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新世纪小学数学论坛 第 7655 号会员,加入于 2021-08-21 14:23:10 +08:00
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【终稿反思】

本节课经过多次打磨,反复推敲,感受颇深。我在教学过程的开始用 4 寸披萨和 8 寸披萨的比较来引入,既可以激起学生学习的兴趣,又可以把披萨抽象成圆,让学生体验到数学来源于生活。

从学生熟悉的数方格开始学习圆面积的计算,有利于学生从整体上把握平面图形面积度量的本质,就是求平面内单位面积的个数,而使度量准确的关键就是把单位面积变小。但是圆弯弯曲曲的边不论把格子变多小都不能准确的度量,所以我们需要通过计算来测量。

在学生动手操作环节,渗透一种重要的数学思想 —— 转化,同学们在操作过程中发现,分的份数越多,拼成的图形就越接近平行四边形。在同学们用手在空中摸平行四边形的边的过程中感受波浪越来越小,感受化曲为直的转化思想。让同学们闭眼想象如果分的越来越多,就越接近平行四边形,直到真正成为平行四边形,并且通过电脑分割技术验证。在想象的过程中蕴含了另一个重要数学思想的渗透 —— 极限思想。

而后,在我的引导下,使学生通过自己主动的观察、思考、交流。运用已有的经验去探索新知,把圆转化成已学过的长方形来推导出圆面积的计算公式。通过实验操作,经历公式的推导过程,不但使学生加深对公式的理解,而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和演算推理能力,学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美,品尝到成功的喜悦。

在练习环节设计了 4 道练习题,分别是直接运用公式解决课堂开始关于披萨的问题、知道直径解决问题、将生活问题抽象成数学问题解决和找到变形后的对应关系解决问题,一层一层拔高梯度,加深学生对面积公式的理解,提高作业质量。

最后的全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现,也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中,学生不仅获得了知识,更重要的是学到了科学探究的方法。最后教师小结,突出度量的本质,呼应量感主题。

圆的面积(一)

成都高新区尚阳小学 谭静

一、教学内容 :北师大六年级上册 14-15 页。

二、教材分析

圆的面积六年级上册第一单元的内容,属于图形与几何中图形的测量这一知识范畴,纵观教材对本部分的编写,三年级下册中《长方形的面积》为学习各种图形的计算奠定基础。五年级上册《多边形的面积》中的各种图形面积的探索又为本课提供了度量面积的方法。本节课的学习势必为发展学生量感思维和空间观念的必需。本单元从认识圆入手,到圆的周长和面积,让学生借鉴在学习圆周长时 “化曲为直” 的经验来探究圆的面积,有利于让学生感悟学习平面图形的规律和方法,同时也渗透了曲线图形与直边图形的内在联系。本课的教学应在引导学生联系已学知识,把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳,注重知识发现和探索过程,使学生感悟转化、极限等数学思想,从而完成对新知的建构过程,建立数学模型,发展学生 “量感”,培养学生解決问题的综合能力。

三、学情分析

六年级的学生已经知道了直边图形面积的计量方法就是度量,并且能够熟练地运用公式进行计算,积累了一定的度量经验。本单元学习圆的周长时,也对 “化曲为直” 的探究方法有了初步了解,对转化的数学思想方法有一定的基础。但不少学生对平行四边形、三角形和梯形的面积公式的由来 (也就是推导过程) 比较模糊。因此,在教学本课时教师应首先引导学生回顾平行四边形面积公式的推导过程,使学生明确运用了转化的数学思想,从而为本课的学习打下坚实的基础。另外,当学生在探究圆的面积该如何转化时可能会遇到比较大的困难,往往是盲目探究,因此组织学习素材,让学生形成合理猜想,进行有方向的探究是教学中关注的问题。

四、教学目标

1. 联系实际生活情景,认识圆的面积,经历圆面积计算公式的推导过程,掌握圆面积计算公式。

2. 在推导圆面积公式的活动中,进一步体会 “转化” 的数学思想,再次感受 “化曲为直”,渗透 “极限” 思想。

3. 经历估、数、拼、算、用等活动,进一步培养学生的度量意识,提升量感,增强空间观念。

五、教学重难点

教学重点: 经历圆面积计算方法的推导过程,掌握圆面积计算公式。

教学难点: 在探究圆面积计算方法的具体活动中,体会 “化曲为直” 的思想,培养度量意识,提升量感。

六、教法学法

教法: 创设情境、直观演示、启发引导。

学法: 自主探究、动手实践、合作交流。

七、教学准备

教具: 8 等分、16 等分的圆教具,多媒体课件、半径 5 厘米圆片、半径 10 厘米圆片。

学具:学习单、直尺、圆片、透明方格板、剪刀。

八、教学过程:

(一)创设情境,唤醒量感。

师:星期天,淘气请了很多同学来家里做客,妈妈给了他一张 8 寸的披萨券,(1 寸≈2.5 厘米)让它到披萨店换披萨,可是,老板却说 8 寸的披萨已经卖完了,给你换两个 4 寸的吧。一个 8 寸换两个 4 寸,你认为这样换公平吗?同意的公平的同学举手,同意不公平的同学举手。

生 1:公平,因为 4+4=8.

