郑小颖

从定性到定量，为学生独家定制 “思维营养餐”

首先感谢对方团队给我提出了一个非常有价值的问题，从这个问题我们能充分感受对方团队的成员对本节课进行了深入的研究和思考，希望通过我们的交流学习能够更多的收获和感悟。下面我们将从度量的数学本质、思想方法、知识结构三方面阐述选取 90 度为学习材料的设计思路，通过这样的设计我们力求能够深层次体现教材编写意图，打破传统教学定势，改教学生为学生学。

一．选取 90°—— 指向 “度量” 的数学本质

我们知道定性分析与定量分析是人们认识事物时用到的两种分析方式，定性 -- 用文字语言进行相关描述，定量 -- 用 [数学语言](http://www.baidu.com/s?wd=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%AD%E8%A8%80&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao) 进行描述被研究对象所包含成分的数量关系或所具备性质间的数量关系。数学的学习就是要让学生会用数学语言观察、思考和表达世界，而度量一类课的学习正是承载了这样的作用。学生要通过这一类课的学习，学会选择合适的度量单位来用数刻画事物属性，并进行数与数量关系的处理。本课是角的度量从定性分析到定量描述的起始，想要掌握定量表述角的大小的方法，90° 角 —— 这个学生已知度数的角就是最有价值的已有经验与度量工具，我们想要充分利用它 “做文章”，让学生从原有的用文字语言定性描述角的大小到通过不断加工 90° 这个具体的度数逐步寻求到定量刻画角的精确大小的方法，感悟数学本质。

二．选取 90°—— 关联 “度量” 的思想方法

1. 数据分析

90° 角的使用不是我们盲目选择的，它来源于学生。我们在前测中受到学生的启发，对于直角是 90° 这个知识，我们选取了区域学生程度不同的四所学校的学生进行了前测，结果显示出有 70% 以上的学生是知道直角是 90 度的。

基于这样的前测数据，我们首先进行纵向的教材分析，在其中发现直角是学生学习图形与几何重要而熟悉的工具。一年级学生在初步认识图形特征时，重点聚焦到图形的边、角这一维度，便认识了图形中的 “直直的角”。到了二下时，学生初步定性描述角的大小，更是以直角为标准对角进行分类，认识锐角和钝角，正是使用 90° 这个度量标准。而且生活中到处都能见到直角。接着我们进行横向的单元结构分析，学习度量角之前教材编排先研究了两条线的位置关系中的垂直，学生再次感受直角，感受 90°，紧接着安排在平移与旋转中认识平角与周角。在这样有层次的学习过程中，角的本质概念呼之欲出，即是一条线相对于另一条线斜度的大小。从角以往的学习经验和对本单元各课时的知识结构分析中直角都有着重要的意义，它是学生非常熟悉的工具，是贯穿结构的一个线索。因此我们选择将 90° 作为标准角代替角 1 去研究角的度量的定量描述，是紧紧依托学生的已有认知经验，顺势而导，以学定教。

2. 思想方法

当然我们并不是因为学生知道直角是 90° 就直接把 90° 给学生用，我们的学生也是像教材中所体现的一样，经历了 多种方法的对比与联系 ，优化出使用 90° 来量的过程即渗透优化思想。

首先是学生先用眼睛观察，定性表述三个角的大小关系，用三角板上某个角定性比较，学生还想用开口长度刻画角的大小，存在诸如标准不统一、长度去刻画角度也不合适等问题。因此当有学生说，∠2 比直角 90° 小，大概有 90° 的三分之一 30° 左右时，我们就抓住时机，让学生用 90° 这个已知角来刻画角的大小。

如果使用 90°，势必会出现 “大角量小角” 这个所谓的麻烦，而这正是我们设计的用心所在，当出现度量标准不合适时的问题时，激发学生的 类比思想， 达到关联度量是单位的累加，通过单位的等分，获得更小的单位，以求度量的精准这一类课核心本质的目的。在度量长度时，当铅笔的长度不能用整厘米数表示时，将 1 厘米等分，产生了更小的度量单位毫米。基于以上学习经验，学生就可以进行类比、迁移，把 90° 处理后仍用小角量大角，不断等分，直至寻求到 1 度角为标准进行度量。

