基于会思考的学生积累“数学化”的活动经验的研究

北师大版四年级下册《三角形内角和》一节课，学生要得到三角形内角和是 180°，我们经常会用到下面的方法让学生在动手操作感悟和体会新知。

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 学生在操作过程中，会体会 “割补法”，明白了在几何学习中通过图形部分与部分之间的割补可以找到新的发现。这种学生动手实践的操作活动就为学生以后的数学学习提供了活动经验。以后如果我们在进行求平行四边形面积教学时，把平行四边形转化成长方形时，学生会想到这节课所积累的活动经验 —— 割补法，这样就为学生以后的几何学习奠定了思维基础，为学生的终身学习打开了一扇窗户。

通过这个案例我们能发现学生获得了 “割补法” 的思考方法，这种方法就是经验的一种， 是学生在数学学习活动中相互作用的结果。。

图片：

一、 关于确定课题的思考

1、课题研究内容（针对问题）

《数学课程标准（2011 版）》提出了 “基本数学思想” 和 “基本活动经验”，与原有的 “双基”：“基础知识”“基本能力” 一起，我们称之为 “四基”。除基本活动经验之外，其它三个方面相对都好理解，只有基本活动经验我们能感觉到它存在于我们的课堂，不容易说清楚，认识也比较模糊。

目前关于数学活动经验的基本理论研究和教学实践研究十分薄弱课堂上如何进行数学活动经验教学的问题成为了当前亟待解决的问题．本课题围绕学生数学活动经验形成的必要条件和获得的经验相对完善的过程，探究利于学生积累数学活动经验的教学策略。

1、 课题研究方向（目标设定）

本实验以新课程改革的基本理念为依据，以培养小学生探究学习的能力，培养学生积累 “数学化” 的活动经验研究为目标，以行动研究为主要方法，探索数学活动经验在小学数学教学中应用的价值、方法、策略等方面的教育规律，积累成功的教学案例，同时通过行动研究不断发现问题，提出问题，解决问题。

2、 课题研究对象（样本群体）

根据实验的总体设想和总体目标，选取五年学生作为研究对象，在数学科进行实验。

3、 研究方法（策略设计）

采用行动研究法，课堂观察法、案例分析法、调查法、在实验中克服无关因素的干扰，获取真实可靠的实验数据。

4、 成效评价（数据资料）

通过前后测以及终期测量来比较实验的效果。重点评价学生探究能力、独立获取知识能力、自主创新能力等方面的水平。

二、 关于课题收集的相关资料：

1、 什么是 “基本活动经验”

“课程论之父” 泰勒（R.Tyler）提出：“教育的基本手段是提供学习经验”，认为教师的职责是为每个学生提供有意义的经验。从心理学上分析，经验比知识和能力更容易获取，因为它是在潜移默化中自然生长出来的，不需要经过雕琢、粉饰，是最原生态的感官体验、思维方法。

史宁中校长认为：基本活动经验：思维的经验，实践的经验 （强调经验的积累，最终要培养孩子们数学的直观。学科直观很重要，数学的所以结果是看出来的，不是证出来的）人的发展需要什么？需要创造力。创造需要什么：数学知识和思维方法，以前没有注意到，是学生悟出来的，不是教出来的。这种东西就是数学活动经验。

张天孝教授指出：小学数学基本活动经验首先是 “数学” 的，所从事的活动要有明确的数学目标，没有数学目标的活动不是 “数学活动”。小学数学是研究最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关系）的。其次是 “经验” 的，经验是一种感性认识，包含双重意义，一是经验的事物，二是经验的过程。数学经验是数学的感性认识，是在数学活动中积累的。 再次是 “活动” 的，苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：数学教学是数学活动的教学，也是思维活动的教学。那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学教学活动都是 “数学活动”，这样就过于泛化。我理解的 “数学活动经验” 所指的 “活动” 其特定含义主要是对数学材料的具体操作和形象操作探究活动。 至于 “基本”，《数学课程标准》把数学知识、数学技能、数学思想、数学活动都冠以 “基本”，称作 “四基”。“获得数学基本活动经验” 作为教育目标指出，是基于 “动态的数学观”，把数学看成是人类的一种活动，是一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动。这样的数学观必然影响着数学教育观。

张奠宙指出：“数学经验，依赖所从事的数学活动具有不同的形式。大体上可以有以下不同的类型：直接数学活动经验（直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验）、间接数学活动经验（创设实际情景构建数学模型所获得的数学经验）、专门设计的数学活动经验（由纯粹的数学活动所获得的经验）、意境联结性数学活动经验（通过实际情景意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质）。”

