教案终稿：

图形中的规律

执教教师：刘福英 广东省佛山市顺德区华侨小学

答辩成员 ：廖珍妮 广东省佛山市顺德区华侨小学

顾婉冰 广东省佛山市顺德区华侨小学

闵乐旺 广东省佛山市顺德区华侨小学

指导教师： 郭利锋 广东省佛山市顺德区华侨小学

涂美霞 广东省佛山市顺德区华侨小学

【教学内容】

新世纪小学数学（北师大版）五年级上册 97 页

【教材分析】

《图形中的规律》是属于北师大版五年级上册 “数学好玩” 中的学习内容。在生活和数学中，存在着大量的有规律的事物，以及事物变化趋势的问题。这些问题的解决没有现成的固定的方法，更多的是要通过探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。为了让学生更充分的经历直观操作探索的过程，并能够达到 “通过一道题解决一类题” 的目的。我把这节课分为两个课时，第一课时重点是通过从不同角度分析、解决摆三角形的问题，迁移类推摆四边形、五边形等多边形的规律，而 “点阵中的规律” 则作为下一课时的内容。

【学生分析】

学生在学习本课之前有了一定的的符号意识，积累了较为丰富的字母表示数和字母表示等量关系的经验基础，四年级上册《数图形的学问》也为 “用含有字母的式子” 表示图形的规律作了较好铺垫；同时五年级学生有一定的分析和解决问题的能力，能较好运用操作、画图、探讨、抽象等解决问题的方法和策略。但学生缺乏从多角度观察、发现规律并用不同的算式表示规律的能力，尤其是抽象成 “用含有字母的式子” 表示规律还存在困难。本课中 “通过解决一道题从而解决一类题” 的思想意识较弱，学生类比迁移的能力有限，因此如何引导学生抽象成 “用含有字母的式子表示规律” 数学模型和把这种模型迁移类推到其他类似图形中是本节课的重点和难点。

【学习目标】

1. 经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形规律的方法。

2. 能在观察活动中，发现图形中隐含的规律，体会到图形与数的联系。

3. 结合探索、尝试、交流等活动，发展归纳与概括的能力，培养学生的符号意识。

【教学过程】

一、激趣导入

1. 课件出示一个三角形，师：这是一个……？如果摆一个这样的三角形需要几根小棒？（3 根）2 个呢？ （预设：6 根或 5 根）

2. 学生上台摆：

【设计意图】 基于学生的认知经验，从学生熟悉的 “拼摆三角形” 的数学活动入手，吸引学生的注意力。通过两种不同摆法的对比，让学生在具体情境中对 “连拼图形” 及 “公共边” 有一个初步的感知，为下一步的学习做好铺垫。

二、新知探索

1. 认识连拼图形及公共边

师：这两种摆法有什么不同？

预设：①第一种是分开摆的，第二种是拼在一起了。

②它们有一条边是公共的。 （由此认识连拼图形和公共边） 师：这节课，我们就来研究这种连拼图形中的规律。（板书课题）

2. 探究活动一：连拼三角形

（1）猜想： 师：如果我们用这种连拼的方法摆 10 个三角形，你觉得需要多少根小棒？谁来猜一猜？ 生：…… 师：那么到底需要多少根呢？我们一起来研究一下。

【设计意图】 通过让学生初步认识连拼三角形的一些特征后，猜想摆 10 个三角形所需要的小棒数。由于学生认知的不同，猜想的数据也不同，从而激发了学生动手验证的欲望。

（2）验证：

①用文字描述 师：请同学们以小组为单位。（出示合作要求）小组合作后，全班汇报小棒根数，请学生上讲台汇报发现。

师：你们的小棒数和他一样吗？

师：哪个小组来汇报一下，你们摆了几个三角形？发现了什么规律？（一边汇报规律、一边简单拼摆）

师：我们每个小组都有自己的发现。那如果要拼 100 个、1000 个三角形需要多少根小棒呢？看来，只用文字表述规律不能很好的解决问题。那怎么办呢？

②用算式表示：

生：用算式表示

师：请认真观察三角形的个数与小棒根数之间的关系，你能用算式表示出你发现的规律吗？用你发现的规律推算 100 个三角形需要多少根小棒。小组讨论交流。

a. 一边不变法（先摆 1 根小棒，之后每摆一个三角形需要 2 根小棒）

预设生：一个三角形一个 2，两个三角形两个 2，3 个三角形 3 个 2…（生讲的同时师用课件来帮助理解）

师：其他同学有没有什么疑问？ 预设问题：2 的个数与三角形个数之间有什么关系？ （若生没提出，则教师提问）

师：100 个三角形能用这种方法算出多少根小棒吗？ （学生算）看来用算式表达确实是很好的方法。

b. 一形不变法（先摆一个三角形需要 3 根小棒，之后每摆一个三角形需要 2 根小棒）

预设生：2 个三角形是 1 个 2，3 个三角形是 2 个 2，4 个三角形是 3 个 2。（生讲的同时师用课件来帮助理解）

师：其他同学有没有什么问题？ 预设问题：2 的个数与三角形个数之间有什么关系？（若生没提出，则教师提问）

师： 这种方法能推算出 100 个三角形需要多少根小棒吗？

c. 减去公共边法（两个三角形减去一条公共边，三个三角形减去 2 条公共边）

预设：从两个三角形开始，先把连拼的三角形分成独立摆的三角形，再减去连拼的公共边。（生讲的同时师用课件来帮助理解）

师：其他同学还有没有什么疑问？

预设问题：公共边的数量与三角形个数有什么关系吗？

师：100 个三角形能用这种方法算出多少根小棒吗？

③用字母表示： 师：我们从不同的角度发现了 3 种规律，但每一种都是每多摆一个三角形就要用一个算式表示它的规律，这样太麻烦了。我们能不能用一个式子表示所有的情况呢？有什么办法？
师：那我们统一用字母 n 表示三角形的个数，你能写出它的规律吗？（学生写三种规律）

