基于度量 发展量感

《长方形的面积》教学设计（一稿）

大邑县子龙街小学 张艺洁

课标解读：

《新课程标准》（2011 版）指出要发展学生的数学思考，其中通过理解常见的量达到能够理解身边有关数学的信息，会用数学语言描述现实生活中的简单现象，发展数感。笔者认为，在 “单位量” 的教学中，数学的建立离不开量感的培养。“量感” 一词最早运用于艺术领域中，而后在数学上，用来表示视觉或触觉对于物体的大小、多少、长短、粗细、方圆、厚薄、轻重、快慢等量态的感性认识。笔者认为 “量感” 在数学教学中可以看成学生在实际情境中主动地、自觉地理解和运用 “量” 的态度与意识，“量感” 的培养和发展更要关注对 “单位量” 的表象感知、直觉判断、参照估测。

《课标（2011 版）》指出：“探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积。” 这是课标中提出的对于量感的明确要求。

教材分析：

本节课教材的四个问题串设计都是指向图形面积的探究。先是引导学生通过用标准单位的正方形摆直接度量出长方形面积；再用度量长宽的方法探究长度和面积的关系，从而间接度量长方形的面积，得出面积的计算推导公式，最后用类比迁移的方法得出正方形面积的两种度量方法。也就是：教材从度量的角度去探究图形面积的计算，通过度量活动发展学生的量感。

学情分析：

学生在本课学习之前，已经通过丰富的面积比较活动获得对面积的表象，又通过面积单位的学习建立了较为丰富的面积量感。二年级学习的长方形、正方形的特征又为进一步发展学生的量感奠定了基础。同时，学生的思维水平和特点决定了他们在活动时方法不够恰当，缺乏有序性，抽象概括能力和推理能力，应用意识都比较弱，所以在活动中需要老师的引导促进其各种能力的提升，从而促进其量感的发展。

教学目标:

1. 知识与技能：通过不同的度量方法，获得对面积意义的进一步理解，在探究活动中，掌握面积的计算方法。在测量和空间推理中，理解长方形面积与长和宽之间的关系，理解面积公式的推导。

2. 过程与方法：在实验、探究的过程中，培养学生的独立思考、动手操作、空间推理能力，在解决问题的过程中发展学生的量感。

3. 情感、态度与价值观：让学生在实验、实际操作中体验学习的乐趣，并通过实际应用的练习，培养学生学以致用的应用意识和创新意识。学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

教学策略: 自主探究，合作交流

教学重难点:

教学重点: 探究并掌握长方形和正方形的的面积公式，会应用面积公式来解决简单的数学问题。

教学难点: 在操作中探究长方形的面积公式为什么是长乘宽，能较准确地估计给定图形面积的大小。

教具学具准备: 长 4 厘米、宽 3 厘米的长方形纸片，1 平方厘米的小正方形若干，方格纸，实物投影，多媒体课件。

教学过程:

一、导入

1. 猜图形游戏

依次出示规则图形和不规则图形

（板书：面积→面积单位总个数）

2. 猜长方形什么样子

师：由 6 个面积是 1 平方分米的正方形拼成的长方形，它会是什么样子的呢？

预设①1 行，每行 6 个②2 行，每行 3 个

师：张老师的信封里面带着只不过上面的其中一种，你们猜是第几种？

（预设：学生借用 1 平方分米去摆，第 2 种装不下）

3. 出示核心问题（课件）

师：上周我们通过面积这个单元课的学习，大家提出了很多有价值的问题。这节课我们就探讨这个核心问题：长方形的面积为什么是长乘宽。

[设计意图：复习面积单位的大小，以及测量面积就是数里面所包含的面积单位的个数，并在游戏中建立学生关于面积的量感。]

二、互动新授

(一) 首学（独立思考）

师：老师袋子有一个小长方形，它的面积是多少呢？

出示独立思考要求：

（1）估一估，这个长方形的面积大约是多少？

（2）想一想，选哪个面积单位比较合适？

（3）选一选，选择合适的工具测量长方形的面积（方格纸、小正方形、直尺）。

（二）互学（小组合作）

小组作测量长方形的面积

学习要求：（课件）

1. 组长分工，人人参与。

2. 依次交流首学内容。

3. 做好汇报准备。

巡回观看发现有用的素材：全铺的、半铺的.....