这个过程与教材编写中选用角 1 为标准来进行度量，在等分的操作过程中渗透 极限思想 的编写意图是完全一致的。我们是在这样的编写意图之上，力求让每一次等分都带着有具体的度数，让学生感受不断地逼近准确的数值究竟是多少，而使得 1° 的产生始终在定量的描述中顺势而生。而这个过程中最重要是学生借助已有经验主动的发现和探索出度量单位，教材中 1° 角出现要与学生的等分活动紧密结合，让学生的学习过程更直观。所以我们并不是为了用 90 度这个大角量小角，而是借助这个具体数值关联问题串的结构，实现学生主动探索下的深度学习。

三 . 选取 90°—— 搭建 “度量” 的知识结构

90° 角的引入更深层次的意义在于整体架构学生的知识结构。本课是角的定量度量的起始课，它必然具有承前启后的重要性，学生前面类比运用关联长度测量学习的方法，体会工具度量的本质，后面为测量简洁、快速而发明角的度量工具做准备。

课堂上学生先平均分 90° 找到度量单位 1°，感受到了等分原理的作用。在用这个 90° 等分小工具测角的过程中，遇到钝角不够量时，学生主动要求再累加一个 90° 变成 180° 的小工具，直至 360° 的测量盘，这不但关联了这四个特殊角之间的关系，还使学生在一个个问题面前，主动探究解决方法，使学生从量角器的使用者成为量角器的发明者。

学生的整体建构没有仅仅停留在这里，教师通过评价、小结帮助学生进一步关联后续的学习内容。这样就搭建小学阶段图形度量的整体结构关系，从知识关联到思想方法再到核心本质，即寻找统一合适的度量标准精准刻画某一数学特征。这样的设计我们认为可以更好地体现教材的编写意图，让教材的编写意图不仅仅是简单的达成，而是纵深的实现。

