【教案终稿】

圆的面积 (一)

教学内容：

北师大版小学六年级数学上册第 14—15 页内容。

教材分析：

圆的面积属于圆的度量范畴，对于圆的面积教材分两节呈现。圆的面积（一）是利用已有研究图形的经验，探索圆的面积公式，圆的面积（二）是运用圆的面积公式解决实际问题。由于以前学生所学的平面图形都是些由线段组成图形（如三角形、长方形、平行四边形等），而计算像圆这样的曲线图形的面积，学生还是第一次遇到，所以曲边图形面积的探究具有一定的难度和挑战性。

学情分析：

六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。学生会想到用方格度量圆的面积，个别学生会想到用切割转化。

教学目标：

1. 结合实例认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 在探究圆的面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 和 “转化”“极限” 的数学思想。

3. 在估计、操作与实践活动中，培养学生迁移类推的能力。

教学重点：经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

教学难点：理解圆的面积计算公式推导过程。

学具：

多媒体课件、圆片、方格纸、磁力片等。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

同学们你们知道我们实验小学的校徽是什么形状的吗？你在哪里见过？校徽就在你们的身上，校徽的轮廓是什么形状？你觉得这个圆有多大？试着估一估！

引导学生明白求校徽徽章面的大小就是求圆的面积。

这节课我们就来探究圆的面积。（板书课题：圆的面积（一））

【设计意图：本环节采用生活情境引入，激发学生的学习兴趣，通过问题引领，初步感知圆面积的大小，进而启发学生进一步探索的欲望。】

二、回顾旧知，寻找方法

1. 根据以往的学习经验，你能想出什么方法求圆的面积？

预设生：1. 估一估的方法

(1) 圆内外画正多边形

（2）数方格

2. 转化的方法

转化成学过的图形

三、动手操作，探索新知

1. 圆内外画正多边形

①在圆内外画正方形，用正方形的面积表示圆的面积。

②在圆里画其它正多边形。

总结：如果正多边形的边数越多，那么得到的值会更接近圆的面积。但是我们这种办法只能得到圆面积的近似值，并不是圆的真正面积。而且正多边形边数越多，其面积算起来也麻烦。

2. 数方格

利用方格纸测量

回顾我们在探索长方形、平行四边形时，首先通过什么方法得到它们的面积的？（课件出示教材图）

数方格的方法这么好，为什么到圆这里就不行了呢？

总结：长方形、平行四边形都是由直线围成的平面图形，而圆是由曲线围成的平面图形。

同学们能借助以前的学习经验来探索圆的面积，很棒！但不管是画正多边形还是数方格的方法都只能是无限的接近圆的面积。还有没有其他的方法呢？

3. 转化成学过的图形

在探究之前，先回忆一下之前学过哪些图形的面积计算公式？它们分别是怎样推导出来的？（学生回答，课件演示）你准备把圆转化成什么图形？（通过预习单，有 80%的学生想把圆转化成平行四边形来研究它的面积）

（1）合作探究

下面请同学们四人一组，拿出课前准备的学具拼一拼，观察、讨论并完成学习单。

①圆转化成了 ( ) 图形。

②圆与所拼图形之间 ( ) 变了，( ) 不变。

③转化后的图形与圆有什么关系？

转化后图形的 ( ) 相当于圆的（ ）；（ ）相当于圆的（ ）。

④尝试推导出圆的面积公式。

（2）小组汇报，全班交流

①上前展示

②教师多媒体演示等分。

③引发思考

请观察整理后的图形，你有什么新的发现？

小结：平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形。（课件出示圆与近似平行四边形之间联系图，平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形。边就越直，这就叫 “化曲为直”）

【设计意图：本环节以学生为主体，让学生带着问题，通过动手操作进行圆的面积探究学习。经历把圆分成 8 份，16 分，32 分…… 同时结合实物模型的形式使比较抽象的知识更加直观化，让学生直观地看到圆的面积转化为平行四边形面积的过程，更直观地提升学生对转化思维的感悟，并再次感受极限思想，发展学生 “量感”。】