（1）方法一（一边不变法）：

师：你能解释一下，这个算式中的 “1” 表示什么意义？2n 又表示什么意义？

预设：1 表示第一根小棒，2 表示后面每个三角形都需要两根小棒，n 个三角形就是 2n 根小棒。
（2）方法二（一形不变法）：

师：哪位同学能说说，3+2×（n-1）算式中的 3 表示什么？2×（n-1）表示的意义是什么？

预设：3 表示第一个三角形小棒的根数，2×（n-1）表示后面的三角形每个三角形需要 2 根小棒，n 个三角形就是 n-1 个 2。

（3）方法三（减去公共边法）：

师：这个算式中的 “3n” 表示什么意义？（n—1）又表示什么意义？ 预设：“3n” 表示独立摆 n 个三角形需要 3n 根小棒，（n—1）表示 n 个三角形的公共边。

【设计意图】 为了让学生体会到用数学符号表示规律的优越性，本环节在充分尊重学生认知特点的基础上，让学生在拼摆完图形后用语言文字概括规律。在此基础上，提出如何计算摆更多三角形小棒数的问题，让学生体会到用文字表达规律的局限性，产生用算式表达规律的迫切性，从而更好的培养了学生的符号意识。从而产生疑问：是否可以用算式表达规律呢？此环节，学生经历了 “图形→文字→数字算式→字母算式” 的学习过程，充分体会到用数学符号表示规律的优越性，进一步发展了学生的符号意识。

4. 总结：

师：这几种规律之间有什么相同和不同之处吗？

预设引导：它们都有一个量是变化的，另一个量是不变的。

师：什么不变？什么变了？是怎么变的呢？

预设生：第一种规律不变的是第一根小棒，变的是每增加一个三角形就增加一个 2。

师：我们把这种规律叫 “一边不变法。”

预设生：第二种规律不变的是第一个三角形的 3 根小棒，变的是每增加一个三角形就增加一个 2。

师：我们把这种规律叫 “一形不变法。”

预设生：第三种规律不变的每个独立三角形的小棒都是 3，变的是每增加一个三角形就要多减去一条公共边。

师：我们把这种规律叫 “减去公共边法。”

师：同学们，以后我们在找规律时也可以采取这种策略，找不变的量，与变化的量，看看这些变化的量是怎么变的？ 师：笑笑也有摆小棒的问题，用你喜欢的方法解决。

5. 运用规律：

笑笑接着摆下去，一共用了 37 根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗？ （先独立思考列出算式，后请学生板书并汇报想法） 师：看来大家都喜欢 “一边不变法”。

【设计意图】 此环节，学生经历了 “具体案例 —— 语言化表达 —— 数学化表达” 的渐进过程，逐步体会到用数学符号表示规律的价值 —— 简洁方便、具有一般性，激发了学生对 “数学符号” 的兴趣，感受到数学符号的价值。

三、巩固练习

1. 探究活动二：连拼多边形

师：如果都采用 “一边不变法”，先摆出 1 根，连拼三角形后面每次增加几根？四边形呢？五边形？六边形？（课件出示连拼三角形、四边形、五边形、六边形）能根据前面的启发用字母表示四边形、五边形、六边形的规律吗？ （学生独立表达，全班交流）

2. 生活应用：

（1）餐桌坐人：一张桌坐 4 人，两张桌合起来坐 6 人，3 张桌呢？10 张桌呢？你能用一个式子表示出所有的规律吗？4+2（n-1) 或 2+2n

（2）拓展：如果每张桌上下各坐 2 人呢？

（3）课外探究：如果每张桌的左右各坐 2 人呢？

【设计意图】 练习是掌握知识、形成技能、发展思维的重要手段。针对本节课的教学重点和难点，我设计了针对性、拓展性和实用性的练习题。练习 1、2 让学生把 “连拼三角形” 规律研究的经验基础，迁移应用到 “连拼四边形、五边形、多边形” 规律的探究中。通过练习 3 的实际应用，让学生体会到 “用数学符号表示规律” 能够帮助他们解决学习和日常生活中的实际问题，更好的感悟符号所蕴含的数学思想本质，看到符号化思想方法的价值所在，增强学生的符号意识。

四．课堂总结：

这节课你有什么收获？（引导从规律的探究与符号意识方面进行总结）

【设计意图】 学生对自己的学习进行反思是重要的，这个反思包括对自己是否理解、掌握知识进行反思，使得自己的学习达到高境界。本节课通过让学生梳理、反思自己的学习，让学生积累探究规律及用 “数学符号表示规律” 的经验。

【教学设计点评 1】 “图形中的规律” 是 “综合与实践” 领域的内容，教材以 “数学好玩” 的板块出示，意在以 “问题” 为载体，培养学生综合解决实际问题的能力。本节课注重激发学生学习数学的兴趣，让学生体会数学思想方法、锻炼思维能力，通过自主活动、实践探究、合作交流的方式感受到数学的规律和简洁美，增强学生的数学意识，践行 “双减” 之下的课堂教学改革。

