小樱

《乘法分配律》终稿

教材分析：

乘法分配律是在学生已经学习了乘法交换律，结合律，加法交换律，结合律，并能初步应用这些运算定律进行一些简单计算的基础上学习的。教材是按照分析题意，列式解答，讲述思路，观察比较，总结规律等层次进行的。旨在通过情境中发现问题，并促使学生进一步探索数学规律，在经历过程中体验探索数学规律的基本步骤和有效方法。本节课以不同的方法解决实际问题为杠杆，以不同方法的内在联系为支撑，达成从 “具体事物”→“个性化符号表示”→“学会数学的表示” 的符号化表征过程，丰富学生的符号语言，为符号运算推理，进行符号思维打好基础。

学情分析：

为了解学生真实水平，找到学生的困难点 ，分别对四年级 200 名学生进行了前测，12.5%的同学可以准确计算，并能简单说明原因，找不到生活中的模型，10.3%的同学只能进行机械式的计算，剩下的同学没有概念。通过本节课的学习，学生掌握了乘法分配律的意义并能够找到学过的模型。

我的思考：

1. 乘法分配律是运算律中的难点，学好乘法分配律是学生以后进行简便运算的重要基础，对提高学生的计算能力有着举足轻重的作用。

2. 学生对加法结合律和乘法结合律的认知会对乘法分配律有干扰，容易混淆。

3. 大部分学生不知道乘法分配律，少部分同学知道，但是不能解释其中的道理，只是会机械的计算。

教学目标：

1. 借助情境，能用不同的方法列示解决问题，并能解释。

2. 通过观察比较，能用自己的话表述两组算式左边和右边的特点。

3. 通过交流，能用自己的话说出乘法分配律的特点，并能符号表示，感受符号表示的优越性。

4. 能通过计算、意义和画图等方式验证乘法分配律的成立。

教学重点： 抽象概括出乘法分配律。

教学难点： 理解和运用乘法分配律。

教学过程：

一、复习导入。

1. 出示 a+b=b+a

师：这是谁？

生：加法交换律。

师：加法交换律为什么不写成 3+4=4+3？

生：因为字母可以表示任意数，字母的式子可以表示无数个式子，而 3+4=4+3 只代表这一个算式。

【设计意图：通过复习，唤醒符号，感受符号表达的优越性。】

二、引导探究，发现规律。

1. 独立尝试，初步发现规律。

师：肖老师这几天正给厨房铺瓷砖，可是老师遇到一个困难，你们一起帮我算一算，好吗？

课件出示：

师：仔细观察，从图中你能发现哪些数学信息？

师：根据以上信息，你能提出怎样的数学问题？

① 学生提出问题：一共贴了多少块瓷砖？

②列式解答，学生先独立列式，再与同桌交流自己的想法。

师：你会列示解决吗？请你尝试算一算并与同桌说一说你的想法。

方法一：

(3+5)×10=8×10=80 (块) 引导学生说出：白色 3 行，蓝色 5 行，两种颜色共 8 行，一行有 10 块，所以先算出一共有 8 行，再用 8×10 算出共有多少块瓷砖？ 也就是 1 个 10，8 行就是有 8 个 10。(黑板板书：(3+5)×10)

方法二：

3×10+5×10=30+50=80 (块) 引导学生说出这边的 3×10 和 5×10 分别是算什么？(分别算出白色瓷砖和蓝色瓷砖的块数。) 3×10 就是 3 行白色的瓷砖，也就是 3 个 10，5×10 算的是这 5 行蓝色的瓷砖，也就是 5 个 10。合起来就是一共的瓷砖。(黑板书：3×10+5×10）

方法三：

(4+6)×8=10×8=80 (块) 引导学生说出：左面墙 4 列，右面墙 6 列，两面墙共有 10 列，一列有 8 块，也就是 1 个 8，10 列就是 10 个 8， 算出共有多少块瓷砖。(黑板板书：(4+6)×8)

方法四：

4×8+6×8=32+48=80 (块) 引导学生说出这边的左面有 4 列，每列有 8 个，4×8 算出左面有多少块瓷砖？也就是 4 个 8。 6×8 表示右面有 6 列，每列有 8 个，6×8 算出右面有多少块瓷砖？也就是 6 个 8 左面和右面合起来就是一共用的瓷砖的块数。（黑板板书：4×8+6×8）

【 设计意图：课程标准指出建立模型首先要从我们的现实生活中去抽象出数学问题，教学中重视学生的生活经验和知识背景，结 合具体情境，充分激发学生潜藏的 “符号意识”，这是发展学生 “符号感” 的重要基础。】

2. 比较观察，归纳概括规律

师：观察算式，你有什么发现？左边有什么特点？右边有什么特点？

生：左边都是先算加法，再算乘法。右边都是有加有乘。

生：左边的算式都有括号，

生：左边都是先算两个数合起来，再乘一个数。右边是这两个数分开乘，再相加。

师：结合图，左边是先把这 3 行白色和 5 行蓝色合起来，再乘 10，算出一共有多少块瓷砖。下面是先把左边四列和又边 6 列合起来，再乘 8，算出一共有多少块瓷砖。也就是 “合起来乘”（板书：合起来乘）

师：右边是分别算出 3 行白色和 5 行蓝色有多少块，再相加。分别算出左边四列和右边六列有多少块，再相加。也就是 “分开乘再相加”

。（板书：分开乘再相加）

师：以第一排算式为例，仔细观察，两道算式又有什么关系？

生：得数一样，都是 80 块。

师：不管是合起来乘还是分开乘再相加，都是算的一共有多少块瓷砖。这位同学从计算的角度说明这两道算式是相等的，你还有不同的思考吗？（板书：计算）

生：左边 8 个 10，右边是 3 个 10 加 5 个 10，也是 8 个 10。

师：同意他说的吗？分析意义也能说明他们相等。既然都能说明相等，我们就可以用等号连接起来，说明是一组相等的等式。一起读一下吧。（板书：意义）

师：举起手，我们一起来说说这个算式的规律。

师生齐声说：左边是两个数合起来乘 10，右边是两个数分开乘 10，再相加。左边是两个数合起来乘 8，右边是两个数分开乘 8，再相加。

（学生边动手比划边说）

师：这里的 8 和 10 可以叫做 “相同乘数”。（板书：相同的乘数）

【 设计意图：借助求 “一共有多少块瓷砖” 这个熟悉的情境，学生将两个算式有机的结合，通过仔细观察，分析比较，总结归纳，掌握这种规律，为符号表示奠定模型基础。】

3. 将规律符号化

师：你能照样子再写一组这样的等式吗？并说明原因

学生写，找学生汇报，师板书。

师：这样的算式你能写多少个？（无数个）能写完吗？

师：你有什么好方法可以把这无数个算式表示出来吗？写在练习单上。

预设：用字母表示，文字表示，图形表示......

