雪绛冰凝

终稿反思：

1. 本次教学设计与上一稿的改动在于精简了教学环节，再次回归教材，层次更清晰了，从符号的产生到认识到理解再到应用，符合学生认识新符号的思维过程。教学中注重了学生经历符号产生的过程，学生更能理解 “分数是一种数，是整数不够用的时候出现的一种新数”，惊喜的是学生出现多种形式的方法表示 “一半”，抓住了重要的三个要素：平均分，分成 2 份，取 1 份。再探究 1/3 的过程中，学生在对比中明白了文字和画图的局限性，深度体会了符号的简洁性和必要性。

2. 在本节课理解分数意义的时候，除了多元表征，我们还很关注学生能不能用语言表达具体分数的意义。学生的语言描述是操作经验的提升，在教师的引导下，学生从第一个问题串不太熟练的表达，到第二个问题串时能独立说清楚，到第三个问题串，学生的表达展示出了自信，能够有逻辑的结合图形说出自己表示的分数的意义。这个过程能体现孩子的符号意识在逐渐发展，随着数学语言表达精准度的提高，数学抽象思维能力也得到了进一步发展。

3. 折纸活动，让学生对分数的意义落到实处。上一次的磨课中，发现大部分学生只会表示分子是 1 的分数，这次更改了教学设计，把一张饼平均分成 7 份，1 人分到了这张饼 1/7，两人分到了这张饼的 2/7，3 人分到这张饼的 3/7……。在折纸的过程中就出现了各种不同的分数，说明学生的思维过程是渐进的，教师要寻找方法耐心引导。

4. 上一次磨课，思考数学史放到哪个环节更恰当，更自然。这次放在了学生用多种形式表征 “一半” 时，出现了两种数字符号，放在这里刚好解决了 1/2 和 2/1 到底选取哪个作为分数的正确表示形式，非常的恰当、自然。

5. 在本节课磨课之后，《义务教育数学课程标准（2022 版）》正式颁布，其中有这样的叙述：“ 符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。” 结合这节课的研究过程，我们团队感觉每句话都说到我们的心里了。

这个版本的教学设计，我们通过后测数据看到了效果是很不错的，所以我们上课应该深入理解教材编写意图，深挖数学知识本源，利用前测精准了解学生学习起点，尊重学生的认知规律，把教材的编排序、数学知识发生发展的历史序和学生的认知序 “三序合一”，设计有文化魅力的数学课堂，让学生在学习知识技能的同时，还能够有更多思想方法和情感态度价值观的收获。

https://bbs.xsj21.com/t/2099#r_141929

分一分（一）教案二稿

学习目标：

1. 经历分数产生的过程，理解分数的简洁性和必要性，感受符号的优越性；

2. 结合具体情境和直观操作，初步理解分数的意义，体会学习分数的必要性，能读、写分数，知道分数各部分名称；

3. 结合折纸、涂色的活动，利用面积模型表示简单分数，感受符号表达的准确性和简洁性。

教学重点：

1. 在分物的过程中，让学生经历分数产生的过程，初步理解分数的意义。

2. 会用自己的语言解释具体分数的意义。

教学难点： 结合直观操作，理解分数表示部分与整体的关系，会用分数表示结果。

教学准备： 学习单，正方形纸，圆形纸等……

教学过程：

一、情景导入

师：周末淘气和笑笑约好了一起出去玩，他们都带了好些吃的。淘气迫不及待的打开自己的包和笑笑分享，看

4 颗糖果，平均每人分到（    ）个；   2 个苹果，平均每人分到（    ）个；

二、新知引入

（一）理解 “一半”