其一，问题驱动，引领学生逐步经历符号化的抽象过程。符号意识是数学重要的核心素养之一，它的内涵是代数思想，没有符号就没有代数，从算术到代数，符号意识得到了升华。本课教学中，教师利用小组合作加问题驱动方式引导学生由用文字表达 “连拼三角形拼 10 个需要多少根小棒？”------- 用一个算式表达小棒的根数 ------ 用含有字母的式子表达的一般性规律，学生逐步体会到用字母式表示感悟符号的简洁美。

其二，以大活动为统整，积累活动经验体验解决问题方法的多样性。有效的数学活动不能单纯的依靠模仿和记忆，独立思考、自主探究、合作学习的学生学习数学的重要方式。教师通过核心问题引领学生展开学习探究活动。在大活动的统整下，学生通过想一想、摆一摆、说一说、写一写等活动，经历 “独立思考、动手操作、小组讨论、交流汇报” 的探究过程，在动手、思考、表达、交流、推理的过程中感受数形结合、变中不变的数学思想方法。本节课探究连拼三角形学生呈现出三种不同的规律：即一边不变法、一形不变法、减去公共边法。一方面理解了规律的本质，另一方面发展学生高阶思维，真正实现思维层面的互动与共享，让学生的学真正发生。

其三，课堂既有深度又有广度。本节课教师引导学生进行类比推理，从连拼三角形拓展到连拼四边形、五边形等多边形，让学生明白一道题掌握一类题。而在后面的练习题，餐桌坐人，教师不是就题讲题而是延伸到课后，如果每张桌子坐的人发生改变，人数又该怎样计算？让学生明晰变中不变的道理，掌握规律的本质含义。

总之，本节课教师立足数学好玩内容领域要求，真正做到了以生为本，真正把课堂还给学生。

【教学设计点评 2】

本课有以下两大亮点：

一是重视学生经历建模过程和迁移类比的学习。引导学生从数形结合（操作和课件展示）的视角经历探索数学规律的过程，进而归纳规律、解释规律、应用规律，并通过对一个问题的解决，实现对一类问题的解决，这个过程既是一个建模过程，也是一个应用模型的过程，是培养学生模型思想最好的例证。例如，从摆正三角形到摆正四边形、正五边形、正六边形……，探究的方法和表示规律的方法都可以类推，学生很快得到结论。这种教学理念和思路是我们一线老师中普遍存在的一个较为突出的不足，教学要有长远的眼光，重点培养学生举一反三的迁移学习能力，这是刘老师的课的一大亮点。

二是重视数学思维能力的培养。思维是数学能力之 “核”，思维也是数学素养之 “魂”，刘老师在这节课中，基于 “思维” 教，围绕 “思维” 学，学生 “从最简单的情形” 开始研究，（摆 1 个三角形多少根？2 个、3 个、10 个、100 个……）在操作后重点通过设问：“观察算式：什么没变？什么变了？是怎么变化的？”，追问：“小棒的根数与三角形的个数有什么关系？” 逐步引领学生走入思考的 “灵魂深处”，让学生运用观察、比较、分析、综合、想象、类比、抽象、概括、归纳等思维方法和判断、推理等思维形式，同时形成灵活、敏锐的思维品质以及独立思考的良好思维习惯，从整理上提升学生的思维能力。

总之，这是一节有趣的问题情境下的探究数学规律的实践活动课，有方法的习得，有思想的渗透，有能力的培养，有素养的提升，是一节不错的课例。

【我对符号意识的理解】

一、符号意识的意义

现代数学：从一般意义上说，所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略记号或代号。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所做出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。 《新课程标准》指出：符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能，知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成数学抽象能力和逻辑推理的经验基础。学生符号意识的培养，应当经历 “具体案例→个性化表达→数学化表达” 的渐进过程。符号是比较抽象的概念，只有学生亲身体验了符号与文字互相转变的过程，寻找符号存在的意义，感受其魅力，才能更好地发展符号意识。

二、培养符号意识的意义 小学阶段学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道。所以，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。符号意识的培养重在培养学生对符号的敏感获取和理解根据小学生的心理特点和知识结构构架，小学生的数学符号意识集中体现在以下几个方面：（1） 认识常见的数学符号，理解符号的内涵和意义；（2）能够鉴赏数学符号的精美及魅力，进而体会数学的美；（3）自觉运用符号去表示数、数量关系和变化规律（观念）；（4） 在具体情境中具有选择合理符号的预感，选择最恰当的符号；（5）具有识别符号信息，并能正确运用符号去解决问题的能力。（能力）

三、符号意识的培养途径

（1）利用已有经验，结合现实情境，引发符号意识。 符号意识的培养需要坚实的经验为基础。对于小学生来说，数学符号并不是上小学才开始接触的，在生活中他们就已经对符号有了初步的认识，但是，他们并不会将其上升到 “符号” 的意义。我们在教学中，可以充分利用学生的这些经验，结合现实情境，增强学生的符号意识。教学中，应促进学生在交流、分享的过程中积累经验，学习符号化的多种途径，允许个性化地表示符号，逐步体会 “符号化” 的优越性，感受符号在理解和解决问题过程中的价值。

（2）了解符号历史，挖掘深层含义，建立符号意识 数学符号的产生和发展是一部动人的历史，每一个数学符号的背后都有一个令人感动的故事。对于符号意识的培养，要经历从最初的读懂，会用到能操作符号进行运算和推理，再到形成运用符号思考的思维方式。即要循序渐进，逐步深入，在符号技能的形成过程中，学生逐步形成主动使用符号的心理倾向。

