圆的面积（一）

成都高新区尚阳小学 谭静

一、教学内容 ：北师大六年级上册 14-15 页。

二、教材分析

圆的面积六年级上册第一单元的内容，属于图形与几何中图形的测量这一知识范畴，纵观教材对本部分的编写，三年级下册中《长方形的面积》为学习各种图形的计算奠定基础。五年级上册《多边形的面积》中的各种图形面积的探索又为本课提供了度量面积的方法。本节课的学习势必为发展学生量感思维和空间观念的必需。本单元从认识圆入手，到圆的周长和面积，让学生借鉴在学习圆周长时 “化曲为直” 的经验来探究圆的面积，有利于让学生感悟学习平面图形的规律和方法，同时也渗透了曲线图形与直边图形的内在联系。本课的教学应在引导学生联系已学知识，把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，发展学生 “量感”，培养学生解決问题的综合能力。

三、学情分析

六年级的学生已经知道了直边图形面积的计量方法就是度量，并且能够熟练地运用公式进行计算，积累了一定的度量经验。本单元学习圆的周长时，也对 “化曲为直” 的探究方法有了初步了解，对转化的数学思想方法有一定的基础。但不少学生对平行四边形、三角形和梯形的面积公式的由来 (也就是推导过程) 比较模糊。因此，在教学本课时教师应首先引导学生回顾平行四边形面积公式的推导过程，使学生明确运用了转化的数学思想，从而为本课的学习打下坚实的基础。另外，当学生在探究圆的面积该如何转化时可能会遇到比较大的困难，往往是盲目探究，因此组织学习素材，让学生形成合理猜想，进行有方向的探究是教学中关注的问题。

四、教学目标

1. 联系实际生活情景，认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。

2. 在推导圆面积公式的活动中，进一步体会 “转化” 的数学思想，再次感受 “化曲为直”，渗透 “极限” 思想。

3. 经历估、数、拼、算、用等活动，进一步培养学生的度量意识，提升量感，增强空间观念。

五、教学重难点

教学重点： 经历圆面积计算方法的推导过程，掌握圆面积计算公式。

教学难点： 在探究圆面积计算方法的具体活动中，体会 “化曲为直” 的思想，培养度量意识，提升量感。

六、教法学法

教法： 创设情境、直观演示、启发引导。

学法： 自主探究、动手实践、合作交流。

七、教学准备

教具： 8 等分、16 等分的圆教具，多媒体课件、半径 5 厘米圆片、半径 10 厘米圆片。

学具：学习单、直尺、圆片、透明方格板、剪刀。

八、教学过程：

（一）创设情境，唤醒量感。

师：星期天，淘气请了很多同学来家里做客，妈妈给了他一张 8 寸的披萨券，（1 寸≈2.5 厘米）让它到披萨店换披萨，可是，老板却说 8 寸的披萨已经卖完了，给你换两个 4 寸的吧。一个 8 寸换两个 4 寸，你认为这样换公平吗？同意的公平的同学举手，同意不公平的同学举手。

生 1：公平，因为 4+4=8.

生 2：不公平，因为……

师：有道理，你们都能用数学的眼光来分析问题，很厉害。公平还是不公平，大家给出的理由都是在比较？

生：披萨的面积。

师：如果把披萨抽象成圆，其实就是在比较圆的面积的大小。今天这节课我们就一起来研究圆的面积。（板书课题）

师：什么是圆的面积呢？

生：圆所占平面的大小，叫做圆的面积。

【设计意图：采用贴近生活的情境引入，启发学生结合生活经验将披萨抽象成圆，并以 2 个 4 寸的圆和一个 8 寸的圆的面积作比较，到底谁的面积更大来引发认知冲突，激发学生进一步的探究欲望。】