师: 1 张饼，平均分给 2 个人，每人分到多少呢？

生：半个

师：半个是多少呢？     吗？

生：不是。是把这个张饼平均分成 2 份，其中的一份。

师：请你用自己的喜欢的方式表示出 “一半”。

学生可能会出现画图，数字，或者其他独有的方式……

第一种：折纸或画图

三个关键点：突出整体与部分的联系；平均分；其中一份。

分享辨析；修正自己的图。

第二种：数字符号 0.5 或 1/2

师：0.5 可以表示结果，也很方便。能看出来是平均分了 2 份，取其中 1 份吗？

生：不能。1/2 呢？

生：—— 表示平均分，2 表示分成 2 份，1 表示每人分的 1 份。

第三种：其他符号，如 ¹2

总结：要说清楚半个，必须有：平均分，分成 2 份，取 1 份。

师：我们把这样的数叫作分 —— 数。在每个人得不到整张饼的时候就要平均分了它。

师：你最喜欢哪种表示方法？为什么？

（分数的准确性和简洁性的初步体现。）

对比中发现：分数是种符号，简洁。

（二）认识分数

师：你们有这么多方式表示一半，其实古人们也是在不停的探索中，创造了最简便的方法。

1. 观看微课：分数的发展史

2. 听完微课，你认识分数的各部分名称吗？怎么记？分数线，分母，分子。

3. 会读分数、写分数吗？读：从下往上读。

4. 写 1/2。

（三）表示出各图形的 1/2

师：仔细观察，都有哪些图形？分别涂出它们的 1/2。

生：三点：平均分；分 2 份；涂 1 份。

（特别注意：此处学生的分法可能会不同，引导学生发现平均分的方式可以不同。）

小结：把一个图形平均分成 2 份，每份是这个图形的 1/2。（平均分，分 2 份，取 1 份）

（四）合作探究 1/3，体会分数的必要性

师：孩子们，你们真棒，用这么多的表示方法，帮淘气解决了问题。

这时，旁边的小朋友目不转睛的看着他们的饼，爱分享的他们要把这 1 张平均分成 3 份，每个人分到多少张饼呢？

生：我知道，是 1/3。

师：都是 1/3 吗？1/3 是什么意思？

生：把一张饼平均分成 3 份，取其中的一份。

师：文字可以表示吗？图形呢？小组讨论。

生：是 1/3，用图表示是：

（这个环节学生会发现文字和画图比较麻烦，且不准确，感受分数产生的必要性）

师：谁能解释 1/3 的意思。

师：我也画了一幅图，你能看懂吗？

(通过师生互动，引导学生发现分数产生的必要性。查阅史料发现，分数的出现是由于测量的需要，所以教师引入线段图的画法，拓宽学生的思维，也为后期学习做铺垫)