（3）借助数学问题，经历解决问题的过程，发展符号意识 符号化思想渗透的最终目的是要求学生能自觉地、有意识地运用符号去表达数学内容。符号意识的培养仅靠一些单纯的推演训练和模仿记忆是难以达到预期效果的。因此，教师要注意设计一些利于用符号分析研究的问题，鼓励学生运用符号表示后去思考研究，让学生发现符号化思想方法能够帮助他们解决学习和日常生活中的实际问题，更好地感悟符号所蕴含的数学思想本质，看到符号化思想方法的价值所在。

因此，我们教师在教学过程中，不应只是单纯地运用课本知识，还要鼓励学生注意对身边事物的观察，从生活中感受到符号的重要性。在此过程中，增强学生的符号意识，提高从具体情境中抽象数量关系和变化规律并用符号表示的能力。 学生具有了良好的符号意识，就能够用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界，真正提高学生的核心素养。

【思考在延伸】

1. 本课体现的核心概念其中一个是 “推理意识”。由连拼三角形的规律推理出连拼四边形、五边形等多边形的规律，这些规律当中，又有什么样紧密的联系？可以进一步让学生思考、探究。

2. 本课体现的核心概念之二是 “符号意识”。符号化思想渗透的最终目的是要求学生能自觉地、有意识地运用符号去表达数学内容。本节课的学习中，还可以在哪个环节让学生更进一步感受到 “符号的优越性”，让爱上符号表达呢？

这是第三次试教，用的是我自己任教的其中一个班级。

这是第二次试教，借用的还是同年级的其他班级。

这是我们第一次进行试教，借用的是同年级的其他班级。

寒假期间，我们团队已在微信群里面进行集体教研。这是回校后，团队的老师聚在一起，针对本次的活动主题 “儿童符号意识的发展” 进行讨论。在此基础上，大家再研究《图形中的规律》这节课的教学设计以及如何利用这节课培养学生的符号意识。

@[廖珍妮](https://bbs.xsj21.com/member/廖珍妮) 这个问题设计得真好！谢谢你！

三稿反思：

在第二次《图形中的规律》试教结束以后，我们进行了比较长时间的研讨与反思。其中，教学设计与活动主题的切合度，是我们思考最多的方面。于是，我们重新拿起了教材与教参，再一次的进行了认真的研读。主要有以下新的思考：

首先，教材为什么提出 “摆 10 个三角形需要多少根小棒” 这样的问题？我们认为，这样的问题比较切合学生的年龄特点，充分发挥学生的自主性。原因主要有：①如果学生在摆三角形的过程中，没有发现规律，也是可以通过拼摆三角形而解决问题；②学习能力比较强的小组可能通过摆 4 个或 5 个三角形就能发现规律，而具体摆多少个三角形，则是学生视自己小组的实际情况而定。这样的设计既让学生体会到动手摆三角形的必要性，又充分尊重了学生的个体差异性。

其次，本节课的教材设计中，有哪些方面是培养了学生的符号意识呢？通过前两轮的试教，我们发现，学生在对摆三角形的规律进行总结时，很少会主动想到用算式表示规律，而基本上是用语言表达。当然，这也符合学生的年龄特点。那么，为什么书上用的是算式表达规律呢？在此处，我们如何凸显数学符号的优越性呢？而这，也正是我们第三次教学设计最重要的一个思考点。

基于以上的思考，我们在第二次教学设计的基础上，进行了比较大的修改，旨在让我们的设计在充分尊重教材的基础上，培养学生的数学能力与符号意识，让学生真正体会到数学符号的价值与优越性。在第三轮的试教中我们发现，这次的设计不仅秉承了上两次教学设计中的 “学生参与的广度高、目标的达成度比较高、对三种规律中各个数的意义理解比较透彻” 的优点外，还具有以下特点：

1. 充分尊重学生的自主性与个性差异。本节课把前两次教学设计中的 “教师直接提出探究连拼三角形的规律” 改为由 “用这种连拼的方法摆 10 个三角形，需要多少根小棒” 这一问题，引领学生自主探究规律，让学生体会到拼摆三角形活动的必要性。同时，教师充分尊重学生的个体差异，并没有规定学生必须摆几个三角形，而是让每个小组自主拼摆三角形，并通过问题 “你们摆几个三角形就能找到规律”，促进学生边摆边思考。教学中也发现，大部分小组在拼摆到 5 个三角形时就能找到规律，个别小组在拼摆 4 个三角形时就已经找到了规律，也有个别小组拼摆到 7 个三角形才发现规律。

2. 让学生体会到用数学符号表示规律的优越性。本次设计在让学生总结规律时，把前两轮 “直接让学生尝试用算式表示规律” 改为分两步总结规律。第一步，充分尊重学生的认知特点 —— 在拼摆完图形后用语言文字概括规律。第二步，教师通过让学生解决 “100 个、1000 个三角形需要多少根小棒” 的问题，体会到用文字表达规律的局限性。从而产生疑问：是否可以用算式表达规律呢？在此基础上，学生通过探究算式表达规律的过程，充分体会到用数学符号表示规律的优越性，培养了学生的符号意识。

同时我们也发现了还存在以下问题：

1. 学生对用字母表示规律的必要性体会不深。在探究三角形的规律时，学生虽然已经会用三种方法表示规律，但对于为什么要 “n” 来表示规律却并不明白，而是教师直接提出 “如果 n 个三角形需要多少根小棒呢” 这一问题让学生解决。如果教学时，能让学生切身感受到必须用 n 表示规律的话，学生对数学符号的认识会更深。那么学生就能经历 “图形→文字→数字算式→字母算式” 完整的规律探究过程，从而真正培养学生的符号意识。

