《圆柱的体积》教学设计 2 稿

山西省运城市海仓学校 袁菁

教学目标:

1. 结合具体情境，理解圆柱的体积和容积。经历 “类比、猜想、验证” 探索圆柱体积计算方法的过程；掌握圆柱体积计算方法，能正确计算圆柱的体积，并会解决一些简单的实际问题。

2. 通过观察、操作和演示学具，推导圆柱的体积公式；渗透转化思想、极限思想和等积变形思想。

3. 通过活动感悟数学知识的内在联系，增强应用意识，建立空间观念，发展抽象、概括的思维能力。

教学重点：掌握和运用圆柱体积的计算公式。

教学难点：圆柱体积公式的推导过程。

教具准备：课件，圆柱体

学具准备：圆柱体，学习清单

教学过程：

一、情境导入，引入课题

同学们我们都喝过瓶装矿泉水吧，根据自己的生活经验，一般一瓶矿泉水大概多少毫升？出示一个水杯，你觉得这个水杯能装下这瓶水吗？ 预设 1：学生可能会说能，也有的说不能。 引出杯子容积的大小其实就是求圆柱的体积。那圆柱体积怎么计算？这就是我们本节课要探索研究的。

（设计意图：从学生们都熟悉的矿泉水和圆柱形水杯入手，“生活化感知” 为学生量感的形成奠定了坚实基础。古人云 “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，纸上得来终觉浅，心中悟出始知深。层层追问，发展学生对物体的量感，更重要的是让学生体会圆柱体积或容积的实际含义，感受学习求圆柱体积计算方法的必要性，并提出怎样计算圆柱的体积。揭示本节课的课题《圆柱的体积》）

二、探索发现，建立模型

1. 回顾旧知，大胆猜测 引导学生思考我们会计算什么样立体图形的体积呢？我们是如何算的呢？ 根据之前学过长方体、正方体立体图形的体积公式，长方体体积 = 长 × 宽 × 高，正方体 = 棱长 × 棱长 × 棱长，长方体和正方体的体积还可以用一个公式表示：底面积 × 高。

猜测：圆柱的体积是不是也是底面积 × 高？

（设计意图：本环节让学生经历怎样求圆柱体积的计算方法的猜想过程，体会类比、转化等数学思想方法。因为长方体与正方体的体积都是 “底面积 × 高”，长方体、正方体是直柱体，而圆柱也是直柱体，因此通过类比可以产生猜想：圆柱的体积计算方法也可能是 “底面积 × 高”。）

2. 动手操作，验证猜测

猜测不等于事实。我们用什么方法来验证它是否正确呢？

请同学们说说自己的想法。（小组同学相互交流自己的想法）

（1）直观感知

（预设：摞硬币，拿一些一元硬币，当我们往上一直摞时，这个圆柱的体积不断变大；如果我们找一个面比一元硬币面再大点的圆片，这个圆柱体积会更大。这样我们会很直观的感知圆柱的体积是和底面积和高有关系，这种关系是相乘吗？还需要我们进一步验证。）

（2）等积变形

有想法的，给大家分享下自己的想法。

预设：学生借助《圆面积》推导思路，将圆等分成若干份，拼成近似的长方形，这里将一个曲面图形转化为长方形，借助这个思想，我们可以把圆柱形等分成若干等分，拼成近似的长方体。 （设计意图：激发学生思维，让学生知道数学新知识的学习都是建立在旧知识的基础上，培养学生的转化思想和化曲为直的思想，借助这些数学素养为解决新知打下基础，同时知识间的建构显得非常重要。） 借助学具来验证。以小组为单位，共同探索，在操作过程中让学生拿出学具和学习清单，围绕两个问题展开探索。①在转化前后什么变了？什么没变？②转化得到长方体，长方体的长、宽、高分别对应圆柱的什么？）

3. 小组汇报，得出结论

以小组为单位进行汇报。

将圆柱体等分成若干份，将其拼成近似的长方体，在这个转化过程中，物体的体积没有发生变化，形状变了，还有表面积也变了，而且是变大了（增加了两个面）。

这个长方体的长、宽、高分别是多少呢？对应着圆柱体的什么呢？ 长方体的长相当于圆柱底面圆周长的一半，宽相当于底面圆半径，高相当于圆柱的高。 （课件再次演示圆柱转变为长方体的过程，让学生们再次回顾圆柱体积推导过程。） 通过观察与思考：长方体体积 = 长 × 宽 × 高，长对应 ，宽对应，高对应，得出圆柱体积公式：，而就是圆柱底面圆面积，所以圆柱的体积 = 底面积 × 高。 看来通过切割等操作，将圆柱体转化为长方体，是数学里非常重要的一种思想 —— 等积变形，这里的 “积”，指的就是体积，也就是转化后得到长方体的体积和圆柱体的体积大小一样。

（设计意图：让学生亲身经历知识的形成过程，使学生在操作、观察、对比、讨论、交流中，推导出圆柱体积公式，从中让学生正真体会到 “等积变形” 数学思想。苏霍姆林斯基曾说，让学生体验到自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件。在实践中体验 “量”，在体验中获得对 “量” 的独特感受。初步建立模型：圆柱体积）

三、理解应用，强化体验

1. 计算这个圆柱体积。 现在我们会计算圆柱体积，那么现在我们回过头，来计算这个水杯的容积是多少？
   学生会发现没有数据，这时老师质问，那大家说给什么条件可以求出杯子的容积？ 预设：底面积和高；底面半径和高；底面直径和高；底面周长和高。 要求这个圆柱的体积，你知道哪些条件后就可以求出？

（预设：知道底面积和高可以求出；底面半径和高；底面直径和高；底面周长和高；圆柱侧面积和底面半径等等，都可以求出来。）

给出杯子的底面半径 4cm, 高 10cm, 让学生求杯子的容积。

（设计意图：此题将主动权交给学生，让学生正真理解圆柱体积的计算方法，使学生掌握知识，形成技能，同时培养学生的量感，知道一杯水的容积大概多少。）

2. 给出一个更大的杯子 通过上题的计算，发现杯子容积小于矿泉水的体积，倒不下怎么办？

预设：换一个更高的杯子，或底面积更大的杯子。 这时给出杯子底面周长是 31.4cm, 高是 10cm, 再来算一算。

（设计意图：此题进一步加深学生对圆柱体积公式的理解，知道圆柱的体积不仅和底面积有关，而且还和圆柱的高有关，进一步建立学生圆柱体积的量感，在题目难度上设计层次感。）

3. 将矿泉水往出倒一些，这时瓶子里还剩一些水，知道瓶子的容积是 560ml，正放时水的高度为 5cm，倒放时空的部分高 2cm, 这个瓶子里的水有多少毫升？

   （设计意图：有句话说：“深度源自思想的高度”，此题在学生会求规则立体图形的体积基础上，加大难度，求不规则物体的体积，也就是瓶子里空气的体积。瓶子的容积是有水的体积和空气体积两部分组成的。这样设计充盈着思考，充满了趣味和挑战，一则让学生体会到数学就在自己身边，二则在研究过程中培养了学生严谨的治学态度。让学生真正感受到数学又服务于生活，可以解决生活中一些难题。培养学生的数学应用意识，正真的将所学知识生活化，提高学生解决问题能力。）

四、总结归纳，课堂小结

通过本节课的学习大家有什么收获？

（设计意图：对所学知识进行梳理与总结，是再学习再巩固的过程。培养学生数学语言表达能力和数学知识概括能力。）