【2022春】吉林省东北师范大学附属小学独立基地 顾思 3上《搭配中的学问》

对于小学低段而言，我们通过研究《标准》和小学数学教材，结合教学实践调查，已经探析出小学低段的数学符号意识主要是指学生对表示数学概念、数学关系等数学符号的感知、认识、理解、运用等方面所做的一种反应，这些反应主要表现在学生对数学符号的认识、读写、理解、掌握和运用等方面的能力

语数学符号是抽象性、简洁性与广泛应用性矛盾的统一，学生如果没有牢固的理解作基础，就从事大量的符号运算，那他们只能是机械地操作而已。如果学生只是对数学符号呆读死记，难以厘清数学符号之间及其表达的数学知识之间的关系，就会形成因符号意识的缺乏而导致学生对数学学习困难的局面。在培养学生符号意识的过程中，需要关注学生的思维水平与心理特征，帮助学生打下有意义的符号运算的基础不能一蹴而就，而需要相当长时间。

“数学符号意识” 的数学学科取向数学的起点是符号，数学符号是物质性与抽象性的统一、约定性与精确性的统一、简洁性与通用性的统一、层次性与生成性的统一，一些重大的数学进展都应该归功于符号的发明。现代科学技术的发展依赖于代数的符号化，数学符号促进变量数学的产生。

顾老师的教学设计中，充分提现了以学生为本的思想，展示学生个性化的表征方法，在通过学生的讨论来感受符号的便利性和简洁性。

符号意识作为一种隐性的课程目标，评价的标准是什么，以什么方式进行评价，能否有所体现？

阅读了顾老师的第一稿教案，有如下感受： 1. 教师或教材设计了一个相对真实的情境（至少三年级的学生让为是真实需要的），要解决的任务是进行搭配，最终要达成有序的搭配或有序的思考。但在这个情境所要达成的目标中，并没有对引入抽象且符号化的需要，学生面对充满疑惑又失序的问题时，他们才能更好的抽取情境中的关键要素，调用他们的抽象能力，将问题结构化或符号化，从而来解决问题，发展素养，也体现出史宁中校长所提的 “三会”，因此对于情境任务及目标的设定可否适当调整或扩大，设计大问题、大任务。 2. 从数量充足的学具，到只有一组学具，再到没有学具，倒逼出学生在进行记录时可能会出现的 “汉字法”“数字法”“图形法” 和 “字母法”，这样的探究和一般化的过程效果会如何，方法间能否体现出所谓的 “优化” 或 “迭代” 的效果，改变学具量的策略，是否会干扰到学生养成一定 “符号意识” 的素养。

认真读了顾老师的教学设计后，觉得顾老师对于以 “搭配” 为载体，渗透符号意识的研究是进行了非常深入的课前研究的。我也查阅了一些文献资料，其中关于符号意识培养策略的研究，是这样阐述的：主要集中在以下四个方面：第一，在教学中注重引入符号的必要性。学生只有首先了解数学符号的必要性与优越性，才能激起学习兴趣；第二，在教学中注重不同数学符号 ( 字母、图形、关系式) 之间的相互转换。数学符号的教学与数学其他语言表征形式是密不可分的，加强学生数学符号与数学其他语言表征之间的转化，能够促进学生理解数学概念，掌握数学原理，认识数学本质；第三，在教学中注重学生已有经验基础与心理特征。学习心理学指出，数学符号的教与学要符合学生的心理发展水平，要适应学生的 “最近发展区”，基于学生已有基础进行教学才有更好的效果；第四，在教学中注重培养学生对数学符号的意义与本质的理解，不能过于重视数学符号的记忆与纠错层面，而更应该让学生理解符号如何表达数量关系，如何完成数学运算与推理，如何对问题进行一般性的解释。

数学符号作为表达数学对象和进行数学思考的工具，不仅对数学的发展起促进作用，还影响这学生对数学概念的掌握及学生数学思维的发展，顾老师的教学设计循序渐进，层层深入引导学生理解数学符号在解决问题中的作用，使学生理解数学符号的意义，并在此基础上发展学生的符号化思想。一点粗浅的感受和顾老师探讨：本节课不同的情境承载着不同的教学任务，缺少实际问题，是否可以考虑从学生的真实生活出发，为教学增添一些灵气，以便让学生在知识发生和应用的过程中体会符号化思想，让符号的学习回归实践？

全部的数学都是抽象的产物，数学中的任何一个数、一个概念、一个算式、一种运算、一个公理、一条法则等，无不具有抽象性。本节课中顾老师指导学生从具体问题入手，在解决问题的过程中逐步从图片、图形到字母符号表示，引导学生体会数学的简洁美。并将其迁移到其他情境中，运用符号表达解决问题。

“数学符号意识” 的数学学科取向数学的起点是符号，数学符号是物质性与抽象性的统一、约定性与精确性的统一、简洁性与通用性的统一、层次性与生成性的统一，一些重大的数学进展都应该归功于符号的发明。现代科学技术的发展依赖于代数的符号化，数学符号促进变量数学的产生，数学符号的教学与数学其他语言表征形式是密不可分的，加强学生数学符号与数学其他语言表征之间的转化，能够促进学生理解数学概念，掌握数学原理，认识数学本质；第三，在教学中注重学生已有经验基础与心理特征。

在新课标中，符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号可以进行一般邢的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。顾老师从学生已有的生活经验出发，设计了有意义的情境，并为解决这个问题充分挖掘潜在的符号意识，让学生在解决问题的过程中体验符号的优越性。

罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。” 数学符号是具有简洁性和抽象性的规范语言，是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。数学课程的一个任务，就是培养学生在数学学习过程中，对用符号表示数及其运算的理解和感受。培养学生的符号感对于数学语言表达思想具有重要的意义，也是发展学生思维的需要。顾思老师的教学设计以为小丑搭配演出服装、营养配餐、去动物园的路线一系列活动为主线，衔接紧密，条例清晰，激发了学生学习数学符号的兴趣。整堂课不仅注重引导学生有序的思考问题，还通过按顺序搭配，层层递进，用汉字、数字、图形、字母等方式来表达不同的搭配方法，树形结合，逐步树立符号意识。并在一次次交流分享中积累经验，学习符号化的多种途径，允许个性化的表示符号，感受到符号化的优越性，和在解决问题、理解问题中的巨大价值。根据学生的认知特点，步步为营，螺旋上升，逐步建立符号意识，实现学生思维的飞跃。

本节课的设计层层递进，先让学生从（实物）具象走向半抽象，用连线的方式表示两类搭配过程，然后从客观实物到数学符号的抽象，更符合学生认知发展规律，这样的设计可以更好的培养学生抽象能力。—— 东师附小繁荣校区王延萍

@薛若冰 根据我们团队查阅的资料可知， 数学符号的感知是对数学符号的直观认识，不仅包括感知、理解数学符号本身所特有的含义，也包括数学符号之间相互关联性，理解数学符号的意义及数学符号之间的关系．是数学学习最基本要求，也是符号意识的最基本要求。数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式，运算是根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程．

数学课程的一个任务就是培养学生在数学学习过程中对用符号表示数及其运算的理解和感受。可见，培养学生的符号感对于数学语言表达思想具有重要的意义，也是发展学生思维的需要。顾老师在教学中关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动，使学生经历搭配的过程和讨论的过程，更深刻的感受到数学符号的便利性、简洁性。

符号意识是小学数学核心素养之一，我们如何培养小学生的符号意识呢，我想本节课顾老师也是在有意识的培养孩子们的核心素养 —— 符号意识，从淘气无序的搭配，到有序的思考，再到没有实物，层层递进，这样就会激发孩子们的想象力和创造力。一方面培养了孩子们的符号意识，另一方面也让孩子们体会到用符号表示的必要性，感受符号在理解和解决问题中的价值。

