础而不是加法思维的基础。他们将其与重复相加做了比较，把重复加同一个数字称为重复相加，并指出重复和联合（加法）的不同，联合指的是把任何两组物体合并成为一个新的物体集合然后计算总数。乘法涉及两个数字，每个数字起到的作用是不同的，这需要用比加法更加复杂的计算方法进行计算。

早期，孩子们可能通过数集合中的物体个数和集合的个数来体验这些数字。把物体拆分或重组成数量相等的集合，这种活动有助于孩子们在数字语言和数字之间建立联系，这种联系为他们以后学习乘法、除法运算奠定了基础。<b> 在他们能够自信地进行数字计算的情况下，理解乘法和除法中三个数字之间是如何联系的，与理解加法中把两个物体集合整合过程中生成的相互关系比较，前者对孩子们所具备的抽象能力的要求更高。</b> 格雷和托尔认为，介绍乘法和除法可以呈现 “过程概念的划分”，即划分哪些孩子能够在已有理解基础上整合新观念，哪些孩子不能整合新观念。他们注意到，新的运算所起的作用是循序渐进的，对那些还很难进行加、减法运算的孩子们来说，要求他们灵活地应用乘法和除法几乎是不可能的。

－－[英] 朱莉娅。安吉莱瑞 “如何培养学生的数感” 徐文彬译。北京师范大学出版社。P65－66

看了这段资料，有几点感受：

1. 孩子们以分组及等分确实有现实性的生活经验，但是分组与等分相比，前者的理解性更好一些，因为学生可以把其与反复相减建立联系。但是实际教学中，似乎学生对平分更容易理解，对于分组要稍难一些。造成这种情况的原因应该是教师在实际教学中忽视了原有的生活经验，特别与反复相减建立起来对应关系。

2. 黑体字部分说明，平分是学生的经验起到了作用，而 “已知两个因数……” 等表述就是抽象的概括，学生接受起来是有难度的。前者能够帮助学生整合 “除法” 的新观念，而后者则会使孩子在整合 “除法” 的新观念时，很难顺利并完全整合。

有了上面的分析，也许这是诸多版本教材从 “平均分” 着手学习除法的主要原因。    

继续分享资料：    

在培养孩子们数感的时候，如果仅仅把乘法等同于重复相加，把除法等同于均分，那么将会限制他们对乘、除法的理解，以至于于日后无法理解某些计算题，如 0.3 乘 0.4 和 12 除以 1/2。    

－－[英] 朱莉娅。安吉莱瑞 “如何培养学生的数感” 徐文彬译。北京师范大学出版社。P68

正如介绍乘法中一样，我们也可以把除法符号作为记录已知结果的简便方法介绍给孩子们。但是，解释除法符号的方法会给他们造成理解上的困难，而这种困难在学习的早期阶段可能不是很明显。都可以把问题 “600/6” 解释成 “6 的多少倍是 600”，这种解释与计数模式 6，12，18…… 相联系，或者把问题解释成 “什么数字的 6 倍是 600”，这种解释可能让孩子们更容易地解决问题。老师可以把这些解释等同于 “重复减法” 和 “分配”，这两种解释也表明了孩子们灵活解释除法的重要性。如果仅把除法解释成 “分配”，那么他们就无法解释诸如 “8 除以 4 分之 1” 这类除法问题（8 被 4 分之 1 个人分）。在孩子们还不能灵活、合理的解释符号化问题的情况下，他们就不能顺利的解决这些计算问题。

－－[英] 朱莉娅。安吉莱瑞 “如何培养学生的数感” 徐文彬译。北京师范大学出版社。P72

分析上面的这两段资料，几乎与我心里一直存在的困惑是一样的，从 “平均分” 着手来学习除法合适吗？短期效果明显，但有利于学生的长远学习过程吗？

东师附小刘文元 发表于 2012-12-7 21:27 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=479&ptid=128)

继续分享资料：    

    在培养孩子们数感的时候，如果仅仅把乘法等同于重复相加，把除法等同于均分， ...

分享刘加霞教授的文章《把握数学的本质是一切教学法的根》：

【前言】<b> 为什么数学中火热的发明会变成现实中冰冷的美丽，教材是 “教学法的颠倒”，教师与学生都在形式上的理解，造成目前数学教学的难堪境地。或许认真阅读本文论点，对当前教育改革大有促进！</b> 

有位学者曾经这样描述数学的表达形式：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽，因此他说：教材是 “教学法的颠倒”。（这位智者就是费赖登塔尔）

教材所呈现的是形式化的、冰冷的结果，教学如果从这些 “冰冷” 的形式开始，学生就不可能经历 “火热” 的数学思考过程。

实际数学教学时，从 “形式” 开始，学生就容易出现 “形式” 上的理解。

为了避免 “形式” 上的教，一线教师需要将 “学术形态的数学转化为教育形态的数学（张奠宙）”，为此需要：关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，自然地实现由 “生活概念向科学概念的运动（杜威）”；

关注数学概念、知识发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力与过程；关注现实问题向数学问题的转化过程，真正让学生经历 “建模” 的过程，体验到数学之于解决实际问题的重要意义；更需要关注学生的朴素问题与思维过程，真正激发学生探究的愿望，发展理智的好奇。

