探数学之谜 品符号之妙

郑州市金水区纬五路第一小学（独立基地校）

纬五路第一小学基地校有幸参加第十七届新世纪小学数学基地教学设计与课堂展示活动网络研讨。在这个过程中，我们共同学习成长，探数学之谜，品符号之妙。

2022 年 1 月接到大赛组委会通知后，我们迅速成立团队，确定课例，选择六年级上册第六单元《生活中的比》。本节课既是一节数学概念 “比” 的起始课、概念课，也是一节单元 “种子课”。此前学生已学习除法的意义、分数的意义，为学生今后学习比例、正反比例及其应用起承前启后的衔接作用。

利用假期，每位团队教师阅读关于符号意识的书籍，夯实个人对符号意识的理解。开学后团队成员共同研读课标，学习文献，对比不同版本教材，进行教材分析，设计前测进行学情分析。进行多次试讲，不断反思改进。利用学校每周学科大教研时间开展以 “儿童符号意识发展” 为主题的专题教研活动，全体数学教师参与其中，并利用新世纪小学数学论坛展开充分讨论。

现对纬五路第一小学基地校以 “儿童符号意识发展” 为主题的网络研讨活动做以总结。

一、《课程标准》和文献的解读与思考

【课程标准】

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对符号意识的诠释为：

符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对符号意识的诠释为：

符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能。知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律；知道用符号表达的运算规律和推理结论具有一般性；初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。

两版《课标》都提到了 “运用符号可以表达数、数量、关系和一般规律，知道运用符号表达的运算和推理得到的结论具有一般性；符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式”。2022 版课标对什么是符号意识进行了描述，提出 “符号意识主要是指能够感悟符号的数学功能”；还明确了发展符号意识的意义，提出 “符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础”。

【文献解读】

史宁中老师的《基本概念与运算法则》一书中提到：符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应。在小学阶段主要是指：让小学生学会有意识的使用符号，能够感悟使用符号的意义，能够适当的使用符号。

张天孝老师的《小学新思维数学研究》一书中提到：数学符号是人们进行数学的表示、运算、推理和解决问题的重要工具。符号化思想是基本的数学思想之一，培养学生的符号意识，也是数学十大核心素养之一。

结合本课，符合意识的发展主要体现在以下几个方面：

1. 能从具体情境中抽象出数、数量关系及变化规律，能用符号表示出来。

2. 理解符号所代表的数量关系和变化规律。

3. 会进行符号间的转换，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。

二、学习素材即教材内容的解读与思考

《生活中的比》是新世纪小学数学六年级上册第六单元 “比的认识” 第一课。本课是在学生已经学过除法的意义，分数的意义以及分数与除法的关系基础上学习的，是比的认识这一单元的起始课。

本课的安排分为两个课时，我们呈现的内容为第一课时。

本课的教学目标是：1. 经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义；2. 能正确读写比，会求比值，理解比与除法分数的关系。3. 能利用比的知识解释一些简单的生活问题，感受比在生活中的广泛应用。

比是数学中的一个重要概念，体会比的意义和价值是教材内容的核心。而学生理解比的意义往往比较困难，教材没有采取给出几个实例就直接定义比的概念的做法，而是提供了大量的与学生已有经验密切联系的情境，用一系列情境为学生理解比的意义提供了丰富的直观背景和具体案例，引发学生的思与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，这样处理更能让学生体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。

究竟比的必要性表现在哪里？长方形像不像的问题是引入比的现实来源。长方形的形状特征可以用它的长和宽这两个对等的量来刻画，就是这两个量的比，所以比是用来刻画事物不可度量的属性的，如行走的快慢、水果的贵贱、蜜水的甜度等都是不可度量的，但他们都可以用两个可以度量的对等的量来刻画或记录，这就是学习比的必要性，至于两个数相除，又叫做这两个数的比，是在数学世界里比的数学意义，及揭示数学知识之间的联系，或者说，在数学世界里，除法是比的来源。

哪几张图片与图 A 比较像，从几何的角度探究长方形的长与宽有什么关系引入比，体会引入比的必要性，试一试又借助 “甘蔗汁”“树高和影长” 等生活情境，作为进一步理解比的载体，多角度解释比，从速度、苹果价格这两个常见的数量关系理解路程与时间的比，总价与数量的比逐步抽象出比的意义，由浅入深地引导学生在独立思考，实际操作和合作交流中，体会生活中大量存在两个数量之间比的关系，以利于学生感受比产生的实际背景，理解比的意义。在后续的学习中，还安排了 “你能说一个用 3 比 4 表示的情境吗？” 等交流活动，意在从不同的角度帮助学生进一步理解比的意义，也为学生学习正反比例做铺垫。

我们在深入理解教材的编写思路和意图后，在使用好教材的学习素材基础上，结合现实进行了细微的调整：（1）主题图由淘气变成了今年冬奥吉祥物、学生们特别喜欢的冰墩墩。（2）增设 “你能再设计一个和图 A 像的图形吗？并说出你设计的图形的长和宽分别是多少。”，进一步丰富、加深学生的直观体验与理解，发展学生用符号表示数量关系和一般变化规律的能力。（3）教师利用主题图中各个长方形图片长与宽的关系，把 “练一练” 第 1 题和第 2 题融入主题情境中进行，通过举例使学生进一步理解比的意义，体会比与生活的广泛联系。

