图形中的规律

执教教师：袁雪雯 湖北省宜昌市伍家岗区实验小学中南校区

答辩成员：胡国华 湖北省宜昌市伍家岗区实验小学中南校区

李长缨 湖北省宜昌市伍家岗区实验小学中南校区

彭苗 湖北省宜昌市伍家岗区实验小学中南校区

指导教师：周俊 湖北省宜昌市伍家岗区教育科学研究院

胡晓蕾 湖北省宜昌市伍家岗区教育科学研究院

【答辩团队风采展示】

团队 4 人照片：

【教学内容】

新世纪小学数学（北师大版）五年级上册 97～98 页

【教材分析】

在生活和数学中，存在着大量的有规律的事物，以及事物变化趋势的问题。这些问题的解决没有现成的固定的方法，更多的是要通过探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。为发展小学生的数学思维能力，教材编排了 “图形中的规律” 这一内容，设计了 “摆三角形” 和 “点阵中的规律” 两个探索活动。

【学生分析】

为了解学生真实水平，找到学生的困难点 ，分别对四、五年级的学生进行了前测和后测，并多次试教。

我的思考：

1. 综合实践课堂如何体现出数学好玩，并从中获取知识掌握解决问题的办法。

2. 摆三角形寻找规律时，多种角度多种想法该如何呈现，以何种形式呈现。

3. 符号意识的培养并非一朝一夕，怎样设计让学生感受使用符号的价值，发展符号代数思维。.

【学习目标】

1. 经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形的规律的方法，在小组合作和同伴交流中找到三角形的个数与根数之间的关系，并能用符号进行概括。

2. 能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。

3. 结合探索、尝试、交流等活动，发展归纳与概括的能力。

【教学过程】

一、情境导入，引发思考

（一）活动一：摆小棒比赛

1、上课之前，我们先来进行一个热身比赛。2 人为 1 组，拿出 9 根小棒，首尾相连，比一比，看哪一小组摆出的小三角形最多，开始。

2、（请 3 组学生上来摆）追问：

①数一下，这三个小组分别摆出了几个小三角形？

生（齐答）：3 个、4 个、4 个

②三种摆法有什么区别？

生 1：第一种是分开摆的，而后两种是 2 个三角形共用了 1 条边去摆的。

师：还有谁补充？

生 2：分开摆只能摆 3 个三角形，共用边去摆能摆 4 个三角形。

师小结：你们的想法真不错，利用共用边能节约小棒，就能帮

助我们摆更多的三角形。

③这两种摆法虽然摆出的个数一样，但形状却不一样，哪一种更能让人一目了然呢？为什么？

生 3：第三种，因为我们是要看小三角形的数量，摆成一排更好看些。

④谁来移一移，把它变成右边的形状？（请生上来移）

揭题：今天我们就来一起研究这种图形中的规律。（板书：图形中的规律）

【设计意图】比赛引入，区别三种摆法，优化摆的方法让学生找准聚焦点，初步感知图形规律的变化。

二、小组合作，寻找联系

活动二：探索规律

1、同学们，如果照着这种摆法，继续摆下去，摆 10 个三角形，需要多少根小棒？先请你们观察半分钟。（板书：观察）

2、说说看你是怎样想的？

生 4：我觉得肯定会超过 18 根，因为刚才摆 4 个用了 9 根，再摆 4 个再用 9 根，就是 18 根，摆 10 个当然就会超过 18 根。

生 5：我觉得肯定比 30 根少，如果分开摆 10 个会需要 30 根小棒，而这里面还有一些公用的边，就会比 30 根少。

过渡： 你们能大胆猜想，并且讲出道理，真是爱思考的孩子。那到底是多少根呢，我们还要有具体的方法才行。下面来看看古代著名的思想家老子，他的话对你们有没有启发。

【设计意图】通过观察，进行猜想，渗透估算思想并发展数感，结合图形感受数的范围。

（插入录音），谁明白其中的意思？

生 6：（按自己的理解解释）

结合这个问题，给你什么启发？

生 7：我们可以先从摆 1 个三角形，再摆 2 个三角形入手，发现规律以后再解决这个问题。

小结：我们的确可以由易到难去探索规律，解决问题。（板书；由易到难）

摆 1 个三角形，需要多少根呢？

生 (齐答)：3 根

这样摆 2 个三角形呢？会摆会画吗？还要用算式记录过程。

请同学们拿出探究单，以小组合作的方式探索图形中的规律，一人摆小棒，另一人记录，相互配合，并用算式表示过程，开始。

【设计意图】在小组合作中，初步发现规律，并有解决问题的办法。

（二）分享汇报

（请 19+2 上来讲）展示一：（请生讲）

19 是哪里来的？你每次都是根据上一次的结果才能得出下一个结果对吗？

（请 3+2+2...... 讲）展示二：（请生讲）

有没有哪个三角形很特别？谁能把它的规律完整的说一遍。

（请 3+2× ）展示三：

这个同学的算式谁看懂了？他又是怎样想的呢？

比较一下这三种方法，哪一种能更好的帮助我们解决问题呢？为什么？

小结：解决问题的办法有很多，需要找到最优的。

【设计意图】感受算式累加的方法在计算更多项时不够方便，也不易表达，从而体会只有找到三角形的个数与根数之间的关系，才能更好帮助我们解决问题。

还有一位同学是这样想的，我们来听听她又是从哪个角度上思考的。

（请 1+2×  ）展示四：（请生讲）

谁听明白啦？再来说一说。

小结：看待问题的角度不一样，思考的过程也就（生齐答：不一样）。正如诗中所说：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