2. 学生对三种规律之间的关系理解不深。学生通过小组合作，得到了不同的规律，但这三种规律之间有着什么样的关系呢？教师在教学中，应组织学生对这三种规律进一步讨论与分析：这三种规律之间都有变与不变的规律，每一种规律中，什么变了？什么没变？应让学生进一步探讨，以做到对规律有更深层次的认识。

鉴于以上反思，在接下来的教学设计中，我们将进行更深入的研究与思考，让我们的设计更符合学生的认知水平，进一步培养学生的符号意识。

教案三稿：

图形中的规律

教学目标：

1、经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形规律的方法。

2、能在观察活动中，发现图形中隐含的规律，体会到图形与数的联系。

3、结合探索、尝试、交流等活动，发展归纳与概括的能力，培养学生的符号意识。

教学重难点：

重点：经历探索的过程，体验发现图形规律的方法，培养学生的符号意识。

难点：从不同的角度观察、思考，探索发现连拼图形的不同规律。

教学过程

一、激趣导入

1. 课件出示一个，

师：这是一个……？如果摆一个这样的三角形需要几根小棒？（3 根）2 个呢？
（预设：6 根或 5 根）

2. 学生上台摆：

（设计意图：基于学生的认知经验，从学生熟悉的 “拼摆三角形” 的数学活动入手，吸引学生的注意力。通过两种不同摆法的对比，让学生在具体情境中对 “连拼图形” 及 “公共边” 有一个初步的感知，为下一步的学习做好铺垫。）

