学生告诉我们 “分数” 应该教什么？

湖北省潜江市熊口小学 何雄燕

2010 年以来，我们对《折纸（异分母分数加减法）》进行了 5—6 次的研讨，但每一次的感觉都不是很好。总感觉教材情境 + 过于直观化，学生可以不加思考就能看出结果，对异分母分数加减法为什么要通分体验不够，学生作业中的错误充分说明了这一点。这学期轮到我来教学这个内容，我直接从 + 开始教学，希望能看到学生异分母分数加减法的思维过程。

教学中我是这样进行的：

1、出示情境。情境只是在原来的基础上，把 改成了 。同学们在手工课上折纸，小红用了一张纸的 折一只小船，小明用同一张纸的 折一只小鸟，他俩一共用了这张纸的几分之几？

2、学生理解题意后，通过操作让学生明白一共占这张纸的几分之几？就是需要把这张纸的 和 合起来，可以用加法来表示，这和整数、小数加法一样。然后出现加法算式。

这张纸的这张纸的 和 合起来等于这张纸的几分之几呢？我先让学生猜想，有 、 、 。结果只可能有一个，到底等于多少？你们能验证吗？1—2 个学生简单交流验证方法后，学生开始操作验证。

3、展示交流。

学生操作，在把 和 合起来，我提问：这样合起来之后到底是这张纸的几分之几呢？

吗？学生说不可能，因为是把这个正方形分成了 3 份，但不平均，所以不能说是 。

吗？学生说很显然不是，涂色部分比没有涂色的还多，怎么可能是 呢？

吗？我点上认为是这个结果的雷落同学上台画一画怎样看出是六分之五的，结果她在正方形的外面加了和剩余部分一样大小的两份。如下图

“这是在干什么呀？“我问道。她说：这样我可以看到 和 分别是涂色的部分的 2 倍和 3 倍。

这时有同学提出意见，你这样画超过一张纸了呀？

我说：对呀，超过一张纸了肯定不行。可是我们可以肯定她的想法，她是在想， 、 同没有涂色的部分是什么关系？

我们还有什么办法来确定 、 同没有涂色的部分的关系吗？

受雷落同学刚才的影响，有同学说：可以直接在正方形里面画，如图：

这样没有改变纸的大小，就知道了 、 分别是没有涂色部分的 3 倍和 2 倍。

我接着问道：你为什么要看 和 的关系呢？

学生说道：我是要把它们画得都跟没有涂色的部分一样大，这样就知道一共有几份了。

我说：每一份都跟涂色部分一样大了，你知道每一份是多少了吗？

“每一份是这张纸的 。” 学生说道。

“ 是多少呢？” 我问道。

学生： 里有 3 个 ，是 。

“ 又是多少呢？” 我继续问道。

学生： 里有 2 个 ，是 。

我对应板书：

并提问：我们把每一份变得相同，把二分之一和三分之一变成六分之三和六分之二的过程就是在干什么？

学生马上想到是在通分。

我说：看来异分母分数的加法，并不能直接计算，需要先通分，才能计算。然后复习同分母分数加法的计算，得出结果 。明确分数的计算就是在算分数单位的个数。

课上到这个地方，感觉学生对异分母分数加减法的算理已经弄明白。但在心中有这样的疑问：学生为什么要看上剩余没涂色的那一部分呢？如果剩下的不是 1 份，学生又会怎样做呢？带着这样疑问，下课后我找来雷落继续了解她的想法。

我问：如果是 + 你怎样画呢？

只见她仍然利用没有涂色的部分考虑，又补上一个 后，把剩余的部分当做 1 份

但随即发现这样做不对。红色部分是 ，而不是 。那说明把没有涂色的部分看成 1 份是不行的。

那没有涂色部分是几份呢？怎样才能确定 1 份呢？

学生想：1 份不行，可以看成 2 份。

恰巧 + 看成 2 份正好可以。但是我还不甘心，这种假设可以使 + 成立，但不一定使所有的分数加法都成立，于是我指出：如果剩余的是介于 1 份和 2 份之间该怎样确定呢？这个时候学生这样做的：把最后剩余没有涂色的那部分去和 比，把比 多的那部分当做 1 份。

对于学生的这种行为，当时我不知道她是在干什么？更不清楚为什么要这么做？只是相信学生这样做肯定有她的道理。回到家里，我通过查资料，在燕晓东编译的《几何原本》13 卷视图全本中找到了学生这样做是在干什么。

至此，我才明白：学生一直在利用剩余部分和涂色部分进行比较，寻找测量这几个数的单位。我在惊叹人类的思维是如此接近的同时，也不禁想起了华应龙老师在分数的再认识教学中为什么要重视分数单位的教学，原来学生在分数的学习中始终关注的还是分数单位。

在读懂学生的过程中，学生也告诉了我们分数应该教什么 —— 那就是分数单位。

不能熟练的化简比的孩子，是因为找不到前项与后项的公因数，所以不能一次化简比，而需要多次化简。