（三角 + 圆圈）× 方框 = 三角 × 方框 + 圆圈 × 方框

师：你能解释你的规律吗？

生：左边是合起来乘方框，右边是分开乘方框，再相加。方框是它们的相同乘数。

师：同学们用图形、字母、文字表示了规律，虽然表示的方法不同，但是它们的意义是相同的，为了便于以后的运用和交流，数学家把这种规律统一表示成这样。用 a、b、c 分别表示三个数，

(a+b)×c=a×c+b×c

师：你能利用乘法的意义解释一下左边是几个几，右边是几个几吗？

师：那这里面的 a 可以表示哪些数？b 呢？c 呢？

师：这就是我们今天学习的新知识：乘法分配律（板书）

师：这里的分配是什么意思？

生：把 c 既分给 a，又分给 b。

师：你觉得用字母表示有什么好处？

生：简单，一个等式可以表示所有符合规律的算式。

【 设计意图：符号最重要的功能就是能够准确、清晰的传递信息，具有简约，高效，便于交流的作用。在建立乘法分配律模型的基础上，学生发现这样的算式写不完，进而引出用各种抽象符号对规律的归纳，概括，最后统一用字母表示乘法分配律，学生经历了 “从具体情境 —— 学生个性化的符号表示 —— 学会数学的表示” 这一逐步符号化的过程。】

4. 借助点子图，说明等式成立。

师：请用喜欢的方法说明 4×3+6×3=(4+6)×3 乘法分配律是成立的。

学生汇报

师总结：刚才我们从计算和意义的角度说明乘法分配律的成立，看来画图也能说明乘法分配律的成立。

5. 借助长方形模型，深度理解

师：3x4 可以表示一个长是 4，宽是 3 的长方形。

课件出示：观察所有算式，哪些算式表示的方块可以和这个 “长方形” 拼成一个更大的的长方形呢？说明理由。

师：我们先来找出不能拼的？

根据学生的判断，划去相应的算式

师：为什么这些算式表示的长方形不能跟这个长方形拼成更大的长方形？进行验证

生：因为这些长方形的横竖都没有 3 或者 4 就不能拼？（学生上台展示）

师：那什么样的长方形才能跟 3x4 的长方形进行拼？

生：算式里有 3 或者 4 的长方形就可以。

师：如果选 3x6 的长方形来拼，改如拼？（学生上台展示）

师：能用算式表示出来吗？

师：现在不看图，直接根据算式来想想拼的过程。如果想找一个跟 4 拼的长方形，该找谁？

师：请在作业纸上写出 3x4 和 4x5 拼的等式。

师：在这些可以拼的算式里，按照拼的方式的不同，你想分成几类？为什么？

1. 跟 3 拼的 2. 跟 4 拼的 3. 既能跟 3 又能跟 4 拼的

师：既能跟 3 连又能跟 4 拼的是哪个算式？

师：你们太厉害了解决了这么多问题！今天的作业：如果把 5x9 这个长方形拆开，你有多少种拆法？

【 设计意图： 抽象的数学知识，抽象的数学结构，抽象的数学内容永远离不开直观的价值。通过点子图和长方形做为乘法分配律的直观模型，更有助于学生的理解。】

6. 联系旧知，深入理解规律。

师：请你想一想，以前的学习中见过乘法分配律吗？

师：其实呀，不仅在竖式中，在购物，长方形周长和面积中都有我们学习的乘法分配律，看来，它已经是我们的老朋友了，课下请同学们带着数学的眼光继续寻找乘法分配律的例子。

【 设计意图：心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断了动作与思维的联系，思维就不能得到发展。” 因此，要解决数学符号的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，就要多为学生创设一些应用数学知识的情境，以帮助学生发现数学符号的价值。】

三、练习巩固，拓展应用规律。

1. 填一填

（12 + 40）×7= （ ）×7 + （ ）×7

15×（40+8）=15×（ ）+ 15×（ ）

88×20-12×20=（ - ）×20

65×24+15×24+20×24=( + + )×24

【 设计意图：让学生初步运用模型去完成，巩固乘法分配律的数学模型。】

2. 看一看，想一想，哪些等式是正确的？对的请打 “√”，错的请打 “×”

(1)(6+30)×7=7×6+7×30

(2) 25×(4+60)=25×4+60

(3) 25×6×4=25×6+25×4

（4）74×（20+1）=74×20+74

【 设计意图：通过具体的练习，理解乘法分配律。】

四、课题总结

本节课你学会了什么？

板书设计：

乘法分配律

第一次教研

第二次试讲和全体数学教师教研。

第三次线上教研

乘法分配律三稿反思

由于疫情，修改三稿之后没有来得及试讲，我们团队进行了线上三稿的反思和教研，本次教研的主题是：“符号意识在数学学习中的价值”。

《课标》中指出：建立符号意识有助于学生理解符号，符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

首先是数学表达，是从数量到数（从 4 只羊，4 个轮子，4 条腿到数 4），从数到字母，从语言到符号表达方式的改变，抽象程度不断提高，难度不断加深。比如：两个数的和与第三个数相乘，等于这两个数分别与第三个数相乘，再相加。(a+b）×c=a×c+b×c)