四、找出联系，推导公式

请大家仔细观察拼成的近似平行四边形，想一想它与剪之前的圆之间有什么联系？

1. 自主研究

让学生在学习单上研究。

2. 交流汇报

课件出示圆的面积公式推导图。

板书：平行四边形的面积 =  底   ×    高

↓              ↓        ↓

圆的面积 = 圆周长的一半 ×  半径

 3. 归纳公式

S=πr×r

圆的面积公式：S=πr²      

五 、解决问题，运用公式

现在我们来算算校徽的面积到底有多大呢？

问题：校徽徽章的直径为 6 厘米，那么它的面积是多大呢？

r=6÷2=3cm

S=πr² =3.14×3²=28.26cm²

【设计意图：学生已经掌握了圆面积的计算公式，可大胆放手让学生尝试解答课堂前的问题，首尾呼应。促进了理论与实践的结合，培养了学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。】

六、回顾梳理，总结提高

通过本节课的学习，你有什么收获？

【设计意图】探究之后，教师引领学生回顾解决问题的过程并梳理解决问题的方法，这使学生能领悟到探究圆面积的方法，并用这种方法解决问题，这才是学生能带的走的学习能力。

七、拓展延伸

把一个圆分成若干等份后，不仅可以拼出平行四边形还可以拼成其它图形，试着利用本节课的学习经验，继续推导圆的面积式。

板书设计：

圆的面积（一）

平行四边形的面积 = 底  ×  高

↓             ↓     ↓

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

S=πr×r

圆的面积公式：S=πr²     

【团队磨课图片】

【 二稿反思 】

六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。本节课我从学生熟知的事物入手，以同学们知道我们实验小学的校徽是什么形状吗？ 导入本节课的教学，引导学生明白求校徽面的大小就是求圆的面积。

在学习过程中，先呈现两种思路。第一种是在圆内外画正方形，用里面的正方形表示圆的面积可以吗？学生回答：小了。那用圆外面的正方形表示正方形的面积呢？又大了。看来不能用正方形的面积精确表示圆的面积。那如果把正方形换成正八边形呢？误差就小了。接着让学生回忆在学习长方形、平行四边形，在不知道公式的时候我们是如何得到它们的面积的？引导学生能不能用方格来数出圆的面积？让学生回归度量的本质，借助数方格的方法数出圆的面积，在操作中体会圆的面积就是所包含的面积单位的个数，也是一个面积量感建立的过程。通过动手数，学生发现不能精确的数出圆的面积。这是第二种思路：用方格纸度量。那还有什么方法呢？转化，转化成我们学过的图形。我让学生以小组为单位讨论怎么动手，并动手操作，在分析推导的过程中，引导学生仔细观察拼成的图形，提出问题：我们把圆转化成学过的平行四边形，形状变了，什么没有变呢？（面积不变）平行四边形的面积怎么求？这里的底和高又相当于圆的什么？

在操作活动中，学生始终参与到如何把圆转化为平行四边形的探索活动中，思维的能动性和创造性通过观察、操作、交流等多种形式的活动，逐步理解圆的面积的实际含义，获得更多、更直观的有关经验，建立起圆的面积的概念，形成初步的空间观念。

【教案二稿设计】

圆的面积 (一)

教学内容：

北师大版小学六年级数学上册第 14—15 页内容。

教材分析：

圆的面积属于圆的度量范畴，教材对于圆的面积教材分两节呈现。圆的面积（一）是利用已有研究图形的经验，探索圆的面积公式，圆的面积（二）是运用圆的面积公式解决实际问题。 由于以前学生所学的平面图形都是些由线段组成图形（如三角形、长方形、平行四边形等），而计算像圆这样的曲线图形的面积，学生还是第一次遇到，所以 曲边图形面积的探究 具有一定的难度和挑战性。

学情分析：

六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。学生会想到用方格度量圆的面积，个别学生会想到用切割转化。

教学目标：

1. 结合实例认识圆的面积，经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 在探究圆的面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 和 “转化”“极限” 的数学思想。

