邮票的张数

执教教师：曹汇茹

答辩成员：霍丽琴

周雅君

苏 扬

指导教师：屈丽明 内蒙古包头市昆都仑区教育教学研究中心主任

孙乐之 内蒙古包头市昆都仑区教育教学研究中心教研员

【答辩团队风采展示】

【教学内容】

新世纪小学数学（北师大版）五年级下册第 69～70 页。

【教材分析】

从一到六年级纵向来看，第一学段运用加与减的互逆解决如 3+（）=8 的问题，运用乘与除的互逆解决 4 x（）=12 的问题，都是方程的雏形。四年级上册用字母表示运算律的内容也是本课学习的基础。对于式与方程的学习，本套教科书安排了四次。第一次是在四年级下册，学习的主要内容是初步认识方程，会用等式的性质解简单的方程，会列方程解决简单的实际问题。第二次是在本册第五单元 “分数除法” 中，安排了运用方程解决简单的分数问题。第三次是在本单元，其主要学习内容，一是解形如 2x- x =3 的简单方程，二是进一步运用方程解决问题。通过本单元内容的学习，可以进一步加深学生对方程作为一种重要数学思想 a 的理解。第四次是六年级上册，会用方程解决稍复杂的分数、百分数问题。

四则运算仅仅提供一种算法，而方程则比较全面地展示了建模思想 —— 用等号将相互等价的两件事情联系起来，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。方程根本没有经过任何运算，只是阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身，方程只是在说明两件事情是等价的。

比如，小明走了 5 千米，用了 2 时，问速度是多少？

四则运算是：速度＝5÷2，而方程则是：设速度为ェ千米／时，则 2x=5。显然，前者用已知的两个量 —— 路程、时间表示出未知的量 —— 速度，而后者是再现了路程、时间、速度之间的关系。

用数学的符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来，这个是根本，是学生必须真正掌握的东西。体会方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。横向看本单元内部，《邮票的张数》这节课是结合具体情境，注重经历寻找实际问题中数量之间相等关系、列方程求解的过程。《相遇问题》这节课则是对本课知识的运用与提升。

综上所述，本单元的重点为：能正确选择信息列出自己能解得方程，理解并掌握形如 ax±x=b 这样的方程，并会用方程解决简单的实际问题。

【学生分析】

学生经历了前面的学习，已经对方程有了整体的认识和解决实际问题的经验。但是部分同学不能够理解方程的思想，迁移上存在困难。具体为以下几点：

第一想不到把数学问题转化成方程问题来解决。这是由于学生的思维主要是算数思维即运算的每一步都是具体的数值，而缺少代数思维（体现在方程中就是将未知数 x 参与到计算中，将等价的量用不同的代数式表示出来从而建立方程）。因此需要教师要求学生用方程去解决问题。

第二理不清题中的数量关系，尤其是对两个未知量 —— 姐姐的邮票张数和弟弟的邮票张数之间的数量关系理不清，甚至想不到用同一个未知数去表示这两个量。当所求的数较多时，把这些所求的数量用一个或尽量少的未知数表达出来，也是很重要的。设完未知数，就要找等量关系来帮助列出方程。这时需要认真读题，因为许多等量关系是隐藏在字里行间的。中文有很多字、词、句表达相等的意思，如 “相等”“是”“比…… 多………”“比…… 少………”“…… 是…… 的几倍”“… 的总和是……”“…… 与……… 的差是………” 等来表达各种各样的数量关系。根据这些字句的含义，再加上其中的量用未知数表达出来，就能列出方程。此处，教师可以引导学生借助画图来理清题中的数量关系。

第三找不到等量关系。一方面在于经常不把未知数 “x” 当作一个 “数” 来运算；另一方面在于学生不能理解通过 “=” 建立两个 “代数式” 之间的等量关系。学生受算术思维的影响，仍然将 “=” 的右边结果看作是左边算式运算得到的，“=” 表示的是结果，而不能将 “=” 看作是连接左右两边算式的 “桥梁”，不能将 “等式” 看成是一个 “整体”、一个 “结构”。例如，有的学生就很奇怪 “ x +3” 怎么能 “=5” 呢？“ x +3” 算不出来啊。教师此处可以借助情境帮助学生理解未知数和已知数一样可以参与运算，他们是平等的关系。

由此可见，本单元的难点是：理解方程中的等量关系，并写出与对应的方程，能正确解方程。

【学习目标】

1. 通过阅读姐弟邮票张数之间存在倍数关系的信息，分析出姐姐和弟弟邮票张数之间的关系，并通过列举数据引入用字母表示姐弟邮票张数。

2. 能独立找出题中的等量关系并进行完整表示。通过与小组成员交流能发现自己书写存在的不足并能及时修正。能借助已有字母表示的数和等量关系写出与之对应的方程，并能正确求解。

