【教学设计（三）】

【教材简析】

本课内容是在学生已经初步理解了体积和容积的意义、掌握了长方体和正方体体积计算方法的基础上学习的，长方体和正方体体积计算方法 “底面积 × 高” 对探索圆柱的体积计算方法有正迁移作用。本课的重点在于引导学生经历 “猜想与验证” 的探索过程，在探索中理解、掌握圆柱体积的计算方法，教材充分利用学生学过的知识作铺垫，采用迁移法，引导学生将圆柱体转化成已学过的立体图形，再通过观察、比较找两个图形之间的关系，可推导出圆柱的体积计算公式。

【教学目标】

1．通过具体情境观察、实物感知、实践操作等活动，感受物体体积的大小、发展学生体积量感。

2．通过圆柱与长方体的 “类比”，经历 “猜想与验证” 探索圆柱体积计算方法的过程，体会 “类比” 的数学思想方法。

3. 会计算圆柱形物体的体积和容积，运用公式解决简单的问题。

【教学重点】圆柱的体积计算。

【教学难点】圆柱的体积公式的推导过程。

【教具准备】圆柱的体积公式演示教具，多媒体课件

【教学过程】

一、首次感知，唤醒量感意识

1. 出示问题，揭示意义

（1）出示图片，提出问题。

师：同学们，圆柱形物体在生活中随处可见，圆柱形的柱子，黄瓜，杯子，饮料瓶...... 下面的问题都和圆柱的什么有关呢？

生：和体积有关。

（2）师生对话，揭示意义。

师：其实求圆柱形物体的大小、圆柱形容器容纳物体的多少，都是求圆柱的体积。那什么是圆柱的体积呢？

生 1：圆柱所占空间的大小就是圆柱的体积

师：这节课我们就一起来研究圆柱的体积。（板书课题：圆柱的体积）

（设计意图：数学来源于现实生活，又应用于生活。《数学课程标准》强调数学与现实生活的联系，选择与学生生活密切联系的问题情境有利于激发学生兴趣，点燃探索新知的热情。）

2. 比较体积，产生量的需要

（1）估计体积 发现量的缺失 （老师准备 60ml 的饮料）

师：每个小组桌面上有一个像这样的圆柱形杯子，装了相同多的水，水是什么形状的？观察一下，根据生活经验估一估这杯水的体积是多少？

生 1：30ml

生 2：100ml

生 3：80ml

......

师：同学们估计的结果相差比较大啊，现在老师给大家提供一个标准，这个瓶子里水的体积大约 180ml 左右，现在你们再来估一估呢。

生 1：80ml

生 2：70ml

生 3：60ml

......

（2）测量体积 感受 60cm³ 的量。（慧道平台展示测量过程）

师：那饮料的体积到底是多少呢？你有什么办法准确得到？

方法一：倒入量杯量直接测量。

师：老师这里正好有一个量杯，你来测量一下，其他同学也一起观察。

方法二：倒入长方体容器中，测量出长宽高计算体积（间接测量）。

师：老师这里还有一个长方体盒子，你能借助它来测量吗？（这个长方体的底面积是 80 平方厘米）

师：通过量杯直接测量和倒入长方体量出数据计算，都可以得到水的体积。

（3）以体积单位度量圆柱，激发 “量” 的矛盾。

师： 60ml 也就是 60cm³。老师为大家准备了 60 个体积为为 1cm³ 的小正方体，它们的体积之和就是 60 cm³，请你装进和老师同样的杯子里，然后摇一摇。与另一个杯中的水比较，你有什么发现？

生 1：60cm³ 的小正方体装进杯子后，看起来比水高一些。

生 2：因为中间有空隙，所以看起来更高了。

师：60cm³ 的水和 60cm³ 的小方块所占空间是一样大的，但装进杯子里以后，水之间没有空隙，但小正方体之间以及小正方体与水杯壁之间都有很多空隙，水无形，小正方体有形，所以要想直接借助小正方体来得出圆柱的体积就比较困难。那这些小方块对于我们研究圆柱的体积会有帮助吗？接下来看我们能否找到它们之间的联系。

（4）链接生活 激化矛盾（接力棒）。

师：水可以借助量杯测量体积，老师这里有一根接力棒，我们想知道这根接力棒的体积，该怎么办？

生 1：溢水法。

生 2：测量出数据。

生 3：转化。

......