预设问题：郑惠琼数学名师工作室给刘悦红数学名师工作室提出的预设问题：请谈一谈在活动 1 和活动 2 中如何让学生体验度量单位的产生的必要性和培养学生的度量意识？

追问问题：1、利用直角引导学生感受 1 度角的产生，请深入阐述一下设计意图？

2、导入环节的设计意图？

（五）解决问题，应用实践。

1．谈一谈对一度角的感受。

2．用活动角表示一下 1 度大约有多大？

3．用 10 度估计角的大小。

4. 在 360 份的圆上找到直角、平角、周角。（用彩色铅笔画出来）

分别说一说直角里有（ ）个 1 度，平角里有（ ）个 1 度，周角里面有（ ）1 度。

教师小结：角的度量就是以 1 度为标准，数一数一个叫里面有几个 1 度的活动过程。

5. 用一用，借助常用角描述角的大小

请在直角中快速找出 45 度角。

说一说，你是怎么样找的？（1 度 1 度数，10 度 10 度数、90 度的

一半位置 ----------）

比较谁的方法更快捷一些？学生讨论。（板书：90 度）

你能在此基础上快速找到 30 度角吗？说一说你是怎样找的？

6．折一折。

同学们手中都有一个圆，圆一圈多少度？360 度（板书：360 度）

折一折，看看你能够折出多少度的角？小组交流一下。

教师小结：同学们不仅仅是认识 1 度这个度量单位，更重要的是在 1 度帮助下记住我们生活中的常见角，用这些常见角帮助你建立对更多角的认识和想象。

（四）全课小结。

谈谈这节课你的收获？

（四）实际测量，感受 1 度角产生过程。

1. 如果用 90 度角去测量角 2，会有什么问题？（大）

2. 怎么解决？（平均分确定较小的角继续测量）

3. 请同学们讨论一下，你们打算将直角平均分成几份？为什么？

学生汇报：2 份、3 份、4 份 ----

经过交流得到分成的结果是整十数方便测量。

4. ppt 出示活动要求，学生实际操作。

请同学们将直角平均分成结果是整十数度数的角，测量角 2 的度数。边操作边将自己的操作过程记录下来，测量的结果越准确越好。

5. 学生按照活动要求小组合作完成测量活动。

教师巡视，用视频记录学生的实际操作过程。

6. 学生小组汇报，感受平均分的份数越多，测量的越精准。

（板书：单位越小，测量越准）

教师根据学生的汇报运用动画手段，再现学生平均分的过程，引发学生对于

将 90 度平均分成 90 份，每份是 1 度的整体感知。

7. 出示平均分成 90 份的直角，产生 1 度角，测量角 1、角 2、角 3 的度数。（感受精准性）

让学生到前面亲自读一读、测一测。

教师小结：刚才我们就是将 1 度作为单位数有几个这样的单位的过程，也是

单位的累加，这与长度的测量方法不谋而合。（板书：1 度单位累加）

8. 出示一个钝角，思考怎么办？

学生想到将 180 度平均分成 180 份，每份 1 度来测量。

教师 ppt 演示。

逐步引出用 360 度的圆确定一度角的方法。（体会极限思想）

回头来看看我们今天帮助淘气解决的第二个问题与第一个问题长度测量之间有没有相同的地方？

教师小结：通过刚才的我们的研究过程大家会发现，角的测量过程与长度的

测量从道理上来说都是相通的，都需要一个标准作为单位来进行累加，有几个这样的单位就是多大，当然也都是选择的单位越小测量的越准确。

让我们看看在很久以前先人们是通过是怎样思考角度测量的？

出示数学阅读。学生独立学习。

（二）探究实践，统一单位。

师：我们就以角 2 为例，请大家用手边可以选择的工具或素材，想办法量一量角 2 有多大？

生动手操作，教师巡视。

生交流：

（1） 三角板：角 2 比三角板的一个角小一些 -------

追问：你是用三角板的哪个角来量的？

（面向全体追问）还可以用三角板的哪个角来量？（展示量的结果）

用三角板测量的结果都一样嘛？为什么？

小结：可测量 三角板的角不一样 结果不同

（2） 直尺：角 2 在 4 厘米处的开口大小是 -------

追问：还有谁用小尺测量？你们量的开口大小一样吗？为什么？

小结：可测量 开口位置不同 结果不同

（3）我用角 1 量角 2：是 2 个角 1 多一点 ------

追问：还有谁也用角 1 量角 2，结果相同吗？为什么？

小结：可测量 标准一样 结果相同

（3） 直角量 ------ 大约 30 度左右。

师：刚才同学们用不同的工具或方法同样都是量角 2 的大小，请观察大家得到的结论？相同吗？为什么？

生：因为我们选择的工具和素材不同。

师：是的，也就是大家选择的标准不同，所以结果就不相同。那么我们怎么样才能让测量的结果相同呢？

生：选择同一个标准。

师：请同学们讨论一下，你们打算选择哪一种方法来量？为什么？

生：交流。

师小结：经过大家的讨论和实验，我们用直角来测量角 2 都得出相同的测量结果，说明统一测量标准非常重要。（板书：直角）

（二）创设情境，提出问题。

1． 引入滑梯，引发思考。

同学们刚才用自己以前学习过的数学方法帮助淘气解决了的生活中的问题，淘气非常感谢大家，我们再来看一看淘气遇到的第二个问题。（出示滑梯图）

师：（出示三种不同的滑梯）想象一下如果你来玩这些滑梯，滑下时有什么不同的感受？生观察交流。

师：请同学们，在魔法园丁上自己来试一试，想一想为什么三个滑梯会有不同的感受？

师：同学们你们观察的特别棒，从数学的角度就是滑梯面与地面的倾斜度不同，这个倾斜度就是三个角的大小不同。（同时出示 3 个角）

淘气的问题是：这三个从滑梯中找到的角谁大？为什么？（PPT 出示问题）

学生初步比较，说一说自己是怎么想的？

教师小结：刚才我们都是运用以前学习的比较角大小的经验来大概说了哪个角大？那他们到底有多大呢？我们就来研究一下《角的度量一》

（一）回忆旧知，关联方法。

同学们，今天老师请大家来帮助淘气解决一些生活中的实际问题好吗？

Ppt 出示第一个问题：谁的铅笔长？

学生独立操作解决问题。

用屏幕镜像技术展示学生比较的过程，学生边说边比较。

教师小结：长度测量活动就是确定的长度单位的不断累加，如果遇到单位过大不能准确的表示出长度时，我们要将确定的长度平均分，得到更小的长度单位，这样测量的结果会更准确。