阅读了顾老师的教学设计，老师充分挖掘了学生的已有生活经验，给学生提供了经历从具体事物到学生个性化的符号表示，再到数学化等符号化，形式化的学习过程，让学生感受到符号引入的必要性和解决问题的简洁性。符号化会让学生感受到便捷。

顾老师通过一系列的学习活动，让学生经历了具像 —— 半具像 —— 抽象的思维发展过程，体会到符号的简洁性，培养了学生的符号意识。提个建议：活动一中提供了足够多的学具，活动二又让学生假设没有足够多的学具，很难让学生产生认同感与任务感，能否做如下改动：活动一就用两个帽子，三条裤子，手动摆一摆；活动二：想把所有的搭配方案展示出来，用两个帽子、三条裤子，如何展示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　东师附小繁荣校区　郭杨

数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。比如，在数与代数中，数来源于对数量本质 (多与少) 的抽象，而数字就成为能够以大小排序的符号。(史宁中《数学思想概论》, 第一辑，地 34 页)。这表明，数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。顾老师教学设计体现了这个抽象的核心过程。 东师附小繁荣校区 杨连全

符号意识的内涵是代数思想。符号是数学抽象的特殊表征形式，不仅在代数领域如此，而且在几何领域也是如此。因此，符号意识所蕴含的数学思想，与其说是代数思想，不如更一般地说，它冲属于数学的抽象思想。

顾老师在教学过程中，体现了符号化在小学数学学习中的意识培养。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的 “运算”。 东师附小繁荣校区　孙微

符号表达的优势与作用：用字母表示数的教学成为培养学生符号感的主要途径。用字母表示运算定律、图形的长、宽、高、面积公式等等。用字母表示数的优势不仅在于 “简洁”，还在于由特殊到一般。

在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识。因为概念、命题、公式是数学课程内容中的重要组成部分，它们又是数学教学的重点，又和数学符号的表达和使用密切相关。因此，《课程标准》在学段目标和各学段内容标准中都提出了具体要求。 《标准 (2011 年版)》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”

繁荣校区李晓伏老师：符号意识是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出的第二个核心概念。这里所说的符号意识主要包括两方面的内容，一个是关于概念的符号，一个是关于关系的符合；2011 版课标，将原来的 “符号感” 改为了 “符号意识”，其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。

对数学符号不仅要 “懂”, 还要会 “用”。运用符号表达数学对象就是 “用” 符号的重要方面。这里的数学对象主要指数、数量关系和变化规律，它们在各个学段都有自己的特定的要求。关于用符号表达数学对象这里着重指出两点：一是要注意义务教育阶段整个学习过程中，学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂，由相对具体到相对抽象的过程。比如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表示数字运算关系，其抽象度显然不及用字母代替数及用字母表示数量关系，后者对前者来说是一个阶段性的变化。而用符号关系式或一定的数学模式语言去表示特定的数学变化规律则又更为抽象和复杂。这表明关于数学表达的符号意识的发展是一个逐渐积累变化的过程。二是数学符号的表达是多样化的，比如关系式、表格、图像等等都是表达数量关系和变化规律的符号工具，有时，即使是同一数学对象也可采用多种符号予以表达。而多种符号表达方式之间也是可以转换的。符号表达上的这些特点值得我们在教学中关注。 东师附小繁荣校区 郑艳娜

繁荣校区李晓伏老师：数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。比如，在数与代数中，数来源于对数量本质 (多与少) 的抽象，而数字就成为能够以大小排序的符号。与数的符号表示一样，关于数的运算知识也是从生活实践中加以抽象，逐渐形成法则。这一过程中很重要的一步是使用字母这一符号来表示抽象运算，这使得 “可以像对‘数’那样对‘符号’进行运算，并且，通过符号运算得到的结果是具有一般性的”(史宁中《数学思想概论》, 第一辑，地 34 页)。这表明，数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。

数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的 “运算”。

                                                东师附小繁荣校区 郑艳娜

繁荣校区李晓伏老师：《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会:

1. 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律
2. 知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性
3. 使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式

通过以上相关研究，我们可以看出，无论是哪一种定义方式，符号意识的内涵都与数学学科是分不开的，都是体现着数学学科抽象的本质，数学符号要比数字更加抽象，符号意识的内涵主要有以下几种观点：第一，强调符号感是一种对符号的感悟、观念，这种观点难免给符号感罩上一种只能意会不可言传的神秘色彩，从而使发展学生的符号感成为空中楼阁，难以实现。第二，认为符号感是符号语言，这种观点将符号感视为数学语言的一种表征形式，即符号语言，掩盖了人对数学符号的主观能动性。第三，认为符号感是一种能力，这种观点强调了数学符号的记忆能力与运用能力，忽视了学生借助数学符号去理解数学概念、表达数量关系、完成数学运算和推理，过于重视符号的外在性而忽略了内在性。第四，认为符号感是一种态度与习惯，这种观点过于强调人在符号感中的作用而忽视了数学符号本身的价值，只体现出关于符号感的内在性，而忽略了其外在性。

符号意识是《义务教育数学课程标准（2011）年版》提出的第二个核心概念。这里所说的符号意识主要包括两个方面的内容，一个是关于概念的符号，一个是关于关系的符号；2011 版课程标准将原来的 “符号感” 改为了 “符号意识” 其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。 符号意识的内涵是代数思想。符号是数学抽象的特殊表征形式，不仅在代数领域如此，而且在几何领域也是如此。因此，符号意识所蕴含的数学思想，与其说是代数思想，不如更一般地说它是属于数学的抽象思想。 顾老师的这节课关注学生抽象思维的形成，代数思想的建立，符号意识的开启…… 兼顾着学生各方面数学能力的培养。 繁荣 兰海燕

繁荣校区吴瞳： 我个人最喜欢顾老师这节课设计的部分就是顾老师重点加强李学生符号表征的建立过程，这是和以往教学不一样的地方。

繁荣校区吴瞳： 再次阅读顾老师的教学设计后认为顾老师对渗透符号意识的研究是相当深入的。首先顾老师让学生意识到解决问题时引入符号的必要性，更注重了学生在运用不同符号中的相互转换。数学符号的教学与数学其他语言表征形式是密不可分的这样对教学更能促进学生理解数学概念，掌握数学原理，认识数学本质。

繁荣校区孟艳娜：利用贴近孩子生活的现实情境，提出了 3 个既有联系又有区别的问题，引导学生根据问题的特点选择合适的例举方法，学会具体问题具体分析，有利于学生克服思维定势，积累运用策略解决实际问题的经验，使得策略教学更透彻、更深入。

繁荣校区金丽晶：符号是数学特有的。它既是数学对语言，也是数学的工具，更是数学的思维和方法。它具有抽象性、明确性、严谨性、简略性、可操作性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起到举足轻重的作用。顾老师这节课注重在学习过程中，准确交流数学思想，表达数学观点，以数学语言为工具，培养学生对符号的意识，将文字语言转化为符号语言。

繁荣校区郝威：本节课环环相扣，层层深入，使学生经历了 “实物搭配 —— 有序思考 —— 符号意识 —— 得出规律” 的探究过程。既重视了数学思想的渗透，也让学生经历李知识的再创造过程。

繁荣校区高秀凤：本节课设计符合学生认知规律，从学生生活入手，通过搭配问题，让学生经历从繁琐到简洁，从直观到抽象，从一般到概括规律的过程，让学生在学习中感受数学的价值，提升学生的数学思维能力。