（二）动手操作，丰富量感

师：圆的面积可以如何得到呢？

生：可以用公式求。

师：这是一个好办法。还有吗？

生：可以把圆对折再对折，剪成很多个小尖角，拼成平行四形来算面积。

师：很有意思，待会操作给大家看一看。

师：请看，老师手里拿了一个数学工具，它对你有什么启发？

生：可以用数格子的方法来求出圆的面积。因为测量不规则图形的时候我们学过，可以用数格子的方法来求，

师：你所说的 “不规则” 是指什么？

生：边是弯的，不能通过直尺测量得到。

师：对啦，弯弯曲曲的边（板书：曲）可以用数格子的方法估测，超过半格？

生：算一格，不到半格就省略。

师：非常棒，看来同学们有很多种方法测量圆的面积， 现在请拿出老师给你们的材料包，也许又能迸发出新的灵感来。拿出任务单，看到任务一，想办法求出一个半径为 5 厘米的圆的面积，你可以在纸上画一画，也可以用圆片剪一剪。

生分享

生：我是用数格子的方法，数出来有 80 格，所以是 80 平方厘米。（板书：数）

师：同样是数格子的方法，这个小组也数出来了，你们的结果是？

生：78 平方厘米？

师：你们认为这两个学具，哪一个测量出的结果更精确呢？

生：小格子的结果更精确。

师：所以你认为，减少误差的关键是？

生：把格子变小。

师：对，格子越小，测量的结果就越精确。

【设计意图：在探讨估测圆面积方法时利用之前的学习经验，运用面积的有限可加性直接度量，突出度量的本质 -- 面积的大小就是看面里面有多少个面积单位。通过估、数、比等一系列对量感知的活动，引发不能精确求出面积的矛盾，引出转化思想。】

师：可是就算格子再小也还是会有误差，这时候我们应该怎么办？
生：想办法转化，化曲为直。

师：我刚刚看到有同学直接用圆的面积公式算出了答案。谁来说一说你是怎么做的？

生：我用 s=πr² 求出面积，5×5×3.14 等于 78.5 平方厘米。（板书：算）

师：你能说说为什么可以用公式这样求吗？

生：……

师：同学们，知道怎么做固然重要，可是知道为什么才是最了不起的。现在我们就一起来推导一下圆的面积公式吧。

生 1：我们把圆平均分成了 8 份，然后这样拼起来，它就有点近似于平行四边形，但是这些边还是弯弯曲曲的，所以我们猜想，分的更多的话，会更接近一些。

师：说的很好，数学就是应该大胆猜想，小心求证，哪个小组来帮他验证？

生 2：我们把圆平均分成了 16 份，然后这样拼起来，更近似于平行四边形了。

师：是这样吗？有没有分的更多的？

生：……

师：同学们伸出手，我们一起来感受一下，分成 8 份后转化图形的边，分成 16 份后转化图形的边，分成 32 份后转化图形的边。你们有没有什么想说的？

生：分的份数越多，这里的这个边就越直，拼成的图形就越接近平行四边形。

师：对呀，现在同学们闭上眼睛想象，继续往下分，分成 64 份、128 份、256 份…… 像这样无限的分下去，会怎样呢？

生：就会直接变成一个平行四边形。

师：（ppt 验证）对呀，这样一直分下去，这个圆弯弯的边就真的变直了，这样的思想在数学中，叫做化曲为直。（板书：化曲为直。）而像这样无限细分的思想，我们把他叫做极限思想。（板书：极限思想）

【设计意图：经历把圆平均分成 8、16、32 份的操作过程，用手书空摸一摸它们的边，感受它们在慢慢变直，想象分的份数越多，拼出来的新图形就越接近平行四边形，这一过程中，学生感受极限思想和转化思想，找到学习的方法，进一步发展空间观念，提升量感。】

