探索活动：3 的倍数的特征

【核心问题】
3 的倍数有什么特征？为什么有这样的特征？

【教材分析】
本节课北师大五年级上第三单元第 3 课时《探索活动：3 的倍数特征》，本课是在学习了因数和倍数的概念及掌握了 2 和 5 的特征的基础上教学的，学习了 2、5、3 的倍数的特征有利于学生很快找出一些数的因数，是今后判断质数，合数的基础，也为今后学习约分、通分打基础。3 的倍数特征可以借助 2、5 倍数特征的探究方法进行探究，本节课学生会经历操作（圈）- 观察 - 猜想 - 推翻猜想 - 再观察 - 再猜想 - 验证的过程，在这样的过程中逐步培养学生的探究能力。由于理解为什么 3 的倍数特征是各个数位数字之和有难度，教材没有编排解决 “为什么” 的问题。

【学情分析】
学生通过 2、5 倍数特征探究方法的学习，能较轻松迁移到 3 的倍数特征的探究。学生在概括 2 和 5 的倍数特征时，只注意了个位上的数，因此学生在猜想 3 的倍数时，会自然的认为 3 的倍数特征也和个位上的数字有。由此可产生认知冲突，激发学生探索 3 的倍数的特征的欲望。学生比较容易接受 2、5 倍数特征和个位上数字有关的结论，而 3 的倍数的特征和各个数位数字和有关。于是产生为什么 “3 的倍数的特征和各个数位上的数字有关” 的疑问。进而提出为什么 “各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数” 的问题。只有解决了这个问题，才能帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征。

【追问与思考】
1.“倍数” 的实质是什么？
2. 要不要让学生弄明白？
3. 混合式学习该怎样学？怎样教？

【教学目标】
1. 学生结合微课和导学单，通过观察、操作、猜想、验证等活动，认识 3 的倍数的特征，并能根据特征进行判断。
2. 学生借助小正方体模型直观理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理，培养学生数形结合的分析推理能力。

【教学重点】
3 的倍数的特征，并能正确判断 3 的倍数。

【教学难点】
理解 3 的倍数特征中蕴含的数学原理

【学习方式】
线上微课预学 + 线下课堂教学

【学习时间】
40 分钟

【学习地点】
录播室

【学习准备】
微课、探究单、PPT

【学习过程】
一、快乐分享
师：同学们，课前，大家已经利用预学单和北师大 3.0 微课，对探索 3 的倍数特征这一课进行了学习，通过  预学，你知道了什么？
生：1. 我已经知道 3 的倍数的特征是什么了。
   2. 我知道如何找到 3 的倍数特征。
 PPT 出示问题：
1.3 的倍数有什么特征呢？
  （出示预学单中收集到的问题）
将所有数位加起来，和如果是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
师：老师在预学单中收集到了这样的答案，你有什么想说的？
生：应该是将所有数位上的数字加起来。
师：请你说说 3 的倍数特征。
生：各个数位上数字之和是 3 的倍数。
师：谁来举例说说。
（请生举例，正反例子都有，副板书出来）
师：你们不仅知道 3 的倍数特征，还能用 3 的倍数特征判断一个数是否为 3 的倍数。是利用微课认真预学的好孩子。
(设计意图：学生通过具体数字举例，如果能清楚的说出这个数是不是 3 的倍数，说明学生已经知道了 3 的倍数的特征，并能通过特征判断一个数是否为 3 的倍数。）
PPT 出示问题：
2. 你是怎样发现的？
师：3 的倍数的特征又是如何发现的呢？
生 1：百数表中圈出 3 的倍数
生 2：观察百数表中 3 的倍数，发现：都是一斜行一斜行排列的。
生 3：观察百数表中 3 的倍数，发现：除 30、60、90 外，每一斜行个位数字依次减 1，十位数字依次加 1。
生 4：观察百数表中 3 的倍数，发现：个位和十位数字之和都是 3 的倍数。
生 5：通过 “个位和十位数字之和都是 3 的倍数” 这一发现，猜想 3 的倍数特征可能是各个数位数字之和是 3 的倍数。
生 6：对百数表以外的更大数进行验证，发现也符合我们的猜想，于是就认为 3 的倍数特征就是各个数位数字之和是 3 的倍数。
师：大家有没有发现，探寻 3 的倍数特征的过程与探寻 2、5 倍数特征的发现过程是相似的。
生：都先利用百数表圈出倍数，去观察发现规律。
师：对，这样的研究是小范围研究。
板书：小范围研究
生：然后对规律进行合理猜想，再验证猜想。
板书：猜想
师：对，然后扩大范围研究，验证规律。
板书：扩大范围验证
师：最后呢？
生：得出结论
板书：得出结论
(设计意图：通过微课关键环节截图，对 3 的倍数特征发现过程进行回顾，勾联 2、5 倍数特征发现过程的相似处，让学生体会到操作、猜想、验证、结论是研究问题的基本方法和策略。)

