圆的面积（一） 二稿设计

一、教学内容 ：北师大六年级上册 14-15 页。

二、教材分析

圆的面积六年级上册第一单元的内容，属于图形与几何中图形的测量这一知识范畴，纵观教材对本部分的编写，三年级下册中《长方形的面积》为学习各种图形的计算奠定基础。五年级上册《多边形的面积》中的各种图形面积的探索又为本课提供了度量面积的方法。本节课的学习势必为发展学生量感思维和空间观念的必需。本单元从认识圆入手，到圆的周长和面积，让学生借鉴在学习圆周长时 “化曲为直” 的经验来探究圆的面积，有利于让学生感悟学习平面图形的规律和方法，同时也渗透了曲线图形与直边图形的内在联系。本课的教学应在引导学生联系已学知识，把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从而完成对新知的建构过程，建立数学模型，发展学生 “量感”，培养学生解決问题的综合能力。

三、学情分析

六年级的学生已经知道了直边图形面积的计量方法就是度量，并且能够熟练地运用公式进行计算，积累了一定的度量经验。本单元学习圆的周长时，也对 “化曲为直” 的探究方法有了初步了解，对转化的数学思想方法有一定的基础。但不少学生对平行四边形、三角形和梯形的面积公式的由来 (也就是推导过程) 比较模糊。因此，在教学本课时教师应首先引导学生回顾平行四边形面积公式的推导过程，使学生明确运用了转化的数学思想，从而为本课的学习打下坚实的基础。另外，当学生在探究圆的面积该如何转化时可能会遇到比较大的困难，往往是盲目探究，因此组织学习素材，让学生形成合理猜想，进行有方向的探究是教学中关注的问题。

四、教学目标

1. 联系实际生活情景，认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。

2. 在推导圆面积公式的活动中，进一步体会 “转化” 的数学思想，再次感受 “化曲为直”，渗透 “极限” 思想。

3. 经历估、数、拼、算、用等活动，进一步培养学生的度量意识，

提升量感，增强空间观念。

五、教学重难点

教学重点： 经历圆面积计算方法的推导过程，掌握圆面积计算公式。

教学难点： 在探究圆面积计算方法的具体活动中，体会 “化曲为直” 的思想，培养度量意识，提升量感。

六、教法学法

教法： 创设情境、直观演示、启发引导。

学法： 自主探究、动手实践、合作交流。

七、教学准备

教具： 8 等分、16 等分的圆教具，多媒体课件。

学具：学习单、直尺、圆片、透明方格板、剪刀。

八、教学过程：

（一）创设情境，唤醒量感。

师：星期天，淘气请了很多同学来家里做客，妈妈给了他一张 12 寸的披萨券，让它到披萨店换披萨，可是，老板却说 12 寸的披萨卖完了，给你换两个 6 寸的吧。一个 12 寸换两个 6 寸，你认为这样换公平吗？

生 1：不公平，因为……

生 1：不公平，因为……

生 1：不公平，因为……

师：有道理，你们都能用数学的眼光来分析问题，很厉害。都说不划算，大家给出的理由都是在比较？

生：披萨的面积。

师：如果把披萨抽象成一个圆，其实就是在比较圆的面积的大小。今天这节课我们就一起来研究圆的面积。（板书课题）

师：什么是圆的面积呢？

生：圆所占平面的大小，叫做圆的面积。

【设计意图：采用贴近生活的情境引入，启发学生结合生活经验将披萨抽象成圆，并以 2 个 6 寸的圆和一个 12 寸的圆的面积作比较，到底谁的面积更大来引发认知冲突，激发学生进一步的探究欲望。】

（二）动手操作，丰富量感

师：圆的面积可以如何得到呢？

生：可以用公式求。

师：这是一个好办法。还有吗？

生：可以把圆对折再对折，剪成很多个小尖角，拼成平行四形来算面积。

师：很有意思，待会操作给大家看一看。

师：请看，老师手里拿了一个数学工具，它对你有什么启发？

生：可以用数格子的方法来求出圆的面积。

师：对啦，马上回忆起了五年级学习不规则图形的测量办法。超过半格？

生：超过半格算一格，不到半格就省略。

师：非常棒，看来同学们有很多种方法测量圆的面积， 现在请拿出老师给你们的材料包，也许又能迸发出新的灵感来。拿出任务单，看到任务一，想办法求出一个半径为 5 厘米的圆的面积，你可以再纸上画一画，也可以用圆片剪一剪。

生分享

生 1：我是在圆的外面画了一个正方形，然后在正方形里面，减去四个角。算出圆的面积是……

师：他的这种方法算出来的面积和实际圆的面积相比？

生：要大一些。

师：通过这样的办法我们可以估出圆面积的范围来。（板书：估）

生 2：我是用数格子的 方法，数出来有 80 格，所以是 80 平方厘米。（板书：数）

师：同样是数格子的方法，这个小组也数出来了，你们的结果是？

生：78 平方厘米？

师：你们认为这两个学具，哪个更好呢？

生：小格子的更好。

师：好在哪里呢？

生：小格子的误差更小。

师：看来，减少误差的关键是？

生：把格子变小。

师：对，格子越小，测量的结果就越精确。

【设计意图：在探讨估测圆面积方法时利用之前的学习经验，运用面积的有限可加性直接度量，突出度量的本质 -- 面积的大小就是看面里面有多少个面积单位。通过估、数、比等一系列对量感知的活动，引发不能精确求出面积的矛盾，引出转化思想。】

