陈昌伦名师工作室熊雨涵
【教案终稿】 一、回忆平面图形面积推导过程
师：以前我们学过哪些平面图形？
生：长方形、正方形、平行四边形……
师：你还记得是如何推导它们面积计算公式的吗？一起回忆一下，没学公式时，长方形的面积是如何推导的？
生：数格子。
师：那平行四边形的面积公式是怎么推导的呢？
生：割补成一个长方形。
师：数方格的方法行吗？平行四边形放在方格纸中，有不满一格的地方，数起来没有长方形那么容易。所以我们采取了割补的方法来推导它的面积计算公式（动画展示），转化后，面积不变，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。
师：我们再来看看，三角形的推导过程（动画展示），也是抓住图形转化前后面积、底、高之间的关系。
师：梯形也一样（动画展示）。
小结：刚才我们用到了三种方法来推导平面图形的面积计算公式。第一种方法（数方格）可以以一个方格的大小为标准，数出平面图形的面积。下面两种方法（拼组、割补）都用了转化的思想，把没学过的图形转化成学过的图形来推导。
设计意图：回忆学过的平面图形面积公式的推导，为学生进行圆面积公式的推导提供思路和方法。
二、探究圆面积的推导方法
师：今天我们学习圆的面积（一）（板书：圆的面积（一）），你们准备用哪种方法得到圆的面积？
生：数方格、拼组、割补。
师：那我们先来看看数方格的方法行不行？
师：请同学们以边长 2 厘米的方格为标准，用数方格的方法得到圆的面积。要求是大于或等于半格的算一格，小于半格的不数。完成题单第一小题图 1。圆的面积是多大呢？
生：48 平方厘米。
师：准确吗？怎么办才能减小误差呢？
生：用更小的格子。
师：我们现在用边长为 1 厘米的方格数出这个圆的面积，请完成题单图 2。
生：圆的面积是 52 平方厘米。
师：哪个更接近圆的面积呢？（第二个）方格越小，就会越接近圆的面积。当方格无限变小，小到一个点的时候就是圆的面积。数方格的方法得到圆的面积数起来很麻烦，还不够准确。
设计意图：用数方格的方法，让学生充分感知以一个方格的大小为标准量去度量还没学过图形的面积的方法，由此来培养学生的量感意识。
师：拼组的方法呢？刚才两个相同的三角形都可以拼成一个平行四边形，就能求出三角形的面积。我这里有两个相同的圆，你能把它转化成学过的图形吗？
生：不行。
师：为什么？滚动演示两个相同的圆不能通过拼组变成学过的图形。
师：看来拼组的方法不能推出圆的面积。那第三种方法 —— 割补行不行呢？谁来说一说怎么剪？（先告诉我第一步怎么剪）
生：先沿着直径剪，将圆平均分成两份。
师：（演示）平均分成两份后不能转化成学过的图形。沿直径剪一次是不行的，你们还有什么想法吗？
生：再沿直径剪一次，把圆平均分成 4 份。
师：（是这样吗？将圆平均分成四份）请大家拿出准备好的圆，像这样剪一剪、拼一拼。看看有什么发现。（独立思考后同桌交流）
师：谁愿意上来分享一下。
（同学黑板展示）
生 1：我觉得转化后的图形像一个正方形，但它比圆多出了中间这一部分，这一部分的面积求不出来。
生 2：我是把它拼成一个类似平行四边形的图形，转化前后图形的面积没变。
师：你们觉得像平行四边形吗？
生：不像。
师：哪里不像呢？
生：平行四边形的边是直的，这个图形有两条边是弯曲的。
师：那你们说一说要怎样做才更像呢？
生：继续分，分成 8 份。
师：（课件展示 8 等分的圆）老师已经分好了，现在看上去怎么样？
生：更像一个平行四边形了。
师：分成 16 份呢？（课件展示）继续分下去呢？（课件展示 32 份、64 份）
生：越来越像一个平行四边形。
师：如果一直分下去呢？