师：想一想，当人数越来越多，5 个人，8 个人时，你还愿意画图吗？

生：分数最简便，写起来也方面。

师：是的，那么你想对分数说些什么？

……

生：分数有它的优越性，同时画图也能帮我们分析理解复杂的题目，希望你们能用好它们哦！

（五）折一折，涂一涂，创造其他分数

师：分数是表示分的过程和结果的，那么请你用手中的纸折一折，涂一涂，找一个与组员不一样的分数出来吧。

（此处一方面让学生了解其他分子非 1 的分数，另一方面让学生在操作过程中进一步观察整体与部分的关系，理解分数的意义。）

师：都是一张长方形的纸，表示的分数分别是：1/2，1/3，1/4，你发现了什么？

师：都是 1/4，用的纸形状，大小都不相同，为什么？

生：因为本身纸的形状。大小不同，只是这张纸的 1/4。

师：看来说的时候要说清楚整体很重要。

师：再来看这张纸，你还能发现其他分数吗？

师：借用你的图，老师来涂一涂（涂出全部），你能用分数表示吗？（4/4）

总结：所以分数表示：平均分，分成几份，取几份。

三、总结延伸

师：下课前老师想问你们，觉得这节课有意思吗？(有) 有意思在哪里？你又学会了什么呢？

结合以前学过的整数，小数，你觉得接下来我们会学习分数的哪些知识呢？

生：我学会了用分数表示。

生：我知道了分数线产生的过程。……

师：数线图上还有分数吗？有多少呢？

四、巩固练习

1. 蓝色部分都是图形的 1/2 吗？说一说？

2. 涂出下面图形的 1/3。

2 月 28 日，我们设计团队开展了第一次教研，邀请了雁塔区进校数学教研员吴文红校长来指导，翠华路小学长大校区全体数学教师和雁塔区第六小学数学教师代表也参与了此次研讨活动。设计团队围绕符号意识解读、分数初步认识如何把握教学重点以及分数的历史三个问题研讨，团队中四位老师各有侧重，李蕾老师针对课标和符号意识这个核心词进行分享，朱艳宁老师梳理了关于分数教学名师、名家有哪些主流的观点，赵杰老师对比分析了四个典型课例，吸取教学智慧，高文萍老师分享了自己这节课的教学设计初稿和每个环节的设计意图。吴校长针对大家的发言，重点这节课怎么教，怎么借助分数的初步认识发展学生符号意识做了具体指导。分数教学在小学阶段编排了两次，本次三年级仅仅是初步认识，这次教研促进了大家对本课关键概念和教学定位的认识，帮助大家对符号意识有了比较准确的理解，对《分一分（一）》这节课的教学重点、难点也有了比较准确的把握。我们要做到教不越位，学能到位。第一次教研在良好的气氛中结束了。

3 月 10 日，我们团队进行了第一次试教。高老师状态很好，按照预定流程，她与孩子亲切互动，引导学生在分物情景中，引导学生用多种方法表示 “一半”，文字、图形、数字符号三类都自然而然地产生出来。高老师引导学生梳理各种方法，进行对比，课堂讨论氛围热烈，学生比较顺利地接受了分数的形式，体会到了数学符号表达简洁、明了的特点。这个环节完成得比较好。我们大家课后研讨中提出许多改进建议，主要集中在三个方面：一是高老师对于 “平均分”、“分成 2 份”，“取 1 份” 这三个点强调得还不够，二是孩子在产生了 0.5、“二分之一”、“一分之二” 三种数字种符号之后，展示时先出示了 “一分之二”，导致个别孩子先入为主，对建立正确分数认识 “二分之一” 形成了一点干扰，三是数学史微课还比较粗糙，需要进一步修改。

3 月 25 日，高老师进行了第三次试教。这一次我们重点关注问题串一中从 “一半” 到符号表达的教学过程，关注教师的现场引导和灵活应对。高老师这次筛选学生表示方法和展示典型方法的环节比上一次更加流畅，与孩子的对话也比较到位，孩子们也比较顺利的得出了符号最简洁的的认识。并且在表达方式对比是，及时板书，配合梳理，帮助学生分析、感悟，这样在过程中随机生成板书，能很好地帮助学生建立分数的整体印象。课后研讨室，我们还提出几个建议，如投展学生方法时要放大一点，板书要尽量多的现场书写，减少贴纸，数学史微课应该放到符号优化的环节，这样正好可以利用历史形成古今对话，让孩子自然而然接受二分之一的形式，知道分母在上的这种表达没有流传下来的原因。

4 月 8 日高老师进行了第四次试教，这次她结合自己对教学理解，对教学设计做出了比较大的改动，增加了课本最后智慧老人的话，“想一个分数，再画图表示出来”。这个修改之后，教学内容就相当于有五个问题串，整个教学过程比较长，在加上学生操作较慢，超时 20 分钟，这是一次失败的尝试。课后我们重新商议，看来对本课的理解进入了一个高原，大家都没有满意的修改思路。暂且读书沉淀一下。

随后先有疫情，停课、复课、核酸检测成为工作主要内容，磨课被迫中断了一段时间。线下停课期间教学改为线上教学，每天更加忙碌，繁琐的各类事物冲淡了研讨的气氛，复课时间未知，大家都有些一筹莫展。