三、学情分析与思考

为了了解学生对于 “比” 的认识情况，我们对学生做了前测和后测的调研与分析。

1. 前测调研。

（1）“你在哪里见过比？举例说一说什么是比？”

73.6%的学生对于 “比” 的感受停留在 “相差多少”；9.4%的学生想到了比分；9.4%的学生在生活中见过本节课中涉及的 “比”。

（2）“不改变图形的形状，在下面方格纸上画出一个放大后的长方形。并写出你的思考过程。”

74.5%的学生能正确画出放大图并说出理由。1.8%的学生能够能正确画出放大图并给出理由与比有关。6.6%的学生能够画出放大图但不明白其中的道理。16.9%的学生不能正确画出放大图。如：

2. 后测分析。

94.1%的学生能正确举例说一说什么是比。

94.1%的学生能用 “比” 的知识解释不改变形状放大图形的道理。如：

基于课前调研和后测分析，我们对学生的学习理解情况在学前、学后有了比较清楚的了解，这对如何设计出适合学生学习、促进学生学习理解的学习方式有了很大的帮助。

我的思考：

通过前测，我们发现学生在生活中对于相差关系的比有较多的经验，也有一些基于比分和本节课涉及的比的经验，对于本节课的 “比”，学生仅仅是举出例子，并没有更多了解，对于比的概念是比较模糊的一种感知。同时还发现如果让孩子把一个长方形在不改变图形形状的情况下把它放大，大部分孩子还是可以成功完成这一任务的，他们是把长方形的长和宽同时扩大相同的倍数，就可以完成这一任务，学生利用数量间的倍比关系解决问题，但是学生不知道这里边已经用到了比的知识，这是学生靠自己已有的生活经验解决问题的。

通过后测，我们发现学生对比掌握牢固，能用比的知识解释简单的实际问题，落实了学生符号意识的培养。

四、我们的教学思考

在开展课堂教学时，教师有意识地将符号意识渗透进来，让学生经历探索比的意义过程，体会用比表示数量关系的必要性，发展抽象概括能力，从而更好的促进学生学习能力与学科素养的提升。

（一）儿童符号意识发展促进课堂学习质量的提升。

体现 “从具体情境中抽象出数、数量关系及变化规律，能用符号表示出来”，本节课通过 5 张冰墩墩图片的真实情境引入，学生通过数形结合探索长方形之间 “像与不像” 的关系；使用长方形的长和宽这两个特征量来表示 “像与不像” 的规律；初步体会图形的形状可以通过两个可以度量的对应的量进行比较，且只有 “像” 的关系表示的对应量的比是相等的。

体现 “理解符号所代表的数量关系和变化规律”，本节课除了在 “比” 的产生过程体现了 “符号所代表的数量关系与变化规律” 外，在教学 “再设计一个与图 A 像的图形” 这一环节也进一步使学生理解与体会 “符号” 在这里的使用价值与表示的实际意义。

体现 “会进行符号间的转换，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题”，用数学符号表示 “像与不像” 的事物规律，用除式或比表示 “像” 的关系，用数学概念 “比” 概括相关的关系、规律，并引发除法、比、分数的知识之间的关联思考与应用，符号在这个过程中，实现了知识体系内规律的转换，以及用以进行问题解决的方法与程序的适当选择。

（二）以学生自主学习建构为依托设计学习情境与活动。

创设冰墩墩 “像与不像” 主情境，激发学生的探究、讨论，经历探索用长方形的长和宽的相对应量的比表示 “像与不像” 的关系与规律，体验不同类量的比就是两个数相除的关系，促进学生思考解决 “像与不像” 问题的策略方法。

从 “像与不像” 引出 “比”，从同类量的比引出不同类量的比；从除法算式引出比，从除法与比、除法与分数的关系引出关于比的进一步的认知，求比值，解决简单问题。

从感知、理解，到简单应用、解释，把练一练内容融入主情境学习过程，使得思考的维度逐渐深入并有梯度。

强调学生的探索与讨论，凸显学生的自主建构与学习体验、积累学习活动经验、体会数学思想与方法。

课内完成学习任务，实现对学习目标的评价，课后呼应单元整体作业设计。

（教学过程详见视频）

五、我们的探究之路

2 月 7 日前团队完成教学设计一稿并发布论坛。

2 月 23 日，全体数学教师教研活动，于媛老师以无生说课形式讲述团队的思考与研究，老师们提出修改意见：换主情境图是谷爱凌，激发学生向榜样学习，其他教学活动尊重教材的安排。

2 月 28 日第一次研讨课，团队教师和学校骨干教师听课并教研。

3 月 4 日第二次研讨课，改变课本问题串 2 为 “像的图形的长和宽有什么关系？不像的图形的长和宽有什么关系？让我们利用附页中的图 2 一起来研究一下。” 给学生提供脚手架，便于学生发现长和宽是刻画长方形的两个特征量。全体数学教师观看并针对课例具体教学环节进行论坛跟帖研讨。

