以度量为载体探究《分数的再认识 (一)》

河南省郑州市金水区四月天小学 彭 梅

一、案例背景

度量是数学的本质，是认识、理解和表达现实世界的工具。度量的核心要素是度量的对象、度量单位和度量值。人们可以通过人类本能的抽象思维得到抽象的度量单位，也可以通过实践借助度量工具得到度量单位。在教学过程中，教师要带领学生经历概括分数意义的过程，理解度量单位的产生和度量单位的累加过程，感悟度量思想。

五年级学生对于分数已经具备初步认识，知道分数的读写、同分母分数的加减法等知识。本节课继续带领学生深入理解分数的意义，掌握度量单位的产生发展学生的度量意识和能力。

二、案例描述与分析

1．教学片段一

（1）课堂场景

师：可以表示什么？举例说一说，画一画。

生：我选择一个正方形作为整体，把正方形平均分成 4 份，其中的 3 份，可以用分数表示。

师：你回答得非常正确。平均分成 4 份之后，每一份是多少？

生：平均分成四份之后，每一份是这个整体的。

师：那么和是什么关系？

生：3 个相加的结果就是.

师：说的很好。这个正方形的是先将正方形平均分成 4 份，其中的每一份就是正方形的，可以看作一个度量单位。就是 3 个这样的度量单位相加的结果。还有没有其他的表示方法？

生：老师，我的画法不一样。我选择 4 个一模一样的萝卜作为整体，其中的 3 个萝卜就是整体的。

师：那 1 个萝卜占整体的几分之几？

生：1 个萝卜占整体的，可以当作度量单位，3 个度量单位相加就可以得到。

师：你的思路很清晰。还有没有其他的表示方法？

生：老师，我画了 8 个同样大小的三角形作为整体，平均分成 4 份之后，每一份就是 2 个三角形，占整体的，可以看作 1 个度量单位。那么 3 个度量单位累加，就可以得到整体的。

师：你的回答非常精彩。像这样，把一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份，可以用分数表示。其中的一份可以看作度量单位，分数的值就是度量单位累加的结果。

（2）分析

分数产生的现实背景之一是度量。在这个片段中，教师要带领学生从度量的角度经历概括分数意义的过程。片段中的问题要求学生用写一写画一画的方式表达，从度量角度可以看作给出度量值，学生可以自选度量单位，并通过度量单位的累积得到的表示。例如将一个正方形作为整体平均分成 4 份，分得的每一份就是个正方形。将个正方形作为度量单位，累加 3 个度量单位就得到需要表达的分数。学生在作业纸上用画阴影的方式表达出正方形中画阴影部分占正方形整体的值是。

有学生从 4 个同样的三角形入手，将整体平均分为 4 份，则每一个三角形是整体的，均可以作为度量单位。3 个度量单位累加，也就是 3 个三角形累加的结果画上阴影，表达的度量值是。也有学生将 12 只骨头看作整体，将整体平均分为 4 份，其中的每一份包含 3 只骨头，写作，可以当作度量单位。累加 3 个度量单位后得到 9 只骨头需要画上阴影，可以表示度量值。

在引导过程中需要注意两点。第一点是对整体概念的理解，整体可以是一个图形，也可以是多个图形或者多组图形，整体可以是具体的实物对象例如 12 头牛或 8 个汉堡，也可以是抽象的数学图形如 4 个正方形。第二点是对度量单位的理解，分数的意义表述中 “将一个整体平均分为若干份”，那么分得的每一份就可以作为度量单位，这里的度量单位是人们思维抽象出来的概念，抛弃了度量对象的一切物理属性。“其中的一份或者几份，可以用分数来表示。” 也就是说，分数的值即度量值可以看作度量单位的累加结果。