师：同学们想的办法其实都可行，那圆柱的体积可能与它的什么有关呢？

生：底面积和高

师：是这样的吗？在接下来的活动中，我们一起来找找答案。

（设计意图：学生对体积量感经验是有些缺失的，借助已有的经验，很难正确的进行估计。学生出现不同估算结果后，再给学生一个参考标准，学生估计的结果就比较接近实际结果了。然后再通过实际量，与之前估的结果对比，可以再次对学生体积量感的经验进行修正，再通过摆 60 个小正方体的活动，进一步巩固学生体积量感。学生想到测量水的体积的方法非常好，但这些方法都具有局限性，求接力棒的体积就不能用到刚才的方法，这时让学生试着想想圆柱的体积与它的什么有关？这时学生会自动唤醒已有知识经验，将影响体积大小的因素指向到底面积和高上来，为后续的学习做好了铺垫。）

二、叠加实物，领悟（体积）量的要素

1. 互学：组内操作（叠） 初步感知体积与底面积和高有关

要求：

（1）叠一叠：将纸片（硬币）一片一片往上叠。

（2）叠的过程：边叠边观察，你有什么发现？

（3）叠好后：对比观察，你又有什么发现？

2. 群学：小组分享（说），逐步明确体积与底面积和高的关系

师：谁来说说你们小组的发现？（慧道平台展示）

生 1：我发现一张纸片很薄，一张的厚度可以忽略不计，当很多张纸片叠在一起时就有了厚度，就得到了一个近似的圆柱。

生 2：在往上叠的过程中，高度在增加，体积也在增加，说明圆柱的体积与高有关。

生 3：我们组叠的硬币和纸片的高度差不多，但纸片的体积比硬币的体积大得多，说明圆柱的体积与底面积有关。

师：通过刚才的活动，我们发现圆柱的体积与底面积和高有关。

3. 共学：组间对比（辨），进一步明确体积与底面积和高的关系

师：同学们说得真好，现在老师把 4 个组的圆片放在一起，硬币放在一起，你又有什么发现？

生 1：观察 4 个组的纸片发现，底面相同，高度决定圆柱的大小。

生 2：高度相同，底面决定圆柱的大小。

师：通过刚才的活动，我们发现圆柱的体积与底面积和高有关。

4. 链接生活，强化量感经验

请你快速判断下面图中两个圆柱的大小。

（设计意图：动手操作是学生获得量感的重要途径，首学和互学环节通过叠纸片和硬币的活动，不仅能感知形成的圆柱是圆形纸片面的叠加，还能感知圆柱的体积与底面积和高有关。群学环节通过组内对比，体会圆柱底面相等，高可用决定体积大小，高相等，底面大小可用决定体积大小，加深了对体积与底面积和高的关系的体会。再通过生活中几组圆柱体积大小的对比，在巩固知识中丰富圆柱体积量感的经验）

三、操作验证，推导体积公式

1. 观看微课，启发思维

师：圆柱的体积到底该怎样计算呢？猜一猜。

生：之前学习过的长方体和正方体的体积用 “底面积 X 高” 来计算，我猜圆柱的体积也是用 “底面积 X 高” 来计算？

师：老师为大家准备了一个微课（圆面积推导过程），一起来看看。

师：转化真奇妙，我们能把一个圆采用化曲为直、化圆为方的方法推导出了圆面积的计算公式。这个过程对你有什么启示？

生 1：不能直接求时可以尝试转化。

生 2：可以将圆柱转化成长方体。

（设计意图：借助微课，将圆面积公式推导过程的再现，为实现经验和方法的迁移做铺垫，也让学生感受到知识内在的统一。）

2. 动手操作，沟通联系

（1）互学：将圆柱 “切拼” 成近似的长方体。

要求：

①操作：将圆柱转化成已学过的近似长方体。

②思考：转化后的长方体与圆柱有什么关系？

③交流：转化后的长方体与圆柱的对应关系。在对应的地方标一标。

④讲解：你是如何推导圆柱体积计算公式的。

（2）群学：交流对应关系，推导体积公式。

师：刚才老师录制了一个小组操作过程的视频，我们先来看一看。（慧道平台录制视频）

师：谁来把你们小组的学习成果与大家分享？（慧道平台呈现学生汇报过程）

生 1：我们小组将圆柱平均分成 8 份，拼成一个近似的长方体，转化后的长方体与圆柱的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积 = 长方体的底面积乘高，所以圆柱体积 = 圆柱的底面积乘高。