【设计意图】通过不同的方法解决问题，在不同的角度上进行思考，为学生积累解决问题的经验，体会学习数学的乐趣。

（三）验证

 1、 我们通过规律，得到的结果到底正不正确，还需要我们？

生 ：画（画是为了？验证）

请你们画一画，数一数进行验证，节约时间，可以画草图验证。（请一人上来验证）

画出的结果是多少呢？

生（齐答）：21 根

过渡：看来你们的猜想是正确的，找到的规律也是正确的。

对比一下，你更喜欢通过画得到结果，还是找到规律用算式呢？

生异口同声

【设计意图】经历猜想，合情推理以后，还需要养成验证的好习惯。

三、应用提升

（一）应用

1、你们能解决 10 个三角形用多少根的问题，那还能解决什么更难一点的问题呢？

2、100 个三角形，你们会算吗，动笔写一写。（当三角形的个数是？在这里列出算式）

（请生汇报两种方法）

3、哇，你们这么快就解决摆 100 个三角形的问题，还有没有？再多一点可以吗？

4、无论是几个三角形，你们都能解决？如果是 n 个三角形呢？还可以解决吗？在这里试一试。

5、解释一下式子

生 7、生 8

6、有了这两个式子，我们可以干嘛？它有什么作用？

生 9：只要知道三角形的个数我们就能求出小棒的根数

小结：看来这两个式子还把三角形的个数与小棒的根数之间的关系表达的很清楚。

（二）提升

1、那如果知道小棒的根数，能不能反过来求三角形的个数呢？

2、谁来读一读这个问题。37 表示什么？

3、自己试着动笔解决。（请两位同学上来讲）

4、如果想知道做地对不对，还可以代入式子里去，正向算一下

小结：刚才我们通过观察、猜想、验证、得到了结论，并且用了简洁的方式进行表达。

【设计意图】将注意力转移到关注变量及其关系上，培养符号化意识，符号的概括，不仅在于字符体系的引入，还在于对数字运算的重新认识，体会到符号赋予了学生数学问题解决的力量，对公式的双向应用能验证结果是否正确。

四、点阵中的规律

1、仔细瞧，你能找到这组图形中的规律是什么吗？请同学们自己填一填，写一写，再同桌交流。

2、谁来说说看，你是观察的什么？发现了什么规律？

生：我观察的行和列......

3、真不错，按照他的观察，第 5 个图形有多少个点子？第 n 个图形呢？

4、除了观察行和列，还能从什么角度来观察？

生：我是斜着看的......

5、你们瞧，由 1,4,9,16...... 这样的数显示出来的图形是？古希腊数学家毕达哥拉斯还把这样的数叫做正方形数，把图形与数结合起来，真是有意思。

【设计意图】将思考方法运用到点阵的研究当中，拓展学生的知识，发散学生的思维，为后面的学习找准生长点，即规律的应用与素养的形成。

五、课堂小结

通过今天这堂课的学习，你们学到了什么？还有哪些想继续研究的问题？

【设计意图】回顾本堂课的学习，梳理内容，形成体系建构，将数学思想内化于心。

【教学设计点评】

1. 教学设计思路清晰，层层递进，整个课堂充分体验以学生为中心，给予学生充分的研究时间，让学生从观察、猜想、验证活动中逐步发现规律，表达规律，由易到难，由浅入深，激发学生探究欲望，提升学生数学思维能力，让符号意识悄然渗透。

2. 大致结构已经基本成熟，各环节已经找到相应重点突破之 “点”：环节一：找准聚焦点（摆法的区别与优化）; 环节二：找准出以点（问题的猜想与方法）；环节三：找准着力点（规律的比较与优化，规律的归纳与提升）；找准生长点（规律的应用与素养的形成）。

【我对符号意识的理解】

我们认为符号意识是指学生对表示数学概念、数学关系等符号的感受、体会、认识、理解、运用等方面的反应。这些反应具体表现出学生对数学符号进行信息加工和处理的能力，且反应的不同强度体现了学生符号意识的强弱。我们知道，意识≠能力，但意识是能力之魂，能力是意识的外化形式，所以我们对符号意识含义的认识倾向于反应说 + 能力说。

【思考在延伸】

1. 摆小棒的活动操作中，学生观察的角度有很多，其中减去公共边的方法学生没有出现，那还需不需要刻意去展示？

2. 是解决本堂课的问题方法重要，还是提升数学思想更重要呢？如果是提升数学思想，那就应该教会学生如何去解决问题，而不是就一道题灌输给他多种方法，也不能引起共鸣。

且研且行且生长

用剥茧抽丝来形容研讨之路，感觉真不过分。从 1 月开始到 4 月底，这次研磨长达 4 个整月，而作为上课教师的我，真切感受到想要上一堂好课，研磨一些东西出来是真的不容易。

一路走来，阶段性的迷茫，阶段性的困惑，阶段性的困难，阶段性的瓶颈，好在研究团队的力是强大的，总算拨得云开见月明，柳暗花明又一村。下面将一路的思考历程简单写一下。

一教想法，基于教材内容将课程中第一部分 “摆小棒” 的情境原封不动的去上。其实一教想法也是查阅很多资料发现大多老师都是按照教材处理的，在一堂课上让学生从摆到记录到用符号表示规律、关系，内容量满满，其中还涉及到不同角度观察的问题。虽然我也认为要按教材编排处理，但不禁担心是否过于平淡，不能做为一堂好课。现在课程改革下各种形式课堂风生水起，多学科融合，课堂创新丰富，看起来 “高”“大”“上”。而试教之后发现，在课堂上完成这一系列就以及很不容易，我连内容都上不完，更别谈巩固练习。