生 2:不公平,因为……

师:有道理,你们都能用数学的眼光来分析问题,很厉害。公平还是不公平,大家给出的理由都是在比较?

生:披萨的面积。

师:如果把披萨抽象成圆,其实就是在比较圆的面积的大小。今天这节课我们就一起来研究圆的面积。(板书课题)

师:什么是圆的面积呢?

生:圆所占平面的大小,叫做圆的面积。

【设计意图:采用贴近生活的情境引入,启发学生结合生活经验将披萨抽象成圆,并以 2 个 4 寸的圆和一个 8 寸的圆的面积作比较,到底谁的面积更大来引发认知冲突,激发学生进一步的探究欲望。】

(二)动手操作,丰富量感

师:圆的面积可以如何得到呢?

生:可以用公式求。

师:这是一个好办法。还有吗?

生:可以把圆对折再对折,剪成很多个小尖角,拼成平行四形来算面积。

师:很有意思,待会操作给大家看一看。

师:请看,老师手里拿了一个数学工具,它对你有什么启发?

生:可以用数格子的方法来求出圆的面积。因为测量不规则图形的时候我们学过,可以用数格子的方法来求,

师:你所说的 “不规则” 是指什么?

生:边是弯的,不能通过直尺测量得到。

师:对啦,弯弯曲曲的边(板书:曲)可以用数格子的方法估测,超过半格?

生:算一格,不到半格就省略。

师:非常棒,看来同学们有很多种方法测量圆的面积, 现在请拿出老师给你们的材料包,也许又能迸发出新的灵感来。拿出任务单,看到任务一,想办法求出一个半径为 5 厘米的圆的面积,你可以在纸上画一画,也可以用圆片剪一剪。

生分享

生:我是用数格子的方法,数出来有 80 格,所以是 80 平方厘米。(板书:数)

师:同样是数格子的方法,这个小组也数出来了,你们的结果是?

生:78 平方厘米?

师:你们认为这两个学具,哪一个测量出的结果更精确呢?

生:小格子的结果更精确。

师:所以你认为,减少误差的关键是?

生:把格子变小。

师:对,格子越小,测量的结果就越精确。

【设计意图:在探讨估测圆面积方法时利用之前的学习经验,运用面积的有限可加性直接度量,突出度量的本质 -- 面积的大小就是看面里面有多少个面积单位。通过估、数、比等一系列对量感知的活动,引发不能精确求出面积的矛盾,引出转化思想。】

师:可是就算格子再小也还是会有误差,这时候我们应该怎么办?
生:想办法转化,化曲为直。

师:我刚刚看到有同学直接用圆的面积公式算出了答案。谁来说一说你是怎么做的?

生:我用 s=πr² 求出面积,5×5×3.14 等于 78.5 平方厘米。(板书:算)

师:你能说说为什么可以用公式这样求吗?

生:……

师:同学们,知道怎么做固然重要,可是知道为什么才是最了不起的。现在我们就一起来推导一下圆的面积公式吧。

生 1:我们把圆平均分成了 8 份,然后这样拼起来,它就有点近似于平行四边形,但是这些边还是弯弯曲曲的,所以我们猜想,分的更多的话,会更接近一些。

师:说的很好,数学就是应该大胆猜想,小心求证,哪个小组来帮他验证?

生 2:我们把圆平均分成了 16 份,然后这样拼起来,更近似于平行四边形了。

师:是这样吗?有没有分的更多的?

生:……

师:同学们伸出手,我们一起来感受一下,分成 8 份后转化图形的边,分成 16 份后转化图形的边,分成 32 份后转化图形的边。你们有没有什么想说的?

生:分的份数越多,这里的这个边就越直,拼成的图形就越接近平行四边形。

师:对呀,现在同学们闭上眼睛想象,继续往下分,分成 64 份、128 份、256 份…… 像这样无限的分下去,会怎样呢?

生:就会直接变成一个平行四边形。

师:(ppt 验证)对呀,这样一直分下去,这个圆弯弯的边就真的变直了,这样的思想在数学中,叫做化曲为直。(板书:化曲为直。)而像这样无限细分的思想,我们把他叫做极限思想。(板书:极限思想)

【设计意图:经历把圆平均分成 8、16、32 份的操作过程,用手书空摸一摸它们的边,感受它们在慢慢变直,想象分的份数越多,拼出来的新图形就越接近平行四边形,这一过程中,学生感受极限思想和转化思想,找到学习的方法,进一步发展空间观念,提升量感。】

(三)建立模型,理解量感

师:你觉得这个方法和前面两种画正方形和数方格的方法相比,最大的不同在哪里?

生:没有误差,将圆的面积完全转化成了平行四边形的面积。

师:对,将圆转化成了平行四边形,面积没有发生变化,请大家仔细找一找图形转化前后的联系,试着找出圆的面积到底应该怎么计算呢。完成任务单第二题。

计时 2 分钟。

(1)独立思考并完成学程单。

①圆转化成了平行四边形,圆与所拼图形之间( )变了,( )不变。

②平行四边形的底和高与圆有什么关系?