3. 在估计、操作与实践活动中， 培养学生迁移类推的能力。

教学重点：经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

教学难点： 理解 圆的面积计算公式推导过程。

学具：

多媒体课件、 圆片等

教学过程：

一、创设情境，提出问题

同学们知道我们实验小学的校徽是什么形状吗？ 那你知道它的大小吗？谁来估一估？

引导学生明白求校徽面的大小就是求圆的面积。

这节课我们就来探究圆的面积。（板书课题：圆的面积（一））

【设计意图：本环节采用生活情境引入，激发学生的学习兴趣，通过问题引领，初步感知圆面积的大小，进而启发学生进一步探索的欲望。】

二、 回顾旧知 ，寻找方法

根据以往的学习经验，有哪些方法可以帮助我们得到圆的面积？

预设生：(1) 圆内外画正多边形

（2） 方格度量

（3） 转化成学过的图形

（4）公式计算

三、动手操作， 探索新知

1、 圆内外画正多边形

①在圆里画一个最大的正方形，算出正方形的面积。

②在圆里画其它正多边形

总结：如果画更多正多边形，那么得到的值会更接近圆的面积。但是我们这种办法只能得到圆面积的近似值，并不是圆的真正面积。而且正多边形边数越多，其面积算起来也麻烦。

2、 方格度量

①圆中画方格

②利用方格纸测量

总结：每个方格面积越小，圆的面积就越精确。

同学们能借助以前的学习经验来探索圆的面积，很棒！但不管是画正多边形还是数方格的方法都只能是无限的接近圆的面积。还有没有其他的方法呢？

3、转化成学过的图形

在探究之前，先回忆一下之前学过哪些图形的面积计算公式？它们分别是怎样推导出来的？（学生回答，课件演示）

（1） 合作探究

下面请同学们四人一组，拿出课前准备的学具拼一拼，观察、讨论并完成学习单。

① 你打算将圆平均分成（ ）份。

② 你准备把圆转化成（ ）图形。

③ 圆与所拼图形之间 ( ) 变了，( ) 不变。

④ 转化后图形的（ ）相当于圆的（ ）；（ ）相当于圆的（ ）。

（2）小组汇报，全班交流

① 上前展示

② 教师多媒体演示等分。

③ 引发思考

请观察整理后的图形，你有什么新的发现？

小结：平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形。（课件出示圆与近似平行四边形之间联系图，平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形。边就越直，这就叫 “化曲为直”）

【设计意图：本环节以学生为主体，让学生带着问题，通过动手操作进行圆的面积探究学习。经历把圆分成 8 份，16 分，32 分…… 同时结合实物模型的形式使比较抽象的知识更加直观化，让学生直观地看到圆的面积转化为平行四边形面积的过程，更直观地提升学生对转化思维的感悟，并再次感受极限思想，发展学生 “量感”。】

四、找出联系，推导公式

请大家仔细观察拼成的近似平行四边形，想一想它与剪之前的圆之间有什么联系？

1. 自主研究

让学生在学习单上研究。

2. 交流汇报

课件出示圆的面积公式推导图。

板书：平行四边形的面积 = 底 × 高

↓ ↓ ↓ ↓

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

3. 归纳公式

S=πr×r

圆的面积公式：S=πr²

五 、解决问题，运用公式

现在我们来算算校徽 的面积到底有多大呢？

问题：校徽 的 直径为 24 厘米，那么它的面积是多大呢？

r=24÷2=12cm

S=πr² =3.14×12²=452.16cm²

【设计意图：学生已经掌握了圆面积的计算公式，可大胆放手让学生尝试解答课堂前的问题，首尾呼应。促进了理论与实践的结合，培养了学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。】

六、回顾梳理，总结提高

通过本节课的学习，你有什么收获？

【设计意图】探究之后，教师引领学生回顾解决问题的过程并梳理解决问题的方法，这使学生能 领悟到探究圆面积的方法，并用这种方法解决问题，这才是学生能带的走的学习能力。