二教时，我对内容框架开始有了一些把握，一是要理清学生探究规律的想法中的层次关系，我们应该关注到各种不同算式记录后的学生想法，意味着学生的原有层次水平；而是要向他们明确，找规律的背后是要找到三角形的个数与小棒根数之间的关系，并用符号进行表达。当时我一直坚持认为发现图形规律后，我们不能直接给定 n 来进行表达，要让学生自发的想到用 n 概括，从而体会符号的便捷。当时我认为学生的问题不在于不会用字母来表达，而是没有用符号表达的意识。总是希望学生自己往 n 上靠，其实在无意识的给学生贴上了标签。

三教，由于如果要在课堂上完成摆小棒、探索规律的过程我实在上不完，所以我们开始想让学生进行社会化学习，将摆和探究的活动前置，在课堂上直接组内共学，应用提升。这样确实节省了时间，但是存在一个问题，就是我们不能了解每一位同学的真实想法，因为他们已经提前弄懂了一些问题，或许耗费了比一堂课更多的时间。这样看起来课堂效率提高了，其实学习的效率降低了，因为把时间花在了课前。

这一教完后，我们区教育科学研究院副院长周院长以及教研员胡老师提出，综合实践课必须要在课堂上完成操作活动，探究汇报的过程，因此不能前置，否则没有意义。其次，要教学生解决问题的方法最为重要，不要给学生贴符号意识的标签，而是在画，算式记录，以及用 n 来表达这一系列的过程当中体会符号的便捷，画、算式本身就是一种符号意识。点阵可以作为本课的拓展练习，发散思维。

我们如同醍醐灌顶，之前一直纠结情境创设，其实摆小棒就是一个很好的情境，纠结用 n 表达的问题，其实画和算式就是一种符号。确实，理解了这一层面，每一步走扎实，就是一堂好课了。

四教，周院长亲自指导，指出各环节已经找到相应重点突破之 “点”：环节一：找准聚焦点（摆法的区别与优化）; 环节二：找准出以点（问题的猜想与方法）；环节三：找准着力点（规律的比较与优化，规律的归纳与提升）；找准生长点（规律的应用与素养的形成）。

我发现，学生在体会到自己找到规律以后，当我问出你还能解决更多的问题吗，他们的思维、情感到达了巅峰，将课推向了高潮，于是顺理成章解决 n 个三角形的问题。一堂好课，不在于课的外在多么富丽堂皇，而是内容的本质仅仅抓牢，这次我又学习到了......

二稿反思

我们认为符号意识是指学生对表示数学概念、数学关系等符号的感受、体会、认识、理解、运用等方面的反应。这些反应具体表现出学生对数学符号进行信息加工和处理的能力，且反应的不同强度体现了学生符号意识的强弱。我们知道，意识≠能力，但意识是能力之魂，能力是意识的外化形式，所以我们对符号意识含义的认识倾向于反应说 + 能力说。

发现图形规律后，教师往往直接给定字母 n，询问学生当 n 个三角形时，需要多少根小棒？由算式过渡到字母式非常生硬，我认为学生的问题不在于不会用字母来表达，而是没有用符号表达的意识，所以教师需要向学生理清为什么用符号来表示关系，也就是体会应用符号的价值，是我们这堂课关于符号意识的发展点。这将激励着学生在解决有规律的问题时，先进行符号概括，再代入，逐渐产生符号代数思维。

是否需要巧设情境，基于情境解决问题？但是没有找到合适恰当的情境......

符号意识的培养并非一朝一夕，怎样设计让学生感受使用符号的价值，发展符号代数思维......

练习的层次性如何基于本堂课去设定......

发展点应该落脚于符号代数，是设计习题，还是寻找素材感受体会......

教学课题 北师大五上《图形中的规律》2022.4.19

教学目标

1、经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形的规律的方法。

2、在小组合作和同伴交流中找到三角形的个数与根数之间的关系，并能用符号进行概括。

3、体会符号概括的便捷性和概括性，发展符号代数思维的意识。

4、能在找规律的情境中解决问题时，想到先用符号进行概括，在解决具体问题。

教学重点

在小组合作和同伴交流中找到三角形的个数与根数之间的关系，并能用符号进行概括。

教学难点

体会符号概括的便捷性和概括性，发展符号代数思维的意识。

教学过程

一、比赛导入

（一）活动一：摆小棒比赛

1、上课之前，我们先来进行一个热身比赛。2 人为 1 组，拿出 9 根小棒，首尾相连，比一比，看哪一小组摆出的小三角形最多。（听明白了吗？那就开始吧）

2、追问：

①数一下，他们小组摆了几个小三角形？这个小组呢？为什么你们都不分开摆？

②这两种摆法有什么共同的地方？

③这两种摆法摆出的形状不一样，但其实是一个意思。谁能移一下，把它也变成右边的形状？

3、 你们也来试一下吧，得到这个图形的形状。

揭题：今天我们就来一起研究这种图形当中蕴藏的规律。（板书：图形中的规律）

设计意图：游戏引入激发学生的学习兴趣，在过程当中逐步优化摆法问题，向本堂课靠拢，铺垫。

二、活动探究

（二）活动二：动手操作

1、同学们，如果照着这种摆法摆下去，想一想，摆 10 个三角形，需要多少根小棒？

2、我们可以怎样解决这个问题？（先观察半分钟）

3、要用算式来计算，该如何找到这当中的规律呢？

预设： 生 1：我们可以画；

生 2：找到规律用算式算。

生：从简单的入手，先看摆 1 个三角形、摆 2 个三角形...... 找到规律

4、你们听明白了吗？直接研究 10 个三角形有些困难，我们可以先从摆 1 个、摆 2 个入手，发现规律再解决更复杂的问题。这正和古代著名的思想家老子，不谋而和，谁来读读老子的话。