二、新知探索

1. 认识连拼图形及公共边

师：这两种摆法有什么不同？

生：第一种是分开摆的，第二种是拼在一起了。

师：是的，像这样拼在一起的摆法，我们把它叫做连拼图形。这节课，我们就来研究这种连拼图形中的规律。

师：它们之间还有什么不同？

生：连拼三角形比独立三角形少用了 1 根小棒。

师：为什么连拼摆法会少一根呢？

生：因为它们有一条边是公共的。

师：是的，我们把这条两个三角形共用的边叫做公共边。

2. 探究活动一：连拼三角形

（1）猜想：

师：如果我们用这种连拼的方法摆 10 个三角形，你觉得需要多少根小棒？谁来猜一猜？

生：15，20……

师：那么到底需要多少根呢？我们一起来研究一下。

（2）验证：

a. 用文字描述

师：请同学们以小组为单位。（出示合作要求）小组合作后，全班汇报小棒根数及发现的规律。

规律 1：在第一个三角形的基础上，每增加一个三角形，就增加 2 根小棒。

规律 2：先摆 1 根上棒，每摆一个三角形需要 2 根小棒。

规律 3：从第二个三角形开始，每增加一个三角形就有一条公共边。

师：如果要拼 100 个、1000 个、n 个三角形需要多少根小棒呢？看来，只用文字表述规律不能很好的解决问题。怎么办呢？

b. 用算式表示：

生：用算式表示

师：三角形的个数与小棒根数之间的关系，你能用算式表示出你发现的规律吗？小组讨论交流。

（3）汇报：

a. 一边不变法

生：先摆 1 根小棒，之后每摆一个三角形需要 2 根小棒，1+2，1+2+2

师：（学生汇报过程中，教师用图辅助理解）让我们结合图可能会更好理解。

师：其他同学有没有什么疑问？

预设生 1：2 的个数与三角形个数之间有什么关系？

预设生 2：1 表示什么意思？

师：100 个三角形能用这种方法算出多少根小棒吗？n 个三角形呢？你能写出它的规律吗？（1+2n）

师：你能解释一下，这个算式中的 “1” 表示什么意义？2n 又表示什么意义？

生：1 表示第一根小棒，2 表示后面每个三角形都需要两根小棒，n 个三角形就是 2n 根小棒。

b. 一形不变法

生：第一个三角形是 3 根小棒，后面每增加一个三角形就增加 2 根小棒。所以是 3+2，3+2+2，3+2+2+2…。

师：（生讲第一个之后用课件帮助理解）好，我们也用图形来帮助理解。

师：其他同学有没有什么问题？

预设生 1：3 后面加的这个 2 有没有什么规律？

预设生 2: 为什么 2 的个数不是与三角形的个数相同呢？

生：因为第一个三角形是 3 根小棒，我们要把第一个三角形减去。

师： 如果是 100 个三角形呢？n 个三角形呢？你能写出它的规律吗？

师：哪位同学能说说，3+2×（n-1）算式中的 3 表示什么？2×（n-1）表示的意义是什么？

生：3 表示第一个三角形小棒的根数，2×（n-1）表示后面的三角形每个三角形需要 2 根小棒，n 个三角形就是 n-1 个 2。

c. 减去公共边法

生：从两个三角形开始，先把连拼的三角形分成独立摆的三角形，再减去连拼的公共边，两个三角形减去一条公共边，三个三角形减去 2 条公共边。

师：好的，我们还是用图形来帮助理解。

师：其他同学还有没有什么疑问？

预设生：公共边的数量与三角形个数有什么关系吗？

生：公共边的数量比三角形的个数少 1。

师：为什么呢？

生：因为第一个三角形是没有公共边的，从第二个三角形开始才有公共边。所以公共边的数量比三角形的个数少 1。

师：100 个三角形能用这种方法算出多少根小棒吗？n 个三角形呢？你能写出它的规律吗？【3n—（n—1）】

师：这个算式中的 “3n” 表示什么意义？（n—1）又表示什么意义？

生：“3n” 表示独立摆 n 个三角形需要 3n 根小棒，（n—1）表示 n 个三角形的公共边。

3. 总结： 我们通过从不同的角度观察，发现了不同的规律。你们真棒！

4. 运用规律：

（1）照这样摆 200 个三角形，需要多少根小棒？你用的是哪种方法？

（2）笑笑接着摆下去，一共用了 37 根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗？

（先独立思考列出算式，后请学生板书并汇报想法）

（设计意图：本环节在二稿的基础上，改动较大。把原来 “直接让学生探究三角形的规律” 改为 “让学生先猜想摆 10 个三角形需要的小棒数”，以此激发学生探究的欲望，感受到探究的必要性。而在探究规律时，也是设计了符合学生年龄特征的活动 —— 用语言表达出小组发现的规律。在此基础上，提出如何计算摆更多三角形小棒数的问题，让学生产生用算式表达规律的迫切性，从而更好的培养了学生的符号意识。此环节，学生经历了 “具体案例－－语言化表达－－数学化表达” 的渐进过程，逐步体会到用数学符号表示规律的价值－－简洁方便、具有一般性，激发了学生对 “数学符号” 的兴趣，感受到数学符号的价值。）

三、巩固练习：

1. 探究活动二：连拼四边形

（1）学生独立完成，研究连拼四边形的规律。

（2）学生汇报方法。

2. 探究活动三：连拼多边形

（1）课件出示连拼三角形、四边形、五边形、六边形…… 如果都采用 “一边不变法”，先摆出 1 根，连拼三角形后面每次增加几根？四边形呢？五边形？六边形？…… 能根据前面的启发用字母表示五边形、六边形的规律吗？

（2）全班交流

3. 生活应用：

（1）小熊表演：第一只熊 4 脚着地，第二只开始，两只脚放在前一只熊的背上，后面两只脚着地，20 只熊一共有多少只脚着地，n 只呢？

（2）餐桌坐人：一张桌坐 4 人，两张桌合起来坐 6 人，3 张桌呢？10 张桌呢？n 张桌呢？

(设计意图：练习是掌握知识、形成技能、发展思维的重要手段。针对本节课的教学重新和难点，我设计了针对性、拓展性和实用性的练习题。练习 1、2 让学生把 “连拼三角形” 规律研究的经验基础，迁移应用到 “连拼四边形、五边形、多边形” 规律的探究中。通过练习 3 的实际应用，让学生体会到 “用数学符号表示规律” 能够帮助他们解决学习和日常生活中的实际问题，更好的感悟符号所蕴含的数学思想本质，看到符号化思想方法的价值所在，增强学生的符号意识。）

四、总结提升

这节课有什么收获？

总结：可以从不同的角度观察、发现规律；同一规律可以运用到不同的情景。

（设计意图：学生对自己的学习进行反思是重要的，这个反思包括对自己是否理解、掌握知识进行反思，使得自己的学习达到高境界。本节课通过让学生梳理、反思自己的学习，让学生积累探究规律及用 “数学符号表示规律” 的经验。）

附：学生学习单

三角形的个数 小棒的根数

1

2

3

4

5

…

10

我们小组摆了（ ）个三角形，发现的规律是：

二稿反思：

我们在吸取了上次的经验与教训之后，对教案做了一些认真的修改，这是第二次进行《图形中的规律》的试教。在本轮试教中，我们发现了，这次的设计除了秉承了上次教学设计中的 “学生参与的广度高、目标的达成度比较高” 的优点外，还具有以下特点：

1. 学生对三种规律中各个数的意义理解比较透彻。本次设计，我们总结了前一次经验教训，让学生把更多的时间花在对三种规律的理解上。把之前的 “学生独立” 探索规律改为 “以小组为单位” 进行探索；而在汇报规律时，也是把之前的 “一人汇报” 改为 “小组中一人汇报，其他几人相应拼摆出三角形” 的形式，并让学生解释每个数的意义。如 “1+2n” 中的 “1” 表示第一个三角形的第一根小棒，“2” 的个数就是三角形的个数；第二种规律 “3+2（n-1）” 中的 “3” 则表示第一个三角形的 3 根小棒，“2” 的个数是三角形的个数减 1（因为第 1 个三角形的小棒数是 3）等等。通过这种数形结合的方式，学生更进一步地理解了规律的意义。

2. 时间安排比之前更合理。由于之前的教学环节安排不够合理，导致时间非常紧张。本次的设计通过以下几方面的改进，将时间的安排更合理一些。如，把 “学生拼摆独立三角形” 改为直接回答 “独立三角形的规律”、学生独立研究规律改为小组共同探索规律、把学习单上的图形的形状这一栏删除，避免对学生的探索产生误导。这样的设计既降低了学生学习的难度，又让学生把时间用在刀刃上。
同时我们也发现了还存在以下问题：

1. 各个环节的时间还是不合理。教学在进行到 “发现了三角形的规律” 以后，就已经到了下课的时间，没有更多的时间去把 “发现三角形的规律的经验” 迁移到 “连拼四边形、五边形、多边形的规律” 的发现中。主要的原因是学生在汇报规律时，在黑板上拼摆图形的时间过长，后续的教学可以改进教具或者用课件进行替代。