其次是数学思考：从形象思维到抽象思维，从一个算式到两个算式组成的等式，从无数个等式再到抽象为一个字母表达式的思考，学生感受到了符号的必要性和符号带来的好处。

《乘法分配律》三稿

教材分析：

乘法分配律是在学生已经学习了乘法交换律，结合律，加法交换律，结合律，并能初步应用这些运算定律进行一些简单计算的基础上学习的。教材是按照分析题意，列式解答，讲述思路，观察比较，总结规律等层次进行的。旨在通过情境中发现问题，并促使学生进一步探索数学规律，在经历过程中体验探索数学规律的基本步骤和有效方法。本节课以不同的方法解决实际问题为杠杆，以不同方法的内在联系为支撑，达成从 “具体事物”→“个性化符号表示”→“学会数学的表示” 的符号化表征过程，丰富学生的符号语言，为符号运算推理，进行符号思维打好基础。

学情分析：

学生学习本节课之前学生具有基本的自主探究，团队合作，与人交流的能力。同时已经学习了乘法交换律，结合律，加法交换律，结合律的知识，会运用符号进行简单表征，能把实际问题或现实情境中的规律用符号表示出来，有一定的探究规律的思想方法和数学活动经验。然而本节课既涉及乘法运算又有加法运算，是学生学习的难点。因此学好乘法分配律是学生以后进行简便运算的重要基础，对提高学生的计算能力有着举足轻重的作用。

教学目标：

1. 借助情境，能用不同的方法列示解决问题，并能解释。

2. 通过观察比较，能用自己的话表述两组算式左边和右边的特点。

3. 通过交流，能用自己的话说出乘法分配律的特点，并能符号表示，感受符号表示的优越性。

4. 能通过计算、意义和画图等方式验证乘法分配律的成立。

教学重点： 抽象概括出乘法分配律。

教学难点： 理解和运用乘法分配律。

教学过程：

一、复习导入。

1. 出示 a+b=b+a

师：这是谁？

生：加法交换律。

师： 加法交换律为什么不写成 3+4=4+3？

生： 因为字母可以表示任意数，字母的式子可以表示无数个式子，而 3+4=4+3 只代表这一个算式。

【 设计意图：通过 复习，唤醒符号，感受符号表达的优越性。】

二、引导探究，发现规律。

1. 独立尝试，初步发现规律。

师：肖老师这几天正给厨房铺瓷砖，可是老师遇到一个困难，你们一起帮我算一算，好吗？

课件出示：

师：仔细观察，从图中你能发现哪些数学信息？

师：根据以上信息，你能提出怎样的数学问题？

① 学生提出问题：一共贴了多少块瓷砖？

②列式解答，学生先独立列式，再与同桌交流自己的想法。

师：你会列示解决吗？请你尝试算一算并与同桌说一说你的想法。

方法一：

(3+5)×10=8×10=80 (块) 引导学生说出：白色 3 行，蓝色 5 行，两种颜色共 8 行，一行有 10 块，所以先算出一共有 8 行，再用 8×10 算出共有多少块瓷砖？ 也就是 1 个 10，8 行就是有 8 个 10。(黑板板书：(3+5)×10)

方法二：

3×10+5×10=30+50=80 (块) 引导学生说出这边的 3×10 和 5×10 分别是算什么？(分别算出白色瓷砖和蓝色瓷砖的块数。) 3×10 就是 3 行白色的瓷砖，也就是 3 个 10，5×10 算的是这 5 行蓝色的瓷砖，也就是 5 个 10。合起来就是一共的瓷砖。(黑板书：3×10+5×10）

方法三：

(4+6)×8=10×8=80 (块) 引导学生说出：左面墙 4 列，右面墙 6 列，两面墙共有 10 列，一列有 8 块，也就是 1 个 8，10 列就是 10 个 8， 算出共有多少块瓷砖。(黑板板书：(4+6)×8)

方法四：

4×8+6×8=32+48=80 (块) 引导学生说出这边的左面有 4 列，每列有 8 个，4×8 算出左面有多少块瓷砖？也就是 4 个 8。 6×8 表示右面有 6 列，每列有 8 个，6×8 算出右面有多少块瓷砖？也就是 6 个 8 左面和右面合起来就是一共用的瓷砖的块数。（黑板板书：4×8+6×8）

【 设计意图：课程标准指出建立模型首先要从我们的现实生活中去抽象出数学问题，教学中重视学生的生活经验和知识背景，结 合具体情境，充分激发学生潜藏的 “符号意识”，这是发展学生 “符号感” 的重要基础。】

2. 类比举例，归纳概括规律。

师：观察算式，你有什么发现？左边有什么特点？右边有什么特点？

生：左边都是先算加法，再算乘法。右边都是有加有乘。

生：左边的算式都有括号，

生：左边都是先算两个数合起来，再乘一个数。右边是这两个数分开乘，再相加。

师：结合图，左边是先把这 3 行白色和 5 行蓝色合起来，再乘 10，算出一共有多少块瓷砖。下面是先把左边四列和又边 6 列合起来，再乘 8，算出一共有多少块瓷砖。也就是 “合起来乘”（板书：合起来乘）

师：右边是分别算出 3 行白色和 5 行蓝色有多少块，再相加。分别算出左边四列和右边六列有多少块，再相加。也就是 “分开乘再相加”

。（板书：分开乘再相加）

师：以第一排算式为例，仔细观察，两道算式又有什么关系？

生：得数一样，都是 80 块。

师：不管是合起来乘还是分开乘再相加，都是算的一共有多少块瓷砖。这位同学从计算的角度说明这两道算式是相等的，你还有不同的思考吗？（板书：计算）

生：左边 8 个 10，右边是 3 个 10 加 5 个 10，也是 8 个 10。

师：同意他说的吗？分析意义也能说明他们相等。既然都能说明相等，我们就可以用等号连接起来，说明是一组相等的等式。一起读一下吧。（板书：意义）

师：举起手，我们一起来说说这个算式的规律。

师生齐声说：左边是两个数合起来乘 10，右边是两个数分开乘 10，再相加。左边是两个数合起来乘 8，右边是两个数分开乘 8，再相加。

（学生边动手比划边说）

师：这里的 8 和 10 可以叫做 “相同乘数”。（板书：相同的乘数）

【 设计意图：借助求 “一共有多少块瓷砖” 这个熟悉的情境，学生将两个算式有机的结合，通过仔细观察，分析比较，总结归纳，掌握这种规律，为符号表示奠定模型基础。】

师：你能照样子再写一组这样规律的等式吗？并说明原因

学生写，找学生汇报，师板书。

师：这样的算式你能写多少个？（无数个）能写完吗？

师：你有什么好方法可以把这无数个算式表示出来吗？写在练习单上。

预设：用字母表示，文字表示，图形表示......