5、有没有同学明白其中的意思？

6、我们可以由易到难的去探索规律。

7、这样摆 1 个三角形，难得的你们吗？需要几根小棒？这样摆 2 个三角形呢？会摆会画吗？知道是几根吗？有一个新要求，从这一步开始，要用算式记录，算式要能体现出图形里的规律。

（三）、汇报分享：

第一种：

这个加法算式里面有什么规律？有没有那个三角形很特别？谁能把它的规律完整的说一遍。

第二种：

第三种：

6、 你们从不同的角度看待问题，思考过程也就（不一样）。正如诗中所说：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

7、哪些方法能更好的帮助我们解决 10 个三角形的问题呢？为什么？

8、现在请大家自己解决 10 个三角形的问题，再和同桌交流一下。

解释算式的意思：重点解释 9 是哪里来的

9、怎样知道结果对不对呢？

为了节约时间，可以画草图验证。

10、摆 10 个三角形是需要 21 根小棒吗？

你们的规律找的十分准确

11、比较一下，更喜欢通过画得到结果，还是找到规律用算式计算呢？

设计意图：在小组合作中，初步发现规律，并有解决问题的办法。

三、应用规律，解决问题

11、除了可以解决摆 10 个三角形所需要的小棒根数以外，你还能解决什么其他问题呢？

动笔写一写，算一算。

12、 两种方法

13、 你还想算什么？

14、 无论是几个三角形，你们都能算出所需小棒的根数吗？如果是 n 个三角形呢？动笔试一试。

15、 解释一下式子

16、 有了这两个式子，我们可以干嘛？

17、 也就是说，我们找到了三角形的个数和小棒根数之间的关系。

18、 体会一下，这个式子特别在哪里？

设计意图：感受算式累加的方法在计算更多项时不够方便，也不易表达，从而体会只有找到三角形的个数与根数之间的关系，才能更好帮助我们解决问题。 将注意力转移到关注变量及其关系上，培养符号化意识，符号的概括，不仅在于字符体系的引入，还在于对数字运算的重新认识

四、拓展提升

1、同学们，如果告诉你的是小棒的根数，你还会求三角形的个数吗？

2、请一个同学帮我们读出问题：

37 表示什么？

3、动笔试一试，再小组交流一下。

4、 谁想上来讲给大家听。

过渡：刚才我们通过观察、猜想、验证、得到了结论，并且用了简洁的方式表达出来。

设计意图：逆向思维的过程更是促进学生对知识的吸收，体会符号概括的好处。

五、数学故事

1、点阵中的规律

2、还能从其他角度去发现他的规律吗？

其实啊在公元前 6 世纪时，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯，也爱这样思考图形中的规律，把自然数与几何图形联系了起来，于是就产生了一系列的形数。让我们一起来听听毕达哥拉斯的小故事。

看了这个视频，相信同学们对毕达哥拉斯摆豆子的规律十分感兴趣。下课以后，请同学们自己去研究一下，聪明的你们一定能找到其中的奥妙。

设计意图：了解数学史和形数，拓展学生的知识，能够发散他们的思维，激发对数学探索的兴趣。

六、课堂小结

通过今天这堂课的学习，你有什么收获？

三稿反思

通过试教，我们通过组内研讨我们把重点用符号表示规律，在表示规律的活动中，体会到用符号表示规律的便捷性和概括性，积累符号化的活动经验，发展学生的代数思维。

根据前两次试教出现的问题，在三稿中，对教学环节进行大的改动。把探究规律这个活动改为课前探究。学生根据前置学习单，探究三个问题，

问题一：怎样摆得到的三角形数量最多？学生通过动手操作，找到更节省材料的摆法。

问题二：接着摆下去，摆 10 个三角形，需要多少根小棒？引导学生思考，要解决这个问题，先尝试找出图形的排列规律。

问题三：动手画一画，验证找到的规律，是否正确。50%的学生能独立完成这三个问题。

本节课的教学流程如下：

组内互学（根据学习单，交流发现）、分享展示、用符号表示规律、应用探究规律的方法解决新的问题。

组内互学过程中，学生们在学习小组充分地进行交流和思考，让更多的学生拥有深度参与学习的机会，而不至于沦落为被动的倾听者与沉默的大多数。

分享展示：学生根据表格，分享小组内想法，全班归纳总结，让学生透彻的发现小棒根数和三角形个数之间的关系，并且通过不同的角度去发现两者之间的关系，照顾不同层次的学生。

用符号表示规律：从具体的三角形个数，需要多少根小棒，到三角形个数任意时，根据小棒根数和三角形个数之间的关系，得出一般的表达式，这个过程就是 “符号化” 的过程。学生体会符号的一般、简洁和抽象的特点，培养学生的符号意识。

同时为了这节课能够激发学生主动学习的积极性，我们在一些环节还做了以下修改：

1、小组交流讨论，调动学生多种感官参与。 一节课中老师指名单独发言的机会特别少，从学习金字塔，学生的听是一种最低效的学习方式，而小组交流讨论，生生间互帮互助共同提高。