2. 学生的学习基础比较薄弱。由于我们是四年级的学生要学习的是五年级的知识，所以学生的基础知识很多还不是很扎实，特别是用字母表示数量关系及规律的能力是比较弱的，导致部分学生无法很好地把发现的规律用字母表示出来。所以，我们还要思考如何让这节课的设计更贴近四年级学生的学习水平。

3. 本节课的设计对学生符号意识的培养并不是特别突出，只重视学生获取规律及对规律意义的理解。数学符号的优越性在本次的设计中没有很好的体现出来。那么，我们在接下来的设计中还将进一步思考：为什么要用 “含有字母的字母式表示规律”？它与用语言描述有什么区别？优势又在哪？在第三稿的设计中，我们将力求解决以上问题，从而真正将培养学生的符号意识落到实处。

4. 课件的设计不太合理。小学生的思维是以具体形象思维为主的，所以对于一些比较抽象的规律，需要借用直观教学才能更好地帮助学生理解规律。而在本节课的教学中，课件并没有很好的发挥辅助作用，对于帮助学生理解规律的作用性不大。

鉴于以上反思，在接下来的教学设计中，我们将进行更深入的研究与思考，让我们的设计更符合学生的认知水平，进一步培养学生的符号意识。

教案二稿：

图形中的规律

教学目标： 1、经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形规律的方法。

2、能在观察活动中，发现图形中隐含的规律，体会到图形与数的联系。

3、结合探索、尝试、交流等活动，发展归纳与概括的能力。

教学重点： 经历探索的过程，体验发现图形规律的方法。

教学难点： 从不同的角度观察、思考，探索发现连拼图形的不同规律。

教学过程

一、激趣导入

1. 课件出示一个，（摆独立三角形） 师：这是一个……？如果摆一个这样的三角形需要几根小棒？ 2

个呢？ 请学生上台摆一摆。

2. 师：如果摆这样的 3 个、4 个三角形需要多少根小棒呢？10 个呢？n 个呢？并理解 “3n” 的意义。

（设计意图：对用字母式表示图形的规律，学生已在四年级 “用字母表示数” 中有一定的知识经验基础。本环节由一稿的两种摆法改为只摆独立三角形，让学生更清晰的认识独立三角形的规律，避免了不必要的干扰。独立三角形的规律对于学生来说，是比较容易理解的，所以本环节用字母表示规律，也正是为下一步的连拼三角形的规律打下基础，同时培养了学生的符号意识。）

二、新知探索

1. 认识第二种摆法

师：还有其他的摆法吗？（生上台摆）这样的摆法和前面有什么不同？

学生会说到：①刚刚是分开摆，现在是拼在一起了（此时介绍这种摆法：连拼图形）；②这样摆比独立摆少了 1 根小棒或每增加一个三角形只需要增加 2 根小棒等。（若学生没有说到第二条，则问：这种连接摆法用了几根小棒？为什么会少一根呢？由此引出公共边）

师：这节课，我们就来研究这种连拼图形中的规律（板书课题）

2. 探究活动一：连拼三角形（出示探究活动要求） 小组合作后，全班汇报小棒根数，请学生上讲台汇报发现。（粘贴学习单）

（1）一形不变法（在第一个三角形的基础上，每增加一个三角形就增加 2 根小棒）

生：（结合所摆的图形）3 表示第一个三角形，后面 3 个三角形每次只需要增加 2 根小棒就行，所以是 3+2，3+2+2，3+2+2+2…。

学生上台汇报完以后，可以让其他的同学进行提问。

师：3 后面加的这个 2 有没有什么规律？（用图与每个 2 对应起来，理解 2 的个数与三角形个数之间的关系）

师： 如果是 100 个三角形呢？n 个三角形呢？你能写出它的规律吗？

重点理解：3+2×（n-1）算式中的 3 表示什么？2×（n-1）表示的意义是什么？

师：为什么 n 要减 1？不能是 n 吗？

（2）一边不变法（先摆 1 根小棒，之后每摆一个三角形需要 2 根小棒）

生：1+2，1+2+2，1+2+2+2… 师：2 的个数与三角形个数之间有什么关系？为什么这次又是与三角形个数相同呢？

师：100 个三角形能用这种方法算出多少根小棒吗？n 个三角形呢？你能写出它的规律吗？

重点理解：1+2n 中的 “1” 表示什么意义？2n 又表示什么意义？

（3）减去公共边法（先把连拼的三角形分成独立摆的三角形，再减去连拼的公共边）

生：2×3-1=5，，3×3-2=7，4×3-3=9，5×3-4=11…

师：我们在摆 2 个三角形的时候不是用了 6 根小棒吗？为什么现在只需要 5 根小要棒？

生：有一根小棒是共用的，要减去公共边。 请学生上台指一指。对于 3 个、4 个三角形也是同样的处理方法。 师：公共边数与三角形个数有什么关系？

师：100 个三角形能用这种方法算出多少根小棒吗？n 个三角形呢？你能写出它的规律吗？

重点理解：3n—（n—1）中的 “3n” 表示什么意义？（n—1）又表示什么意义？

3、对比、总结：这三种方法，你喜欢哪种方法？为什么？

4. 运用规律：

（1）照这样摆 200 个三角形，需要多少根小棒？你用的是哪种方法？

（2）笑笑接着摆下去，一共用了 37 根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗？ （先独立思考列出算式，后请学生板书并汇报想法）