4 月 24 日是复课后的第四天，我们见缝插针赶紧把修改好的方案再次试教。团队四人非常难得地集中在线下，进行了一次面对面的研讨，四人商议后，果断取舍，敲定了最终的教学环节，不再摇摆、犹豫。4 月 25 日录课，有精彩生成也有不满意之处。4 月 27 日再次录课，比上次沟通对话效果更细腻，但还是有不尽人意之处。因时间关系，我们的课堂教学修改暂时结束，但研究这节课引起的丰富思考并没有停止。

在这三个多月围绕《分一分（一）》一课的研究、设计、磨课过程中，我们收获了很多，有对学科素养 “符号意识” 的清晰理解，有对分数初步认识教学内容的深入认识，还有对学生思考方法、数学表达水平的细腻感知，以及在中低年级发展学生符号意识策略的思考...... 这些是我们最宝贵的经验，也是我们最大的收获，专业成长就在其中！

分一分（一）教案一稿

学习目标：

1. 结合具体情境和直观操作，理解分数的意义；

2. 通过探究，体会分数的必要性，感受符号的简洁性；

3. 通过数学史的引人，知道分数线产生的过程，加深对数学符号的理解。

教学重点：

1. 让学生经历 “分” 的过程，感知分数的意义。

2. 会用自己的语言解释具体分数的意义。

教学难点： 结合直观操作，理解分数的意义。

教学过程：

一、情景导入

师：乐于分享的笑笑带了苹果和她的好朋友淘气来分。我们一起去看看吧：

6 个苹果，平均每人分到（    ）；

4 个苹果，平均每人分到（    ）；

2 个苹果，平均每人分到（    ）；

画图表示你的结果。

师：这些是咱们 2 年级学过的 “平均分”，难不倒大家。可是笑笑遇到了什么困难，你们能帮帮她吗

二、新知引入

（一）理解 “一半”

师：1 个苹果，平均分给 2 个人，每人分到多少呢？

师：请你用自己的方式表示结果。

①文字：一半

②画图：

说明图的意思：例如，圆圈表示一个苹果，竖线将其平均分成了 2 份（2 个人），阴影部分表示每个人分到的 1 份。

（同桌解释自己的图给彼此听，目的在让学生结合直观图初步感受 “平均分” 一个物体或者图形的过程）

③数字：1/2

说明数字每部分的意思：例如 1 表示每人分到一份，2 表示平均分给 2 个人，— 表示分。

总结：三种表示方法的共同点：平均分；分 2 份；取 1 份。

师：你是怎么想到这样表示的？你喜欢哪种表示方法？

（分数的准确性和简洁性的初步体现。）

（二）涂出图形的

师：仔细观察，都有哪些图形？它们的 1/2 分别是什么意思？

生：三点：平均分；分 2 份；涂 1 份。

（特别注意：此处学生的分法可能会不同，引导学生发现平均分的方式有很多，为后面复杂需要移补观察的图形做铺垫。）

（三）合作探究 1/3，体会分数的必要性

师：孩子们，你们真棒，用这么多的表示方法，帮笑笑解决了问题。奇思也被你们吸引过来了，这时笑笑要把这 1 个苹果平均分成 3 份，每个人分到多少呢？

生：我知道，是 1/3。

师：都是 1/3 吗？文字可以表示吗？图形呢？小组讨论。

生：是 1/3，用图表示是：

师：谁能解释 1/3 的意思。

师：我也画了一幅图，你能看懂吗？

师：文字能说清楚吗？此时你喜欢哪个方法？

(通过师生互动，引导学生发现分数产生的必要性。查阅史料发现，分数的出现是由于测量的需要，所以教师引入线段图的画法，拓宽学生的思维，也为后期学习做铺垫)

三、感悟历史

师：同学们，一个小小的分数可以在脑中形成各种各样的图形，我们也感受到了它的准确性和简洁性。其实呀，分数的出现不是突然的，也不仅仅是一节课的时间，而是经历了漫长的探索。想了解吗？

