度量让数学学习变得更通透

   《分数的再认识（二）》案例分析

辽宁省大连市沙河口区玉华小学 张婷婷

一、案例背景：

 史宁中教授提出：“没有度量就没有数学。” 

    他强调：“人之所以能度量，并能够对度量单位得到广泛共识，是基于人的两个先天本能，是人能够理解和研究数学的基础，这两个先天本能就是数学教育的出发点；人还具有两个特殊的能力，就是借助这两个特殊能力把两个先天本能延伸到对事物的某些指标的量化，这就触及到了度量的本质。” 即数学的产生。

从这个数学教育的出发点，我将分析在《分数的再认识（二）》一节课中，对利用学生感知的先天本能，来发展他们抽象思维能力的教学实践研究。

二、案例描述：

（一）教材分析：

1、本课内容：

北师大版教材五年级上册《分数再认识（二）》一课，从度量的角度进一步阐明分数的意义，为我们提供了鲜活的教学情境引出创造分数单位的必要性，让学生体会分数单位的价值。

2、横向梳理：

《分数再认识（二）》是本单元内容的主线，包括分数除法、分数基本性质及相关的内容，这些知识的学习是进一步学习分数四则运算、运用分数知识解决实际问题的基础，是分数教学的重点。

3、纵向梳理：

从度量的角度分析，教材以往和后续学习的这些度量单位都是借助工具、依赖人的先天本能通过实践得到的。

而本课学习的分数单位是不能单凭借助工具和依赖先天本能就可以获得的，它还需要经过具体 - 想象 - 抽象的过程，舍去数字后面带有现实背景的量词，实现更高层次的数学抽象。

综上，度量贯穿数学学习始终，是数学学习一条隐性的主线。度量就是数学的本质。它能打破数学知识间的壁垒，让数学学习变得更通透！

（二）学情分析：

为了更好的了解班级学生的思维水平和发展分向，我对班级学生进行了前测调研。

1、前测题目：

不用小尺，选择合适物体，测量数学书的长度。

估计出大约是几个你所选择的物体？

你为什么用这个数表示数学书的长度？

2、前测结果:

只有 1 名新转来的学生采用两个标准物体进行测量，记录为 1 个作业本 + 1 个橡皮的长度。其余学生都能用一个标准物体来进行测量，但其中 40%的学生不知道怎样测量结果不足 “1” 部分的长度。准确用分数表示不足 “1” 的长度的学生，经过追踪访谈发现 30%的学生没有真正理解单位长度变短后新单位产生的意义。

3、前测结果分析：

学生没有用分数表示出度量的结果，难道就一定没有单位意识吗？学生用分数表示出了纸条的长度，难道就已经具备了清晰的单位意识和创建单位的能力了吗？

于是又对每一类学生进行了追踪访谈，发现学生的单位意识处于不同的思维层次。由此，制定如下可视化教学目标。

（三）可视化教学目标：

知识与技能：通过折、量小纸条的实践操作，认识分数单位，能熟练找到一个分数的分数单位，会比较分数单位的大小；经历分数单位产生和累加的过程，进一步认识分数。

过程与方法：经历分数单位的探究过程，结合 “分数墙” 模型，从度量的角度理解分数单位出现的必要性。

情感态度价值观：能用数学语言准确表达解决问题的过程、解释所得结果，形成度量意识。

教学重点：经历分数单位产生和累加的过程，进一步认识分数。

教学难点：进过对测量不足 “1” 部分的长度，体会分数单位产生的必要性。

三、教学片段：

（一）问题引领，唤醒度量意识

教材情境：用小纸条量一量数学书的长和宽各是多少？

提问：不够 1 的部分，该怎么继续量下去才能正好量完？如何表示其长度？为进一步从度量的角度认识分数做准备，使学生在实际操作中发现分数单位的产生是实际测量的需要。

（二）实践操作，积累度量经验

面对上面核心问题的引领，组织学生小组合作学习。

合作交流中体会纸条变短是减小单位的方法，有的学生把纸条对折用一半去量，还是不能正好量完；有的学生把纸条对折两次，用纸条的四分之一去量正好量完。其实对折的过程就是要实现对 1 个纸条的平均分，正是创造单位的过程。

