【转】让概念学习润泽学生的心灵——陈洪杰

让概念学习润泽学生的心灵

—— 兼及教学观背后的教育价值观

《小学数学教师》编辑部 陈洪杰

一位教师在教学 “1 吨有多重” 的时候，安排了三个活动让学生体验；另一位教师在教学 “除法” 的时候，在 “÷” 号的引进上大费周章。对于简单的、规定性的概念有必要让学生经历、感受和体验吗？这是不少老师在看到这两则案例之后的疑惑。

一、选择的考量

小学数学中的概念，包括数概念、数量概念、几何形体概念、度量概念等。概念教学时，选择怎样的教学方式，至少和两个因素有关：

一是对概念重要程度的判断。比如，对数位、小数点的名称及读写，量及单位的名称，真分数、假分数和带分数的概念等，如果教师认为这些概念是一般重要的，在教学中自然不会浓墨重彩地去教。而考虑到小学阶段学生学习内容的整体性，以及一个概念对后续学习的意义，不同的概念的确可以有重要、次重要的区别。对不同的概念选择不同的教学方式，也是 “因材施教”。

二是对概念教学空间的判断。比如，“分数” 的教学，教师可以设计涂一涂、圈一圈、折一折的操作，安排不同的材料或情境供学生归纳，引导学生规范地说分数的意义，其教学展开的空间是很大的。而有的概念其展开的空间就小，加减乘除的运算符号就是一例。一般上，数学中一贯使用的语言、符号及约定俗成的内容，其教学空间相对就小一些。

这两方面的因素，前者是对学科教学内容价值的判断，后者是对教学可能性的选择。在概念教学中，这两方面的考虑是交织在一起的。对一般重要、教学空间又小的概念，教师直接告知或呈现对概念的规定，然后组织学生记忆、辨析、练习强化，我们也不会去责难其在教学法层面的欠缺。既然如此，吨的教学和 “÷” 的引进，直接告知即可，何苦如此费事？从学科价值及教学效率的角度看，案例中的教学都是反例。

二、教学法的意蕴

然而，事情并非如此简单！不同的教学法背后是不同的教学观念。就简单的、规定性的概念的教学，我们可以用 “呈现概念 - 记忆概念 - 变式练习 - 巩固运用” 这样的程序来教学。这样教学，简单、高效！同时，在 “呈现概念” 前，可以呈现生活情境或原型，比如，“角的认识” 中先呈现各种生活中的 “角”；在 “巩固运用” 中，也可以让学生举生活中的例子甚至去课外搜集生活中的素材，比如，“百分数的认识” 就可以让学生举例或课后搜集。所以，即便是结果式的、告知式的教学主线，也可以有 “生活化” 的内容，也可以与学生的已有经验嫁接。教学，从来不是非此即彼的简单事情！

不过，这样的概念教学方式最大的缺失或许是忽视了一个事实：在历史上，任何一个概念的获得都是在面对问题、解决问题的过程中逐步归纳、总结而得到的。而学生学习概念的过程也是一个主动建构与生成的过程。结果式的教学同样可以让学生 “学会” 一个概念，同样可以让学生正确地解题，并在这个概念的基础上进一步地 “数学化”（进行后续的学习）。然而，学生缺失的是对一个概念更丰富的、个性化的、带有情绪体验的理解。而对教师而言，对教学价值的单向度追求，有可能遗落的是更重要的、知识对学生的 “育人价值”！

在这里，不是将 “教学价值” 和 “育人价值” 对立，而是将两者并举、“叩其两端” 的时候，能让我们更好地把握教学中不同的侧重。所以，让学生体验 “1 吨有多重”，尽管是间接地体验；让学生创造表示 “平均分” 的符号，尽管最后还是要统一到 “÷”，其教学结果看似一样，但其不同过程所带来的对学生的价值是不一样的。

学生拎过 20 千克的桶装水、用自己的体重 “度量” 过 1 吨，“1 吨 = 1000 千克” 就不仅仅是一个进率的问题，而是和自己的量感（拎不动）、体重（差不多 40 个自己）“有了关系”。学生发现这种联系，对概念的理解也就丰富了。而这种丰富的理解，即便从功利的角度看也是有益的：学生不容易做错有关重量单位的填空题了！而教师让学生用自己的方式表示 “平均分”，不同学生必然会有个性化的方法，借用弗赖登塔尔的话，“学习过程必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义上的创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看是创造”。[[1]](http://control.blog.sina.com.cn/admin/article/article_add.php#_ftn1) 学生的个性化表达，使这一看似平淡无奇的环节，有了 “再创造” 的光晕！我想，这样引入 “÷”，引发的学生的心理感受和情绪体验肯定和直接告知是不一样的。数学一直被喻为 “冷面美人”，如果学生多了解一些数学知识背后的故事，多一些这样的 “再创造”，或许会觉得这个美人更容易亲近一些。正因此，我认为，在 “÷” 的引进上让学生 “创造” 符号是一种教学创新，值得喝彩！