师：此时，你想对分数说点什么？

四、折一折，涂一涂，创造其他分数

师：分数是表示分的过程和结果的，那么请你用手中的纸折一折，涂一涂，找一个不一样的分数出来吧。

（此处一方面让学生了解其他分子非 1 的分数，另一方面让学生在操作过程中进一步观察整体与部分，理解分数的意义。）

师：借用你的图，老师来涂一涂（涂出全部），你能用分数表示吗？

五、认一认

六、练习巩固

七、课堂小结

师：下课前老师想问你们，觉得这节课有意思吗？(有) 有意思在哪里？你又学会了什么呢？

结合以前学过的整数，小数，你觉得接下来我们会学习分数的哪些知识呢？

生：我学会了用分数表示。

生：我知道了分数线产生的过程。……

活动主题解读：

一、符号意识

2014 年教育部发布了关于全面深化课程改革的指导性文件，要求在幼儿园到高中课程中，落实立德树人的根本目标，以高中课程标准修订为突破口，提出中国学生应具备的核心素养，以及每一个学科应具备的核心素养。2016 年 9 月 13 日上午，中国学生发展核心素养研究成果发布，以培养 “全面发展的人” 为核心，分为 3 个方面，综合表现为六大素养，具体细化为 18 个基本要点。核心素养主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。  

符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成抽象能力和推到能力的经验基础。——《数学课程标准（义务教育）》（2022）

目标上 —— 突出理解和运用

表示上 —— 符号表示数    巴比伦数字、中国数字、罗马数字、印度 - 阿拉伯数字

—— 符号表示数量关系   “+”“-”“×”“÷”   3=3、3＞2、3＜4

—— 符号表示变化规律     4+1=1+4

教学中 —— 发展儿童符号意识要注意分阶段。

1-2 年级聚焦 “符号意识” 的早期蕴伏，如游戏活动，探索简单规律等。

3-4 年级尝试把游戏活动、简单规律活动进行一般化的拓展。

5-6 年级能初步运用符号表达数量、关系和一般规律。

每个年级都要注意积累发展数学抽象能力和逻辑推理能力的经验。

二、数学符号的发展

数学符号的产生或发明数学史上划时代意义的大事。符号学是 20 世纪 40 年代兴起的一门综合学科，但符号起源于二千多年前。

最早出现的数学符号是数字符号。巴比伦、古埃及偶尔使用记号表示未知数、运算符号，但叙述题目、推理或演算仍大量使用语言文字。古代数学很少使用数学符号。15-17 世纪文艺复兴时期，笛卡尔、费马、牛顿、莱布尼兹等完成了常量数学向变量数学的转变。数学发展进入近代符号学。古希腊数学家丢番图（246-330）创用文字缩写，比较随便，不算真正的数学符号体系。欧几里得《几何原本》没有采用数学符号。10-12 世纪阿拉伯数学也是以文字叙述为主。

中国古代数学数码是当时很先进的计数制度。但是之后，很少创用数学符号，大都用文字叙述，且排版是传统的直行。这种情况一直沿用到清朝。闭关锁国的国策和严守 “祖宗家法” 的思想，阻断了中国和世界的交流，直到辛亥革命后，中国数学直接使用国际通用数学符号体系，才终于实现符号化，与世界发展接轨。

总结历史教训，与时俱进，保持与世界一致，科学发展才能立于不败之地。

数学家罗素说：“数学的本质是概念和符号，并通过概念进行运算和推理。” 符号意识的要求具体体现在：符号理解，符号操作，符号表达，符号思考四个维度。小学数学符号意识一方面要关注学生的主管能动性，另一方面要注重数学的功能性特征。数学符号主要有六大类：元素符号，运算符号，关系符号，结合符号，约定符号，缩记符号。

教师要重视、学好、用好、教好数学符号。