小学数学思维过程分析的理论和方法？

激发学生思维动机，理清学生思维脉络，培养学生思维方法，是提高学生思维能力的重要方面。 

一、激发学生思维动机

动机是人们 “因需要而产生的一种心理反映”，它是人们行为活动的内动力。因此，激发学生思维的动机 ，是培养其思维能力的关键因素。 

教师如何才能激发学生思维动机呢？提出问题，创设情境问题 "是数学的心脏"，是思维的起点。有问题才会有思考，思维是从问题开始的。巧妙恰当地提出问题，创设良好的思维情境，能够迅速集中学生注意力，激发学生的兴趣和求知欲。这是上好数学思维训练课的首要环节。这就要求教师必须在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机 。问题的提出，首先要从教材入手，寻找思维素材。其次是通过对教材内容的再加工，设计一些具有疑问性、思维性、说理性、扩散性、等特点的问题，使学生产生认知冲突，进入思维 "角色"，成为思维的主体。例如：在教学 “分层抽样” 这一内容时，首先要使学生明白总体由差异明显的几部分组成时，若平均抽取，则没有注意总体中个体的层次性，故要分层抽样。教学时可设计这样一个问题：为了了解某市 800 家企业的管理情况，拟抽取 40 家企业作为样本。这 800 家企业中有中外合资企业 160 家，私营企业 320 家，国有企业 240 家，其他性质的企业 80 家。如何抽样较合理？能否在 800 家中随机抽取 40 家，能否在中外合资企业、私营企业、国有企业以及其他性质的企业中平均抽取？ 

这样设计教学既渗透了 “知识来源于生活” 的数学思想，又使学生意识到学习知识的目的是为了解决生活 和生产中的实际问题。学生的学习动机被激发起来了，自然会全身心地投入到后面的教学活动之中。 

可见，创设思维情境，激发学生的思维动机，是对其进行思维训练的重要环节。 

二、理清学生思维脉络

认知心理学家指出：“学生思维能力的发展是寓于知识发展之中的。” 在教学中，对于每一个问题，既要 考虑它原有的知识基础，又要考虑它下联的知识内容。只有这样，才能更好地激发学生思维，并逐步形成知识脉络。我们教学的关键在于使学生的这种思维脉络清晰化，而理清思维脉络的重点就是抓住思维的起始点和转 折点。 

1. 引导学生抓住思维的起始点。数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生 — 发展 — 延伸 的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，这就是思维的开端。从学生思维的起始点入手，把握住思维发展的各个层次逐步深入直至终结。如果这 个开端不符合学生的知识水平或思维特点，学生就会感到问题的解决无从下手，其思维脉络就不会在有序的轨道上发展。这里教师要切忌用自己的思维取代学生思维，要正确处理知识与思维的关系，即："已有知识 -- 思维 -- 新知识"。知识是思维的基础，而思维又属于知识的知识。知识有助于思维，但不能取代思维。在这一环节的教学中，要注重学生思维潜力的挖掘，发挥其既是知识的产物、又是知识媒介的双重作用。



例如：在教学 “柱体的体积” 这一内容时，从学生已有知识基础 — 长方体的体积入手，把握住长方体的体积与棱柱的体积的关系，即把长方体的体积公式 file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif 作为已知事实来运用，而通过前面空间几何体的学习我们知道，长方体是由矩形向某一方向平移得到，类似棱柱（圆柱）可又多边形（圆）沿某一方向平移得到，只要底面积和高都与长方体一样的柱体都与长方体的体积一样。从而将学生的思维很自然地引入 file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif，为 学生扫清了认知上的障碍。 

当然，不同知识、不同学生的思维起点不尽相同，但不管起点如何，作为数学教学中的思维训练必须从思 维的 “发生点” 上起步，以旧知识为依托，并通过 “迁移”、“转化”，使学生的思维流程清晰化、条理化、逻辑化。 