繁荣校区王秀玲：本节课设计关注学生的经验和兴趣，通过现实生活中的生动素材引入新知，使抽象的数学知识具有了丰富的现实背景，充分抓住学生的好奇心，使学生迅速进入最佳的学习状态，从而达到了使学生真正的参与到学习中的目的。

繁荣吕晶：顾老师的教学设计为学生提供了从特殊到一般的学习过程，让学生感受到了符号在数学学习中的重要性，一步步引导学生准确了解用数学符号表征的简洁特点，即数学符号可以直观清晰表现出数学对象的结构，很好展现了数学知识的内涵，不仅为后续的学习做了很好的铺垫，更使得学生的符号意识得到了非常好的发展。

尹姝萍：培养学生的数学符号意识要重新定位教学内容，深入挖掘教材，拓展和延伸教学内容。顾老师的课让学生在观察、体验、分析、感受中习得数学符号知识。

数学符号种类多样，有元素符号，关系符号，运算符号，集合符号等。虽然，学生在小学阶段学习与使用的数学符号比较有限，但三年级的学生数学符号意识已见萌芽。本节课在教学中，顾老师唤醒了学生对数学符号的认知，引导学生准确了解用数学符号表征的简洁特点，即数学符号可以直观清晰地表现出数学对象的结构，展现数学知识的内涵，为后续学习做铺垫。

繁荣阎鑫鑫老师：符号意识主要就是指学生能够通过运用符号来理解和表示数、数量之间的关系及其变化规律，明确符号与数之间的关系，正确运算数学知识。培养学生的符号意识有利于帮助学生更好地进行运算和思考数学知识，明白科学道理。顾老师在教学设计中很好地发挥了自身的主导作用，充分调动起学生的已有经验，逐步经历抽象的过程，将符号意识准确的落实到课堂中，唤醒了学生对于符号的认知，体会到了符号表示的简洁性。

尹姝萍：结合三年级学生的思维特点，《搭配中的学问》一课在设计中引导学生将符号意识渗入在我们的日常生活中，感受到数学符号的意义，价值和作用。通过借助符号能够帮助学生梳理题目给出的条件，使关系更加直观、简明，进而高效的求解数学问题。

数学符号的感知是对数学符号的一种直觉认知，不仅包括对数学符号本身所特有的意义与内涵的理解，而且包括对数学符号力量之美妙与神奇的鉴赏，理解数学符号所蕴含的意义及其使用条件，体会数学符号的暗示功能及其意指作用。这是数学学习中最基本的要求，也是符号意识的最基本要求。数学符号感知有三种状态：一是混淆的状态，不能理解数学符号的特定内涵与意义；二是孤立认识的状态，可以透过数学符号的形式看到数学符号所蕴含的特定含义。但不能理解数学符号之间的关联性；三是全面理解的状态，可以找到数学符号之间的关联性，能够体会不同情境下数学符号所具有的不同意义和作用。 想请教一下顾老师怎样通过搭配中的学问这节课，使学生符号意识的感知水平从初级的混沌状态向高级的全面理解状态跃升？

繁荣袁俊芳老师：本节课顾老师从小丑服饰搭配中引入这节课，学生们很感兴趣，学生们经历了动手操作的过程，有无序的，有有序的，在对比中学生感受到有序思维的重要。然后离开学具，让学生把搭配的结果展示出来，这就使学生想到了用符号来表示，学生用各种各样的符号来代替帽子和裤子，用连线的方法或者一一列举的方法来表示搭配的结果。在解读不同符号表示搭配方法中，学生感受到一类东西用一种符号更清楚，培养了学生符号的意识。

仔细阅读了顾老师对活动主题的解读和第一稿教学设计，感受到顾老师对符号意识进行了深入的研究和思考。利用符号解决问题是符号意识的核心，这种意识的形成要逐步积累。学生从开始学习代数时起，就经常与数学的符号打交道。我们在培养学生符号意识时，要提倡对符号的认识、理解和活用。数学符号意识，应超越于对符号的记忆，应包含对其精美、其魅力及其威力的鉴赏，还应包含借助于符号去欣赏数学美的能力。

繁荣赵璞琢老师： 数学符号作为表达数学对象和进行数学思考的工具，不仅对数学的发展起促进作用，还影响着学生对数学概念的掌握及学生数学思维的发展。能否正确、全面的理解和解释符号将影响着学生问题解决的策略选择，决定着问题解决的难易程度。认真学习顾老师的教学设计，收益很多。一点不成熟的想法，顾老师在注重用符号去表示和抽象数量关系活动中，还可以鼓励和引导学生对数学符号和模型做生活中的还原，让学生体会符号模型多样化的现实生活情景。

认真查阅了顾老师的设计，在基本遵循教材的基础上，顾老师给了学生个性表达和思考的空间。搭配这节课是非常经典的内容，本节课借助搭配的素材，目的在于培养学生有序思维和表达，特别是如何借助直观图式，将思维的过程直观的呈现出来，体会数学直观表达的优越性。有一点困惑与顾老师交流：您如何理解几何直观和符号意识的区别？本节课对有序思维的表达，到底是几何直观、还是符号意识呢？或者说哪里是几何直观、哪里是符号意识？

顾老师的这节课引导学生在实际操作中理解搭配，学会有序思考。提供现实情境，由浅入深、循序渐进、不断提升，学生接受了从客观实物到数学符号的抽象，能更好地将数学符号有效内化。学生通过梳理归纳所学知识，经历搭配的过程和讨论的过程，发展数学符号意识。

国内学者吕婷将符号意识分为四个维度：符号理解、符号表示、符号运算和符号推理。吴敏霞经过调查（2020）发现三年级的学生对符号理解掌握较好，对符号表示掌握较差，并且从一到三年级整体发展趋势上分析，一至三年级的学生答题情况都不理想，基本处于同一发展水平，无明显变化。在教学设计中，看到顾老师在此处有所突破，引导学生先从学生非常熟悉的搭配问题入手，从看到摆到连最后到创造不同符号去表达、解决问题，这具有非常重要的价值。同时，也有一点问题想和顾老师交流：顾老师的设计都是教师引导的，能不能激发学生的认知冲突方面再仔细打磨，让学生主动产生用符号表示和解决问题的愿望，从而更深层的体会符号意识呢？

认真阅读了顾老师的教学设计，我之前教授这节课的时候深有感触，这节课的重点是有序思考和符号意识的培养，而学生这一学段由于前面的知识基础和思维训练，有序思考已经基本都能做到，因此这节课的重点就可以放在符号意识的培养上，个人认为顾老师选择《搭配中的学问》这一节课来研讨新世纪大赛中符号意识的主题非常契合。

这里给顾老师提一个不成熟的建议， 在课堂中进行画符号与符号化的优越性比较。 “授人以鱼，不如授人以渔。” 教学是为了让学生学会举一反三。教师可以通过对比，让学生明白符号化的优越性，如将画图的方式与用字母表示的方式进行对比，让学生自己感受符号的便利性。在今后的练习中，学生会有意识地将事物符号化，从而提高效率。

顾老师的教学从学生已有经验出发，通过创设学生喜欢和熟悉的实际情境，通过动手操作，培养学生的数学符号意识，符合学生的认知水平和已有数学经验。

自由蔡杰老师：数学符号意识包含 3 个层面，即数学学科、抽象符号以及心理意识，数学符号的内涵数学符号意识，即学习者借助思维的决定性作用，对数学知识与数学符号（包含一切数学含义的专用标记、表示数学概念和数学关系的符号或记号，例如字母、图像、表格等）之间抽象对应关系的一种积极主动的反应和心理认知倾向（内隐性），在通过数学符号的感知与理解、运算与推理、交流与表达等数学思考方式解决数学问题过程中所表现出来的一种数学符号的核心素养（外显性）。顾老师这节课很好的体现了这几点。