（三角 + 圆圈）× 方框 = 三角 × 方框 + 圆圈 × 方框

师：你能解释你的规律吗？

生：左边是合起来乘方框，右边是分开乘方框，再相加。方框是它们的相同乘数。

师：同学们用图形、字母、文字表示了规律，虽然表示的方法不同，但是它们的意义是相同的，为了便于以后的运用和交流，数学家把这种规律统一表示成这样。用 a、b、c 分别表示三个数，

(a+b)×c=a×c+b×c

师：你能利用乘法的意义解释一下左边是几个几，右边是几个几吗？

师：那这里面的 a 可以表示哪些数？b 呢？c 呢？

师：这就是我们今天学习的新知识：乘法分配律（板书）

师：这里的分配是什么意思？

生：把 c 既分给 a，又分给 b。

师：你觉得用字母表示有什么好处？

生：简单，一个等式可以表示所有符合规律的算式。

【 设计意图：符号最重要的功能就是能够准确、清晰的传递信息，具有简约，高效，便于交流的作用。在建立乘法分配律模型的基础上，学生发现这样的算式写不完，进而引出用各种抽象符号对规律的归纳，概括，最后统一用字母表示乘法分配律，学生经历了 “从具体情境 —— 学生个性化的符号表示 —— 学会数学的表示” 这一逐步符号化的过程。】

3. 借助点子图，说明等式成立。

师：请用喜欢的方法说明 4×3+6×3=(4+6)×3 乘法分配律是成立的。

学生汇报

师总结：刚才我们从计算和意义的角度说明乘法分配律的成立，看来画图也能说明乘法分配律的成立。

4. 借助长方形模型，深度理解

师：3x4 可以表示一个长是 4，宽是 3 的长方形。

课件出示：观察所有算式，哪些算式表示的方块可以和这个 “长方形” 拼成一个更大的的长方形呢？说明理由。

师：我们先来找出不能拼的？

根据学生的判断，划去相应的算式

师：为什么这些算式表示的长方形不能跟这个长方形拼成更大的长方形？进行验证

生：因为这些长方形的横竖都没有 3 或者 4 就不能拼？（学生上台展示）

师：那什么样的长方形才能跟 3x4 的长方形进行拼？

生：算式里有 3 或者 4 的长方形就可以。

师：如果选 3x6 的长方形来拼，改如拼？（学生上台展示）

师：能用算式表示出来吗？

师：现在不看图，直接根据算式来想想拼的过程。如果想找一个跟 4 拼的长方形，该找谁？

师：请在作业纸上写出 3x4 和 4x5 拼的等式。

师：在这些可以拼的算式里，按照拼的方式的不同，你想分成几类？为什么？

1. 跟 3 拼的 2. 跟 4 拼的 3. 既能跟 3 又能跟 4 拼的

师：既能跟 3 连又能跟 4 拼的是哪个算式？

师：你们太厉害了解决了这么多问题！今天的作业：如果把 5x9 这个长方形拆开，你有多少种拆法？

【 设计意图： 抽象的数学知识，抽象的数学结构，抽象的数学内容永远离不开直观的价值。通过点子图和长方形做为乘法分配律的直观模型，更有助于学生的理解。】

5. 联系旧知，深入理解规律。

师：请你想一想，以前的学习中见过乘法分配律吗？

师：其实呀，不仅在竖式中，在购物，长方形周长和面积中都有我们学习的乘法分配律，看来，它已经是我们的老朋友了，课下请同学们带着数学的眼光继续寻找乘法分配律的例子。

【 设计意图：心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断了动作与思维的联系，思维就不能得到发展。” 因此，要解决数学符号的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，就要多为学生创设一些应用数学知识的情境，以帮助学生发现数学符号的价值。】

三、练习巩固，拓展应用规律。

1. 填一填

（12 + 40）×7= （ ）×7 + （ ）×7

15×（40+8）=15×（ ）+ 15×（ ）

88×20-12×20=（ - ）×20

65×24+15×24+20×24=( + + )×24

【 设计意图：让学生初步运用模型去完成，巩固乘法分配律的数学模型。】

2. 看一看，想一想，哪些等式是正确的？对的请打 “√”，错的请打 “×”

(1)(6+30)×7=7×6+7×30

(2) 25×(4+60)=25×4+60

(3) 25×6×4=25×6+25×4

（4）74×（20+1）=74×20+74

【 设计意图：通过具体的练习，理解乘法分配律。】

四、课题总结

本节课你学会了什么？

板书设计：

乘法分配律

《乘法分配律》二稿反思

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行数学思考的重要形式。结合上次团队教研内容和反思，修改教学设计之后进行第二次试讲，现对此次试讲反思如下：

1. 观察比较，归纳规律

在学生得出两组算式，没有急于形式的让学生模仿，而是注重引导学生观察左右两边算式的特点，表示的实际意义，给学生充分的感受，说理的过程。学生说出自己的想法时，教师顺势强调左边是合起来乘，右边是分开乘，再相加，简短的语言表达了规律的实质意义，在表达的过程中，加深对规律的理解。在解决问题过程中，学生经历了 “从具体事物 —— 学生个性化的符号表示 —— 学会数学的表示” 这一逐步符号化的过程。

2. 抽象模型，多元表征

放手让学生自己表征乘法分配律，有文字表征，图形表征，字母表征....... 虽然形式不同，但表示的意义都相同，通过表征的转换，加深学生对运算律的理解。学生经过交流，分享，积累解决问题的经验，同时经历的符号化的过程，逐步体会到将实际问题符号化的优越性。                       

3. 多维直观，加深理解

本节课给学生提供多种直观情境，比如点子图，方格图，长方形面积和周长，购物和两位数乘两位数的竖式计算，帮助学生建立模型，加深对乘法分配律的理解，提升符号的认识。

4. 注重表达，内在建构

课堂上注重语言表达，本节课没有对抽象的规律进行描述，而是用 “合起来乘” 和 “分开乘再相加” 这样简短的语言进行描述，把复杂的语言归纳放在以后的学习中，这样就更顺理成章，也降低了学生的难度。在练习 74×(20+1)=74×20+74 时，74×20 既可以表示 74 个 20，也可以表示 20 个 74，巧妙的运用 “考虑到后面还有一个 74”，我们可以把它看做是 20 个 74 加 1 个 74，合起来是 21 个 74，左边正好是 21 个 74。