2. 引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现 “卡壳” 的现象，这就是思维的障碍点。此时教学 应适时地加以疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维发展。思维扩展这一环节是知识的形成阶段，属抽象思维的高级阶段。数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成的。学生接受新知识要借助于旧知识，而旧知识的思维形式往往会成为新知识思维形式的障碍（如思维定势），因此，教师首先要抓好教学过程中数学思想方法的渗透，在数学知识的质变（往往是重点）过程中，帮助学生实现思维活动的转折，排除思维活动的障碍（往往是难点），渡过思维操作的 "关卡"，以实现思维发展。学生理性认识过程是由表象的具体到思维的抽象，再由思维的抽象上升到思维的具体的过程。研究数学问题的过程首先是由具体到抽象的过程，在此环节中，将数学问题转化加工为例题形式，使被抽象出来的数学问题再回到实践中去验证，这一阶段是学生的思维定向阶段，是运用思维探索规律学会抽象的过程。但探索研究的关键是学生的参与，思维操作的关键是激励学生进入积极的思维状态。因此，教师要依据学生的思维特征、认知规律，从知识的发生、发展、形成过程中随机设计学生参与的最大开发口，暴露思维过程，让学生多动脑、动手、动口，给学生主动研究、探索、分析、归纳、推理和判断等数学活动的时空。

例如：某种细菌每隔 20 分钟分裂一次，一个分裂成两个，则经过 24 小时，一个细菌繁殖的细菌总个数是多少？ 

学生在思考这道题时，虽然能够准确地判断出这是一个等比数列的问题， 但是，到底是用求和公式还是用通项公式呢，这样，学生的思维出现障碍。教师应及时抓住这个机会，引导学生开拓思路：可以在黑板上画图帮助理解，一个细菌分裂一次分裂成两个细菌，原有的细菌不存在了，依次分裂 n 次后前面 file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif 的细菌都不存在了，于是学生很自然的知道本题用等比数列通项公式解题。老师还可提出若是母牛生小牛又会怎样，抓住这个转折点，有利于克服学生的思维障碍，有利发散思维的培养。 

总之，教师帮助学生理清思维脉络，注意思维过程中的起始点和转折点，才是数学教学中思维训练的 重点所在。 

三、培养学生思维方法

培养学生思维方法的教学中，注意结合学生的心理特点和认识水平从不同角度、不同层次、不同侧面有目的、有针对性地不断设计组编一些探索型、开放型、判断改错型、归纳与综合型等题目，为学生提供多种类型的思维训练素材，这是发展学生的思维能力所不可缺少的。这要求教师注重挖掘课本典型题例的潜在功能，充分发挥它的导向、典型、发展和教育作用，反复渗透与运用数学思维方法，把数学知识溶入活的思维训练中去，并在不断的 "问题获解" 过程中深化、发展学生的思维。

１．把知识的教学与思想方法的培养同时纳入教学目的原则。各章应有明确的数学思想方法的教学目标，教案中要精心设计思想方法的教学过程。

２．寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中、于教学问题的解决之中的原则。知识是思想方法的载体，数学问题是在数学思想的指导下，运用知识、方法 “加工” 的对象。皮之不存，毛将焉附？离开具体的数学活动的思想方法的教学是不可能的。

３．适当章节的强化训练与思想方法反复运用相结合的原则。数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用、被认知的思想方法只有在反复的运用中才能被真正掌握这一教学规律，都决定了成功的思想方法和教学只能是有意识的贯穿全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教学更是如此。如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出 “柳暗花明又一村” 般的数形和谐完美结合的境地。在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方法的训练。例如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组题，在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数学归纳法解题这一思想方法，在学生能熟练运用的基础上，通过反复运用，才能形成自觉运用的意识。

4．用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。

 综上所述，在数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利 于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质

本帖最后由 陈春艳 于 2014-3-30 23:50 编辑

第一章 数学思想方法概述

1．数学思维方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。

2．思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。

3．思维的特征：方向性，概括性、间接性

4．数学思想方法的两个源头：欧几里得《几何原本》和古代中国《九章算术》

5．数学思想方法的发展概述：

①从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。

②从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。

③从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。

④从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。

⑤从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变

6．数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。

数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。

数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。

7．数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维

8．数学思维的特征：高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性

9．数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。

10．数学思维方法分类:

① 按照使用范围不同：宏观数学方法，微观数学方法

② 按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法

③ 按照解决问题的方式不同：程式化思维方法，发现性思维方法（带有个人特性，主观色彩，独立特性）

④ 按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法

11．数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系 ——

① 数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容

② 数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在这些数学方法中，数学思维活动的积极意义

③ 数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系

12．数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学

13．在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义：

① 数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。

② 数学思维的教学可以使人们在处理问题是迅速抓住事物本质，从而找到解决问题的方法。

③ 数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。

14．在中小学教育中，要通过 “数学常识” 和 “数学思维能力” 的组合来培养 “数学智力”

15．中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。

16．从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题：

① 数学思维方法的学习，是对一个数学专业的学习者、数学专业未来教师应有数学能力、专业素质的培养

② 数学思维方法是一个刚刚开始研究的领域，因此我们的学习过程也是一个参与研究和讨论的过程

③ 数学思维方法可以使人了解数学理论发展变化中的数学家思维方式的变化，也是对大学数学专业学习的一个反思过程。

第二章 数学中几种重要的思维方法

1．算术的发展演变、符号的诞生以及算术向代数的发展表现了数学思维方式中数量形式和内容之间关系的变化与发展。

2．算术的主要内容是有关自然数、分数和小数的性质及相关的四则运算。

3．数量符号脱离了事物原有属性，是一种抽象化、数理化的符号。

4．算术解题的思维方式的关键，是把已知的数量符号运用加、减、乘、除连接起来，简历其解决问题的数学算式。

5．代数解决问题的思维方式中最关键的思想是，把未知量作为一个同已知量有相同意义的数量符号同已知量一起组成关系式，并按等量关系由符号相连列出方程，然后通过方程的恒等变换或同解变换等求出未知量的数值。

6．数学具有高度抽象性，这种抽象性以形式化为特点。

7．对于中小学的数学教育，算术向代数发展的数学思维方式的演变可以给我们提供两种启示：

① 数学的形式与内容中，当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意这种数学形式多反映的内容。

② 数学的形式都与具体内容相关，尤其是算术与代数的学习，更应注重内容与形式的结合。

8．在数学的思维中，最先作为思维语言符号的就是数量与几何图形，数学的发展也是以数与形作为两个最基本的研究对象

9．空间思维转变的意义：

① 古希腊的思维方式，有一个从毕达哥拉斯 “万物皆数” 的数量思维观念向柏拉图的 “世界是由几何图形构造” 的空间思维观念的转变过程

② 人们的空间思维由静态转向动态发展

③ 空间思维与数量思维的结合，使原来空间图形具有的明显直观性和经验性的特征开始转变，拓广了人们原有的欧几里得式的空间思维

④ 使代数的一些内容具有了直观的图形意义，更为重要的是使人民对代数形式所表现的结果有了一种形象直观模型的思维追求。

10．变量数学的发展是由解析几何提供直观前提，并且由无穷小量计算方法 —— 微积分的创立而最终完成的。

11．变量数学的研究问题大体可以分为四类：

① 描述非匀速运动物体的轨迹

② 求曲线在某一点的切线

③ 求变量（函数）的极值

④ 计算曲线长度、曲变形面积，曲面体体积、物体的重心及大质量物体间的引力等。

12．变量数学思维的意义：

① 变量数学的确立，使人们对世界的思考由静止物体的数学思维发展到对运动物体的数学思维

② 变量数学的发展，对数学自身的成长起到了重要的推进作用

③ 无限的观念、无限的数学思维在微积分中的出现，使人类认识世界的能力有了提高

13．三大数学危机：

① 无理数的出现

② 无穷小的运算、论证与表述所产生的如何认识无限的问题（芝诺悖论）

③ 与康托集合论相关的无限问题（罗素悖论、理发师悖论）

14．三大基础学派：形式主义、逻辑主义、直觉主义

15．必然性研究的数学：人们知道某事物开始的原因后就可以明确地预知它的结果

或然性研究的数学：不能确定某些现象是否会出现

16．概率论发展的最重要的思想是如何认识在随机现象之后的统计规律性

17．概率论提供的数学思维方式的意义 —— 随着随机现象的研究，推动了原有的必然性数学理论的发展，对随机现象的数学描述，使人们对世界发展变化的客观规律有了深入的理解