七、拓展延伸

把一个圆分成若干等份后，还可以拼成其它图形，试着利用本节课的学习经验，推导一下圆的面积公式。

板书设计：

圆的面积（一）

平行四边形的面积 = 底 × 高

↓ ↓ ↓

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

S=πr×r

圆的面积公式：S=πr²

【教案一稿反思】

本节课由小山羊和小白兔耕地的故事来导入，激发学生的学习兴趣，通过比较长方形和圆形的大小，引导学生知道求圆的大小实际上就是求圆的面积，从而导出课题。

紧着建立圆的面积含义，出示圆形卡片，提问：什么是圆的面积？圆和我们之前学过的图形有什么区别？根据学生已有的学习经验，我引导学生回忆学过图形的面积公式，并结合回忆上学期探究平行四边形、三角形、梯形面积的探究方法，学生自由回答，化圆为方，数方格，分割转化。通过动手操作知道 “转化” 是解决数学问题的好方法，为下面探究圆的面积计算的方法奠定基础。这部分学生在口述过程中对推导的过程说得不是十分到位，我用课件演示，给学生视觉的刺激，调动了学生原有的知识经验，为新知的 “再创造” 做好准备。

接着问学生怎么研究圆的面积？先想一想再动手操作，在动手操中学生拿出一个圆形卡片，将其平均分成若干份，然后进行摆拼，拼成平行四边形。在剪拼的过程中虽然慢，但给学生留够了充足的学习空间。拼好后观察对比就会发现，如果把一个圆平均分成的份数越多，拼好的这个图形也就越接近平行四边形。这个环节的设计也让极限思想得到渗透。再通过观察、比较、分析，发现圆的面积、周长、半径和拼成的近似平行四边形面积、底、高之间的关系，让学生推导出圆的面积计算公式。这样由扶到放，由现象到本质地引导，又使学生始终参与到如何把圆转化为平行四边形的探索活动中来。思维的能动性和创造性得到充分激发，探索能力、分析问题和解决同题的能力得到了提高。

本节课的教学中始终将以生为本的理念贯穿始终，通过估一估、数一数、算一算等活动，让学生从不同的维度去理解圆的面积意义，推导出圆面积的计算公式，让学生的多种感官参与，激活学生原有的知识经验，让学生学会利用公式计算量的大小， 促使学生的量感持续生长。

【教案一稿设计】

圆的面积 (一)

教学内容：

北师大版小学六年级数学上册第 14—15 页内容。

教材分析：

圆的面积属于圆的度量范畴，教材对于圆的面积教材分两节呈现。圆的面积（一）是利用已有研究图形的经验，探索圆的面积公式，圆的面积（二）是运用圆的面积公式解决实际问题。 由于以前学生所学的平面图形都是些由线段组成图形（如三角形、长方形、平行四边形等），而计算像圆这样的曲线图形的面积，学生还是第一次遇到，所以 曲边图形面积的探究 具有一定的难度和挑战性。

学情分析：

六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。学生会想到用方格度量圆的面积，个别学生会想到用切割转化。

教学目标：

1. 结合实例认识圆的面积，经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2. 在探究圆的面积公式的活动中，体会 “化曲为直” 和 “转化”“极限” 的数学思想。

3. 在估计、操作与实践活动中， 培养学生迁移类推的能力。

教学重点：经历圆的面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

教学难点： 理解 圆的面积计算公式推导过程。

学具：

多媒体课件、 圆片、剪刀等。

教学过程：

一、创设情境，提出问题

小白兔和小山羊在山坡上各开垦了一块地，小白兔开垦的地是圆形的，而小山羊开垦的地是长方形的。它们都以为自己很能干，都说自己开垦的土地面积大，可是又说不出什么理由来。那么，究竟哪块地的面积大呢？你怎样想？（多媒体出示长方形和圆形土地图片）