平行四边形的底相当于圆的( );

平行四边形的高相当于圆的( )。

③尝试推导出圆的面积公式。

(2)全班分享

生分享:圆转化成了平行四边形,图形的形状变了,面积不变。

平行四边形的底相当于圆周长的一半,平行四边形的高相当于圆的半径。平行四边形的面积是底 × 高,所以圆的面积应该是圆周长的一半 × 半径,也就是 s=πr²。(全程 ppt 动画和板书跟上)

师总结:大家通过一起探索,推导出了圆的面积公式,现在理解起来和你一开始就知道的圆的面积公式有什么不一样呢?

生:……

【设计意图: 通过找对应关系理解化曲为直,通过想象、推理,把圆的面积转化为平行四边形的面积,得到计算公式,建立模型。】

(四)学以致用,解决问题

师:好的,既然理解了,我们就要运用它,回到最初的问题,用数据说话,1 个 8 寸换两个 4 寸披萨划算吗?

生汇报。

(对比算出结果和直接用 π 表示结果的方法,提醒学生可以把 π 放到最后,提高学生的运算能力)

师:8 寸披萨和 4 寸披萨的面积之间有什么大小联系吗?

生:一个 8 寸披萨的面积等于 4 个 4 寸披萨的面积。

师:对呀,本来可以换 4 个披萨的,怎么能只给我换两个呢?看来呀,学习数学真的很有用,我们可以用数学知识识破商家的陷阱,再也不会上当受骗啦。

师:现在我们就要用今天学习的公式解决生活中的数学问题。请看,学以致用:

1. 一个圆的直径是 6 厘米,它的面积是多少平方厘米?

2. 一个钟面分针长 10 厘米,那么分针针尖转动一圈扫过的面积是多少?

3. 如图,一个圆转化成平行四边形后高是 4 厘米,它的面积是多少平方厘米?

生解答。(强调:第一题看清题意,告诉的是直径不是半径。第二题,分针的长度就是圆的半径。第三题,平行四边形的高就是圆的半径。)

师:你们真是太棒了,不但推出了公式,还能用公式解决生活中的数学问题,学以致用,做的很好,给你们点赞。

【设计意图: 尝试感知圆的面积在生活中的应用,利用公式解决本节课的问题。让学生体会数学来源于生活,又服务于生活。“双减” 要求减少学生作业量,提高作业质量,这里的 4 道练习分别是直接运用公式解决、知道直径解决、将生活问题抽象成数学问题解决和找到变形后的对应关系解决问题,一层一层拔高梯度,加深学生对面积公式的理解,提高作业质量。】

(五)课堂总结,升华主题

师:同学们,美好的时光总是很短暂,这节课就在不经意之间过去了。你能说说你的收获吗?

生 1:我知道了圆的面积求法是 s=πr²。

2:我学会了用 “转化” 和 “极限” 思想解决数学问题。

师:同学们,无论是学习的直边图形,还是今天学习的圆,都可以通过度量的方法得到他们面积的大小。只不过直边图形都可以直接度量知道面积的准确大小,而圆必须通过极限思想和化曲为直的方法,将它转化成我们学过的直边图形来计算。直边图形有很多,圆只能转化成平行四边形吗?

生:不是的。

师:还能转化成什么图形呢?

生:三角形、梯形……

师:有待聪明的你们下节课跟我一起来探索了。

【设计意图: 回顾梳理解决问题的全过程,既要进行知识的回顾,也要进行学习方法的总结,突出度量的本质。追问还有没有其他转化方法,为后续学习留下端口】

板书设计:

《圆的面积(一)》二稿反思

今天进行了第二次试讲,程序、环节、目标都更清晰了,但是还是有很多地方值得思考和改进,如下进行一个总结。

首先引入环节,1 个 12 寸和 2 个 6 寸的披萨兑换,公平吗?在这次试讲中,出现了公平的声音,但在大多数同学回答不公平时又妥协了,这时应该直接让同学们凭第一感觉举手表决,同意公平的举手,同意不公平的举手,找到真实的声音,把冲突放大。不管公平还是不公平,最终都会归到比较面积的大小。这里在把披萨抽象成圆的时候可以用相同大小的圆片来比一比,把比较和抽象做得更彻底。

在问同学们,你认为可以怎么得到圆的面积时,学生回答,我们以前在学习不规则图形的面积时可以通过数方格的方法得到,要把学生所说的不规则放大,实际上就是说弯弯曲曲的边,为最后的化曲为直做好铺垫。同时表扬他,能够用原来的方法来思考今天的问题,很会学习。

在同学们动手操作求半径为 5 厘米圆的面积时,有同学直接就已经用面积公式把圆的面积直接求出来了,而且很多同学都已经知道圆的面积公式了,这时候我像应该尊重学情,顺应学生,让他们把公式说出来,并说一说为什么。以此引出圆的面积转化和推导的过程。

在圆的面积公式推导过程这一环节,是本课非常重要的一个难点,可我这里上的太快,导致有很多同学,没有真正理解为什么圆的面积可以用 s=πr² 来求。所以在这个环节应加入平行四边形的底就是圆的周长的一半,平行四边形的高就是圆的半径的直观演示,多次加深同学们对它们对应关系的理解和印象从而理解圆的面积公式由来。