18．数学明确化的理论基础是集合理论，它把数学对象的确定性、差异性准确无误地表述出来，数学各种分支都以集合论作为理论的基础。

19．对于数学的教育而言，模糊数学的创立对我们的数学教育活动有两个方面的积极作用 —— 使人们认识到数学作为人类的理性创造是无止境的，模糊数学的思想与方法为我们进行探究性学习、参与学习提供了新的案例。

20．中国古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综合，形成概念与方法，并上升到理论阶段。

21．古代数学思维对现代教育的意义：

① 唯理性的追求数学的形式、结构的方式不是数学的唯一发展方式

② 直观性、实用性是初等数学的重要特性

③ 筹算运演工具性特征的启示

第三章 数学思维中的逻辑思维与非逻辑思维

1．逻辑思维的主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑

    形式逻辑的主要思维形式规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论

              主要思维方法：比较与分类，分析与综合，归纳与演绎

2．逻辑思维的基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论

    同一律的要求：在同一思维过程中，使用概念的内容必须保持同一，不能任意改变；对正确思维的要求是必须保持判断的同一性。

    充足理由论的要求：理由必须真实，理由与推断之间要有逻辑联系

3．数学逻辑思维的基本形式：数学概念、数学判断、数学推理

    数学概念是数学思维最基本的形式，它是对客观事物的数量关系、空间形态或结构关系的特征的概括

    数学概念的相容关系有：同一关系、从属关系、交叉关系

    数学概念的不相容关系有：、对立关系、矛盾关系

    数学判断的表现形式：公理、定理

    数学思维的形式。其最终表现形式是形成逻辑形态的命题

    最常用的数学推理包括：归纳推理、演绎推理

    归纳推理分为：完全归纳推理、不完全归纳推理

    不完全归纳推理分为：枚举归纳、因果关系归纳

    演绎推理是由一般到特殊的思维方法

4．非逻辑思维包括：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象思维

    形象思维是以直观形象和表象来思考问题的思维，它不是以概念为单元来进行思维，而是以直观形象来进行思维。

    直觉思维的特征：非逻辑性、直接性、模糊性

    直觉思维的作用：选择作用、创新作用

    灵感思维的特征：长期思维后的突发性（偶然性、下意识性），模糊性与突逝性

    数学想象的特征：形象性、概括性、直觉性、整体性

5．创造性思维的特点：

① 创见性、新颖性是创造性思维的主要标志

② 发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式

③ 积极地创造性想象与现实统一是创造思维的重要环节

④ 专注于灵感是创造性思维的重要特点

6．激发创造性思维的发生，培养和鼓励学生创造性思维，我们应该注意四个方面：

① 在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极地提出问题来参与数学的教学活动

② 在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握数学的知识和方法

③ 在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养

④ 在具体创新思维方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学某些具体的问题相结合。

第四章 数学的解题及发现的方法

1．观察与实验在数学中的意义：要求学生在数学教育、数学学习中，学会、掌握并运用观察和实验的能力，实际上就是要在中小学的数学教学中，培养学生数学学习的个体经验、运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心；更为重要的是通过学生自己的观察与实验，得到对数学概念、数学运算、数学理论的个体体验和个体理解。

2．观察与实验在数学中的运用：其一是解决和验证数学理论，其二是解决具体的数学问题

3．数学解题的目标是：

① 通过解题加深对知识的理解，尤其是加深对基本概念、公式和理论的理解，使抽象的数学知识具体化

② 学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问题的能力，尤其是把数学知识运用到具体问题的能力

③ 掌握数学思维方式，培养自己数学创造性思维的能力

4．数学解题的一般程序：弄清楚问题，分析和制定解题步骤，完成解题计划并检验，解题后的研究

5．数学解题的一般思路：调动知识储备把它们组织起来，按解题要求把知识重新组合

6．合情推理：一种合乎情理的推理

合情推理强调了一种思维的主动性、情感性和试错性

7．合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理。

    类比推理是根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）相同或相似，推导出或猜测出它们在其他方面可能具有相同或相似的思维形式。它的思维进程是特殊到特殊的推理方式。