（三）建立模型，理解量感

师：你觉得这个方法和前面两种画正方形和数方格的方法相比，最大的不同在哪里？

生：没有误差，将圆的面积完全转化成了平行四边形的面积。

师：对，将圆转化成了平行四边形，面积没有发生变化，请大家仔细找一找图形转化前后的联系，试着找出圆的面积到底应该怎么计算呢。完成任务单第二题。

计时 2 分钟。

（1）独立思考并完成学程单。

①圆转化成了平行四边形，圆与所拼图形之间（ ）变了，（ ）不变。

②平行四边形的底和高与圆有什么关系？

平行四边形的底相当于圆的（ ）；

平行四边形的高相当于圆的（ ）。

③尝试推导出圆的面积公式。

（2）全班分享

生分享：圆转化成了平行四边形，图形的形状变了，面积不变。

平行四边形的底相当于圆周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径。平行四边形的面积是底 × 高，所以圆的面积应该是圆周长的一半 × 半径，也就是 s=πr²。（全程 ppt 动画和板书跟上）

师总结：大家通过一起探索，推导出了圆的面积公式，现在理解起来和你一开始就知道的圆的面积公式有什么不一样呢？

生：……

【设计意图： 通过找对应关系理解化曲为直，通过想象、推理，把圆的面积转化为平行四边形的面积，得到计算公式，建立模型。】

（四）学以致用，解决问题

师：好的，既然理解了，我们就要运用它，回到最初的问题，用数据说话，1 个 8 寸换两个 4 寸披萨划算吗？

生汇报。

（对比算出结果和直接用 π 表示结果的方法，提醒学生可以把 π 放到最后，提高学生的运算能力）

师：8 寸披萨和 4 寸披萨的面积之间有什么大小联系吗？

生：一个 8 寸披萨的面积等于 4 个 4 寸披萨的面积。

师：对呀，本来可以换 4 个披萨的，怎么能只给我换两个呢？看来呀，学习数学真的很有用，我们可以用数学知识识破商家的陷阱，再也不会上当受骗啦。

师：现在我们就要用今天学习的公式解决生活中的数学问题。请看，学以致用：

1. 一个圆的直径是 6 厘米，它的面积是多少平方厘米？

2. 一个钟面分针长 10 厘米，那么分针针尖转动一圈扫过的面积是多少？

3. 如图，一个圆转化成平行四边形后高是 4 厘米，它的面积是多少平方厘米？

生解答。（强调：第一题看清题意，告诉的是直径不是半径。第二题，分针的长度就是圆的半径。第三题，平行四边形的高就是圆的半径。）

师：你们真是太棒了，不但推出了公式，还能用公式解决生活中的数学问题，学以致用，做的很好，给你们点赞。

【设计意图： 尝试感知圆的面积在生活中的应用，利用公式解决本节课的问题。让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。“双减” 要求减少学生作业量，提高作业质量，这里的 4 道练习分别是直接运用公式解决、知道直径解决、将生活问题抽象成数学问题解决和找到变形后的对应关系解决问题，一层一层拔高梯度，加深学生对面积公式的理解，提高作业质量。】

（五）课堂总结，升华主题

师：同学们，美好的时光总是很短暂，这节课就在不经意之间过去了。你能说说你的收获吗？

生 1：我知道了圆的面积求法是 s=πr²。

生 2：我学会了用 “转化” 和 “极限” 思想解决数学问题。

师：同学们，无论是学习的直边图形，还是今天学习的圆，都可以通过度量的方法得到他们面积的大小。只不过直边图形都可以直接度量知道面积的准确大小，而圆必须通过极限思想和化曲为直的方法，将它转化成我们学过的直边图形来计算。直边图形有很多，圆只能转化成平行四边形吗？

生：不是的。

师：还能转化成什么图形呢？

生：三角形、梯形……

师：有待聪明的你们下节课跟我一起来探索了。

【设计意图： 回顾梳理解决问题的全过程，既要进行知识的回顾，也要进行学习方法的总结，突出度量的本质。追问还有没有其他转化方法，为后续学习留下端口】

板书设计：