建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行数学思考的重要形式。 反思本次试讲之后，我们团队又进行了 “本节课该如何培养学生的符号意识 “为主题的教研，内容如下：

一、唤醒符号，感受优越性

在日常生活中，学生已经初步具有了符号意识，感受到生活中的符号所体现出的简约、严谨、科学的特质，这种符号意识对数学符号感的形成起着积极的促进作用。用学生已有的数学知识加法交换律来唤醒学生的符号意识，用数学唤醒数学，是实现高效数学课堂的手段之一。

经过团队教研，将本节课的导入进行了修改：出示 a+b=b+a，师提问：加法交换律为什么不写成 3+4=4+3？生可能说因为字母可以表示任意数，字母的式子可以表示无数个式子，而 3+4=4+3 只代表这一个算式。简单的几句话，学生感受到用字母表达的优越性和必要性。

二、在解决问题中逐步建构符号意识的模型

数学知识的学习往往是从具体到表象再到抽象，符号化的过程，所以应该引导学生在具体问题中，逐步将日常语言符号，借助学生的个性化表达为桥梁，最终逐步译成数学语言符号，建构起数学符号模型。

本节课借助半直观半抽象的格子图问题情境，学生首先将情境抽象成符号数字和算式，通过观察，找到了左右两边算式之间的特点，初步建立了模型。此时，老师提问：你能照样子在写一组这样规律的算式吗？学生争先恐后的汇报，每个人的算式都不一样，老师提问：这样规律的算式可以写多少个？能写完吗？你有什么好方法可以把这无数个算式表示出来吗？学生的思维受到碰撞，运用符号个性化表达的需要水到渠成。接着继续追问：这里的 a,b,c 可以表示哪些数？这个字母表达式可以表示哪些算式？孩子们在具体的情境中体验符号表达的简约性，领略符号的通用性。

《乘法分配律》二稿

教材分析：

乘法分配律是在学生已经学习了乘法交换律，结合律，加法交换律，结合律，并能初步应用这些运算定律进行一些简单计算的基础上学习的。教材是按照分析题意，列式解答，讲述思路，观察比较，总结规律等层次进行的。旨在通过情境中发现问题，并促使学生进一步探索数学规律，在经历过程中体验探索数学规律的基本步骤和有效方法。本节课以不同的方法解决实际问题为杠杆，以不同方法的内在联系为支撑，达成从 “具体事物”→“个性化符号表示”→“学会数学的表示” 的符号化表征过程，丰富学生的符号语言，为符号运算推理，进行符号思维打好基础。

学情分析：

学生学习本节课之前学生具有基本的自主探究，团队合作，与人交流的能力。同时已经学习了乘法交换律，结合律，加法交换律，结合律的知识，会运用符号进行简单表征，能把实际问题或现实情境中的规律用符号表示出来，有一定的探究规律的思想方法和数学活动经验。然而本节课既涉及乘法运算又有加法运算，是学生学习的难点。因此学好乘法分配律是学生以后进行简便运算的重要基础，对提高学生的计算能力有着举足轻重的作用。

教学目标：

1. 借助情境，能用自己的话说出乘法分配律的特点，并能用字母表示。

2. 会用乘法分配律解决简单的实际问题。

教学重点： 抽象概括出乘法分配律。

教学难点： 理解和运用乘法分配律。

教学过程：

一、复习导入。

1. 课件出示 14×12

师：我们已经学了乘法，谁来说说这个算式可以表示什么意思？

生：12 个 14 或者 14 个 12

师：看懂老师的算式了吗？分别表示什么？

生：2×14=28,10×14=140

师：也就是把 12 分成 10 和 2，先算了 2 个 14，再算 10 个 14，合起来就是 12 个 14 ，对吗？

【 设计意图：通过 复习乘法的意义，两位数乘一位数的算理，唤醒学生的原有经验，为乘法分配律做铺垫。】

二、引导探究，发现规律。

1. 独立尝试，初步发现规律。

师：肖老师这几天正给厨房铺瓷砖，可是老师遇到一个困难，你们一起帮我算一算，好吗？

课件出示：

师：仔细观察，从图中你能发现哪些数学信息？

师：根据以上信息，你能提出怎样的数学问题？

① 学生提出问题：一共贴了多少块瓷砖？

②列式解 答，学生先独立列式，再与同桌交流自己的想法。

师：你会列示解决吗？请你尝试算一算并与同桌说一说你的想法。

方法一：

(3+5)×10=8×10=80 (块) 引导学生说出：白色 3 行，蓝色 5 行，两种颜色共 8 行，一行有 10 块，所以先算出一共有 8 行，再用 8×10 算出共有多少块瓷砖？ 也就是 1 个 10，8 行就是有 8 个 10。(黑板板书：(3+5)×10)

方法二：

3×10+5×10=30+50=80 (块) 引导学生说出这边的 3×10 和 5×10 分别是算什么？(分别算出白色瓷砖和蓝色瓷砖的块数。) 3×10 就是 3 行白色的瓷砖，也就是 3 个 10，5×10 算的是这 5 行蓝色的瓷砖，也就是 5 个 10。合起来就是一共的瓷砖。(黑板书：3×10+5×10）

方法三：

(4+6)×8=10×8=80 (块) 引导学生说出：左面墙 4 列，右面墙 6 列，两面墙共有 10 列，一列有 8 块，也就是 1 个 8，10 列就是 10 个 8， 算出共有多少块瓷砖。(黑板板书：(4+6)×8)

方法四：

4×8+6×8=32+48=80 (块) 引导学生说出这边的左面有 4 列，每列有 8 个，4×8 算出左面有多少块瓷砖？也就是 4 个 8。 6×8 表示右面有 6 列，每列有 8 个，6×8 算出右面有多少块瓷砖？也就是 6 个 8 左面和右面合起来就是一共用的瓷砖的块数。（黑板板书：4×8+6×8）