3. 会用方程解决简单的实际问题。

【教学过程】

一、情境导入，引发思考

师：每个人都有自己的爱好，大屏幕中这对小姐弟的爱好就是收集邮票，快让我们一起去看看图中都有哪些数学信息。（出示主题图）

【设计意图】让学生在短时间进入课堂

1. 出示姐弟邮票张数之间倍数信息

谁来读一读大屏幕中的信息？

2. 理解姐弟邮票张数之间倍数关系

师：通过姐姐的邮票张数是弟弟的 3 倍的信息，你都知道了什么？

生：当弟弟有 1 张邮票时，姐姐有 3 张。

师：继续说下去。

生：弟弟的邮票张数变成 2 张时，姐姐有 6 张邮票。当弟弟邮票张数变成 3 张，姐姐的邮票张数变成 9 张。

师；能说完吗？那可怎么办？（用字母）具体说说吧。这个字母真厉害，把我们永远都说不完的事儿一下就说完了。这是之前学过的用字母表示数的知识。今天我们将借助邮票的张数学习用方程解决问题，请看学习任务。（板书课题）

【设计意图】在学生大量举例的基础上，让学生充分感受到姐姐的邮票张数和弟弟的邮票张数是不断变化的两个量，而且不管怎么变，姐姐的邮票张数都是弟弟的 3 倍。为引入字母做铺垫。

二、小组合作，寻找等量关系

1. 先独立找出等量关系并进行表示。

师：（出示学习要求）这是学习要求，谁来读一读？请你来读。接下来请同学们按照学习要求，完成学习单第一题。

2. 小组交流

师：请同学们在交流时结合题中条件和所画图进行说明。

【设计意图】让学生在独立思考和生生交流中发现，自己思考问题的不足，并通过小组成员的讲解，做到及时修改。

3. 小组汇报

师：哪一小组愿意到前面汇报你的成果？对于他们的汇报，谁还有补充？

【设计意图】：尽可能多的展示学生的作品，在发现学生画图多样性的同时，加强学生对于题意的理解。

三、列方程解决问题

（1）列方程解方程

师：现在我们有了未知数表示两个变量之间的的关系，还探索出等量关系，你能试着列出方程解决姐姐弟弟各有多少邮票的问题吗？试着完成学习单的第 2 小题，有问题的同学可以举手向老师寻求帮助，也可以向小组成员寻求帮助。

师：谁来说一说你是如何解决呢？书写非常规范，步骤也很完整。掌声送给他。

解：设弟弟有 x 张邮票，则姐姐有 3x 张邮票。

x+3x=180

4x=180

x=45

姐姐邮票张数：45×3=135（张）

师：究竟算的对不对呢？需要验证。我们把结果带到现实情境中去验证。45+135=180（张）=180 张。所以 45 是方程的解。还需要补充完整答语。

（2）小结

师：现在请同学们回忆一下，刚才我们是如何解决姐姐、弟弟各有多少张邮票这个问题的？哦，先找出等量关系，然后借助字母表示数来列方程，最终解方程。这样问题也会得以解决。

四、变式训练

师：那么现在请同学们按照这样的方式，再来解决一个邮票张数有关的问题。请看大屏幕。请同学们按照题目要求，试着用方程解决这个问题。写完的同学小组内订正自己的结果，有问题的可举手示意老师。

学生列出的方程是：

解：设弟弟有 x 张邮票，则姐姐有 3x 张邮票。

3x-x=90

2x=90

x=45

姐姐邮票张数：45×3=135（张）

验证：135-45=90（张）=90（张）所以 45 是方程的解

答：弟弟有 45 张邮票，则姐姐有 135 张邮票。

【设计意图】：检查学生课堂学习效果，他们是否能想到能之和或者之差信息写等量关系，进而求解。如果想不到，就让孩子们在对比中发现这样的优势。

五、课堂小结

师：这节课我们利用列方程的方法解决了姐弟各有多少张邮票的问题。回忆一下，你都学到了什么？说的真好，把本节课的最不好理解的知识用简单、清晰地语言表达出来。老师想问大家一个问题，在什么情况下需要用方程解决实际问题呢？是的，当出现变量。数学中引入字母并不是因为这个量不知道，而是为了更好的研究变量之间的关系。