3 月 7 日、3 月 11 日、3 月 14 日、3 月 16 日、3 月 18 日多次执教与研讨中，主要研讨问题是突破学生对比的意义的理解。多次课堂学习中，学生在研究这些图形的像与不像有什么问题时，出现困难，经过访谈，我们发现学生已有经验能看出图形的像与不像是图形扩大和缩小的原因，但是却想不到去研究长和宽这两个特征量是决定像不像的原因。于是增设问题：像与不像会和图形的什么有关？另外更换主情境图为冬奥会吉祥物冰墩墩。在此期间由于疫情原因，无法聚集，学校全体老师观看课堂学习视频，向团队老师提出研究问题与解决策略，学校骨干教师同课异构，学校全体数学教师在论坛上跟帖研讨，具体教研跟进见新世纪小学数学论坛。

3 月 21 日、3 月 25 日、3 月 28 日、3 月 30 日，经过多次执教研讨课，我们确定了教学环节需要做到的就是两点：一是学生要知道 “关系”，二是学生要认识比。能利用比的知识解决简单的实际问题。我们根据教材略微改动，增设问题，将静态的教材变成动态的探究活动，使学生对比的意义的理解深刻，而且感知符号的简洁之美，促进学生符号意识的培养。增设冬奥小阅读，根绝找到的信息写比，求比值。丰富学生对比的例证，体会比在生活中的广泛应用。延伸至课后作业，通过实践活动感知比的奥秘，加深对符号的理解。

整个研讨活动，我们进行了多次关于研讨课的研讨，每一次都为本节课目标落实增光添彩，巧用教材，夯实学生对比的意义的理解，问题串与课后练习的融合，加强学生对比的感知，学生知道比来源于生活，也能利用比的知识解决生活中的实际问题。所有的教学设计直指本课学习目标，也指向新时代双减背景下的素质教育。

六、研讨过程中的问题与研究

研讨问题 1，如何将学生的已有经验转化成数学经验？

我们对本年级随机抽取 100 名学生进行前测发现：少数学生的已有经验是关于本节课的比，但是大多数学生都能将一个图形正确放大，这就为研究冰墩墩 “像不像” 问题提供了已有经验。我们的具体做法如下：

途径一：在经验的唤醒与整理中进行转化

策略 1： 在解决主情境中图形像与不像的问题中，学生能看出来哪些图形与图 A 像，哪些图形与图 A 不像，抓住学生已有经验探究图形像与不像背后所蕴含的数学规律，我设计了如下教学活动：

以冰墩墩为情境引入，激发学生的学习兴趣→问题 1：哪几张图片与图 A 比较像？为学生解决课本问题串二提供脚手架，加入在研究这个问题之前，将静态的教材变成动态的探究活动，插入问题：想一想，你准备怎么研究？四个问题串层层递进，给予学生的学习轨迹，逐步深入感受除法是比的现实来源，感知比的必要性。

策略 2： 在课本第 2 个问题串后加入一个问题 “你能再设计一个和图 A 像的图形吗？并说出这个图形的长和宽分别是多少。” 延续本节课积累的经验，加深体会长和宽是用来刻画长方形的两个特征量。

途径二：在经验的思辨与建立中进行转化

策略 1：联系生活实际，拓展数学经验

在认识比以后，将问题串 4 和练一练第 2 题进行融合，比在我们的生活中很常见，你能联系实际说说生活中有哪些比吗？老师借助课堂生成追问到：10∶2 还可以表示生活中的什么情境？

策略 2：抓住认知冲突，深化数学经验

课堂上，学生在联系实际说说生活中有哪些比时说到比赛中的比，教师抓住这个生成问题，引导学生交流讨论，在讨论中进一步深化对比的意义的认识，有学生立刻提出，比赛中的比和今天的比不一样。

研讨问题 2，如何促进学生符号意识的培养？

在认识比之后，我们充分利用主情境图，让学生将其余四个除法算式用比的形式表示，促进学生对 “：” 这个符号的使用，而且让学生任选其中一个说一说比的各部分名称。让学生找一找生活中的比，还借助课堂生成追问这个比还可以表示生活中的什么情境？促进学生对符号的理解，感受符号来源于生活，而且符号在生活中应用广泛，以便于促进学生符号意识的培养。

研讨问题 3，如何借助认知冲突，制造有利的已有经验？

在多次试讲中发现，学生在研究图形 “像不像” 问题时，想要研究面积，我们鼓励学生大胆尝试，让学生自主探究，产生认知冲突后，发现长和宽是决定图形像不像的原因。

学无止境，研也无止境，截至目前，虽然课例研讨暂时告一段落，但是我们希望研究能一直持续……

最后，衷心感谢新世纪小学数学 “教学设计与课堂展示网络教研” 活动！感谢新世纪教材编委会的各位专家！感谢金水小学数学同仁的互助研讨与共同成长！