2．教学片段二

（1）课堂场景

师：一个图形的是 ，画出这个图形，并在小组内交流你的画法。

学生以小组为单位汇报探究交流结果。

生：我是这么画的。

师：说说你如何想到这么画？

生：4 个二连方的组合在一起就是这个图形。

师：我们前边讲过分数是度量单位的累加。那你的图形中度量单位是什么，是怎么累加的？

生：这个图形的是二连方，这就是度量单位。这个图形需要 4 个度量单位累加就能够得到。

师：特别好。你已经开始从度量的角度思考问题了。

生：想要得出这个图形，只要是由 4 个二连方组成的就行。

师：还有没有其他的画法？

生：可以这样画：（学生展示不同的画法）

师：如何验证你画出的图形对呢？可以拿出彩笔在刚才画的图形上圈一圈，如果能够圈出来 4 个度量单位，就说明你的画法是正确的。

（2）分析

在题目中知道，二连方作为这个图形的，即这个图形作为一个整体被平均分成了 4 份，二连方就是度量单位。只要是 4 个二连方组成的一个图形，就符合题目的要求。

本问题是教学片段一中问题的逆问题，根据度量单位和度量值反推出度量对象。片段一中的问题是由图形的整体得出图形的部分，本问题是由整体的一部分推出整体，加深学生对于整体和部分之间关系的理解。在引导学生思考的过程中，注重带领学生认识度量单位和度量值的关系，度量值是度量单位的累加，这样学生能够掌握分数的本质意义就是度量。学生在掌握分数的意义和度量概念之后，能够在小组交流的过程中用准确的语言描述度量概念和分数的意义，并在作业纸上画出不同形状的图形。那么如何验证已经画出来的图形，它的四分之一就是二连方呢？如果学生在作业纸上用彩笔圈出这个图形的每个度量单位即恰好圈出 4 个二连方，那么这个图形就满足题意。整体是由部分组成的，部分又反映了整体的性质，从度量的角度来看，二连方可以作为度量的基本单位，4 个二连方所组成的整体代表度量对象，也反映出对空间的度量。

3．教学片段三

（1）课堂场景

师：活动，拿出四人小组所有铅笔的。

生：我们组同学有 8 支铅笔，铅笔总数的就是 4 支。

生：我们组同学有 10 支铅笔，铅笔总数的就是 5 支。

生：我们组同学也有 8 支铅笔，铅笔总数的就是 4 支铅笔。

师：为什么同样的分数，各个组拿出的铅笔数目有的一样，有的不一样呢？

生：整体不同！同一个分数，整体不同，部分也不同。同一个分数，整体相同，部分也相同。

师：我们能不能找出度量单位是多少？

生：把我们组全部的笔看作整体，平均分成 2 份，其中的一份就是整体的，可以当作度量单位。

师：那么我们就知道，我们取各自组铅笔数目的，就是各自组的一个度量单位所代表的值。由于度量对象不同，导致度量单位的实际取值不一样。

（2）分析

在教学片段三中，学生通读题目的过程，也是梳理学生思路的重要步骤。在题目中，学生所在小组总笔数当作一个整体平均分成 2 份，每一份就是总笔数的，作为一个度量单位。各小组各自铅笔总笔数是不相同的。有同学就问为什么同样是，铅笔的数目不相同？这是因为分数具有相对性，每个分数都是相对不同的整体进行度量的结果。各个小组总铅笔总数分别作为各自小组的整体，虽然度量值均是，但是各小组度量单位的值不相同。通过这个教学活动，同学们明白了分数表示具体数值时具有相对性。

分数是度量概念的良好载体，能够借助分数教会学生认识到度量单位是由整体平均分而形成的，分数是度量单位累加形成的，能够在分数的教学活动中积累度量的学习活动经验。另外，从可逆的角度来看，知道部分与整体的关系，也能够从部分推导出整体的度量属性。

三、案例反思

在本节课中，教师带领学生从度量的角度掌握分数的意义、体会分数所包含的整体与部分的关系，体会度量的重要性。在教学度量性概念时，注重在恰当的探究空间中感知度量性概念，在充分的数学活动中建构度量性概念，在应用中丰富度量性概念的表象，建立健全学生对于小学数学度量性概念的理解和掌握。

做好教师工作需要保持活到老学到老的学习心态，保持不断自我反思的意识。毕竟，能把学生培育成才，是教师最幸福的事情。