【 设计意图：课程标准指出建立模型首先要从我们的现实生活中去抽象出数学问题，教学中重视学生的生活经验和知识背景，结合具体情境，充分激发学生潜藏的 “符号意识”，这是发展学生 “符号感” 的重要基础。】

2. 类比举例，归纳概括规律。

师：观察算式，你有什么发现？左边有什么特点？右边有什么特点？

生：左边是合起来乘 10，右边是这两个数分开乘，再相加。（板书：合起来乘、分开乘再相加）

生：它们还有一个相同的乘数。（板书：相同的乘数）

师：我们以第一排算式为例，仔细观察，这两道算式还有什么联系吗？

生：得数一样。

师：不管是合起来乘还是分开乘再相加，都是算的一共有多少块瓷砖。这位同学从计算的角度说明这两道算式是相等的，你还有不同的思考吗？（板书：计算）

生：左边 8 个 10，右边是 3 个 10 加 5 个 10，也是 8 个 10。

师：同意他说的吗？分析意义也能说明他们相等。既然都能说明相等，我们就可以用等号连接起来，说明是一组相等的等式。一起读一下吧。（板书：意义）

师：你能照样子再写一组这样的等式吗？并说明原因

学生写，找学生汇报，师板书。

【 设计意图：借助求 “一共有多少块瓷砖” 这个熟悉的情境，学生将两个算式有机的结合，通过观察，归纳，总结规律，掌握这种规律，为符号表示奠定模型基础。】

师：这样的算式你能写多少个？（无数个）能写完吗？

师：你能想办法用一个式子把这无数个算式表示出来吗？试一试，写在练习单上。

预设：用字母表示，文字表示，图形表示......

（三角 + 圆圈）× 方框 = 三角 × 方框 + 圆圈 × 方框

师：你能解释你的规律吗？

生：左边是合起来乘，右边是分开乘，再相加。方框是它们的相同乘数。

师：同学们用图形、字母、文字表示了规律，虽然表示的方法不同，但是它们的意义是相同的，为了便于以后的运用和交流，数学家把这种规律统一表示成这样。用 a、b、c 分别表示三个数，

(a+b)×c=a×c+b×c

师：你能利用乘法的意义解释一下左边是几个几，右边是几个几吗？

师：那这里面的 a 可以表示哪些数？b 呢？c 呢？

师：相同的乘数是谁？

师：这就是我们今天学习的新知识：乘法分配律（板书）

师：这里的分配是什么意思？

生：把 c 既分给 a，又分给 b。

师：你觉得用字母表示有什么好处？

师：根据这个字母表达式，你能说说乘法分配律里什么变了？什么没有变？

生：运算顺序变了，运算步数变多了，原来先算加法，后来先算乘法，结果没有变。

生：原来先是求 (a+b) 个 c，后来是求 a 个 c 加 b 个 c 的和。

【 设计意图：符号最重要的功能就是能够准确、清晰的传递信息，具有简约，高效，便于交流的作用，本节课的目的之一就是要使学生懂得符号的意义，会运用符号解决实际的问题和数学本身的问题，发展学生的符号意识。在建立乘法分配律模型的基础上，学生发现这样的算式写不完，进而引出用各种抽象符号对规律的归纳，概括，最后统一用字母表示乘法分配律，这样从具体到抽象，帮助学生进一步理解乘法分配律。】

3. 借助点子图，说明等式成立。

师：请用喜欢的方法说明 4×3+6×3=(4+6)×3 乘法分配律是成立的。

师：怎样在长方形图中说明乘法分配律的成立？

师：如何找到相同的公共边？这条相同的边其实就是乘法分配律中的那个相同的乘数，

师：说一说 4×3+6×3 与 (4+6)×3 各表示什么意思？

生：4×3 表示长 6 宽 3 的长方形，6×3 表示长 4 宽 3 的长方形，拼成一个长是（6+4），宽是 3 的大长方形。

生：左边表示蓝色长方形格子总数是 3×6，黄色长方形格子总数是 3×4，格子的总数是 3×6+4×3，而右边大长方形横排有 (4+6) 个格子，有 3 排，格子总数是 (4+6)×3。由于大长方形是由前面两个长方形合成的，格子总数没有发生变化，所以 3×6+4×3=(4+6)×3 成立。

【 设计意图： 抽象的数学知识，抽象的数学结构，抽象的数学内容永远离不开直观的价值。通过点子图和长方形做为乘法分配律的直观模型，更有助于学生的理解。】

4. 联系旧知，深入理解规律。

师：这个规律其实在我们以前的学习中也学过，想象一下，在哪见过？仔细观察，用你的慧眼找找看！

生：(35+25 )╳3=35╳3+25 ╳3

师：能说一说他的含义吗？

生：左边先算出一套衣服的价钱，再乘 3 就是 3 套衣服的价钱。右边算出 3 件衣服和 3 条裤子的价钱，在加起来就是 3 套衣服的价钱。

师：不管是合起来算还是分开算，都是算的 3 套衣服一共多少元？

生：( 8+3 )╳2=8╳2+3╳2，左边先算一长加一宽，再乘 2，算出长方形的面积。右边先算 2 条长，2 条宽，再加起来也是长方形的面积。

生：第三道先算 1 个 26，再算 20 个 26，合起来就是 21 个 26。

生：第四道 ( 60+40 )╳30=60╳30+40╳30，左边先算合起来的长，再乘宽，算出总面积；右边先算绿玫瑰园的面积和黄玫瑰园的面积，再把他们加起来，就是总面积。

师：这几道算式都是我们生活中对乘法分配律的运用，不管是合起来乘，还是分开乘再相加，结果都一样，这样的规律学会了吗？

【 设计意图：心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断了动作与思维的联系，思维就不能得到发展。” 因此，要解决数学符号的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，就要多为学生创设一些应用数学知识的情境，以帮助学生发现数学符号的价值。】

三、练习巩固，拓展应用规律。

1. 填一填

（12 + 40）×7= （ ）×7 + （ ）×7

15×（40+8）=15×（ ）+ 15×（ ）

88×20-12×20=（ - ）×20

65×24+15×24+20×24=( + + )×24

【 设计意图：让学生初步运用模型去完成，巩固乘法分配律的数学模型。】

2. 看一看，想一想，哪些等式是正确的？对的请打 “√”，错的请打 “×”