2、设计演绎推理环节，激发学生的探究意识。 通过团队讨论，我们增加了演绎推理验证环节。我们在探究一个问题时，如果我们只通过合情推理去发现规律，那这个规律是否严谨正确？如果我们通过不同的角度观察两者之间的关系，能得到另一个规律，而此规律能够验证第一个规律是否正确，通过演绎推理验证，这样就保证了规律的正确性，同时也激发了学生探究问题的兴趣。

3、课内作业设计题型体验多样化。 我们下面想做这样的尝试：在巩固应用阶段采用设立 “问题超市” 的形式，超市里的题目难度不一，有从三角形个数和边的个数的关系类比迁移到四边形，五边形或者六边形中去；也有不同于此规律的餐桌问题。题型丰富，难度不同，学生自行去选择合适的问题进行探究规律，根据发现的规律来解决复杂的实际问题，让每位学生在本节课的学习中有不同的收获。

学生在猜测的同时，探求欲望更加强烈；商讨方案时，操作、连线、画图、列表，从特例开始寻找规律等各种策略在学生的大脑里得以调出、过滤；数形结合 (或摆算结合) 的汇报过程，让操作体验与语言表达齐头并进，是学生进行抽象概括、建立模型的二次经历。这个过程可进一步锻炼学生的思维，有利于促进学生良好思维品质的形成。

对 “探索规律” 内容的教育价值进行了三个层面的分析。简单来说，“探索规律” 的学习有利于培养学生的关键能力，如观察能力、运算能力、发现和提出问题的能力、数感与符号感等，对学生数学抽象、逻辑推理、数学模型等数学素养的提升有不可或缺的作用，对激发学生创新欲、树立成就感有重要意义。

教学课题

北师大五上《图形中的规律》

教学目标

1、经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形的规律的方法。

2、在小组合作和同伴交流中找到三角形的个数与根数之间的关系，并能用符号进行概括。

3、体会符号概括的便捷性和概括性，发展符号代数思维的意识。

4、能在找规律的情境中解决问题时，想到先用符号进行概括，在解决具体问题。

教学重点

在小组合作和同伴交流中找到三角形的个数与根数之间的关系，并能用符号进行概括。

教学难点

体会符号概括的便捷性和概括性，发展符号代数思维的意识。

教学工具

小棒、探究单

教学过程

环节             

教师活动

一、 比赛导入

1、师：上课之前，我们先来进行一个小组内的热身比赛。请同学们拿出 9 根小棒，让这些小棒首尾相连，比一比，看谁摆的三角形多。

2、授课助手拍照展示：

①摆 3 个三角形：它是分开摆的，能摆 3 个。

②摆 4 个三角形：它是连起来摆的，能摆 4 个。

为什么同样是 9 根小棒，这两种摆法却能摆出更多的三角形呢？

（后两种摆法的两个三角形共用了一条边，就会节省小棒）

小结：相比较而言，后两种摆法更节约材料，今天我们就来研究这一种摆法摆出的图形有什么规律。

设计意图：利用比赛激趣引入，解决三角形的摆法问题，揭示主题。

二、核心推进

（一）提出问题，合作探究

1、请大家先自己尝试一下用这种摆法来摆三角形。

2、想一想，照这种摆法摆 10 个三角形，需要多少根小棒？

3、你打算怎样解决这个问题？(先观察半分钟)

4、下面请同学们拿出学习单，小组内合作探究一下，摆 10 个三角形需要多少根小棒。2 人摆，2 人记录。

（二）分享汇报，明确方法

展示汇报：

①累加法；

②固定第一个三角形；（具体解释一下，为什么是摆 3 个三角形是 2 个 2 加 3，4 个三角形是 3 个 2＋3... 那 1 个三角形呢？）

③固定 1 边法；

④减去公共边

1、师：同学们的方法可真不少，你们看问题的角度不同，所以过程也不一样，但都能解决这个问题。

2、现在，我想知道摆 33 个三角形需要多少根小棒。你们能快速告诉我是多少吗？请你试着写出算式.(请学生说用的是哪种方法)

3、为什么你们都不用一个个加的方法啊？

4、后面三种方法只要告诉你三角形的个数，你就能知道需要多少根小棒，对吗？也就是说，我们需要找到三角形个数与所需小棒根数之间的关系才能方便解决问题。

设计意图：在小组合作中，初步发现规律，并有解决问题的办法。感受算式累加的方法在计算更多项时不够方便，也不易表达，从而体会只有找到三角形的个数与根数之间的关系，才能更好帮助我们解决问题。

三、总结概括

（一）表达关系

1、请你选择一种视角，想一想三角形的个数与所需根数之间到底存在的是一种什么关系？可以说一说，也可以写一写，小组讨论一下，开始。

2、分组汇报：

视角一：

①文字描述：所需要的根数就是三角形的个数减一个的差乘 2，再加上 3。

追问：在这个关系里面什么是不变的呢，为什么？（乘 2 是不变的，因为没增加一个三角形需要 2 根小棒，增加了几个就乘几个 2；加 3 也是不变的，因为第一个三角形比较特殊，需要 3 根小棒）