二、探个究竟
（一）提出问题
师：研究到这里，大家提出的两个问题也已经解决了。在预学单中老师还发现了同学们想问的问题，我们一起来看看。
PPT 出示学生预学产生的问题
（为什么各个数位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数？）
师：这些问题中，你最想解决哪个问题？
生：为什么各数位上数字和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数？
PPT 出示：
  为什么各个数位上数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数？
师：写下这些问题的同学有没有去查阅资料进行探究呢？
生：有（请生说）。
生：无。
师：这个问题本身有难度。当我们遇到难题时，通常从简单问题入手，找到其中的规律，复杂问题也就变简单了。
（二）研究两位数
师：老师为大家带来了 4 个数字，12 、22、42 、142。你们准备从哪个数字开始研究。
PPT 出示：12   22   42   142
生：12
师：从最小的 12 开始。12 我们是如何判断的？
生：1+2=3，3 是 3 的倍数，12 就是 3 的倍数。
PPT：
探个究竟：为什么 1+2=3，3÷3=1，12 就是 3 的倍数？
PPT 动画出示 12 个小正方体分一分的过程
师：你能看懂分小正方体的过程吗？如果你能看懂，并能解释请选择 A 锦囊，如果你似懂非懂，请选择 B 锦囊，如果你看不懂，请选择 C 锦囊。（分层设计 3 类锦囊，从 12、22、42 依次研究）
学习要求：
（1）自己选择适合的锦囊。
（2）独立研究，完成后可以做锦囊后面的 “做一做”。
（3）在小组交流。
（4）时间 5 分钟
生：12 个小正方体，是由一个十和 2 个一组成。一条 10 个 3 个 3 个分，分走 9 个，还剩 1 个。十位剩余的 1 个和个位的 2 个合起来就是 3 个，剩余的 3 个能被 3 整除，所以 12 就是 3 的倍数。也就是说 1+2 中 1 表示十位剩余部分，2 表示个位的数。

PPT 动画再现分的过程。 



师：一个十，3 个 3 个分，分走 9 个，余下 1 个。余下的一个再和个位的两个合起来，这 3 个能被 3 整除，所以这 12 能被 3 整除。
可以表示成：
   12
/     \
10     2
/    \
9    1
师：分解 12 的过程我们还可以表示为 12=10+2=9+1+2。9 是 3 的倍数，1+2 中的 1 和 2 正好对应 12 各个数位上的数字。
（设计意图：12 是两位数中 3 的最小倍数，通过 1+2 的理解，初步感知加法算式中的 1 表示十位 1 个十分走 3 个 3 后余下的 1。数形结合，从形的分解到数的分解，最后到算式表达，为学生理解数论原理做铺垫）
师：22 谁能说明白？                      
生：22 十位可以分成 2 个十，1 个十分走 9 个剩一个，2 个十分走两个 9，剩 2 个一，十位共剩余 2 个，再和个位的 2 合起来是 4，4 不是 3 的倍数，所以 22 不是 3 的倍数。
PPT 动画展示：