生 2：我们小组将圆柱平均分成 16 份，拼成一个近似的长方体……

（3）共学：对比观察，拓展思维。

师：将平均分成 16 份拼成的长方体与刚才的长方体对比，你又发现了什么？

生：平均分成 16 份拼成的图形更像长方体。

师：如果我们将圆柱底面等分成 32 份，64 份，甚至更多，然后再拼起来会是什么情况呢？（课件演示）

生：分的份数越多，拼成的立体图形越接近长方体。

师：平均分成 32 份，操作起来比较困难，我们借助课件来看看。圆柱通过切拼，转化成近似的长方体。长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以，圆柱的体积 = 底面积 × 高。用字母表示：V=Sh。(板书二级板书对应：V=πrXrXh)

师：你能像老师这样说一说这个过程吗？说给同桌听一听。

3. 估计体积，发展量感

（1）互学：摆一摆，估计体积，积累量感经验。

师：我们把圆柱转化成了长方体，借助小方块估一估，这个圆柱的体积大约是多少呢？（学生摆一摆，估一估）

（2）群学：看一看，沟通联系，强化量感经验。

（教师播放小组操作过程视频）

师：看，当圆柱转化成长方体后，我们就可以借助小方块来度量了，长方体的长就是圆柱底面周长的一半，决定了方块一排有几个，长方体的宽就是圆柱的半径，决定了方块有几排，长方体的高是圆柱的高，决定了方块有几层。

3. 回顾梳理，建构计算模型

师：刚才，我们通过估一估、量一量等活动，直观感知了圆柱体积的大小。再通过叠一叠、比一比等活动，知道了圆柱体积与底面积和高有关，根据长方体体积公式猜想圆柱体积等于底面积乘高，之后在切一切、拼一拼等活动中，将圆柱转化成了长方体，最后根据等积变形推导出圆柱体积计算公式：V=Sh。其实很多数学研究的发现都经历了这样的研究过程，从现实问题出发，引发猜想，再通过实验验证，从而得出结论。

（设计意图：量感的培养需要丰富的活动经验。通过播放圆面积推导视频，唤醒学习经验，通过回顾长方体、正方体体积计算公式，唤醒体积量感的敏感以及对量的直接反应，学生很容易得出 “圆柱体积 = 底面积 × 高” 的猜想。学生经历将圆柱转化成长方体的过程，更容易理解转化前后 “量” 之间的变与不变，感受量变背后的内在联系。在学生充分操作、交流的基础上再通过观看课件，调动学生多种感官参与圆柱体积公式推导过程，在观察中理解，在比较中讨论归纳，让极限思维、转化思想有机的渗透在课堂教学中。）

四、运用公式，解决问题，固化量感

1. 下面的问题是求什么？

2. 估一估（教师操作，打包纸片，建立新标准，提供 “估” 的方法）

（1）老师手中纸片的体积大约是（ ）立方厘米。

（2）估一估老师手中饮料瓶中饮料的体积是（ ）立方厘米。

师小结：估算时，选择一个适合的参考标准，可以让我们估得更准确。

3. 求下面圆柱体的体积。(单位：厘米)

师：知道底面积和高就能求圆柱的体积，如果不告诉底面积，要求圆柱的体积需要知道哪些条件？

（设计意图：第一题通过生活中的实际问题，判断哪些问题是和圆柱表面积有关？哪些问题是和圆柱体积有关？通过辨析，沟通圆柱体积与生活实际的联系。第二题是与之前叠纸片的活动相呼应，给学生一个体积标准后再对纸片叠成的圆柱体积进行估计，在估算中继续发展学生体积量感。第三题是对公式的灵活运用，通过告诉半径和高、直径和高、周长和高，拓展对公式的理解和掌握，在公式的转化过程中培养学生量感。）

五、沟通联系，拓展延伸，发展量感

出示长方体，正方体、圆柱，形状不同，但它们的体积都可以用底面积乘高来计算，它们之间是否有一些我们不易察觉的联系呢？

（通过沟通几种直柱体体积公式的内在联系，拓展对 “体积 = 底面积乘高” 这一公式的运用，拓展学生思维，在沟通交流中培养学生的量感。）

六．课堂小结

1．谈谈这节课你有哪些收获？

（设计意图：收获包括知识、能力、方法、情感等全方位的体会，在这里采用提问式小结，使学生畅谈收获、发现不足，既能训练学生的语言表达能力，又能培养学生的归纳概括能力；同时通过对本节所学知识的总结与回顾，还能使学生学到的知识系统化、完整化。）

七．板书设计