另外,关于 12 寸和 6 寸披萨半径是 15 和 7.5 这个数值太难算了,而半径 10 厘米的圆刚好约等于 8 寸,半径 5 厘米的圆刚好约等于 4 寸,所以我将引入部分的披萨改为了 8 寸和 4 寸,降低作业计算难度,更聚焦在公式的运用上。这样一来,作业就少了,所以在实践运用环节加上了一道关于钟面面积和知道转化后长方形的宽求原来圆的面积的习题,让学生在课堂上就能高质量完成作业,减轻作业负担。

最后,三稿在总结环节加上了一张 ppt,回顾前面直边图形的面积求取办法和圆的面积求取办法的异同。再次点明度量的本质就是面积单位的叠加,总结出圆还需要化曲为直和极限的思想方法来转化,并且引导学生思考能不能有其他的转化方法,为下一节课的等积变形留下端口。

圆的面积(一) 二稿设计

一、教学内容 :北师大六年级上册 14-15 页。

二、教材分析

圆的面积六年级上册第一单元的内容,属于图形与几何中图形的测量这一知识范畴,纵观教材对本部分的编写,三年级下册中《长方形的面积》为学习各种图形的计算奠定基础。五年级上册《多边形的面积》中的各种图形面积的探索又为本课提供了度量面积的方法。本节课的学习势必为发展学生量感思维和空间观念的必需。本单元从认识圆入手,到圆的周长和面积,让学生借鉴在学习圆周长时 “化曲为直” 的经验来探究圆的面积,有利于让学生感悟学习平面图形的规律和方法,同时也渗透了曲线图形与直边图形的内在联系。本课的教学应在引导学生联系已学知识,把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳,注重知识发现和探索过程,使学生感悟转化、极限等数学思想,从而完成对新知的建构过程,建立数学模型,发展学生 “量感”,培养学生解決问题的综合能力。

三、学情分析

六年级的学生已经知道了直边图形面积的计量方法就是度量,并且能够熟练地运用公式进行计算,积累了一定的度量经验。本单元学习圆的周长时,也对 “化曲为直” 的探究方法有了初步了解,对转化的数学思想方法有一定的基础。但不少学生对平行四边形、三角形和梯形的面积公式的由来 (也就是推导过程) 比较模糊。因此,在教学本课时教师应首先引导学生回顾平行四边形面积公式的推导过程,使学生明确运用了转化的数学思想,从而为本课的学习打下坚实的基础。另外,当学生在探究圆的面积该如何转化时可能会遇到比较大的困难,往往是盲目探究,因此组织学习素材,让学生形成合理猜想,进行有方向的探究是教学中关注的问题。

四、教学目标

1. 联系实际生活情景,认识圆的面积,经历圆面积计算公式的推导过程,掌握圆面积计算公式。

2. 在推导圆面积公式的活动中,进一步体会 “转化” 的数学思想,再次感受 “化曲为直”,渗透 “极限” 思想。

3. 经历估、数、拼、算、用等活动,进一步培养学生的度量意识,

提升量感,增强空间观念。

五、教学重难点

教学重点: 经历圆面积计算方法的推导过程,掌握圆面积计算公式。

教学难点: 在探究圆面积计算方法的具体活动中,体会 “化曲为直” 的思想,培养度量意识,提升量感。

六、教法学法

教法: 创设情境、直观演示、启发引导。

学法: 自主探究、动手实践、合作交流。

七、教学准备

教具: 8 等分、16 等分的圆教具,多媒体课件。

学具:学习单、直尺、圆片、透明方格板、剪刀。

八、教学过程:

(一)创设情境,唤醒量感。

师:星期天,淘气请了很多同学来家里做客,妈妈给了他一张 12 寸的披萨券,让它到披萨店换披萨,可是,老板却说 12 寸的披萨卖完了,给你换两个 6 寸的吧。一个 12 寸换两个 6 寸,你认为这样换公平吗?

生 1:不公平,因为……

生 1:不公平,因为……

生 1:不公平,因为……

师:有道理,你们都能用数学的眼光来分析问题,很厉害。都说不划算,大家给出的理由都是在比较?

生:披萨的面积。

师:如果把披萨抽象成一个圆,其实就是在比较圆的面积的大小。今天这节课我们就一起来研究圆的面积。(板书课题)

师:什么是圆的面积呢?

生:圆所占平面的大小,叫做圆的面积。

【设计意图:采用贴近生活的情境引入,启发学生结合生活经验将披萨抽象成圆,并以 2 个 6 寸的圆和一个 12 寸的圆的面积作比较,到底谁的面积更大来引发认知冲突,激发学生进一步的探究欲望。】

(二)动手操作,丰富量感

师:圆的面积可以如何得到呢?

生:可以用公式求。

师:这是一个好办法。还有吗?

生:可以把圆对折再对折,剪成很多个小尖角,拼成平行四形来算面积。

师:很有意思,待会操作给大家看一看。

师:请看,老师手里拿了一个数学工具,它对你有什么启发?

生:可以用数格子的方法来求出圆的面积。

师:对啦,马上回忆起了五年级学习不规则图形的测量办法。超过半格?