    归纳推理：合情推理中的归纳推理指不完全归纳推理，是从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。

8．波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用：

① 可以提出新问题和获得新发现

② 可以在求解问题中得到应用

③ 可以用来对猜测进行检验

9．经验归纳法的作用一般可以分为：发现、猜测问题的答案；发现、猜测解题的方法

10．数学猜想：人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断

11．数学猜想的特征：待定性（可研究性），创新型

12．数学猜想一般表现：提出新问题，预见新事物，揭示新规律，创造新方法等

13．对于中小学数学教育而言，数学猜想的意义：运用数学知识、方法，鼓励学生积极参与数学活动、增强对数学的理解和学会自己动手解决具体问题

第五章 数学的公理化方法

1．数学的公理化方法是第一次完整地表现在《几何原本》中的数学方法

2．公理化方法：也称为公理方法，就是从尽可能少的无定义的概念（基本概念）去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题（基本公理或公社）出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一种学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。

3．由原始概念（基本概念）、公理所构成的演绎系统成为公理系统（公理体系）；

公理化方法是构成公理系统的方法，公理系统是由公理化方法得到的数学理论体系。

4．基本概念：不加定义的概念。（具有必要性、独立性、完备性）

定义概念：也称为派生概念、导出概念，指由初始概念定义的概念

原始命题或公理：不证明的命题

定理：经过公理推演出来的命题

5．亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演绎方式的公理化方法。

第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学

1899 年希尔伯特的《几何基础》问世，这是公理化方法在近代发展的代表作，它把欧几里得《几何原本》为代表的公理化方法建成了一个完备的、形式化的公理体系。

6．欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于一切科学的真理，而公设则只用于几何。

欧几里得《几何原本》中以直观几何背景为基础构成的体系，它代表的是 “实质性公理体系”（也称实体性公理体系），这种公理化方法也称为实质性公理化方法。

欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了 465 个命题。

五个公设为：

① 由任意一点到任意一点可作直线

② 一条有限直线可以继续延长

③ 以任意点为中心及任意的距离为半径可以画圆

④ 凡直角都相等

⑤ 同平面内一条直线和另外两直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交

五个公理为：

① 跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的

② 等量加等量，总量仍相等

③ 等量减等量，余量仍相等

④ 彼此重合的东西是相等的

⑤ 整体大于部分

7．罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少可以引出两条直线与已知直线平行。

8．罗巴切夫斯基的新几何 —— 锐角假设的双曲式几何

黎曼 —— 钝角假设的椭圆式几何

从而非欧几何被人们所承认

9．非欧几何对公理化方法的发展产生了重大的影响：

① 人们可以采取一个与之相反的公理并发展成为另一个新的公理体系

② 为公理化的推广和建立新的理论提供了已经，大大提高了公理化方法在数学中的地位

③ 非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式化公理化方法的过渡

10．《几何基础》的问世意味着公理化方法进入到了形式化的阶段。

《几何基础》称为形式化公理体系，构成《几何基础》的公理化方法称为形式化公理化方法。

11．对于公理的选择的基本要求：协调性（相容性或无矛盾性）、独立性、完备性

    协调性：一个理论体系中无矛盾

    独立性：不允许有一条公理能用其他公理推导出来

    完备性：在一个公理系统中要有确保能推导出所论述的全部命题的公理

12．公理化方法最重要的作用在于运用逻辑推理的方法。

13．布尔巴基学派认为数学是由三种基本结构构成：代数结构、序结构、拓扑结构

    代数结构：一个集合的代数运算体系。即一个集合上规定了一种运算，并且能够使两个元素按照运算得到另外一个元素。

    序结构：集合中的某些元素之间有了先后的排序关系

    拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、维数等构成一般拓扑学的研究对象

14．中学教材中的公理系统 ——

平面几何公理：

① 经过两点有一条直线，并且只有一条直线

