探索活动：3 的倍数的特征

【核心问题】

 3 的倍数有什么特征？
 是怎样发现的？
 为什么 “各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数”？

【教材分析】

本节课北师大五年级上第三单元第 3 课时《探索活动：3 的倍数特征》，本课是在学习了因数和倍数的概念及掌握了 2 和 5 的特征的基础上教学的，学习了 2、5、3 的倍数的特征有利于学生很快找出一些数的因数，是今后判断质数，合数的基础，也为今后学习约分、通分打基础。3 的倍数特征可以借助 2、5 倍数特征的探究方法进行探究，本节课学生会经历操作（圈）- 观察 - 猜想 - 推翻猜想 - 再观察 - 再猜想 - 验证的过程，在这样的过程中逐步培养学生的探究能力。由于理解为什么 3 的倍数特征是各个数位数字之和有难度，故教材只编排了探究 3 的倍数是什么的问题，没有编排为什么这样的问题。

【学情分析】

学生通过 2、5 倍数特征探究方法的学习，能较轻松迁移到 3 的倍数特征的探究。学生在概括 2 和 5 的倍数特征时，只注意了个位上的数，因此学生在猜想 3 的倍数时，会自然的认为 3 的倍数特征也和个位上的数字有。由此可产生认知冲突，激发学生探索 3 的倍数的特征的欲望。学生在学习 2、5 倍数特征时，比较容易接受 2、5 倍数特征和个位上数字有关的结论。迁移到 3 的倍数特征时，学生就发现 3 的倍数特征和已知出现冲突，于是产生为什么 “3 的倍数的特征是各个数位数字之和是 3 的倍数” 这样的疑问。只有解决了为什么 3 的倍数有这样的特征，才能帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征。

【教学目标】

1. 学生结合微课和导学单，通过观察、操作、猜想、验证等活动，认识 3 的倍数的特征并掌握一个数是否为 3 的倍数的判断方法。
2. 学生借助小棒模型直观理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理。

【教学重点】

3 的倍数的特征，并能正确判断 3 的倍数。

【教学难点】

理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理

【学习方式】

线上微课 + 线下课堂教学

【学习时间】

40 分钟

【学习地点】

录播室

【学习准备】

微课、学具、探究单、PPT

【学习过程】

一、快乐分享

师：同学们，大家通过看微课和使用预学单，已经自学了 3 的倍数的特征这一课，自评给自己打了多少颗星呢？

生：20 颗……

师：待会我们来验证下大家是否能学以致用。先一起来分享你学到的知识。

PPT 依次出示问题：

1.3 的倍数有什么特征呢？
2. 是怎样发现的呢？
3. 我想问？

预设：
生 1：各个数位数字之和是 3 的倍数。
生 2：百数表中圈出 3 的倍数，观察百数表中 3 的倍数共同的特征，猜想各数位数字之和是 3 的倍数，列举大于 100 的 3 的倍数是否符合这个特征，所举例子都符合特征，得出 3 的倍数的特征是各个数位数字之和是 3 的倍数。

应对 1：同意。你是怎么发现的。
应对 2：根据 2 和 5 倍数特征，大家是否猜想过 3 的倍数特征可能是个位是 3.6.9 的数。

师：运用所学知识合理猜测，会迁移知识。验证后发现如 13,16,19 这样的数，并不是 3 的倍数。3 的倍数个位 0-9 的数都会出现。于是有了刚才分享的找 - 观察 - 猜测 - 验证 - 结论的过程。是的，很多伟大的发现都经过多次猜想、验证，才得出结论的。

师：我们已经解决了这节课的两个核心问题，学完后你还有什么想问的呢？

生：为什么 3 的倍数特征是各个数位数字之和是 3 的倍数？

(设计意图：学生课前使用导学单和微课，通过操作、观察、猜测、验证、结论等过程，已经知道了 3 的倍数的特征，也掌握了判断一个数是否为 3 的倍数的方法，课堂中教师通过核心问题的设置及微课关键环节截图，引发学生回忆学习过程，达到巩固知识和技能的目的。)


二、探个究竟

1. 研究一位数
师：8 是 3 的倍数吗？
生：不是
师：（拿出 8 根小棒）能把老师手上的小棒分一分，说明 8 为什么不是 3 的倍数吗？
生：3 根 3 根分，分走 6 根，剩余 2 根不是 3 的倍数。
师：也就是说，判断 8 是不是 3 的倍数，关键看哪些小棒。
生：剩余的 2 根小棒。
师：为什么不看分走的部分？
生：分走部分已经是 3 的倍数了，所以只看剩余部分就可以了。
（设计意图：通过分 8 根小棒，让学生初步感知判断一个数是不是 3 的倍数，能整除就是 3 的倍数，不能整除就判断剩余部分是不是 3 的倍数）

2. 研究两位数（研究 12、22、42）
师：研究了一位数，你准备研究几位数？
生：两位数、三位数等
师：解决复杂问题，通常从简单入手，建议大家选小一点的，两位数来探究。
师：请大家拿出探究单，先独立完成探究，再小组谈论。
生活动（师巡视选择代表性的答案：如 12）
汇报分享：
生：我举例 12，是由一个十和 2 个一组成。十位 3 个 3 个分，分了 9，还剩 1。十位剩余的 1 再和个位的 2 合起来就是 3，剩余的 3 能被 3 整除，所以 12 就是 3 的倍数。也就是说 1+2 表示的是十位和个位剩余部分。
可以表示成：
     12
   /     \
  10       2
/    \
9    1