师：可是就算格子再小也还是会有误差，这时候我们应该怎么办？
生：想办法转化，化曲为直。

师：哪个小组有更好的办法？

生 3：我们把圆平均分成了 8 份，然后这样拼起来，它就有点近似于平行四边形，但是这些边还是弯弯曲曲的，所以我们猜想，分的更多的话，会更接近一些。

师：说的很好，数学就是应该大胆猜想，小心求证，哪个小组来帮他验证？

生 4：我们把圆平均分成了 16 份，然后这样拼起来，更近似于平行四边形了。

师：是这样吗？有没有分的更多的？

生：……

师：对呀，分的份数越多，这里的这个边就越直，拼成的图形就越接近平行四边形。这就是我们数学中化曲为直的思想。（板书：化曲为直）现在同学们闭上眼睛想象，继续往下分，分成 64 份、128 份、256 份…… 像这样无限的分下去，会怎样呢？

生：就会直接变成一个平行四边形。

师：ppt 验证，通过无限细分，最终化曲为直。像这样无限细分的思想，我们把他叫做极限思想。（板书：极限思想）

【设计意图：经历把圆平均分成 8、16、32 份的操作过程，想象分的份数越多，拼出来的新图形就越接近平行四边形，这一过程中，学生感受极限思想和转化思想，找到学习的方法，进一步发展空间观念，提升量感。】

（三）建立模型，理解量感

师：你觉得这个方法和前面两种画正方形和数方格的方法相比，最大的不同在哪里？

生：没有误差，将圆的面积完全转化成了平行四边形的面积。

师：对，将圆转化成了平行四边形，面积没有发生变化，请大家仔细找一找图形转化前后的联系，试着找出圆的面积到底应该怎么计算呢。完成任务单第二题。

计时 2 分钟。

生分享：平行四边形的底就是圆周长的一半，平行四边形的高就是圆的半径。平行四边形的面积是底 × 高，所以圆的面积应该是圆周长的一半 × 半径，也就是 s=πr²。

【设计意图： 通过找对应关系理解化曲为直，通过想象、推理，把圆的面积转化为平行四边形的面积，得到计算公式，建立模型。】

（四）学以致用，解决问题

师：真不错，现在我们推导出了圆的面积公式，能不能用公式来解决生活中的问题呢，回答最初的问题，请同学们用数据说话，12 寸的披萨兑换 2 格 6 寸披萨，到底划算吗？

生汇报。

生：12 寸披萨的面积是 15×15×3.14=706.5 平方厘米。6 寸披萨的面积是 7.5×7.5×3.14=176.625 平方厘米。

师：12 寸披萨和 6 寸披萨的面积之间有什么大小联系吗？

生：12 寸披萨的面积等于 4 个 6 寸的面积。

师：对呀，本来可以换 4 个披萨的，怎么能只给我换两个呢？看来呀，学习数学真的很有用，我们可以用数学知识识破商家的陷阱，再也不会上当受骗啦。

师：我们既然已经知道了圆的面积计算公式，你认为给你什么数学信息，你就能求面积？

生：半径。

师：只是半径吗？直径可不可以呢？（出示习题二）

一个圆的直径是 6 厘米，它的面积是多少平方厘米？

生分享。

6÷2=3（厘米）

3×3×3.14=28.26（平方厘米）

师：做的真棒！看来你们都已经能够用圆的面积计算公式解决生活中的数学问题了。

【设计意图： 尝试感知圆的面积在生活中的应用，利用公式解决本节课的问题。让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。】

（五）课堂总结，升华主题

师：同学们，美好的时光总是很短暂，这节课就在不经意之间过去了。你能说说你的收获吗？

生 1：我知道了圆的面积求法是 s=πr²。

生 2：我学会了用 “转化” 和 “极限” 思想解决数学问题。

师：同学们，无论时以前学过的直边图形，还是圆，都是可以通过度量得到他们面积的大小。回顾我们这节课的探索过程，我们可以用画外接正方形的方式估出圆的面积范围，也可以用数格子的方式测量的更精确，最后发现通过化曲为直和极限思想，将它转化成我们学过的直边图形来计算。直边图形有很多，圆只能转化成平行四边形吗？

生：不是的。

师：还能怎么转化呢？就有待聪明的你们下节课继续探究了。

【设计意图： 回顾梳理解决问题的全过程，既要进行知识的回顾，也要进行学习方法的总结，点明全课的主题。追问还有没有其他转化方法，为后续学习留下端口】

板书设计：