② 在所有连接两点的连线中，线段最短

③ 平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和该直线平行

④ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

⑤ 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

⑥ 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

⑦ 矩形的面积等于它的长 a 和宽 b 的积

立体几何公理：

① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

② 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

④ 平行于同一条直线的两条直线互相平行

⑤ 长方体的体积等于它的长、宽、高的积

⑥ 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等

第六章 数学模型方法

1．模型方法一般分为：实物模型，思想模型

2．模型方法具有可重复性、可操作性，能动地反映了客观事物的相互关系，促进了模拟、类比方法的现代化

3．数学建构：使用数学概念、数学符号、数学语言等表述出来的被研究对象的纯关系结构

4．数学模型的解释 ——

    广义：数学中的各种基本概念都是数学模型，因为它们都是在各自相应的原型实体中抽象的数学模型

    狭义：将具体属性抽象出来构成一种特定的数学关系结构，只有那些反映特定问题或待定事物系统的数学结构才叫做数学模型

5．数学模型方法：利用构造具体问题的数学模型来解决实践中遇到的问题

6．数学模型的分类 ——

① 按来源分：理论模型、经验模型

② 按研究领域分：经济模型、人口模型、生态模型、交通模型等

③ 按使用的数学工具分：函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型等

④ 按涉及的变量状况分：离散模型、连续模型

⑤ 按功能分：描述性模型、解释性模型

7．描述性模型：从特殊到一般，即从分析具体的客观事物及状态中，经过数学语言（概念、符号与公式等）的描述，得到一个数学模型。

    最具代表性的是 “格尼斯堡七桥问题”        

    “七桥问题” 结论：如果每点引出的线都是偶数条则可以一笔画出，如果出现两个奇数点也可以一笔画，但是如果出现两个以上的点引出的线是奇数条那就不可能一笔画。

8．描述性数学模型分类：

确定性数学模型（如代数方程、微分方程、函数方程、积分方程）

随机性数学模型（如概率论、数理统计等；布丰的投针实验）

模糊数学模型（采用模糊数学的方法）

9．解释性数学模型：由一般到特殊，即从一般的公理化系统出发，运用数学的某种结构形式对公理系统给出某种结束的一种数学模型方法。

    如庞加莱给出的一个非欧几何的数学模型

10．数学模型的构造：指对现实世界中的原型进行具体地数学建构的过程

11．数学模型建构的步骤：

① 掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式

② 确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的实质

③ 建立数学模型

④ 对数学模型进行运演和检验

12．对中小学数学模型方法的教学的注意事项：

① 通过对数学模型的构造能够深入地认识和理解数学的本质特征

② 运用数学模型的直观、形象作用，强化学生的数学感受能力

③ 引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题

第七章 化归法

1．“化归” 就可理解为转化、归结的意思。

数学中的化归法是指把待解决的问题归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，从而求得原问题解决的一种方法，化归法有时也称为化归原则。

化归法的核心思想是指对问题的转换

化归法的特征是转换、转化

2．熟化：向自己熟知、熟练的问题上转化

3．外部的化归法：其一是把一个实践问题化为数学问题（建立数学模型过程），其二是解决数学问题的求解问题

4．变形法包括：等价变形，恒等变形，同解变形，参数变形

5．在中小学数学中等价变换大体有如下两个方面：

在数的方面 —— 有等值变换，同余变换，同解变换等

在形的方面 —— 有合同变换，相似变换，等积变换等

6．恒等变形包括：多项式的恒等变形，分式的恒等变形，有理式的恒等变形，对数式的恒等变形，三角式的恒等变形等

7．同解变形：在等价转化思想的指导下，通过等价的变换，使原来的等式与变形的等式有相同的解

8．关系映射反演方法，也称关系映射反演原则，或简称 RMI 方法

9．RMI 方法是通过映射，定映，反演三个主要步骤来解决问题的

第八章 逐次渐进方法

1．逐次渐进方法的分类：一类是对数学问题解法的逐次渐进方法，另一类是对数学问题本身的逐次渐进方法

所谓数学问题解法的逐次渐进方法，是指对数学问题先给出一个可行的或近似的初始解，然后以这个初始解为基础，按一定的程序给出一个解的序列，这个解序列的极限就是该问题的最后解。