板书：单位累加、单位平均分获得更小单位（准确）

（一）实际测量，感受 1 度角产生过程。

1. 如果用 90 度角去测量角 2，会有什么问题？（大）

2. 怎么解决？（平均分确定较小的角继续测量）

3. ppt 出示活动要求，学生实际操作。

4. 通过学生汇报，感受平均分的份数越多，测量的越精准。

5. 出示平均分成 90 份的直角，产生 1 度角，测量角 2 的度数。（感受精准性）

6. 出示一个钝角，思考怎么办？

7. 出示一个比 180 度大的角，思考怎么办？逐步引出用 360 度的圆确定一度角的方法。（体会极限思想）

8. 认识 1 度角。

（二）解决问题，应用实践。

在解决问题的过程中，感受 1 度角确定的重要作用：使得测量清楚、简洁、精准。

（一）回忆旧知，建立联系。

师：大家讨论一下，打算用什么方法测量角 2 的大小？

生：用一个角、小尺 -------

师：你怎么想到用小尺去测量角的大小？说明大家觉得角的测量与长度的测量之间是有关系的是吗？真好你们能用以前学习的方法来尝试解决新的问题。

那我们先来想一想，长度是怎样测量的？

生：回答。师板书

师：请大家尝试借助长度测量的方法来想一想，角度可以怎样测量？

生：回答。师板书。

引导学生确定 90 度作为测量的标准。

（一）创设情境，提出问题。

1．引入滑梯，引发思考。

师：同学们小时候都玩过滑梯吧，和同学们交流一下玩滑梯的感受好吗？

师：（出示三种不同的滑梯）想象一下如果你来玩这些滑梯，滑下时有什么不同的感受？

生观察交流。

师：（播放动画）请大家边观看动画边从数学的角度思考为什么会有三种不同的感受？

师：同学们你们观察的特别棒，从数学的角度就是滑梯面与地面的倾斜度不同，这个倾斜度就是三个角的大小不同。（同时出示 3 个角）

师：你有什么问题？今天我们就来研究角的度量的问题。（板书课题）

对应教学知识点

角的度量与长度测量的类比：

从 0 起测量单位的累积过程

长度测量方法（原有认知结构）的迁移：规定单位（已知度数角）的平均分

已知度数的不断平均分过程（极限概念），追求测量的更准确，单位的普适（解决问题）。

你为什么选择（ ）为单位表示长度，因为

水平 2：能够比较长短，能够用运算方式说明比较过程

水平 3：不仅比较出长短，还能从测量本质说明比较的过程

68.75%

12.5%

水平 2：能够选择单位，但选择没有测量本质思考

水平 3：能够选择单位，解释能够表现对于测量本质的理解

56.25%

15.62%

平角 （ ）角 （ ）度

周角 （ ）角 （ ）度

水平 2：知道已知角的名称和度数，仅能表达三者之间的大小关系

水平 2：知道已知角的名称和度数，能表达三者之间的度量关系

28.13%

78.86%

水平 2：有选择，有迁移，没有极限思想的迁移

水平 3：有选择，能够迁移到极限思想

71.87%

0%

思考点 1

“角的度量” 与其他测量活动的联系：

角的度量同其他图形的测量基础起点是长度的测量。长度测量从 0 起点单位长度的累积过程，有几个这样的单位就有多长，单位越小测量的结果越精准。本节课即是对于这种思考方式的再运用，也是对测量活动思考方式的整体建构。（类比、迁移思想）

思考点 2

“角的度量” 与其他测量活动的区别：

角是一条直线相对于另一条直线的倾斜程度，对于这种倾斜程度的测量不同于其他图形测量的单位累积方法，与长度单位之间没有运算关系。所以，教的测量必然会产生与一般图形测量所不同的单位与工具。本节课要引导学生感受 1 度角产生的过程，明确 1 度的产生与已知度数的角之间的极限关系。（极限思想）