（三）群学（小组汇报）

1. 组 1 展示交流 “全铺” 情况。(实物投影)

(1) 沿长摆了几个？有这样的几行？一共是几个几？

(2) 算式怎么表示？(板书：4x3=12) 这里的 4 表示什么？3 呢？一共有多少个面积单位？

(3) 用 1 平方厘米的面积单位全部铺满，这是一种方法，谁和他的方法一样？

[设计意图：通过动手操作，用 1 平方厘米的面积单位来测量小长方形的实践活动，使学生学会选择合适的面积单位测量面积，通过铺满、数面积单位的个数，使学生建立和深化面积意识：把所有的面积单位都数上才是小长方形的面积。]

2. 组 1 展示交流 “半铺” 情况：沿长摆一行，沿宽摆一列。 (实物投影)

(1) 探究方法：这是沿长摆几个，沿宽摆几个？为什么可以这样摆？

(2) 能想象出铺满是多少个面积单位吗？

(3) 这种方法不用全摆满，通过想就知道全部铺满以后有多少面积单位了。

[设计意图：通过测量小长方形的的面积，使学生初步体验到全铺麻烦，到铺一部分，只摆一行一列，利用想象也能算出面积单位的总数，在操作中对直接经验进行修改。]

3. 只用一个小正方形量

师：同学们真善于思考，只用一个小正方形来量，也能知道长方形里面有多少个这样的小正方形，也就知道了长方形的面积。你们用智慧发现了长方形的长、宽和 1 平方厘米的面积单位之间的秘密。

[设计意图：促学生深入思考，再次丰富学生间接测量经验，优化方法的同时提高语言表达能力。]

4. 根据长和宽推理想象

生：用直尺量量出长有几个 1 厘米，再量宽有几个 1 厘米，就能知道一行摆几个，摆几行，就知道长方形的面积了。

师：那咱们就请直尺来帮忙，长是 4 厘米，宽是 3 厘米，用直尺量出长和宽，怎么就能知道这个长方形的面积呢？

（四）共学（教师引导）

1. 总结小组汇报（课件）

师：你们太让我佩服了，一个小正方形都没有摆，只需要用尺子量出长和宽就能推理想象出面积单位的总个数。我们再一起把他讲的梳理一 遍，长是 4 厘米，就是一行摆 4 个，宽是 3 厘米就是能摆这样的 3 行，一共有 3 个 4，算出是 12 个面积单位，这个长方形的面积就是 12 平方厘米。谁听明白了 再来给大家说一说，

生：长是 4 厘米，说明一行摆 4 个，宽是 3 厘米，说明可以摆 3 行。3 个 4 - 共是 12 平方厘米。(板书：长、宽)

师：你的接受能力真好，这么快就学会了这个巧妙的方法。你们也看着图，自己说说是怎么推理想象出一共有 12 个面积单位的？

[设计意图: 材料的呈现层次分明，让学生从二维的面积抽象到一维的长度单位，发展了学生的数学抽象和逻辑推理，同时也培养了学生的有序性思维。]

师：这些方法之间由什么联系？

生：都是在算里面包含了多少个面积单位。

[设计意图: 对学生的汇报进行分层次结构化的梳理。让学生找不同测量方法的联系，变化的是不同的方法，不变的是知识的本质：都是在计算长方形的面积里包含了多少个面积单位。也就就是度量的本质是看测量对象里有多少个标准单位。]

3. 类比推导正方形的面积公式

师：你们都是好学的孩子，看这个长方形，你能根据这两个信息，想象出这个长方形中包含多少个面积单位，面积是多少吗？(课件出示长方形：标有长是 10 厘米，宽是 7 厘米) 生：长是 10 厘米，说明一 - 行摆 10 个，宽是 7 厘米，说明可以摆 7 行。7 个 10,10x7=70, 面积是 70 平方厘米。(板书：10x7=70cm2)。

师：同学们太善于总结了，不用摆，只要知道长，就能想象出一行摆几个 (指着板书), 知道宽，就能想象出可以摆这样的几行，长 x 宽，就能知道摆满多少个面积单位了，也就知道长方形的面积了大家再 - 起说一说这个重要的方法 (板书：长方形的面积 = 长 x 宽)。我们学数学就是这样，在不断的思考中，一定能发现解决问题的好方法。

师：(课件出示长方形：长 11, 宽 8) 那你能用我们总结的这个好方法快速算出这个长方形的面积吗？

生：长 x 宽 11x8=88 平方厘米。(课件出示算式)