符号意识作为一种隐性的课程目标，需要一个科学的、合理的、可观察的、可操作的分析框架。李艳琴和宋乃庆认为：“可操作性定义是对小学低段数学符号意识最本质的揭示，是小学低段数学符号意识内涵维度的具体表现，也是小学低段学生数学符号意识培养策略研究的出发点。” 这个观点同样适用于小学其它阶段，这种具有操作性的分析框架有利于教师对数学符号意识本质的认识和理解，有利于为教师培养学生的符号意识提供具体和可行的途径。顾老师这节课在实际操作中充分引导学生理解搭配的要求和方法，然后借助动手摆一摆的活动让学生从具象走向半抽象，再通过讨论交流用符号表示的益处使学生很好地接受数学符号的抽象，有效培养了学生的符号意识。

符号学视角下的符号意识 黄玉顺教授认为 “西方符号学有 3 大系统，即索绪尔开创的语言学系统、皮尔士的分析哲学系统与胡塞尔的现象学符号系统”. 语言学研究的是符号系统，其关注的是 “ 符号承载知识和信息的功能”。例如，索绪尔指出符号概念：“ 当事物 A 可以作为事物 B 的替代而代表事物 B 时，事物 A 就是事物 B 的符号．” 同时指出，一个符号由 “ 能指” 和 “ 所指” 组成．符号学研究的是符号本体，“ 探讨的是符号的本质，强调的是符号自身的特性”。例如，皮尔士指出：“ 符号包含符号、对象和解释 3 个主题，对象可以是现实事物或另一个再现符号，而符号在与对象的联系中，在符号使用者的头脑中便产生了解释．” 同样也比较注重解释的是胡塞尔的现象学，其研究的符号强调的是对符号文本意义的解释． 以上符号学的 3 大系统虽然代表 3 种不同的视角，但都强调了符号的功能性和符号理解的重要性．这可以提示研究者可从符号的功能方面和学生对符号的理解水平方面来设计具体行为指标，进而分析学生的符号意识．

顾老师在这节课中对符号的必要性把握得十分充分，在教学中注重引入符号，学生只有首先了解数学符号的必要性与优越性，才能激起学习兴趣；且在教学中注重了不同数学符号 (字母、图形、关系式) 之间的相互转换。数学符号的教学与数学其他语言表征形式是密不可分的，加强学生数学符号与数学其他语言表征之间的转化，能够促进学生理解数学概念，掌握数学原理，认识数学本质；并且顾老师在教学中注重学生已有经验基础与心理特征。学习心理学指出，数学符号的教与学要符合学生的心理发展水平，要适应学生的 “最近发展区”，基于学生已有基础进行教学才有更好的效果；最后顾老师在教学中注重培养学生对数学符号的意义与本质的理解，并没有过于重视数学符号的记忆与纠错层面，而是让学生理解符号如何表达数量关系，如何完成数学运算与推理，如何对问题进行一般性的解释。

符号意识是《义务教育数学课程标准（2011）年版》提出的第二个核心概念。这里所说的符号意识主要包括两个方面的内容，一个是关于概念的符号，一个是关于关系的符号；2011 版课程标准将原来的 “符号感” 改为了 “符号意识” 其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。 符号意识的内涵是代数思想。符号是数学抽象的特殊表征形式，不仅在代数领域如此，而且在几何领域也是如此。因此，符号意识所蕴含的数学思想，与其说是代数思想，不如更一般地说它是属于数学的抽象思想。 顾老师的这节课关注学生抽象思维的形成，代数思想的建立，符号意识的开启。

数学符号是抽象性、简洁性与广泛应用性矛盾的统一，学生如果没有牢固的理解作基础，就从事大量的符号运算，那他们只能是机械地操作而已。如果学生只是对数学符号呆读死记，难以厘清数学符号之间及其表达的数学知识之间的关系，就会形成因符号意识的缺乏而导致学生对数学学习困难的局面。在培养学生符号意识的过程中，需要关注学生的思维水平与心理特征，帮助学生打下有意义的符号运算的基础不能一蹴而就，而需要相当长时间。在基础教育阶段，提升学生的数学核心素养是数学教育的主要任务，而符号意识作为其中一种非常重要的数学核心素养，是衡量抽象思维与符号化思想的重要指标。因此，提升学生数学符号意识有利于学生对数学本质的理解，从而达到全面提高学生的数学核心素养的目的。

王林全 (1996) 基于 Fey 的符号意识理论，认为学生符号意识的发展要注意以下几点：第一，理解符号的意义，说明符号的内涵，领悟符号的暗示，排除符号的迷惑；第二，感受数学符号的简洁美、统一美和含蓄美；第三，发掘数学符号的新含义，探究数学问题的新规律；第四，选好符号，以表示更多的信息。选择恰当的方式，以更好地表示信息；第五，注重数学符号的灵活运用，由错误的符号到正确的符号，由具体的符号到抽象的符号，由特殊符号到一般符号。

顾老师这节课注重培养学生符号意识。符号思想是数学能力的体现。符号感是一种对符号的感悟、观念，这种观点难免给符号感罩上一种只能意会不可言传的神秘色彩，从而使发展学生的符号感成为空中楼阁，难以实现。符号感是符号语言，这种观点将符号感视为数学语言的一种表征形式，即符号语言，掩盖了人对数学符号的主观能动性。符号感是一种能力，这种观点强调了数学符号的记忆能力与运用能力，忽视了学生借助数学符号去理解数学概念、表达数量关系、完成数学运算和推理，过于重视符号的外在性而忽略了内在性。符号感是一种态度与习惯，这种观点过于强调人在符号感中的作用而忽视了数学符号本身的价值，只体现出关于符号感的内在性，而忽略了其外在性。

心理学视角下的符号意识 从心理学的视角界定符号意识，主要是从意识出发进行相关定义。意识是 “包括感知觉在内的一种最高级的认识活动，思维在其中起着决定性的作用，具有自觉性、能动性、创造性等特点”。可见，符号意识要注重人的能动性，从操作性层面来讲主要体现在对数学符号的表达与理解的主动性。郑毓信教授认为：“ 会进行符号间的转换与能选择适当的秩序和方法解决用符号所表达的问题而言，主要地都应看成一种自觉的努力。” 其所指的 “ 自觉的努力” 就是一种主动性的体现。 基于对以上数学符号意识的三维视角（数学学科、符号学、心理学）的分析，顾老师认为小学生数学符号意识的分析框架的构建应具备以下几个标准：第一，要关注学生的主观能动性，因为符号意识强调人的一种感悟；第二，注重数学的功能性特征，既包括符号的内在功能性又包括符号的外在功能性。

在培养学生符号意识的过程中，需要关注学生的思维水平与心理特征，帮助学生打下有意义的符号运算的基础不能一蹴而就，而需要相当长时间。在基础教育阶段，提升学生的数学核心素养是数学教育的主要任务，而符号意识作为其中一种非常重要的数学核心素养，是衡量抽象思维与符号化思想的重要指标。

数学符号意识作为小学生的一个重要核心素养，理应受到数学教育的重视。数学的本质是概念和符号，并通过概念进行运算和推理．” 从数学本质这一视角出发，符号意识的内涵主要表现在数学抽象、数学理解和数学应用方面." 符号意识 " 主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式”．数、数量关系、规律都是数学抽象的产物，用数学符号表示这些抽象的数学对象，既是发展符号意识的重要途径又是分析学生符号意识的重要途径．同样，对符号意识有可操作性定义的观点有：“符号意识内涵包括理解并会用符号表示数、数量关系和变化规律；用符号进行运算和推理．”“ 能够理解并运用符号去表示数学的意义和结构、运用符号进行运算和思考．”“ 符号意识的要求具体体现在符号理解、符号操作、符号表达和符号思考 4 个维度．” 虽然上述关于符号意识的具体表述不同，但都是从数学学科视角出发的，且都是针对符号意识的行为层面来讲的，具有操作性．