(1)(6+30)×7=7×6+7×30

(2) 25×(4+60)=25×4+60

(3) 25×6×4=25×6+25×4

（4）74×（20+1）=74×20+74

【 设计意图：通过具体的练习，理解乘法分配律。】

四、课题总结

本节课你学会了什么？

板书设计：

乘法分配律

《乘法分配律》一稿反思

《乘法分配律》是五大运算定律中唯一含有两级运算的定律，既是本单元的教学重点也是学习的难点。尽管学生在以前学习过加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律，但是乘法分配律对他们来说仍然是一节既抽象又难理解的概念课。所以本节课我从学生的实际出发，设计了铺瓷砖的生活情境，并且结合新课标的一些理念设计相应的教学策略。

学生从观察、计算、验证等解决问题的过程中发现并且理解规律，当学生发现类似乘法分配律这样的算式写也写不完的时候，个别学生无法用语言表述自己发现的规律时，学生尝试用自己喜欢的方式表示发现的规律，这样增强了学生运用符号表达数学规律的意识，从具体到抽象，从个别到普遍，这样不仅培养了学生的思维的灵活性，而且学生能够感受数学规律的普遍适用性。

通过课下对学生的调查，发现学生读乘法分配律的应用还是有很多问题。针对本节课学生的问题我们团队进行了 “学生认识的难点究竟在哪里？” 为主题的教研：

难点 1：相对复杂的内在结构

前面学习的交换律和结合律都是同一级运算，改变的是运算的顺序，难度不是很大。而在乘法分配律里包含了两极运算（既有加法又有乘法）：左边先算加法，右边先算乘法；左边算 2 次，右边算 3 次的复杂运算，数字的位置，运算的顺序和次数都发生了改变，难度加大。

难点 2：相近知识的负向迁移

学生把乘法结合律的知识迁移到乘法分配律中，比如：

25×（4×8）=25×4+25×8

25×（4×8）=25×4×25×8

说明学生对模型认知不清。

难点 3：基于形式的浅表理解

1. 形式模仿与套路识别

74×(20+1)=74×20+74，学生只是按照套路发现与乘法分配律不一样，实际上按照加法和乘法的意义就不难理解。所以等不等不能光看形式化的套路和框架，要根据意义去判断。

2. 意义的缺失和理解的缺位

只关注形式化的套路，不关注数学的本质。

3. 急于归纳与直观匮乏

教师急于的进行归纳，学生理解不够通透，每一个等式左边、右边表示的实际意义，没有给学生充分的感受，说理的过程，急于抽象概括出乘法分配律的语言表达，忙着进行应运和判断，学生前面的底子不够厚实，也没有相关的直观图，比如点子图，方阵图等等直观支撑，学生只限于急于浅表的理解。

难点 4：语言归纳的抽象复杂

两个数的和与第三个数相乘等于这两个数分别与这个数相乘，再相加。对于这么复杂的语言表达，我们成年人理解都有一定的难度，学生更加困难。所以不急于让学生表达。

难点 5：变化多端的变式情境

25×16-5×16 看似乘法分配律，实际上乘法分配律的减法变式，需要学生对乘法分配律意义的掌握才能解决，要找到共同的乘 16，25 个 16 减去 5 个 16，剩下 20 个 16。32×11 和 25×78+25×10+25×12 等等，各种各样的变式给学生增加了难度。

根据学生的难点，我们设计了 “多维并进，突破学生的认知的困境” 的教学。

1. 对原有经验的唤醒

学习中重要的是回到乘法意义，回到运算意义去理解等式左右两边到底在表示什么？

①如何计算 12×3=？先算 2 个 3，再算 10 个 3，合起来是 12 个 3。

②如何计算长方形的周长

③竖式计算两位数乘两位数

这些是乘法分配律的原有经验，唤起学生的原有经验更有助于乘法分配律的学习。

2. 乘法意义的原型支撑

①加法表征：你能用加法表示 5×6？

②图像表征：你能画图表示 5×6？

③文字表征：你能说说 5×6 表示的意义吗？

3. 多维直观的深度支持

抽象的数学知识，抽象的数学结构，抽象的数学内容永远离不开直观的价值。教学中可以利用以下直观帮助学生理解：

①数量关系的现实情境，将抽象的算式还原现实情境。

②点子图

③长方形的模型

4. 语言表达的内在建构

教师要注重自己的语言表达，复杂抽象的语言归纳怎样表达学生 才容易接受并理解。

教材分析：

本课是在学生已经学习掌握了乘法交换律、结合律，并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的。乘法分配律是本单元的教学重点，也是本节课内容的难点，教材是按照分析题意、列式解答、讲述思路、观察比较、总结规律等层次进行的。然而乘法分配律又不是单一的乘法运算，还涉及到加法的运算，是学生学习的难点。因此本节课不仅使学生学会什么是乘法分配律，更要让学生经历探索规律的过程，进而培养学生的分析、推理、抽象、概括的思维能力。同时，学好乘法分配律是学生以后进行简便计算的重要基础，对提高学生的计算能力有着举足轻重的作用。在本节课的教学过程的设计上，我注重从学生的生活实际出发，把数学知识和实际生活机密地联系起来，让学生在体验中学到知识。

学情分析：

学生具有很好的自主探究、团队合作、与人交流的习惯，在学习了乘法交换律和乘法结合律知识后，掌握了一些算式的规律，有了一些探究规律的方法和经验，只要教师注意指导和点拨，就一定会获得很好的教学效果。

教学目标：

1. 借助情境，能用自己的话说出乘法分配律的特点，并能用字母表示。

2. 会用乘法分配律解决简单的实际问题。

教学重点 ：抽象概括出乘法分配律。

教学难点： 理解和运用乘法分配律。

教学过程：

一、复习导入。

1. 复习加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律。

2. 今天我们将通过再一次的探索来学习，看还能够发现什么？

【 设计意图 ：通过复习前面的知识来引出今天的新课，激发学生的学习兴趣。】

二、引导探究，发现规律。

1. 独立尝试，初步发现规律。

出示情境图，解决 “一共贴了多少块瓷砖？”