（设计意图：22 十位上 2 个十，学生从已知 1 个十余 1 个一迁移到 2 个十余 2 个一，初步感知几个十就可以余下几个一。）
师：42。我们是如何判断？
生：4+2。
师：4+2=6，是 3 的倍数，谁能说清楚 4+2 表示什么？
生：42 中 40 可以分成 4 个十，1 个十分走 9 个还剩一个，4 个十分走 4 个 9，剩 4 个一，也就是十位剩余 4 个，再和个位的 2 合起来是 6，6 是 3 的倍数，所以 42 是 3 的倍数。
PPT 动画展示：

师：1 个十余 1，2 个十余 2，3 个十余 3，3 个十怎么余 3 呢？
生：先不分走。4 个十余 4，和个位 2 和起来是 6，6 是 3 的倍数。
（设计意图：42 十位上 4 个十，通过对 3 个十是否余下 3 个一的质疑，感知十位上有几个十就余下几个一。）
PPT 出示 12、22、42 动画图



师：回过头看看这三个数，你有什么发现？
生 1：各个数位数字之和应该表示分走 3 的倍数部分剩余部分。
生 2：十位有几个十就会余下几个一（十位剩下个数对应十位上数字）。
师小结：通过观察发现，各个数位数字之和表示分走 3 的倍数部分后剩余部分。同时还发现十位有几个十就会余下几个一。
师过渡：十位有几个十就会余下几个一。百位几个百，分走后又剩余多少呢？来看看三位数，142。
（三）研究三位数
师：三位数，142。我们用 1+4+2 判断。
生：142 由 1 个百，4 个十，2 个一组成。
百位上 1 个百，分走 99，余 1。十位 4 个十，分走 4 个 9，余 4 个一。百位、十位剩余部分和个位合起来，一共 7 根，7 不是 3 的倍数。
师：百位上分走 99，能具体说吗？
生 1：百位 3 个 3 个分，分走 99，分走 3 的倍数。
生 2：剩余的 1 和百位上数字 1 正好对应。
生 3：有几个百就会余下几个一。
PPT 动画展示


（设计意图：142 中百位上 1 个百和算式 1+4+2 中的 1 个一做对比，理解 1 个一是 1 个百分走 99 个后剩余的 1。迁移推理百位有几个百就余几个一。）
（四）研究更大数
师：自己写一个更大的数，也这样去探个究竟。先独自探究，再讲给小组伙伴听。
（设计意图：通过更大数的探究，学生已有几个十余几个一、有几个百余几个一的基础，进一步推论数位上有几个计数单位就余几个一，帮助学生更好的掌握 3 的倍数的特征，同时还可以帮助学生理解结论背后用字母表示更具普遍规律性的理论依据。）
师：为什么各个数位上的数字之和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数这个问题解决了吗？
生：解决了。
师：接下来运用自己学到的知识解决问题吗？拿出导学单，完成后面练习。
三、学以致用
PPT 出示：
（一）、判断
1. 个位上是 3、6、9 的数一定是 3 的倍数。（  ）

2. 个位、十位、百位上数字都相同的 3 位数一定是 3 的倍数。（  ）


（二）、你能快速判断这个数是否为 3 的倍数吗？

     3786549210
四、触类旁通
1.2 和 5 的倍数为什么只用看个位上的数字？用这样的方法研究一下试试看。
2. 通过研究 2、3、5 的倍数的特征，你发现了什么？
3. 用这样的方法是不是可以研究 “9、7、4 等的倍数的特征”？ 

师：这节课我们研究了什么问题？
这节课你们还有什么疑问？  

【作业布置】
 题单

【板书设计】
                 探索活动：3 的倍数的特征
小范围研究         3 的倍数特征：
猜想                  各个数位数字之和是 3 的倍数？！
验证           1+2=3                          12=   10   +    2
结论             12（√）                       =   9    +     1  +  2
                                             3 的倍数   各个数位数字之
                                       
            2+2=4        4+2=6       1+4+2=7
              22（×）    42（√）     142（×）


【教学反思】