    所谓数学问题本身的逐次渐进方法，是指我们在研究数学问题时，从较大的范围开始逐步缩小问题的范围，通过对这些缩小范围的数学问题的解决，并且通过对解决问题方法的分析、综合等获得对原来问题解决的一种方法。

2．逐次渐进方法的应用：逐次试验、选择方法；逐步逼近与无限逼近的方法；递推法；递归法

    递归法：把未知对象排成一个序列，并先求得第一个未知对象的结果，然后利用已经获得的第一个未知对象的结果，求得第二个未知对象。

3．类比猜想：依据两类对象之间存在的某些相同或相似的特征、属性、形式，猜测它们可能存在其他方面相似的特征、属性或形式的一种思维方式

第九章 数学中常用的几种方法

1．分析法：执果索因

2．综合法：由因导果

3．形式化

・数学形式化的教学和解决问题时应该注意两点：

① 强调内在规律、规则的限制

② 具体问题的数学形式化解决答案要符合实践要求

・中小学的数学是处于与实践问题密切联系的特殊的形式化阶段 ——

① 中小学数学也是数学的形式，因此它必然是形式化的表现形式

② 由于特定的年龄段学习心理的局限以及中小学数学教学目标的要求，数学的形式化都隐其后，而以现实、生动的数学问题来表现数学的形式化

・数学中常见的形式化的问题有：数量及关系的形式化（用字母、符号表示数量及关系）、概念定义形式化（用符号表示数学概念）、命题及证明形式化（如数理逻辑语言符号）等

・数学的形式化发展，经历公理化方法的阶段：实质公理化，形式公理化，元数学的建立

・元数学的目标要论证数学的无矛盾性以及理论构成的严谨、完美

4．演绎法：从一般原理推出个别结论。由大前提、小前提、结论组成的三段论式的论证推理。

・演绎法的注意事项 ——

① 掌握演绎法运用的形式化特点

② 必须严格遵守其形式化的规则，必须清楚每一步推理、每一步运算的前提依据是什么

③ 应用形式化的演绎方法时，应当注意前提条件的内涵

5．构造法

・数学是数学符号的表达式

・构造法：也称构造性方法，指数学中的概念和方法，按固定的方式经过有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。

・构造法的特征：对所讨论的对象能有较为直观的描述；不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出具体的表达效果

6．反例法

・反例法：建立在数学证实的理论与逻辑推理基础上的并且具有一定否定作用的例子

・反例法的作用 ——

① 有助于发现原有数学理论的局限性，从而推动数学的迅速发展

② 有助于澄清数学概念和理论，从而使人们深入理解数学的内涵

③ 有助于数学的学习，提高数学学习的兴趣和研究、构造数学的能力

・构造反例的方法：特例选择，性质分析，类比构造等

7．数学命题的基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断

第十章 数学建模、数学实验中的数学思维方法

1．数学模型化方法：通过抽象、概括和一般化，把所研究的对象或问题转化为数学或数学结构，即转化为本质统一的另一对象或问题加以解决的思维方法。

2．数学模型化方法的作用：对所研究的对象处理的典型化、形式化和精确化，从而在认知方法上也起到了清晰化和简洁化的作用。

3．最早的数学建模专著：《九章算术》

4．数学建模：通过对实际问题的抽象和简化，确定变量和参数，并根据某些变化规律建立起的变量与参数间的具有确定关系的数学问题或数学结构，求解该数学问题，解释验证所得到的结果，从而确定能否用于解决实际问题的多次循环和不断深化的过程。

数学建模是从特殊到一般的数学模型方法的描述性模型。

5．数学建模的一般步骤：

① 模型准备（分析问题）

② 模型假设

③ 模型建立

④ 模型求解

⑤ 模型仿真分析

⑥ 模型检验与应用

⑦ 写报告作结论

6．数学实践能力包括：观察能力，分析能力，推理能力，抽象能力，应用知识能力的综合表达

7．数学建模主要是使学生认识数学（知道数学有用），理解数学（明白数学可用），掌握数学（实践中会用），应用数学（解决实际问题）

8．数学实验方法：在一定的数学思想、数学理论指导下，经过某种预先的组织设计，借助于一定的仪器和技术手段，进行数学化实际操作，包括对客观事物的数量化特性进行观察、抽象、测试、检验、逼近、仿真等，进而解决数学和科学问题的一类科学研究方法。