引导学生回答：长方形的面积我们都知道用长乘宽就可以求出，那圆的面积该怎么求呢？

这节课我们就一起来探究圆的面积，并解决这个问题。（板书课题：圆的面积（一））

二、明确问题，寻找方法

1. 建立圆的面积含义

出示圆形卡片，提问：什么是圆的面积？

2. 联系旧知， 寻找联系

课件出示以前学过的一些平面图形和圆。

提问：这些图形和圆形有什么区别？

预设生：这些平面图形都是由线段组合成的，而圆是由曲线围成的平面图形。

提问：请大家回忆一下平行四边形、三角形、梯形的面积公式是如何推导的？（学生回答，课件演示。）

3. 探寻方法

同学们想怎么研究圆的面积？先想一想，再用你手中的圆试一试吧 。学生动手操作 ，教师巡视指导。

(1) 数方格。

(2) 对折， 多次对折后是类似的三角形。

(3) 无限分割 ，化曲为直 。

三、动手操作，尝试转化

1．动手操作

课件出示活动要求 ：

（1）选一 选。下面三种材料，每个小组选择一种 。

（2）拼一拼。将等分后的圆拼成一个我们学过的平面图形 。

（3）说一说 。将大家的思考在组内交流，共同商讨完成。

请小组长作为代表领取 8 等分 、16 等分 、32 等分。其中一种，组内同学共同商讨 ，完成后在小组内交流，并准备汇报。

学生选择不同的材料进行活动，教师巡视指导 。

2. 展示交流

(1) 有序排列

请学生展示不同的转化后的图形。

（2）教师多媒体演示 64 等分。

（3）引发思考

请观察整理后的几种图形 ，你有什么新的发现？

小结：平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形。 （课件出示圆与近似平行四边形之间联系图，平均分成的份数越多，拼成的图形就越接近平行四边形。边就越直，这就叫 “化曲为直”

3. 建立联系

观察这组近似的平行四边形，和圆比较一下，它们有什么联系？

四、找出联系，推导公式

请大家仔细观察拼成的近似平行四边形，想一想它与剪之前的圆之间有什么联系？同学们可以组内讨论后，汇报你的发现。 引导学生回答。

1. 自主研究

让学生在学习单上研究。

2. 交流汇报

课件出示圆的面积公式推导图。

板书：平行四边形的面积 = 底 × 高

↓ ↓ ↓

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

3. 归纳公式

S=πr×r

圆的面积公式：S=πr²

五 、解决问题，运用公式

小白兔和小山羊各开垦了一块地，究竟哪块地的面积大呢？

（多媒体出示长方形和圆形土地图片）

六、回顾梳理，总结提高

通过本节课的学习，你有什么收获？

【设计意图】探究之后，教师引领学生回顾解决问题的过程并梳理解决问题的方法，这使学生能 领悟到探究圆面积的方法，并用这种方法解决问题，这才是学生能带的走的学习能力。

七、拓展延伸

1. 数学文化

课件演示圆的面积相关数学史 。

2. 探究延伸

有学生把 16 等分的圆拼成近似的梯形和近似的大三角形，同学们可以带着这个问题回去继续研究圆的面积计算公式的推导 。

板书设计：

圆的面积（一）

平行四边形的面积 = 底 × 高

↓ ↓ ↓

圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径

S=πr×r

圆的面积公式：S=πr²

【选题思考】

圆是我们小学阶段所学的平面图形中，唯一的一个曲线图形。学生从学习直线图形到曲线图形的认识，不论是学习内容的本身，还是研究问题的方法，都有所变化，是学习上的一次飞跃。圆的面积是在学生了解和掌握了圆的特征、学会圆周长的计算以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，具有一定的难度和挑战性。但是从学生思维特点的角度看，六年级学生以抽象思维为主，已具有一定的逻辑思维能力以及初步的归纳、类比、推理的数学经验，并具有了转化的数学思想。圆面积的学习也为后续学习圆柱的表面积和体积、圆锥的体积奠定基础。

【活动主题解读】

“量感” 指的是学生通过视觉或触觉等感官对物体的大小、多少、长短、轻重、厚薄等量态的感性认识，是对量的一种直觉和敏感性，是在实际情境中主动、自觉地理解并运用量的态度与意识。“量感” 对于数学学习来说有着非常重要的作用。作为教师，要着重培养学生的 “量感”，引导学生对生活进行仔细观察，通过对物体的不断探索，提高学生的 “量感”。在设计与 “量 感” 有关的教学活动时，要为学生创设与生活相关的情景，让学生在活动中体会数学。教学中，教师把学生作为教学的主体，让学生从被动接受知识到主动探索知识，充分激发了学生的主观能动性，锻炼学生的能力，培养学生的数学学习兴趣，学生在活动中利用自己各方面的感官建立数学量感。

本节课是学生第一次接触曲线图形的面积，本节课让学生经历圆的面积公式推导过程，在操作与想象中逐步培养学生量感，这对于学生空间观念的形成也具有重要价值。

【教材图片】