三、另一种路径

对一个重要的、教学空间大的数学概念，我们都会倾向于做足过程，让学生去经历、感受、体验。如果教师不这么去教，我们会认为这教学是有问题的。而对一个次重要的、教学空间小的数学概念，教师创新教学，有意识地引导学生经历、感受、体验，我们也认为这教学是有问题的！值得反思的恰恰是这种想法背后的教学功利主义。

还必须指出，对学生而言，从学科价值的层面认识到一个概念的重要性是需要过程的。而概念教学常常是起始课，在起始课，教师过早、过快地直奔主题，以为重要的东西要早点聚焦，强化的可能是数学的 “无用” 和 “枯燥”！所以，在我看来，在 “认识 11-20 各数” 中过早聚焦 “10 进制”，在 “数对的认识”“用字母表示数” 中过早地得出 “方便” 的结论，等等，都是可以商榷的。而对教师而言，教学空间的大小是相对的，你觉得教学空间小，是因为你还没有找到合适的方法，一旦找到，小空间就变成了 “桃花源”！所以，从学科价值的重要性和教学空间大小的角度来选择教学方式，其实是相对的，而背后的教育理念恐怕是更稳定的、影响教学方式选择的因素。

抛开一个概念的重要性及教学空间大小的差异，我们应该承认，概念教学有不同的教学路径。比如，“感知材料 - 观察比较 - 归纳提炼 - 抽象命名” 的路径 [[2]](http://control.blog.sina.com.cn/admin/article/article_add.php#_ftn2) 就适用于大部分概念的教学。再比如，对 “角的认识” 可以采用 “发生式的” 教学路径：基于 “数学上为什么要定义角”“是出于解决什么问题的需要” 的思考，教学时先让学生比较角的大小，然后再来认识角。[[3]](http://control.blog.sina.com.cn/admin/article/article_add.php#_ftn3)——“发生式的” 教学设计思路和弗赖登塔尔的 “再创造” 思路一样，都是很好的指导教学设计的工具。

对概念教学的其他路径，可能会有不同的描述，“材料 - 归纳式的”“发生式的”“再创造的”，或者 “尝试的”“探究的”“过程式的”“生本式” 的，等等。不同词语的背后体现的是另一种教学价值观，这种教学价值观更关注知识与 “人” 的联系，知识对个体的 “意义”，更有 “育人价值”。

不过，我们必须看到，要从教育理念走向教学实践是困难重重的！即便归纳出概念教学的另外一种逻辑路径，即便我们努力地探索，一到实践中就会走样。比如，对 “分数” 的教学，教师容易把焦点放在以下三个方面：1．注重让学生进行折一折、涂一涂、圈一圈这样的操作；2．注重为学生提供分数感知的材料和情境；3．注重让学生正确地说出分数的意义。无疑，这样的教学符合新课标理念，是目中有 “人” 的，但在教学落实中每一个方面却会发生偏差！[[4]](http://control.blog.sina.com.cn/admin/article/article_add.php#_ftn4)—— 我们需要警惕的是，当我们用新的方式教学时，会不会只是学了形式而丢了实质？

“教学功利主义” 不是贬义词，而是一个中性词，但这种教学价值观是需要超越的。因为我们的教学对象是儿童，是经过小学六年就要走完人类上千年数学发展历程的儿童。基于学生的认知特点、对数学学科价值的再反思、对教育目的的追问，教师应该突破这种直奔主题和结果的教学功利主义，带领学生领略学习道路上更美丽多样的风景。

四、即时的选择

在《小学数学教师》“辩课” 第十站中，有一堂 “认识 11—20 各数” 的研究课，在第一天的展示后，第二天上了 “重建课”。下面以该课的一个教学细节为例，进一步说明笔者对概念教学的价值主张。

教学简案：

二、认识 11—19 的数

1. 举小棒游戏

2. 操作、互动，认识 11—19 的数

怎样摆，才能很快数出 11 根？

11 是几个十和几个一合起来？

3. 多种形式数数

现场观察：

1. 教师分别报 3 根、7 根，学生分别数出相应的小棒，紧握手中，高高举起。报 10 根时，很少有学生聚焦 1 捆。教师抓住 S5.2（5.2 代表第五小组第二个学生，下同）的举法，聚焦 1 捆。

2. 在学生都举出 1 捆的情况下，教师 PPT 呈现一排小棒，很多学生直接喊出 “10 根”。教师用教鞭点数却是 11 根，追问：怎样摆，才能很快数出 11 根？

汇报摆法：

S6.2：我两个两个数，2、4、6、8、10,11。

T：数了 6 次。

S1.4：3 根 3 根数，3、6、9、11.