9．数学实验方法的本质特征：实践性，创造性，演绎与归纳的统一性，经济实用性与应用广泛性

10．数学实验方法的方法论意义：发现和总结数学规律，验证和检验数学问题，应用和解决建模问题

11．数学实验方法偏重于方法的运用，而数学建模偏重于问题的解决。

12．数学实验教学模式创设了一种 “问题、实验、交流、猜想、验证” 的新模式。

包括五个环节 —— 创设情境、活动与实验（主体和核心环节）、讨论与交流、归纳与猜想、验证与数学化

13．在数学教育的意义上，数学实验方法的作用：

① 培养学生的思维方法

② 有效地促进学生数学问题解决能力的养成

③ 能更好地培养学生的数学情感

第十一章 数学文化与数学思维方法

数学思维的研究意义：

① 数学思维的研究与教学，现在与今后仍是数学教育的重要目标之一

② 数学思维方式是中西数学、中西文化碰撞、交流、融合的结合点之一

③ 数学思维教育是提高民族思维方式的重要途径

④ 数学思维对提高民族理性精神有重要意义

第十二章 数学方法论的研究与发展

1．我国数学美的概念是在徐利治教授提出来之后才展开较为广泛的研究

2．数学美：包括美的本质、美在数学中存在的类型和表现形态，不同数学分支之间美的关系

数学美包括：结构美，语言美（属理论表述方面），方法美（属方法内容，也称形式美）

3．数学美的特征：简洁性，对称性，统一性，奇异性

4．波利亚的《怎样解题》将解题的过程分为四个阶段：

① 弄清问题

② 制定计划

③ 执行计划

④ 回顾

5 梅森以解题为中心，把解题分为三个阶段：进入、着手、回顾

梅森认为，数学思维实质上就是归结为：特殊化，一般化，猜测和确认

6 数学思维、数学方法具有的特征：过程性，层次性，实用性

本帖最后由 陈春艳 于 2014-3-30 23:51 编辑

推荐理由：人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。由于数学自身的特点，数学教育承载着 “发展儿童的思维” 的重任，现代教育观点认为，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。本文汇总了小学数学中所运用到的数学思维方法，理解并合理的运用，既可帮助老师明确孩子思维训练的方向，也可以帮助老师读懂习题的思维价值，进而设计具有思维价值的练习。)—— 万红艳

小学数学思想方法有哪些

《课标》（修订稿）把 “双基” 改变 “四基”，即改为关于数学的：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

 “基本思想” 主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的， 通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用 “基本思想” 而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。

史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。我们缺少的是根据情况 “预测结果” 的能力；根据结果 “探究成因” 的能力。而这正是归纳推理的能力。

就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种 “从特殊到一般的推理”。

借助归纳推理可以培养学生 “预测结果” 和 “探究成因” 的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育” 缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。

一、什么是小学数学思想方法

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。

所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

二、小学数学思想方法有哪些？

1、对应思想方法

对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。

5、类比思想方法

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

6、转化思想方法

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲 ÷ 乙 = 甲 ×1 / 乙。

7、分类思想方法

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被 2 整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

8、集合思想方法

集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。

9、数形结合思想方法

数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

10、统计思想方法：

小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。

11、极限思想方法：

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲 “圆的面积和周长” 时，“化圆为方”“化曲为直” 的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

12、代换思想方法：

他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了 4 张桌子和 9 把椅子，共用去 504 元，一张桌子和 3 把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？

13、可逆思想方法：

它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的 1/7，第二小时比第一小时多行了 16 千米，还有 94 千米，求甲乙之距。

14、化归思维方法：

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是 “化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

15、变中抓不变的思想方法：

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。如：科技书和文艺书共 630 本，其中科技书 20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占 30%，又买来科技书多少本？

16、数学模型思想方法：

所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

17、整体思想方法：

对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。

你的帖子讲的讲得太精彩了！ 使我深受启发。