平均数：一把描述数据特征的 “尺子”—— 度量思想下的《平均数的再认识》教学案例辽宁省大连市沙河口区刘家桥小学王丹

一、 概念解读 —— 统计意义下的度量 度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学，进而认识现实世界的工具。常见的度量是几何概念下的度量，是借助工具得到的，是人实践的结果。如度量长度有多长、面积有多大等；区别于实际工具的一类度量是由抽象得到的，是人思维得到的，如借助人对数量多少的感知本能抽象出十进制。还有一类度量是关于数据分析的度量即统计意义下的度量，即 使用各类代表性的数量特征值来准确地描述一组或几组数据的状态。对一组数据的特征描述主要是在集中趋势、离散程度、数据分布形状等的度量。而数值平均数也叫算术平均数即小学阶段所学习的 “平均数” 就是最常见的最重要的数据集中趋势的度量值。

二、 教材分析 —— 方法与应用的衔接，凸显度量的价值 从数据分析观念的培养来看 1-4 年级统计与概率的教材编写层次上学生经历了自主收集整理数据，到使用简单统计图表直观表示数据，简单统计图表 可以反映出被研究对象的一些状态和特征，已经能够得到若干规律性认识，但总体而言这些认识还比较肤浅，数学高度抽象下的简洁、精确度体现不够。因此，教材编写到 4、5 年级开始引导学生学习求平均数的方法，直至本单元学习用平均数这一度量值为 “代表” 来解决实际问题，达到准确描述一组数据的特征，获取更深刻的科学认识，感受数学度量本质的学习目的。

三、 学情分析 —— 以度量为切入点，把握学生学习 “脉搏” 基于对概念学习和教学分析，面临疫情的现状，我借助网络平台对我校五年级的 86 个学生进行了学情调研，主要调查学生对平均数意义的理解和算法掌握： 量化分析：（1）从第一题看对于平均数的意义理解，三分之二学生不是真正地理解平均数作为度量值的意义。（2）从第二题看对于平均数作为度量值的作用的理解，大约三分之一的同学能理解平均数的度量作用，对于数据的随机性理解不是很好。（3）从第三题看大部分学生掌握一种或两种对求平均数的方法。 综合剖析： 学生会求平均数，但对于平均数的统计学意义理解仍然浅显，部分同学已经能够源于生活经验从度量的角度理解平均数作为一组数据代表性特征的作用，在新授中应设置实际的生活情境继续理解其度量作用。学生对于数据随机性的理解较弱，应在课堂上提供调查和收集数据的机会，进一步感受数据的随机性。

四、学习活动设计 （一）学习目标

1. 结合 “免票线” 情境，经历抽样调查，理解将学龄前这一不易直观度量的指标，转化为易度量的身高，再通过观察呈正态分布的身高条形统计图，体会平均数反映数据的集中趋势，应用平均数的 “代表” 意义说明免票线的合理性。

2. 结合 “歌唱比赛” 情境，借助复式条形统计图，体会极端数据对平均数的影响，理解当数据较少时，“去掉极端数据求平均数”，以保证平均数作为度量一组数据整体水平的标准的合理性。

3. 在解决问题的过程中，积累经验，能够根据问题需要选择合适方法，发展数据分析观念。

（二）学习重难点 （ 见 PPT）（三）学习过程：三个实际问题牵引下的平均数再认识

1 确定免票线的实际问题：问题解决，感受度量价值

出示情境： 师：看了这个信息，你有什么不懂的地方？ 生：什么叫学龄前？学生讨论交流。 生：如何确定的 1.2 米免票线的？学生表达自己的想法。

【设计意图】：学生基于两个问题，体会学龄前儿童（小于 6 岁）的年龄不易观测，所以将其转化为易度量的身高数据，就更方便。一组统计数据中，单个的数据是具有不确定性的，要选择具有合理性、有效性和准确性的数据标准度量，才能刻画这一组数据的规律。通过这个实际问题的讨论交流，学生能够在已有生活经验与学习方法的支撑下，初步感受平均数作为度量值的 “代表” 意义。

师：这就是老师用你们抽样的数据算出的平均数。 现在你觉得把这个免票线定在 1.2 米合理吗？(出示正态分布图) 这是全大连市 6 岁儿童的身高分布情况，能借助这个图来解释？学生基于合理性的问题，结合实际统计图、表进行交流分析，在这其中进一步感受平均数作为度量值所表现的这组数据的集中趋势和离散状态，从而理解以平均数为代表确定免票线的合理性。

【设计意图】：借助正态分布图，让学生直观感受 6 岁儿童的身高集中在 1.2m 左右，平均数像一把可以度量的隐形的尺子一样，大部分数据集中于尺子的位置，个别数据离散于尺子两端，低于的涵盖在内可以免票，高于的极端情况，制定标准比平均数稍大一些，就能涵盖大部分学龄前儿童。在讨论合理性的问题中平均数一直是作为度量值参与其中，这对于学生用平均数作为度量这组数据代表值的合理性就会有深一个层次的理解，也能够进一步体会数据分析的价值。

5. 师：这个 1.2 的免票线是不是固定不变的呢？我们来看 (出示 2020 年大连 6 岁儿童的平均身高 1.23m) 此时的免票线应该设为多少，为什么？

【设计意图】：借助正态分布图，学生感受到平均数作为度量一组数据特征的代表值，看出组内数据与平均数的差距，还能看出不同组数据的整体水平的差异，为数据分析提供了更丰富的角度，提升了学生的数据分析能力。

2 歌唱比赛 —— 极端数据的影响，进一步体会平均数的度量价值 1. 师提问：(出示歌唱比赛情境) 既然平均数具有代表性，请同学们求出几位选手的平均分，请把统计表补充完整并排出名次。 2．出示复式条形统计图，你有什么发现？

小组讨论后全班汇报。3. 在实际比赛中，我们常常采取去掉一个最高分和最低分再算平均分的计分方法，你能说出其中的合理性吗？学生讨论。4. 师：如果我不想把极端数据去掉，怎么能让咱们的标准更科学呢？

学生通过讨论得到增加评委人数的方法。【设计意图】：引导学生体会数据较少的情况下，平均数作为度量值的代表性受到极端数据的影响，无法作为刻画一组数据集中趋势的标准和尺子（度），通过去除极端数据的影响，能够让度量标准更准确。当然也可以增大样本，让数据更科学。

3 喜爱学科问题：应用平均数解决问题，感受数据分析的价值

【设计意图】：对于全班同学对某课程的喜欢程度这个不可度量的信息，先通过 1-5 等级量化每人的喜欢程度，再通过求出平均数，量化全班同学喜欢程度，感受平均数可以度量的力量，让学生感受到数据分析的魅力。

度量是数学的本质，统计数据只有在日常教学中，解读文本解读知识背后的本质，才能够真正提高学生的数学核心素养。