PPT 动画展示 
师：一个十，3 个 3 个分，分走 9 个，余下 1 个。余下的一个再和个位的两个合起来，这 3 个能被 3 整除，所以这 12 能被 3 整除。
（设计意图：12 是 3 的最小两位数倍数，通过 1+2 的理解，初步感知加法算式中的 1 表示 1 个 1。是 1 个十分走 3 个 3 后余下的 1。）

师：再添 1 个十，变成 22，22 是 3 的倍数吗？
生：不是。
师：为什么 2+2 就能判断 22 不是 3 的倍数呢？谁能说清楚其中的道理。
         22
   /       /      \
  10       10      2
 /  \      /  \ 
 9   1    9   1
生：22 由 20 和 2 组成，20 可以分成 2 个十，1 个十分走 9 个还剩一个，2 个十分走两个 9，剩 2 个一，也就是十位剩余 2 个，再和个位的 2 合起来是 4，4 不是 3 的倍数，所以 22 不是 3 的倍数。
PPT 动画展示：
师：1 个十，3 个 3 个分，分走 9 余 1，2 个十分走 2 个 9，余 2 个一，再和个位的 2 合起来是 4。余下的 4 不是 3 的倍数，所以 22 不是 3 的倍数。
（设计意图：22 十位上 2 个十，学生从已知 1 个十余 1 个一迁移到 2 个十余 2 个一，初步感知几个十就可以余下几个一。）

师：22 说清楚了，再大一点的数，42。我们是如何判断？
生：4+2=6，是 3 的倍数。
师：为什么 4+2 就可以判断是 3 的倍数？
生：42 由 40 和 2 组成，40 可以分成 4 个十，1 个十分走 9 个还剩一个，4 个十分走 4 个 9，剩 4 个一，也就是十位剩余 4 个，再和个位的 2 合起来是 6，6 是 3 的倍数，所以 42 是 3 的倍数。
PPT 动画展示：
师：1 个十余 1，2 个十余 2，3 个十余 3，3 个十怎么余 3 呢？
生：先不分走。4 个十余 4，和个位 2 和起来是 6，6 是 3 的倍数。
（设计意图：42 十位上 4 个十，通过对 3 个十是否余下 3 个一的质疑，感知十位数字大于等于 3 时，余数不用分走大于 3 的部分，而是有几个十就余下几个一。）
师：两位数大家弄清楚了吗？
生：清楚了。

3. 研究 3 位数
师：来一个大点的数，三位数，142。如何判断？
生：1+4+2
师：为什么，谁来解释？
生 1：不知道百位的 1 如何来的。
生 2：百位上 1 个百，分走 99，分走的 99 是 3 的倍数，余 1。十位 4 个十，分走 4 个 9，余 4 个一。百位、十位剩余部分和个位合起来，一共 7 根，7 不是 3 的倍数。
应对 1:142 中的 42，刚才我们已经清楚 4+2 表示的意思了，关键就是要判断 1+4+2 中的哪个数？
PPT 动画展示：
师：百位上 1 个百，分走 99，余 1。十位 4 个十，分走 4 个 9 后余 4 个一。我们把每个数位剩余部分合起来是 7，7 不是 3 的倍数，所以 142 不是 3 的倍数。
（设计意图：142 中百位上 1 个百和算式 1+4+2 中的 1 个一做对比，理解 1 个一是 1 个百分走 99 个后剩余的 1。感知推理百位有几个百就余几个一。）

4. 理论依据
师：有这样一个三位数，如何判断它是不是 3 的倍数？
生：看 a+b+c 的和是不是 3 的倍数。
师：你能说说其中的道理吗？
生：百位上是 a，表示 a 个 100，每个 100 分走 99 后余 1，a 个 100 余 a 个 1。十位上是 b，表示 b 个 10，每个 10 分走 9 后余 1，b 个 10 余 b 个 1。个位表示 c 个 1，把各个数位余下的部分合起来，如果是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
（设计意图：通过字母表示的三位数的理解，帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征，同时还帮助学生了解结论背后更具普遍规律性的理论依据。）

三、总结发现

师：现在你能说说为什么 “各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数” 了吗？
生：每个数位上有几个计数单位就会剩下几，把每个数位上余下的数相加恰好等于于各个数位上的数字之和。
四、灵活运用

师：有信心运用自己学到的知识解决问题吗？拿出导学单，完成后面练习。
PPT 出示：
一、判断：
1. 个位上是 3、6、9 的数一定是 3 的倍数。（  ）
2. 个位、十位、百位上数字都相同的 3 位数一定是 3 的倍数。（  ）
3. 用三个连续的自然数组成的三位数一定是 3 的倍数。（  ）
二、判断下面这个数是否为 3 的倍数，比一比，看谁的方法最简单？
9786549210

师：通过今天的学习你有什么收获？
我还发现，我还想问，我还想研究……

【作业布置】
你能尝试探究 4、6、7、8、9 等数的倍数特征吗？

【板书设计】
探索活动：3 的倍数的特征
3 的倍数特征：各个数位上数字之和是 3 的倍数？
操作   猜想    验证    结论
     12                  22   
   /     \         /       /      \
  10      2       10       10      2
/    \            /  \     /  \ 
9    1           9   1    9   1
【教学反思】