生：最终会变成一个长方形。
师：这里体现了数学中的极限思想。
小结：通过割补，我们把圆转化成了一个近似的平行四边形。
师：我这里有一个圆，谁能来把它转化成一个近似的平行四边形，请上台的同学边操作边解说。
设计意图：学生通过观察教师实物操作以及自己动手操作，发现数格子的方法可以得到圆的面积，但相对来说较为麻烦，且不够准确。拼组的方法不能将圆转化为学过的图形来推导它的面积。割补的方法通过把圆分成 2 份、4 份、8 份…… 一次次的尝试发现，圆分的份数越来越多，转化后的图形越来越接近一个平行四边形。如果一直分下去，会得到一个平行四边形或长方形。这个环节体现出学生数学学习中转化思想、化曲为直的思想以及极限思想。
三、探究圆面积的推导过程
（首学）师： 请同学们独立思考，
1. 图形转化前后什么变了？什么没变？
2. 拼成的近似平行四边形的面积、底、高，与原来的圆之间有什么联系？
（互学）师：请小组交流:
1. 图形转化前后什么变了？什么没变？
2. 拼成的近似平行四边形的面积、底、高，与原来的圆之间有什么联系？
3. 完善自己的题单，组长做好分工。
（群学）师：全班汇报：（学生用展台说）
1. 图形转化前后什么变了？什么没变？
2. 拼成的近似平行四边形的面积、底、高，与原来的圆之间有什么联系？
3. 其他同学认真倾听、质疑或补充。
师：你们可以指着图形，用手比划一下，图形怎么转化的？谁相当于谁吗？（让学生充分讨论近似平行四边形的底、高与圆的联系）
（共学）师：（板书）我们今天运用割补的方法，把圆转化成了一个近似的平行四边形，在转化前后，它们的什么没变呢？（板书）
平行四边形的底相当于 圆周长的一半 ，平行四边形的高相当于 圆的半径 。我们知道平行四边形的面积等于 底乘高 。因为圆的面积相当于平行四边形的面积，也就说圆的面积等于 圆周长的一半乘半径 。因为圆的周长公式是 2πr，圆周长的一半就是 πr，半径用 r 表示，所以圆的面积公式 S 圆 =πr×r，也就是 πr2。我们推出了圆的面积计算公式，我们再来看看（指到圆）圆是一个由曲线围成的平面图形，转化成了由线段围成的平面图形，由曲线变成了直线（摸一摸），这就是 “化曲为直” 的思想。
设计意图：通过四学活动，学生进行圆的面积公式推导。首学中，学生自主思考圆转换成近似的平行四边形后面积是否变化。同时思考近似平行四边形的底、高与圆之间的关系。在互学中，小组交流自己的想法，在交流中完善自己的题单。群学中，小组将组内交流的结果向全班汇报，共同探讨圆与近似平行四边形之间的关系。最后，老师在共学中梳理过程，提炼知识点。四学过程将课堂还给学生，让学生真正成为学习知识的主体。同时在这里再次巩固转化思想和化曲为直的思想。
四、课堂总结
师：刚才我们学了这么多，你学到了什么呢？
生：1. 圆的面积计算公式 πr2。2. 转化的思想。3. 化曲为直的思想。
五、巩固练习
师：那能用刚才推导出来的公式计算下面的例题吗？
六、知识建构
师：其实我们以前推导平行四边形、三角形、梯形面积公式的时候，用到了转化的思想。今天在推导圆的面积时，也用到了转化的思想。今后我们学习圆柱知识的时候，还将用到转化的思想。它们的共同点都用到了转化的思想。
设计意图：将前后知识联系起来，为学生建立知识体系。
板书：
⚪ 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
S = πr × r =πr2
转化 化曲为直
平行四边形的面积 = 底 × 高
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