得 “标” 诱寻 “本”

— 在《最大公因数与最小公倍》教学中读懂学生及教学策略的调整

山东省枣庄市薛城区北临城小学 任旭

读懂学生是老师的一项基本功，课堂是老师读懂学生的主战场。学生的一个表情、动作、习惯、甚至是解决问题时的速度等很多看似不起眼的因素，都能成为老师读懂学生的突破口。只有读懂了学生的这些 “小动作”，才能采取针对性的教学策略并进行相应的课堂教学调整。

案例：

笔者在执教《最大公因数与最小公倍数》练习课的后半段用最大公因数解决问题时出现的情形：

“有一间长 24 分米，宽 18 分米的长方形房子。要在这个房间的地面铺方砖，为了美观，要求必需铺整块的方砖。至少需要多块方砖？”

面对这个问题，多数学生读一遍题后就不加思考地求 24 与 18 的最小公倍数；也有一部分同学在 “至少” 二字下面画上横线或做别的标记，然后依然求这两个数的最小公倍数，完成后兴奋地让我判断。

从学生读题后就立即做题这种情形来看，他们没有经过认真思考的，在未能将生活问题一步步地转化成数学问题的情况下，仅仅依靠 “经验”（学习什么知识就用什么知识解决问题：既然刚刚学习最大公因数与最小公倍数，就当然用最大公因数或最小公倍数来解决问题）来解决问题。从学生找 “标志” 解决问题的方法上看，这部分学生是有一些自己体会的 —— 凡求最多、最大类问题就是用最大公因数；同样求最小、至少类问题就是用最小倍数。在这种一叶障目不见森林的情形下当学生看到 “至少需要多块方砖？” 中的 “至少” 二字时就盲目且自信地判断为此题是求 “24” 与 “18” 的最小公倍数。他们急切地给我看，至少是想得到我的肯定。

学生为什么会出现这种不思考只凭 “学啥用啥” 或 “标志” 来解决问题的情况呢？老子说：“天下有始，以为天下母。既得其母，以知其子，既知其子，复守其母，没身不殆”。学生的 “学什么用什么” 和 “看标志” 的经验，最多是 “得其子” 而没能去 “守其母”，以至于 “始终有殆”。

既然是 “不守其母” 所惹的祸，那么我们就应该引导学生 “守其母”，即引导学生依照最大公因数（最小公倍数）的概念产生的过程并结合实际具体问题一步步地找出是求最大公因数（最小公倍数）的理由 —— 先分析为什么是各自的因数（倍数）→公因数（公倍数）→最大公因数（最小公倍数）。

从本题来看 “要求铺整块的方砖” ，转换成数学语言，就是说方砖的边长必需是长 24 分米的因数；又必需是宽 18 分米的因数，这样方砖的边长就必需是 24 与 18 的公因数。又因为要求方砖的块数最少，用数学语言来说就是方砖的边长最大，因此本题的核心内容是求这两个数的最大公因数。

下面是笔者调整后的一段教学实录：

师：“要求铺整块的方砖” 是生活语言，用数学语言怎么说？（让学生思考一会）

生 1：房间的长除以方砖的边长商正好是整数没有余数；房间的宽除以方砖的边长商也是整数，没有余数。

师：你理解的很到位。能不能把你的话换一种说法而意思不变？

生 1：“要求铺整块的方砖” 就是要求方砖的边长既是长 24 的因数，也要是宽 18 的因数，也就是 24 与 18 的公因数。

师：说的很到位。当方砖的边长应该是长与宽的公因数时，就能铺整块的方砖。现在请大家思考：“铺整块的方砖所需要的块数的多少与方砖的边长有什么关系？

生：当方砖越大的时候，所用的方砖的块数就越少，当方砖最大的时候，用的块数就最少，因此这题需要先求 24 与 18 的最大公因数。

师：由此看来这题里的 “至少” 是一个假面具。当我们一步一步地把生活语言转换成数学语言时，就看到了问题的真面目。 这时我们就拥有了一双智慧的眼睛。现在就请同学们把这题的思维过程再还原一遍吧。

……

思考：

从这个案例可以看出在课堂上学生的练习是是读懂学生的一个窗口。另外，在课堂上还可以从以下两方面读懂学生：

1. 从学生的数学语言中读懂学生

鬼谷子说：“口乃心之门户”。也就是说心中所想是通过语言表达出来的。因此可以从学生的独特的语言中读懂学生对知识是否真正地理解。如学习带分数后，让学生看图（如图）写数后，一个学生读道 ：“是 3—— 又 ”。他在 “3” 的后面停顿了好长时间后再读出 “ ”， 这样的回答引来一阵大笑。

笑声中有对他的否定，更多则是认为他在搞笑。而我眼前为之一亮，他的回答是对带分数的本质的理解：带分数就是 “整数 + 真分数”。想到这儿，我对他说，你能说说为什么这样读吗？他的解释验证了我猜想完全正确，其它学生听不由自主地点头，脸上也露出会心的微笑。

2. 从学生的动手操作中读懂学生

操作在思维领域属于动作思维，学生的操作情况同样可以反映学生对知识的理解情况。有这样一题：“摆摆试试，至少用几个同样的小方体可以摆成一个较大的正方体？”

学生常常只用 4 个小正方体摆出长是 2 个单位、宽是 2 个单位、高是 1 个单位的长方体。这时学生看到的长方体的 “上面” 是正方形，就把一组相对面是正方形的长方体也当作正方体（长、宽、高都相等也是正方体）。这说明这部分学生对正方体长、宽、高都相等的特点还只是停留在文字阶段，还没有正方体的整体表象。

如果只用正方体的 “长、宽、高相等” 的特点来建立正方体的表象，有些盲人摸象的感觉，很大程度上强化了正方体 “长、宽、高相等” 的特点，而对空间表象的建立起不了太大的作用。因此老师的教学应把重点放在发展学生的空间观念上而非正方体的特点。这时老师可以拿出一个较大的正方体说：“像这样的物体才是正方体。在你摆的基础上怎样才能摆成这样的形状呢？”

很多时候很多学生的 “学” 是 “依葫芦画瓢”，只是走近其 “标” 而远离其 “本”。因此教师在课堂要随时听其言、察其行，及时调整自己的教学策略，帮助、引导他们跨 “标” 得 “本”。