因此，一个数学教师专业成长的核心是对数学学科本质的把握。

数学的学科本质是什么呢？

数学学科本质一：对基本数学概念的理解。

小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”，因此对小学阶段的基本数学概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使 “情感、态度、价值观” 目标得以落实的载体。

所谓 “对基本数学概念的理解” 是指了解为什么要学习这一概念？这一概念的现实原型是什么？这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么？以这一概念为核心是否能构建一 “概念网络图”。

小学数学的基本数学概念主要有：十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算；位置、变换、平面图形；统计观念。

学学科本质二：对数学思想方法的把握。

基本数学概念背后往往蕴涵重要的数学思想方法。数学的思想方法极为丰富，小学阶段主要涉及哪些数学的思想方法呢？这些思想方法如何在教学中落实呢？我们的基本观点是在学习数学概念和解决问题中落实。

小学阶段的重要思想方法有：分类思想、转化思想（叫 “化归思想” 可能更合适）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。

数学学科本质三：对数学特有思维方式的感悟。

每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有 “锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙” 的美誉。

小学阶段的主要思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想 —— 验证，其中 “概括” 是数学思维方式的核心。

数学学科本质四：对数学美的鉴赏。

能否领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分，能够领悟和欣赏数学美也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法。能够把握数学美的本质也有助于培养学生对待数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩。

数学的基本原则：求真、求简、求美。

数学美的核心是：简洁、对称、奇异，其中 “对称” 是数学美的核心。

数学学科本质五：对数学精神（理性精神与探究精神）的追求。

可以说，数学的理性精神（对 “公理化思想” 的信奉）与数学的探究精神（好奇心为基础，对理性的不懈追求）是支撑着数学家研究数学进而研究世界的动力，也是学生学习数学研究世界的最原始、最永恒、最有效的动力。

黑体部分为与本话题有关的论述，可以好好感受并思考一下。

今天分享课标及课标解读中关于四则运算意义的要求：

一、课标    

课程内容－－第一学段：

数的运算部分第 1 点：结合具体情境，体会整数四则运算的意义。（P17）

课程内容－－第二学段：

数的运算部分第 4 点：在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。（P21）

二、课标解读

解读中，关于四则运算的定义依据的是史宁中教授的 “数学思想概论”，这在我前面的帖子中已经有所引述，这里不再赘述。（P142）

通过上面的几项资料，我们可以达成这样一个共识，除法的含义应该是从乘法逆运算来定义的，即：已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。而不是平均分，综合各方材料，分组或等分只是除法的一种具体表现类型。

那么接下来，我会从教材编者意图或者出发点来分析各版本教材从平均分入手引入教学除法的依据。

微风细雨 21:07:11

任老师您好，在吗？

任景业老师 21:06:46

在

微风细雨 21:08:12

想请教您一个问题，我最近一直在思考关于除法意义的教学问题，越是思考，就越是发现了一些问题，有些困惑。

微风细雨 21:09:40

按常理来讲，除法的真正意义是乘法的逆运算，但是几种版本教材的编写，都是从平分来入手学习除法的认识，想知道教材编者的初衷是什么样的。

任景业老师 21:17:29

本质是平均分

微风细雨 21:21:11

我的困惑是用平均分来引领孩子们学习除法，从学生经验上是非常顺利的，但是在后续的学习中，如分数除法问题、方程里面解决问题时找等量关系式时，学生会遇到一些困难。我想这是不是由于从开始认识除法时就一直强化平均分，而轻视和乘法的互逆关系这一本质，引起的呢

任景业老师 21:23:48

没有那么 麻烦

微风细雨 21:24:35

我看到了几个版本的教材编写，二年级第一次认识除法的时候，都是从平均分入手，因此产生了一些困惑，找了一些资料，但还有限，特别是教材的编写根据上。因此向您请教一下，希望没有打扰到您，

微风细雨 21:25:38

如果您忙的话，就在您方便的时候给一些指教，谢谢。

任景业老师 21:25:22

看孩子 怎么学就行。

任景业老师 21:25:31

把教学弄简单一些

以上是我和新世纪版教材编委任景业老师的一段对话，从编者的角度来讲，教材的编写意图主要是从学生角度出发，想让学生学得容易，学得简单。

我对除法在近几年又有了另一种理解。因为大家都知道乘法是加法的简便运算。那我就想如果让学生明白除法和减法也有着密切的关系，是不是更好理解呢？于是在教学除法时，我充分利用书中的 15 减 5，几次能差能为 0。让学生理解除法与减法的关系。感觉在解决问题时孩子也会把这一模型自然而然的套用。

本帖最后由 东师附小刘文元 于 2012-12-16 23:17 编辑

吴春霞 发表于 2012-12-16 13:48 [static/image/common/back.gif](forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=610&ptid=128)

我对除法在近几年又有了另一种理解。因为大家都知道乘法是加法的简便运算。那我就想如果让学生明白除法和减 ...

现在很多一线老师都在尝试把除法和减法建立一定联系，我不否定这种联系，但是这样是否有助于学生理解除法的意义我持保留态度。现在很多老师在两点上存在一种认识不清的误区：

1. 除法的意义（数量关系）维度来看，除法和乘法是非常直接的逆运算关系，与减法的关系不直接。

2. 等分、分组甚至是用连减同一个数求商等都是除法的类型或者是求商的一种方法。某种程度来讲和除法意义是两回事。

这几天太忙了，三天后，继续研究。期待中。