① 要求学生自己发现问题，提出问题：观察这幅图，你能从数学的角度发现哪些信息大家能根据获得的信息提一个数学问题吗？

教师出示问题：一共贴了多少块瓷砖？

②列式解答，学生先独立列式，再与同桌交流自己的想法。

方法一：

(3+5)×10=8×10=80 (块) 引导学生说出：白色 3 行，蓝色 5 行，两种颜色共 8 行，一行有 10 块，所以先算出一共有 8 行，再用 8×10 算出共有多少块瓷砖 (黑板板书)

方法二：

3×10+5×10=30+50=80 (块) 引导学生说出这边的 3×10 和 5×10 分别是算什么？(分别算出白色瓷砖和蓝色瓷砖的块数。)(黑板板书）

方法三：

(4+6)×8=10×8=80 (块) 引导学生说出：左面墙 4 列，右面墙 6 列，两面墙共有 10 列，一列有 8 块，所以我先算出一共有 10 列，再用 10×8 算出共有多少块瓷砖。(黑板板书)

方法四：

4×8+6×8=32+48=80 (块) 引导学生说出这边的 4×8 和 6×8 分别是算什么？（分别算出左面和右面瓷砖的块数。）（黑板板书）

【 设计意图 ： 课程标准指出建立模型首先要从我们的现实生活中去抽象出数学问题，本节课设计贴近学生生活的实例来建立模型，学生都能参与学习，积极思考。】

2. 类比举例，归纳概括规律。

你能把这四个算式分成两组用等号连接的算式吗？

3×10+5×10=(3+5)×10

引导学生说出 3 个 10 加上 5 个 10 也就是 8 个 10 (黑板板书)

4×8+6×8=(4+6)×8

引导学生说出 4 个 8 加上 6 个 8 也就是 10 个 8。(黑板板书)

师：观察这两组算式，你有什么发现？你能写一组这样的算式吗？

（等号左边的算式是两个数的和与一个数相乘，等号右边的算式是这两个数分别与一个数相乘，再把积相加；两组算式的结果都是一样的。）

小结现律：两个数的和与一个数相乘，等于每个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，结果不变。

【 设计意图 ：借助求 “一共有多少块瓷砖” 这个熟悉的情境，学生将两个算式有机的结合，通过观察，归纳，总结规律，培养学生概括、分析、推理的能力，初步感知乘法分配律的数学模型。】

学生独立观察思考，写一组这样的算式。指名学生板演。

师：这样的算式你能写多少个？（无数个）

师：你能用自己喜欢的方式把有这种规律的等式都概括出来吗？

预设：用字母表示，文字表示，图形表示......

用字母表示：如果用 a、b、c 分别表示三个数，你能写出你发现的这个规律吗？

学生先独立完成，然后小组交流。

师板书：(a+b)×c=a×c+b×c。

【 设计意图 ： 通过用各种抽象符号表示规律，最后归纳概括出用字母表示乘法分配律，这样从具体到抽象，帮助学生进一步理解乘法分配律的本质。】

3. 联系旧知，深入理解规律。

师：下面请看，前几周我们学习第三单元乘法的时候，其中也运用到了乘法分配律，请看 114×21，这 20 和 1 怎么来的，然后它们有分别和哪个数相乘了，其实刚学乘法时，我们就经历乘法分配律了。

【 设计意图 ： 通过回忆前面的知识，揭示乘法分配律的普遍规律，进一步理解了乘法分配律在计算中的作用，体会到运算的简便性。】

三、练习巩固，拓展应用规律。

1. 填一填

（12+40）×7= （   ）×7  + （  ）×7

15×（40+8）=15×（ ）+ 15×（ ）

88×20+12×20=（      +      ）×20

65×24+15×24+20×24=(     +     +     )×24

【 设计意图 ： 让学生初步运用模型去完成，巩固乘法分配律的数学模型。】

2. 看一看，想一想，哪些等式是正确的？对的请打 “√”，错的请打 “×”

(1)(6+30)×7=7×6+7×30

(2) 25×(4+60)=25×4+60

(3) 25×6×4=25×6+25×4

【 设计意图 ： 通过具体的练习，理解乘法分配律。】

四、课题总结

本节课你学会了什么？

板书设计：

乘法分配律

(a+b)×c =a×c+b×c

整个 3×10+5×10=(3+5)×10 分开

4×8+6×8=(4+6)×8

选课思考：

乘法分配律的教学对于学生数学素养的发展具有重要急义。首先，它可以提升学生的逻辑推理能力。在数学学习的过程中，很多问题不仅需要正向推理，还需要逆向推理，乘法分配律是逆向推理方面一个很典型的例子，有的时候需要正向简化问题，还有很多时候逆向运用也能起到关键作用，这种互逆训练可以显著提升学生的逻辑推理能力，让学生灵活的学以致用。其次，它能显著提升学生的数学运算能力。在数学运算的过程中，有效的演化不仅可以简化解题步骤，还能使得问题解决难度显著降低，尤其是在应用题解题的过程中，乘法分配律的应用可以指导学生实现一题多解及多题一解，教会学生灵活运用数学知识解决实际的问题。第三，还可以提升学生算式结合意识。乘法分配律的学习和理解都需要以实际应用为背景，结合一些具体的购物结算问题、任务分配问题、速度路程计算问题等，都可以用乘法分配律来有效解决。不仅能够帮助学生对解题规律进一步理解，而且在解题的过程中，学生可以发现很多以前学习的问题都可以简便化解决。此外，这种规律验证性的学习过程，可以进一步促进学生对规律的理解，学生充分体验思考的乐趣，在头脑中可以自主构建起一个交互运用的数学知识模型，这对于学生核心素养的发展，具有显著的提升价值。

活动主题解读：

符号化思想是小学阶段重要的数学思想之一。一直贯穿于小学教学的整个过程，并在教学过程中发挥着重大作用。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。符号的使用，极大地简化和加速了思维的进程。

2011 版《数学课程标准》中把发展学生的符号意识作为重要的学习内容，指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。” 因此，如何帮助学生感知、发现、领悟数学符号的意义，逐步培养小学生对于数学符号意义的获得能力，是提升小学生数学核心素养和小学数学教学效能必须研究的一个课题，也是表示数学概念和进行数学思考的重要工具，更是解决数学问题的方法。