徐斌艳教授认为：我们还可以将基本活动经验进一步细化，它包括基本的数学操作经验；基本的数学思维活动经验；发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验。

孔凡哲教授认为：““基本活动经验” 是指 “在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”

张丹教授认为：第一，基本活动经验建立在生活经验基础上。

第二，是在特定数学活动中积累的。

第三，其核心是如何思考的经验。

第四，最终帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。

任景业老师关于 “经验” 更有精辟的理解：

“什么是经验呢？我试着编了几种说法，希望能从不同的角度帮助自己悄悄走近 “经验” 的 “床前”： 经验是知识出嫁前的形态，经验不是美女，她虽有美女的丽质，却无美女的容貌。她还不知道怎样妆伴自己，只有把她按坐在梳妆镜前经过一番妆扮经验才能成为知识的新娘。 经验有时是令人讨厌的好心老人，时时会站你面前令人讨厌地指指点点。经验经常抢跑，不等理解的发令枪响，己越过起跑线冲进跑道。 聪明的仓库储存的是经验的种子。

通过上面与各位名家的交流我们不难看出：基本活动经验首先是 “数学 “的。所从事的活动要有明确的数学目标，没有数学目标的活动不是 “数学活动”。小学数学是研究最基本的数量关系、图形关系、随机关系（主要是统计关系），也就是说与数量关系、图形关系、随机关系无关的活动，不是数学活动。其次是 “经验” 的。经验是一种感性认识，包含双重意义，一是经验事物，二是经验的过程。数学经验是数学的感性认识，是在数学活动中积累的。再次是 “活动” 的。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔的《数学教育学》认为：“数学教学是数学活动的教学，思维活动的教学”，那么包括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学教学活动都是 “数学活动”，这样就过于泛化。我们所说的 “数学活动经验” 所指的 “活动” 其特定含义主要是通过对数学材料的具体操作和形象探究活动。至于 “基本”， 《数学》把数学知识，数学技能，数学思想，数学活动都冠以 “基本”，称作 “四基”。

2、数学基本活动经验的特征

数学基本活动经验的特征有四个：个体性、实践性、多样性、发展性。

个体性：数学基本活动经验是属于个人的，它有明显的学生个性特征。数学基本活动经验是属于学生自己的。

实践性：数学基本活动经验是学生在学习过程中获得的，离开实践活动就不能形成有意义的数学活动经验。

多样性：学习群体针对同一数学对象，尽管学习环境等外部条件相同，但每一个学生仍然会有不同的活动经验。所以。对于学生群体来说，数学活动经验具有多样性。

发展性：数学基本活动经验是反映学生在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性的认识，是感性的、非严格性的，随着学习内容的深入，获得的活动经验会不断变化、不断发展。而且个体的活动经验在群体的 “经验交流” 中会相互补充。相互充实，丰富、发展个体活动经验。

3、数学基本活动经验的基本类型

小学数学的活动是多种多样的，但最根本是帮助学生能为抽象的数学找到具体形象的原型，增进数学理解。根据从事数学活动的不同模式，数学基本活动的主要类型有：

（1）直接的数学活动经验

小学数学知识相当一部分直接来源于日常生活现实，因此，应设计源于实际生活的数学活动，体验其中的 “数学味” 获得相应的数学活动经验。比如说：购物活动、测量活动等。

（2）间接的数学活动经验

创设情境，构建数学模型所获得的经验，这类活动的特征是模拟，在假想的模型中进行操作和探索。比如：做一张数位表，取 9 颗围棋子，让学生在数位表中的个位、十位中摆数。分别用 3、4、5……9，这些活动在现实生活中是没有的，而大量存在于数学活动之中，是数学学习的有机组成部分。重视这些活动设计，就丰富了数学基本活动经验。

（3）专门设计的数学活动经验。

由纯粹的数学活动获得经验。这类活动是专门味数学学习而设计的，是具体的形象的数学操作。比如：圆锥体积的教学，圆的面积推导，圆柱体积的推导等

4、数学基本活动经验在《数学》教材中的体现

积累数学活动经验，使之成为学生形成数学现实，构成数学认识的现实基础，是数学教学实施素质教育的重要课题。《数学》教材注意了以下几个方面。

（1）教材编排在 “做数学” 中体验数学，感悟数学；

（2）教材已经设计好了的教学活动；

（3）教材体现数学基本活动经验重在积累与提升。

我们应该看到，仅仅停留在在感性层面的活动经验是粗浅的，教学时要采取恰当的措施对数学知识、解题思路从感性认识上升到理性认识，要处理好活动过程与活动结果的关系，问题化、情境化与知识系统化的关系。