符号意识作为一种隐性的课程目标，需要一个科学的、合理的、可观察的、可操作的分析框架。李艳琴和宋乃庆认为：“可操作性定义是对小学低段数学符号意识最本质的揭示，是小学低段数学符号意识内涵维度的具体表现，也是小学低段学生数学符号意识培养策略研究的出发点．” 这个观点同样适用于小学其它阶段，这种具有操作性的分析框架有利于教师对数学符号意识本质的认识和理解，有利于为教师培养学生的符号意识提供具体和可行的途径．希望能给学生符号意识的有效培养提供有价值的参考．

符号意识已经成为义务教育阶段数学核心素养的内容之一，这是由数学学科、社会发展以及学生需求共同决定的，如何培养学生形成数学符号意识，这个过程需要教师对教学活动中学生符号意识获得情况进行科学合理的判断。因此，构建一个能够分析学生符号意识发展水平的框架是十分必要的，这也是培养学生符号意识的前提。所以，通过对符号意识内涵的界定，借鉴国内外已有的相关研究成果，构建一个适合我国基础教育阶段学生数学符号意识分析框架是非常关键的。“符号意识” 作为一种隐性的课程目标，如果没有一个科学合理的评价标准和体系，就会使课程目标的价值和意义大打折扣。所以符号意识分析框架和测评标准的编制，对于完成符号意识这一隐性课程目标的评价具有重要作用，值得开展研究。

符号意识要注重人的能动性，从操作性层面来讲主要体现在对数学符号的表达与理解的主动性。郑毓信教授认为：“会进行符号间的转换与能选择适当的秩序和方法解决用符号所表达的问题而言，主要地都应看成一种自觉的努力。” 其所指的 “ 自觉的努力” 就是一种主动性的体现。 基于对以上数学符号意识的三维视角（数学学科、符号学、心理学）的分析，顾老师认为小学生数学符号意识的分析框架的构建应具备以下几个标准：第一，要关注学生的主观能动性，因为符号意识强调人的一种感悟；第二，注重数学的功能性特征，既包括符号的内在功能性又包括符号的外在功能性。

自由校区郁宏：在学习过程中，如果学生没有充分的机会亲身体验到数学符号语言有助于思维，那他讨厌数学是无可非议的。尤其在三年级，从各个方面看，学生并不算大，我们教师确实有义务帮助学生获得这方面的经验体会，这样的意识应该首先在教师心中形成，然后去设计教学活动帮助孩子去体验、去感受、去领悟，直至形成如我们一般的意识和能力。

自由校区刘惠：我们期待学生能够通过学习实现符号意识的增强，能够感知和理解符号力量的美妙和神奇，能够适切地应用符号去表达隐性的数量关系、一般化以及证明；在解决问题过程中，知道何时放弃符号而选择其他方法或者寻求更容易简练的表征方式。

自由校区王立华：数学符号的感知是对数学符号的直观认识，不仅包括感知、理解数学符号本身所特有的含义，也包括数学符号之间相互关联性，理解数学符号的意义及数学符号之间的关系．是数学学习最基本要求，也是符号意识的最基本要求．

自由校区冯丹：数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式，运算是根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程．此维度的核心是基于数学运算的符号操作，符号操作作为解决代数问题的一个重要补充，是需要学生必须掌握的数学技能之一．

自有校区何靖：学生经历了数学符号学习的实践活动，就自然会在生活和学习中用数学符号去表达自己的观点，推演相应的结论，形成一定的数学符号意识．

顾老师的教学设计中让学生借助摆一摆、画一画的活动，将搭配方法初步抽象出来，不仅帮助学生的思维由具体上升到抽象，也让学生在对比的过程中深刻感受到符号表达的简洁性。在搭配主食的环节，让学生独立尝试既简捷又快速的表示所有搭配方法。进一步体会和掌握借助符号表示搭配结果的方法，让学生感受到知识可以多元表征。

仔细阅读了顾老师和老师们的交流内容，非常认同在教学中要重视在教学中注重引入符号的必要性，在低年段教学中可能更加重要。目前两稿中顾老师在第一环节摆一摆时都给了学生充足的学具，这与实际生活中每种物品只有一个不一致，而且充足的学具不便于让学生感受到不同的方案需要同一个物品，搭配的方案受物品的数量无法全部静态呈现，从而体会用画图的方法记录的必要，进一步上升为用符号记录解决问题。能否考虑在摆一摆的环节时每个物品只给一个，让学生感受到方案无法同时呈现的困难。仅供参考。

王丹：仔细阅读了顾老师和老师们的交流内容，非常认同在教学中要重视在教学中注重引入符号的必要性，在低年段教学中可能更加重要。目前两稿中顾老师在第一环节摆一摆时都给了学生充足的学具，这与实际生活中每种物品只有一个不一致，而且充足的学具不便于让学生感受到不同的方案需要同一个物品，搭配的方案受物品的数量无法全部静态呈现，从而体会用画图的方法记录的必要，进一步上升为用符号记录解决问题。能否考虑在摆一摆的环节时每个物品只给一个，让学生感受到方案无法同时呈现的困难。仅供参考。

认真阅读了顾老师的教学反思和二稿设计，非常认同您的观点。北师版教材中的三个情境非常适合这部分知识教学，一是三个情境都源于学生生活，能够激发学生的学习兴趣，二是三个情境的教学及延伸可以实现学生对这一类问题解决策略的归纳。（答辩教师吴明宇）

顾老师在反思中还提到了分类的思想，搭配问题的实质是分类计数原理，虽然书中教学主情境的帽子和裤子学生从心理上容易直接进行分类，进而解决问题。但是在以往教学中，符号表征不是所有同学都能分类，这里建议顾老师在教学中可以留意，通过符号表征的分类让学生更好的学会应用符号和理解分类。

彭冠群：顾老师在这节课中对符号的必要性把握得十分充分，在教学中注重引入符号，学生只有首先了解数学符号的必要性与优越性，才能激起学习兴趣；且在教学中注重了不同数学符号 (字母、图形、关系式) 之间的相互转换。数学符号的教学与数学其他语言表征形式是密不可分的，加强学生数学符号与数学其他语言表征之间的转化，能够促进学生理解数学概念，掌握数学原理，认识数学本质；并且顾老师在教学中注重学生已有经验基础与心理特征。

东北师大附小郁宏： 符号意识已经成为义务教育阶段数学核心素养的内容之一，这是由数学学科、社会发展以及学生需求共同决定的，如何培养学生形成数学符号意识，这个过程需要教师对教学活动中学生符号意识获得情况进行科学合理的判断。 符号意识的内涵都与数学学科是分不开的，都是体现着数学学科抽象的本质，数学符号要比数字更加抽象。

东北师大附小何靖： 小学生的数学符号感主要表现在学生对符号的认识、记忆、运用意识以及运用能力几个方面。具体表现为：认识常用的数学符号；对各种常用的符号及其意义的理解与牢固记忆；能够自觉地用符号描述、表达数量关系，实现符号间的相互转化；能够从具体情境中辨别出符号信息，并用符号去简化与表达。

东北师范大学附属小学刘慧： 数学符号是抽象性、简洁性与广泛应用性矛盾的统一，学生如果没有牢固的理解作基础，就从事大量的符号运算，那他们只能是机械地操作而已。如果学生只是对数学符号呆读死记，难以厘清数学符号之间及其表达的数学知识之间的关系，就会形成因符号意识的缺乏而导致学生对数学学习困难的局面。在培养学生符号意识的过程中，需要关注学生的思维水平与心理特征，帮助学生打下有意义的符号运算的基础不能一蹴而就，而需要相当长时间。

