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如果不用符号表达会使数学研究陷入泥潭，一方面是很难进行更深入的研究，另一方面是很难进行知识传播。古代中国有过许多重要的数学成果就是因为没有抽象为符号表达，使得这些成果没有得到深入研究，甚至没有得到传承。比如，元代数学家朱世杰（1249——1314），他在 1303 年左右出版了数学著作《四元玉鉴》，这部著作述说了许多高维的数学问题，比如，书中提出的 “四元术” 是一种解多元高次联立方程组的方法。比如书中还提出了 “垛积术” 就是一种从立体层面考虑的三维的级数求和方法。可惜的是，在这部著作中，无论是问题的提出还是结果的描述几乎都是具体的数值，没有抽象成一般的符号表达，因此很难让后人理解问题的本质和解题的思路，因此明清以后就没有人能理解朱世杰的工作了。由此可见，用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象，用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题，对数学是何等重要。

后来笛卡尔（1596——1650）完成了代数符号的改进工作，用拉丁字母的前几个字母 a、b、c 表示已知量，用 x、y、z 表示未知量，这种方法沿用至今。

韦达定理。第一个有意识使用字母表示抽象运算的是法国数学家韦达（1540——1603）在韦达之前人们认为像 3+2x=1 和 2+3x=5 这样的两个方程是不一样的。韦达用 a+bx+c=0 的形式一般性地表示一元二次方程，其中 a、b、c 这些字母系数可以表示任何数。借助字母系数，韦达给出了一般的求根公式：这样，对于具体的数字系数，只要代入公式就可以得到解。而这个公式的推导过程如果没有用字母表示数在内的符号系统，会变得异常困难，推导过程的表述更是难上加难，即便写出来也没人看得懂。不仅如此，韦达还借助字母研究了根与系数之间的关系，这样由系数可以得到根，由根也可以推算系数，这个公式就是韦达定理。

丢番图写了一本书叫《算术》，这本书中研究的主要问题是方程的正整数解，，这本书引发了一个著名的猜想，就是费马大定理。这个定理与勾股定理密切相关，法国数学家费马（1601——1665）把问题推广到一般的 n 次幂的代数等式，并且猜想：对于一般的情况，即 n≥3 时，等式 += 不存在整数解，也就是说，不存在同时为整数的 a、b、c 使得上面的等式成立。因此对这样的一类等式，勾股定理是一个特例。问题是简洁的，结论是清晰的，但证明却是相当困难的。经历了三个多世纪，经过几代数学家的不懈努力，于 1993 年被英国数学家怀尔斯解决，长达 130 页的论文发表于 1995 年。

古代代数学的顶峰大概是在古希腊数学家丢番图（约公元 250 年）时代。有资料表明，是丢番图首先把抽象的符号引入代数学，他甚至给出了相当于现在和 x 的 3 次以上幂的表现形式，这在当时被认为是极度抽象甚至难以想象的。因为当时的人们普遍认为一个数的 2 次幂是平方、3 次幂是立方，都有具体的几何背景：平面图形面积和立体图形体积，但 3 次以上幂就没有具体的几何背景了，因此认为这样表示是没有意义的。

虽然符号在我们现在的社会生活中随处可见，无论是自然科学还是社会科学，甚至是人文科学，用符号表示概念、关系、法则已经成为一种常识。但人类真正学会符号表达却是经历了相当漫长的岁月。

用符号表示分类，不仅能够更加清晰地表达分类，而且能够更加深刻地理解分类的标准，进而能够更加深刻地理解所要研究问题的性质。

符号意识所蕴含的数学思想是抽象思想。数学学习中最重要的三大思想就是抽象、推理和模型思想。

在义务教育阶段整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂、由相对具体到相对抽象的过程，符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程。小学数学教材中的数学符号是根据小学生的年龄特点、思维特点，有计划、有步骤的引入的。教材在各个年级都安排了用符号表示数的内容。

使用符号表示变化 (规律)，让数学思维严密起来

灵活地运用数学符号，可以简明地表达数学思想，简化运算，加快思维的速度，促进思想的交流。

探索规律是培养学生符号意识的重要载体。在探索规律过程中，要把规律从具体的情景中抽象出一般的模型，就十分需要借助符号来思考，在教学中要从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，体验将问题解决过程符号化的优越性。