5、小学数学教学中应形成的基本活动经验有那些？

小学数学教学中应形成的基本活动经验有操作、观察、实验、猜测、度量、验证、推理、交流等数学活动经验。

三、 学生思维操作获取的数学活动经验

经验离不开活动，数学活动是经验产生的源泉，因此离开了数学活动，就根本不会形成有意义的数学活动经验，只有亲身经历体验了才能形成经验，经验具有明显的实践性。中小学生学习形式化的数学时，基本上与自己的生活实际结合起来进行学习。例如小学生学习小数，很自然地联系到自己购物时的商品标价；学到百分数，就会联想到本班同学体育锻炼达标的合格率。低年段学生的生活阅历浅，实践能力弱，只有切实经历有效的实践活动，才能掌握活动的步骤、方法，才能逐步积累活动经验，形成积极的情感体验。

“数学基本经验” 是将生活经验提升为理论。张丹教授认为 “基本活动经验的核心是思考的经验”。我们知道，数学学习的目的就是让学生学会思考。如果我们的活动经验只停留在感知、体验这个层面，只靠直接经验就无法支撑起我们的数学学习。

所以数学学习必须回归到逻辑思维的发展上来，这样的数学课堂才会有数学味。学生思维操作的经验可以是演绎的经验、归纳的经验、推理的经验、证明的经验等。下面我们来分享如何积累数学化的活动经验：

案例 1、随机事件。

某得大奖教案：让学生在全是黄球的袋中摸出黄球，在全是白球的袋中摸出黄球。。。。

① 可能，不可能，生活经验。儿童早接触过

② 语文教学，讲可能性，可以大量用生活中可能发生，也可能不发生的事件的例子。

③ 但是数学讲可能性，则要有数学意义。儿童要领悟：

可能性有大小；可能性大小用分数表示。抽样检查：次品率是 1%

案例 2《角的认识》

教师有意创设了这样一个情境，给每个同学一个不口袋，口袋里面放了一些物品，让学生从中摸出一个角。在学生纷纷举着自己摸出的角之后，老师说：“看看你们摸得这么好，我也想摸摸。你们能给我说说是怎么摸出来的吗？” 孩子们说，“角有一个尖点，扎得慌。” 教师伸手摸出一个图钉；孩子们又说，“角还有两边”。教师伸手摸出的确实一支削得很间尖的铅笔；孩子们急忙又补充说，“角是平的”。教师摸出一片树叶，“尖尖的，平平的，怎么没有角？” 孩子们回答说，“两条边应该是直的”，这回教师摸出了一个三角板，教师真诚地对同学们说，“谢谢你们帮助我找到了摸角的感觉。” 明显看到教师是在有意识引导学生进行体验，使学生认识并抓住角的关键特征。

案例三：《三角形内角和》

四年级下册 “三角形内角和”，教师通常把注意力集中在去找方法得出 “三角形内角和是 180°” 这个结论，根据 “基本活动经验”，我们来思考，这样的课，属于 “探索与发现” 类型，那么如何 “探索与发现” 呢？数学的活动应该是什么样的呢？“设疑 — 猜测 --（初步探索：量，算）”— 初步结论 — 验证结论（拼）-- 解释应用”，如果能够在这样的活动过程中培养学生的思考，这节课就会给学生不同的活动体验，学生也会得到积极的数学的活动经验，那么这种活动经验，就可以迁移到四边形的内角和或者更多的奥秘的探索发现中去。

案例四：

刘加霞教授给我们举过她的女儿在小学三年级时参加游泳比赛后，女儿对她提出提出 “我的成绩应该是 52 秒 09，不应该是 51 秒 69” 的例子，从而发现了秒和毫秒之间的进率不是 60，而是 1000。这种发于对成绩的质疑，最后收于发现秒和豪秒之间进率的过程，就是一个积累活动经验的过程，在这个过程中，孩子由时、分、秒的进率去推想秒和毫秒的进率，结果推想错误，但最后通过大量的亲身经历找到了正确的进率，这个活动过程不仅获得了知识，而且获得了数学学习中积极的情感体验。

案例五：例如在北师大版一年级下册《认识图形》进行教学时，教师可以采用从立体图形中请出长方形、正方形、三角形、圆，学生把正方体一面蘸上印泥，在白纸上盖出一个正方形，在圆柱体的底面蘸上印泥，在白纸上盖出一个圆形，等等。学生会得到这样一幅作品。

这样学生就会通过自己的亲手操作由已有的正方体、圆柱等立体图形知识迁移到正方形、圆等平面图形。一方面通过操作、观察，初步感知到了立体图形和平面图形的区别；另一方面也体验到了长方形、正方形、三角形、圆这四个平面图形的特点。