东北师大附小王丽华： 在基础教育阶段，提升学生的数学核心素养是数学教育的主要任务，而符号意识作为其中一种非常重要的数学核心素养，是衡量抽象思维与符号化思想的重要指标。因此，提升学生数学符号意识有利于学生对数学本质的理解，从而达到全面提高学生的数学核心素养的目的。

东北师范大学附属小学冯丹： 符号意识作为核心素养，应由意识的概念出发，形成 “意识 + 数学语言” 式的定义。 符号意识是人对数学符号的一种态度和感悟，在一定程度上强调了符号意识中的 “意识” 层面，注重符号意识中人的能动性，体现了人对数学符号的运用、交流和理解的主动自觉性，“感” 与 “意识” 是不同的，符号意识在强调对 “数” 的理解和表示的同时，还要求学生能够利用数学符号进行运算、推理，在理解运用数学符号过程中感受其能力之所在。与算术中的数感相比，在代数中，符号意识就是数感的一个逻辑延伸。

东北师范大学附属小学刘惠：从研究者的教学设计可以看得到以下启示～从行为的角度出发符号意识的具有 7 种表现：感知和理解符号力量的神奇，能够利用适当的符号表达数量关系，运用符号完成数学证明；明确选取适当的符号或者表达式解决问题；代数问题的解决主要依靠数学符号的操作和表达；在解决问题过程中，能够实现文字符号和图形符号之间的关系；能够用合适的表征方式描述问题，实现不同符号表征之间的转化；能够洞察符号的意义，并与自己的直觉进行对照；体会不同情境下数学符号的不同意义。

东北师范大学附属小学郁宏：通过以上教学设计，我们可以看出，无论是哪一种定义方式，符号意识的内涵都与数学学科是分不开的，都是体现着数学学科抽象的本质，数学符号要比数字更加抽象，符号意识的内涵强调符号感是一种对符号的感悟、观念，这种观点难免给符号感罩上一种只能意会不可言传的神秘色彩，从而使发展学生的符号感成为空中楼阁，难以实现。

东北师范大学附属小学冯丹：符号感是符号语言，这种观点将符号感视为数学语言的一种表征形式，即符号语言，掩盖了人对数学符号的主观能动性。常常有人认为符号感是一种能力，这种观点强调了数学符号的记忆能力与运用能力，忽视了学生借助数学符号去理解数学概念、表达数量关系、完成数学运算和推理，过于重视符号的外在性而忽略了内在性。

东北师范大学附属小学何靖：通过本节课，教育者可以得到如下启示～关于符号意识培养策略的研究，要在教学中注重引入符号的必要性。学生只有首先了解数学符号的必要性与优越性，才能激起学习兴趣；要在在教学中注重不同数学符号 (字母、图形、关系式) 之间的相互转换。

东北师范大学附属小学王丽华：数学符号的教学与数学其他语言表征形式是密不可分的，加强学生数学符号与数学其他语言表征之间的转化，能够促进学生理解数学概念，掌握数学原理，认识数学本质。

自由校区何靖：数学符号意识作为小学生的一个重要核心素养，理应受到数学教育的重视．目前，国内外关于符号意识的研究主要集中在其内涵的界定、要素的构成和策略的培养 3 个方面．而作为一线教师，最为困惑的是不能从操作层面来有效培养学生的符号意识．

自由校区郁宏：数学学科视角下的符号意识 “数学的本质是概念和符号，并通过概念进行运算和推理．” 从数学本质这一视角出发，符号意识的内涵主要表现在数学抽象、数学理解和数学应用方面．

自由校区王丽华：从数学本质这一视角出发，符号意识的内涵主要表现在数学抽象、数学理解和数学应用方面．例如，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对符号意识的内涵界定为 “ 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。

自由校区王丽华：从数学本质这一视角出发，符号意识的内涵主要表现在数学抽象、数学理解和数学应用方面．例如，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对符号意识的内涵界定为 “ 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。

自由校区冯丹：皮尔士指出：“符号包含符号、对象和解释 3 个主题，对象可以是现实事物或另一个再现符号，而符号在与对象的联系中，在符号使用者的头脑中便产生了解释．” 同样也比较注重解释的是胡塞尔的现象学，其研究的符号强调的是对符号文本意义的解释．

自由校区刘惠：符号意识要注重人的能动性，从操作性层面来讲主要体现在对数学符号的表达与理解的主动性．郑毓信教授认为：“会进行符号间的转换与能选择适当的秩序和方法解决用符号所表达的问题而言，主要地都应看成一种自觉的努力．”

认真阅读了顾老师的教学设计，有一个不成熟的建议，仅供参考：画符号与符号化的优越性比较。 “授人以鱼，不如授人以渔。” 教学是为了让学生学会举一反三。教师可以通过对比，让学生明白符号化的，优越性，如将画图的方式与用字母表示的方式进行对比，让学生自己感受符号的便利性。在今后的练习中，学生会有意识地将事物符号化，从而提高效率。（东师附小自由校区答辩教师杨滨）

东北师大附小答辩教师杨滨：第二个建议：符号意识的规范化 上衣和下装在生活中属于两种不同的事物，那么，在数学中也应该将其归成不同的两类。如果全部用数字或字。母来表示，容易混淆。因此，教师还要引导学生规范数学符号。 如。上衣用 A 表示，下装用 B 表示，为了区分两件不同。上衣，可在字母后面加上数字，用 A1、A2 表示，下装则用 B1、B2 表示，以此培养学生规范使用符号，为小学高段乃至初高中的学习奠定基础。

东北师大附小答辩教师吴明宇：通过顾老师的第一轮教学实践有两点启示：第一，符号意识发展是具有不同层次的，即学生的符号理解是具有层次性的；第二，符号意识是关于学生的语言（文字）、图像、表格、符号的一个体系的构成，分析学生的符号意识要注重学生在自然语言即利贝克所说的经验与图像、表格、符号之间的转换。符号意识应体现在具有从信息（语言和图表）中建构符号关系的意识，并能建构符号关系。

自由校区郁宏：关于符号认识：符号认识在年级方面存在显著差异；符号认识在数学成绩方面存在显著差异；符号认识在年级与成绩交互性方面、在年级、性别与成绩的交互性方面均存在显著差异；符号认识在性别方面不存在显著差异．关于符号理解：符号理解在年级方面存在显著差异；符号理解在数学成绩方面存在显著差异；符号理解在性别方面不存在显著差异，同样在年级、性别、数学成绩之间的交互性方面也不存在显著差异．

自由校区冯丹：关于符号运用：符号运用在年级方面存在显著差异；符号运用在数学成绩方面存在显著差异；符号运用在性别方面不存在显著差异，但在年级与性别的交互性方面，存在显著差异；在其它交互性方面不存在显著差异．以上分析结果说明分析框架的维度和具体成分能反映出不同年级的学生、不同数学成绩的学生、不同性别的学生以及相互交互性在符号意识方面所表现出的差异．差异性说明该分析框架能够分析不同学生的数学符号意识发展水平，在具体教学实践中可以作为行为评估指标，具有可操作性和合理性．

自由校区何靖：数、数量关系、规律都是数学抽象的产物，用数学符号表示这些抽象的数学对象，既是发展符号意识的重要途径又是分析学生符号意识的重要途径．同样，对符号意识有可操作性定义的观点有：“符号意识内涵包括理解并会用符号表示数、数量关系和变化规律；用符号进行运算和推理．”“ 能够理解并运用符号去表示数学的意义和结构、运用符号进行运算和思考．”“ 符号意识的要求具体体现在符号理解、符号操作、符号表达和符号思考 4 个维度．