（设计意图：本环节由一稿的独立拼摆三角形、找规律改为让学生在小组内学生拼摆三角形、找规律，充分发挥小组合作的作用，也照顾到中下生的学习需求。同时，相对于一稿，更注重让学生借助拼摆的图形理解各规律中每个数字的意义，让学生进一步理解规律的意义。此环节，学生经历了 “具体案例－－个性化表达－－数学化表达” 的渐进过程，逐步体会到用数学符号表示规律的价值－－简洁方便、具有一般性，激发了学生对 “数学符号” 的兴趣，进一步培养了学生的符号意识。）

三、巩固练习：

1. 探究活动二：连拼四边形

（1）学生独立完成，研究连拼四边形的规律。

（2）学生汇报不同的方法。

2. 探究活动三：连拼多边形

（1）课件出示连拼三角形、四边形、五边形、六边形…… 如果都采用 “一边不变法”，先摆出 1 根，连拼三角形后面每次增加几根？四边形呢？五边形？六边形？…… 能根据前面的启发用字母表示五边形、六边形的规律吗？

（2）全班交流

3. 生活应用：

（1）小熊表演：第一只熊 4 脚着地，第二只开始，两只脚放在前一只熊的背上，后面两只脚着地，20 只熊一共有多少只脚着地，n 只呢？

（2）餐桌坐人：一张桌坐 8 人，两张桌合起来坐 12 人，三张桌呢？10 张桌呢？n 张桌呢？

（设计意图：练习是掌握知识、形成技能、发展思维的重要手段。针对本节课的教学重新和难点，我设计了针对性、拓展性和实用性的练习题。练习 1、2 让学生把 “连拼三角形” 规律研究的经验基础，迁移应用到 “连拼四边形、五边形、多边形” 规律的探究中。通过练习 3 的实际应用，让学生体会到 “用数学符号表示规律” 能够帮助他们解决学习和日常生活中的实际问题，更好的感悟符号所蕴含的数学思想本质，看到符号化思想方法的价值所在，增强学生的符号意识。）

四、总结提升 这节课有什么收获？

总结：可以从不同的角度观察、发现规律；同一规律可以运用到不同的情景。

（设计意图：学生对自己的学习进行反思是重要的，这个反思包括对自己是否理解、掌握知识进行反思，使得自己的学习达到高境界。本节课通过让学生梳理、反思自己的学习，让学生积累探究规律及用 “数学符号表示规律” 的经验。）

一稿反思：

《图形中的规律》是属于北师大版五年级上册 “数学好玩” 中的学习内容。在生活和数学中，存在着大量的有规律的事物，以及事物变化趋势的问题。这些问题的解决没有现成的固定的方法，更多的是要通过探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。为了让学生更充分的经历直观操作探索的过程，并能够达到 “通过一道题解决一类题” 的目的。我把这节课分为两个课时，第一课时重点是通过从不同角度分析、解决摆三角形的问题，迁移类推摆四边形、五边形等多边形的规律，而 “点阵中的规律” 则作为下一课时的内容。

3 月 10 日，我和年级组的老师在四 5 班（借班）进行了第一次试教。我们发现本节课的突出优点主要有以下几个方面：

1. 学生参与的广度覆盖全体学生。本节课通过设计丰富多样的数学活动，为学生提供参与数学学习的机会。活动一，让学生独立摆一摆、拼一拼的数学活动，让每个学生经历了摆三角形的过程。活动二，学生在小组内讨论、交流 “三角形的个数与小棒根数之间” 的关系。活动三，利用连拼三角形的规律迁移类推连拼四边形、五边形等多边形的规律。

2. 目标的达成度比较高。本节课的教学让学生理解了 “连拼图形中” 的规律、积累了探索规律的经验、体会了 “数形结合” 的思想，让四基的学习目标落到实处。

3. 学生的符号意识得到培养。学生在拼摆完图形以后，通过用数学符号 —— 数学算式表示连拼三角形的规律，培养了学生的符号意识，让学生通过图形与算式的结合，理解了数学算式 “1+2n、3+2（n-1）、3n-(n-1)” 的意义。

当然，本节课还有很多值得思考的地方：

1. 时间安排不够合理。本节课的时间是比较仓促的，主要是因为以下两个方面：（1）对于第一种摆独立三角形的方法，学生对于三角形的个数与根数之间的关系是比较容易理解的，所以，不必让学生填表，可以直接让学生口答。（2）在探究连拼三角形的规律时，过高地估计了学生的能力，大部分学生无法独自观察研究规律，这个环节耗费了大量的时间。基于以上两个原因，导致最后的探索活动 —— 连拼四边形、五边形等多边形的规律，时间是很紧。

2. 学生对于规律中各个数的意义理解不透。在总结连拼三角形的规律时，老师引导过多。而学生对于 “1+2n” 中的 “1” 表示什么意义，“2” 与三角形的个数又有什么样的关系理解不深；第二种规律 “3+2（n-1）” 中的 2 与三角形的个数之间的关系又是怎样的？学生都不太明白，主要原因是教师的问题设计不太合理，没有指引学生去找它们之间的关系。

3. 学生学习单的设计不合理。在学习单的设计上，我依照数学书的表格直接让学生进行填写，发现学生在填写表格时，大部分时间都是在忙于画小棒摆成三角形的形状，而没有观察小棒的根数与三角形个数之间的关系。

4. 学生对数学符号的优越性体会不深。在教学中，我通过让学生在拼摆三角形的过程尝试用算式表示规律，是培养了学生的符号意识，但学生对于为什么要用算式表示并不是很理解，没有经历数学规律的符号化过程。

鉴于以上反思，在接下来的教学设计中，我们将发扬优点，改进不足，让我们的设计更符合学生的认知水平。