生:超过半格算一格,不到半格就省略。

师:非常棒,看来同学们有很多种方法测量圆的面积, 现在请拿出老师给你们的材料包,也许又能迸发出新的灵感来。拿出任务单,看到任务一,想办法求出一个半径为 5 厘米的圆的面积,你可以再纸上画一画,也可以用圆片剪一剪。

生分享

生 1:我是在圆的外面画了一个正方形,然后在正方形里面,减去四个角。算出圆的面积是……

师:他的这种方法算出来的面积和实际圆的面积相比?

生:要大一些。

师:通过这样的办法我们可以估出圆面积的范围来。(板书:估)

生 2:我是用数格子的 方法,数出来有 80 格,所以是 80 平方厘米。(板书:数)

师:同样是数格子的方法,这个小组也数出来了,你们的结果是?

生:78 平方厘米?

师:你们认为这两个学具,哪个更好呢?

生:小格子的更好。

师:好在哪里呢?

生:小格子的误差更小。

师:看来,减少误差的关键是?

生:把格子变小。

师:对,格子越小,测量的结果就越精确。

【设计意图:在探讨估测圆面积方法时利用之前的学习经验,运用面积的有限可加性直接度量,突出度量的本质 -- 面积的大小就是看面里面有多少个面积单位。通过估、数、比等一系列对量感知的活动,引发不能精确求出面积的矛盾,引出转化思想。】

师:可是就算格子再小也还是会有误差,这时候我们应该怎么办?
生:想办法转化,化曲为直。

师:哪个小组有更好的办法?

生 3:我们把圆平均分成了 8 份,然后这样拼起来,它就有点近似于平行四边形,但是这些边还是弯弯曲曲的,所以我们猜想,分的更多的话,会更接近一些。

师:说的很好,数学就是应该大胆猜想,小心求证,哪个小组来帮他验证?

生 4:我们把圆平均分成了 16 份,然后这样拼起来,更近似于平行四边形了。

师:是这样吗?有没有分的更多的?

生:……

师:对呀,分的份数越多,这里的这个边就越直,拼成的图形就越接近平行四边形。这就是我们数学中化曲为直的思想。(板书:化曲为直)现在同学们闭上眼睛想象,继续往下分,分成 64 份、128 份、256 份…… 像这样无限的分下去,会怎样呢?

生:就会直接变成一个平行四边形。

师:ppt 验证,通过无限细分,最终化曲为直。像这样无限细分的思想,我们把他叫做极限思想。(板书:极限思想)

【设计意图:经历把圆平均分成 8、16、32 份的操作过程,想象分的份数越多,拼出来的新图形就越接近平行四边形,这一过程中,学生感受极限思想和转化思想,找到学习的方法,进一步发展空间观念,提升量感。】

(三)建立模型,理解量感

师:你觉得这个方法和前面两种画正方形和数方格的方法相比,最大的不同在哪里?

生:没有误差,将圆的面积完全转化成了平行四边形的面积。

师:对,将圆转化成了平行四边形,面积没有发生变化,请大家仔细找一找图形转化前后的联系,试着找出圆的面积到底应该怎么计算呢。完成任务单第二题。

计时 2 分钟。

生分享:平行四边形的底就是圆周长的一半,平行四边形的高就是圆的半径。平行四边形的面积是底 × 高,所以圆的面积应该是圆周长的一半 × 半径,也就是 s=πr²。

【设计意图: 通过找对应关系理解化曲为直,通过想象、推理,把圆的面积转化为平行四边形的面积,得到计算公式,建立模型。】

(四)学以致用,解决问题

师:真不错,现在我们推导出了圆的面积公式,能不能用公式来解决生活中的问题呢,回答最初的问题,请同学们用数据说话,12 寸的披萨兑换 2 格 6 寸披萨,到底划算吗?

生汇报。

生:12 寸披萨的面积是 15×15×3.14=706.5 平方厘米。6 寸披萨的面积是 7.5×7.5×3.14=176.625 平方厘米。

师:12 寸披萨和 6 寸披萨的面积之间有什么大小联系吗?

生:12 寸披萨的面积等于 4 个 6 寸的面积。

师:对呀,本来可以换 4 个披萨的,怎么能只给我换两个呢?看来呀,学习数学真的很有用,我们可以用数学知识识破商家的陷阱,再也不会上当受骗啦。

师:我们既然已经知道了圆的面积计算公式,你认为给你什么数学信息,你就能求面积?

生:半径。

师:只是半径吗?直径可不可以呢?(出示习题二)

一个圆的直径是 6 厘米,它的面积是多少平方厘米?

生分享。

6÷2=3(厘米)

3×3×3.14=28.26(平方厘米)

师:做的真棒!看来你们都已经能够用圆的面积计算公式解决生活中的数学问题了。

【设计意图: 尝试感知圆的面积在生活中的应用,利用公式解决本节课的问题。让学生体会数学来源于生活,又服务于生活。】

(五)课堂总结,升华主题

师:同学们,美好的时光总是很短暂,这节课就在不经意之间过去了。你能说说你的收获吗?