什么是变化的？（三角形的个数是变化的）

②公式概括：用 n 表示三角形的个数，根数就是 3+2×（n-1）。

追问：1、为什么用字母来表示三角形的个数？

2、这个式子能代替你们发现的关系吗？

   3、你更喜欢用一段话还是这个式子来描述你发现的关系？

小结：当我们描述一种关系时可以用一个含有字母的式子来表达，这就是数学的语言。

3、师：这次你会怎样来描述视角二和视角三中蕴涵的关系呢？试着表达一下吧。

请生分别讲解。

小结：刚才呀我们的视角不一样，所以找到的关系表达出来可能有所不一样。那这些式子是不是都正确呢？还需要我们检验一下。

（二）应用验证

1、师：既然我们找到了三角形的个数与所需根数之间的关系，知道了三角形的个数，就能求出所需根数，那反过来知道根数能不能求出三角形的个数呢？你打算怎么求？

2、算一算 37 根小棒能摆几个三角形？

3、小组之间验证一下。

4、这些式子神奇吗？神奇在哪？（正着可以用，反着也可以用）

设计意图；将注意力转移到关注变量及其关系上，培养符号化意识，符号的概括，不仅在于字符体系的引入，还在于对数字运算的重新认识

四．巩固练习

（一）图形中的规律

1、 探究连接正方形中的规律

师：这样摆正方形，你看得懂吗 ？（ 出示课件 ）

生：我受到了前面三角形规律的启发。

师：看来，我们掌握了一个图形的规律就可以 用同样的方法来解决其他图形的规律，那连接五边 形、六边形你还会吗？

2、观察比较

师：这跟刚才连接三角形中的规律有什么相同 与不同的地方？

小结：虽然连接三角形和连接正方形的规律 不完全相同，但思考方法是相同的。

（二）运用规律，拓展应用

师：其实，这样的规律不仅存在于图形中，生活中也有呢！（出示以下题目）

（1）1 张桌子可以坐 6 人，2 张桌子可以坐 10 人。3 张呢？5 张呢？

（2）如果像这样坐 70 人，要摆（ ）张桌子？

设计意图：体会到符号赋予了学生数学问题解决的力量

五．拓展提升

生活处处皆学问。这样的连接方式随处可见。

1、一桥飞架南北，天堑变通途

这是中国自行设计和建造的第一座铁路、公路两用双层桥，钱塘江大桥。它由桥梁专家茅以升主持修建，是一座经受了抗日战火洗礼的桥，我们可以看到这座桥的桥侧就是由我们今天学的这种形状连接而成。疫情结束后同学们有机会可以到杭州看看，体会他的宏伟与壮观。

2、电塔底座排列至上的也是由三角形这样连接的形状。

3、就在几天前，中国天眼观测到宇宙极端爆炸起源证据，你在视频里看到了规律排列的图形了吗？希望同学们在生活中也带着数学的眼光去观察，去发现，去体会数学的作用与奇妙。

教学目标

1、经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形的规律的方法。

2、在小组合作和同伴交流中找到三角形的个数与根数之间的关系，并能用符号进行概括。

3、体会符号概括的便捷性和概括性，发展符号代数思维的意识。

4、能在找规律的情境中解决问题时，想到先用符号进行概括，在解决具体问题。

教学重点

在小组合作和同伴交流中找到三角形的个数与根数之间的关系，并能用符号进行概括。

教学难点

体会符号概括的便捷性和概括性，发展符号代数思维的意识。

教学过程

一、操作引入，揭示课题

讨论摆的方式

师：这节课我们来研究图形中的数学问题。

出示问题：摆 33 个三角形，需要多少根小棒？

（请生 1 上来摆）师：你是每摆 1 个，就需要用三根小棒，这样独立分开摆的。

（请生 2 上来摆）师：这种摆法有什么特别的地方？

师：观察的很仔细，我们把这样的边称为 “公共边”，如果按照这种方式摆下去，会用到多少根小棒呢？（需要 99 根那么多吗）

师小结：看来摆的方式不一样，会引来结果的不同，我们要先确定摆的方式，再得出结果。

设计意图：体会三角形摆法的不同，所用小棒根数就不同。

二、化繁为简，探索规律

（一）明确探究方法

师：按照第一种摆法，摆 33 个三角形需要 99 根小棒，用 33×3 就可以解决。按照第二种方式摆 33 个三角形需要几根小棒呢？说说看，你们打算怎样解决这个问题。