 在学生用立体图形印平面图形的过程，就是在积累 “抽象” 这个数学活动经验，在动手操作过程中明白了从立体图形种可以抽象出平面图形。抽象的经验是在学生亲身经历了印一印这个实践操作活动种积累的，是一种亲身的感官体验，是直接经验的一种。而后，有了平面图形，学生又可以在对比中摸一摸平面图形和立体图形，从而感受到了立体图性和平面图形的区别，是一种感性经验，这些都是数学活动经验的具体表现形式。

案例六：在北师大教材二年级下册 40 页有一个 “转转盘” 的数学游戏，游戏规则是：一个人转动写有 0-9 的转盘，转盘指向几把这个数字记录下来，连续转动转盘 3 次，就会得到 3 个数。参加比赛的两个人利用这三个数进行组数，谁组的数大谁就赢。课堂上同学们的表现分为两类，一类是急于玩这个游戏，先和对方玩着、看着、想着。另一类是先想怎样组数数字会最大（也就是必胜的策略）。前者的表现就是通过动手操作获取基本活动经验，后者的表现就是通过思维获取的基本活动经验，不用亲身经历组数，先思考怎样组数最大，明显后者的思维优势要大于前者。

四、 积累基本活动经验的途径

在数学教学中，通过数学活动过程，帮助学生将日常生活经验逐渐转化为数学活动经验。例如低年级教材中《认识人民币》一课最为典型。帮助学生将感性经验上升为抽象的数学活动经验。例如替换策略中，动手画一画大杯换小杯的过程，由感性经验 “画” 上升抽象的数学活动经验 “替换”。就是一种感性经验上升为数学活动经验的积累过程。

正是因为学生基本活动经验是靠动手操作和思维操作来获取的，所以在小学数学课堂教学中我们让学生积累基本活动经验建议从以下几个方面做起：

（一）精心设计符合学生认知规律和知识特点的实践活动。

数学课程标准（2011 版）指出，“除了接受学习外，动手操作、自主探究与合作交流也是重要的学习方式，学生应该有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”。这句话就给我们让学生不断积累基本活动经验指明了方向，课标上这些内容说的是学生的学习方式，对应上我们的教学方式，就应该是除了讲授法之外，我们还应该有实验操作法、任务驱动法等能让学生充分活动的更灵活多样的教学方式。我们在设计一节课时，首先想到的应该是如何让学生活动，而不是如何把知识讲明白。

例如北师大四年级上册《确定位置（一）》一节课，学生要学习用数对的方法来表示一个物体的位置，为第三学段学习坐标打下了良好的基础。教师在练习环节设计这样的活动。给每个学生发一个信封，里面装了一个数对，让学生根据教室里的座位去寻找信封里的数对位置，全班学生都动了起来，最后全班学生基本都找了自己的位置，只有一个学生找不到位置，教师问他为什么找不到，学生说教室里没有这个位置。最后全班同学一起探究到底班上有没有这个座位，最后发现确实没有，是教师故意设计的一个环节，一方面学生都离开了自己的座位去寻找新的座位，学生动了起来，但这还不够，再通过一个学生找不到位置这个情境，全班学生又进行了一次探索，学生之间分享经验，成功的对数对这个新知内容进行了练习。

（二）要逐步培养学生思维操作的习惯，提高思维操作的品质。

小组合作式学习方式是我们课改后所提倡的重要学习方式之一，通过小组合作可以让学生积累活动经验，教师要引导学生在交流时首先自己要进行独立思考，首先要有自己的想法，在这个过程中学生经历了演绎、推理、论证、计算。在交流的过程中，同伴听取同伴的想法、观察同伴的活动，再反思自己的想法、做法，自己的思维会得到提升，会经历一个 “悟” 的过程。

所以，我们的小组活动应该是这样的。即阅读题目，理解题目要求；然后进行独立思考，独立完成；再进行小组交流；最后进行汇报，教师小结。

最后，引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。如果学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回顾和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。如果学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，探索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会了 “数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化、概括化，而这，便促进了数学素养的形成。

总之，基本活动经验是新一轮课程改革出现的 “新事物”，我们思考这个问题的同时更要研究它的操作方法，不仅明白它是什么，它从哪里来，要到哪里去，更要知道它如何实施，我们要让学生不断积累基本经验，是在我们的有意安排之下进行的，我们的教学行为是在有目的和有计划之下进行的，这样我们的学生不仅能学到数学知识，更能理解数学思想、掌握学习方法。

以上是我今天关于基于会思考的学生积累 “数学化” 的活动经验的研究这一课题的一点思考，下来恳请大家一起交流分享自己的思考，为完善这个课题研究提出宝贵 意见。

:) 看了，谢谢分享。

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