顺势提问 -- 师：有更短的长度需要测量，怎么办？

目的是让学生在折、量的过程中，逐步体会到当 1 不能正好量完时，可以通过平均分寻找新的单位，分数单位二分之一不能量完时，可以寻找四分之一。如果四分之一不能量完时还可以继续寻找八分之一，十六分之一..... 即标准不断在变小，有的学生甚至联想到当单位精细到 1 毫米时，这张纸条其实就是工具尺的一部分了，顺利实现从工具度量到抽象度量、再由抽象度量联系工具度量的有机结合。

学生用比四分之一更小的八分之一做标准时量了 2 次，也就是是 2 个八分之一表示为八分之二。学生得到了四分之一和八分之二这两个分数，它们大小相等，只是测量标准不同，我顺势提出一系列直指度量核心本质的问题，借助小组合作探究让学生展开讨论。

提问：四分之一和八分之二哪个数更重要？

冲突激发思维投入，学生各抒己见，思维碰撞中得出四分之一更重要的结论。因为四分之一是一个标准，用它可以累加得到四分之二、四分之三等更多的数，而八分之二并不是标准，它是 2 个八分之一累加得到的结果，而八分之一才是它的标准，先有八分之一才能得到八分之二。

师：那用四分之一和八分之一还能创造出哪些分数？

学生通过单位的累加甚至创造了四分之九、八分之十这样的假分数。数形结合再次体会到度量单位的作用，通过单位的累加可以得到更多的分数，感悟分数也是可以数出来的。

思考：除了用二分之一、四分之一还有八分之一做单位以外，还可以用什么做单位呢？

使学生意识到不仅对折后形成的偶数分之一可以做单位，像三分之一、五分之一、七分之一的奇数分之一也可以做单位，明确还可以有无数个单位，体会单位的选择是根据实际需要而产生的。

（三）数形结合，理解度量本质

在此基础上，揭示分数单位的概念，呈现完整的分数墙，让学生观察、讨论这些由分数单位组成的分数墙有什么特点，能发现什么规律？

借助直观模型，让学生再次回顾分数单位产生和累加的过程，整体认识分数单位，数形结合直观比较分数单位的大小，理解分数单位的本质属性，感受度量的价值。

四、案例剖析：

 差错向前一步就是新的正确

每次下课之前都会让学生勇敢地提出自己的疑问和想法，其中有这样两个问题想与大家一起分享。

第一个问题是：“老师，为什么分数单位的分子都是 1？我觉得像八分之二那个分子是 2 的分数也可以当单位呀！1 个八分之二是八分之二，2 个八分之二就是八分之四..... 为什么分子一定是 1？”

第二个问题是来自那位新转来的学生，就是前测题中用一个作业本加一个橡皮两个物体来测量数学书的那位同学。“虽然我选择了两个物体，但利用的都是长度单位，标准是统一的，为什么不可以这样测量？”

完全由学生自主生成的问题是最好的教学资源，这种开放式问题的答案已不再重要，重要的是学生在争辩中所展现的思维火花的碰撞与提升。两个问题的提出直指度量的核心本质，可以显性化看出学生的先天本能向特殊能力的发展过程，唇枪舌战的背后是对分数单位更深层次的理解。学生的抽象思维在冲突中得到更好地发展。

五、案例总结：

回顾本节课，我创设了 “以学生为主体的深度学习课堂教学模式”，通过前测唤醒学生度量意识；经历实践操作、借助分数墙的直观模型感受度量的价值；再通过小组合作学习，以任务驱动式的问题设计，鼓励学生勇于质疑反思，促进学生思维的投入，加深对度量的深度理解。让学生结合生活实际所需，自然经历 “具体 -- 想象 -- 抽象” 的过程，完成从 “先天本能” 到 “特殊能力” 的更高层次的数学抽象。

看到学生这些变化，我真正体会到：

如果没有思维的投入，有的就只是测量的技能。我们应当利用好学生的先天本能来发展他们的抽象思维能力，在教学中构建合适的教学方法，包括合适的教学情境，使学生掌握知识技能的同时，感悟度量单位所蕴含的数学思想，逐步形成数学抽象和直观想象的数学素养。