【教学设计点评】

1. 列方程解答含有两个未知数的问题是学生比较难掌握的教学内容，。曹老师在本节课教学过程中，用简单、有效的方法开展教学活动，从而比较有效地达成三个目标。第一，通过让学生列举姐姐和弟弟分别有多少张邮票的环节，成功将字母表示数引入到课堂中，既复习旧知，又为习学习新知做知识铺垫。

2. 将教材中同时呈现多个解题条件的方式进行微调，使学生在解决问题过程中，不受多个条件的干扰，形成清晰的思维。在学生学会列形如 ax±x=b 的方程与掌握解决这类问题的解决办法之后，曹老师才出示多个条件的练习，遵循了学生的认知规律，有助于学生选择合适信息列出自己能解得方程。

3. 发挥学生主体作用，让学生相互交流自己的解法，在相互倾听中相互纠错，在相互纠错中自我反思与修正，从而有意识培养学生的合作能力与表达能力。

【我对符号意识的理解】

刚拿到这个主题的时候，我想到的符号意识就是字母表示数，那么与用字母表示数有直接关系的就是方程。但是真的选择这一课后，又觉得方程是符号意识的体现吗？进入了看山不是山的阶段，当阅读了史宁中教授《基本运算和基本法则》之后发现方程体现符号意识。那又是如何体现呢？下面说一说我个人的一些认识：

首先关于符号意识。《标准 (2011 年版)》将原来的 “符号感” 改为 “符号意识” 作为义务教育阶段数学十个核心素养之一。《标准 (2011 版)》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律：知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。” 对于五年级的学生而言，他们在理论上已经知道符号不仅能表示数，还能表示变化规律（字母表示数），而且还能在找到等量关系的前提下，利用符号解决有关一个变量的实际问题，即使用符号进行运算。

其次数学符号意识使数学从杂乱、没有清晰条理的句段表达中抽离出来，超越所要表达的事物本身。为此数学才在真正意义上成为一门抽象的学科。作为数学抽象物的一种表现形式，数学符号既是对现实世界中数学关系结构的抽象，也是数学学科内部规律的集中体现。比如一年级的孩子开始认识 0-9 十个数字，没有查阅资料之前，我觉得这是就是一个数数的过程，是一个通过数数认识数的过程。但是在翻阅《基本运算和基本法则》之后发现这也是一种符号意识的体现，是通过对现实生活中数量的抽象、去情境化处理创造一个适合任何情境下的符号。正如一年级教材中呈现的那样，1 既可以表示一个萝卜还可以表示一筐萝卜。对于这节课来说， 3x+x=180 不仅能解决主题图中的问题，也可以解决停车场停放车辆数、出行所走路成的问题等，只要两个变量之间存在 3 倍的关系和之和是 180 关系，就可用这样的方程来解决。所以符号是一种去情境化的抽象表达。

最后是符号意识发展阶段。学生数学符号意识的发展是从简单到复杂，从低级到高级，从具象到抽象，呈现层次性发展的，随着年级的增长学生数学符号意识发展水平逐渐升高。一年级和二年级的特征是数学符号意识具有可感性与具体化，称之为经验观察水平，三年级和四年级的特征是数学符号意识具有深刻性与特殊化，称之为本质内化水平，五年级、六年级和七年级的特征是数学符号意识具有逻辑性与形式化，称之为理性辩证水平。所以对于五年级孩子而言，理论上他们对于用方程解决问题有一定的学习经验，可以将这些经验正向迁移到今天的课堂中来。以上就是我对符号意识的理解与认知。

【思考在延伸】

1. 建立方程的关键是找到相等关系，而这个相等关系应该就是我们说的等量关系。从字面意思理解，所谓等量关系就是等价的数量关系，而等价包含两个方面，一是数量等价，二是意义等价。所以在方程中，等号作为性质符号意在说明等号两边的所讲的是同一个数学故事。就拿我们这道题来说，如果以姐姐弟弟共有 180 张邮票为等量关系建立方程，那么等号两边所讲的数学故事就是姐姐和弟弟邮票张数共有多少张的问题，有了这个理解，学生就不会出现 3x+x=4x 的情况。所以学好方程的关键是理解等号的意义，这里的等号不再是 “得出”，而是一个桥梁。这与学生之前所学的知识形成了强烈的认知冲突，这也是孩子们不喜欢用方程解决问题地原因。

2. 通过试讲我发现学生们的难点在于不知道选择哪条信息列方程。所以老师是按照教材将两条信息同时抛出，让他们自由选择然后对比优化解法？还是从一开始就要对信息的出示顺序进行微处理？如在理解信息时，老师和孩子共同解读第一条信息，由学生自己解读第二条信息。我们团队为了更好突破学生难点，所以采用第二种方式。

【教材图片】