师：真的是方法用对了，很快就能算出面积了。(课件出示长方形：长 4，宽 8) 那这个长方形的面积是多少呢？

生：4x8=72 平方厘米。(课件出示算式)

师：继续往下想，如果让长继续变短，又会变成什么图形？(课件出示：边长 8 厘米的正方形) 它的面积又是多少呢？

生：正方形，8x8=64 平方厘米。（课件出示算式)

师：说说你这样做的道理，数学是要讲道理的。

生：长方形面积 = 长 x 宽，长和宽相等就变成边长 * 边长了。

师：那你能总结出计算正方形面积的方法吗？

生：正方形的面积 = 边长 x 边长。(板书：正方形的面积 = 边长 x 边长)

师：你真善于联想和推理，根据长方形面积计算的方法，总结出了正方形面积计算的方法，大家再一起来说说这个重要的方法。(板书：正方形面积 = 边长 x 边长)

师：同学们来看，刚才我们一起经历 了数学家研究问题的过程，先通过铺 (数) 出面积单位，逐步推理，找到了更巧妙的办法，最后总结出长方形、正方形的面积计算方法。同学们，学习就是这样一个不断深入的过程。 以后，我们只要知道长方形的长和宽是多少，正方形的边长是多少，就能用这种方法计算出长方形、正方形的面积了。

[设计意图: 课件展示长方形的长为 11，宽为 8，宽不变，长压缩到 9 再压缩到 8 进而通过长方形的面积推导出正方形的面积。培养想象能力，内化操作活动，展现思维状态，推进学生思维发展，深化理解面积计算方法。课件上呈现不同方法之间的联系，找到了知识之间的联系，从而实现知识结构化。]

4. 回顾学习过程

师：回顾我们今天学习长方形的面积经历了哪些过程？

[设计意图: 让学生回顾总结本节课的学习过程、总结知识、归纳整理学习方法，并将这种规律和前后知识进行关联，实现学习方法结构化，从而培养学生的结构化思维。]

三、拓展延伸

(一) 巩固应用，解决问题

师：现在，让我们带着刚才的思考和收获，帮小明解决 - 个困难吧！他不小心打碎了一块长方形的玻璃，你能帮他求出原来玻璃的面积吗？

（二）长方形的长可能更长吗？

师：老师也有一个长方形面积也是 20 平方分米，但形状和前面的不一样（课件上的长 5 厘米，宽 4 厘米），猜老师的长方形的长和宽可能分别是？

生：长是 10 厘米，宽是 2 厘米。

师：长方形的长还可能比 10 厘米更长吗？

生：长是 20 厘米，宽是 1 厘米。

师：长方形的长还可能比 20 厘米更长吗？

生 1：不可能比 20 厘米更长，因为宽上摆一行面积单位就不能再少了所以宽最小是 1 厘米，那么长就不可能更长了。

生 2：有可能比 20 厘米长，比 1 小的数还有小数，宽是 0.5，长是 40。

师：长方形的长还可能更长吗？

生 3：长是 0.1，宽是 0.25 长是 80......

师：这个长方形的长最长是多长？

生：把宽分下去，长可以很长很长，无法计算

[设计意图: 测量面积学生能够很熟悉地知道是用面积单位去摆，摆了多少个面积单位，面积就是多少，因为面积单位边长是 1，所以学生自然而然就认为 1 在面积中就是最小的边长。在最近发展区处设置子问题：长方形的长还可能更长吗？中等生回答了宽比 1 小就没有了，激发优生思考比 1 小的数还有小数，从而压缩宽增加长，面积不变。部分优生带领大家开启了智慧的钥匙，后面学生的思路就完全打开了。并且体会到长宽在变化，但是长方形的面积都是 6 平方分米，从而建立长方形的面积等于长乘宽的数学模型。同时也体会一个乘数乘 2，一个乘数除以 2 积不变，让学生体会等积变形的思想方法；沟通小数和整数以及进一步帮助学生理解长方形的面积为什么等于长乘宽的计算道理，让学生的认知更结构化。]

（三）知识结构化

师：今天学习了我们通过长方形的面积推导出正方形的面积，今后我们还会长方形的面积推导出平行四边形和圆的面积，还会用梯形的面积推导出三角形的面积和梯形的面积。

四、回顾梳理，总结提升

师：同学们，学了这节课，你有什么收获吗？