自由校区刘惠：数学学科视角下的符号意识 “数学的本质是概念和符号，并通过概念进行运算和推理．” 从数学本质这一视角出发，符号意识的内涵主要表现在数学抽象、数学理解和数学应用方面．例如，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对符号意识的内涵界定为 “ 符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式”

自由校区王丽华：随着数学学习的展开，以及随着年级的升高，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》和教科书对学生符号意识的要求也在逐步提高，具体反映在学生对数学符号理解的深度、广度变化，以及学生在表达客观事物数学关系时使用符号表达的意识、频率、合理性、复杂性等方面的差异．

东师附小答辩教师吴明宇：再次认真研读了顾老师的教学设计，本节课设计了搭配衣服、搭配主食、搭配路线问题串，不同的教学环节承载着不同的教学价值，使得有序思考、符号化思想、优化思想等数学思想方法分层次、分步骤地在问题情境中渗透。比如在搭配服装这一环节，重点是让学生学会有序思考，使学生明白通过怎样的方法才能找出一种既不重复又不遗漏的搭配方法。同时，让学生借助摆一摆、画一画的活动，将搭配方法初步抽象出来，不仅帮助学生的思维由具体上升到抽象，也让学生在对比的过程中深刻感受到符号表达的简洁性。

东师附小答辩教师吴明宇：提一点建议，希望教师通过学生动作表征，在迁移中让思维更全面，教师向学生提供充分经历数学活动的机会，帮助他们在自主探究、合作交流的过程中，真正理解掌握最基本的数学知识与技能、数学思想与方法，从而获得广泛的数学活动经验。通过动手操作 1. 摆一摆：用最简洁的方法记录下来。2. 算一算：计算出一共有几种搭配方法。3. 说一说：同桌互相说一说算式的意思。学生通过动手操作，以 “摆” 助思，在 “摆” 中发现规律。借助表格，从形到数，再从数到算式，理解搭配问题的方法就是思考几个几。通过改变某个搭配要素的数量，从而观察增加几个几，进一步加深对搭配问题的理解。通过这种由静态到动态的表征方式，搭配问题的方法不断迁移，让学生的思维更全面。

东北师大附小答辩教师吴明宇：顾老师在搭配主食的环节，不仅复习了符号表示法，还引导学生自主观察搭配的方法，发现乘法原理，讲清楚乘法算式的意义，在巩固的基础上进行了拓展。最后的路线搭配是让学生选择自己喜欢的方法解决问题，有的学生通过连线画图解决，还可能有的学生运用乘法原理解决，学生感受到知识可以多元表征，灵活运用知识解决问题。

答辩教师薛若冰：顾老师第二稿将情境更改，创设服装搭配的现实情境，这样的设计更利于激发学生学习兴趣，以解决问题的思路培养学生审题意识，调动学生已有经验，为新知奠定研究基础。

答辩教师薛若冰：培养学生的符号意识要做到以下三点：借助问题情境帮助学生理解数学符号的意义；在教学中讲清数学符号的来源、本质和意义；注意培养学生数学语言与其他语言的转换能力。站在一线教师角度，也认为须在实际问题和具体情境中培养符号意识，让学生经历 “具体案例到个性化表达再到数学化表达” 的渐近过程。

东师附小答辩教师吴明宇：本节课如果只是单纯告诉学生加法原理或者乘法原理，学生会误以为是两种物品个数的简单相乘，而导致学生对其中的道理一知半解。因此，在深入挖掘教材意图的基础上，顾老师让学生在充分的活动体验中分层次、逐步感受多种数学思想方法。

东师附小答辩教师吴明宇：顾老师的教学设计和实践中能让学生感受到符号之美。数学家莱布尼茨曾说：“符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，它以惊人的形式节省了思维。” 也就是说，形式简洁的符号不仅看起来具有美感，对人们思考数学也有促进作用。符号表征让思维简化的原因在于，符号具有压缩信息的功能，其中蕴含大量信息，从而有利于人们快速获取信息、有效分析与解决问题。

东师附小答辩教师吴明宇：顾老师的教学中新课环节借助分析前测作品，暴露学生的思考过程，梳理有序经验；注重习题之间的对比、沟通、联系，问题信息传递、加工、整合的思维活动，如此，通过一次次的沟通联系，学生就能感受符号的简洁性、高效性。

答辩教师薛若冰：在数学解题教学中，教师总是习惯教给学生以下解题程序：呈现问题、阅读问题、理解问题、解决问题。当然，这个程序本身没有存在什么缺陷．但是，教师一直很少关注这些外在解题活动背后的内在思维实质，也就无法认识整个解题程序的合理性和有效性．无疑，问题表征是从心理学角度认识解题过程乃至教会学生如何解题的一条有效途径。顾老师可否在这一方面思考一下？

东师附小答辩教师吴明宇：有效的变式素材有利于学生掌握数学知识点本质属性。顾老师的教学设计中，回归生活情境，进一步加深对搭配问题的理解。吃早餐问题中搭配数量变了，由此可以进一步理解几个几的含义。路线问题将搭配要素隐藏在题目信息中，需要学生深入思考、判断，并感受与之前搭配问题的联系，从而让理解更深入，真正做到类比融通。

顾老师的两稿教学设计中都非常重视学生符号意识和分类思想、有序思考的思想的培养，精心设计了很多学具，精心设计了学习卡片。从教学理念和教案设计上看，非常精彩。就其中几个教学中可能出现的情况和顾老师探讨一下： 1. 上面王老师曾经也提出过，在实际生活中，一件衣服不能同时出现 2 张卡片，但又要同时展现出不同的搭配方法，这是实物展示和抽象之间的一个矛盾，对于这个矛盾，您有什么方法解决？ 2. 在学习卡中，我看您给了学生 5 个图，学生手中是否还有相应的图片？

东师附小答辩教师吴明宇：建议顾老师在教学中，可以适当拓展延伸，思维提升，如有 2 件上装、3 件下装和 2 双鞋子。每次上装和下装只能各穿 1 件，鞋子也只能穿 1 双，一共有（ ）种穿法。2 件上装和 3 件下装一共可以搭配 6 种，增加 2 双鞋子，相当于增加了 2 个 6 种，所以一共有 12 种穿法。从两类搭配提升到三类，甚至是 n 类搭配，通过有序连线法将 n 类物品的搭配问题转化成两类物品的搭配问题，帮助学生推导出解决多类搭配问题的模型。这样的拓展延伸，打破了学生用两种搭配要素的数量相乘得出搭配总数的思维定式，进一步凸显了数学本质，使学生的思维在深思中走向通透。

答辩教师薛若冰：实践发现，学生习惯将符号或字母看作某个未知数，一方面是受认知水平的限制，另一方面是学习中缺少恰当的问题情境来激发学生运用符号表示一般数的内需。因为学生接触的都是具体问题，利用具体数字通过运算推理解决问题后，学生不会再深人思考，“符号表示数” 的行为便无从产生。所以，教师要善于将具体问题拓展为一般问题，驱动学生将具体数类推为任意数。顾老师可以参考一下。

东师附小答辩教师吴明宇：符号更重要的价值在于符号能参与运算和推理过程，从而使获得的结论具有一般性。理解符号表示任意数，学生才能根据数量关系用符号建立代数式，表示数学公式、运算律和数学模型等，从而一般化地表示数学。教学中发现学生可以用符号来表示具体问题，但利用符号推理解决问题后，学生不会再深入思考，符号表示规律的行为便无从产生。所以，建议顾老师教师将具体问题拓展为一般问题，驱动学生总结规律。