师：很有想法，天下难事必作于易，我们可以由易到难去分析问题。下面请同学们探究一下，这种摆法有什么规律。

（二）合作探究规律

师：拿出学习单，我们一边摆一边从 1 个三角形需要几根小棒探究起。

1、动手操作，初探规律。

（1） 出示活动要求。

①用画一画或摆一摆的方法，完成表格。

②把你的想法用算式表示出来。

（2） 分享汇报，发现规律。

师：你是每次在上一次的基础上进行累加。

（3） 运用规律，找到三角形的个数与小棒根数之间的关系。

师：按照你们所想的解决办法，摆 5 个三角形需要几根小棒？

师：摆 10 个三角形需要几根小棒？

师：想要快速解决这个问题，看来必须要找到三角形的个数与小棒根数之间的关系。而这三种方法都蕴含了两者之间的关系，因此我们能够快速解决。

（4） 运用规律，解决问题

师：现在你们能够解决摆 33 个三角形需要多少根小棒的问题了吗？

小结：看来找到了两者之间的关系后，我们不需要去摆或者画，就能算出数量。

设计意图： 感受算式累加的方法在计算更多项时不够方便，也不易表达，从而体会只有找到三角形的个数与根式之间的关系，才能更好帮助我们解决问题

三、编写信息，情境性概括

师：现在，请你们给同伴写一段文字，或者配上图，告诉他如何快速计算出摆几个三角形所需要的小棒数量。

设计意图：将注意力转移到关注变量及其关系上

四、符号代数思维的产生

（一）符号公式

1、师：现在，我不想让你们用语言来表达，我想让你们写一个计算公式，有什么建议吗？（注意三角形的个数是未知的）

2、我写一个公式，看你们是否能够解释字母的意义。

或：用 n 来表示三角形的个数，试着表示一下你们小组发现的关系，并解释每一步的意思。

3、对比一下，你更喜欢哪种方式来表示这种关系，为什么？

4、对于这个公式，你有什么想说的？

（引导学生发现这个公式包括了所有的算式）

设计意图：培养符号化意识，符号的概括，不仅在于字符体系的引入，还在于对数字运算的重新认识。

五、拓展练习

蜜蜂的蜂窝构造非常精巧、适用而且节省材料。蜂房由无数个大小相同的房孔组成，房孔都是正六角形，每个房孔都被其它房孔包围，两个房孔之间只隔着一堵蜡制的墙。这种蜂窝结构强度很高，重量又很轻，还有益于隔音和隔热。因此，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船在内部大量采用蜂窝结构，卫星的外壳也几乎全部是蜂窝结构。因此，这些航天器又统称为 “蜂窝式航天器”。

（1）师：我们看到蜂窝的蜂孔排列整齐，而且很有规律，下面是老师截取的其中一列，你们能研究一下这个图形有什么规律吗？并请你们用一个公式表示出来。

（2）照这样的规律排列下去，请你算一算摆 60 个正六边形时，有多少条边？

设计意图： 体会到符号赋予了学生数学问题解决的力量

一稿反思：

通过试教，我们通过组内研讨我们把重点放在学生能够发现规律，表示规律以及体会符号概括的便捷性和概括性，以此发展符号代数思维的意识。

在一稿中，我们设计的环节是：探究规律，用符号表示规律，应用探究规律的方法解决新的问题，看似完整的一节课在试教时却出现了问题。一开始就发现规律的学生全程都能够参与到课堂，而不能发现规律的学生，即使老师和孩子们一起把规律总结出来后，仍然不能理解用含有字母的式子表示出来规律是什么意思，在遇到新的问题时，仍然不知如何下手。而且探究出来的规律比较单一。所以我们决定让学通过摆，画，用算式表示，用文字表示到最后用符号表示的过程，让学生透彻的发现小棒根数和三角形个数之间的关系，并且通过不同的角度去发现两者之间的关系，照顾不同层次的学生。

通过摆的环节，学生能够很好的理解如何摆能更节省材料；通过画的环节，让学生体会到用符号（图）可以代替实物，简洁方便好呈现；通过算的方法，让学生感受到当数量比较多，摆和画都不能把自己的想法说清楚的时候，可以用新的符号（算式）来表达个数和根数的关系；通过文字表达的环节，让学生体会到当三角形个数不确定的时候，不能计算了，这时候怎样才能表示出摆三角形所需小棒根数？新的符号（文字）就起到了作用；通过用符号表示的环节，让学生体会到用文字表达的时候很麻烦，也很难说清楚的时候，我们可以选择类似于：？，横线，字母等等这些简洁的新符号来代替一些量，既便捷有具有概括性。

同时为了这节课能够激发学生主动学习的积极性，我们在一些环节还做了以下修改：

1、由被动摆到主动优化摆。

本节课通过用小棒摆三角形的活动中，发现摆的过程中小棒根数和三角形个数的关系。我们开始是直接给学生 10 根小棒，请学生摆，三角形。通过学生的不同摆法发现摆法的优化。这样的开课略显枯燥乏味，怎样能让课堂在一开始就吸引学生？我们就想设计适当情境，进行小组 pk 赛。比如在开课环节，在组内设计给定小棒根数，进行摆三角形比赛。看谁摆得多？这样就巧妙的化被动为主动的解决了摆法优化问题。

2、设计演绎推理环节，激发学生的探究意识。

通过团队讨论，我们增加了演绎推理验证环节。我们在探究一个问题时，如果我们只通过合情推理去发现规律，那这个规律是否严谨正确？如果我们通过不同的角度观察两者之间的关系，能得到另一个规律，而此规律能够验证第一个规律是否正确，通过演绎推理验证，这样就保证了规律的正确性，同时也激发了学生探究问题的兴趣。

3、课内作业设计题型体验多样化。

本节课在初次设计时一直在解决摆三角形的问题，然后通过一起解决餐桌问题和数点阵图的问题作为巩固练习。这样的设计虽然能达到能在找规律的情境中解决问题时，想到先用符号进行概括，再解决具体问题。但是却忽略了学生的水平是不同的，学生应用符号进行概括和解决问题的能力也是也是不同的，对于学有余力的学生来说，餐桌问题过于简单，而有些学生却不能很好的表示出其中的规律。针对此问题，我们准备做这样的尝试：在巩固应用阶段采用设立 “问题超市” 的形式，超市里的题目难度不一，有从三角形个数和边的个数的关系类比迁移到四边形，五边形或者六边形中去；也有不同于此规律的餐桌问题。题型丰富，难度不同，学生自行去选择合适的问题进行探究规律，根据发现的规律来解决复杂的实际问题，让每位学生在本节课的学习中有不同的收获。