生 1:我知道了圆的面积求法是 s=πr²。

2:我学会了用 “转化” 和 “极限” 思想解决数学问题。

师:同学们,无论时以前学过的直边图形,还是圆,都是可以通过度量得到他们面积的大小。回顾我们这节课的探索过程,我们可以用画外接正方形的方式估出圆的面积范围,也可以用数格子的方式测量的更精确,最后发现通过化曲为直和极限思想,将它转化成我们学过的直边图形来计算。直边图形有很多,圆只能转化成平行四边形吗?

生:不是的。

师:还能怎么转化呢?就有待聪明的你们下节课继续探究了。

【设计意图: 回顾梳理解决问题的全过程,既要进行知识的回顾,也要进行学习方法的总结,点明全课的主题。追问还有没有其他转化方法,为后续学习留下端口】

板书设计:

《圆的面积(一)》一稿教学反思

《圆的面积》是在学生学习了圆的认识和圆的周长基础上学习的,并且已经在五年级《多边形的面积》这一单元,有了将图形转化成已经学习过的图形的经验,为这一节课圆的面积的探索提供了度量方法。所以同学们在这节课的展示非常的精彩,下面对一些具体的细节处理做一个反思。

开课时以披萨引入,让学生经历把披萨抽象成圆的过程,但由于寸这个单位大家都不熟悉,所以会有一些疑问,而且 6 寸、8 寸、12 寸这些数据,可以组合的情况太多,不太聚焦,所以在第二稿上只留下了 2 个 6 寸和一个 12 寸两个数据,加上了 1 寸 = 2.56 厘米的关系,并告诉了同学们 12 寸和 6 寸转换成厘米的具体大小。12 寸披萨与 2 个 6 寸披萨交换到底划算吗,全班同学都说不划算,甚至还有同学说出了 12 寸披萨等于 4 个 6 寸披萨的大小。并且他们把理由说的非常清楚,此时,老师应该对他们的回答给与肯定,并且总结出他们回答的共性:大家给出的理由都是在比较圆的面积。

圆的面积的概念应该适时加入,虽然不是难点,但也一定要给学生一个正确的示范,这一点在第二稿有改进。圆的面积就是圆所占面积的大小。

圆的面积应该怎么得到呢?学生的回答精彩,有同学说出了在圆外面画外接正方形的方法,也有同学直接说了用公式的方法,还有同学也说到了数格子的方法。此时的展示顺序非常重要,应该先是有画正方形找出范围,再是大格子数的方法,再是小格子数的方法,做好比较,得出结论:测量的单位越小,得到的结果越精确。但是不管再精确,都不能准确的求出圆的面积,我们需要用到转化的方式来帮忙了。通过展示 4 等分、8 等分、16 等分…… 等方式介绍等分的份数越多,越接近平行四边形。通过无限细分,最终化曲为直,这种伟大又有价值的数学思想方法有一个名字叫极限思想。

然后公式推导时,我问同学们,圆转化成了平行四边形,转化之后的图形跟圆有什么联系,一部分同学在此时有点蒙,可能没理解到老师此时的意思,所以我想,把过渡语改成:和前面几种方法相比,这种方法最大的区别在哪儿?转化后的面积没有发生变化,找一找图形转化前后的联系,试着探索出圆的面积公式到底怎么算,完成任务单,这样的指令更明确。

另外,本课学生动笔的环节太少,对于学生是否真的掌握知识不好把控,所以二稿增加了作业环节,意在让学生动笔动脑,充分理解并运用本课知识。

最后,在总结的时候,一定要总结出这节课的探索过程和思想方法:同学们,无论时以前学过的直边图形,还是圆,都是可以通过度量得到他们的面积大小的。尤其是像圆这样的曲边图形,可以通过转化和极限的思想,将它化曲为直,转化成我们学过的直边图形来度量。直边图形有很多,圆只能转化成平行四边形吗?不是的,有待聪明的你们下节课继续探究了。

陈老师通过蚂蚁爬树叶的活动先认识一周,然后将一周抽象成周长,再通过识周长、量周长、数周长的活动一步一步明晰量感。将数周长这一活动放在课的末尾,周长就是长度单位的叠加的本质更加明晰,也为接下来学习长方形的周长留下端口。

圆的面积(一)

成都高新区尚阳小学 谭静

一、教学内容 :北师大六年级上册 14-15 页。

二、教材分析

圆的面积六年级上册第一单元的内容,属于图形与几何中图形的测量这一知识范畴,纵观教材对本部分的编写,三年级下册中《长方形的面积》为学习各种图形的计算奠定基础。五年级上册《多边形的面积》中的各种图形面积的探索又为本课提供了度量面积的方法。本节课的学习势必为发展学生量感思维和空间观念的必需。本单元从认识圆入手,到圆的周长和面积,让学生借鉴在学习圆周长时 “化曲为直” 的经验来探究圆的面积,有利于让学生感悟学习平面图形的规律和方法,同时也渗透了曲线图形与直边图形的内在联系。本课的教学应在引导学生联系已学知识,把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳,注重知识发现和探索过程,使学生感悟转化、极限等数学思想,从而完成对新知的建构过程,建立数学模型,发展学生 “量感”,培养学生解決问题的综合能力。