T：数了 4 次。

S3.2：10 加 1。

T：是不是更快？真了不起！

在 S3.2 回答后，教师在 PPT 上展示把 10 根捆成 1 捆的过程并和学生约定：整捆的放左边，单个的放右边。（渗透位值制）

3. 训练学生说：1 个十和 1 个一是 11。

在此基础上教学剩下的数，12—19。

重建设想：

首先，举小棒游戏不用。因为学生举 3 根、7 根的时候，学生的行为只有数、抓的快慢的差异，体现不出思维的差异。同时，教师没有判断学生是举的小棒的根数是否正确，即便判断了，后续也没有展开教学的空间。而这两次抓，只是为了抓 10 根做铺垫。如此设计是因为教师想通过 “抓” 的动作来强化 “10 进制”。而这个动作与学生的思维，与 “10 进制” 背后的数学思想缺乏必然的联系。

其次，3 个学生摆 11 根小棒，分别采用了 2 根一摆、3 根一摆、10 根加 1 根摆三种方法，教师对此的评价有待改进。3 个学生的方法体现了对进位制不同 “基数” 的选择，2 进制的基数是 2,3 进制的基数是 3,10 进制的基数是 10。三种摆法都是学生对 “很快摆出 11 根” 的 “创造”，其背后的共性是：数字大了，要分段来数。这一思想和十进制的思想是相通的，有其合理性，所以，未必要急于统一到 10 进制。而教师的评价显然是因为今天要教 10 进制，所以才区别对待，行为可以理解，但这样的评价方式会强化学生对教师的依赖 —— 猜教师的答案而不是自由、独立地思考。

最后，对 3、7 是抓小棒游戏，对 11 是摆小棒，教学环节之间缺乏有机的联系。而每一个环节对应一个教学目标的做法，是我一直反对的，借用课标 2011 年版的说法，教学目标要 “整体实现” 的，所以要重建。

基于上述考虑，给出了这样的重建建议。

改抓小棒游戏为摆小棒，摆 3 根、7 根、11 根，学生摆的时候，教师要巡视学生，同时要有一个学生在实物投影仪前，按照他自己的想法摆。这样设计是用摆小棒的活动串起原先的两个教学环节。实物投影仪的使用是为了呈现学生的思维，也是为了台下的教师看到学生的状态。教学预设的是：3 根的摆法学生不会有差异，小棒放在一起或有间距地放都能一眼看出，区别不大；7 根可能会有 2-2-2-1、3-3-1 或 3-4、2-5 的差异；11 根肯定会出现不同的摆法。不管学生出来怎样的摆法，教师都要以鼓励的方式评价，肯定学生把一个大数分成几个小数是一种聪明的方法。这样评价，在聚焦 11 根的 10-1 的摆法时，可以这样说：小朋友们都很聪明，数学家和你们想的一样，他们选了 10 个一捆的方式！这样，用数学家来鼓励学生，使 10 进制的出现稍微自然一点，不那么突兀。

在继续教学 12-19 环节，我们还想到了让学生摆完 11 后再摆 19。教师引导先确定 1 捆，但对个位上的 9 的摆法再次允许学生出现 2 根一、3 根一摆等摆法，再次以 “数较大的数要分成较小的数” 的思想方法来支撑学生对进位制的理解，再次肯定学生对个位的个性化摆法，但对不先确定 1 捆的摆法要引导改正。摆 19，先确定 1 捆放在左边，也有渗透位值制的考虑。进一步，在 19 摆过之后，让学生自由摆 12-18 的数，要求都是 “让别人一眼就看出”，在摆的过程中反复强化先确定 1 捆（十进制），个位分成几部分的摆法。

以上是以摆的操作贯穿整堂课，重点落在 “更自然” 地引出 “十进制” 上，以及让学生更充分地体会 “大的数要分解成小的数” 这一思想上。

如果学生在 “认识 1-10 各数” 的教学中有过类似的摆小棒操作，那么这个环节就可以直接让学生摆 11（或 12-19 中的一个数）。教师鼓励学生不同的摆法，最后还是引出数学家的选择。然后，要求学生把自己摆的数都摆成 1 捆加几个的方式，追问：是不是能更快地看清楚是十几了？以此引出 “十进制”。

这样重建，有老师的评价是：思维含量下降了！我不同意！恰恰相反，我认为思维含量是增加了！

其实，我们就是把 “十进制” 告诉学生也未尝不可，反正之后的学习，不管是认识更大的数还是四则运算，都是建立在十进制基础上的。既然如此，教得快一点，更早聚焦不是更好？而我们重建的思考却在让学生感受 “十进制” 引入的合理性上花费这么多的精力，有必要吗？何况，最后搬出 “数学家跟你们想的一样”，不还是五十步笑百步吗？对此，我只能说，细节背后是数学教育价值观。而价值观不能诉诸证明，它只是一个寻求认同的 “邀请”。突然想起苏联数学家曼宁（Manin）的话：“一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会活动后，它才算证明。”[[5]](http://control.blog.sina.com.cn/admin/article/article_add.php#_ftn5) 数学的证明尚且如此，何况是一个小小的细节重建！

不过，透过这个细节以及前面的长篇累牍，我想说的是： 不是每个概念都要引导学生经历、感受和体验，教师要有自己的判断和选择。但在 引导学生探寻、感知数学概念背后的逻辑上，在不要让学生觉得数学概念是从天而降的 “怪物” 上，我们是应该寸步不让地坚持的。

——2012 年 12 月 28 日下午