北师大版数学五年级上册《图形中的规律》教学设计（第一稿）

湖北省宜昌市伍家岗区实验小学中南校区袁雪雯

教学目标：

1、经历直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形的规律的方法。

2、能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会图形与数的联系。

3、结合探索、尝试、交流等活动，发展归纳与概括的能力。

教学重点：

找出图形中隐藏的规律，将 “图的规律” 转化成 “数的规律”。

教学难点：

培养分析、推理的能力；渗透符号化思想。

教学过程：

一、活动导入

1、出示 10 根小棒

师：这里有一些小棒，想用它们来摆三角形，可以摆几个呢？

2、第一种摆法可以摆出几个？需要几根呢？按照这样的摆法，如果摆 5 个三角形需要多少根小棒？摆 10 个呢？怎么知道的。

3、也就是说，你们找到了根数与三角形个数之间的关系，可以用你喜欢的方式将这个关系表示出来吗？

小结：用符号表示关系清晰明了，是一种不错的方式。

【设计意图】初步体会用符号表示简单两个量之间的关系及规律的好处，为下面用符号表示关系做铺垫。

二、探究新知

1、第二种摆法是怎样摆的，看懂了吗？谁来说说。

①可以看做是先摆 1 个三角形需要 3 根，后面的三角形每次只需要 2 根。

②也可以看做是把两个三角形拼一起，总根数就会少 1 根，再增加一个三角形，又会少 1 根。

2、你还能找到根数与三角形个数之间的关系吗？在下表中试试看吧。

3、同桌互相交流一下你的发现吧。

4、汇报分享 1：第一个三角形需要 3 根，每增加 1 个三角形需要两根小棒。

5、根据你们的发现，在旁边用算式试着表示一下。

6、10 个三角形需要多少根小棒，能不画图，直接列算式得出结果吗？

3+2×9=21，解释一下这个算式的意思。（重点解释为什么 ×9）

7、按照这种摆法，如果要摆 n 个三角形，需要多少根小棒？试着表示出来。3+2×（n-1）

8、如果我要这样摆 1000 个三角形你们知道需要多少根小棒吗？怎么算的？10000 个呢，能算吗？

小结：看来用符号表示关系，还方便我们进行应用。

汇报分享 2：

刚才还有同学是从另一个角度看待问题的

摆 2 个三角形需要的小棒数比 6 少 1......

【设计意图】通过直观操作、探索的过程，体验发现摆三角形的规律的方法，并通过符号化进行表示。

三、巩固拓展

1、想一想，笑笑接着摆下去，一共用了 37 根小棒，你知道她摆了多少个三角形吗？

2、想一想，摆 18 个三角形需要多少根小棒？

【设计意图】在探索了三角形的排列规律后，应用规律来解决问题。同时，也是对规律的验证。

四、点阵规律

过渡，刚才我们利用了符号表示了两个量之间的规律，还方便我们应用，老师这里还有一组图，你能发现他们的规律并用符号来表示规律吗？

1、交流：点阵之间的关系是什么？

2、第 n 个点阵用符号如何表示？

3、换个角度观察点阵，又能发现怎样的规律？

【设计意图】通过探索点阵图的规律让学生感受到解决数学问题的本质是抓住相同的思维模型，感悟它们之间的内在联系。

五、练习设计。

1、按下面的方式摆桌子和椅子，一张桌子可坐 4 人，两张桌子可坐 6 人。

照这样摆下去：

(1) 12 张桌子可坐 (   ) 人。

(2) 坐 80 人需要 (   ) 张桌子。

(3) 把以上表格填完整。

2、看图解决问题。

（1）用算式表示点阵中点的个数。

（2）第 5 个点阵中有 (   ) 个点，请在下面画出这个点阵。

【设计意图】应用规律来解决问题，同时，也是对规律的验证。

六、课堂小结

这节课你学到了什么？

【设计意图】对本堂课的知识进行梳理与回顾、归纳，形成一个完整的知识认知体系，提升学习方法。

选课思考：

数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进数学的普及和发展。

《图形中的规律》是北师大版五年级上册《数学好玩》的第二课时，生活和数学中，存在着大量的有规律的事物，以及事物变化趋势的问题，这些问题的解决没有现成的固定方法，更多的是要通过探索、归纳、猜想、解释、验证得到结果。学生经历直观操作、探索规律的全过程，再进行归纳和概括，并用一种简洁的方式表示出来，理解这一结论的一般性，这恰好也是学生具有符号意识的重要体现，这种意识是把握数学本质、把数学课本由厚变薄的重要方法。

活动主题解读：

一、什么是符号意识

《小学数学新课程标准》中对符号意识的内涵行进了诠释，符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号是数学表达和进行数学思考的重要形式。

二、为什么要发展儿童符号意识

罗素说过 “数学是符号加逻辑”，数学符号加速了数学的传播和深入研究。符号意识是数学核心素养的组成部分，发展儿童符号意识有助于学生理解符号的意义，促进数学的思考。数学符号具有抽象性、严谨性、精确性、简明性、通用性和形式化的特点，可以缩短表达长度，增加思维进度，提高学习效率，从而减轻学习负担，让学生乐于思考，爱上数学。

三、如何发展儿童符号意识

1、挖掘已有经验，进一步理解符号。基于五年级学生已有的经验，利用探索规律的过程，渗透符号思想，在交流和分享中加深学生对符号认识和理解，培养学生的观察能力，分析能力，推理能力，抽象概括的能力。挖掘潜埋的 “符号” 种子，进一步理解符号，发展学生的符号意识。

2、感受表达优势，进一步悦纳符号。在具体的情境中体会符号的作用，对比感受用符号表达的简明性、严谨性、高度概括性，提升学生对符号的表达能力。感知符号的魅力，让其悦纳符号，才能真正唤醒符号意识。

3、内化提升思维，进一步运用符号。在解决问题中观察、分析、运算、推理、概括，符号意识不断渗透，加强学生对符号的选择、运用和思考，提升学生的逻辑思维，才能灵活的运用符号，强化符号意识。

总之，发展儿童符号意识是一个长期研究的过程，对于提高学生的思维能力具有非常重要的意义。对于如何继续发展儿童符号意识，期待这次活动给我们带来更多思考。