三、学情分析

六年级的学生已经知道了直边图形面积的计量方法就是度量,并且能够熟练地运用公式进行计算,积累了一定的度量经验。本单元学习圆的周长时,也对 “化曲为直” 的探究方法有了初步了解,对转化的数学思想方法有一定的基础。但不少学生对平行四边形、三角形和梯形的面积公式的由来 (也就是推导过程) 比较模糊。因此,在教学本课时教师应首先引导学生回顾平行四边形面积公式的推导过程,使学生明确运用了转化的数学思想,从而为本课的学习打下坚实的基础。另外,当学生在探究圆的面积该如何转化时可能会遇到比较大的困难,往往是盲目探究,因此组织学习素材,让学生形成合理猜想,进行有方向的探究是教学中关注的问题。

四、教学目标

1. 联系实际生活情景,认识圆的面积,经历圆面积计算公式的推导过程,掌握圆面积计算公式。

2. 在推导圆面积公式的活动中,进一步体会 “转化” 的数学思想,再次感受 “化曲为直”,渗透 “极限” 思想。

3. 经历估、数、拼、算、用等活动,进一步培养学生的度量意识,

提升量感,增强空间观念。

五、教学重难点

教学重点: 经历圆面积计算方法的推导过程,掌握圆面积计算公式。

教学难点: 在探究圆面积计算方法的具体活动中,体会 “化曲为直” 的思想,培养度量意识,提升量感。

六、教法学法

教法: 创设情境、直观演示、启发引导。

学法: 自主探究、动手实践、合作交流。

七、教学准备

教具: 8 等分、16 等分的圆教具,多媒体课件。

学具:学习单、直尺、2 个同样大小的圆形、剪刀。

八、教学过程:

(一)创设情境,提出问题。

星期天,淘气拿着妈妈给他的 12 寸披萨券到披萨店买披萨。却被告知 12 寸的披萨已经卖完了,老板说,你可以在 4 寸、6 寸和 8 寸的披萨中任选 2 个,价格还是和 12 寸的一样。

如果你是淘气,你会怎么选?为什么?

生 1:选一个 4 寸,一个 8 寸。因为 4+8=12.

生 2:选两个 6 寸,因为 6+6=12.

生 3:我选两个 8 寸的,老板说了任选两个,我为什么不选最大的呢?

师:淘气也是这样选的,他拿着两个 8 寸的披萨,高兴地笑了。淘气走了,老板也微微的笑了一下。你知道他们为什么笑吗?谁的笑更智慧呢?

生 1:淘气,因为 8+8=16,比 12 大啦。

生 2:那可不一定,万一 12 寸的披萨更大呢?

师:要知道到底怎么划算,要算一算面积才知道。今天我们就一起来学习 —— 圆的面积。

【设计意图:采用贴近生活的情境引入,启发学生结合生活经验将披萨抽象成圆,并以 2 个 8 寸的圆和一个 12 寸的圆的面积作比较,到底谁更大来引发认知冲突,激发学生进一步的探究欲望。】

(二)估出面积,唤醒量感

师:现在大家手里都有一个一模一样的圆,你能想办法估出它的面积吗?自主探究,试一试。

生 1:画出圆内最大的正方形,就知道圆的面积大约是多少了。

生 2:还可以计算圆外最小的正方形面积,能知道圆面积的范围。

生 3:可以在圆里画上 1 平方厘米的放个,用数方格的方法。

师:是的,要知道圆的面积就是要看它里面有多少个面积单位。

生 4:圆是曲线图形,有的不是整格,这样数出来结果不准确,可以把格子变小一些。

师:对呀,面积单位越小,数出来的结果就越精确。这个办法非常好。

生 5:即使格子再小,圆都是曲线图形,总有不是整格的,所以,这样还是不准确。

师:对呀,面积单位再小,始终有曲线部分再里面,没办法用小正方形来测量,那怎么办呢?我们试试转化成直边图形吧。

【设计意图:在探讨估测圆面积方法时利用之前的学习经验,运用面积的有限可加性直接度量,唤醒量感。通过估、数、比等一系列对量感知的活动,引发不能精确的矛盾,引出转化思想。】

(三)操作转化,丰富量感

(1)小组合作

小组合作要求:

①和小组同学一起想一想、说一说,圆可以转化成什么图形?

②折一折、剪一剪、拼一拼,再对比原来的圆说一说转化的过程。

(2)全班交流

生 1:我们把圆平均分成了 8 份,拼成一个近似的平行四边形,但拼后的图形边不是直的。

生 2:我们把圆平均分成 16 份,拼成了这样一个平行四边形。

生 3:我们把圆平均分成 16 份,这样拼成的平行四边形的边比上一个能直一些。

师:请同学们观察,这三个小组的方法,你有什么想说的?

生 1:平均分的份数越多,每一份就越小,边也就越直。

生 2:把圆平均分成的份数越多,拼起来的图形就越接近平行四边形。

师:随着份数不断增多,曲线越来越接近直线,拼成的图形就越接近平行四边形,这就是化曲为直。(板书:化曲为直)

师:现在请同学们闭上眼睛想象,继续往下分,分成 64 等份,128 等份,256 等份…… 像这样无限的分下去,会怎么样呢?