答辩教师薛若冰：说到数学符号，部分学生首先想到 “加减乘除运算符号”，很少想到其他数学符号；部分学生对于数学符号缺乏整体认识，数学符号意识不强，对数学符号的内涵缺乏深刻的理解。教学中教师常忽视对学生符号意识的建构，把符号直接呈现给学生，注重记忆，忽视符号与符号意识的联系。顾老师可以在接下来的教学设计中加以强化。

答辩教师薛若冰：多数教师认为只有美术、音乐等科目才和 “美” 有关 “美” 的教育在小学数学教学中常被忽略。事实上，数学符号完美地反映了数学的美，折射出数学的简洁美和统一美。学生对符号美体会越深刻，则主动运用符号的意识越强烈。因此，顾老师可否尝试努力在课堂教学中创设各种探究活动，使学生在活动中体验符号的简洁美和统一美，从而提高学生的符号运用意识，培养学生的符号意识。

东北师大附小答辩教师吴明宇：学生在低年段很容易把符号局限的理解为加减乘除运算符号，甚至一些学生在四年级学习用字母表示数时才深入了解符号表征的作用。明确符号表征的时机符号意识是一种主动使用符号的心理倾向，需要在广泛的运用中养成。因而，顾教师借搭配这一课并让学生明确可以进行符号表征的时机，引导学生用符号表示数学内容，事学生十分受益。

在顾老师的第二轮反思中，强调了对学生符号意识的培养，从实物操作到用抽象的符号去表征问题，探索问题，是孩子思维提升的一个重要过程。孩子们使用的符号肯定是多种多样的，表述的过程可能也不一定都是简洁和完美的，但是，数学学习的过程就是在孩子们的交流和谈论中，孩子们逐渐简化繁杂的表述，最后得到数学最本真的、最简洁、最优化的方式表达。

东北师大附小答辩教师吴明宇：顾老师在第二轮反思中做了细致深入的前测，全面了解了二年级学生思维起点和学习起点，为后续的教学设计调整中实现 “画符号到符号化的转化” 和 “符号化向符号规范化” 做了充分分准备。

东师附小答辩教师吴明宇：二年级学生在解决搭配问题时很容易想到画一画的方法，但学生画一画的方法一部分是绘画图像而不是真正的符号化，符号化是指将实际问题转化为数学问题，建立数学模型的过程。符号化超越了实际问题的具体情境，揭示和指明了数学道理，这应该是顾老师这节课中的难点。

东师附小答辩教师吴明宇：解决问题时解决问题与符号意识密切相关。小学数学教学需要培养学生 “四能”。某种程度来说，“提出问题” 是用符号抽象和表达问题，“分析问题” 要借助符号运算和推理，“解决问题” 更是要通过符号建立数学模型，形成解决一类问题的一般方法。所以要启发学生用符号表示出所有的搭配方案，从而一般化地解决此类问题。让学生了解到遇到需要简洁表示或一般化表达数学的情况，都可以引入符号再来分析问题，促使学生今后遇到类似情况时自觉运用符号。

答辩教师薛若冰：根据小学生身心发展的特点和数学符号意识内涵，小学数学符号意识内容可以概括为以下四方面：学会体会数学符号的美；认识常见数学符号，理解符号本质；积极使用符号表示数字、事物、数量、数量关系和变化规律；在生活情境中能使用正确符号去解决问题。顾老师可以考虑在前测中加入这些方面的考察。

东师附小答辩教师吴明宇：建议顾老师后面加入一些生活中的应用，生活中有哪些地方用到了搭配，可以用几天学习的方法来解决问题。让学生更好的联系生活实际思考问题。

答辩教师薛若冰：数学符号感知有三种状态：一是混淆的状态，不能理解数学符号的特定内涵与意义；二是孤立认识的 状态，可以透过数学符号的形式看到数学符号所蕴含的特定含义，但不能理解数学符号之间的关联性；三是全面理解的状态，可以找到数学符号之间的关联性，能够体会不同情境下数学符号所具有的不同意义和作用。顾老师这节课希望学生达到那种状态呢？

东师附小答辩教师吴明宇：顾老师设计的问题指向性明确，小结指导性强。在探究穿衣搭配的问题时有效地引导学生 发现搭配过程中应注意的问题：有序、不重复、不遗漏。之后有通过展示学生不同的记录方法，让学生深刻的体会到数学符号与生活的密切联系。

东师附小答辩教师吴明宇：给顾老师提一个建议，可不可以选择学生更感兴趣，现在学生比较关心的话题做为故事情景来承载学习任务，这样可以更好的激发学生的学习兴趣。

东师附小答辩教师吴明宇：这一课看似内容简单，但实际可以培养学生可以有多个方向，比如有序思考、符号意识、解决问题的思路、建模意识等诸多方面，由于课堂时间有限，建议顾老师着重强化其中几点，做一定取舍。

东师附小答辩教师吴明宇：仔细研读了顾老师的学情调研分析 顾老师全面细致的前测一定会为后续的教学研究提供更多素材，也跟敬佩顾老师精益求精，关注每个细微问题，把所有步骤都做完美的态度。

答辩教师薛若冰：由于小学生的知识储备、思维方式、生活经验、认知心理等存在客观差异，他们对于同一数学问题的符号表征有着全与偏、精与粗、正与误的差异。研究表明，小学生对数学概念的符号表征，反映的并不都是概念的定义，还有可能是概念的同构或类似同构的表象，或对概念作出 “不准确” 或 “不完善” 的 “修改”，甚至是错误的歪曲。需要教师在教学时既关注学生的数学符号表征结果，又要重视学生数学符号表征的思维过程，通过比较、交流、修改、完善等数学活动，引导学生进行反当、批判、诊释，准确理解符号内涵，培养学生严谨细致、精益求精的学习习性，提高数学思维的续密性。

东师附小答辩教师吴明宇：对于二年级小学生而言，数学符号是抽象的，也正因为如此，小学生符号意识的培养显得尤其困难，这需要教师从细节入手，从点点滴滴开始，不断帮助学生总结经验，重视学生用数学符号进行分析解决问题的培养，进一以展学生的逻辑思维能力，帮助学生打破形象思维的局限，树立符号意识，更好的落实核心素养

东北师大附小答辩教师吴明宇：培养学生的符号意识应不仅仅是注重简单的表达，更重要的是符号的一般性，顾老师这一课的选择，正好能从不同情境中让学生感受到符号表征的一般性，是培养低年级学生符号意识的好时机。

东北师大附小答辩教师吴明宇：顾老师的二稿设计中有一些学生连线的方法，这里应用符号来代表衣服是符号表征，其中的连线是否也算是一种符号表征呢，它可不可以是代替复杂文字 “A 搭配 B” 的一种非语言符号呢？

东北师大附小答辩教师吴明宇：顾老师的研究深入且细致，在符号意识主题下，从数学符号的理解，数学符号的应用及数学符号的分类几个维度研究符号，进而设置前测，钻研精神令人钦佩，也为同仁们以后的搭配中的学问这节课铺好了路。

东师附小答辩教师吴明宇：顾老师在最终稿的教学设计中引入学生们都感兴趣的冬奥会我为偶像选餐食、我为偶像搭衣服、我为偶像选路线的情境，设置系列化的情境问题引发学生从头到尾的思考，保证了学生思维的连贯性，有通过层层递进深入的思考，引导学生内化抽象，逐渐产生符号意识。

东师附小答辩教师吴明宇：顾老师对在思考再延伸中提到了学生运用字母认知的六个层级水平，为后续研究和教学提供了方向，可以结合学生的表达方式梳理低年级儿童符号意识的层次性，这一研究将为老师们后续培养低年级学生符号意识提供一定的依据，有很重要的实际意义，期待顾老师后续的研究。