生:就会越来越接近平行四边形。

师:我们自己靠手把圆片等分的份数是有限的,但是我们通过电脑技

术来分割或者靠思维想象可以将圆无限等分,那么拼出来的图形

就无限接近平行四边形了,这在数学中叫做极限思想。(板书:极限)

这样我们就把圆转化成了一个平行四边形。(板书:转化)

【设计意图:经历把圆平均分成 8、16、32 份的操作过程,想象分的份数越多,拼出来的新图形就越接近平行四边形,这一过程中,学生感受极限思想和转化思想,找到学习的方法,进一步发展空间观念,提升量感。】

(四)建立模型,理解量感

师:圆转化成了平行四边形,那转化后得到的平行四边形与圆有什么

联系呢?

(1)独立思考并完成学程单。

①圆转化成了( )图形,圆与所拼图形之间( )变了,( )不变。

②平行四边形的底和高与圆有什么关系?

平行四边形的底相当于圆的( );

平行四边形的高相当于圆的( )。

③尝试推导出圆的面积公式。

(2)小组交流

(3)全班分享

生 1:圆转化成了平行四边形,形状变了,面积不变。

生 2:平行四边形的底相当于圆周长的一半,平行四边形的高相当于圆的半径。因为平行四边形的面积 = 底 × 高,所以圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径。 通过转化推导出圆的面积计算公式:圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

(4)建立模型

师:用 S 表示圆的面积,r 表示圆的半径,πr 表示圆周长的一半,

那么圆的面积计算公式就是:s=Πr²

【设计意图: 通过找对应关系理解化曲为直,通过想象、推理,把圆的面积转化为平行四边形的面积,得到计算公式,建立模型。】

(五)学以致用,解决问题

1、 今天我们学习了圆的面积,说说生活中你什么地方见过圆?怎么求它的面积?

生 1:蛋糕的面是圆的,我们可以先测量蛋糕的半径,再算出它的面积。

生 2:我们的校徽是圆的,知道校徽的半径就知道校徽的面积了。

师:出示校徽,如果我们的校徽的半径是 3 厘米,你能一口说出它的面积吗?用 π 表示。

2、你能用我们今天学习的知识,解决刚开始的披萨问题吗?淘气的换法划算吗?你能给他一个最公平的解决方案吗?用 π 表示圆的面积即可。

【设计意图: 尝试感知圆的面积在生活中的应用,利用公式解决本节课的问题。让学生体会数学来源于生活,又服务于生活。】

(六)课堂总结,升华主题

师:通过今天的学习,你有哪些收获?想说点什么吗?

生 1: 我知道了圆的面积求法是。

生 2:我学会了用 “转化” 和 “极限” 思想解决数学问题。

生 3:我知道了曲边图形要转化成直边图形来计算。

师:你们学到的可真多,所有平面的面积都是需要度量的,我们今天学习的圆的面积公式也是把圆转化成了以前学过的直边图形来进行度量。只不过第一次在面积中运用了化曲为直的方法,也运用了极限思想进行数学想象和推理而已。

师:圆只能转化成平行四边形计算吗?还可以转化成其它的直边图形吗?有待聪明的你们进一步的研究。

【设计意图: 回顾梳理解决问题的全过程,既要进行知识的回顾,也要进行学习方法的总结,点名全课的主题。】

板书设计:

【选课思考】

圆的面积是北师版六年级上册的内容,是在学习了平行四边形、三角形、梯形面积后的进一步延伸,让学生借鉴在学习圆周长时的经验来研究圆的面积,使学生初步掌握研究曲线图形的基本方法 ——" 化曲为直 "," 化圆为方 ", 同时渗透了曲线图形与直线图形的关系。这样不仅仅扩展了学生的知识面,而且从空间观念来说,进入一个新的领域。面积度量对六年级的学生并不陌生,他们已具有一定的度量经验和转化思想,但圆这样的曲边图形的面积计算,学生还是第一次接触到,具有一定的难度和挑战性,课堂中需要借助动手操作、课件演示、联想思考等多种感官多维体验无限分割的极限思想。从数学思考上看,六年级学生以抽象思维为主,已具有一定的逻辑思维能力以及初步的归纳、类比、推理的数学活动经验。透过对圆有关知识的学习,不仅仅加深学生对周围事物的理解,激发学习数学的兴趣,也为以后学习圆柱,圆锥打下基础。

【活动主题解读】

2021 年修订版的小学数学课程标准增加了 “量感” 这一核心素养。而 “量感” 是指学生运用多个感官对长度、面积、体积以及时间所产生的直观感受,简而言之就是学生在现实情境中主动地、自觉地运用 “量” 的意识,它是一种对范围量或具体量的感觉,这种感觉会随着学生知识的积累和经验的丰富而变得越发精准。量感的培养有助于提高和完善学生的估测能力、问题解决能力和数学核心素养,故需要教师在课堂中设置多种操作活动,让学生在多次 “量” 的过程中运用多个感官共同参与,表达自己的想法,从而发展量感。而本节课是学生第一次接触曲线图形的面积,故课堂上让学生经历从用估、数、比的方式到将圆的面积转化成平行四边形的面积,推导出圆的面积公式,在操作与想象中逐步培养学生量感,这对于学生空间观念的形成也具有重要价值。

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